4.4 [2단계] 보충: 반사 공식에서 빼는 것은 스칼라 2가 아니라 2×(u방향 성분 벡터) + 사영 1배·반사 2배 대비

Co-Authored-By: Claude Fable 5 <noreply@anthropic.com>
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Major Study/pages/4.4 정규직교기저와 그람-슈미트 과정.md

@@ -38,6 +38,13 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
 			- 📌 원문 EX3 반사 (p.254): [🔗 PDF 위치](((6a82ea1f-56a2-4be1-abac-4cb47a06c55d)))
 			- ![EX3 반사행렬: 대칭이면서 직교 (p.254)](../assets/4장_p254_EX3_반사행렬.png)
 			- **읽는 법** (4.2 언어로 읽으면 명쾌하다): $uu^{\mathrm{T}}$ 는 $u$ 방향 직선으로의 **사영행렬**이다 ($\frac{uu^{\mathrm{T}}}{u^{\mathrm{T}}u}$ 에서 분모가 1). 그러니 $Qb = b - 2(u\text{방향 성분})$: $b$ 를 거울 성분 + 수직 성분으로 쪼갠 뒤, **수직 성분만 부호를 뒤집는다**. 거울 위 성분은 그대로.
+				- ⚠️ 빼는 대상 주의: "2를 뺀다"가 아니라 "**2 ×** ($u$**방향 성분 벡터**)를 뺀다". $u$방향 성분 $= (u^{\mathrm{T}}b)u$ 는 숫자($u^{\mathrm{T}}b$) 곱하기 벡터($u$), 즉 **벡터**다. 전체 연산은 벡터 − 벡터. ($2uu^{\mathrm{T}}b = 2u(u^{\mathrm{T}}b)$, 결합법칙으로 괄호만 옮긴 것.)
+				- 🔢 확인: $u = (0, 1)$, $b = (1, 2)$ 이면 $u$방향 성분 $= (u^{\mathrm{T}}b)u = 2 \cdot (0,1) = (0, 2)$ (벡터!).
+					- $Qb = (1,2) - 2(0,2) = (1, -2)$: $x$성분 그대로, $y$성분만 반전 (거울 = $x$축) ✓.
+					- "모든 요소에서 2 빼기"였다면 $(-1, 0)$ 이 나왔을 것. 벡터 − 스칼라는 정의조차 안 되는 연산이다.
+				- 💡 왜 하필 2배인가: $u$성분을 **한 번** 빼면 거울 위에 떨어진다 (그건 사영 $I - uu^{\mathrm{T}}$). **한 번 더** 빼야 거울 반대편 같은 거리, 즉 거울상이다. "제거(1배) + 반대편으로(1배) = 2배".
+					- $$\text{사영: } b - 1 \cdot (u\text{성분}) \qquad \text{반사: } b - 2 \cdot (u\text{성분})$$
+					- 사영과 반사는 "몇 배를 빼느냐"만 다른 형제다.
 			- 🔢 숫자로: $u = (-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ (거울은 $u$ 에 수직인 직선 $y = x$).
 				- $$Q = I - 2\begin{bmatrix} 0.5 & -0.5 \\ -0.5 & 0.5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0&1 \\ 1&0 \end{bmatrix}$$
 				- $(x, y) \to (y, x)$: 정확히 $y = x$ 거울 대칭이다! $(3, 3)$ 은 거울 위에 있어서 안 움직인다.