4.3 문제 10 해설 전면 보강: 구조 예측→C 공짜 확정→3×3 축소→소거→검산 (답지 번역 수준 탈피) + 문제 9·10에 공통 지문 안내

Co-Authored-By: Claude Fable 5 <noreply@anthropic.com>
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Major Study/pages/4.3 최소제곱근사.md

@@ -213,14 +213,29 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
 		- 문제 3의 메시지: 이 $e$ 가 바로 $b$ 에서 열공간까지의 최단거리, $\|e\| = \sqrt{44}$.
 		- 핵심 문장: 직선 맞추기 4종 세트는 "내적 표 → $2 \times 2$ 풀기 → $p = A\hat{x}$ → $e$ ⊥ 두 열 검산" 순서다.
 	- **문제 9·10**: 같은 데이터에 포물선(미지수 3개), 3차 곡선(미지수 4개)을 맞추면?
+		- (문제 1~11 공통 지문의 데이터를 이어받는 문제다: $t = 0, 1, 3, 4$, $b = (0, 8, 8, 20)$, 그림 4.8. 시간이 문제 지문에 안 보이면 문제 세트 맨 위의 ※ 공통 지문을 볼 것.)
 		- 🔁 개념 상기: [8단계]. 열 하나 추가 = 정규방정식 한 차원 증가. 그리고 $n = m$ 이 되는 순간 근사가 보간으로 퇴화한다.
 		- 문제 9 (포물선): $A$ 에 3열 $(t_i^2) = (0, 1, 9, 16)$ 추가 → $A^{\mathrm{T}}A\hat{x} = A^{\mathrm{T}}b$ 는
 			- $$\begin{bmatrix} 4&8&26 \\ 8&26&92 \\ 26&92&338 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} C \\ D \\ E \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 36 \\ 112 \\ 400 \end{bmatrix}$$
 			- (세우는 것까지가 문제. 내적 표 연습: 2열·3열 $= \sum t^3 = 0+1+27+64 = 92$ 등.)
 			- [그림 4.8(b)]는 어떻게 되나: $\mathbb{R}^4$ 사영 그림에 세 번째 화살표 $a_3 = (0, 1, 9, 16)$ 이 추가되고, $b$ 를 2차원 평면이 아니라 **3차원 부분공간**에 사영하게 된다.
-		- 문제 10 (3차 곡선): 4열 $(t_i^3) = (0, 1, 27, 64)$ 까지 추가하면 $A$ 는 $4 \times 4$ 방데르몽드 정사각. 시간 4개가 서로 다르니 가역.
-			- 소거로 풀면 $x = (C, D, E, F) = \frac{1}{3}(0, 47, -28, 5)$. **4개의 점을 정확히 통과** → $p = b$, $e = 0$.
-			- 핵심 문장: 미지수 개수 $n$ 이 데이터 개수 $m$ 에 도달하면 오차가 0이 된다 (보간). 최소제곱은 $m > n$ 의 도구다.
+		- 문제 10 (3차 곡선): 4열 $(t_i^3) = (0, 1, 27, 64)$ 까지 추가하면 $A$ 는 $4 \times 4$ 방데르몽드 정사각.
+			- 1단계, 풀기 전에 구조 예측: 미지수 4개 = 방정식 4개(정사각)이고 시간 4개가 서로 다르니 가역 → **정확히 통과할 것**이다. 즉 계산 전에 이미 $p = b$, $e = 0$ 을 안다.
+				- 따라서 $A^{\mathrm{T}}A$ 를 만들 필요가 없다: $b$ 가 열공간 안이므로 $Ax = b$ 를 소거로 직접 풀면 되고, 그 해가 곧 $\hat{x}$ 이다 (해가 존재하면 모자가 잉여가 되는 경우, 문제 2·20과 같은 원리).
+				- ⚠️ 굳이 $A^{\mathrm{T}}A$ 를 만들면 성분이 $\sum t^6$ 급으로 커져 계산만 지옥이 된다. 정확한 해가 있을 땐 최소제곱 기계를 돌리지 않는다.
+			- 2단계, 공짜 미지수: $t = 0$ 행은 $C + 0 + 0 + 0 = b_1$, 즉 소거를 시작하기도 전에 $C = b_1 = 0$ **이 확정**된다 (3차식에 $t = 0$ 을 넣으면 상수항만 남으니까).
+			- 3단계, $3 \times 3$ 으로 축소: 남은 세 행($t = 1, 3, 4$)에 미지수 $D, E, F$ 셋만 남는다. 각 행이 $Dt + Et^2 + Ft^3 = b_i$ 꼴이라 공통인수 $t$ 로 나누면 숫자가 순해진다:
+				- $t = 1$: $D + E + F = 8$
+				- $t = 3$ (양변 ÷3): $D + 3E + 9F = \frac{8}{3}$
+				- $t = 4$ (양변 ÷4): $D + 4E + 16F = 5$
+			- 4단계, 소거: 2행 − 1행 → $2E + 8F = -\frac{16}{3}$, 즉 $E + 4F = -\frac{8}{3}$. 3행 − 1행 → $3E + 15F = -3$, 즉 $E + 5F = -1$. 두 식을 빼면:
+				- $F = -1 + \frac{8}{3} = \frac{5}{3}$ → $E = -1 - 5F = -\frac{28}{3}$ → $D = 8 - E - F = \frac{47}{3}$.
+				- $$x = (C, D, E, F) = \left(0,\ \tfrac{47}{3},\ -\tfrac{28}{3},\ \tfrac{5}{3}\right) = \tfrac{1}{3}(0, 47, -28, 5)$$
+				- (데이터가 정수여도 계수는 분수일 수 있다. 정상이다. 판정은 검산이 한다.)
+			- 5단계, 검산 (구조 예측 확인): 완성된 3차식에 시간을 다시 넣는다.
+				- $t=0$: $0$ ✓ / $t=1$: $\frac{47 - 28 + 5}{3} = 8$ ✓ / $t=3$: $\frac{141 - 252 + 135}{3} = 8$ ✓ / $t=4$: $\frac{188 - 448 + 320}{3} = 20$ ✓
+				- 4개의 점을 정확히 통과 → 예측대로 $p = b$, $e = 0$.
+			- 핵심 문장: 미지수 개수 $n$ 이 데이터 개수 $m$ 에 도달하면 오차가 0이 된다 (근사가 보간으로 퇴화). 최소제곱은 $m > n$ 의 도구다.
 	- **문제 11**: 최적 직선이 평균점 $(\hat{t}, \hat{b})$ 을 지남을 확인하고 이유를 설명하라.
 		- 🔁 개념 상기: 정규방정식 1행의 "의미 읽기" 문제다.
 		- (a) 확인: $\hat{t} = \frac{0+1+3+4}{4} = 2$, $\hat{b} = \frac{0+8+8+20}{4} = 9$. 최적 직선 $b = 1 + 4t$ 에 $t = 2$ 대입: $1 + 8 = 9 = \hat{b}$ ✓.