2장 카드화 보완 — 2.3 LU 재사용, 2.4 P^T=P^-1·부분피벗 카드 3장 추가

Co-Authored-By: Claude Fable 5 <noreply@anthropic.com>
Claude-Session: https://claude.ai/code/session_01G8rNxLqi5rYjRamC8uwiJW

pages/2.3 행렬 계산과 A = LU.md

@@ -44,8 +44,9 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
 			- $$\underbrace{[(n-1) + (n-2) + \cdots + 1]}_{①\ b \to c} + \underbrace{[1 + 2 + \cdots + (n-1) + n]}_{②\ c \to x} = n^2$$
 			- 💡 $n^2$ 이 되는 짝짓기 트릭 (p.98): ①의 $(n-1)$ 과 ②의 $1$, ①의 $(n-2)$ 와 ②의 $2$, … 를 짝지으면 매 쌍의 합이 $n$ 이고 쌍이 $(n-1)$ 개 → $n(n-1)$. ②에 짝 없이 남은 마지막 $n$ 하나를 더하면 $n(n-1) + n = n^2$. 딱 떨어진다.
 		- **결론 —** $LU$ **를 저장하는 이유를 수치로**:
-			- $A \to LU$ 분해(비싼 부분): $\approx \frac{1}{3}n^3$ 번 — **한 번만** 하면 된다.
-			- 새로운 $b$ 마다 드는 비용: $Lc = b$ (순방향) + $Ux = c$ (역대입) = $n^2$ 번.
+			- $A \to LU$ 분해(비싼 부분): $\approx$ $\frac{1}{3}n^3$ 번 => {{c1 **한 번**}}**만** 하면 된다.
+			  id:: 6a654a5b-b7fb-4f00-a8c9-41e828a913cb
+			  새로운 $b$ 마다 드는 비용: {{c1 **Lc=b**}} (순방향) + {{c1 **Ux = c**}} (역대입) = $n^2$
 			- $n = 1{,}000$ 이면 $\frac{1}{3}n^3 \approx 3.3$ 억 번 vs $n^2 = 100$ 만 번 — 두 번째 $b$ 부터는 **약 333배 싸게** 푼다.
 			- ⚠️ 우변 처리에 필요한 정보(각 단계의 승수 $\ell_{ij}$)가 전부 $L$ 에 저장되어 있다는 것이 핵심 — 그래서 $A$ 를 다시 소거할 필요가 없다.
 		- 크기 감각: $n = 1{,}000$ 이면 약 1초. $n$ 이 2배가 되면 시간은 $2^3 = 8$ 배 ($n^3$ 규칙). 실무의 큰 행렬은 대부분 **희소행렬** (sparse matrix, 대부분 성분이 0)이라 $A = LU$ 계산이 훨씬 빠르다.
@@ -113,4 +114,4 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
 	- **문제 15** (책 표시: 쉽지만 중요한 문제) — $A$ 가 행 교환 없이 피벗 5, 9, 3을 가질 때, 왼쪽 상단 2×2 부분행렬 $A_2$ 의 피벗은?
 		- $A_2$ 의 피벗은 **5, 9** — 앞의 두 피벗 그대로.
 		- 이유: $A$ 에 대한 소거는 왼쪽 상단 모서리에서 시작하므로, 처음 두 단계가 곧 $A_2$ 에 대한 소거다 ($A_k = L_k U_k$).
-		- 💡 "모서리 부분행렬이 가역이어야 $A=LU$ 가 가능하다"는 본문 조건의 이유를 그대로 체험하는 문제.
+		- 💡 "모서리 부분행렬이 가역이어야 $A=LU$ 가 가능하다"는 본문 조건의 이유를 그대로 체험하는 문제.

pages/2.4 치환행렬과 전치행렬.md

@@ -16,7 +16,9 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
 		- ❷ $P$ 의 열들은 서로 **직교**한다 (열 사이 내적 = 0).
 		- ❸ 치환행렬의 곱도 치환행렬. 치환행렬의 역행렬도 치환행렬.
 		- ❹ $A$ 가 가역이면, 미리 행 순서를 조정하는 $P$ 가 존재해 소거에서 피벗 0을 만나지 않는다: $PA = LU$.
-		- **가장 중요한 성질**: $P^{\mathrm{T}} = P^{-1}$ — 즉 $P^{\mathrm{T}}P = I$.
+		- **가장 중요한 성질**: $P^{\mathrm{T}}$ = {{c1 $P^{-1}$}}
+		  id:: 6a654a5b-bb58-413b-9d6e-400597cbbdae
+		  extra:: 즉 $P^{\mathrm{T}}P = I$.
 			- 💡 이유: $P^{\mathrm{T}}P$ 의 $(i,j)$ 성분 = ($P$ 의 $i$ 열)·($P$ 의 $j$ 열). 열들이 서로 직교하고 각 열의 길이가 1이므로 대각선만 1, 나머지 0.
 	- **짝수 치환행렬 / 홀수 치환행렬**: $n!$ 개 중 절반은 짝수, 절반은 홀수 — $I$ 에 도달하는 데 필요한 행 교환 횟수의 홀짝.
 		- 📌 원문 — 홀수 치환행렬 (p.106): ((6a635c9c-b2e7-455e-bb1d-347b3cf085bb))
@@ -40,9 +42,10 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
 			- **행 교환 후** (피벗 $1$): $x + y = 2$ 를 위로. $\ell = \dfrac{0.0001}{1} = 0.0001$. 1행 갱신: $(1 - 0.0001)y = 1 - 0.0002$ → 3자리로 $1.00\,y = 1.00$ → $y = 1.00$, $x = 2 - 1.00 = 1.00$. **3자리 정밀도 안에서 정확하다.**
 			- 💡 행렬은 특이행렬 근처도 아니고 문제 자체는 멀쩡하다 — 순전히 **피벗 선택** 때문에 결과가 0점과 100점으로 갈렸다.
 		- **왜 "가장 큰 수"를 피벗으로 고르면 해결되는가**:
-			- 같은 열에서 절댓값이 가장 큰 수를 피벗으로 올리면, 모든 승수가 $\ell = \dfrac{\text{지울 성분}}{\text{피벗}}$ 에서 분자 ≤ 분모가 되어 **항상** $|\ell| \le 1$ 이 보장된다.
+			- 같은 열에서 절댓값이 가장 큰 수를 피벗으로 올리면, 모든 승수가 $\ell = \dfrac{\text{지울 성분}}{\text{피벗}}$ 에서 분자 ≤ 분모가 되어 **항상** $|\ell| \le$ {{c1 **1**}} 이 보장된다.
+			  extra:: $|\ell| \le 1$ 이면: 곱해서 빼는 양이 원래 행과 비슷한 크기 → 자릿수 소실이 없고, 기존 오차도 곱셈으로 **커지지 않는다** (1 이하를 곱하면 같거나 작아질 뿐)
+			  id:: 6a654cf6-2263-49c4-ad33-b52306fe67ad
 			- 📌 원문 (p.107): ((6a635d42-c493-49c3-be5e-3a661e755e22))
-			- $|\ell| \le 1$ 이면: 곱해서 빼는 양이 원래 행과 비슷한 크기 → 자릿수 소실이 없고, 기존 오차도 곱셈으로 **커지지 않는다** (1 이하를 곱하면 같거나 작아질 뿐). 위 사슬 ②③이 원천 차단된다.
 		- **"** $L$ **의 성분이 1 이하"의 뜻** — 어려운 말이 아니다:
 			- [[2.3 행렬 계산과 A = LU]]에서 봤듯 $L$ 의 주대각선 아래 성분들은 **정확히 승수** $\ell_{ij}$ **들**이다. 그러니 "부분피벗을 하면 $L$ 의 모든 성분이 1 이하"라는 문장은 = "**모든 단계의 승수가** $|\ell| \le 1$"의 다른 표현일 뿐이다.
 			- 📌 원문 (p.107): ((6a635d3f-54ac-451b-9c25-98e20dfdc20f))