6.1 고윳값 소개 정리: 7단계 구조(본질·기하 중심), 자작 SVG 4장·PDF 추출 14장, 하이라이트 49건 연결·OCR 교정 36건, 확인문제 6.1A~C·연습문제 17제 해설, 스스로 점검 8문 카드화(사용자), 6장 서론 정리, CLAUDE.md 진행 상황 갱신
Co-Authored-By: Claude Fable 5.1 <noreply@anthropic.com> Claude-Session: https://claude.ai/code/session_018JYaHeD41WPAk5P5wBojQe
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- **해답집**: `Major Study/assets/solution_1784335983942_0.pdf` — 스트랭 6판 공식 영문 솔루션 (전 챕터). 문제 번호는 한국어판과 동일하다. 각 챕터의 "Problem Set x.y" 헤더로 위치를 찾는다 (1장 해답: PDF 2~18쪽).
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- **PDF 읽는 법**: 단원 PDF는 스캔+OCR본이라 텍스트 레이어의 수식이 깨져 있다. 정리할 때는 **Read 도구로 페이지를 시각적으로 읽는다** (pdftoppm/poppler 설치됨). 이미지 추출·edn 좌표 파싱은 PyMuPDF(`import fitz`, 설치됨)를 쓴다.
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- **쪽번호 오프셋**: 1장 PDF는 책 쪽번호 = PDF 쪽번호 + 18. 2장 PDF는 책 쪽번호 = PDF 쪽번호 + 70. 단원 PDF마다 오프셋이 다를 수 있으니 첫 몇 쪽으로 확인할 것.
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- **진행 상황 (2026-09-03 기준)**: **1~5장 완전 종료** (정리·연습문제·카드화·「이 단원 핵심문제」까지. 5장 굿노트 삭제 완료). 그래프 3분할·Anki 프로파일 3분할·모델명 이전·AnkiWeb 계정 분리·모바일 Working Copy 전환 모두 완결. **현재: 6장 고윳값과 고유벡터 세팅 완료, 사용자가 6.1 공부 시작 예정 (소단원별 사이클 계속)**. 6장 PDF: `Major Study/assets/6장_고윳값과_고유벡터.pdf` (Claude가 `공부자료/` 원본을 복사해 세팅, 2026-09-03 검증 완료: 총 92쪽, 텍스트 레이어 정상(스캔 OCR이라 수식 깨짐은 여느 장과 동일), PDF 1쪽 = 장 표지). **쪽번호 오프셋: 책 쪽 = PDF 쪽 + 302** (PDF 2쪽 = 책 304쪽, 책 303~394). 절 구성: 6.1 고윳값 소개(Ax = λx), 6.2 행렬의 대각화, 6.3 대칭인 양의 정부호 행렬, 6.4 복소수·복소벡터·복소행렬, 6.5 선형 미분방정식 풀기, 그리고 **이 장은 책 자체에 「6장에 대한 고찰: 미분방정식」이 있다** (4장처럼 책 고찰 기반으로 마지막 절과 함께 정리). 해답집 위치: Problem Set 6.1 = 해답 PDF 89쪽, 6.2 = 95쪽, 6.3 = 101쪽, 6.4 = 107쪽, 6.5 = 109쪽. 미결: 다음 Anki 싱크 예상 create +3 (5.3 스스로 점검 카드 3장, 사용자가 아직 싱크 안 함). ⚠️ 해답집 불일치 이력 (검산 안 맞으면 한국어판 행렬 원문부터 재확인): 5.1 문제 6, 5.2 문제 2 detC, 5.2의 13·14·15·17·18, 5.3의 10~15 (영문판에 없거나 다른 문제) → 이런 번호들은 직접 풀이·검산. 2장에서 확립된 방식(🧩 행렬 형태 명시·숫자 예제 먼저·단계 지도·흔한 오해 교정·자작 SVG) 계속 적용. 이해 안 되는 부분 요청 시 해당 블록만 보강하는 패턴 유지 (질문에 "수정하지 말고 답변만"이 붙으면 파일을 건드리지 않는다).
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- **진행 상황 (2026-09-03 기준)**: **1~5장 완전 종료** (정리·연습문제·카드화·「이 단원 핵심문제」까지. 5장 굿노트 삭제 완료). 그래프 3분할·Anki 프로파일 3분할·모델명 이전·AnkiWeb 계정 분리·모바일 Working Copy 전환 모두 완결. **현재: 6.1 정리·2차 하이라이트 반영·카드화(스스로 점검 8장, Anki 싱크 완료)까지 끝남 (2026-09-05, 페이지 `6.1 고윳값 소개 (Ax = λx)`. 책 절 제목의 콜론은 exFAT 파일명 제약으로 괄호로 대체). 사용자가 6.1 연습문제를 직접 풀어보는 중("이해가 확실치 않아 문제로 익히겠다"). 다음은 6.2 사이클.** 6.1 굿노트 `bak/goodnotes/6.1필기.pdf`는 6장 종료 시까지 유지. 6.1 자작 SVG 4장(`6장_6.1_*.svg/png`)·PDF 추출 이미지 7장 assets에 추가됨. 사용자 요청사항이었던 "고윳값·고유벡터의 본질·기하학적 의미"는 [1단계]·[5단계] 💡 블록과 SVG로 반영. 6장 PDF: `Major Study/assets/6장_고윳값과_고유벡터.pdf` (Claude가 `공부자료/` 원본을 복사해 세팅, 2026-09-03 검증 완료: 총 92쪽, 텍스트 레이어 정상(스캔 OCR이라 수식 깨짐은 여느 장과 동일), PDF 1쪽 = 장 표지). **쪽번호 오프셋: 책 쪽 = PDF 쪽 + 302** (PDF 2쪽 = 책 304쪽, 책 303~394). 절 구성: 6.1 고윳값 소개(Ax = λx), 6.2 행렬의 대각화, 6.3 대칭인 양의 정부호 행렬, 6.4 복소수·복소벡터·복소행렬, 6.5 선형 미분방정식 풀기, 그리고 **이 장은 책 자체에 「6장에 대한 고찰: 미분방정식」이 있다** (4장처럼 책 고찰 기반으로 마지막 절과 함께 정리). 해답집 위치: Problem Set 6.1 = 해답 PDF 89쪽, 6.2 = 95쪽, 6.3 = 101쪽, 6.4 = 107쪽, 6.5 = 109쪽. 미결: 다음 Anki 싱크 예상 create +3 (5.3 스스로 점검 카드 3장, 사용자가 아직 싱크 안 함). ⚠️ 해답집 불일치 이력 (검산 안 맞으면 한국어판 행렬 원문부터 재확인): 5.1 문제 6, 5.2 문제 2 detC, 5.2의 13·14·15·17·18, 5.3의 10~15 (영문판에 없거나 다른 문제) → 이런 번호들은 직접 풀이·검산. 2장에서 확립된 방식(🧩 행렬 형태 명시·숫자 예제 먼저·단계 지도·흔한 오해 교정·자작 SVG) 계속 적용. 이해 안 되는 부분 요청 시 해당 블록만 보강하는 패턴 유지 (질문에 "수정하지 말고 답변만"이 붙으면 파일을 건드리지 않는다).
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- ## 단원 PDF 내보내기 (아이디어, 요청 시 구현)
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- 사용자가 "n단원 pdf로 만들어줘"라고 하면, 그 단원 페이지 + 거기 링크된 소단원 페이지들을 묶어 Logseq에서 보이는 느낌의 PDF 한 부로 만든다 (2026-08-20 가능성만 확인해 둔 상태, **아직 미구현**. 사용자가 필요할 때 요청하기로 함).
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- 파이프라인: ① 단원 페이지에서 `[[x.y ...]]` 링크를 수집해 페이지 목록 구성 → ② Logseq 문법 전처리: 속성 줄(`id::`·`deck::`·`collapsed::` 등) 숨김, `{{c1 ...}}` cloze는 괄호 벗겨 일반 텍스트화, `((uuid))`는 hls 페이지에서 원문 텍스트를 찾아 "📌 ... (p.n)"으로 치환, `../assets/` 이미지 경로 절대경로화 → ③ 불릿 계층 CSS(흰 배경, Logseq풍) + KaTeX 수식 렌더링 HTML 생성 → ④ Chrome 헤드리스 `--headless --print-to-pdf`로 변환.
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Major Study/assets/6장_6.1_det_AminusLambdaI_기하.png
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Major Study/assets/6장_6.1_det_AminusLambdaI_기하.png
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<rect width="760" height="360" fill="#ffffff"/>
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<defs>
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<marker id="mOrange" markerWidth="11" markerHeight="11" refX="10" refY="5.5" orient="auto" markerUnits="userSpaceOnUse"><path d="M0,0 L11,5.5 L0,11 z" fill="#ea580c"/></marker>
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</defs>
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<text x="20" y="28" font-size="17" font-weight="bold" fill="#111827">A = [1 2 ; 2 4] 일 때 det(A − λI) = 0 의 뜻: A − λI 가 평면을 납작하게 누르는 λ</text>
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<!-- Panel 1: λ=3 (not eigenvalue), origin (120,230), scale 22 -->
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<text x="120" y="62" font-size="15" font-weight="bold" fill="#111827" text-anchor="middle">λ = 3 (고윳값 아님)</text>
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<text x="120" y="82" font-size="13" fill="#374151" text-anchor="middle">A − 3I = [−2 2 ; 2 1]</text>
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<line x1="30" y1="230" x2="210" y2="230" stroke="#e5e7eb"/>
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<line x1="120" y1="120" x2="120" y2="300" stroke="#e5e7eb"/>
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<polygon points="120,230 142,230 142,208 120,208" fill="none" stroke="#9ca3af" stroke-width="2"/>
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<polygon points="120,230 76,186 120,164 164,208" fill="#1d4ed8" fill-opacity="0.18" stroke="#1d4ed8" stroke-width="2"/>
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<text x="146" y="222" font-size="12" fill="#6b7280">넓이 1</text>
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<text x="96" y="150" font-size="12" fill="#1d4ed8">넓이 6</text>
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<text x="120" y="325" font-size="13" fill="#111827" text-anchor="middle">정사각형이 평행사변형으로</text>
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<text x="120" y="343" font-size="13" fill="#111827" text-anchor="middle">det(A − 3I) = 6 ≠ 0</text>
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<!-- Panel 2: λ=5 (eigenvalue), origin (380,230) -->
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<text x="380" y="62" font-size="15" font-weight="bold" fill="#dc2626" text-anchor="middle">λ = 5 (고윳값)</text>
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<text x="380" y="82" font-size="13" fill="#374151" text-anchor="middle">A − 5I = [−4 2 ; 2 −1]</text>
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<line x1="270" y1="230" x2="470" y2="230" stroke="#e5e7eb"/>
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<line x1="380" y1="120" x2="380" y2="300" stroke="#e5e7eb"/>
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<polygon points="380,230 402,230 402,208 380,208" fill="none" stroke="#9ca3af" stroke-width="2"/>
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<line x1="292" y1="186" x2="424" y2="252" stroke="#dc2626" stroke-width="5" stroke-linecap="round"/>
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<line x1="380" y1="230" x2="416" y2="158" stroke="#ea580c" stroke-width="2.5" stroke-dasharray="6,4" marker-end="url(#mOrange)"/>
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<text x="420" y="150" font-size="12" fill="#ea580c">고유벡터 (1, 2)</text>
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<text x="404" y="220" font-size="12" fill="#6b7280">넓이 1</text>
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<text x="300" y="178" font-size="12" fill="#dc2626">넓이 0 (선분)</text>
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<text x="380" y="325" font-size="13" fill="#111827" text-anchor="middle">정사각형이 선분으로 찌그러진다</text>
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<text x="380" y="343" font-size="13" fill="#111827" text-anchor="middle">det(A − 5I) = 0, 눌린 방향 = 고유벡터</text>
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<!-- Panel 3: λ=0 (eigenvalue), origin (620,240) -->
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<text x="620" y="62" font-size="15" font-weight="bold" fill="#dc2626" text-anchor="middle">λ = 0 (고윳값)</text>
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<text x="620" y="82" font-size="13" fill="#374151" text-anchor="middle">A − 0I = A = [1 2 ; 2 4]</text>
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<line x1="540" y1="240" x2="720" y2="240" stroke="#e5e7eb"/>
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<line x1="620" y1="100" x2="620" y2="300" stroke="#e5e7eb"/>
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<polygon points="620,240 642,240 642,218 620,218" fill="none" stroke="#9ca3af" stroke-width="2"/>
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<line x1="620" y1="240" x2="686" y2="108" stroke="#dc2626" stroke-width="5" stroke-linecap="round"/>
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<line x1="620" y1="240" x2="690" y2="275" stroke="#ea580c" stroke-width="2.5" stroke-dasharray="6,4" marker-end="url(#mOrange)"/>
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<text x="662" y="292" font-size="12" fill="#ea580c">고유벡터 (2, −1)</text>
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<text x="644" y="232" font-size="12" fill="#6b7280">넓이 1</text>
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<text x="690" y="125" font-size="12" fill="#dc2626">넓이 0</text>
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<text x="620" y="325" font-size="13" fill="#111827" text-anchor="middle">A 자체가 특이행렬</text>
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<text x="620" y="343" font-size="13" fill="#111827" text-anchor="middle">det A = 0, 눌린 방향 = 고유벡터</text>
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</svg>
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After Width: | Height: | Size: 3.9 KiB |
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Major Study/assets/6장_6.1_거듭제곱_고유방향_수렴.png
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Major Study/assets/6장_6.1_거듭제곱_고유방향_수렴.png
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<rect width="800" height="440" fill="#ffffff"/>
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<defs>
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<marker id="mBlue" markerWidth="10" markerHeight="10" refX="9" refY="5" orient="auto" markerUnits="userSpaceOnUse"><path d="M0,0 L10,5 L0,10 z" fill="#1d4ed8"/></marker>
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<marker id="mOrange" markerWidth="13" markerHeight="13" refX="12" refY="6.5" orient="auto" markerUnits="userSpaceOnUse"><path d="M0,0 L13,6.5 L0,13 z" fill="#ea580c"/></marker>
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<marker id="mGreen" markerWidth="11" markerHeight="11" refX="10" refY="5.5" orient="auto" markerUnits="userSpaceOnUse"><path d="M0,0 L11,5.5 L0,11 z" fill="#059669"/></marker>
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</defs>
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<text x="20" y="30" font-size="18" font-weight="bold" fill="#111827">A 를 거듭 곱하면: A의 1열 u₀ = (0.8, 0.2) 가 고유벡터 x₁ = (0.6, 0.4) 로 빨려 들어간다</text>
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<!-- axes: origin (90,400), scale 480 -->
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<line x1="60" y1="400" x2="520" y2="400" stroke="#d1d5db" stroke-width="1"/>
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<line x1="90" y1="60" x2="90" y2="420" stroke="#d1d5db" stroke-width="1"/>
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<text x="76" y="418" font-size="13" fill="#6b7280">O</text>
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<!-- eigen line of x1 (orange dashed) -->
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<line x1="90" y1="400" x2="462" y2="152" stroke="#ea580c" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="6,5" opacity="0.8"/>
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<!-- x2 direction line through x1 tip (green dashed) -->
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<line x1="318" y1="268" x2="498" y2="88" stroke="#059669" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="6,5" opacity="0.8"/>
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<text x="392" y="170" font-size="14" fill="#059669" text-anchor="end">x₂ 방향 (1, −1)</text>
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<!-- x1 arrow -->
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<line x1="90" y1="400" x2="378" y2="208" stroke="#ea580c" stroke-width="4" marker-end="url(#mOrange)"/>
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<circle cx="378" cy="208" r="5" fill="#ea580c"/>
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<text x="366" y="198" font-size="15" font-weight="bold" fill="#ea580c" text-anchor="end">x₁ = (0.6, 0.4) : 극한 (정상 상태)</text>
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<!-- 0.2 x2 component arrow from x1 tip to u0 -->
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<line x1="378" y1="208" x2="474" y2="304" stroke="#059669" stroke-width="2.5" marker-end="url(#mGreen)"/>
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<text x="412" y="270" font-size="14" fill="#059669" text-anchor="end">0.2·x₂ 성분</text>
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<!-- points u0..u3 -->
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<circle cx="474" cy="304" r="5" fill="#1d4ed8"/>
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<text x="470" y="330" font-size="14" fill="#1d4ed8">u₀ = A의 1열 = (0.8, 0.2)</text>
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<line x1="468" y1="298" x2="432" y2="262" stroke="#1d4ed8" stroke-width="2" marker-end="url(#mBlue)"/>
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<circle cx="426" cy="256" r="5" fill="#1d4ed8"/>
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<text x="436" y="262" font-size="14" fill="#1d4ed8">u₁ = Au₀ = (0.7, 0.3)</text>
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<line x1="420" y1="250" x2="408" y2="238" stroke="#1d4ed8" stroke-width="2" marker-end="url(#mBlue)"/>
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<circle cx="402" cy="232" r="5" fill="#1d4ed8"/>
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<text x="412" y="238" font-size="14" fill="#1d4ed8">u₂ = (0.65, 0.35)</text>
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<circle cx="390" cy="220" r="4" fill="#1d4ed8"/>
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<circle cx="384" cy="214" r="3" fill="#1d4ed8"/>
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<text x="398" y="216" font-size="14" fill="#1d4ed8">u₃, u₄, …</text>
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<!-- right text -->
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<rect x="536" y="50" width="250" height="196" rx="8" fill="#f9fafb" stroke="#e5e7eb"/>
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<text x="550" y="74" font-size="15" font-weight="bold" fill="#111827">고유벡터로 쪼개서 보면</text>
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<text x="550" y="100" font-size="14" fill="#374151">u₀ = x₁ + 0.2·x₂</text>
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<text x="550" y="122" font-size="14" fill="#374151">uₖ = Aᵏu₀ = x₁ + 0.2·(½)ᵏ·x₂</text>
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<text x="550" y="154" font-size="14" fill="#ea580c">x₁ 성분: λ₁ = 1 이라 그대로 남는다</text>
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<text x="550" y="176" font-size="14" fill="#059669">x₂ 성분: λ₂ = ½ 이라 매 단계 절반</text>
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<text x="550" y="208" font-size="14" fill="#111827">따라서 uₖ 는 x₁ 로 수렴하고</text>
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<text x="550" y="230" font-size="14" fill="#111827">A¹⁰⁰ 의 1열 = u₉₉ ≈ (0.6, 0.4)</text>
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</svg>
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<defs>
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<marker id="mGray" markerWidth="11" markerHeight="11" refX="10" refY="5.5" orient="auto" markerUnits="userSpaceOnUse"><path d="M0,0 L11,5.5 L0,11 z" fill="#9ca3af"/></marker>
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<marker id="mGreen" markerWidth="13" markerHeight="13" refX="12" refY="6.5" orient="auto" markerUnits="userSpaceOnUse"><path d="M0,0 L13,6.5 L0,13 z" fill="#059669"/></marker>
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</defs>
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||||
<text x="20" y="30" font-size="18" font-weight="bold" fill="#111827">행렬 A = [0.8 0.3 ; 0.2 0.7] 은 평면의 벡터를 어떻게 움직이는가</text>
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<!-- axes (origin 240,290; scale 200) -->
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<line x1="60" y1="290" x2="470" y2="290" stroke="#d1d5db" stroke-width="1"/>
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<line x1="240" y1="60" x2="240" y2="455" stroke="#d1d5db" stroke-width="1"/>
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<!-- eigen lines -->
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<line x1="150" y1="350" x2="396" y2="186" stroke="#ea580c" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="6,5" opacity="0.8"/>
|
||||
<line x1="150" y1="380" x2="410" y2="120" stroke="#059669" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="6,5" opacity="0.8"/>
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||||
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||||
<!-- e1 -> Ae1 -->
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<line x1="240" y1="290" x2="440" y2="290" stroke="#9ca3af" stroke-width="2.5" marker-end="url(#mGray)"/>
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||||
<text x="446" y="296" font-size="15" fill="#6b7280">e₁ = (1, 0)</text>
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||||
<line x1="240" y1="290" x2="400" y2="250" stroke="#1d4ed8" stroke-width="2.5" marker-end="url(#mBlue)"/>
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||||
<text x="404" y="268" font-size="15" fill="#1d4ed8">Ae₁ = (0.8, 0.2)</text>
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<!-- e2 -> Ae2 -->
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||||
<line x1="240" y1="290" x2="240" y2="90" stroke="#9ca3af" stroke-width="2.5" marker-end="url(#mGray)"/>
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<text x="232" y="86" font-size="15" fill="#6b7280" text-anchor="end">e₂ = (0, 1)</text>
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||||
<line x1="240" y1="290" x2="300" y2="150" stroke="#1d4ed8" stroke-width="2.5" marker-end="url(#mBlue)"/>
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||||
<text x="308" y="150" font-size="15" fill="#1d4ed8">Ae₂ = (0.3, 0.7)</text>
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<!-- x1 = Ax1 -->
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<line x1="240" y1="290" x2="360" y2="210" stroke="#ea580c" stroke-width="4" marker-end="url(#mOrange)"/>
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<text x="374" y="231" font-size="15" font-weight="bold" fill="#ea580c">Ax₁ = x₁</text>
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<!-- x2 (gray) then Ax2 (green) -->
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||||
<line x1="240" y1="290" x2="380" y2="430" stroke="#9ca3af" stroke-width="2.5" marker-end="url(#mGray)"/>
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||||
<text x="388" y="436" font-size="15" fill="#6b7280">x₂ = (1, −1) 방향</text>
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||||
<line x1="240" y1="290" x2="310" y2="360" stroke="#059669" stroke-width="4" marker-end="url(#mGreen)"/>
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||||
<text x="300" y="394" font-size="15" font-weight="bold" fill="#059669" text-anchor="end">Ax₂ = ½x₂</text>
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||||
<!-- origin dot -->
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||||
<circle cx="240" cy="290" r="3.5" fill="#111827"/>
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<text x="222" y="308" font-size="14" fill="#374151">O</text>
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||||
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<!-- legend -->
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||||
<rect x="500" y="52" width="246" height="200" rx="8" fill="#f9fafb" stroke="#e5e7eb"/>
|
||||
<text x="514" y="76" font-size="15" font-weight="bold" fill="#111827">범례</text>
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||||
<line x1="514" y1="98" x2="548" y2="98" stroke="#9ca3af" stroke-width="2.5" marker-end="url(#mGray)"/>
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||||
<text x="558" y="103" font-size="15" fill="#374151">원래 벡터 x</text>
|
||||
<line x1="514" y1="124" x2="548" y2="124" stroke="#1d4ed8" stroke-width="2.5" marker-end="url(#mBlue)"/>
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||||
<text x="558" y="129" font-size="15" fill="#374151">A를 곱한 결과 Ax</text>
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||||
<line x1="514" y1="152" x2="548" y2="152" stroke="#ea580c" stroke-width="4" marker-end="url(#mOrange)"/>
|
||||
<text x="558" y="150" font-size="15" fill="#374151">고유벡터 x₁ = (0.6, 0.4)</text>
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||||
<text x="558" y="168" font-size="14" fill="#6b7280">Ax₁ = x₁ , 고윳값 λ₁ = 1</text>
|
||||
<line x1="514" y1="196" x2="548" y2="196" stroke="#059669" stroke-width="4" marker-end="url(#mGreen)"/>
|
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<text x="558" y="194" font-size="15" fill="#374151">고유벡터 x₂ = (1, −1)</text>
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||||
<text x="558" y="212" font-size="14" fill="#6b7280">Ax₂ = ½x₂ , 고윳값 λ₂ = ½</text>
|
||||
<line x1="514" y1="236" x2="548" y2="236" stroke="#6b7280" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="6,5"/>
|
||||
<text x="558" y="241" font-size="15" fill="#374151">고유벡터가 놓인 직선</text>
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||||
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<!-- explanation -->
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||||
<text x="500" y="326" font-size="15" fill="#111827">e₁, e₂ 같은 보통 벡터는 A를 곱하면</text>
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||||
<text x="500" y="348" font-size="15" fill="#111827">방향이 틀어진다 (회색에서 파랑으로).</text>
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<text x="500" y="378" font-size="15" fill="#111827">고유벡터는 자기 직선 위에 그대로 남고</text>
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||||
<text x="500" y="400" font-size="15" fill="#111827">길이만 λ배가 된다.</text>
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||||
<text x="500" y="430" font-size="15" fill="#111827">그 직선 위에서 행렬 A는</text>
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||||
<text x="500" y="452" font-size="15" fill="#111827">그저 '숫자 λ 곱하기' 일 뿐이다.</text>
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||||
</svg>
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<defs>
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<marker id="mGray" markerWidth="11" markerHeight="11" refX="10" refY="5.5" orient="auto" markerUnits="userSpaceOnUse"><path d="M0,0 L11,5.5 L0,11 z" fill="#9ca3af"/></marker>
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|
||||
</defs>
|
||||
<text x="20" y="28" font-size="18" font-weight="bold" fill="#111827">고윳값 λ 의 크기와 부호가 말해주는 것 (x는 고유벡터, Ax = λx)</text>
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||||
|
||||
<!-- panel template: origin (cx, 185), direction d=(0.866,-0.5). x: 50 px, Ax: 50λ px. x offset +5n (below-right), Ax offset -5n (above-left), n=(0.5,0.866) -->
|
||||
<!-- Panel 1: λ=2, cx=95 -->
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||||
<text x="95" y="62" font-size="16" font-weight="bold" fill="#111827" text-anchor="middle">λ = 2</text>
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||||
<text x="95" y="82" font-size="14" fill="#374151" text-anchor="middle">2배로 늘어난다</text>
|
||||
<line x1="45" y1="214" x2="200" y2="124" stroke="#6b7280" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="5,4"/>
|
||||
<line x1="97.5" y1="189.3" x2="140.8" y2="164.3" stroke="#9ca3af" stroke-width="2.5" marker-end="url(#mGray)"/>
|
||||
<line x1="92.5" y1="180.7" x2="179.1" y2="130.7" stroke="#1d4ed8" stroke-width="3" marker-end="url(#mBlue)"/>
|
||||
<text x="138" y="186" font-size="13" fill="#6b7280">x</text>
|
||||
<text x="168" y="124" font-size="13" fill="#1d4ed8">Ax = 2x</text>
|
||||
<circle cx="95" cy="185" r="2.5" fill="#111827"/>
|
||||
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||||
<!-- Panel 2: λ=1/2, cx=285 -->
|
||||
<text x="285" y="62" font-size="16" font-weight="bold" fill="#111827" text-anchor="middle">λ = ½</text>
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||||
<text x="285" y="82" font-size="14" fill="#374151" text-anchor="middle">절반으로 줄어든다</text>
|
||||
<line x1="235" y1="214" x2="390" y2="124" stroke="#6b7280" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="5,4"/>
|
||||
<line x1="287.5" y1="189.3" x2="330.8" y2="164.3" stroke="#9ca3af" stroke-width="2.5" marker-end="url(#mGray)"/>
|
||||
<line x1="282.5" y1="180.7" x2="304.2" y2="168.2" stroke="#1d4ed8" stroke-width="3" marker-end="url(#mBlue)"/>
|
||||
<text x="328" y="186" font-size="13" fill="#6b7280">x</text>
|
||||
<text x="262" y="156" font-size="13" fill="#1d4ed8" text-anchor="middle">Ax = ½x</text>
|
||||
<circle cx="285" cy="185" r="2.5" fill="#111827"/>
|
||||
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||||
<!-- Panel 3: λ=-1, cx=475 -->
|
||||
<text x="475" y="62" font-size="16" font-weight="bold" fill="#111827" text-anchor="middle">λ = −1</text>
|
||||
<text x="475" y="82" font-size="14" fill="#374151" text-anchor="middle">방향이 뒤집힌다</text>
|
||||
<line x1="405" y1="230" x2="560" y2="140" stroke="#6b7280" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="5,4"/>
|
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|
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<line x1="472.5" y1="180.7" x2="429.2" y2="205.7" stroke="#1d4ed8" stroke-width="3" marker-end="url(#mBlue)"/>
|
||||
<text x="518" y="186" font-size="13" fill="#6b7280">x</text>
|
||||
<text x="392" y="254" font-size="13" fill="#1d4ed8">Ax = −x</text>
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||||
<circle cx="475" cy="185" r="2.5" fill="#111827"/>
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||||
|
||||
<!-- Panel 4: λ=0, cx=665 -->
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||||
<text x="665" y="62" font-size="16" font-weight="bold" fill="#111827" text-anchor="middle">λ = 0</text>
|
||||
<text x="665" y="82" font-size="14" fill="#374151" text-anchor="middle">0으로 찌그러진다</text>
|
||||
<line x1="615" y1="214" x2="745" y2="139" stroke="#6b7280" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="5,4"/>
|
||||
<line x1="667.5" y1="189.3" x2="710.8" y2="164.3" stroke="#9ca3af" stroke-width="2.5" marker-end="url(#mGray)"/>
|
||||
<circle cx="665" cy="185" r="6" fill="#1d4ed8"/>
|
||||
<text x="708" y="186" font-size="13" fill="#6b7280">x</text>
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||||
<text x="665" y="226" font-size="13" fill="#1d4ed8" text-anchor="middle">Ax = 0</text>
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||||
<text x="665" y="246" font-size="12" fill="#6b7280" text-anchor="middle">x가 A의 영공간 안에 있다</text>
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||||
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||||
<!-- footer -->
|
||||
<text x="20" y="272" font-size="15" fill="#111827">네 경우 모두 Ax 는 x 가 놓인 점선 위에 있다. 이것이 고유벡터의 뜻이고, λ 는 그 직선 위에서의 배율이다.</text>
|
||||
<text x="20" y="296" font-size="14" fill="#6b7280">회색 = 원래 벡터 x, 파랑 = A를 곱한 결과 Ax. (λ = 0 이면 Ax = 0 이라 파란 점만 남는다.)</text>
|
||||
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:content {:text "사三 고유벡터 I를 행멸 시에 곱했을 매 !의 길이가 늘어나는지. 줄어드는지. 혹은 방향이 비뀌는지를 알려준다."},
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:content {:text "고윳값 2는 0이 될수도 있다. 이때 』1』= 이는 고유벡터 7가 행렬 기의 영공간 인에 있음을 의미한다."},
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:content {:text "즉 모든 벡터가 항등행렬 /의 고유벡터가 되고. 이때 모든 고윳값은 /!= 1이다."},
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:content {:text "대부분의 2x 2 행렬은2개의 고유벡터 방향과 2개의 고윳값을 갖는다. "},
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:content {:text "1-/와! 》/의 행렬식이 0이므로, 두 행렬은 역행렬을 갖지 않는다"},
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:content {:text "고유벡터 11， 깨는각각 행렬 그- /와 1- 스/의 영공간 안에 있다"},
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:content {:text "[:span]", :image 1788525129714},
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:content {:text "그의 고유벡터는 그2의 고유벡터가 되고, 이에 따라 고윳값 기는 제곱이 된다"},
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:content {:text "기의 고유벡터 艾는 모든 12에 대해 그\"의 고유벡터이다. 따라서 1\"% = 之”1이다"},
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:content {:text "다른 모든 벡터들은 두 고유벡터11， 12의 선형결합이다"},
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:content {:text "고유벡터 해에 대한 고윳값은 22 = 0.5이므로. 까는 사실상 사라지는 ‘감쇠 모드（山~1）而目⑴0正）’이다"},
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:content {:text "사영행렬 乃에 대해 열공간은 자기 자신으로 사영된다（乃1 = 2:）. 행렬 乃의 영공간은 0으로 사영된다（/五 = 0才. 행렬 乃의 고윳값은 心1과 /?= 0이다."},
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:content {:text "영공간은 0으로 사영되고, 열공간은 자기 자신으로 사영된다. 즉 사영은 열공간 안에 있는 벡터는 유지하고, 영공간 안에 있는 벡터는 제거한다."},
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:content {:text "치환행렬의 모든 고윳값은 山1= 1"},
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:content {:text "?가 행렬 시의 고윳값일 필요충분조건은 1-2/가 특이행렬인 것이다"},
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:content {:text "특성다항식（011引80化|18化 日01汗10而31） （1臥（기- /%/）는 오직 刀관 포함하고 1는 포함하지 않는다"},
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:content {:text "행렬 그는 ？？개의 고윳값을 갖는다."},
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:content {:text "카 X \" 행렬은 \"의 고윳값을 갖는다（단, &서로 동일할 수 있다）. 각 고윳값 人에 대해 식（1 - /止）1 =0 또는 11= 心:를 풀어서 고유벡터 1를 구한다."},
|
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:content {:text "어떤 2X 2 행렬은 단 하나의 직선 위에 있는 고유벡터만 가질수도 있다. 이 상황은 두 고윳값이 동일할 때만 발생할 수 있다（반면에, 4 = /인 경우에는 고윳값이 모두 동일하지만 고유벡터는 무수히 많다）. 고유벡터가 충분하지 않다면 기저를 만들 수 없다.즉 모든 벡터 가를 고유벡터의 선형결합으로 나타낼 수 없다"},
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:content {:text "행렬 시의 행을 다른 행에 더하거나 행 교환을 하면 고윳값은 보통 바뀐다. 즉 소거법은 고윳값/?를 유지하지 못한다. 삼각행렬 17의 고윳값은 주대각선 위에 있고, 이 고윳값은 행렬 그의 피벗이다. 그러나 행렬 가의 고윳값은 아니다."},
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:content {:text "- \"개의 고윳값의 곱（21） …（心）은 행렬 4의 행렬식과 같다"},
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:content {:text ". ?？개의 고윳값의 합 江 + 江 十 … + 心은 ？？개의 주대각성분의 합, 즉 행렬 그의 대각합과 같다."},
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:content {:text "먼저 刀1 = 21에서 心:를 좌변으로 이항한다. 이에 따라 刀1 = 스를 （기— 기'）1 = 0으로 나타낼 수 있다. 즉 행렬 그- 北와 고유벡터 그의 곱은 영벡터이다. 고유벡터는 느-北의 영공간안에 있는 영벡터가 아닌 벡터이다."},
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:content {:text "2x 2 행렬의 고유벡터에 대해 생각해보자. 1- 그/가 특이행렬이면, 이 행렬의 두 행은 모두 벡터 （⑷ 5）의 상수배이다. 고유벡터는 （5, -日의 임의의 상수배이다"},
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435
Major Study/pages/6.1 고윳값 소개 (Ax = λx).md
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435
Major Study/pages/6.1 고윳값 소개 (Ax = λx).md
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deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- ### 핵심 개념
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- **단계 지도**: [1단계] 고유벡터란 무엇인가: 행렬을 곱해도 방향이 안 바뀌는 벡터 (기하학적 뜻) → [2단계] 왜 필요한가: 시간이 흐르는 문제와 $A^{100}$ → [3단계] 첫 예제를 끝까지: 마르코프 행렬의 고윳값 $1, \frac{1}{2}$ 과 $A^{100}$ 의 정체 → [4단계] 그림으로 읽는 특수 행렬: 사영 $P$, 반사 $E$, 치환, $A + cI$ → [5단계] 일반 계산법: $\det(A - \lambda I) = 0$ 이 나오는 이유와 3단계 절차 → [6단계] 검산 도구: 고윳값의 곱 = 행렬식, 합 = 대각합, 삼각행렬 → [7단계] 주의할 것들: 고유벡터 부족, 복소수 고윳값(회전), $AB$ 와 $A + B$ 의 고윳값
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- #### [1단계] 고유벡터란 무엇인가: 행렬을 곱해도 방향이 바뀌지 않는 벡터
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- 행렬을 보는 관점부터 바꾼다. 지금까지 $A$ 는 "방정식 $Ax = b$ 의 계수표"였다. 이 장에서는 $A$ 를 **벡터를 움직이는 기계(변환)** 로 본다. 벡터 $x$ 를 넣으면 벡터 $Ax$ 가 나온다.
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- 🔢 $A = \begin{bmatrix} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{bmatrix}$ 에 벡터 몇 개를 넣어 보면:
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- $e_1 = (1, 0)$ 을 넣으면 $Ae_1 = (0.8, 0.2)$. 방향이 위로 살짝 틀어졌다.
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- $e_2 = (0, 1)$ 을 넣으면 $Ae_2 = (0.3, 0.7)$. 방향이 오른쪽으로 크게 틀어졌다.
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- $x_1 = (0.6, 0.4)$ 를 넣으면 $Ax_1 = (0.48 + 0.12,\ 0.12 + 0.28) = (0.6, 0.4)$. **그대로다.**
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- $x_2 = (1, -1)$ 을 넣으면 $Ax_2 = (0.8 - 0.3,\ 0.2 - 0.7) = (0.5, -0.5) = \frac{1}{2} x_2$. **방향은 그대로, 길이만 절반.**
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- 
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- 거의 모든 벡터는 $A$ 를 곱하면 방향이 바뀐다. **예외적으로 방향이 유지되는 벡터가 고유벡터(eigenvector)** 이고, 그때 곱해진 배율이 **고윳값(eigenvalue)** $\lambda$ 다.
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- $$Ax = \lambda x \qquad (x \neq 0)$$
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- 📌 원문 (p.305): ((6a9ab780-22b0-40d0-9e33-44a8b5074978))
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- 📌 원문 (p.305): ((6a9ab7bd-9051-4cbe-8eca-a46c187952af))
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- 📌 원문 (p.305): ((6a9ab7c2-8e9f-4875-9195-84f866d57fea))
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- 📌 원문 기본 방정식 (p.305): ((6a9ab7c6-03e5-4052-adf7-958d58fd32b6))
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- 💡 **본질 한 줄**: 고유벡터의 직선 위에서는 행렬 $A$ 가 그냥 **숫자 하나 곱하기** ($\lambda$ 배)로 행동한다.
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- 행렬 곱은 원래 회전, 늘림, 찌그러뜨림이 뒤섞인 복잡한 동작이다. 그런데 고유벡터 방향에서만큼은 1차원 문제(숫자 하나 곱하기)로 단순해진다.
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- 그래서 고유벡터를 찾는 일은 **"행렬이 단순하게 행동하는 방향"** 을 찾는 일이다. 그 방향들을 알면 행렬 전체를 이해한 것이나 다름없다.
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- 📌 원문 (p.305): ((6a9ab7f2-bb12-4323-bafe-d8ebef32c6c5))
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- **고윳값** $\lambda$ **가 말해주는 것**: 그 방향에서 $x$ 가 늘어나는지, 줄어드는지, 뒤집히는지.
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- 📌 원문 (p.306): ((6a9ab825-548f-428a-8533-429286dc6034))
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- 
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- $\lambda = 0$ 도 얼마든지 고윳값이 될 수 있다. $Ax = 0x = 0$ 이므로 그 고유벡터는 $A$ **의 영공간** 안에 있다. 즉 "$A$ 가 특이행렬이다"와 "0이 고윳값이다"는 같은 말이다.
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- 📌 원문 (p.306): ((6a9ab865-542e-41d9-9bde-962600f1e012))
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- **고유벡터는 벡터 하나가 아니라 직선(방향)이다**: $x$ 가 고유벡터면 $cx$ 도 고유벡터다 ($A(cx) = c(Ax) = c\lambda x = \lambda (cx)$). 그래서 $(1, 2)$ 와 $(2, 4)$ 는 같은 고유벡터로 친다.
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||||
- 단, 영벡터는 제외한다. $A0 = \lambda 0$ 은 모든 $\lambda$ 에 대해 성립해 아무 정보가 없기 때문이다. 정의에 조건 $x \neq 0$ 이 붙는 이유다.
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- MATLAB의 eig(A)는 고유벡터를 길이 1로 정규화해서 보여준다. 정규화는 편의일 뿐 본질이 아니다.
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- **극단적인 예, 항등행렬**: $A = I$ 면 모든 벡터가 $Ix = x$ 를 만족한다. 모든 벡터가 고유벡터이고 고윳값은 전부 1이다 (매우 특수한 경우).
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- 📌 원문 (p.306): ((6a9ab878-e437-4ced-b95e-9bae7aa3c0c0))
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- 📌 원문 (p.306): ((6a9ab886-e143-4b93-a6ba-885df0320296))
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- 대부분의 $2 \times 2$ 행렬은 이와 달리 **고유벡터 방향 2개와 고윳값 2개**를 갖는다.
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- 📌 원문 (p.306): ((6a9ab8a1-3513-4744-a811-591b11ae47cd))
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- 💡 **책의 eigshow 그림으로 다시 보기** (p.322): 단위원 위의 $x$ 를 한 바퀴 돌리면서 $Ax$ 를 그리면 $Ax$ 들은 타원을 그린다. 대부분의 위치에서 $Ax$ 는 $x$ 보다 앞서거나 뒤처지지만, 어떤 순간 둘이 **같은 직선 위에 포개진다**. 그 순간의 $x$ 가 고유벡터이고, 그때 $Ax$ 의 길이가 고윳값 $\lambda$ 다.
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- 
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- (p.322, MATLAB 데모 eigshow. 이 $A$ 에서는 $Ax_1 = x_1$, $Ax_2 = 0.5x_2$ 인 두 방향이 보인다.)
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- 💡 **왜 정사각행렬만 다루는가**: $Ax$ 와 $x$ 가 "같은 방향인지" 비교하려면 둘이 같은 공간에 살아야 한다. $m \times n$ 행렬은 $\mathbb{R}^n$ 의 벡터를 $\mathbb{R}^m$ 으로 보내므로 비교 자체가 안 된다. 고윳값은 $n \times n$ 행렬만의 개념이다.
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- 💡 **랭크·열공간과의 차이**: 랭크와 열공간은 "$A$ 가 벡터들을 **어디로** 보내는가"를 말한다. 고윳값·고유벡터는 "$A$ 가 각 방향을 **얼마나 늘리는가**"를 말한다. 그래서 책은 고윳값이 정사각행렬에 대해 더 깊은 정보를 담는다고 한다.
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- #### [2단계] 왜 필요한가: 시간이 흐르는 문제와 $A^{100}$
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- 1~5장은 $Ax = b$, 즉 **멈춰 있는(정상 상태) 문제**였다. 이 장부터는 **변화하는 문제**를 푼다:
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- 이산 시간: $u_{k+1} = Au_k$ ($k = 1, 2, 3, \ldots$). 매 단계 $A$ 를 한 번씩 곱한다.
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- 연속 시간: $\dfrac{du}{dt} = Au$ (6.5절에서).
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- 이런 문제는 소거법으로 풀리지 않는다. $A$ 를 100번 곱한 $A^{100}u_0$ 가 필요한데, 100번 곱셈은 느리고 통찰도 없다.
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- **고유벡터가 해결사인 이유**: $Ax = \lambda x$ 면 $A^2 x = A(\lambda x) = \lambda Ax = \lambda^2 x$. 계속하면
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- $$A^n x = \lambda^n x \qquad (\text{모든 } n)$$
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- 📌 원문 (p.307): ((6a9aba82-1374-4426-94e6-ec9bcb95948d))
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- 📌 원문 (p.307): ((6a9aba94-f543-427d-a773-a4c175f22dbf))
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- 고유벡터 방향에서는 $A$ 를 100번 곱하는 일이 **숫자** $\lambda$ **를 100번 곱하는 일**로 바뀐다. 행렬 거듭제곱이 스칼라 거듭제곱이 된다.
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- **고유벡터가 아닌 벡터는?** 고유벡터들의 선형결합으로 쪼갠다. $2 \times 2$ 에서 고유벡터 $x_1, x_2$ 가 서로 다른 방향이면 평면의 모든 벡터가 $v = c_1 x_1 + c_2 x_2$ 로 쓰인다. 그러면
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- $$A^n v = c_1 \lambda_1^n x_1 + c_2 \lambda_2^n x_2$$
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- 각 조각은 **자기 고윳값만 신경 쓰며 따로따로** 늘어난다. 조각끼리 섞이지 않는다.
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- 📌 원문 (p.307): ((6a9abab6-053b-4d7a-84ee-5db2ff4ac603))
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- 📌 원문 (p.307): ((6a9abad4-2e31-4785-a332-e2f961be497a))
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- 💡 **고윳값 = 성장 계수**: $|\lambda| < 1$ 인 조각은 사라지고, $|\lambda| > 1$ 인 조각은 폭발하며, $\lambda = 1$ 인 조각은 그대로 남는다. 오래 지나면 $|\lambda|$ 가 가장 큰 조각만 살아남는다. 이것이 "행렬을 바라보는 새로운 방법"의 힘이다.
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- #### [3단계] 첫 예제를 끝까지: 마르코프 행렬 $A$ 와 $A^{100}$ 의 정체
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- 문제 설정: $A = \begin{bmatrix} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{bmatrix}$ 의 거듭제곱을 계산하면
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- $$A^2 = \begin{bmatrix} 0.70 & 0.45 \\ 0.30 & 0.55 \end{bmatrix}, \quad A^3 = \begin{bmatrix} 0.650 & 0.525 \\ 0.350 & 0.475 \end{bmatrix}, \quad A^{100} \approx \begin{bmatrix} 0.6000 & 0.6000 \\ 0.4000 & 0.4000 \end{bmatrix}$$
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- 열들이 전부 $(0.6, 0.4)$ 로 다가간다. 왜 그럴까? 그리고 $A^{100}$ 을 100번 곱하지 않고 어떻게 알아낼까? 이것이 이 절의 클라이맥스다.
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||||
- **① 고윳값 구하기** ([EX 1], p.306): [5단계]에서 정당화할 사실 하나만 미리 쓴다. 고윳값은 $\det(A - \lambda I) = 0$ 의 근이다.
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- $$\det \begin{bmatrix} 0.8 - \lambda & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 - \lambda \end{bmatrix} = (0.8 - \lambda)(0.7 - \lambda) - 0.06 = \lambda^2 - \tfrac{3}{2}\lambda + \tfrac{1}{2} = (\lambda - 1)\left(\lambda - \tfrac{1}{2}\right)$$
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||||
- 고윳값은 $\lambda_1 = 1$, $\lambda_2 = \frac{1}{2}$ 이다.
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||||
- 계수를 눈여겨볼 것. $\lambda$ 의 계수 $\frac{3}{2} = 0.8 + 0.7$ 은 **대각합**, 상수항 $\frac{1}{2} = (0.8)(0.7) - (0.3)(0.2)$ 은 **행렬식**이다 ([6단계]에서 일반화).
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||||
- **② 고유벡터 구하기**: $\lambda$ 를 알면 $A - \lambda I$ 는 특이행렬이고, 고유벡터는 그 **영공간** 안에 있다.
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- 📌 원문 (p.306): ((6a9ab988-33da-4fbb-a063-afa6c08a8526))
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- 📌 원문 (p.306): ((6a9ab98e-a243-432b-b936-240fae5621aa))
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||||
- 📌 원문 x₁, x₂ 구하기 (p.306): [🔗 PDF 위치](((6a9aba4a-d7b9-4740-ba29-8884b4c19a8d)))
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- 
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- $\lambda_1 = 1$: $A - I = \begin{bmatrix} -0.2 & 0.3 \\ 0.2 & -0.3 \end{bmatrix}$. 두 행이 평행하다 (특이행렬). $-0.2a + 0.3b = 0$ 에서 $a : b = 3 : 2$, 고유벡터 $x_1 = (0.6, 0.4)$.
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||||
- $\lambda_2 = \frac{1}{2}$: $A - \frac{1}{2}I = \begin{bmatrix} 0.3 & 0.3 \\ 0.2 & 0.2 \end{bmatrix}$. $a + b = 0$, 고유벡터 $x_2 = (1, -1)$.
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||||
- 검산: $Ax_1 = (0.48 + 0.12,\ 0.12 + 0.28) = (0.6, 0.4) = 1 \cdot x_1$ ✓, $Ax_2 = (0.8 - 0.3,\ 0.2 - 0.7) = (0.5, -0.5) = \frac{1}{2} x_2$ ✓
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||||
- **③** $A$ **의 1열을 고유벡터로 쪼개기** (식 1):
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- $$\begin{bmatrix} 0.8 \\ 0.2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.6 \\ 0.4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0.2 \\ -0.2 \end{bmatrix} = x_1 + 0.2\, x_2$$
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||||
- 📌 원문 식 (1) (p.307): [🔗 PDF 위치](((6a9b18e4-587a-43e7-b737-7b6605a794e8)))
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- 
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||||
- **④** $A$ **를 거듭 곱하기** (식 2, 3): 각 조각에 자기 고윳값만 곱한다.
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||||
- $A^2$ 의 1열 $= A(x_1 + 0.2 x_2) = x_1 + 0.2 \cdot \tfrac{1}{2} x_2 = (0.6, 0.4) + (0.1, -0.1) = (0.7, 0.3)$ ✓ (위 $A^2$ 와 일치)
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||||
- 📌 원문 식 (2) (p.307): [🔗 PDF 위치](((6a9b18eb-d0af-476c-93ca-44e9f075db12)))
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- 
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||||
- $A^3$ 의 1열 $= x_1 + 0.2 \cdot \tfrac{1}{4} x_2 = (0.65, 0.35)$ ✓
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||||
- $$A^{100} \text{의 1열} = A^{99} \begin{bmatrix} 0.8 \\ 0.2 \end{bmatrix} = x_1 + 0.2 \left(\tfrac{1}{2}\right)^{99} x_2 = \begin{bmatrix} 0.6 \\ 0.4 \end{bmatrix} + (\text{아주 작은 벡터})$$
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||||
- 📌 원문 식 (3) (p.307): [🔗 PDF 위치](((6a9b18f2-2e47-4e9f-ac02-5a90a45d0b08)))
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- 
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||||
- $0.2 \cdot (\frac{1}{2})^{99}$ 는 소수점 아래 30번째 자리에서나 0이 아닌 수가 나오는 크기다. 그래서 $A^{100}$ 의 1열은 $(0.6000, 0.4000)$ 으로 보인다. 100번 곱하지 않고 알아냈다.
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- 
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- (p.307, 그림 6.1)
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- 
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- **두 고유벡터의 역할이 완전히 다르다**:
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- $x_1$ ($\lambda_1 = 1$): 아무리 곱해도 변하지 않는 **정상 상태(steady state)**.
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||||
- $x_2$ ($\lambda_2 = 0.5$): 곱할 때마다 반으로 줄어 사실상 사라지는 **감쇠 모드(decaying mode)**.
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||||
- 📌 원문 (p.308): ((6a9abb52-cde3-480a-bb64-0503124d3037))
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||||
- 📌 원문 (p.308): ((6a9abb58-140c-4df8-a4e4-1dd89441e386))
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||||
- 거듭제곱 지수가 커질수록 $A^k$ 의 열들은 정상 상태 $x_1$ 에 가까워진다. 2열 $(0.3, 0.7) = x_1 - 0.3 x_2$ 도 같은 이유로 $(0.6, 0.4)$ 로 간다.
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||||
- **마르코프 행렬(Markov matrix)**: 이 $A$ 처럼 성분이 음이 아니고 **각 열의 합이 1**인 행렬.
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||||
- 📌 원문 (p.308): ((6a9abb7e-3025-4e53-893c-548f2231511a))
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||||
- 마르코프 행렬의 가장 큰 고윳값은 항상 $\lambda = 1$ 이다. 그 고유벡터가 $A^k$ 의 모든 열이 다가가는 정상 상태다. 대규모 마르코프 행렬의 이 정상 상태가 구글 웹 검색의 핵심 원리다 (부록 A8).
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||||
- 📌 원문 (p.308): ((6a9abb81-82ee-42b2-87a2-2b279706dc25))
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||||
- 💡 왜 1이 반드시 고윳값인가: 각 열의 합이 1이라는 것은 $A^{\mathrm{T}}$ 의 각 행의 합이 1, 즉 $A^{\mathrm{T}}(1, 1) = (1, 1)$ 이라는 뜻이다. $A^{\mathrm{T}}$ 가 고윳값 1을 가지면 $A$ 도 갖는다 (연습문제 21: $\det(A - \lambda I) = \det(A^{\mathrm{T}} - \lambda I)$). "가장 큰" 고윳값이라는 사실까지는 지금 증명하지 않고 받아들인다.
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||||
- #### [4단계] 그림으로 읽는 특수 행렬: 계산 없이 고윳값이 보이는 경우
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- 고윳값을 꼭 방정식으로만 구하는 것은 아니다. 행렬이 **하는 일**을 알면 "방향이 안 바뀌는 벡터"가 눈에 보인다. 사영, 반사, 치환이 그런 예다.
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- **사영행렬** $P$: 사영은 열공간 안의 벡터는 그대로 두고($Px = x$), 영공간 안의 벡터는 0으로 보낸다($Px = 0$). 그러니 고윳값은 **1과 0뿐**이다.
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- 📌 원문 (p.308): ((6a9abbc1-6dd0-4872-aa8a-07b62c7914fc))
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- 📌 원문 (p.308): ((6a9abbe2-de97-41e4-a2a0-6507244aaff3))
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- $\lambda = 1$ 의 고유벡터는 **열공간을 가득 채우고**, $\lambda = 0$ 의 고유벡터는 **영공간을 가득 채운다**.
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- 📌 원문 (p.308): ((6a9abbf5-66b5-4c47-8b34-83b53a555342))
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- 🔢 [EX 2] $P = \begin{bmatrix} 0.5 & 0.5 \\ 0.5 & 0.5 \end{bmatrix}$ (직선 $y = x$ 위로의 사영):
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- $x_1 = (1, 1)$: 이미 직선 위에 있으니 $Px_1 = x_1$, $\lambda = 1$ (정상 상태).
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- $x_2 = (1, -1)$: 직선에 수직이니 $Px_2 = 0$, $\lambda = 0$ (영공간).
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- $P$ 는 세 가지 얼굴을 갖는다: ① 각 열의 합이 1이라 **마르코프 행렬** ($\lambda = 1$ 보장) ② 행렬식 0이라 **특이행렬** ($\lambda = 0$ 보장) ③ $P = P^{\mathrm{T}}$ 라 **대칭행렬**. 가장 중요한 사실은 ③이다. 대칭이라서 고유벡터 $(1, 1)$ 과 $(1, -1)$ 이 **서로 직교**한다 (6.3절에서 일반화).
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- 각 부분으로 나누어 사영하기: $v = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix}$ 을 사영하면 $Pv = 0 \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} + 1 \cdot \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix}$.
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- 💡 [2단계]의 "조각별로 따로 곱한다"가 사영에서는 "영공간 조각은 지우고 열공간 조각은 남긴다"로 읽힌다.
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- **반사행렬** $E$ ([EX 3]): 행 교환행렬 $E = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ 는 직선 $y = x$ 에 대한 반사다.
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- $(1, 1)$ 은 거울 위에 있으니 그대로: $\lambda = 1$. $(1, -1)$ 은 거울에 수직이라 뒤집힌다: $E(1, -1) = (-1, 1)$, $\lambda = -1$.
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- 음수 성분이 하나도 없는 행렬도 **음의 고윳값**을 가질 수 있다.
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- (p.309, 그림 6.2)
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- $E$ **와** $P$ **의 고유벡터가 같은 이유**: $E = 2P - I$ (식 4).
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- $$\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = 2 \begin{bmatrix} 0.5 & 0.5 \\ 0.5 & 0.5 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$
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- $Px = \lambda x$ 면 $Ex = 2Px - x = (2\lambda - 1)x$. 고유벡터는 그대로, 고윳값만 $\lambda \mapsto 2\lambda - 1$ 로 바뀐다: $1 \mapsto 1$, $0 \mapsto -1$ ✓
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- 💡 기하로도 보인다. "사영한 것의 2배에서 원래를 뺀다"가 반사다. 거울 위 벡터는 $2x - x = x$, 거울에 수직인 벡터는 $0 - x = -x$.
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- **일반 규칙,** $A + cI$ **는 고윳값을** $c$ **만큼 옮긴다**: $Ax = \lambda x$ 면 $(A + cI)x = \lambda x + cx = (\lambda + c)x$. **고유벡터는 바뀌지 않고** 고윳값만 $\lambda + c$ 가 된다.
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- ⚠️ $I$ 를 더할 때만 이렇게 깔끔하다. 임의의 행렬 $B$ 를 더하면 고윳값이 $\lambda + \beta$ 가 되지 않는다 ([7단계] ③).
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- **치환행렬**: 성분의 자리만 바꾸므로 벡터의 길이를 바꾸지 않는다. 그래서 모든 고윳값이 $|\lambda| = 1$ 이다 (1 또는 $-1$, 혹은 크기가 1인 복소수. 연습문제 15).
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- 📌 원문 (p.309): ((6a9abc14-a866-4f97-a4c1-c0b1cba11a20))
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- 모든 성분이 1인 벡터 $(1, 1, \ldots, 1)$ 은 어떤 치환행렬에 대해서도 그대로이므로 항상 $\lambda = 1$ 의 고유벡터다.
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- #### [5단계] 일반 계산법: $\det(A - \lambda I) = 0$ 이 나오는 이유와 3단계 절차
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- 사영과 반사는 기하로 고윳값을 읽었다. 일반 행렬은 그림이 안 보이니 **행렬식**을 쓴다. 거의 모든 응용이 $\det(A - \lambda I) = 0$ 과 $Ax = \lambda x$ 를 푸는 데서 시작한다.
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- **왜 행렬식이 등장하는가** (유도 3줄):
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- ① $Ax = \lambda x$ 에서 $\lambda x$ 를 좌변으로 옮긴다: $Ax - \lambda I x = 0$, 즉 $(A - \lambda I)x = 0$. ($\lambda x = \lambda I x$ 로 써야 행렬끼리 뺄 수 있다.)
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- ② 고유벡터는 $x \neq 0$ 이어야 한다. 그러니 $(A - \lambda I)x = 0$ 이 **영벡터가 아닌 해**를 가져야 한다. 영벡터가 아닌 해가 있다는 것은 $A - \lambda I$ 가 **특이행렬(비가역)** 이라는 뜻이다 (2, 3장).
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- ③ 특이행렬의 판정은 행렬식 0이다 (5장). 따라서 $\det(A - \lambda I) = 0$.
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- 📌 원문 유도 문단 (p.309): ((6a9b1915-56d7-49a1-a5a7-7aa5437dea87))
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- 📌 원문 (p.309): 고유벡터는 A − λI의 영공간 안에 있는 영벡터가 아닌 벡터이다.
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- 📌 원문 (p.310): ((6a9abcb5-2e24-4977-91d2-d17e91240bc9))
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- 📌 원문 식 (5) (p.310): [🔗 PDF 위치](((6a9abca0-2d52-4df4-b155-790e18d0c4aa)))
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- 💡 **기하로 본** $\det(A - \lambda I) = 0$: 행렬식은 넓이(부피) 배율이다 (5.3절). $\det(A - \lambda I) = 0$ 은 "$A - \lambda I$ 가 평면을 **납작하게 눌러** 넓이를 0으로 만든다"는 뜻이고, 눌려서 0이 되는 방향이 바로 고유벡터다 ($(A - \lambda I)x = 0$). 고윳값은 $A$ 에서 $\lambda I$ 를 빼면 딱 맞게 특이행렬이 되는 특별한 $\lambda$ 값이다.
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- **특성다항식(characteristic polynomial)** $\det(A - \lambda I)$: $\lambda$ 만 들어 있고 $x$ 는 들어 있지 않다. 고윳값을 고유벡터와 **분리해서 먼저** 구할 수 있는 이유다.
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- 📌 원문 (p.310): ((6a9abcca-a5d4-4292-b776-a056939e49ae))
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- $\lambda$ 는 $A - \lambda I$ 의 주대각선에만 있으므로, 행렬식을 전개하면 $(-\lambda)^n$ 항이 나온다. 즉 $n$ 차 다항식이고 근이 $n$ 개다. $n \times n$ **행렬은 고윳값을** $n$ **개 갖는다** (중복 허용).
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- 📌 원문 (p.310): ((6a9abcd3-68c9-4982-88f9-e18839931bae))
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- 📌 원문 (p.310): ((6a9abcec-5e3a-4aeb-8d35-a7d6668868f1))
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- **요약: 고윳값 문제 3단계** (책 p.311 요약 상자):
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- ❶ $A - \lambda I$ 의 행렬식을 구한다. 주대각선에서 $\lambda$ 를 빼면 $\lambda^n$ 또는 $-\lambda^n$ 으로 시작하는 $n$ 차 다항식이 나온다.
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- ❷ $\det(A - \lambda I) = 0$ 을 풀어 근 $n$ 개를 구한다. 이것이 고윳값이고, 각 근에서 $A - \lambda I$ 는 특이행렬이 된다.
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- ❸ 각 고윳값 $\lambda$ 에 대해 $(A - \lambda I)x = 0$ 을 풀어 고유벡터 $x$ (영공간)를 구한다.
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- 📌 원문 요약 상자 (p.311): [🔗 PDF 위치](((6a9abd72-419a-4ff8-90d9-2a56c486b983)))
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- 🔢 [EX 4] 특이행렬 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$ 로 3단계 전 과정:
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- ❶ 주대각선에서 $\lambda$ 를 뺀다 (식 6): $A - \lambda I = \begin{bmatrix} 1 - \lambda & 2 \\ 2 & 4 - \lambda \end{bmatrix}$
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- 📌 원문 식 (6) (p.310): [🔗 PDF 위치](((6a9b1921-c189-45a3-86de-ba4fd2d444da)))
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- 행렬식 $ad - bc$ (식 7): $(1 - \lambda)(4 - \lambda) - 2 \cdot 2 = \lambda^2 - 5\lambda + 4 - 4 = \lambda^2 - 5\lambda$. ($bc$ 부분에는 $\lambda$ 가 없다.)
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- 📌 원문 식 (7) (p.310): [🔗 PDF 위치](((6a9b1927-a09d-4e80-956c-9a3b9247cf75)))
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- ❷ $\lambda^2 - 5\lambda = \lambda(\lambda - 5) = 0$ 에서 $\lambda_1 = 0$, $\lambda_2 = 5$. ($A$ 가 특이행렬이니 $\lambda = 0$ 은 당연히 나온다.)
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- ❸ 고유벡터:
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- $\lambda_1 = 0$: $(A - 0I)x = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} y \\ z \end{bmatrix} = 0$ 에서 $y + 2z = 0$, 고유벡터 $(2, -1)$. 바로 $A$ 의 영공간이다.
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- $\lambda_2 = 5$: $(A - 5I)x = \begin{bmatrix} -4 & 2 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} y \\ z \end{bmatrix} = 0$ 에서 $-4y + 2z = 0$, 고유벡터 $(1, 2)$.
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- 검산: $A(1, 2) = (1 + 4,\ 2 + 8) = (5, 10) = 5 \cdot (1, 2)$ ✓, $A(2, -1) = (2 - 2,\ 4 - 4) = 0$ ✓. 곱 $0 \cdot 5 = 0 = \det A$ ✓, 합 $0 + 5 = 5 = 1 + 4$ ✓
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- $2 \times 2$ **고유벡터 지름길**: $A - \lambda I$ 가 특이행렬이면 두 행이 모두 어떤 $(a, b)$ 의 상수배다. 그 영공간은 $(a, b)$ 에 수직인 $(b, -a)$ 방향이다.
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- 📌 원문 (p.311): ((6a9b198a-ed90-4776-b17a-39801ac53c8e))
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- $\lambda = 0$: $A - 0I$ 의 행은 $(1, 2)$ 방향, 고유벡터는 $(2, -1)$ 방향 ✓
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- $\lambda = 5$: $A - 5I$ 의 행은 $(-4, 2)$ 방향, 고유벡터는 $(2, 4)$ 방향, 즉 $(1, 2)$ ✓
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- $(1, 2)$ 와 $(2, 4)$ 는 같은 고유벡터다. 직선 위의 모든 점(영벡터 제외)이 고유벡터다.
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- ⚠️ $\lambda = 0$ **은 전혀 특별하지 않다**: 다른 숫자와 똑같이 고윳값일 수도, 아닐 수도 있다. $A$ 가 특이행렬이면 $\lambda = 0$ 의 고유벡터가 영공간을 채우고, $A$ 가 가역이면 0은 고윳값이 아니다. 위 예에서 $A - 5I$ 도 특이행렬이라 5가 또 다른 고윳값이 된 것뿐이다.
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- 📌 원문 (p.311): ((6a9abd59-1b78-43c5-98b4-e8ed53efacff))
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- 흔한 오해 교정: "특이행렬은 고윳값이 0 하나뿐"이라고 생각하기 쉽지만, 특이행렬도 0이 아닌 고윳값을 (최대 $n - 1$ 개) 가질 수 있다. [EX 4]의 5가 그 예다.
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- #### [6단계] 검산 도구: 고윳값의 곱 = 행렬식, 합 = 대각합
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- 계산이 맞았는지 즉시 확인하는 두 규칙. 둘 다 **주어진 행렬에서 바로 읽을 수 있다**:
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- $n$ 개 고윳값의 **곱**: $(\lambda_1)(\lambda_2) \cdots (\lambda_n) = \det A$
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- $n$ 개 고윳값의 **합**: $\lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n = a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn}$, 즉 **대각합(trace)**
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- 📌 원문 (p.312): ((6a9abe00-8f74-4ed4-b972-83fa6248188e))
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- 📌 원문 (p.312): ((6a9abe03-27bf-442b-8926-e9dc0852c1f0))
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- 🔢 [EX 1]: $1 \cdot \frac{1}{2} = 0.56 - 0.06 = \det A$ ✓, $1 + \frac{1}{2} = 0.8 + 0.7$ ✓. [EX 4]: $0 \cdot 5 = 0 = \det A$ ✓, $0 + 5 = 1 + 4$ ✓
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- 증명은 연습문제 16, 17과 6.2절에서 한다 (아래 ✏️ 문제 16, 17 참고).
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- ⚠️ 이 규칙은 **검산용**이지 고윳값을 구해주지 않는다. $n \geq 3$ 이면 합과 곱 두 수만으로 $n$ 개의 수가 정해지지 않는다. 고윳값은 여전히 $\det(A - \lambda I) = 0$ 을 풀어야 한다.
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- 예외가 $2 \times 2$ 다. 미지수 2개에 조건 2개라 합과 곱만으로 고윳값이 결정된다.
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- $2 \times 2$ **지름길**: $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ 의 특성다항식을 직접 전개하면
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- $$\det(A - \lambda I) = (a - \lambda)(d - \lambda) - bc = \lambda^2 - (a + d)\lambda + (ad - bc) = \lambda^2 - (\text{대각합})\lambda + (\text{행렬식})$$
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- 2차식의 근과 계수의 관계로 $\lambda_1 + \lambda_2 = a + d$, $\lambda_1 \lambda_2 = ad - bc$ 가 바로 나온다 (연습문제 17). 그러니 $2 \times 2$ 는 행렬식과 대각합만 알면 고윳값이 결정된다.
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- 🔢 식 (8)의 세 행렬은 모두 대각합 3, 행렬식 2다. 그러므로 셋 다 $\lambda^2 - 3\lambda + 2 = (\lambda - 1)(\lambda - 2)$, 고윳값 $1, 2$:
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- $$\begin{bmatrix} 1 & 9 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \qquad \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -2 & 0 \end{bmatrix}, \qquad \begin{bmatrix} 7 & -3 \\ 10 & -4 \end{bmatrix}$$
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- 📌 원문 식 (8) (p.312): [🔗 PDF 위치](((6a9b19a1-2609-44de-bd6e-f2df39867510)))
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- 확인: 두 번째의 행렬식은 $0 - (1)(-2) = 2$ ✓, 세 번째는 $-28 - (-30) = 2$ ✓
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- **삼각행렬의 고윳값은 주대각선 위에 있다**: 첫 번째 행렬 $\begin{bmatrix} 1 & 9 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$ 은 계산 없이 고윳값 1, 2가 보인다. 왜일까?
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- 📌 원문 (p.312): ((6a9abe43-1da8-4eb6-abb2-07835aace85b))
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- 흔한 오해 교정: "삼각행렬의 행렬식은 대각성분의 곱이고 대각합은 대각성분의 합이니까, 고윳값의 곱·합과 맞아떨어져서"라고 답하기 쉽다. 하지만 그것은 $2 \times 2$ 에서만 결정적이다. $n \geq 3$ 에서는 합과 곱이 같다고 해서 $n$ 개의 수가 같아지지 않는다 (합 6, 곱 6은 $1, 2, 3$ 뿐 아니라 약 $1.22, 1.5, 3.28$ 로도 가능). 위 규칙은 확인일 뿐 이유가 아니다.
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- 진짜 이유: $U$ 가 삼각행렬이면 $U - \lambda I$ 도 **여전히 삼각행렬**이고, 삼각행렬의 행렬식은 대각성분의 곱이다 (5.2절). 그래서
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- $$\det(U - \lambda I) = (u_{11} - \lambda)(u_{22} - \lambda) \cdots (u_{nn} - \lambda)$$
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- 이 다항식의 근은 정확히 $u_{11}, u_{22}, \ldots, u_{nn}$ 이다. $n$ 이 얼마든 성립한다.
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- 🔢 $\det \begin{bmatrix} 1 - \lambda & 9 \\ 0 & 2 - \lambda \end{bmatrix} = (1 - \lambda)(2 - \lambda)$. 9는 행렬식에 아예 등장하지 않는다.
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- ⚠️ **소거법은 고윳값을 보존하지 않는다**: 행을 다른 행에 더하거나 행을 교환하면 고윳값은 보통 바뀐다. $A = LU$ 에서 $U$ 의 고윳값(= 피벗)은 $A$ 의 고윳값이 **아니다**.
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- 📌 원문 (p.312): ((6a9abde3-e6ad-4d6e-8177-9ad1c15817b7))
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- 🔢 $U = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ 의 고윳값은 $0, 1$. 1행을 2행에 더한 $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 6 \end{bmatrix}$ 의 고윳값은 대각합 7, 행렬식 0에서 $0, 7$. 피벗 1과 고윳값 7이 다르다.
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- 💡 행렬식은 행 더하기로 안 바뀌는데 고윳값은 바뀌는 이유: 행 더하기가 보존하는 것은 $\lambda$ 들의 **곱** 하나뿐이다 (위 예도 $0 \cdot 1 = 0 \cdot 7$). 개별 고윳값은 "벡터를 움직이는 기계" 자체가 바뀌므로 달라진다.
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- #### [7단계] 주의할 것들: 고유벡터 부족, 복소수 고윳값, $AB$ 와 $A + B$
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- **① 고유벡터가 모자랄 수 있다**: 어떤 $2 \times 2$ 행렬은 고유벡터가 **직선 하나** 위에만 있다. 이 일은 두 고윳값이 같을 때만 일어난다.
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- 📌 원문 (p.311): ((6a9abdaf-0ed2-4ad1-9525-a15b106ec586))
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- 🔢 $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$: 대각합 0, 행렬식 0이라 $\lambda_1 = \lambda_2 = 0$. 고유벡터는 $A - 0I = A$ 의 영공간, 즉 $(1, 0)$ 방향 **하나뿐**이다. $(0, 1)$ 은 $A(0, 1) = (1, 0)$ 으로 방향이 바뀌니 고유벡터가 아니다.
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- 반대로 $A = I$ 는 고윳값이 $1, 1$ 로 같지만 고유벡터는 무수히 많다 (모든 벡터). 즉 "고윳값이 겹친다"는 고유벡터 부족의 **필요조건**이지 충분조건이 아니다.
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- 왜 문제인가: [2단계]의 전략은 "모든 벡터를 고유벡터의 선형결합으로 쪼개기"였다. 고유벡터가 직선 하나뿐이면 기저를 만들 수 없어 이 전략이 무너진다. 다음 절 용어로, $n$ 개의 선형독립인 고유벡터가 없으면 **대각화(diagonalize)** 할 수 없다. 지금은 "이런 예외가 있다"는 것만 기억하면 된다.
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- **② 고윳값은 복소수일 수 있다** ([EX 5]): 실수 행렬이라도 실수 고유벡터가 하나도 없을 수 있다.
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- 📌 원문 (p.312): ((6a9abefd-be10-49ce-b91d-7aad4315f378))
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- 🔢 $90°$ 회전행렬 $Q = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$: 모든 벡터를 $90°$ 돌리니, 돌린 뒤에도 같은 방향인 실수 벡터는 없다. 기하가 먼저 "실수 고유벡터 없음"을 말해준다.
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- 대각합 0, 행렬식 1이므로 $\lambda^2 + 1 = 0$, 즉 $\lambda_1 = i$, $\lambda_2 = -i$. 검산: 합 $0$ ✓, 곱 $i \cdot (-i) = 1$ ✓
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- 💡 $i$ 가 나오는 이유를 제곱으로 이해하기: $Q^2$ 은 $180°$ 회전 $= -I$ 이고, $-I$ 의 고윳값은 $-1, -1$ 이다. $Q$ 의 고윳값을 제곱하면 $Q^2$ 의 고윳값이 되므로 $\lambda^2 = -1$, 즉 $\lambda = \pm i$. 실수 세계에 답이 없으니 복소수가 필요하다.
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- 📌 원문 (p.313): ((6a9b19fa-abf6-4cb3-9616-c0dd9185d87d))
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- 복소 고유벡터: $Q \begin{bmatrix} 1 \\ i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -i \\ 1 \end{bmatrix} = -i \begin{bmatrix} 1 \\ i \end{bmatrix}$, $Q \begin{bmatrix} i \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ i \end{bmatrix} = i \begin{bmatrix} i \\ 1 \end{bmatrix}$. 복소벡터 $(1, i)$, $(i, 1)$ 은 복소공간 안에서는 회전해도 방향을 유지한다.
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- 📌 원문 복소 고유벡터 식 (p.313): [🔗 PDF 위치](((6a9b19c5-558d-4a55-945d-ca8d20e6ed7c)))
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- $\pm i$ 가 보여주는 $Q$ 의 두 성질: ① $Q$ 는 직교행렬이라 $|\lambda| = 1$ (길이를 보존하니까) ② $Q$ 는 반대칭행렬($Q^{\mathrm{T}} = -Q$)이라 $\lambda$ 가 순허수.
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- 💡 수위 조절, 지금은 비유로만: 대칭행렬($S^{\mathrm{T}} = S$)은 **실수**에, 반대칭행렬($A^{\mathrm{T}} = -A$)은 **허수**에, 직교행렬($Q^{\mathrm{T}}Q = I$)은 **크기 1인 복소수**에 비유된다. 각 행렬의 고윳값이 정확히 그런 수들이기 때문이다. 이 특별한 행렬들의 고유벡터는 모두 서로 직교한다 ($(i, 1)$ 과 $(1, i)$ 도 직교인데, 복소벡터의 내적은 6.4절에서 정의한다). 증명은 6.3~6.4절의 몫이고, 지금은 이 대응표만 기억하면 충분하다.
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- **③** $AB$ **와** $A + B$ **의 고윳값은 곱·합이 아니다**: $A$ 의 고윳값 $\lambda$, $B$ 의 고윳값 $\beta$ 에 대해 $AB$ 의 고윳값이 $\lambda\beta$ 가 되지 **않는다**.
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- 잘못된 증명 (식 9): $ABx = A\beta x = \beta Ax = \beta\lambda x$. 어디가 틀렸나? $x$ 가 $B$ 의 고유벡터이면서 **동시에** $A$ **의 고유벡터**라고 가정했다. 일반적으로 $A$ 와 $B$ 는 고유벡터를 공유하지 않는다.
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- 🔢 반례: $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ 는 고윳값이 전부 0인데, $AB = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ 은 고윳값 $1, 0$, $A + B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ 은 고윳값 $1, -1$ 이다. $0 \cdot 0 \neq 1$, $0 + 0 \neq \pm 1$.
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- 언제 되는가: $x$ 가 $A$ 와 $B$ **공통의** 고유벡터면 $ABx = \lambda\beta x$ 이고 $BAx = \lambda\beta x$ 다. $n$ 개의 선형독립인 고유벡터를 전부 공유하면 고윳값을 곱할 수 있고, 그때 $AB = BA$ 다.
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- $$\text{행렬 } A \text{ 와 } B \text{ 가 } n \text{ 개의 선형독립인 고유벡터를 공유한다} \iff AB = BA$$
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- 📌 원문 (p.314): [🔗 PDF 위치](((6a9abf71-26ff-489e-be91-5d352c8857d9)))
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- 지금 확인된 것은 ⇒ 방향(공유하면 교환 가능)뿐이고, ⇐ 방향은 뒤에서 다룬다. 이 결과는 양자역학에서 매우 중요하다.
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- 💡 하이젠베르크의 불확정성 원리와의 연결 (맛보기): 양자역학의 위치 행렬 $P$ 와 운동량 행렬 $Q$ 는 $QP - PQ = I$ 로 교환법칙이 성립하지 않는다 (무한행렬). $Px = 0$ 과 $Qx = 0$ 이 동시에 성립하면 $x = Ix = 0$ 이 되어 모순이므로, 위치와 운동량을 동시에 정확히 알 수는 없다. 연습문제 36이 부등식 $\|Px\| \|Qx\| \geq \frac{1}{2} \|x\|^2$ 을 유도한다.
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- #### 핵심 아이디어 리뷰 (p.314)
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- ❶ $Ax = \lambda x$ 의 뜻: 고유벡터 $x$ 에 $A$ 를 곱해도 방향이 유지된다.
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- ❷ $Ax = \lambda x$ 는 $\det(A - \lambda I) = 0$ 을 뜻한다. 이 방정식이 $n$ 개의 고윳값을 결정한다.
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- ❸ 고윳값의 합 = 대각합, 고윳값의 곱 = 행렬식.
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- ❹ 사영행렬 $P$, 행 교환행렬 $E$, $90°$ 회전행렬 $Q$ 의 고윳값은 각각 $1, 0$ 과 $1, -1$ 과 $i, -i$. 특이행렬은 $\lambda = 0$ 을 갖고, 삼각행렬의 고윳값은 주대각선 위에 있다.
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- ❺ 행렬의 특별한 성질은 특별한 고윳값·고유벡터로 이어진다. 이것이 6장의 주제다.
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- ### ❓ 스스로 점검
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- 고유벡터와 고윳값의 정의를 식으로, 그리고 기하학적으로 말하면? #card
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id:: 6a9ac874-02e3-40c0-9406-250a824c9453
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- 식: $Ax = \lambda x$ ($x \neq 0$)를 만족하는 $x$ 가 고유벡터, $\lambda$ 가 고윳값.
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- 기하: $A$ 를 곱해도 방향이 바뀌지 않는(자기 직선 위에 그대로 남는) 벡터가 고유벡터.
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- $\lambda$ 는 그 직선 위에서의 배율이다. 그 직선 위에서 $A$ 는 "숫자 $\lambda$ 곱하기"일 뿐이다.
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- 고윳값이 0이라는 것은 행렬에 대해 무엇을 말해주는가? #card
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id:: 6a9ac874-f3a8-4ddb-9ac4-3802e288123f
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- $Ax = 0x = 0$ 인 $x \neq 0$ 이 있다. 즉 고유벡터가 영공간에 있다.
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- 따라서 $A$ 는 특이행렬이다. 반대로 가역행렬이면 0은 고윳값이 아니다.
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- 0은 그 외에는 전혀 특별하지 않다. 특이행렬도 0이 아닌 고윳값을 가질 수 있다.
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- 왜 고윳값은 $\det(A - \lambda I) = 0$ 의 근인가? (유도 3줄) #card
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id:: 6a9ac874-e3e3-486e-9484-ce3a64f53050
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- $Ax = \lambda x$ 는 $(A - \lambda I)x = 0$ 과 같다.
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- $x \neq 0$ 인 해가 있으려면 $A - \lambda I$ 가 특이행렬이어야 한다.
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- 특이행렬이라는 것은 행렬식이 0이라는 뜻이다.
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- $Ax = \lambda x$ 일 때 $A^2$, $A^{-1}$, $A + cI$ 의 고윳값과 고유벡터는? #card
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- $A^2$: 고윳값 $\lambda^2$. $A^{-1}$: 고윳값 $1/\lambda$ ($\lambda \neq 0$). $A + cI$: 고윳값 $\lambda + c$.
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- 셋 다 고유벡터는 $x$ 그대로다.
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- 마르코프 행렬 $A = \begin{bmatrix} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{bmatrix}$ 의 $A^{100}$ 1열이 $(0.6, 0.4)$ 에 가까운 이유는?
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- 1열 $(0.8, 0.2) = x_1 + 0.2 x_2$ 로 쪼개진다 ($x_1 = (0.6, 0.4)$, $\lambda_1 = 1$. $x_2 = (1, -1)$, $\lambda_2 = \frac{1}{2}$).
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- $A^{99}$ 를 곱하면 $x_1 + 0.2 (\frac{1}{2})^{99} x_2$ 가 된다. $x_2$ 조각은 사실상 0이다.
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- 정상 상태 $x_1$ 만 남는다.
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- 사영행렬의 고윳값은 왜 0과 1뿐인가? 각 고유벡터는 어디에 있는가? #card
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id:: 6a9ac874-2f36-4eff-9352-2980d0c081d8
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- 열공간의 벡터는 $Px = x$ ($\lambda = 1$), 영공간의 벡터는 $Px = 0$ ($\lambda = 0$).
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- $\lambda = 1$ 의 고유벡터는 열공간을, $\lambda = 0$ 의 고유벡터는 영공간을 채운다.
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- 고윳값의 합과 곱은 무엇과 같은가? 이것만으로 고윳값을 구할 수 있는가? #card
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- 합 = 대각합, 곱 = 행렬식.
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- $2 \times 2$ 에서는 이 둘로 고윳값이 결정된다: $\lambda^2 - (\text{대각합})\lambda + (\text{행렬식}) = 0$.
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- $n \geq 3$ 에서는 검산용일 뿐이다. $\det(A - \lambda I) = 0$ 을 풀어야 한다.
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- 삼각행렬의 고윳값이 주대각선 성분인 진짜 이유는? #card
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id:: 6a9ac874-25cc-4019-938a-aa5f55c3a7e7
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- $U - \lambda I$ 도 삼각행렬이라 $\det(U - \lambda I) = (u_{11} - \lambda) \cdots (u_{nn} - \lambda)$.
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- 이 다항식의 근이 곧 대각성분이다.
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- "합과 곱이 맞아떨어진다"는 것은 확인이지 이유가 아니다 ($n \geq 3$ 에서는 결정력이 없다).
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- 소거법 $A = LU$ 의 피벗은 $A$ 의 고윳값인가?
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- 아니다. 피벗은 $U$ 의 고윳값이다. 행 연산은 고윳값을 보존하지 않는다.
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- 예: $U = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ 는 $\lambda = 0, 1$ 인데 $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 6 \end{bmatrix}$ 는 $\lambda = 0, 7$.
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- $90°$ 회전행렬 $Q$ 의 고윳값이 $\pm i$ 인 이유를 기하와 계산 두 가지로 설명하면?
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- 기하: 모든 실수 벡터가 $90°$ 돌아가니 방향이 유지되는 실수 벡터가 없다. $Q^2 = -I$ 이므로 $\lambda^2 = -1$.
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- 계산: 대각합 0, 행렬식 1에서 $\lambda^2 + 1 = 0$.
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- $A$ 의 고윳값 $\lambda$ 와 $B$ 의 고윳값 $\beta$ 에 대해 $AB$ 의 고윳값은 $\lambda\beta$ 인가? 언제 그렇게 되는가? #card
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id:: 6a9ac874-0305-4b5d-90c1-f3247f452849
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- 일반적으로 아니다. $A$ 와 $B$ 가 같은 고유벡터를 갖지 않기 때문이다.
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- $n$ 개의 선형독립인 고유벡터를 공유하면 성립하고, 그때 $AB = BA$ 다.
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- $2 \times 2$ 행렬이 고유벡터를 한 직선 위에만 갖는 일은 언제 일어날 수 있는가?
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- 두 고윳값이 같을 때만. 예: $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ ($\lambda = 0, 0$, 고유벡터는 $(1, 0)$ 방향뿐).
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- 단, $A = I$ 처럼 고윳값이 같아도 고유벡터가 충분한 경우도 있다.
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- ### 📖 확인문제 풀이 (6.1A·6.1B·6.1C)
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- **확인문제 6.1A**: $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$ 에 대해 $A, A^2, A^{-1}, A + 4I$ 의 고윳값과 고유벡터를 구하고, 대각합 4와 행렬식 3을 확인하라.
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- $\det(A - \lambda I) = (2 - \lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 3 = (\lambda - 1)(\lambda - 3)$. 고윳값 $1, 3$. 합 $4 = 2 + 2$ ✓, 곱 $3 = 4 - 1$ ✓
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- $\lambda = 1$: $A - I = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$, $x_1 = (1, 1)$. $\lambda = 3$: $A - 3I = \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ -1 & -1 \end{bmatrix}$, $x_2 = (1, -1)$.
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- $A^2, A^{-1}, A + 4I$ 는 **고유벡터가** $A$ **와 같고** 고윳값만 바뀐다: $A^2$ 는 $1, 9$. $A^{-1}$ 는 $1, \frac{1}{3}$. $A + 4I$ 는 $5, 7$.
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- 검산: $A^2 = \begin{bmatrix} 5 & -4 \\ -4 & 5 \end{bmatrix}$ 의 대각합 $10 = 1 + 9$ ✓, 행렬식 $25 - 16 = 9 = 1 \cdot 9$ ✓
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- 관찰: 고유벡터 $(1, 1)$ 과 $(1, -1)$ 이 직교한다 ($A$ 가 대칭이라서, 6.3절). 고윳값이 다르니 고유벡터가 충분하다 (6.2절). 대칭이고 고윳값이 모두 양수라 양의 정부호 행렬이다 (6.3절). 지금은 "대칭행렬은 이렇게 예쁘게 나온다" 정도만 기억한다.
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- **확인문제 6.1B** (게르시고린 원, Gershgorin circles): 고윳값을 구하지 않고 **어디쯤 있는지** 어림하는 법.
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- 명제: 모든 고윳값 $\lambda$ 는 적어도 하나의 주대각성분 $a_{ii}$ 를 중심으로 하고 반지름 $R_i$ ($i$ 행의 나머지 성분 절댓값의 합)인 원 안에 있다. 즉 어떤 $i$ 에 대해 $|a_{ii} - \lambda| \leq R_i$.
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- 이유: $\lambda$ 가 고윳값이면 $A - \lambda I$ 는 특이행렬이다. 그런데 모든 행에서 $|a_{ii} - \lambda| > R_i$ 라면 ($A - \lambda I$ 가 대각선 우세 행렬이라면), $(A - \lambda I)x = 0$ 은 $x = 0$ 밖에 해가 없어 특이행렬이 될 수 없다.
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- 확인: $x$ 의 성분 중 절댓값이 가장 큰 것을 $x_k$ 라 하자. $k$ 행의 식 $(a_{kk} - \lambda)x_k = -\sum_{j \neq k} a_{kj} x_j$ 에서 좌변의 크기는 $|a_{kk} - \lambda||x_k|$, 우변의 크기는 $R_k |x_k|$ 이하다. $|a_{kk} - \lambda| > R_k$ 면 $x_k = 0$ 이고 따라서 $x = 0$.
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- 🔢 $2 \times 2$: $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ 의 고윳값은 원 $|\lambda - a| \leq |b|$ 와 $|\lambda - d| \leq |c|$ 의 합집합 안에 있다. $\lambda$ 가 복소수일 수 있으니 이 원들은 복소평면에 그린다.
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- 💡 직관: 비대각성분이 작을수록 행렬은 대각행렬에 가깝고, 대각행렬의 고윳값은 대각성분 그 자체다. 원의 반지름이 "대각행렬에서 얼마나 벗어났는가"를 잰다.
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- **확인문제 6.1C**: 대칭 특이행렬 $S = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}$ 의 고윳값과 고유벡터.
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- 관찰 먼저: 각 행의 합이 0이므로 $S(1, 1, 1) = 0$. 즉 $x_1 = (1, 1, 1)$ 이 $\lambda = 0$ 의 고유벡터다 (특이행렬 확인).
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- 나머지는 $3 \times 3$ 행렬식. 1행 여인수 전개로
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- $$\det(S - \lambda I) = (1 - \lambda)\left[(2 - \lambda)(1 - \lambda) - 1\right] - (1 - \lambda) = (1 - \lambda)\left[(2 - \lambda)(1 - \lambda) - 2\right] = (1 - \lambda)(-\lambda)(3 - \lambda)$$
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- 고윳값 $0, 1, 3$. 검산: 합 $4 = 1 + 2 + 1$ ✓, 곱 $0 = \det S$ ✓
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- 고유벡터: $\lambda = 1$ 은 $S - I$ 의 1행 $(0, -1, 0)$ 과 2행 $(-1, 1, -1)$ 에서 $x_2 = (1, 0, -1)$. $\lambda = 3$ 은 $S - 3I$ 의 1행 $(-2, -1, 0)$ 과 3행 $(0, -1, -2)$ 에서 $x_3 = (1, -2, 1)$.
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- 검산: $Sx_3 = (1 + 2,\ -1 - 4 - 1,\ 2 + 1) = (3, -6, 3) = 3x_3$ ✓. 세 고유벡터가 서로 직교한다: $(1,1,1) \cdot (1,0,-1) = 0$, $(1,1,1) \cdot (1,-2,1) = 0$, $(1,0,-1) \cdot (1,-2,1) = 0$ ✓ (대칭행렬의 특징, 6.3절).
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- ### ✏️ 연습문제 풀이 (솔루션 참고)
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- **문제 1**: [EX 1]의 $A = \begin{bmatrix} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{bmatrix}$, $A^2 = \begin{bmatrix} 0.70 & 0.45 \\ 0.30 & 0.55 \end{bmatrix}$, $A^\infty = \begin{bmatrix} 0.6 & 0.6 \\ 0.4 & 0.4 \end{bmatrix}$ 의 고윳값을 구하라. 거듭제곱은 모두 같은 고유벡터를 갖는다. 행 교환을 하면 고윳값이 달라짐을 보여라.
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- 🔁 개념 상기: $A^n x = \lambda^n x$ ([2단계]), 고유벡터는 그대로. 행 연산은 고윳값을 보존하지 않는다 ([6단계]).
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- $A$: 고윳값 $1, \frac{1}{2}$, 고유벡터 $x_1 = (0.6, 0.4)$, $x_2 = (1, -1)$ ([3단계]).
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- $A^2$: 고윳값 $1^2 = 1$, $(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$. 검산: 대각합 $0.70 + 0.55 = 1.25 = 1 + \frac{1}{4}$ ✓, 행렬식 $0.385 - 0.135 = 0.25 = \frac{1}{4}$ ✓
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- $A^\infty$: 고윳값 $1^\infty = 1$, $(\frac{1}{2})^\infty = 0$. 검산: 두 열이 같아 특이행렬 (0 ✓), 대각합 $1.0 = 1 + 0$ ✓. 고유벡터도 그대로: $A^\infty (1, -1) = (0, 0)$, $A^\infty (0.6, 0.4) = (0.36 + 0.24,\ 0.24 + 0.16) = (0.6, 0.4)$ ✓
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- 행 교환: $\begin{bmatrix} 0.2 & 0.7 \\ 0.8 & 0.3 \end{bmatrix}$ 은 대각합 $0.5$, 행렬식 $0.06 - 0.56 = -0.5$ 이므로 $\lambda^2 - 0.5\lambda - 0.5 = (\lambda - 1)(\lambda + 0.5) = 0$, 고윳값 $1, -0.5$. (열의 합이 여전히 1이라 $\lambda = 1$ 은 남지만) $\frac{1}{2}$ 이 $-\frac{1}{2}$ 로 바뀌었다.
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- 핵심 문장: $A^k$ 의 고윳값은 $\lambda^k$ 이고 고유벡터는 $A$ 와 같다. 행 교환은 고윳값을 바꾼다 (소거법은 고윳값을 보존하지 않는다).
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- **문제 2**: $A = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$ 와 $A + I = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$ 의 고윳값과 고유벡터를 구하라. $A + I$ 와 $A$ 의 고유벡터는 서로 ______. $A + I$ 의 고윳값은 $A$ 의 고윳값보다 1만큼 ______.
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- 🔁 개념 상기: $(A + cI)x = (\lambda + c)x$. 고윳값만 $c$ 만큼 이동, 고유벡터 불변 ([4단계]).
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- $A$: 대각합 4, 행렬식 $3 - 8 = -5$. $\lambda^2 - 4\lambda - 5 = (\lambda - 5)(\lambda + 1)$, 고윳값 $5, -1$.
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- $\lambda = 5$: $A - 5I = \begin{bmatrix} -4 & 4 \\ 2 & -2 \end{bmatrix}$, $x_1 = (1, 1)$.
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- $\lambda = -1$: $A + I = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$, $x_2 = (2, -1)$.
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- $A + I$: 고윳값 $5 + 1 = 6$, $-1 + 1 = 0$. 고유벡터는 같은 $(1, 1)$, $(2, -1)$.
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- 검산: $A + I$ 는 두 행이 같아 특이행렬이니 고윳값 0이 맞다 ✓. 대각합 $6 = 6 + 0$ ✓. $(A + I)(1, 1) = (6, 6) = 6 \cdot (1, 1)$ ✓
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- 빈칸: 고유벡터는 서로 **같다**. 고윳값은 1만큼 **크다**.
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- 핵심 문장: $A + I$ 는 고유벡터를 그대로 두고 고윳값만 1씩 올린다. $A$ 가 고윳값 $-1$ 을 가지면 $A + I$ 는 특이행렬이다.
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- **문제 5**: $A = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$, $A + B = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}$ 의 고윳값을 구하라. $A + B$ 의 고윳값은 ($A$ 의 고윳값) + ($B$ 의 고윳값)과 같은가?
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- 🔁 개념 상기: 삼각행렬의 고윳값은 대각성분 ([6단계]). $A + B$ 의 고윳값은 일반적으로 합이 아니다 ([7단계] ③).
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- $A$ 는 하삼각, $B$ 는 상삼각이라 둘 다 고윳값 $1, 3$.
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- $A + B$: 대각합 8, 행렬식 $16 - 1 = 15$. $\lambda^2 - 8\lambda + 15 = (\lambda - 3)(\lambda - 5)$, 고윳값 $3, 5$.
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- 어떻게 짝지어도 합 $(1 + 1, 3 + 3) = (2, 6)$ 이나 $(1 + 3, 3 + 1) = (4, 4)$ 는 $(3, 5)$ 가 아니다. **같지 않다.** (대각합끼리는 항상 더해진다. $8 = 4 + 4$ 처럼 합의 총량은 맞지만 개별 고윳값은 다르다.)
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- 핵심 문장: 고윳값은 행렬 덧셈에 대해 더해지지 않는다 ($A$ 와 $B$ 의 고유벡터가 다르므로). 대각합만 더해진다.
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- **문제 6**: $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$, $AB = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$, $BA = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ 의 고윳값을 구하라. (a) $AB$ 의 고윳값은 ($A$ 의 고윳값)×($B$ 의 고윳값)인가? (b) $AB$ 와 $BA$ 의 고윳값은 같은가?
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- 🔁 개념 상기: $AB$ 의 고윳값은 곱이 아니다 ([7단계] ③). $2 \times 2$ 는 대각합과 행렬식으로 고윳값이 결정된다 ([6단계]).
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- $A$, $B$ 는 삼각행렬이라 고윳값이 모두 $1, 1$.
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- $AB$: 대각합 4, 행렬식 $3 - 2 = 1$. $\lambda^2 - 4\lambda + 1 = 0$, 근의 공식으로 $\lambda = 2 \pm \sqrt{3}$.
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- $BA$: 대각합 $3 + 1 = 4$, 행렬식 $3 - 2 = 1$. **같은 방정식**이라 고윳값도 $2 \pm \sqrt{3}$.
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- (a) 아니다. $1 \times 1 = 1$ 인데 $AB$ 의 고윳값은 $2 \pm \sqrt{3} \approx 3.73, 0.27$ 이다.
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- (b) 같다. 이 예에서는 대각합과 행렬식이 일치해서 같았고, 일반적으로 $AB$ 와 $BA$ 의 고윳값이 항상 같다는 증명은 6.2절 끝에서 한다.
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- 검산: $(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 4 - 3 = 1 = \det(AB)$ ✓, 합 $4$ ✓
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- 핵심 문장: $AB$ 의 고윳값은 $\lambda\beta$ 가 아니다. 그러나 $AB$ 와 $BA$ 의 고윳값은 같다.
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- **문제 7**: 소거법으로 $A = LU$ 를 얻는다. 상삼각행렬 $U$ 의 고윳값은 ______이다. 하삼각행렬 $L$ 의 고윳값은 모두 ______이다. $A$ 의 고윳값은 ______과 동일하지 않다.
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- 🔁 개념 상기: 삼각행렬의 고윳값은 주대각선 위에 있다. 소거법은 고윳값을 보존하지 않는다 ([6단계]).
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- $U$ 의 고윳값은 주대각선의 **피벗**들이다. $L$ 은 주대각선이 전부 1이므로 고윳값은 모두 **1**이다. $A$ 의 고윳값은 **피벗**과 동일하지 않다.
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- 🔢 [6단계]의 예: $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$. $U$ 의 고윳값(피벗) $1, 0$, $L$ 의 고윳값 $1, 1$, $A$ 의 고윳값 $7, 0$.
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- 💡 그래도 하나는 이어진다. $\det A = \det L \cdot \det U = 1 \cdot (\text{피벗의 곱})$ 이고 $\det A = (\text{고윳값의 곱})$ 이므로, **피벗의 곱과 고윳값의 곱은 같다** (행 교환이 있으면 부호 차이). 위 예: $1 \cdot 0 = 7 \cdot 0$ ✓. 개별 값은 달라도 곱은 지켜진다.
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- 핵심 문장: 피벗은 $U$ 의 고윳값이지 $A$ 의 고윳값이 아니다. 두 집합은 곱(= 행렬식)만 공유한다.
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- **문제 9**: $Ax = \lambda x$ 를 변형해 증명하라. (a) $\lambda^2$ 은 $A^2$ 의 고윳값이다. (b) $\lambda^{-1}$ 은 $A^{-1}$ 의 고윳값이다. (c) $\lambda + 1$ 은 $A + I$ 의 고윳값이다.
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- 🔁 개념 상기: 세 증명의 공통 전략은 "$Ax = \lambda x$ 의 양변에 같은 것을 적용하기". 고유벡터 $x$ 는 셋 다 그대로다 ([2단계], [4단계]).
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- (a) 양변에 $A$ 를 곱한다: $A(Ax) = A(\lambda x) = \lambda (Ax) = \lambda (\lambda x)$. 따라서 $A^2 x = \lambda^2 x$.
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- (b) 양변에 $A^{-1}$ 를 곱한다: $A^{-1}(Ax) = A^{-1}(\lambda x)$, 즉 $x = \lambda A^{-1} x$. $\lambda \neq 0$ 이므로 ($A$ 가 가역이면 0은 고윳값이 아니다) 양변을 $\lambda$ 로 나누어 $A^{-1} x = \frac{1}{\lambda} x$.
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- (c) 양변에 $Ix = x$ 를 더한다: $Ax + Ix = \lambda x + x$, 즉 $(A + I)x = (\lambda + 1)x$.
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- 검산 (확인문제 6.1A): $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$ 의 $\lambda = 1, 3$ 에서 $A^2$ 는 $1, 9$, $A^{-1}$ 는 $1, \frac{1}{3}$, $A + I$ 는 $2, 4$ ✓ ($A + I$ 의 대각합 $6 = 2 + 4$ ✓)
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- 핵심 문장: $A^2$, $A^{-1}$, $A + I$ 의 고윳값은 각각 $\lambda^2$, $1/\lambda$, $\lambda + 1$ 이고 고유벡터는 모두 $A$ 와 같다.
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- **문제 11**: $\lambda_1 \neq \lambda_2$ 인 $2 \times 2$ 행렬 $A$ 에 대해 $A - \lambda_1 I$ 의 열벡터들은 고유벡터 $x_2$ 의 상수배다. 이유를 설명하라.
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- 🔁 개념 상기: $A - \lambda_1 I$ 는 특이행렬(랭크 1)이라 열공간이 직선 하나다 ([5단계]). 열공간 안에 있는 벡터 하나만 찾으면 그 직선이 정해진다.
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- $x_2$ 에 $A - \lambda_1 I$ 를 곱해 본다: $(A - \lambda_1 I)x_2 = Ax_2 - \lambda_1 x_2 = \lambda_2 x_2 - \lambda_1 x_2 = (\lambda_2 - \lambda_1) x_2$.
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- $\lambda_2 - \lambda_1 \neq 0$ 이므로 이 결과는 $x_2$ 방향의 영벡터가 아닌 벡터이고, "행렬 × 벡터"는 열공간 안에 있다. 그러니 $A - \lambda_1 I$ 의 열공간(직선)이 곧 $x_2$ 방향이다. 두 열 모두 $x_2$ 의 상수배일 수밖에 없다.
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- 🔢 [EX 1]: $A - I = \begin{bmatrix} -0.2 & 0.3 \\ 0.2 & -0.3 \end{bmatrix}$ 의 열 $(-0.2, 0.2) = -0.2 \cdot (1, -1)$, $(0.3, -0.3) = 0.3 \cdot (1, -1)$. 둘 다 $x_2 = (1, -1)$ 의 배수다 ✓
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- 💡 지름길로 쓸 수 있다. $2 \times 2$ 에서 $x_2$ 를 구하려면 $A - \lambda_1 I$ 의 **아무 열**이나 읽으면 된다. ([5단계]의 "행에 수직인 $(b, -a)$" 지름길은 $x_1$ 을 주고, 이 문제의 "열 읽기"는 $x_2$ 를 준다.)
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- 핵심 문장: $(A - \lambda_1 I)x_2 = (\lambda_2 - \lambda_1)x_2$ 이므로 $A - \lambda_1 I$ 의 열공간은 $x_2$ 방향이다. $A - \lambda_1 I$ 의 열이 곧 다른 고유벡터 $x_2$ 다.
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- **문제 14**: 근의 공식으로 $\det(Q - \lambda I) = 0$ 을 풀어 $\lambda = \cos\theta \pm i \sin\theta$ 임을 확인하라. $Q = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}$ 는 평면을 $\theta$ 만큼 회전시킨다. $(Q - \lambda I)x = 0$ 을 풀어 고유벡터를 구하라.
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- 🔁 개념 상기: 회전은 실수 고유벡터가 없다 ([7단계] ②). $2 \times 2$ 특성다항식은 $\lambda^2 - (\text{대각합})\lambda + (\text{행렬식})$ ([6단계]).
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- 대각합 $2\cos\theta$, 행렬식 $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$. 따라서
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- $$\lambda^2 - 2\cos\theta\, \lambda + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad \lambda = \cos\theta \pm \sqrt{\cos^2\theta - 1} = \cos\theta \pm \sqrt{-\sin^2\theta} = \cos\theta \pm i\sin\theta$$
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- 검산: 합 $2\cos\theta$ = 대각합 ✓, 곱 $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ = 행렬식 ✓. $|\lambda|^2 = \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ 이므로 두 고윳값 모두 크기 1 (직교행렬의 특징).
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- 고유벡터, $\lambda_1 = \cos\theta + i\sin\theta$: $Q - \lambda_1 I = \begin{bmatrix} -i\sin\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & -i\sin\theta \end{bmatrix}$. 1행에서 $-i\sin\theta \cdot a - \sin\theta \cdot b = 0$, 즉 $b = -ia$. 고유벡터 $x_1 = (1, -i)$.
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- 2행으로 확인: $\sin\theta \cdot 1 - i\sin\theta \cdot (-i) = \sin\theta - \sin\theta = 0$ ✓ ($i \cdot i = -1$)
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- $\lambda_2 = \cos\theta - i\sin\theta$: 같은 계산으로 $x_2 = (1, i)$.
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- 검산 ($\theta = 90°$, [EX 5]): $\lambda = \pm i$, 그리고 $Q(1, i) = (-i, 1) = -i(1, i)$ 로 $(1, i)$ 가 $\lambda_2 = -i$ 의 고유벡터 ✓ (책의 복소 고유벡터 식과 일치)
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- 핵심 문장: 회전행렬 $Q_\theta$ 의 고윳값은 $\cos\theta \pm i\sin\theta$ (크기 1인 복소수 쌍), 고유벡터는 $\theta$ 와 무관하게 $(1, \mp i)$ 다. $\theta = 0°, 180°$ 일 때만 실수 고윳값이다.
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- **문제 15**: 모든 치환행렬은 $x = (1, 1, \ldots, 1)$ 을 고유벡터로 갖는다 ($\lambda = 1$). 다음 치환행렬에 대해 $\det(P - \lambda I) = 0$ 을 풀어 나머지 두 고윳값(복소수 가능)을 구하라. $P = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$, $P = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$. 모든 고윳값은 $|\lambda| = 1$ 을 만족한다.
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- 🔁 개념 상기: 치환행렬은 길이를 보존하므로 $|\lambda| = 1$ ([4단계]). 검산은 대각합(= 고윳값의 합)으로 한다.
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- 첫 번째 $P$ (순환 치환): 1행 여인수 전개로 $\det(P - \lambda I) = \det \begin{bmatrix} -\lambda & 1 & 0 \\ 0 & -\lambda & 1 \\ 1 & 0 & -\lambda \end{bmatrix} = -\lambda(\lambda^2) - 1 \cdot (0 - 1) = 1 - \lambda^3$.
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- $\lambda^3 = 1$: 근은 $\lambda = 1$ 과 $\lambda = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$ (1의 세제곱근). 검산: 세 근의 합 $1 + (-1) = 0$ = 대각합 ✓. 복소근의 크기는 $\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = 1$ ✓
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- 💡 기하: 이 $P$ 는 성분을 한 칸씩 돌리는 "3주기 순환"이라 $P^3 = I$. 그래서 고윳값은 $\lambda^3 = 1$ 을 만족해야 한다 ([7단계] ②의 $Q^2 = -I$ 논법과 같다).
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- 두 번째 $P$ (1, 3 성분 교환): 2행 여인수 전개로 $\det(P - \lambda I) = (1 - \lambda) \det \begin{bmatrix} -\lambda & 1 \\ 1 & -\lambda \end{bmatrix} = (1 - \lambda)(\lambda^2 - 1)$. 고윳값 $1, 1, -1$. 검산: 합 $1$ = 대각합 ✓
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- 💡 기하: 교환은 반사다 ([EX 3]). $(1, 0, 1)$ 과 $(0, 1, 0)$ 은 그대로($\lambda = 1$ 둘), $(1, 0, -1)$ 은 뒤집힌다($\lambda = -1$).
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- 핵심 문장: 치환행렬의 고윳값은 크기가 1이다. 순환 치환은 1의 거듭제곱근($\lambda^3 = 1$), 단순 교환은 $1, 1, -1$.
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- **문제 16**: 행렬 $A$ 의 행렬식은 $\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n$ 이다. 특성다항식을 $n$ 개의 1차항 $(\lambda_i - \lambda)$ 로 인수분해한 뒤 $\lambda = 0$ 을 대입해 빈칸을 채워라: $\det(A - \lambda I) = (\lambda_1 - \lambda)(\lambda_2 - \lambda) \cdots (\lambda_n - \lambda) \Rightarrow \det A = $ ______.
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- 🔁 개념 상기: 특성다항식은 $n$ 차이고 최고차항이 $(-\lambda)^n$ 이며, 근이 고윳값 $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ 이다 ([5단계]).
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- 근이 $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ 이고 최고차 계수가 $(-1)^n$ 인 $n$ 차 다항식은 하나뿐이다: $(-1)^n (\lambda - \lambda_1) \cdots (\lambda - \lambda_n) = (\lambda_1 - \lambda)(\lambda_2 - \lambda) \cdots (\lambda_n - \lambda)$.
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- 이 항등식은 **모든** $\lambda$ 에 대해 성립하므로 $\lambda = 0$ 을 넣어도 된다. 좌변은 $\det(A - 0I) = \det A$, 우변은 $\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n$.
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- $$\det A = \lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n$$
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- 검산 ([EX 1]): 고윳값 $1, \frac{1}{2}$ 의 곱 $\frac{1}{2}$, 그리고 $\det A = (0.8)(0.7) - (0.3)(0.2) = 0.5$ ✓
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- 핵심 문장: 특성다항식에 $\lambda = 0$ 을 대입하면 $\det A = $ (고윳값의 곱)이 나온다. 그래서 고윳값 중 하나라도 0이면 특이행렬이다.
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- **문제 17**: $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ 의 $\det(A - \lambda I) = \lambda^2 - (a + d)\lambda + ad - bc = 0$. 근의 공식으로 고윳값은 $\lambda = \frac{a + d \pm \sqrt{\square}}{2}$ 이다. 고윳값들의 합은 ______이다. 고윳값이 $\lambda_1 = 3$, $\lambda_2 = 4$ 이면 $\det(A - \lambda I) = $ ______이다.
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- 🔁 개념 상기: 2차식의 근과 계수의 관계. $(\lambda - \lambda_1)(\lambda - \lambda_2) = \lambda^2 - (\lambda_1 + \lambda_2)\lambda + \lambda_1 \lambda_2$ ([6단계] 지름길).
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- 두 표현을 비교한다: $\lambda^2 - (a + d)\lambda + (ad - bc)$ 와 $\lambda^2 - (\lambda_1 + \lambda_2)\lambda + \lambda_1 \lambda_2$. 계수가 같아야 하므로
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- $$\lambda_1 + \lambda_2 = a + d = \text{대각합}, \qquad \lambda_1 \lambda_2 = ad - bc = \text{행렬식}$$
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- 근의 공식: $\square = (a + d)^2 - 4(ad - bc)$. 전개해 정리하면 $\square = (a - d)^2 + 4bc$.
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- $\lambda_1 = 3$, $\lambda_2 = 4$ 이면 $\det(A - \lambda I) = (\lambda - 3)(\lambda - 4) = \lambda^2 - 7\lambda + 12$. (대각합 7, 행렬식 12)
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- 💡 판별식 $(a - d)^2 + 4bc$ 에서 보이는 것: **대칭행렬** ($b = c$)이면 $(a - d)^2 + 4b^2 \geq 0$ 이라 고윳값이 **항상 실수**다. 반대로 $bc < 0$ 이면 (회전행렬처럼 $b = -c$) 복소수 고윳값이 나올 수 있다. 6.3절 "대칭행렬의 고윳값은 실수"의 $2 \times 2$ 미리보기다.
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- 핵심 문장: $2 \times 2$ 에서 $\lambda_1 + \lambda_2 = $ 대각합, $\lambda_1 \lambda_2 = $ 행렬식은 특성다항식의 계수 비교에서 바로 나온다. 판별식은 $(a - d)^2 + 4bc$ 다.
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- **문제 19**: $3 \times 3$ 행렬 $B$ 의 고윳값이 $0, 1, 2$ 라 하자. 이 정보만으로 다음 중 3가지를 구할 수 있다. (a) $B$ 의 랭크 (b) $B^{\mathrm{T}}B$ 의 행렬식 (c) $B^{\mathrm{T}}B$ 의 고윳값 (d) $(B^2 + I)^{-1}$ 의 고윳값.
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- 🔁 개념 상기: 고윳값의 곱 = 행렬식 ([6단계]). $A^2$, $A + I$, $A^{-1}$ 의 고윳값 규칙 (문제 9). $B^{\mathrm{T}}B$ 는 $B$ 와 고유벡터를 공유하지 않으므로 곱 규칙을 쓸 수 없다 ([7단계] ③).
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- (a) 랭크 $= 2$. $\det B = 0 \cdot 1 \cdot 2 = 0$ 이라 특이행렬이므로 랭크 $\leq 2$. 한편 $Bx = x$, $By = 2y$ 인 고유벡터 $x, y$ 는 열공간 안에 있고 서로 다른 방향이다 (만약 $y = cx$ 면 $By = cBx = cx = y$ 인데 $By = 2y$ 이므로 $y = 0$, 모순). 그러니 랭크 $\geq 2$. 따라서 정확히 2.
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- (b) $\det(B^{\mathrm{T}}B) = \det B^{\mathrm{T}} \cdot \det B = (\det B)^2 = 0$.
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- (c) 구할 수 **없다**. $B^{\mathrm{T}}B$ 의 고윳값은 $B$ 의 고윳값의 제곱이 아니다 ($B^{\mathrm{T}}$ 와 $B$ 는 고유벡터가 다르다, 문제 21). 0이 고윳값이라는 것만 알 수 있다.
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- (d) $B^2 + I$ 의 고윳값은 $\lambda^2 + 1 = 1, 2, 5$. 그 역행렬의 고윳값은 $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{5}$. (고유벡터는 $B$ 와 같다.)
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- 핵심 문장: $B$ 의 고윳값 $\lambda$ 로부터 $B$ 의 다항식과 역행렬의 고윳값은 결정되지만, $B^{\mathrm{T}}B$ 처럼 다른 행렬과 곱한 것의 고윳값은 결정되지 않는다.
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- **문제 21**: $A$ 의 고윳값은 $A^{\mathrm{T}}$ 의 고윳값과 같다. $\det(A - \lambda I)$ 와 $\det(A^{\mathrm{T}} - \lambda I)$ 가 같은 이유는? $A$ 와 $A^{\mathrm{T}}$ 의 고유벡터는 다르다는 것을 예로 보여라.
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- 🔁 개념 상기: $\det M = \det M^{\mathrm{T}}$ (5.2절). 고윳값은 특성다항식이 결정하지만 고유벡터는 영공간이 결정한다.
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- $(A - \lambda I)^{\mathrm{T}} = A^{\mathrm{T}} - \lambda I^{\mathrm{T}} = A^{\mathrm{T}} - \lambda I$. 전치해도 행렬식은 같으므로 $\det(A - \lambda I) = \det((A - \lambda I)^{\mathrm{T}}) = \det(A^{\mathrm{T}} - \lambda I)$. 특성다항식이 같으니 고윳값도 같다.
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- 고유벡터가 다른 예: $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ 와 $A^{\mathrm{T}} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ (둘 다 고윳값 $1, 0$).
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- $\lambda = 1$: $A - I = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$ 의 영공간은 $(1, 1)$. $A^{\mathrm{T}} - I = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$ 의 영공간은 $(1, 0)$. **다르다.**
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- $\lambda = 0$: $A$ 의 영공간은 $(0, 1)$, $A^{\mathrm{T}}$ 의 영공간은 $(1, -1)$. 역시 다르다.
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- 💡 이 사실의 쓸모: [3단계]의 "마르코프 행렬은 $\lambda = 1$ 을 갖는다"가 여기서 나왔다. 열의 합이 1이면 $A^{\mathrm{T}}(1, \ldots, 1) = (1, \ldots, 1)$ 이라 $A^{\mathrm{T}}$ 가 고윳값 1을 갖고, 따라서 $A$ 도 갖는다 (고유벡터는 다르지만).
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- 핵심 문장: $A$ 와 $A^{\mathrm{T}}$ 는 특성다항식이 같아 고윳값이 같다. 고유벡터는 영공간 $N(A - \lambda I)$ 와 $N(A^{\mathrm{T}} - \lambda I)$ 가 달라 일반적으로 다르다.
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- **문제 23**: $\lambda_1 = \lambda_2 = 0$ 인 $2 \times 2$ 행렬을 3개 구하라. 대각합과 행렬식이 모두 0이다. $A$ 는 영행렬이 아닐 수 있지만 $A^2 = 0$ 인지 확인하라.
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- 🔁 개념 상기: $2 \times 2$ 는 대각합과 행렬식이 고윳값을 결정한다 ([6단계]). 고윳값이 겹치면 고유벡터가 부족할 수 있다 ([7단계] ①).
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- 대각합 0, 행렬식 0인 행렬: $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$ (세 번째: 대각합 $-1 + 1 = 0$, 행렬식 $-1 - (-1) = 0$ ✓).
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- 제곱: $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}^2 = 0$, $\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}^2 = 0$, $\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}^2 = \begin{bmatrix} 1 - 1 & -1 + 1 \\ 1 - 1 & -1 + 1 \end{bmatrix} = 0$. 셋 다 $A^2 = 0$.
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- 왜 항상 그런가: $2 \times 2$ 행렬은 직접 곱해 보면 $A^2 = (a + d)A - (ad - bc)I$ 를 만족한다 ($A^2$ 의 $(1,1)$ 성분 $a^2 + bc = (a + d)a - (ad - bc)$ 식으로 네 성분 모두 확인 가능). 대각합 0, 행렬식 0이면 우변이 0이라 $A^2 = 0$.
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- 💡 고유벡터 부족의 실례: 이 행렬들은 영행렬이 아니면서 고윳값이 $0, 0$ 이다. 고유벡터는 영공간뿐인데 랭크가 1이라 영공간은 직선 하나다. 예를 들어 $\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$ 의 고유벡터는 $(1, 1)$ 방향뿐이다.
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- 핵심 문장: 대각합 0, 행렬식 0인 $2 \times 2$ 행렬은 고윳값이 $0, 0$ 이고 $A^2 = 0$ 이다. 영행렬이 아니면 고유벡터가 직선 하나뿐이다.
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- **문제 24**: 랭크 1 특이행렬 $A = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 4 & 2 & 4 \\ 2 & 1 & 2 \end{bmatrix}$ 의 세 고윳값과 세 고유벡터를 구하라.
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- 🔁 개념 상기: 랭크 1이면 영공간이 2차원이라 $\lambda = 0$ 의 고유벡터가 2개 (독립) 있다. 나머지 하나는 대각합으로 잡는다 ([6단계]).
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- $A = uv^{\mathrm{T}}$ ($u = (1, 2, 1)$, $v = (2, 1, 2)$)의 작동 방식: $Ax = u(v^{\mathrm{T}}x)$. 결과는 항상 $u$ 의 배수다.
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- $\lambda \neq 0$ 의 고유벡터는 $u$ 자신: $Au = u(v^{\mathrm{T}}u) = u \cdot (2 + 2 + 2) = 6u$. 따라서 $x_3 = (1, 2, 1)$, $\lambda_3 = 6$.
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- $\lambda = 0$ 의 고유벡터는 $v$ 에 수직인 벡터 ($v^{\mathrm{T}}x = 0$ 이면 $Ax = 0$): $x_1 = (1, 0, -1)$, $x_2 = (1, -2, 0)$. ($2 - 2 = 0$ ✓, $2 - 2 = 0$ ✓)
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- 검산: 고윳값 $0, 0, 6$ 의 합 $6$ = 대각합 $2 + 2 + 2$ ✓, 곱 $0$ = 행렬식 (랭크 1이라 0) ✓
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- 💡 일반화: $uv^{\mathrm{T}}$ 의 고윳값은 $v^{\mathrm{T}}u$ (고유벡터 $u$) 하나와 0이 $n - 1$ 개 (고유벡터는 $v$ 에 수직인 모든 벡터). 대각합이 $v^{\mathrm{T}}u$ 인 것과 딱 맞는다 (도전문제 33도 같은 내용).
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- 핵심 문장: $A = uv^{\mathrm{T}}$ 의 0이 아닌 고윳값은 $v^{\mathrm{T}}u$ 하나뿐이고 고유벡터는 $u$ 다. 나머지 고유벡터는 $v$ 에 수직인 영공간이다.
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- **문제 32**: 행렬 $A$ 가 고윳값 $0, 3, 5$ 와 선형독립인 고유벡터 $u, v, w$ 를 갖는다. (a) 영공간과 열공간의 기저를 구하라. (b) $Ax = v + w$ 의 특수해와 일반해를 구하라. (c) $Ax = u$ 의 해는 존재하지 않는다. 만약 해가 존재했다면 ______은 열공간 안에 있을 것이다.
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- 🔁 개념 상기: $\lambda = 0$ 의 고유벡터는 영공간에 있다 ([1단계]). $\lambda \neq 0$ 이면 $x = A(x / \lambda)$ 라 고유벡터가 열공간에 있다. 3장의 차원 정리: $\dim N(A) + \dim C(A) = 3$.
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- (a) $Au = 0u = 0$ 이므로 $u \in N(A)$. $Av = 3v$ 에서 $v = A(\frac{1}{3}v) \in C(A)$, 마찬가지로 $w \in C(A)$. $u, v, w$ 가 독립이라 $\dim N(A) \geq 1$, $\dim C(A) \geq 2$ 인데 둘의 합이 3이므로 정확히 1과 2. 영공간의 기저 $\{u\}$, 열공간의 기저 $\{v, w\}$.
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- (b) 특수해: $A\left(\frac{v}{3} + \frac{w}{5}\right) = \frac{3v}{3} + \frac{5w}{5} = v + w$. 따라서 $x_p = \frac{v}{3} + \frac{w}{5}$. 일반해는 영공간을 더한 $x = \frac{v}{3} + \frac{w}{5} + cu$.
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- (c) 해가 있었다면 $u = Ax$ 가 **열공간** 안에 있어야 한다. 그러면 $u, v, w$ 세 독립 벡터가 열공간에 있어 $\dim C(A) = 3$, 즉 $A$ 가 가역이 되고 0이 고윳값일 수 없다. 모순. 빈칸: $u$.
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- 핵심 문장: 고유벡터로 방정식을 푼다. $\lambda = 0$ 의 고유벡터는 영공간, $\lambda \neq 0$ 의 고유벡터는 열공간을 이룬다. $Ax = b$ 의 해는 $b$ 의 각 고유벡터 성분을 자기 고윳값으로 나누면 된다.
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- **문제 38**: $A = \begin{bmatrix} 0.4 & 1 - c \\ 0.6 & c \end{bmatrix}$. (a) 고윳값과 고유벡터를 구하라 ($c$ 에 따라 달라진다). (b) $c = 1.6$ 이면 고유벡터가 직선 하나 위에만 있음을 보여라. (c) $c = 0.8$ 이면 마르코프 행렬이다. $A^n$ 은 어떤 $A^\infty$ 에 가까워지는가?
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- 🔁 개념 상기: 열의 합이 1이면 $\lambda = 1$ ([3단계], 문제 21). 나머지 고윳값은 대각합에서 뺀다. 고윳값이 겹치면 고유벡터가 부족할 수 있다 ([7단계] ①). $A^n$ 은 정상 상태로 수렴한다 ([3단계]).
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- (a) 각 열의 합이 $0.4 + 0.6 = 1$, $(1 - c) + c = 1$ 이라 **모든** $c$ 에 대해 $\lambda_1 = 1$. 대각합 $0.4 + c$ 에서 $\lambda_2 = c - 0.6$.
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- $\lambda_1 = 1$: $A - I = \begin{bmatrix} -0.6 & 1 - c \\ 0.6 & c - 1 \end{bmatrix}$ 의 1행에서 $x_1 = (1 - c,\ 0.6)$.
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- $\lambda_2 = c - 0.6$: $A - (c - 0.6)I = \begin{bmatrix} 1 - c & 1 - c \\ 0.6 & 0.6 \end{bmatrix}$ 에서 $x_2 = (1, -1)$. $c$ 와 무관하다! (검산: $A(1, -1) = (0.4 - 1 + c,\ 0.6 - c) = (c - 0.6)(1, -1)$ ✓)
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- 검산: 행렬식 $0.4c - 0.6(1 - c) = c - 0.6 = 1 \cdot (c - 0.6)$ ✓
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- (b) $c = 1.6$: $\lambda_2 = 1.0 = \lambda_1$. 고윳값이 겹친다. $x_1 = (1 - 1.6,\ 0.6) = (-0.6, 0.6)$ 은 $x_2 = (1, -1)$ 과 **같은 직선**이다. 실제로 $A - I = \begin{bmatrix} -0.6 & -0.6 \\ 0.6 & 0.6 \end{bmatrix}$ 는 랭크 1이라 영공간이 $(1, -1)$ 방향 하나뿐이다. 두 고유벡터가 하나로 합쳐졌다.
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- (c) $c = 0.8$: 성분이 모두 양수이고 열의 합이 1이라 마르코프 행렬. $\lambda = 1, 0.2$. $x_1 = (0.2, 0.6)$, 즉 $(1, 3)$ 방향.
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- $A^n$ 의 열들은 정상 상태 $x_1$ 방향으로 수렴한다. $A^n$ 도 열의 합이 1이므로 (마르코프 행렬의 곱은 마르코프) 극한의 열은 $(1, 3)$ 을 합 1로 맞춘 $\left(\frac{1}{4}, \frac{3}{4}\right)$:
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- $$A^\infty = \begin{bmatrix} 0.25 & 0.25 \\ 0.75 & 0.75 \end{bmatrix} \quad (\text{랭크 1, 고윳값 } 1, 0,\ \text{고유벡터 } (1, 3) \text{ 과 } (1, -1))$$
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- 검산: $A^\infty (1, 3) = (0.25 + 0.75,\ 0.75 + 2.25) = (1, 3)$ ✓, $A^\infty (1, -1) = 0$ ✓
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- 핵심 문장: 열의 합이 1인 행렬은 $c$ 와 상관없이 $\lambda = 1$ 을 갖고 나머지는 대각합 $- 1$ 이다. 고윳값이 겹치는 $c = 1.6$ 에서는 고유벡터가 직선 하나뿐이고, 마르코프인 $c = 0.8$ 에서는 $A^n$ 이 정상 상태 열로 수렴한다.
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@ -1,3 +1,22 @@
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deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- ## 6장 서론 정리
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- **이 장의 큰 그림**: 1~5장은 $Ax = b$ 라는 **정상 상태**(멈춰 있는 문제)를 다뤘다. 6장부터는 **변화**(시간이 흐르는 문제)를 다룬다.
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- 이산 시간이면 $u_{k+1} = Au_k$ ($k = 1, 2, 3, \ldots$), 연속 시간이면 $\dfrac{du}{dt} = Au$ 다.
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- 이런 방정식은 소거법으로 풀리지 않는다. 대신 행렬 $A$ 를 곱해도 **방향이 바뀌지 않는 특별한 벡터**, 즉 고유벡터를 찾는다.
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- **고유벡터와 고윳값 한 줄 정의**: $Ax = \lambda x$ 다. $A$ 를 곱해도 방향이 그대로인 벡터 $x$ 가 **고유벡터(eigenvector)**, 그때 늘어나는 배율 $\lambda$ 가 **고윳값(eigenvalue)** 이다 (스트레치 계수라고도 부른다).
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- **왜 강력한가**: 한 번 곱하면 $\lambda$ 배, 두 번 곱하면 $A^2 x = \lambda^2 x$, 100번 곱하면 $A^{100} x = \lambda^{100} x$ 다. 입력을 고유벡터 여러 개로 쪼개면 각 조각이 **따로따로** 자기 고윳값만큼만 늘어난다:
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- $$A(x_1 + x_2) = \lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2, \qquad A^2(c_1 x_1 + c_2 x_2) = c_1 \lambda_1^2 x_1 + c_2 \lambda_2^2 x_2$$
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- 그래서 $\lambda$ 는 **성장 계수(growth factor)** 다. 모든 $|\lambda_i| < 1$ 이면 $A^n$ 은 0으로 수렴하고, 하나라도 $|\lambda_i| > 1$ 이면 $A^n$ 은 결국 커진다. $\lambda = 1$ 이면 $A^n x$ 는 절대 변하지 않는 **정상 상태(steady state)** 다. 국가, 기업, 가정의 경제에서 이 $\lambda$ 의 크기가 매우 중요한 수다.
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- **행렬의 성질은 고윳값·고유벡터에 그대로 비친다**: 대칭행렬 $S$ 는 서로 직교하는 고유벡터를 가지며 고윳값은 모두 실수다. 그중 고윳값이 모두 양수인 대칭행렬을 **양의 정부호 행렬**이라 하며, 선형대수학에서 가장 중요한 행렬이다 (함수 $f(x) = \frac{1}{2} x^{\mathrm{T}} S x$ 의 최소점을 알려준다. 미적분의 2계도함수 판정법 $f'' > 0$ 을 $n$ 차원으로 옮긴 것).
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- **절별 로드맵**:
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- 6.1 고윳값 소개: $Ax = \lambda x$ 의 뜻, 구하는 법 $\det(A - \lambda I) = 0$, 검산 도구(고윳값의 곱 = 행렬식, 합 = 대각합).
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- 6.2 행렬의 대각화: 고유벡터를 이용해 $A$ 의 거듭제곱 $A^k$ 를 한 번에 계산하는 틀.
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- 6.3 대칭인 양의 정부호 행렬: 직교 고유벡터, 실수 고윳값, 그리고 양의 고윳값.
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- 6.4 복소수, 복소벡터, 복소행렬: 회전행렬처럼 실수 고윳값이 없는 경우를 위해 복소수를 도입한다. 푸리에 행렬(Fourier matrix).
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- 6.5 선형 미분방정식 풀기: $\dfrac{du}{dt} = Au$ 의 해는 거듭제곱 꼴 $u_n = \lambda^n x$ 대신 지수함수 꼴 $u(t) = e^{\lambda t} x$ 다. 전체 해는 $u(t) = e^{At} u(0)$.
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- 6장에 대한 고찰: 미분방정식 (책 자체에 있는 고찰).
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- 💡 수위 조절: 서론에 등장하는 양의 정부호, $e^{At}$, 푸리에 행렬은 전부 6.3~6.5의 예고편이다. 지금은 "고유벡터 = 방향이 안 바뀌는 벡터, 고윳값 = 그 방향의 배율, 이걸로 $A^{100}$ 같은 변화 문제를 푼다"는 감만 잡으면 충분하다.
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- ## 소단원
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- [[6.1 고윳값 소개 (Ax = λx)]]
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270
Major Study/pages/hls__6장_고윳값과_고유벡터.md
Executable file
270
Major Study/pages/hls__6장_고윳값과_고유벡터.md
Executable file
@ -0,0 +1,270 @@
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file:: [6장_고윳값과_고유벡터.pdf](../assets/6장_고윳값과_고유벡터.pdf)
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file-path:: ../assets/6장_고윳값과_고유벡터.pdf
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- 우리가 찾고자 하는 것은 행렬 A를 곱해도 방향이 바뀌지 않는 ‘고유벡터’ x이다.
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- 벡터에 행렬 A가 곱해지면 거의 모든 벡터의 방향이 바뀐다
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- 예외로 벡터 x만 Ax와 동일한 방향을 갖는다. 이러한 벡터들을 고유벡터라 한다.
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- 기본 방정식은 Ax = λx이고, λ는 행렬 A의 고윳값이 된다.
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- 고윳값과 고유벡터는 행렬을 바라보는 새로운 방법이다
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- λ는 고유벡터 x를 행렬 A에 곱했을 때 x의 길이가 늘어나는지, 줄어드는지, 혹은 방향이 바뀌는지를 알려준다.
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- 고윳값 λ는 0이 될 수도 있다. 이때 Ax = 0x는 고유벡터 x가 행렬 A의 영공간 안에 있음을 의미한다.
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- 만약 A가 항등행렬이면 모든 벡터 x가 Ax = x를 만족한다.
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- 즉 모든 벡터가 항등행렬 I의 고유벡터가 되고, 이때 모든 고윳값은 λ = 1이다.
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- 대부분의 2×2 행렬은 2개의 고유벡터 방향과 2개의 고윳값을 갖는다.
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id:: 6a9ab8a1-3513-4744-a811-591b11ae47cd
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- A − I와 A − ½I의 행렬식이 0이므로, 두 행렬은 역행렬을 갖지 않는다
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- 고유벡터 x₁, x₂는 각각 행렬 A − I와 A − ½I의 영공간 안에 있다
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- [:span]
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- A의 고유벡터는 A²의 고유벡터가 되고, 이에 따라 고윳값 λ는 제곱이 된다
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- A의 고유벡터 x는 모든 n에 대해 Aⁿ의 고유벡터이다. 따라서 Aⁿx = λⁿx이다
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id:: 6a9aba94-f543-427d-a773-a4c175f22dbf
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- 다른 모든 벡터들은 두 고유벡터 x₁, x₂의 선형결합이다
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- 각 고유벡터를 행렬 A에 곱할 때, 각 고유벡터가 고윳값에 곱해진다
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id:: 6a9abad4-2e31-4785-a332-e2f961be497a
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- 고유벡터 x₁에 대한 고윳값은 λ₁ = 1이므로, x₁은 시간에 따라 변하지 않는 ‘정상 상태’
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- 고유벡터 x₂에 대한 고윳값은 λ₂ = 0.5이므로, x₂는 사실상 사라지는 ‘감쇠 모드(decaying mode)’이다
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- 마르코프 행렬(Markov matrix)
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- 마르코프 행렬의 가장 큰 고윳값은 λ = 1이다.
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id:: 6a9abb81-82ee-42b2-87a2-2b279706dc25
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- 사영행렬 P에 대해 열공간은 자기 자신으로 사영된다(Px = x). 행렬 P의 영공간은 0으로 사영된다(Px = 0x). 행렬 P의 고윳값은 λ = 1과 λ = 0이다.
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- 사영행렬의 고윳값은 오직 0과 1뿐이다
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- 영공간은 0으로 사영되고, 열공간은 자기 자신으로 사영된다. 즉 사영은 열공간 안에 있는 벡터는 유지하고, 영공간 안에 있는 벡터는 제거한다.
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id:: 6a9abbf5-66b5-4c47-8b34-83b53a555342
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- 치환행렬의 모든 고윳값은 |λ| = 1
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- [:span]
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- λ가 행렬 A의 고윳값일 필요충분조건은 A − λI가 특이행렬인 것이다
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id:: 6a9abcb5-2e24-4977-91d2-d17e91240bc9
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- 특성다항식(characteristic polynomial) det(A − λI)는 오직 λ만 포함하고 x는 포함하지 않는다
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hl-page:: 8
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- 행렬 A는 n개의 고윳값을 갖는다.
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id:: 6a9abcd3-68c9-4982-88f9-e18839931bae
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- n × n 행렬은 n개의 고윳값을 갖는다(단, λ는 서로 동일할 수 있다). 각 고윳값 λ에 대해 식 (A − λI)x = 0 또는 Ax = λx를 풀어서 고유벡터 x를 구한다.
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id:: 6a9abcec-5e3a-4aeb-8d35-a7d6668868f1
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- λ = 0이 전혀 특별하지 않다는 것이다. 다른 숫자와 마찬가지로, 0이 고윳값일 수도 있고 아닐 수도 있다. A가 특이행렬이면 λ = 0에 대한 고유벡터는 영공간을 채운다(즉 Ax = 0x = 0). 반대로 A가 가역행렬이면 0은 고윳값이 아니다.
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ls-type:: annotation
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- [:span]
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hl-type:: area
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hl-stamp:: 1788525938276
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- 어떤 2×2 행렬은 단 하나의 직선 위에 있는 고유벡터만 가질 수도 있다. 이 상황은 두 고윳값이 동일할 때만 발생할 수 있다(반면에, A = I인 경우에는 고윳값이 모두 동일하지만 고유벡터는 무수히 많다). 고유벡터가 충분하지 않다면 기저를 만들 수 없다. 즉 모든 벡터 v를 고유벡터의 선형결합으로 나타낼 수 없다
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ls-type:: annotation
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hl-color:: yellow
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id:: 6a9abdaf-0ed2-4ad1-9525-a15b106ec586
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- 행렬 A의 행을 다른 행에 더하거나 행 교환을 하면 고윳값은 보통 바뀐다. 즉 소거법은 고윳값 λ를 유지하지 못한다. 삼각행렬 U의 고윳값은 주대각선 위에 있고, 이 고윳값은 행렬 A의 피벗이다. 그러나 행렬 A의 고윳값은 아니다.
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ls-type:: annotation
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hl-page:: 10
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hl-color:: yellow
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id:: 6a9abde3-e6ad-4d6e-8177-9ad1c15817b7
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- n개의 고윳값의 곱 (λ₁) ⋯ (λₙ)은 행렬 A의 행렬식과 같다
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hl-color:: yellow
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id:: 6a9abe00-8f74-4ed4-b972-83fa6248188e
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- n개의 고윳값의 합 λ₁ + λ₂ + ⋯ + λₙ은 n개의 주대각성분의 합, 즉 행렬 A의 대각합과 같다.
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ls-type:: annotation
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hl-color:: yellow
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id:: 6a9abe03-27bf-442b-8926-e9dc0852c1f0
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- 왜 삼각행렬의 고윳값 1, 2는 모두 행렬의 주대각선 위에 있을까?
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hl-color:: yellow
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id:: 6a9abe43-1da8-4eb6-abb2-07835aace85b
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- 고윳값은 실수가 아닌 복소수일 수도 있다.
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- [:span]
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- 먼저 Ax = λx에서 λx를 좌변으로 이항한다. 이에 따라 Ax = λx를 (A − λI)x = 0으로 나타낼 수 있다. 즉 행렬 A − λI와 고유벡터 x의 곱은 영벡터이다. 고유벡터는 A − λI의 영공간 안에 있는 영벡터가 아닌 벡터이다.
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- 2×2 행렬의 고유벡터에 대해 생각해보자. A − λI가 특이행렬이면, 이 행렬의 두 행은 모두 벡터 (a, b)의 상수배이다. 고유벡터는 (b, −a)의 임의의 상수배이다
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- 여기서 i = √−1이 어떻게 도움이 되는지를 살펴보기 위해 Q²이 −I임을 보이자. 행렬 Q가 90° 회전시키므로 Q²은 180° 회전시킨다. Q²의 고윳값은 −1, −1이다(당연히 −Ix = −1x이므로). 행렬 Q를 제곱하면 각 고윳값 λ도 제곱되므로 λ² = −1이어야 한다. i² = −1이므로 90° 회전행렬 Q의 고윳값은 +i, −i이다
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