2장 Anki 카드화 완료분 반영 + CLAUDE.md 규칙 보강 (쉬운 재구성 원칙·자작 SVG·카드화 검토 단계)

Co-Authored-By: Claude Fable 5 <noreply@anthropic.com>
Claude-Session: https://claude.ai/code/session_01G8rNxLqi5rYjRamC8uwiJW

CLAUDE.md

@@ -14,6 +14,7 @@ disable-anki-sync:: true
   4. **추가 하이라이트 제안** — 정리하면서 Claude 판단에 원문 링크가 더 필요한 부분이 있으면, 정리 완료 보고에 **하이라이트 요청 목록**(쪽 번호 + 부분)을 담아 제안한다.
   5. **사용자 2차 하이라이트 → Claude 다듬기** — 사용자가 제안을 (자기 판단으로 취사선택하여) 하이라이트하고 알려주면, Claude가 hls 페이지에서 새 uuid를 읽어 참조를 채워 정리를 다듬는다.
   6. **사용자 마무리** — 사용자가 직접 Anki 카드화하고 자기 방식으로 세부 수정하여 그 단원 정리를 마무리한다.
+  7. **Claude 카드화 검토** — 사용자가 카드화 완료를 알리면 Claude가 검토하고 보고한다: ① 문법 안전성 (`id::` 중복, cloze 괄호 짝 — LaTeX의 `}}`는 오탐이니 주의, 볼드-수식 중첩 검사), ② 커버리지 공백 (카드가 없는 절·핵심 개념, 특히 🧩 행렬 형태 블록), ③ 품질 관찰 (한 블록에 같은 번호 cloze 여러 개면 동시에 가려진다는 점 등). **카드 추가·수정은 여전히 사용자 몫** — Claude는 추천 목록만 제시한다. 참고: 이 그래프에서는 `{{c1 ...}}` cloze만 있는 블록도 `#card` 태그 없이 카드로 동기화된다 (1장부터의 선례).
   
   → 따라서 Claude는 **카드 문법(`#card`, `{{cloze ...}}`, `{{c1 ...}}`, `extra::`, `#+BEGIN_EXTRA`)을 새로 추가하지 않는다.** 일반 정리 텍스트만 작성한다. 기존에 있는 카드 문법과 `id::` 속성은 절대 수정·삭제·복제하지 않는다.
 - ## 디렉토리 구조
@@ -73,9 +74,16 @@ disable-anki-sync:: true
   ```
 - 굵은 글씨(`**...**`)로 핵심 용어 강조.
 - 코드는 언어 표기한 코드블록으로.
-- ### 단순 요약 금지 — 학습 보조를 덧붙일 것
+- ### 단순 요약 금지 — 쉽게 재구성할 것 (가장 중요한 스타일 규칙)
   
-  책 내용을 그대로 옮기는 요약에 그치지 않는다. 정리 사이사이에 다음 요소를 적절히 섞는다 (이모지 마커로 책 내용과 구분):
+  **PDF를 그대로 옮겨 정리하지 않는다.** 책의 서술 순서·수준을 따르는 요약은 실패작이다 (사용자 피드백: 2.5절 1차 정리가 "PDF를 그대로 정리한 느낌이라 어렵다"였고, 아래 방식으로 전면 재작성한 버전이 기준이 됐다). 정리는 사용자가 처음 읽어도 따라올 수 있게 **재구성**한다:
+- **숫자 예제 먼저, 일반 공식은 나중** — 개념마다 구체적인 수치 계산(🔢 마커)으로 먼저 체험시키고, 공식·정리는 그 뒤에. 가능하면 작은 예제 하나를 끝까지 풀어 "클라이맥스"를 만든다.
+- **단계 흐름 지도** — 절이 길거나 여러 개념이 이어지면 첫머리에 [1단계]→[n단계] 지도를 두고, 본문 소제목이 그 번호를 그대로 따라가게 한다.
+- **"왜"를 먼저** — 정의를 던지기 전에 왜 이게 필요한지(무엇이 안 되니까 이걸 만들었는지)부터. 공식은 유도 과정(어디서 태어났는지)과 함께.
+- **흔한 오해 교정** — 사용자가 헷갈릴 만한 지점을 "~라고 생각하기 쉽지만"으로 명시적으로 짚는다 (2.3 비용, 2.4 부분피벗 보강에서 확립된 패턴).
+- 사용자가 특정 부분이 이해 안 된다고 하면 그 부분을 위 방식으로 더 잘게 풀어 보강한다 (필요하면 코드·SVG 그림 동원).
+  
+  정리 사이사이에 다음 요소를 적절히 섞는다 (이모지 마커로 책 내용과 구분):
 - 💡 **직관** — 왜 이 개념이 중요한지, 어떤 그림으로 이해하면 좋은지, 개념 간 연결.
 - ⚠️ **주의** — 흔히 혼동하는 지점, 빠뜨리기 쉬운 조건.
 - ❓ **스스로 점검** — **모든 소단원(x.y절) 끝에 반드시** Claude가 스스로 확인 질문 몇 개를 만들어 배치한다 (사용자 요청 없이도 알아서 출제). **질문을 부모 블록, 답을 자식 블록**으로 작성한다 (Logseq에서 접어두고 셀프 테스트 가능). 카드 문법은 절대 넣지 않는다 — 이 질문들은 사용자가 복습 참고용으로 쓰거나 직접 카드화할 재료다.
@@ -103,13 +111,19 @@ disable-anki-sync:: true
 - 파일명 규칙: `<단원>_p<쪽>_<간단한 설명>.png` (예: `1장_p12_벡터합_평행사변형.png`). 타임스탬프 형식(`image_..._0.png`)은 Logseq 자동 생성 전용이므로 쓰지 않는다.
 - 임베드: `![설명](../assets/파일명.png)` 후, 같은 블록이나 자식 블록에 출처 쪽 번호를 병기한다 (예: `(p.12, 그림 1-4)`).
 - `assets/`에 **새 파일 추가만** 한다. 기존 파일 수정·삭제 금지는 그대로 적용된다.
+- ### 자작 SVG 그림 (Claude가 직접 그리기)
+- 책에 없는 그림이 이해에 도움되면 (개념 시각화, 비교 그림 등) **Claude가 SVG를 직접 그려** `assets/`에 추가해도 된다 (사용자 허용, 2.5절부터 적용). PDF 추출로 해결되는 그림은 추출을 우선한다.
+- 파일명: `<단원>_<절>_<간단한 설명>.svg` (예: `2장_2.5_차분_세가지.svg`).
+- 작성 규칙: viewBox 약 760px 폭, **흰 배경 rect 포함** (다크 모드 대비), 폰트는 `'Helvetica Neue', Arial, 'Apple SD Gothic Neo', 'Malgun Gothic', sans-serif`, 텍스트 15px 이상. SVG 안에는 LaTeX를 쓸 수 없으니 유니코드 첨자(u₁, h², y″)로 표기한다.
+- 색 팔레트 (색각이상 검증 통과본): 데이터·개념 선은 파랑 `#1d4ed8` / 주황 `#ea580c` / 초록 `#059669`, 강조 빨강 `#dc2626`, 보조 회색 `#6b7280`/`#9ca3af`, 텍스트 `#111827`/`#374151`. 색만으로 구분하지 말고 범례·직접 라벨을 함께 넣는다.
+- **커밋 전 시각 검증 필수**: `qlmanage -t -s 1000 -o <스크래치 폴더> <절대경로.svg>` 로 PNG를 만들어 Read 도구로 직접 보고, 좌표 오류(선이 지나야 할 점을 빗나감, 라벨 겹침)를 잡은 뒤 커밋한다.
 - ## 현재 진행: 선형대수학 (스트랭 6판)
 - 허브: `스트랭 선형대수학 6판` 페이지. 단원 페이지명은 `1장 벡터와 행렬` 형식이며, 최상단 `deck:: Logseq/전공공부/선형대수학`을 유지한다.
 - 단원 PDF는 사용자가 스캔해 Logseq에서 링크한다 (예: `assets/1장_벡터와_행렬_*.pdf`). 새 단원 시작 시 사용자가 페이지와 PDF를 세팅한 뒤 정리를 요청한다. 단원 정리는 그 페이지의 PDF 임베드 **아래에** 불릿으로 작성한다.
 - **해답집**: `assets/solution_1784335983942_0.pdf` — 스트랭 6판 공식 영문 솔루션 (전 챕터). 문제 번호는 한국어판과 동일하다. 각 챕터의 "Problem Set x.y" 헤더로 위치를 찾는다 (1장 해답: PDF 2~18쪽).
 - **PDF 읽는 법**: 단원 PDF는 스캔+OCR본이라 텍스트 레이어의 수식이 깨져 있다. 정리할 때는 **Read 도구로 페이지를 시각적으로 읽는다** (pdftoppm/poppler 설치됨). 이미지 추출·edn 좌표 파싱은 PyMuPDF(`import fitz`, 설치됨)를 쓴다.
 - **쪽번호 오프셋**: 1장 PDF는 책 쪽번호 = PDF 쪽번호 + 18. 2장 PDF는 책 쪽번호 = PDF 쪽번호 + 70. 단원 PDF마다 오프셋이 다를 수 있으니 첫 몇 쪽으로 확인할 것.
-- **진행 상황**: 1장 완전히 완료 (단일 페이지 구조 유지). 2장 정리 작성 완료 — 소단원 페이지 5개(2.1~2.5) 분리, 하이라이트 58개(텍스트 51 + area 7) 전부 연결, 연습문제는 Claude 선정 방식 첫 적용. 남은 단계: 사용자 검토·Anki 카드화. 2장 정리에서 새 행렬(E, L, P, Aᵀ, S, K, T, B)의 **정확한 형태를 🧩 표시 블록으로 명시**하는 방식을 도입했다 (책이 형태를 명시해주지 않는다는 사용자 요청) — 이후 장에서도 새 행렬 등장 시 동일하게 적용할 것.
+- **진행 상황**: 1장·2장 완전히 완료 (2장: 소단원 페이지 5개 분리, 하이라이트 연결, 카드화·검토까지 끝). 다음: **3장** — 사용자가 선행 학습 중이며, 페이지·PDF 세팅 후 정리를 요청할 예정. 2장에서 확립되어 이후 장에도 적용할 방식: ① 새 행렬의 **정확한 형태를 🧩 표시 블록으로 명시**, ② 「단순 요약 금지」의 쉬운 재구성 원칙(숫자 예제 먼저·단계 지도·흔한 오해 교정), ③ 필요시 자작 SVG 그림. 복습 중 사용자가 이해 안 되는 부분을 요청하면 해당 블록만 보강하는 패턴이 반복된다.
 - ## Logseq 앱 동기화 주의
 - Logseq 앱이 페이지를 열어둔 상태에서 파일을 밖에서 수정하면, 앱이 캐시된 옛 블록을 표시하다가 **옛 내용을 파일에 되써버릴 수 있다** (부분 롤백 발생).
 - 페이지 파일을 수정한 후에는 사용자에게 **Logseq 재색인(Re-index)** 을 안내한다. 수정 직후 "고쳤는데 그대로다"라는 피드백이 오면 파일을 다시 읽어 롤백 여부부터 확인한다.

assets/2장_선형방정식_Ax_=_b_풀기_1784805780272_0.edn

@@ -1171,4 +1171,4 @@
                           :page 55},
                :content {:text "[:span]", :image 1784898936929},
                :properties {:color "yellow"}}],
- :extra {:page 37}}
+ :extra {:page 31}}

pages/2.1 소거법과 역대입법.md

@@ -70,7 +70,9 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
 	- **최대 랭크 판정과 특이행렬**
 		- 상삼각행렬 $U$ 는 **주대각선에 0이 없을 때, 정확히 최대 랭크를 갖는다.**
 			- 📌 원문 (p.78): ((6a6359ac-a058-4293-8ab6-40ab10e442de))
-		- **특이행렬** (singular matrix): 주대각선에 0이 있는 (최대 랭크를 갖지 않고 역행렬이 없는) 행렬. 처음 몇 열이 선형종속이고, 일부 행도 선형종속이다.
+		- **특이행렬** (singular matrix): 주대각선에 {{c1 0}} 이 있는 ( {{c1 최대 랭크}}를 갖지 않고 {{c1 역행렬 }} 이 없는) 행렬.
+		  extra:: 처음 몇 열이 선형종속이고, 일부 행도 선형종속이다.
+		  id:: 6a654a5b-68b5-49d0-8aff-c08d97c929d9
 			- 📌 원문 (p.78): ((6a6359f4-8a2c-4afe-a644-3ce58b755ed4))
 		- ⚠️ **주의**: "행 교환이 필요한 것"과 "특이행렬인 것"을 혼동하지 말 것. 행 교환은 단지 방정식의 순서 문제이고, 특이성은 열의 선형종속이라는 구조적 문제다.
 	- **첨가행렬** (augmented matrix): 우변 $b$ 를 $A$ 의 추가 열로 붙인 행렬 $[A \ \ b]$. 좌변과 우변에 동일한 소거 연산이 자동으로 적용되게 하는 장치 — $[A \ \ b] \to [U \ \ c]$.
@@ -79,13 +81,17 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
 		- 📌 원문 (p.80): ((6a635a1e-3810-4cd9-84fa-42fa382e865f))
 		- 행 교환까지 포함한 전체 과정: $PA = LU$ (행 교환이 없으면 $A = LU$). 이 식은 [[2.3 행렬 계산과 A = LU]] 와 [[2.4 치환행렬과 전치행렬]]의 주제다.
 - ### ❓ 스스로 점검
-	- $Ax = b$ 의 해가 정확히 하나 존재할 조건은 무엇이고, 그때 $Ax=0$ 의 해는 무엇인가?
+	- $Ax = b$ 의 해가 정확히 하나 존재할 조건은 무엇이고, 그때 $Ax=0$ 의 해는 무엇인가? #card
+	  id:: 6a654a5b-97c7-44c0-b8ce-3cc22b8f2d45
 		- $A$ 의 모든 열이 선형독립일 때 (랭크 $n$). 이때 $Ax=0$ 의 유일한 해는 $x=0$ 이고 $A^{-1}$ 가 존재한다.
-	- 해가 하나라도 존재하는데 무수히 많아지는 것은 어떤 경우인가? 해들은 어떤 모양을 이루는가?
+	- 해가 하나라도 존재하는데 무수히 많아지는 것은 어떤 경우인가? 해들은 어떤 모양을 이루는가? #card
+	  id:: 6a654a5b-ae12-4ddb-bae7-75458699585a
 		- $A$ 의 열이 선형종속이고 ($AX=0$ 의 비영해 $X$ 존재) $b$ 가 열공간 안에 있는 경우. 하나의 해 $x$ 에 대해 $x + \alpha X$ ($\alpha$ 는 임의의 수)가 모두 해가 되어 직선(또는 더 높은 차원)을 이룬다.
-	- 소거 중 피벗 위치에 0이 나타났다. "행 교환으로 해결되는 경우"와 "해결 불가능한 경우"는 무엇이 다른가?
+	- 소거 중 피벗 위치에 0이 나타났다. "행 교환으로 해결되는 경우"와 "해결 불가능한 경우"는 무엇이 다른가? #card
+	  id:: 6a654a5b-d5ac-4ad7-8b73-bbee9812a52d
 		- 그 0 **아래에** 0이 아닌 성분이 있으면 행 교환으로 해결된다 (일시적 실패). 아래가 전부 0이면 그 열에 피벗이 없는 것이고, 이는 열이 선형종속(특이행렬)이라는 구조적 신호다.
-	- 상삼각행렬 $U$ 가 최대 랭크를 가질 필요충분조건은?
+	- 상삼각행렬 $U$ 가 최대 랭크를 가질 필요충분조건은? #card
+	  id:: 6a654a5b-fb83-4e45-b91a-76ce4ab5a882
 		- 주대각선(피벗 위치)에 0이 없는 것. 이때 $U$ 의 (그리고 $A$ 의) 열들은 선형독립이다.
 	- 왜 숫자 0은 피벗이 될 수 없는가?
 		- 역대입에서 각 미지수를 구할 때 피벗으로 나눠야 하는데 0으로는 나눌 수 없기 때문. $0 \cdot x = c$ 꼴은 해가 없거나($c \neq 0$) 무수히 많다($c = 0$).
@@ -98,11 +104,15 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
 		- $a = 2$ 이면 **완전히 불가능**: 좌변이 배수 관계(행 그림에서 평행선)가 되는데 우변은 아니므로 해가 없다.
 		- $a = 0$ 이면 **일시적으로 불가능**: 첫 피벗 위치가 0이지만 행 교환으로 해결된다. 교환 후 $4x + 6y = 6$, $3y = -3$ → $y = -1$, $x = 3$.
 		- 💡 본문의 "일시적 실패 vs 완전한 실패" 구분을 수치로 체험하는 문제.
-	- **문제 11** (책 추천: 꼭 풀어볼 만한 문제) — 선형 연립방정식은 정확히 2개의 해를 가질 수 없다. (a) 두 해 $(x,y,z)$, $(X,Y,Z)$ 가 있다면 또 다른 해는? (b) 25개의 평면이 두 점에서 만나면 또 어디서 만나는가?
+	- **문제 11** (책 추천: 꼭 풀어볼 만한 문제) — 선형 연립방정식은 정확히 2개의 해를 가질 수 없다.
-		- (a) 두 해의 평균 $\frac{1}{2}(x+X, \ y+Y, \ z+Z)$ 도 해다 (실제로는 두 해를 잇는 직선 위의 모든 점이 해).
+		- (a) 두 해 $(x,y,z)$, $(X,Y,Z)$ 가 있다면 또 다른 해는? #card
-		- (b) 25개의 평면이 두 점에서 만난다면, 그 두 점을 지나는 **직선 전체**에서 만난다.
+		  id:: 6a661c6d-4d6a-4f35-a298-828e41a1ea24
+			- 두 해의 평균 $\frac{1}{2}(x+X, \ y+Y, \ z+Z)$ 도 해다 (실제로는 두 해를 잇는 직선 위의 모든 점이 해).
+		- (b) 25개의 평면이 두 점에서 만나면 또 어디서 만나는가? #card
+		  id:: 6a661c83-2f93-4d14-b1b8-daf0990e528f
+			- 25개의 평면이 두 점에서 만난다면, 그 두 점을 지나는 **직선 전체**에서 만난다.
 		- 💡 해집합의 구조(0개, 1개, 무한개뿐)가 왜 그런지를 보여주는 문제 — 해 2개가 있으면 그 직선 전체가 해가 되어버린다.
 	- **문제 21** (도전) — 행 합이 4, 8이고 열 합이 2, $s$ 인 2×2 행렬 찾기. 네 방정식 $a+b=4$, $a+c=2$, $c+d=8$, $b+d=s$ 의 해가 존재하는 $s$ 는?
 		- 좌변에서 (첫째+셋째) = (둘째+넷째) = $a+b+c+d$ 이므로 우변도 $4+8 = 2+s$ 여야 한다 → $s = 10$.
 		- 이 4×4 연립방정식은 **특이**하다 — 소거하면 마지막 행이 0행이 된다. $s=10$ 일 때 해가 무수히 많다. 두 예: $\begin{bmatrix} 1&3 \\ 1&7 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 0&4 \\ 2&6 \end{bmatrix}$.
-		- 💡 "해가 존재할 조건이 우변에 붙는" 경우 ②↔③의 경계를 4×4 에서 경험하는 문제.
+		- 💡 "해가 존재할 조건이 우변에 붙는" 경우 ②↔③의 경계를 4×4 에서 경험하는 문제.

pages/2.2 소거행렬과 역행렬.md

@@ -9,8 +9,10 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
 	- **소거행렬** $E_{ij}$ **의 정확한 형태** 🧩 (책이 명시적으로 정리해주지 않는 부분 — 복습용 정리)
 		- **만드는 법**: 항등행렬 $I$ 에서 시작해 $(i, j)$ **성분 (=** $i$ **행** $j$ **열) 하나만** $-\ell_{ij}$ **로** 바꾼다. 나머지는 $I$ 그대로 (주대각선 1, 그 외 0).
 		- $$E_{ij} = I \text{ 에서 } (i,j) \text{ 성분만 } -\ell_{ij} \text{ 로 바꾼 행렬} \qquad (i > j \text{ 이므로 주대각선 아래})$$
-		- 예 — 3행에서 1행에 2를 곱해 빼는 $E_{31}$ ($\ell_{31} = 2$): $(3,1)$ 위치에 $-2$.
+		- 예 — 3행에서 1행에 2를 곱해 빼는 $E_{31}$ ($\ell_{31} = 2$): #card
-		- $$E_{31} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$
+		  id:: 6a654a5b-4a10-4db0-ae2e-78ebebd7468d
+			- $(3,1)$ 위치에 $-2$.
+			- $$E_{31} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$
 		- **왜 이 형태인가**: $E_{31}A$ 의 3행 = ($E_{31}$ 의 3행) × $A$ = $-2 \cdot (A$ 의 1행$) + 1 \cdot (A$ 의 3행$)$ — 정확히 "3행 ← 3행 − 2×(1행)" 이다. 왼쪽에 곱하는 행렬의 각 행은 "결과의 그 행을 원래 행들의 어떤 결합으로 만들지"를 지시한다.
 		- ⚠️ 첨자 순서 주의: $E_{ij}$ 는 "$i$ 행에서 $j$ 행을 (배수로) 뺀다"는 뜻이고, 바꾸는 성분 위치도 $i$ 행 $j$ 열이다. $i > j$ (아래 행에서 위 행을 뺌) 이므로 항상 주대각선 **아래**의 성분 하나를 바꾼다.
 	- **전체소거행렬** $E$: 행 교환이 필요 없는 $3\times 3$ 의 경우, 세 소거행렬을 순서대로 곱한 것.
@@ -32,7 +34,8 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
 		- 📌 원문 — $E$ 의 역행렬을 $L$ 이라 한다 (p.86): ((6a635aae-3105-49ae-957b-172c4c5d0005))
 		- 📌 원문 — 식 (11) (p.91): [🔗 PDF 위치](((6a635b68-9f69-4209-8ca3-615913bd254d)))
 		- ![L은 E의 역행렬 — 식 (11) (p.91)](../assets/2장_p91_L은_E의_역행렬_식11.png)
-		- $L$ **의 정확한 형태** 🧩: **하삼각행렬**로, ① 주대각선은 전부 1, ② 주대각선 아래 $(i,j)$ 성분에 승수 $\ell_{ij}$ 가 **부호 그대로, 제자리에** 들어간다. $E$ 와 달리 곱셈 연쇄 항이 전혀 없다.
+		- $L$ **의 정확한 형태** 🧩: **하삼각행렬**로, ① 주대각선은 전부 1, ② 주대각선 아래 $(i,j)$ 성분에 승수 $\ell_{ij}$ 가 {{c1 **부호 그대로, 제자리**}}에 들어간다. $E$ 와 달리 곱셈 연쇄 항이 전혀 없다.
+		  id:: 6a654a5b-b0dd-41e2-9583-ab2acad9337c
 		- $$L = \begin{bmatrix} 1 & & \\ \ell_{21} & 1 & \\ \ell_{31} & \ell_{32} & 1 \end{bmatrix}$$
 		- 💡 **왜** $L$ **은 깨끗한가** (p.90 EX5의 교훈): 역행렬들을 곱하는 순서 $E_{21}^{-1}E_{31}^{-1}E_{32}^{-1}$ 에서는 "먼저 3행을 (2행으로) 바꾸고, **그 다음** 2행을 (1행으로) 바꾸므로" 바뀐 행이 다시 쓰이는 연쇄가 일어나지 않는다. 소거법의 순서는 $FE$, 역행렬의 순서는 $L = E^{-1}F^{-1}$ — 승수들이 모두 하삼각 $L$ 의 제자리에 위치한다.
 		- 이 결과로 $EA = U$ 는 $A = E^{-1}U = LU$ 가 된다 → [[2.3 행렬 계산과 A = LU]] 의 주제.
@@ -74,11 +77,14 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
 		- $I$ 에서 $(3,1)$ 성분만 $-2$ 로 바꾼 $\begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ -2&0&1 \end{bmatrix}$. 곱 $E_{31}A$ 의 3행 = $-2\cdot(A$ 의 1행$) + 1\cdot(A$ 의 3행$)$ 이 되기 때문 (왼쪽 곱셈의 각 행은 원래 행들의 결합 지시서).
 	- $E = E_{32}E_{31}E_{21}$ 과 $L = E^{-1}$ 중 어느 쪽이 승수 $\ell_{ij}$ 를 "제자리에 그대로" 담고 있는가? 다른 한쪽에는 무슨 일이 생기는가?
 		- $L$ 쪽이다: 주대각선 1, $(i,j)$ 에 $\ell_{ij}$ 그대로. $E$ 쪽은 $(3,1)$ 위치에 $\ell_{32}\ell_{21} - \ell_{31}$ 같은 연쇄 곱셈 항이 생긴다 (바뀐 행이 다시 다른 행을 바꾸는 효과).
-	- 역행렬이 존재하는지 판단하는 실용적 기준(특징 ①)은 무엇인가?
+	- 역행렬이 존재하는지 판단하는 실용적 기준(특징 ①)은 무엇인가? #card
+	  id:: 6a654a5b-ecea-4b01-a297-bd1251c17409
 		- 소거법에서 (행 교환을 허용하며) 0이 아닌 피벗이 $n$ 개 생기는 것.
-	- $Ax = 0$ 에 $x \neq 0$ 인 해가 있으면 왜 $A^{-1}$ 가 존재할 수 없는가?
+	- $Ax = 0$ 에 $x \neq 0$ 인 해가 있으면 왜 $A^{-1}$ 가 존재할 수 없는가? #card
+	  id:: 6a654a5b-1a9a-45a9-b501-e0efb24378ba
 		- $A^{-1}$ 가 존재한다면 양변에 곱해 $x = A^{-1}0 = 0$ 이 되어 모순. (열이 선형종속이라는 뜻이므로 특징 ⑤로도 같은 결론.)
-	- $(AB)^{-1}$ 는 무엇이고, 왜 그 순서인가?
+	- $(AB)^{-1}$ 는 무엇이고, 왜 그 순서인가? #card
+	  id:: 6a654a5b-dbda-45a2-ac76-f460159bd12b
 		- $B^{-1}A^{-1}$. $(AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = AA^{-1} = I$ — 안쪽부터 소거되려면 역순이어야 한다.
 - ### ✏️ 연습문제 풀이 (솔루션 참고)
 	- **문제 3** — $A = \begin{bmatrix} 1&1&0 \\ 4&6&1 \\ -2&2&0 \end{bmatrix}$ 를 $U$ 로 만드는 $E_{21}, E_{31}, E_{32}$ 를 구하고, $E$ 와 $L = E^{-1}$ 도 구하라.
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 		- $A$ 의 소거: 피벗이 $a$, $a-b$, $a-b$ 로 나온다 → 가역 조건은 $a \neq 0$ 이고 $a \neq b$.
 		- $$A^{-1} = \frac{1}{a(a-b)}\begin{bmatrix} a & 0 & -b \\ -a & a & 0 \\ 0 & -a & a \end{bmatrix}$$
 		- $C$: $c = 0$ (열들이 종속), $c = 7$ (2행과 3행 관련 종속), $c = 2$ (1행과 2행 종속) 에서 비가역.
-		- 💡 문자 행렬에서 피벗을 추적하는 훈련 — "가역 판정 = 피벗 개수 세기"를 체득하는 문제.
+		- 💡 문자 행렬에서 피벗을 추적하는 훈련 — "가역 판정 = 피벗 개수 세기"를 체득하는 문제.

pages/2.4 치환행렬과 전치행렬.md

@@ -29,10 +29,11 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
 	- **부분피벗** (partial pivoting) — 반올림 오류를 줄이는 실전 기법
 		- 배경: 컴퓨터는 수를 **유한한 유효숫자**(부동소수점, 보통 약 16자리)로 저장한다. 연산할 때마다 결과가 반올림되므로 매 단계 작은 오차가 생기고, 문제는 소거 과정이 이 오차를 **증폭시킬 수 있다**는 것이다.
 		- **왜 작은 피벗이 위험한가 — 논리 사슬**:
-			- ① 소거에서 실제로 곱해지는 수는 피벗이 아니라 **승수** $\ell = \dfrac{\text{지울 성분}}{\text{피벗}}$ 이다. **피벗이 분모**이므로, 피벗이 작을수록 $\ell$ 은 커진다 (피벗 $0.0001$ → $\ell = 10000$ 같은 식).
+			- ① 소거에서 실제로 곱해지는 수는 피벗이 아니라 **승수** $\ell = \dfrac{\text{지울 성분}}{\text{피벗}}$ 이다. **피벗이 분모**이므로, 피벗이 {{c1 작을수록}} $\ell$ 은 커진다 (피벗 $0.0001$ → $\ell = 10000$ 같은 식).
-			- ② 행 갱신은 (아래 행) − $\ell$ × (피벗 행) 이다. $\ell$ 이 거대하면 빼는 쪽 $\ell \times$(피벗 행)이 원래 행보다 수만 배 커진다 → 뺄셈 결과에서 **원래 행이 갖고 있던 정보가 큰 수의 반올림 자릿수 아래로 쓸려 내려가 사라진다** (자릿수 소실).
+			  id:: 6a654cf6-cfe4-48fa-bf98-10b218091981
-			- ③ 게다가 피벗 행에 이미 있던 작은 반올림 오차도 $\ell$ **배로 곱해져 증폭**된다. $\ell = 10^4$ 이면 오차도 $10^4$ 배.
+			  ② 행 갱신은 (아래 행) − $\ell$ × (피벗 행) 이다. $\ell$ 이 거대하면 빼는 쪽 $\ell \times$(피벗 행)이 원래 행보다 수만 배 커진다 → 뺄셈 결과에서 {{c1 **원래 행이 갖고 있던 정보**}}**가 큰 수의 반올림 자릿수 아래로 쓸려 내려가 사라진다** (자릿수 소실).
-			- 요약: 작은 피벗 → 큰 승수 → 큰 수끼리의 뺄셈 → 정보 소실 + 오차 증폭.
+			  ③ 게다가 피벗 행에 이미 있던 작은 {{c1 반올림 오차}} 도 $\ell$ **배로 곱해져 증폭**된다. $\ell = 10^4$ 이면 오차도 $10^4$ 배.
+			  요약: 작은 피벗 → 큰 승수 → 큰 수끼리의 뺄셈 → 정보 소실 + 오차 증폭.
 		- **파국의 수치 예** — 유효숫자 3자리 컴퓨터를 가정하고 다음을 풀어보자 (참해는 $x \approx 1.0001$, $y \approx 0.9999$):
 			- $$0.0001x + y = 1 \qquad x + y = 2$$
 			- **교환 없이** (피벗 $0.0001$): $\ell = \dfrac{1}{0.0001} = 10000$. 2행 갱신: $y$ 계수는 $1 - 10000 = -9999$, 우변은 $2 - 10000 = -9998$ — 그런데 3자리 컴퓨터는 둘 다 $-1.00 \times 10^4$ 로 반올림한다 ("$1$"과 "$2$"라는 정보가 통째로 소실!). 그러면 $y = 1.00$, 역대입에서 $0.0001x = 1 - 1.00 = 0$ → $x = 0$. **참값** $x \approx 1$ **인데** $0$ **이 나왔다 — 100% 오답.**
@@ -91,9 +92,11 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
 		- 모든 행에 1이 정확히 하나, 모든 열에도 1이 정확히 하나, 나머지는 전부 0 ($I$ 의 행 재배열). 총 $n!$ 개 ($P=I$ 포함).
 	- $P^{-1}$ 는 무엇이며, 왜 그런가?
 		- $P^{-1} = P^{\mathrm{T}}$. $P$ 의 열들이 서로 직교하는 단위벡터들이라 $P^{\mathrm{T}}P$ 의 대각선은 1, 비대각선은 0이 되기 때문.
-	- $x = (x_1, x_2, x_3)$ 을 $(x_2, x_3, x_1)$ 로 바꾸는 치환행렬 $P$ 를 직접 써라.
+	- $x = (x_1, x_2, x_3)$ 을 $(x_2, x_3, x_1)$ 로 바꾸는 치환행렬 $P$ 를 직접 써라. #card
+	  id:: 6a654a5b-1566-4287-b201-03fbf7e61e32
 		- 1행은 $x_2$ 를 뽑고, 2행은 $x_3$, 3행은 $x_1$ 을 뽑는다: $P = \begin{bmatrix} 0&1&0 \\ 0&0&1 \\ 1&0&0 \end{bmatrix}$.
-	- $(AB)^{\mathrm{T}}$ 와 $(AB)^{-1}$ 의 공통 패턴은?
+	- $(AB)^{\mathrm{T}}$ 와 $(AB)^{-1}$ 의 공통 패턴은? #card
+	  id:: 6a654a5b-f148-4864-b12f-58c4a02afd67
 		- 둘 다 **역순**: $(AB)^{\mathrm{T}} = B^{\mathrm{T}}A^{\mathrm{T}}$, $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$.
 	- "주대각선 뒤집기"보다 본질적인 $A^{\mathrm{T}}$ 의 정의는 무엇인가?
 		- 모든 $x, y$ 에 대해 $(Ax)^{\mathrm{T}}y = x^{\mathrm{T}}(A^{\mathrm{T}}y)$ — "$Ax$ 와 $y$ 의 내적 = $x$ 와 $A^{\mathrm{T}}y$ 의 내적"을 성립시키는 행렬.
@@ -122,4 +125,4 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
 	- **문제 19** — 다음 $A$ 의 $PA = LU$ 분해를 구하라: (a) $A = \begin{bmatrix} 0&1&1 \\ 1&0&1 \\ 2&3&4 \end{bmatrix}$ (b) $A = \begin{bmatrix} 1&2&0 \\ 2&4&1 \\ 1&1&1 \end{bmatrix}$
 		- (a) 첫 피벗 자리가 0 → 1행↔2행 교환: $P = \begin{bmatrix} 0&1&0 \\ 1&0&0 \\ 0&0&1 \end{bmatrix}$. 그러면 $PA = \begin{bmatrix} 1&0&1 \\ 0&1&1 \\ 2&3&4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&& \\ 0&1& \\ 2&3&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&0&1 \\ 0&1&1 \\ 0&0&-1 \end{bmatrix}$.
 		- (b) 소거 중 두 번째 피벗 자리가 0이 됨 → 2행↔3행 교환: $P = \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 0&0&1 \\ 0&1&0 \end{bmatrix}$, $PA = \begin{bmatrix} 1&2&0 \\ 1&1&1 \\ 2&4&1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&& \\ 1&1& \\ 2&0&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&2&0 \\ 0&-1&1 \\ 0&0&1 \end{bmatrix}$.
-		- 💡 (a)는 "시작부터 교환 필요", (b)는 "진행 중에 교환 필요" — 두 상황 모두 $P$ 하나로 미리 처리된다는 것이 $PA = LU$ 의 요점.
+		- 💡 (a)는 "시작부터 교환 필요", (b)는 "진행 중에 교환 필요" — 두 상황 모두 $P$ 하나로 미리 처리된다는 것이 $PA = LU$ 의 요점.

pages/2.5 미분과 유한차분행렬.md

@@ -107,7 +107,8 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
 		- 2차차분행렬 $K, T, B$ 는 모두 1계 차분행렬 $A$ 로 만든 $A^{\mathrm{T}}A$ 꼴이다 — [[2.4 치환행렬과 전치행렬]]의 "$A^{\mathrm{T}}A$ 는 항상 대칭" 원리로 셋의 대칭성이 자동으로 설명된다.
 		- 💡 연속 세계와의 평행: $-\dfrac{d^2}{dx^2} = \left(-\dfrac{d}{dx}\right)\left(\dfrac{d}{dx}\right)$ 이고, $\dfrac{d}{dx}$ 의 "전치"가 $-\dfrac{d}{dx}$ (p.111 EX2의 부분적분)라는 사실의 이산 버전.
 - ### ❓ 스스로 점검
-	- 전진·후진·중심차분의 식을 쓰고, $y = x^2$, $x = 1$, $h = 0.1$ 에서 각각 계산해 보라. 어떤 패턴이 보이는가?
+	- 전진·후진·중심차분의 식을 쓰고, $y = x^2$, $x = 1$, $h = 0.1$ 에서 각각 계산해 보라. 어떤 패턴이 보이는가? #card
+	  id:: 6a654a5b-c2b2-4425-9356-3d449eeeba54
 		- 전진 $\frac{y(x+h)-y(x)}{h} = 2.1$, 후진 $\frac{y(x)-y(x-h)}{h} = 1.9$, 중심 $\frac{y(x+h)-y(x-h)}{2h} = 2.0$ (참값 2). 전진과 후진이 반대 방향으로 같은 크기만큼 틀리고, 그 평균인 중심은 오차가 상쇄된다.
 	- 중심차분만 2차 정확도인 이유를 테일러 전개로 설명하라.
 		- 전진차분의 오차 첫 항은 $+\frac{1}{2}h\,y''$, 후진은 $-\frac{1}{2}h\,y''$. 중심차분은 둘의 평균이라 이 항이 상쇄되고, 남는 오차의 첫 항이 $\frac{1}{6}h^2 y'''$ — $h^2$ 에 비례하므로 2차.
@@ -137,4 +138,4 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
 	- **문제 18** — 1차 중심차분행렬은 가역이 아닐 수 있다. $\Delta_3 = \begin{bmatrix} 0&1&0 \\ -1&0&1 \\ 0&-1&0 \end{bmatrix}$ 과 $\Delta_4$ 로 확인하라.
 		- $\Delta_3$: 3열 $= -($ 1열 $)$ — 열이 선형종속이라 **비가역**. ($\Delta_3 x = 0$ 의 해: $x = (1, 0, 1)$.)
 		- $\Delta_4$ (4×4 중심차분행렬)는 4개의 열이 선형독립 — **가역**.
-		- 💡 중심차분행렬은 **홀수 크기면 특이, 짝수 크기면 가역** — 크기의 홀짝이 가역성을 가르는 흥미로운 예. (또한 $\Delta^{\mathrm{T}} = -\Delta$ 인 **반대칭행렬** — 미분 $\frac{d}{dx}$ 의 전치가 $-\frac{d}{dx}$ 라는 p.111 EX2의 이산 버전.)
+		- 💡 중심차분행렬은 **홀수 크기면 특이, 짝수 크기면 가역** — 크기의 홀짝이 가역성을 가르는 흥미로운 예. (또한 $\Delta^{\mathrm{T}} = -\Delta$ 인 **반대칭행렬** — 미분 $\frac{d}{dx}$ 의 전치가 $-\frac{d}{dx}$ 라는 p.111 EX2의 이산 버전.)