1·2·3장에 「이 단원 핵심문제」 섹션 추가: 장별 정예 5문제 + 해설 블록 점프 링크
- 각 장 페이지 맨 아래에 복습용 핵심문제 목록 (문제 번호 + 블록 링크) - 선정: 1장(1.1-10, 1.2-25, 1.3-1, 1.4-5, 1.4-12) / 2장(2.1-11, 2.2-34, 2.3-7, 2.4-19, 2.5-18) / 3장(3.2-13, 3.3-1, 3.3-31, 3.4-2, 3.5-24) - 링크 대상 문제 블록 15개에 새 id:: 부여 (카드 문법 아님, Anki 싱크 영향 없음, 전체 id 중복 검사 통과) Co-Authored-By: Claude Fable 5 <noreply@anthropic.com> Claude-Session: https://claude.ai/code/session_01Ufr6wUhJAzBaqcaBiRJ1xk
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605c88b9cf
@ -68,6 +68,7 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- 첫 성분에서 $c = 3$, 둘째 성분에서 $-2 \cdot 3 + d = 3$ 이므로 $d = 9$. 검산: 셋째 성분 $3 - 9 = -6$ ✓.
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- $(3,3,6)$ 은 성분 합이 $12 \neq 0$ 이므로 어떤 선형결합으로도 만들 수 없다.
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- **문제 10** (만만치 않은 문제). $u = (1,1,0)$, $v = (0,1,1)$, $w = (a,b,c)$ 가 선형독립인지 어떻게 판정하는가?
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id:: 22f2a645-39f7-4643-9513-dbf2236a5c7b
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- $w = x_1 u + x_2 v$ 가 풀리는지 확인한다. 첫 성분에서 $x_1 = a$, 셋째 성분에서 $x_2 = c$ 가 강제된다.
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- 남은 둘째 성분 조건: $a + c = b$. → $b = a+c$ 이면 **선형종속**, $b \neq a+c$ 이면 **선형독립**.
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- 💡 "앞 벡터들이 강제하는 계수를 다 쓰고, 남는 방정식이 성립하는지 본다". 이후 소거법의 축소판.
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@ -148,6 +149,7 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- 검산: $w - 3v = (-2, 2)$, $(1,1) \cdot (-2,2) = 0$ ✓.
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- 💡 "$cv$ 를 빼서 $v$ 에 수직인 성분만 남긴다". 수직인 벡터를 구성하는 핵심 열쇠 (솔루션 표현).
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- **문제 25** (꼭 풀어볼 만한 문제). $\|v\| = 5$, $\|w\| = 3$ 일 때 $\|v - w\|$ 와 $v \cdot w$ 의 가능한 최소·최대는?
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id:: c3878729-73dc-4221-8e22-2517c1885831
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- 삼각부등식에서 $\|v - w\|$ 는 최소 $5 - 3 = 2$, 최대 $5 + 3 = 8$.
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- 슈바르츠 부등식에서 $|v \cdot w| \le 5 \cdot 3 = 15$, 즉 $-15 \le v \cdot w \le 15$.
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- 💡 극값은 모두 두 벡터가 **같은 직선 위**일 때 (평행 또는 반평행) 달성된다.
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@ -201,6 +203,7 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- 모든 행이 한 행의 상수배 (행공간도 직선). 랭크 1: 행 랭크 = 열 랭크 = 1.
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- ### ✏️ 연습문제 풀이 (솔루션 참고)
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- **문제 1**. 다음 행렬들의 열공간(점, 직선, 평면, 전체 공간)을 설명하라.
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id:: 0d5a6d65-93f2-48fa-a0d0-a2893217c761
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- $A_1 = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 1 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}$ : 두 열이 선형독립 (2열이 1열의 배수가 아님, 셋째 성분 비율이 다름) → $\mathbb{R}^3$ 안의 **평면**.
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- $A_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ : 삼각행렬, 주대각선에 0 없음 → 세 열 독립 → $\mathbb{R}^3$ **전체**.
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- $A_3 = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 2 & 10 \\ 1 & 5 \end{bmatrix}$ : 2열 = 5 × 1열 → 독립인 열 1개 → 원점을 지나는 **직선**.
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@ -274,9 +277,11 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- 독립인 열은 1열 하나뿐: $C = [a]$, $R = [1 \ 1 \ 1]$.
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- 검산: $CR = [a \ a \ a]$ ✓. 랭크 1 분해의 가장 단순한 예.
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- **문제 5**. 7개의 열과 4개의 행을 가진 행렬 $A$ 가 5개의 선형독립인 열을 가질 수 없는 이유는?
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id:: 838a6fb2-20c6-4d4a-8b05-211cd739cd3f
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- $A$ 의 열들은 4차원 공간 $\mathbb{R}^4$ 의 벡터인데, $\mathbb{R}^4$ 에는 선형독립인 벡터가 **최대 4개**뿐이다.
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- 💡 따라서 항상 랭크 $r \le m$ 이고 $r \le n$, 꽤 유용한 일반 사실 (엄밀한 증명은 3.2절 예고).
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- **문제 12**. 다음을 $A = CR$ 로 분해하라 ($C$ 는 $m \times r$, $R$ 은 $r \times n$).
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id:: 3e63cc88-409e-400f-8873-3018e80dd0ca
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- $A_1 = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$, 3열 = 1열 + 2열.
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- $A_2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 3 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$, 영벡터인 1열은 제외, 4열 = −(2열) + 2(3열).
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- $A_3 = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 6 & 3 & 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0.5 & 1.5 \end{bmatrix}$, 랭크 1 (모든 열이 1열의 배수).
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@ -296,4 +301,11 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- $m > n$ (방정식 > 미지수): 아마도 해가 없을 것
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- ⚠️ 그러나 반드시 성립하지는 않는다. 어떤 열(또는 행)은 이전 것들의 선형결합일 수 있다. **랭크** $r$ **이 방정식 문제의 실제 크기**를 알려준다.
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- 아름다운 공식: $A = CR = (m \times r)(r \times n)$. $C$ 에 그대로 들어간 $A$ 의 열들은 $R$ 내부의 항등행렬 $I$ 와 곱해진다.
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- 💡 이 책의 일관된 관점: $Ax$, $AB$, $CR$ 을 설명할 때 **열들의 선형결합**을 이용한다. 행들의 내적이 아니라.
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- 💡 이 책의 일관된 관점: $Ax$, $AB$, $CR$ 을 설명할 때 **열들의 선형결합**을 이용한다. 행들의 내적이 아니라.
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- ## 이 단원 핵심문제
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- 이 장을 다시 공부할 때 아래 문제들을 먼저 풀어보면 이해가 살아있는지 확인할 수 있다 (클릭하면 해설로 이동).
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- [1.1 문제 10](((22f2a645-39f7-4643-9513-dbf2236a5c7b)))
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- [1.2 문제 25](((c3878729-73dc-4221-8e22-2517c1885831)))
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- [1.3 문제 1](((0d5a6d65-93f2-48fa-a0d0-a2893217c761)))
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- [1.4 문제 5](((838a6fb2-20c6-4d4a-8b05-211cd739cd3f)))
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- [1.4 문제 12](((3e63cc88-409e-400f-8873-3018e80dd0ca)))
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@ -105,6 +105,7 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- $a = 0$ 이면 **일시적으로 불가능**: 첫 피벗 위치가 0이지만 행 교환으로 해결된다. 교환 후 $4x + 6y = 6$, $3y = -3$ → $y = -1$, $x = 3$.
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- 💡 본문의 "일시적 실패 vs 완전한 실패" 구분을 수치로 체험하는 문제.
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- **문제 11** (책 추천: 꼭 풀어볼 만한 문제): 선형 연립방정식은 정확히 2개의 해를 가질 수 없다.
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id:: 3805a953-2926-4111-a568-9a8f087000f8
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- (a) 두 해 $(x,y,z)$, $(X,Y,Z)$ 가 있다면 또 다른 해는? #card
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id:: 6a661c6d-4d6a-4f35-a298-828e41a1ea24
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- 두 해의 평균 $\frac{1}{2}(x+X, \ y+Y, \ z+Z)$ 도 해다 (실제로는 두 해를 잇는 직선 위의 모든 점이 해).
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@ -106,6 +106,7 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- 두 번째: $\begin{bmatrix} 1&4&1&0 \\ 3&9&0&1 \end{bmatrix} \to \cdots \to \begin{bmatrix} 1&0&-3&4/3 \\ 0&1&1&-1/3 \end{bmatrix}$.
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- 💡 2.3절 가우스-조르단 소거법의 예습. 검산: $ad-bc$ 공식과 비교해볼 것.
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- **문제 34** (책 표시: 꼭 풀어볼 만한 문제): $A = \begin{bmatrix} a&b&b \\ a&a&b \\ a&a&a \end{bmatrix}$ 가 가역일 조건을 증명하고, $C = \begin{bmatrix} 2&c&c \\ c&c&c \\ 8&7&c \end{bmatrix}$ 가 비가역이 되는 $c$ 3개를 찾아라.
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id:: 0305bbfe-0c43-4530-b167-03ae1a4e41a1
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- $A$ 의 소거: 피벗이 $a$, $a-b$, $a-b$ 로 나온다 → 가역 조건은 $a \neq 0$ 이고 $a \neq b$.
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- $$A^{-1} = \frac{1}{a(a-b)}\begin{bmatrix} a & 0 & -b \\ -a & a & 0 \\ 0 & -a & a \end{bmatrix}$$
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- $C$: $c = 0$ (열들이 종속), $c = 7$ (2행과 3행 관련 종속), $c = 2$ (1행과 2행 종속) 에서 비가역.
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@ -103,6 +103,7 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- $L$ 을 $Ux_1 = (5,2)$ 에 곱하면 원래 방정식 $Ax = (5,7)$ 을 되찾는다. 문자로: $Ux = c$ 에 $L$ 을 곱하면 $Ax = b$.
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- 💡 "$L$ 은 소거를 되돌리는 행렬"이라는 $A = LU$ 의 의미를 2×2 로 확인하는 문제.
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- **문제 7** (책 표시: 꼭 풀어볼 만한 문제): 대칭행렬 $A = \begin{bmatrix} a&a&a&a \\ a&b&b&b \\ a&b&c&c \\ a&b&c&d \end{bmatrix}$ 의 $L, U$ 와 피벗 4개가 존재할 조건.
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id:: 1172dd29-17a9-405d-9196-7965f6e96cf9
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- 소거하면 모든 승수가 1: $L = \begin{bmatrix} 1&&& \\ 1&1&& \\ 1&1&1& \\ 1&1&1&1 \end{bmatrix}$, $U = \begin{bmatrix} a&a&a&a \\ &b-a&b-a&b-a \\ &&c-b&c-b \\ &&&d-c \end{bmatrix}$.
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- 피벗은 $a, \ b-a, \ c-b, \ d-c$ → 4개의 조건: $a \neq 0$, $b \neq a$, $c \neq b$, $d \neq c$.
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- 💡 피벗이 "연속된 값의 차"로 나오는 아름다운 패턴. 대칭행렬의 소거가 얼마나 규칙적인지 보여준다.
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@ -126,6 +126,7 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- (c) $L = \begin{bmatrix} 1&& \\ -\frac{1}{2}&1& \\ 0&-\frac{2}{3}&1 \end{bmatrix}$, $D = \begin{bmatrix} 2&& \\ &\frac{3}{2}& \\ &&\frac{4}{3} \end{bmatrix}$, 이 행렬은 [[2.5 미분과 유한차분행렬]]의 $K_3$! 피벗 $2, \frac{3}{2}, \frac{4}{3}$ 이 모두 양수다.
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- 💡 (c)의 피벗 패턴 $\frac{k+1}{k}$ 은 $K_n$ 의 유명한 성질, 2.5절의 "K는 양의 정부호" 와 연결.
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- **문제 19**: 다음 $A$ 의 $PA = LU$ 분해를 구하라: (a) $A = \begin{bmatrix} 0&1&1 \\ 1&0&1 \\ 2&3&4 \end{bmatrix}$ (b) $A = \begin{bmatrix} 1&2&0 \\ 2&4&1 \\ 1&1&1 \end{bmatrix}$
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id:: 10338c61-8980-4ccf-91ee-adad01aef26a
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- (a) 첫 피벗 자리가 0 → 1행↔2행 교환: $P = \begin{bmatrix} 0&1&0 \\ 1&0&0 \\ 0&0&1 \end{bmatrix}$. 그러면 $PA = \begin{bmatrix} 1&0&1 \\ 0&1&1 \\ 2&3&4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&& \\ 0&1& \\ 2&3&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&0&1 \\ 0&1&1 \\ 0&0&-1 \end{bmatrix}$.
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- (b) 소거 중 두 번째 피벗 자리가 0이 됨 → 2행↔3행 교환: $P = \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 0&0&1 \\ 0&1&0 \end{bmatrix}$, $PA = \begin{bmatrix} 1&2&0 \\ 1&1&1 \\ 2&4&1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&& \\ 1&1& \\ 2&0&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&2&0 \\ 0&-1&1 \\ 0&0&1 \end{bmatrix}$.
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- 💡 (a)는 "시작부터 교환 필요", (b)는 "진행 중에 교환 필요". 두 상황 모두 $P$ 하나로 미리 처리된다는 것이 $PA = LU$ 의 요점.
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@ -136,6 +136,7 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- $C_4$ 는 비가역: 모든 행의 합이 0 → $x = (1,1,1,1)$ 이 $C_4 x = 0$. ($D_4$ 자체도 행 합이 0이라 비가역.)
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- 💡 $K, T, B$ 에 이어 네 번째 경계 조건, **주기 경계** (원형으로 연결). 이것도 $B$ 처럼 "묶인 곳이 없어서" 특이행렬이 된다.
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- **문제 18**: 1차 중심차분행렬은 가역이 아닐 수 있다. $\Delta_3 = \begin{bmatrix} 0&1&0 \\ -1&0&1 \\ 0&-1&0 \end{bmatrix}$ 과 $\Delta_4$ 로 확인하라.
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id:: dee38a24-32a2-40a3-9400-ec3ad1334137
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- $\Delta_3$: 3열 $= -($ 1열 $)$, 열이 선형종속이라 **비가역**. ($\Delta_3 x = 0$ 의 해: $x = (1, 0, 1)$.)
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- $\Delta_4$ (4×4 중심차분행렬)는 4개의 열이 선형독립, **가역**.
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- 💡 중심차분행렬은 **홀수 크기면 특이, 짝수 크기면 가역**: 크기의 홀짝이 가역성을 가르는 흥미로운 예. (또한 $\Delta^{\mathrm{T}} = -\Delta$ 인 **반대칭행렬**: 미분 $\frac{d}{dx}$ 의 전치가 $-\frac{d}{dx}$ 라는 p.111 EX2의 이산 버전.)
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@ -32,3 +32,10 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- 유한차분행렬 계열: 중심·전진·후진차분, 2차차분행렬 $K, T, B$, 고정 끝·자유 끝
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- $n \times n$ 가역행렬은 열공간 $\mathbb{R}^n$ 과 행공간 $\mathbb{R}^n$ 을 갖는다. 열도 행도 선형독립. 3장에서는 (정사각·가역에 국한하지 않고) **모든 행렬**을 허용하며, 이에 따라 새로운 아이디어가 필요해진다.
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- 💡 **2장 전체를 꿰는 한 줄 요약**: "소거법은 행렬곱이다". 소거의 매 단계를 $E_{ij}$ 로, 행 교환을 $P$ 로, 전체 과정을 $A = LU$ (또는 $PA = LU$)로 기록할 수 있고, 이 분해가 $Ax = b$ 풀이의 실체다.
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- ## 이 단원 핵심문제
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- 이 장을 다시 공부할 때 아래 문제들을 먼저 풀어보면 이해가 살아있는지 확인할 수 있다 (클릭하면 해설로 이동).
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- [2.1 문제 11](((3805a953-2926-4111-a568-9a8f087000f8)))
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- [2.2 문제 34](((0305bbfe-0c43-4530-b167-03ae1a4e41a1)))
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- [2.3 문제 7](((1172dd29-17a9-405d-9196-7965f6e96cf9)))
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- [2.4 문제 19](((10338c61-8980-4ccf-91ee-adad01aef26a)))
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- [2.5 문제 18](((dee38a24-32a2-40a3-9400-ec3ad1334137)))
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@ -115,6 +115,7 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- 특별해 $n - r$ 개 / 영공간 = $\{0\}$ ⟺ $r = n$ / 열공간 = $\mathbb{R}^m$ ⟺ $r = m$.
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- 💡 이 세 줄이 3.3절 "최대 열 랭크 / 최대 행 랭크" 논의의 뼈대다.
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- **문제 13** (꼭 풀어볼 만한 문제): 평면 $x - 3y - z = 12$ 는 $x - 3y - z = 0$ 과 평행하다. $(12, 0, 0)$ 이 이 평면 위에 있을 때, 평면 위의 모든 점을 다음 꼴로 나타내라: $\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \square \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} \square \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + z\begin{bmatrix} \square \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$
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id:: 2c63c86f-ad62-4902-bfac-bb22a8e4813a
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- $$\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + z\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$$
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- 검산: $x = 12 + 3y + z$ → $x - 3y - z = 12$ ✓.
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- 💡 구조를 보라: (평면 위 한 점) + (평행한 원점 평면의 모든 점): 다음 절 완전해 $x = x_p + x_n$ 의 **예고편**이다. $y, z$ 가 자유변수, $(3,1,0)$ 과 $(1,0,1)$ 이 특별해 역할.
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@ -97,6 +97,7 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- $r<m, r<n$ : 0 또는 ∞.
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- ### ✏️ 연습문제 풀이 (솔루션 참고)
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- **문제 1** (꼭 풀어볼 만한 문제): [확인문제 3.3A]의 (a)~(f) 단계로 $A = \begin{bmatrix} 2&4&6&4 \\ 2&5&7&6 \\ 2&3&5&2 \end{bmatrix}$, $b = (4, 3, 5)$ 의 열공간·영공간·완전해를 구하라.
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id:: bcb598bf-ac83-4288-883f-93d727665399
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- 📌 문제 지문 (p.168): [🔗 PDF 위치](((6a6e8c06-7997-4313-a309-d5b6e1814f20)))
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- 소거: 2행−1행, 3행−1행 → $\begin{bmatrix} 2&4&6&4 \\ 0&1&1&2 \\ 0&-1&-1&-2 \end{bmatrix}$ → 3행+2행 → 영행. 일반 $b$ 로 하면 마지막 행은 $b_3 + b_2 - 2b_1 = 0$, **해의 존재 조건**. ($b=(4,3,5)$: $5+3-8=0$ ✓)
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@ -119,6 +120,7 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- (a) $A = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ ($r = n = 1 < m$) (b) $A = \begin{bmatrix} 1&1 \end{bmatrix}$ ($r = m = 1 < n$) (c) $A = \begin{bmatrix} 0&0 \\ 0&0 \end{bmatrix}$ 등 $r < m, r < n$ (d) $A = I$ 등 가역 정사각.
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- 💡 [5단계] 표의 4가지 유형에 실제 행렬을 하나씩 대응시키는 문제, 표를 외우지 말고 이 예 4개로 기억하는 게 낫다.
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- **문제 31** (꼭 풀어볼 만한 문제): $3 \times 4$ 행렬 $A$ 에 대해 $Ax = 0$ 의 유일한 특별해가 $s = (2, 3, 1, 0)$ 이라 하자. (a) $A$ 의 랭크와 $Ax=0$ 의 완전해 (b) $R_0$ (c) $Ax = b$ 가 모든 $b$ 에 대해 풀린다는 것을 어떻게 아는가?
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id:: 028a6ab3-d4d1-4786-9833-b04d7122167b
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- (a) 특별해 1개 = 자유변수 1개 → $r = n - 1 = 3$. $Ax=0$ 의 완전해는 $x = cs$ (직선).
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- (b) $R_0$ 는 세 단계로 복원한다. 핵심: 특별해 $s$ 하나에 $R_0$ 를 결정할 정보가 전부 들어 있다.
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- **1단계, 자유변수 찾기**: 특별해는 "자유변수 하나를 1로 놓고" 만든 해이므로, $s = (2, 3, 1, 0)$ 에서 $1$ 이 있는 자리 $x_3$ 이 자유변수. 나머지 $x_1, x_2, x_4$ 는 피벗변수.
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@ -112,6 +112,7 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- 구조는 특수해 + 영공간: $y = x^2 + cx + d$, $Ax=b$ 완전해와 동일.
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- ### ✏️ 연습문제 풀이 (솔루션 참고)
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- **문제 2** (꼭 풀어볼 만한 문제): 6개의 벡터 $v_1 = (1,-1,0,0)$, $v_2 = (1,0,-1,0)$, $v_3 = (1,0,0,-1)$, $v_4 = (0,1,-1,0)$, $v_5 = (0,1,0,-1)$, $v_6 = (0,0,1,-1)$ 중 선형독립인 벡터를 최대한 많이 찾아라.
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id:: 5d15f039-e656-4098-acd4-52d316b7fec4
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- 답: **최대 3개** (예: $v_1, v_2, v_3$).
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- 왜 4개는 불가능한가: 여섯 벡터 모두 **성분의 합이 0**: 즉 전부 초평면 $(1,1,1,1) \cdot v = 0$ (3차원 부분공간) 위에 있다. 3차원 공간에서 4개는 무조건 종속.
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- $v_1, v_2, v_3$ 이 독립인 이유: $-1$ 들이 서로 다른 자리(2, 3, 4번째)에 있어 결합으로 소거 불가. (종속 관계 예: $v_2 - v_1 = v_4$.)
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@ -106,6 +106,7 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- (b) 좌영공간의 차원 $= m - r > 0$ → 0 아닌 벡터가 반드시 존재.
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- 💡 "해가 없다"는 정보 하나가 좌영공간의 존재를 강제한다. 4공간이 서로 연동되어 있다는 감각.
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- **문제 24** (중요한 문제): 벡터 $d$ 가 4공간 중 어디에 있으면 $A^{\mathrm{T}}y = d$ 의 해가 존재하는가? 어떤 공간이 영벡터만 포함하면 그 해가 유일한가?
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id:: 24962f36-c56d-4fd6-bba2-6e7226e647f9
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- 존재: $d \in \mathbf{C}(A^{\mathrm{T}})$, 즉 $d$ 가 $A$ **의 행공간**에 있을 때. ($A^{\mathrm{T}}$ 의 열공간 = $A$ 의 행공간이므로 3.1의 "해 존재 ⟺ 우변이 열공간에" 를 $A^{\mathrm{T}}$ 에 적용한 것.)
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- 유일: $\mathbf{N}(A^{\mathrm{T}})$ (좌영공간) $= \{0\}$ 일 때.
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- 💡 모든 해 존재/유일성 문제는 "열공간에 있나 / 영공간이 0뿐인가"로 환원된다. 대상이 $A^{\mathrm{T}}$ 면 행공간/좌영공간으로 이름만 바뀔 뿐.
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@ -41,3 +41,10 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- 소거 경로가 달라도 $R$ 은 항상 같다. $R$ 은 온전히 $A$ 가 결정한다. 그리고 랭크가 같은 구조를 공유한다: $C, B$ 를 고정하고 가역인 혼합행렬 $M$ 을 끼운 **모든 행렬** $CMB$ **는 동일한 4가지 기본 부분공간을 갖는다.**
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- 분해로 요약하면: $A = CR = C[\,I\ \ F\,]P = [\,C\ \ CF\,]P$, "$A$ = (독립인 열들) 뒤에 (종속인 열들 $= CF$)를 붙이고 열 순서를 $P$ 로 되돌린 것". 이 책이 소거의 결과를 이 행렬 형식으로 표현한 최초의 책이라고 한다.
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- 💡 **3장 전체를 꿰는 한 줄**: 랭크 $r$ 하나가 모든 것을 결정한다. 독립인 열·행의 개수($r$), 자유변수($n-r$), 해의 존재($r = m$?)와 유일성($r = n$?), 네 공간의 차원까지. 소거는 그 $r$ 을 드러내는 도구다.
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- ## 이 단원 핵심문제
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- 이 장을 다시 공부할 때 아래 문제들을 먼저 풀어보면 이해가 살아있는지 확인할 수 있다 (클릭하면 해설로 이동).
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- [3.2 문제 13](((2c63c86f-ad62-4902-bfac-bb22a8e4813a)))
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- [3.3 문제 1](((bcb598bf-ac83-4288-883f-93d727665399)))
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- [3.3 문제 31](((028a6ab3-d4d1-4786-9833-b04d7122167b)))
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- [3.4 문제 2](((5d15f039-e656-4098-acd4-52d316b7fec4)))
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- [3.5 문제 24](((24962f36-c56d-4fd6-bba2-6e7226e647f9)))
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