fix: hls OCR 오타 46개 교정 + 볼드 안 LaTeX 중첩 44곳 분리
- hls 페이지 텍스트 하이라이트 본문을 책 원문 기준으로 교정 (속성·uuid 불변) - 오독 교정 포함: "2개의 피벗" → "n개의 피벗" 등 - 2장 페이지 6개에서 **...** 안에 $...$가 중첩된 44줄을 규칙대로 분리 - CLAUDE.md: hls 본문 텍스트 교정 허용 예외 규칙 추가 Co-Authored-By: Claude Fable 5 <noreply@anthropic.com> Claude-Session: https://claude.ai/code/session_01G8rNxLqi5rYjRamC8uwiJW
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songyc macbook
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20f7d6a3e1
commit
8cbc09bc32
@ -21,7 +21,7 @@ disable-anki-sync:: true
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- `journals/` — 저널 (현재 비어 있음).
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- `assets/` — 이미지·PDF. 페이지에서 `../assets/파일명` 상대경로로 참조.
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- `logseq/` — Logseq 설정 (`config.edn`, `custom.css`, `bak/`). **건드리지 않는다.**
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- `pages/hls__*.md` — PDF 하이라이트용 자동 생성 페이지. **직접 수정하지 않는다.**
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- `pages/hls__*.md` — PDF 하이라이트용 자동 생성 페이지. **직접 수정하지 않는다.** 단 하나의 예외: 스캔 PDF의 OCR 오타가 `((uuid))` 참조 표시 텍스트에 그대로 노출되므로, **텍스트 하이라이트 블록의 본문 텍스트(첫 줄)만 책 원문 기준으로 교정하는 것은 허용**된다. 이때 `id::`·`hl-page::` 등 속성 줄과 area 하이라이트(`[:span]`)는 절대 건드리지 않는다. `assets/*.edn`의 텍스트 사본은 수정하지 않으므로, 사용자가 그 하이라이트를 앱에서 다시 편집하면 오타 텍스트로 되돌아갈 수 있다 (그 경우 재교정하면 됨).
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- ## 페이지 계층 (허브 구조)
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```
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@ -104,7 +104,7 @@ disable-anki-sync:: true
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- ## 금지 사항
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- 기존 페이지 파일명 변경 금지 (Logseq 링크가 깨진다).
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- `id::` UUID 수정·복제 금지 (Anki 동기화가 깨진다).
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- `logseq/` 설정, `hls__*` 페이지, `assets/` 기존 파일 수정·삭제 금지.
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- `logseq/` 설정, `hls__*` 페이지, `assets/` 기존 파일 수정·삭제 금지. (예외: hls 페이지의 OCR 오타 본문 교정만 허용 — 「디렉토리 구조」의 hls 항목 참고.)
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- Anki 카드 문법 추가 금지 (사용자가 직접 만든다).
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- ## Git
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- 사용자는 `logseq YYYYMMDD` 형식으로 스냅샷 커밋을 해왔다.
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@ -22,7 +22,7 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- **열 그림** (column picture): $A$ 의 열들을 선형결합해 $b$ 를 만드는 그림. 3차원 이상에서도 쉽게 그릴 수 있다는 것이 행 그림과의 차이.
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- (p.79, 그림 2.2)
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- **상삼각행렬 $U$ 와 피벗**
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- **상삼각행렬** $U$ **와 피벗**
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- 문자 U는 **상삼각행렬** (upper triangular matrix)을 의미한다 — 주대각선 **아래**의 모든 성분이 0인 행렬.
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- 📌 원문 (p.75): ((6a6358ff-65bf-4fe7-bd3d-6626eea5a9d3))
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- **정확한 형태** ($3\times 3$ 예): 대각선 위와 대각선만 채워진다.
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@ -36,7 +36,7 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- **역대입법** (back substitution): $Ux = c$ 를 **아래에서 위로** 푼다.
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- 예 (p.75): $\begin{bmatrix} 2&3&4 \\ 0&5&6 \\ 0&0&7 \end{bmatrix} x = \begin{bmatrix} 19\\17\\14 \end{bmatrix}$ → $7x_3=14$ 에서 $x_3=2$ → $5x_2 + 12 = 17$ 에서 $x_2=1$ → $2x_1 + 3 + 8 = 19$ 에서 $x_1=4$.
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- 요약: $Ax=b$ 에 소거법 → $Ux=c$ → 역대입법으로 $x = U^{-1}c = A^{-1}b$.
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- **$A$ 에서 $U$ 로, $b$ 에서 $c$ 로 — 소거의 실제 과정** (p.76 예제, 식 (2)~(5))
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- $A$ **에서** $U$ **로,** $b$ **에서** $c$ **로 — 소거의 실제 과정** (p.76 예제, 식 (2)~(5))
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- **소거행렬** $E_{ij}$: $i$ 행에서 $j$ 행에 $\ell_{ij}$ 를 곱한 것을 빼서 $(i,j)$ 위치에 0을 만드는 행렬. $E_{21}, E_{31}, E_{32}$ 순서로 $A$ 의 왼쪽에 곱한다 (정확한 형태는 [[2.2 소거행렬과 역행렬]]에서 상세히).
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- 📌 원문 — 소거행렬 (p.76): ((6a635932-a78c-4087-a764-e7eaabae9f9f))
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- 예제 (p.76, 식 (2)~(5)) — 시작 행렬 $A$ 와 우변 $b$, 첫 번째 피벗은 2:
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@ -6,14 +6,14 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- **기본 소거 단계**: 방정식 $i$ 에서 방정식 $j$ 에 $\ell_{ij}$ 를 곱한 것을 빼는 것.
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- 📌 원문 (p.85): ((6a635a84-07f5-42f7-a189-5e34759ed1ba))
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- 승수(multiplier)는 $\ell_{ij} = \dfrac{\text{소거할 성분}}{\text{피벗}}$. 예: $a_{11}=3$ 아래 $a_{21}=-3$ 이 있으면 $\ell_{21} = -1$ 이고, "2행에서 1행에 $-1$ 을 곱한 것을 뺀다" = "2행에 1행을 더한다".
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- **소거행렬 $E_{ij}$ 의 정확한 형태** 🧩 (책이 명시적으로 정리해주지 않는 부분 — 복습용 정리)
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- **만드는 법**: 항등행렬 $I$ 에서 시작해 **$(i, j)$ 성분 (= $i$ 행 $j$ 열) 하나만 $-\ell_{ij}$ 로** 바꾼다. 나머지는 $I$ 그대로 (주대각선 1, 그 외 0).
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- **소거행렬** $E_{ij}$ **의 정확한 형태** 🧩 (책이 명시적으로 정리해주지 않는 부분 — 복습용 정리)
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- **만드는 법**: 항등행렬 $I$ 에서 시작해 $(i, j)$ **성분 (=** $i$ **행** $j$ **열) 하나만** $-\ell_{ij}$ **로** 바꾼다. 나머지는 $I$ 그대로 (주대각선 1, 그 외 0).
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- $$E_{ij} = I \text{ 에서 } (i,j) \text{ 성분만 } -\ell_{ij} \text{ 로 바꾼 행렬} \qquad (i > j \text{ 이므로 주대각선 아래})$$
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- 예 — 3행에서 1행에 2를 곱해 빼는 $E_{31}$ ($\ell_{31} = 2$): $(3,1)$ 위치에 $-2$.
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- $$E_{31} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$
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- **왜 이 형태인가**: $E_{31}A$ 의 3행 = ($E_{31}$ 의 3행) × $A$ = $-2 \cdot (A$ 의 1행$) + 1 \cdot (A$ 의 3행$)$ — 정확히 "3행 ← 3행 − 2×(1행)" 이다. 왼쪽에 곱하는 행렬의 각 행은 "결과의 그 행을 원래 행들의 어떤 결합으로 만들지"를 지시한다.
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- ⚠️ 첨자 순서 주의: $E_{ij}$ 는 "$i$ 행에서 $j$ 행을 (배수로) 뺀다"는 뜻이고, 바꾸는 성분 위치도 $i$ 행 $j$ 열이다. $i > j$ (아래 행에서 위 행을 뺌) 이므로 항상 주대각선 **아래**의 성분 하나를 바꾼다.
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- **전체소거행렬 $E$**: 행 교환이 필요 없는 $3\times 3$ 의 경우, 세 소거행렬을 순서대로 곱한 것.
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- **전체소거행렬** $E$: 행 교환이 필요 없는 $3\times 3$ 의 경우, 세 소거행렬을 순서대로 곱한 것.
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- $$E = E_{32}E_{31}E_{21}, \qquad EA = U$$
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- ⚠️ **곱하는 순서**가 소거 순서다: 먼저 $E_{21}$ (그 다음 $E_{31}$, 마지막 $E_{32}$)이 $A$ 에 가장 가까이(오른쪽에) 위치한다.
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- ⚠️ $E_{32}$ 는 $A$ 의 원래 2행이 아니라 **소거가 진행된 뒤의 새로운 2행**에 $\ell_{32}$ 를 곱해 뺀다 (p.86 EX1).
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@ -22,19 +22,19 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- 📌 원문 — 식 (10) (p.91): [🔗 PDF 위치](((6a63652b-602e-4795-920c-257281d9a689)))
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- 💡 $(3,1)$ 위치의 $\ell_{32}\ell_{21}$ 항이 생기는 이유: 1행이 2행을 바꾸고, 그 바뀐 2행이 다시 3행을 바꾸는 **연쇄 효과** 때문. 그래서 $E$ 자체는 쓸모 있는 공식이 안 되고, 역행렬 $L$ 쪽이 깨끗하다 (아래).
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- **$E_{ij}$ 의 역행렬 — 빼면, 역은 더한다**
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- $E_{ij}$ **의 역행렬 — 빼면, 역은 더한다**
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- $E_{ij}$ 가 "$i$ 행에서 $j$ 행 $\times \ell_{ij}$ 를 뺀다"면, $E_{ij}^{-1}$ 는 "$i$ 행에 $j$ 행 $\times \ell_{ij}$ 를 **더한다**".
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- 📌 원문 (p.86): ((6a635aa6-fc5b-4d1b-af7e-ce34f3a3dff2))
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- **정확한 형태**: $E_{ij}$ 에서 $(i,j)$ 성분의 **부호만 뒤집으면** 된다 ($-\ell_{ij} \to +\ell_{ij}$).
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- $$E = \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ -5&1&0 \\ 0&0&1 \end{bmatrix} \quad\Longrightarrow\quad E^{-1} = \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 5&1&0 \\ 0&0&1 \end{bmatrix} \qquad (\text{p.89 EX4})$$
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- **$L$ 은 $E$ 의 역행렬** — 이 장의 핵심 (p.91 식 (11))
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- $L$ **은** $E$ **의 역행렬** — 이 장의 핵심 (p.91 식 (11))
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- $E = E_{32}E_{31}E_{21}$ 의 역행렬을 **역순으로** 곱하면: $L = E^{-1} = E_{21}^{-1}E_{31}^{-1}E_{32}^{-1}$.
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- 📌 원문 — $E$ 의 역행렬을 $L$ 이라 한다 (p.86): ((6a635aae-3105-49ae-957b-172c4c5d0005))
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- 📌 원문 — 식 (11) (p.91): [🔗 PDF 위치](((6a635b68-9f69-4209-8ca3-615913bd254d)))
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- **$L$ 의 정확한 형태** 🧩: **하삼각행렬**로, ① 주대각선은 전부 1, ② 주대각선 아래 $(i,j)$ 성분에 승수 $\ell_{ij}$ 가 **부호 그대로, 제자리에** 들어간다. $E$ 와 달리 곱셈 연쇄 항이 전혀 없다.
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- $L$ **의 정확한 형태** 🧩: **하삼각행렬**로, ① 주대각선은 전부 1, ② 주대각선 아래 $(i,j)$ 성분에 승수 $\ell_{ij}$ 가 **부호 그대로, 제자리에** 들어간다. $E$ 와 달리 곱셈 연쇄 항이 전혀 없다.
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- $$L = \begin{bmatrix} 1 & & \\ \ell_{21} & 1 & \\ \ell_{31} & \ell_{32} & 1 \end{bmatrix}$$
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- 💡 **왜 $L$ 은 깨끗한가** (p.90 EX5의 교훈): 역행렬들을 곱하는 순서 $E_{21}^{-1}E_{31}^{-1}E_{32}^{-1}$ 에서는 "먼저 3행을 (2행으로) 바꾸고, **그 다음** 2행을 (1행으로) 바꾸므로" 바뀐 행이 다시 쓰이는 연쇄가 일어나지 않는다. 소거법의 순서는 $FE$, 역행렬의 순서는 $L = E^{-1}F^{-1}$ — 승수들이 모두 하삼각 $L$ 의 제자리에 위치한다.
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- 💡 **왜** $L$ **은 깨끗한가** (p.90 EX5의 교훈): 역행렬들을 곱하는 순서 $E_{21}^{-1}E_{31}^{-1}E_{32}^{-1}$ 에서는 "먼저 3행을 (2행으로) 바꾸고, **그 다음** 2행을 (1행으로) 바꾸므로" 바뀐 행이 다시 쓰이는 연쇄가 일어나지 않는다. 소거법의 순서는 $FE$, 역행렬의 순서는 $L = E^{-1}F^{-1}$ — 승수들이 모두 하삼각 $L$ 의 제자리에 위치한다.
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- 이 결과로 $EA = U$ 는 $A = E^{-1}U = LU$ 가 된다 → [[2.3 행렬 계산과 A = LU]] 의 주제.
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- **역행렬에 관한 사실**
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- **정의 — 가역행렬** (invertible matrix): $A^{-1}A = AA^{-1} = I$ 를 만족하는 $A^{-1}$ 가 존재하는 행렬 $A$.
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@ -44,8 +44,8 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- ⚠️ **모든 행렬이 역행렬을 갖는 것은 아니다.** 수는 0만 아니면 역수를 갖지만, 행렬은 조건이 더 복잡하다.
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- 📌 원문 (p.87): ((6a635ad8-3d2e-4392-a37b-c22c8b0de35d))
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- 📌 원문 — 가역이려면 열이 선형독립 (p.87): ((6a635adc-5c08-46ed-905c-6fef78d87284))
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- **역행렬 $A^{-1}$ 의 7가지 특징** (p.87~88)
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- **[특징 ①]** 역행렬 존재의 필요충분조건 = 소거법에서 **$n$ 개의 피벗**이 생기는 것 (행 교환 허용).
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- **역행렬** $A^{-1}$ **의 7가지 특징** (p.87~88)
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- **[특징 ①]** 역행렬 존재의 필요충분조건 = 소거법에서 $n$ **개의 피벗**이 생기는 것 (행 교환 허용).
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- 📌 원문 (p.87): ((6a635ae3-4e4a-437a-a3f8-c74bf19d9840))
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- **[특징 ②]** 역행렬은 **유일**하다. $BA = I$, $AC = I$ 이면 $B = C$ — 결합법칙으로 $B(AC) = (BA)C$ 에서 즉시 나온다. 왼쪽 역행렬 = 오른쪽 역행렬.
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- 📌 원문 (p.87): ((6a635ae9-06aa-4efd-8480-7a73b9eb35bb))
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@ -57,13 +57,13 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- 📌 원문 (p.87): ((6a635b0c-4f27-4cbd-8a6c-b6655b215713))
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- **[특징 ⑥]** $2\times 2$ 행렬이 가역일 필요충분조건은 $ad - bc \neq 0$:
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- $$\begin{bmatrix} a&b \\ c&d \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$$
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- 수 $ad-bc$ 는 2×2 행렬의 **행렬식** (determinant). 실제 판정에는 행렬식보다 **피벗이 $n$ 개인지** 확인하는 피벗 판정법을 주로 쓴다.
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- 수 $ad-bc$ 는 2×2 행렬의 **행렬식** (determinant). 실제 판정에는 행렬식보다 **피벗이** $n$ **개인지** 확인하는 피벗 판정법을 주로 쓴다.
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- 📌 원문 — 행렬식 (p.88): ((6a635b1e-c0f5-47d9-8dd4-e21f0b7271ed))
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- 📌 원문 — 2×2 가역 조건 (p.88): ((6a635b3a-8ccf-4542-81e5-fb74840b350b))
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- 💡 외우는 법: 대각 $a, d$ 는 **자리를 바꾸고**, 반대각 $b, c$ 는 **부호를 바꾸고**, 행렬식으로 나눈다.
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- **[특징 ⑦]** 상삼각행렬은 주대각성분 $d_i$ 가 모두 0이 아닐 때 (역시 상삼각인) 역행렬을 갖는다.
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- 📌 원문 (p.88): ((6a635b2a-5629-4ab6-9352-7ed4110d95dd))
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- **행렬곱 $AB$ 의 역행렬 — 역순으로**
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- **행렬곱** $AB$ **의 역행렬 — 역순으로**
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- 📌 원문 — 공식 (7) (p.89): [🔗 PDF 위치](((6a635b51-4ca7-4f6d-923a-74154bb8cda3)))
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- $$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}, \qquad (ABC)^{-1} = C^{-1}B^{-1}A^{-1}$$
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@ -18,15 +18,15 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- 우변 $b \to c$ (소거 적용) 그리고 $c \to x$ (역대입): 합쳐서 정확히 $n^2$ 번.
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- $$[(n-1) + (n-2) + \cdots + 1] + [1 + 2 + \cdots + (n-1) + n] = n^2$$
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- 크기 감각: $n = 1{,}000$ 이면 약 1초. $n$ 이 2배가 되면 시간은 $2^3 = 8$ 배 ($n^3$ 규칙). 실무의 큰 행렬은 대부분 **희소행렬** (sparse matrix, 대부분 성분이 0)이라 $A = LU$ 계산이 훨씬 빠르다.
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- **$A = LU$ 분해** — 이 장의 핵심 공식
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- $A = LU$ **분해** — 이 장의 핵심 공식
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- 소거 과정 $EA = U$ 를 뒤집으면 $A = E^{-1}U = LU$. [[2.2 소거행렬과 역행렬]]의 식 (11)이 $\ell_{ij}$ 가 $L$ 의 정확한 위치에 배치됨을 보여줬다.
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- **$L$ 과 $U$ 의 정확한 형태** 🧩:
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- $L$ **과** $U$ **의 정확한 형태** 🧩:
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- $L$ = 주대각선이 1이고, 주대각선 아래 $(i,j)$ 에 승수 $\ell_{ij}$ 가 들어간 **하삼각행렬**.
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- $U$ = 소거가 끝난 **상삼각행렬**, 주대각선에 피벗들이 놓인다.
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- $$A = LU = \begin{bmatrix} 1 & & \\ \ell_{21} & 1 & \\ \ell_{31} & \ell_{32} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \text{피벗}_1 & * & * \\ & \text{피벗}_2 & * \\ & & \text{피벗}_3 \end{bmatrix}$$
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- **증명 1 — 행 단위로 보기**: $L$ 에서 $\ell_{ij}$ 가 제자리에 있는 이유 (p.99~100)
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- 📌 원문 (p.99): ((6a635be3-d31e-4142-a915-420dc9b58289))
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- 소거 중 피벗 행에서 빼는 것은 $A$ 의 원래 행이 아니라 이미 완성된 **$U$ 의 행**이다 (피벗 행은 그 뒤로 다시 바뀌지 않으므로).
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- 소거 중 피벗 행에서 빼는 것은 $A$ 의 원래 행이 아니라 이미 완성된 $U$ **의 행**이다 (피벗 행은 그 뒤로 다시 바뀌지 않으므로).
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- $$(U \text{의 3행}) = (A \text{의 3행}) - \ell_{31}(U \text{의 1행}) - \ell_{32}(U \text{의 2행}) \tag{3}$$
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- 📌 원문 — 식 (3) (p.100): [🔗 PDF 위치](((6a63653f-b4da-4d0f-a4e6-a661af2898b6)))
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@ -41,14 +41,14 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- 반복하면 매 단계 "$L$ 의 열 $\ell_j$ × $U$ 의 피벗 행 $u_j$" 를 소거하고, 조각을 다시 합치면:
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- $$A = \ell_1 u_1 + \ell_2 u_2 + \cdots + \ell_n u_n = \begin{bmatrix} \ell_1 & \cdots & \ell_n \end{bmatrix}\begin{bmatrix} u_1 \\ \vdots \\ u_n \end{bmatrix} = LU \tag{5}$$
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- 💡 1장 마지막의 "(열)×(행) 곱셈" 관점이 여기서 진가를 발휘한다. $U$ 의 피벗 행 $u_k$ 는 앞에 $(k-1)$ 개의 0, $L$ 의 열 $\ell_k$ 도 위에 $(k-1)$ 개의 0으로 시작.
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- **행 교환 없이 $A = LU$ 분해가 가능한 조건** (p.101)
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- **행 교환 없이** $A = LU$ **분해가 가능한 조건** (p.101)
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- "행 교환이 없고 피벗에 0이 없는 $A = LU$ 분해는 언제 가능한가?"
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- 📌 원문 — 질문 (p.101): ((6a635bfb-bcd2-4ff3-9fd5-31424ab7abb4))
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- 답: $A$ 의 **왼쪽 상단 모서리에 있는 모든 $k \times k$ 부분행렬 $A_k$ 가 가역행렬**일 때만 가능하다 ($k = 1, \cdots, n$).
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- 답: $A$ 의 **왼쪽 상단 모서리에 있는 모든** $k \times k$ **부분행렬** $A_k$ **가 가역행렬**일 때만 가능하다 ($k = 1, \cdots, n$).
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- 📌 원문 — 답 (p.101): ((6a635c01-2fd8-4235-a9d8-052b6b5f93d7))
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- 이유: 소거 과정이 좌상단 모서리 부분행렬을 순서대로 분해하기 때문 — $A_k = L_k U_k$ 이 성립하려면 각 $A_k$ 가 가역이어야 한다.
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- 💡 직관: $k$ 번째 피벗은 좌상단 $k\times k$ 블록 안에서 결정된다. 앞쪽 블록이 특이하면 그 시점에 피벗 0을 만나 행 교환이 필요해진다.
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- **$LU$ 를 이용한 $Ax = b$ 풀이 — 두 개의 삼각 시스템**
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- $LU$ **를 이용한** $Ax = b$ **풀이 — 두 개의 삼각 시스템**
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- $A = LU$ 를 알고 나면: $Ax = b$ ⟺ $L(Ux) = b$ ⟺ 두 단계로 분리.
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- ① $Lc = b$ 를 **순방향 대입**으로 풀어 $c$ 를 얻는다 (소거가 우변에 하던 일).
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- ② $Ux = c$ 를 **역대입**으로 풀어 $x$ 를 얻는다.
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@ -2,7 +2,7 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- ### 핵심 개념
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- **이 절의 요지**: ① 치환행렬 $P$ 는 $I$ 의 행들을 재배열한 것이고 $P^{\mathrm{T}} = P^{-1}$. ② 전치행렬 $A^{\mathrm{T}}$ 는 행과 열을 뒤집으며 $(Ax)^{\mathrm{T}}y = x^{\mathrm{T}}(A^{\mathrm{T}}y)$ 가 본질적 정의. ③ 대칭행렬 $S = S^{\mathrm{T}}$, 그리고 $A^{\mathrm{T}}A$ 는 항상 대칭.
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- **치환행렬 (permutation matrix) $P$ 의 정확한 형태** 🧩
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- **치환행렬 (permutation matrix)** $P$ **의 정확한 형태** 🧩
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- **모든 행에 1이 하나만 있고, 모든 열에도 1이 하나만 있다. 그 외의 모든 성분은 0.** ($I$ 의 행들을 순서만 바꾼 것.)
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- 📌 원문 — 정의 (p.105): ((6a635c61-9ba1-4d93-afe4-1ae41d602a26))
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- **만드는 법**: 원하는 행 순서대로 $I$ 의 행을 재배열한다. 예 — $x = (x_1, x_2, x_3)$ 을 $(x_3, x_1, x_2)$ 로 바꾸고 싶으면, 1행에는 "$x_3$ 을 뽑는" $[0 \ 0 \ 1]$, 2행에는 $[1\ 0\ 0]$, 3행에는 $[0\ 1\ 0]$:
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@ -22,7 +22,7 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- 📌 원문 — 홀수 치환행렬 (p.106): ((6a635c9c-b2e7-455e-bb1d-347b3cf085bb))
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- 📌 원문 — 짝수 치환행렬 (p.106): ((6a635ca5-bdb6-4051-9bf7-a45e90b4ebf0))
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- 예: 단순 행 교환 1번 = 홀수. (1↔4, 2↔3) 두 번 교환 = 짝수.
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- **$PA = LU$ 분해 — $P$ 를 이용한 행 교환** (p.106~107)
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- $PA = LU$ **분해 —** $P$ **를 이용한 행 교환** (p.106~107)
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- 피벗 자리에 0이 나타나면 행 교환 후 소거를 계속한다. 필요한 모든 행 교환을 모아 **미리** 적용한 것이 $PA = LU$.
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- 예 (p.107): 2행↔3행을 먼저 바꾸면 $PA$ 는 피벗 0을 만나지 않고 곧장 $LU$ 로 분해된다.
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- 💡 원래 행렬에 열 $(1,2,3)$ 을 추가로 붙여두면 행 교환이 어떻게 일어났는지 추적된다 (다니엘 드러커의 방법) — 마지막에 그 열을 읽으면 $P$ 를 알 수 있다.
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@ -32,11 +32,11 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- 각 피벗을 그 아래의 모든 수보다 크게 만들면, $L$ 의 모든 성분(승수)은 1 이하가 된다 → 계산이 안정적.
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- 📌 원문 (p.107): ((6a635d3f-54ac-451b-9c25-98e20dfdc20f))
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- ⚠️ 수학적으로는 0만 아니면 피벗이 될 수 있지만, 컴퓨터에서는 **크기**가 중요하다 — "필요한 교환"과 "안전을 위한 교환"을 구분할 것.
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- **$PAQ$ — 행 치환과 열 치환**: 왼쪽 곱 $PA$ 는 **행** 순서를, 오른쪽 곱 $AQ$ 는 **열** 순서를 바꾼다. 행 6가지 × 열 6가지 = 3×3 행렬 하나에 36개의 서로 다른 $PAQ$.
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- **전치행렬 (transpose) $A^{\mathrm{T}}$ 의 정확한 형태** 🧩
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- $PAQ$ **— 행 치환과 열 치환**: 왼쪽 곱 $PA$ 는 **행** 순서를, 오른쪽 곱 $AQ$ 는 **열** 순서를 바꾼다. 행 6가지 × 열 6가지 = 3×3 행렬 하나에 36개의 서로 다른 $PAQ$.
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- **전치행렬 (transpose)** $A^{\mathrm{T}}$ **의 정확한 형태** 🧩
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- $A^{\mathrm{T}}$ 의 열은 $A$ 의 행이다. $A$ 가 $m \times n$ 이면 $A^{\mathrm{T}}$ 는 $n \times m$.
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- 📌 원문 (p.108): ((6a635d89-a3ba-4fb3-b75d-e81aa4884eac))
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- 성분으로: **$A^{\mathrm{T}}$ 의 $i$ 행 $j$ 열 성분 = $A$ 의 $j$ 행 $i$ 열 성분** — 주대각선을 기준으로 뒤집기.
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- 성분으로: $A^{\mathrm{T}}$ **의** $i$ **행** $j$ **열 성분 =** $A$ **의** $j$ **행** $i$ **열 성분** — 주대각선을 기준으로 뒤집기.
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- 📌 원문 — 정의 박스 (p.108): [🔗 PDF 위치](((6a635d90-88e5-4c32-9175-28492d607007)))
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- $$(A^{\mathrm{T}})_{ij} = A_{ji} \qquad \text{예: } A = \begin{bmatrix} 1&2&3 \\ 0&0&4 \end{bmatrix} \Rightarrow A^{\mathrm{T}} = \begin{bmatrix} 1&0 \\ 2&0 \\ 3&4 \end{bmatrix}$$
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@ -57,18 +57,18 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- **전치의 더 나은 (본질적) 정의**: $A^{\mathrm{T}}$ 는 다음 두 내적을 같게 만드는 행렬이다.
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- $$(Ax)^{\mathrm{T}}y = x^{\mathrm{T}}(A^{\mathrm{T}}y) \qquad (Ax \text{ 와 } y \text{ 의 내적}) = (x \text{ 와 } A^{\mathrm{T}}y \text{ 의 내적})$$
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- 💡 "주대각선 기준 뒤집기"는 계산 규칙일 뿐이고, 이 내적 등식이 $A^{\mathrm{T}}$ 의 수학적 존재 이유다. (p.111 EX2: 미분 $A = \frac{d}{dt}$ 의 전치가 $-\frac{d}{dt}$ 가 되는 부분적분 — [[2.5 미분과 유한차분행렬]]의 반대칭행렬과 연결.)
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- **대칭행렬 (symmetric matrix) $S$** (p.112)
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- **대칭행렬 (symmetric matrix)** $S$ (p.112)
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- 이 책에서는 대칭행렬을 $S$ 로 표기한다.
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- 📌 원문 (p.112): ((6a635e16-6b69-4f07-bce9-1a981454cfa1))
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- **대칭행렬은 $S^{\mathrm{T}} = S$ 를 만족한다** — 모든 $i, j$ 에 대해 $s_{ji} = s_{ij}$.
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- **대칭행렬은** $S^{\mathrm{T}} = S$ **를 만족한다** — 모든 $i, j$ 에 대해 $s_{ji} = s_{ij}$.
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- 📌 원문 — 정의 (p.112): [🔗 PDF 위치](((6a635e1e-2987-4a0d-a55d-b9a350118393)))
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- **대칭행렬의 역행렬은 대칭행렬이다**: $(S^{-1})^{\mathrm{T}} = (S^{\mathrm{T}})^{-1} = S^{-1}$.
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- 📌 원문 (p.112): ((6a635e27-6d8a-4134-8b04-8a987d5b6d32))
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- **대칭곱 $A^{\mathrm{T}}A$, $AA^{\mathrm{T}}$, $LDL^{\mathrm{T}}$** (p.112~113)
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- **대칭곱** $A^{\mathrm{T}}A$ **,** $AA^{\mathrm{T}}$ **,** $LDL^{\mathrm{T}}$ (p.112~113)
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- 어떤 (직사각) 행렬 $A$ 든 $S = A^{\mathrm{T}}A$ 는 항상 정사각·대칭이다: $(A^{\mathrm{T}}A)^{\mathrm{T}} = A^{\mathrm{T}}(A^{\mathrm{T}})^{\mathrm{T}} = A^{\mathrm{T}}A$.
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- ⚠️ $AA^{\mathrm{T}}$ 도 대칭이지만 $A^{\mathrm{T}}A$ 와는 (크기부터) 다른 행렬이다. $A$ 가 $m\times n$ 이면 $AA^{\mathrm{T}}$ 는 $m\times m$, $A^{\mathrm{T}}A$ 는 $n\times n$. $m=n$ 이어도 대부분 $A^{\mathrm{T}}A \neq AA^{\mathrm{T}}$.
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- **대칭행렬의 $S = LDL^{\mathrm{T}}$ 분해**: 대칭행렬은 소거가 2배 빠르다 (절반만 작업). $LU$ 분해는 대칭성을 깨지만, 피벗들을 대각행렬 $D$ 로 따로 뽑으면 $U = DL^{\mathrm{T}}$ 가 되어 대칭성이 살아난다.
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- **대칭행렬의** $S = LDL^{\mathrm{T}}$ **분해**: 대칭행렬은 소거가 2배 빠르다 (절반만 작업). $LU$ 분해는 대칭성을 깨지만, 피벗들을 대각행렬 $D$ 로 따로 뽑으면 $U = DL^{\mathrm{T}}$ 가 되어 대칭성이 살아난다.
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- $$S = LDL^{\mathrm{T}} \qquad \text{예: } \begin{bmatrix} 1&2 \\ 2&7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&0 \\ 2&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&2 \\ 0&1 \end{bmatrix}$$
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- 💡 형태 기억법: 왼쪽에 $L$, 가운데 피벗 대각행렬 $D$, 오른쪽에 $L$ 의 전치. 좌우가 서로 전치라서 전체가 자동으로 대칭.
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- ### ❓ 스스로 점검
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@ -1,7 +1,7 @@
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deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- ### 핵심 개념
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- **이 절의 목표**: 미분적분학과 선형대수학을 연결하는 것. 핵심 아이디어는 한 문장이다 — **미분방정식은 컴퓨터로 직접 못 푸니, 미분을 "차분"(빼기)으로 근사하면 행렬방정식 $KU = F$ 가 되고, 그건 2장에서 배운 소거법으로 풀 수 있다.**
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- **이 절의 목표**: 미분적분학과 선형대수학을 연결하는 것. 핵심 아이디어는 한 문장이다 — **미분방정식은 컴퓨터로 직접 못 푸니, 미분을 "차분"(빼기)으로 근사하면 행렬방정식** $KU = F$ **가 되고, 그건 2장에서 배운 소거법으로 풀 수 있다.**
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- 💡 전체 흐름 지도 (이것만 잡으면 절 전체가 보인다):
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- ① 미분 $\dfrac{dy}{dx}$ 를 **차분** $\dfrac{y(x+h)-y(x)}{h}$ 같은 꼴로 근사한다.
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- ② 2계 미분 $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ 의 근사에서 $1, -2, 1$ 패턴이 나온다.
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@ -30,24 +30,24 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- $$\frac{y(x+h) - y(x-h)}{2h} \approx \frac{dy}{dx} \qquad \text{— 오차 } O(h^2), \ \textbf{2차 정확도}$$
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- 💡 중심차분이 좋은 이유: 전진과 후진의 평균이라 $\pm$ 대칭으로 오차의 첫 항이 지워진다. $h = 0.01$ 이면 1차 정확도는 오차 ~1%, 2차 정확도는 ~0.01% — 공짜로 100배 좋아진다.
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- ⚠️ 부호와 분모 주의: 중심차분의 분모는 $h$ 가 아니라 $2h$ (두 점 사이 거리가 $2h$).
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- **2차차분 — $1, -2, 1$ 패턴의 탄생** (p.120 식 (4))
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- **2차차분 —** $1, -2, 1$ **패턴의 탄생** (p.120 식 (4))
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- (2a)+(2b) 를 $h^2$ 으로 나누면 1계 항이 상쇄되고 2계도함수의 근사가 나온다:
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- $$\frac{y(x+h) - 2y(x) + y(x-h)}{h^2} \approx \frac{d^2y}{dx^2}$$
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- 분자의 계수가 바로 $1, -2, 1$ — 이 패턴 하나가 이 절의 행렬 $K, T, B$ 전부의 씨앗이다.
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- 💡 직관: 2계도함수 = "양옆 평균과 자신의 차이". $y(x)$ 가 양옆 평균 $\frac{y(x+h)+y(x-h)}{2}$ 보다 작으면 위로 휜 것(양수).
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- **미분방정식 → 행렬방정식**: $-\dfrac{d^2u}{dx^2} = f(x)$ 를 격자에서 풀기 (p.122)
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- 설정: 구간 $[0,1]$ 을 격자 간격 $h = \frac{1}{N+1}$ 로 나눈다. 내부 격자점은 $x_1 = h, \cdots, x_N = Nh$ 의 $N$ 개. **경계점 $x_0 = 0$, $x_{N+1} = 1$ 에서는 $u=0$ 으로 고정** ($u_0 = 0, u_{N+1} = 0$).
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- 설정: 구간 $[0,1]$ 을 격자 간격 $h = \frac{1}{N+1}$ 로 나눈다. 내부 격자점은 $x_1 = h, \cdots, x_N = Nh$ 의 $N$ 개. **경계점** $x_0 = 0$ **,** $x_{N+1} = 1$ **에서는** $u=0$ **으로 고정** ($u_0 = 0, u_{N+1} = 0$).
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- 각 격자점마다 2차차분 방정식 하나: $\dfrac{-u_{i-1} + 2u_i - u_{i+1}}{h^2} = f(ih)$ → $N$ 개의 방정식을 **하나의 행렬방정식**으로:
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- $$\frac{1}{h^2}KU = F \qquad (N=4): \quad \frac{1}{h^2}\begin{bmatrix} 2&-1&0&0 \\ -1&2&-1&0 \\ 0&-1&2&-1 \\ 0&0&-1&2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} u_1\\u_2\\u_3\\u_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} f(h)\\f(2h)\\f(3h)\\f(4h) \end{bmatrix}$$
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- 미지수 $u_1, \cdots, u_N$ 은 정확한 해 $u(h), \cdots, u(Nh)$ 의 근삿값.
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- ⚠️ 1행이 $[2 \ -1 \ 0 \ 0]$ 로 "잘려" 있는 이유: 원래 패턴은 $-u_0 + 2u_1 - u_2$ 인데 경계 조건 $u_0 = 0$ 이라 그 항이 사라진 것. 마지막 행도 $u_5 = 0$ 때문에 같은 방식으로 잘린다. **행렬의 첫/끝 행은 경계 조건이 새겨진 자리다.**
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- **$K_n$ 의 정확한 형태** 🧩 (고정–고정 경계, 2차차분행렬)
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- **주대각선은 전부 $2$, 주대각선 바로 위·아래의 대각선은 전부 $-1$, 그 외는 전부 $0$.**
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- $K_n$ **의 정확한 형태** 🧩 (고정–고정 경계, 2차차분행렬)
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- **주대각선은 전부** $2$ **, 주대각선 바로 위·아래의 대각선은 전부** $-1$ **, 그 외는 전부** $0$ **.**
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- $$K_{ii} = 2, \qquad K_{i,i+1} = K_{i+1,i} = -1, \qquad \text{나머지 } 0$$
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- 📌 원문 — 식 (8) $K_4$ (p.122): [🔗 PDF 위치](((6a63655a-721b-4fd9-9d4e-104ea606096c)))
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- 💡 부호가 $-1, 2, -1$ 인 이유: 근사하는 대상이 $+\dfrac{d^2u}{dx^2}$ 가 아니라 $-\dfrac{d^2u}{dx^2}$ 이기 때문 (물리 문제에서 $-u''$ 꼴이 표준이라 부호를 반대로 뒤집은 것).
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- **$K$ 의 5가지 성질** (p.122~124) — 눈에 보이는 3가지 + 숨은 2가지
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- $K$ **의 5가지 성질** (p.122~124) — 눈에 보이는 3가지 + 숨은 2가지
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- ❶ **대칭행렬**이다: $K_{ij} = K_{ji}$, $K^{\mathrm{T}} = K$.
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- ❷ **밴드가 있다** (삼중대각행렬, tridiagonal): 0이 아닌 성분이 주대각선 주변 3개 대각선에만 → **희소행렬** (sparse). $N = 100$ 이면 0 아닌 성분은 $100+99+99$ 개, 전체의 3% 미만. 소거가 매우 빠르다.
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- ❸ **대각선 위의 수가 일정하다** (위치 불변 / 시불변): 미분방정식의 계수가 상수이기 때문. 이런 행렬을 **필터**, **합성곱 행렬** (convolution matrix), 정확한 용어로 **퇴플리츠 행렬** (Toeplitz matrix)이라 한다. MATLAB: `K = toeplitz([2 -1 0 0])`.
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@ -56,12 +56,12 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- ❺ **양의 정부호** (positive definite)이다: $n$ 개의 피벗이 **모두 양수**. (6장에서 정식으로 다룰 개념의 예고편.)
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- 피벗 기준 정리: 가역행렬 = 0 아닌 피벗 $n$ 개 / 대칭 + 양의 정부호 = **양의** 피벗 $n$ 개 / 대칭 + 양의 준정부호(semidefinite) = **음이 아닌** 피벗 $n$ 개.
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- 💡 $K$ 의 피벗은 $2, \frac{3}{2}, \frac{4}{3}, \frac{5}{4}, \cdots$ (모두 양수) — [[2.4 치환행렬과 전치행렬]] 연습문제 18(c)에서 직접 계산했다.
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- **경계 조건이 바뀌면 행렬이 바뀐다 — $K, T, B$ 삼형제** 🧩
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- **경계 조건이 바뀌면 행렬이 바뀐다 —** $K, T, B$ **삼형제** 🧩
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- 상황: 스프링으로 연결된 3개의 질량. **끝이 벽에 고정되었는가, 자유로운가**가 유일한 차이다.
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- (p.126, 그림 2.3)
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- **$K_n$ (고정–고정)**: 양 끝 모두 벽에 고정. 위에서 본 그대로 — 대각 $2, 2, \cdots, 2$.
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- **$T_n$ (자유–고정)**: 위 끝 자유, 아래 끝 고정. **$K$ 에서 $(1,1)$ 성분 하나만 $2 \to 1$ 로** 바뀐다.
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- $K_n$ **(고정–고정)**: 양 끝 모두 벽에 고정. 위에서 본 그대로 — 대각 $2, 2, \cdots, 2$.
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- $T_n$ **(자유–고정)**: 위 끝 자유, 아래 끝 고정. $K$ **에서** $(1,1)$ **성분 하나만** $2 \to 1$ **로** 바뀐다.
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- $$T_4 = \begin{bmatrix} \mathbf{1}&-1&0&0 \\ -1&2&-1&0 \\ 0&-1&2&-1 \\ 0&0&-1&2 \end{bmatrix}$$
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- 📌 원문 — 식 (10) $T_4$ (p.125): [🔗 PDF 위치](((6a63656f-97f2-40c9-a8c5-26180f7f9782)))
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@ -73,14 +73,14 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- $L^{-1}, U^{-1}, T^{-1}$ 는 모두 1로 채워진 삼각형/사각형 꼴의 아름다운 형태다:
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- 📌 원문 — 식 (12) 역행렬들 (p.125): [🔗 PDF 위치](((6a636579-147e-4d4a-8f81-87ca3fe5306a)))
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- **$B_n$ (자유–자유)**: 양 끝 모두 자유. **$K$ 에서 $(1,1)$ 과 $(n,n)$ 둘 다 $2 \to 1$ 로** 바뀐다.
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- $B_n$ **(자유–자유)**: 양 끝 모두 자유. $K$ **에서** $(1,1)$ **과** $(n,n)$ **둘 다** $2 \to 1$ **로** 바뀐다.
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- $$B_3 = \begin{bmatrix} \mathbf{1}&-1&0 \\ -1&2&-1 \\ 0&-1&\mathbf{1} \end{bmatrix}$$
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- **$B$ 는 특이행렬(비가역)이다!**
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- $B$ **는 특이행렬(비가역)이다!**
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- 🧩 **형태 비교 요약** (복습용): 셋 다 삼중대각·대칭이고 비대각은 $-1$. 차이는 오직 대각선의 **양 끝**:
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- $K$: 대각 $(2, 2, \cdots, 2, 2)$ — 가역, 양의 정부호
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- $T$: 대각 $(1, 2, \cdots, 2, 2)$ — 가역, 양의 정부호
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- $B$: 대각 $(1, 2, \cdots, 2, 1)$ — **비가역**, 양의 준정부호
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- **$B$ 가 특이행렬인 이유** — 두 가지 관점 (p.125~126)
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- $B$ **가 특이행렬인 이유** — 두 가지 관점 (p.125~126)
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- **대수적**: $B$ 의 **모든 행의 합이 0** → $x = (1, 1, \cdots, 1)$ 에 대해 $Bx = 0$. 영벡터가 아닌 해가 있으므로 비가역 (2.2절 특징 ④). 모든 상수벡터 $x = (c, c, \cdots, c)$ 가 $Bx = 0$ 을 만족하며, 이들이 $B$ 의 **영공간** (null space)을 이룬다.
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- 증명 한 줄: $B$ 가 가역이라 가정하면 $Bx = 0$ 의 양변에 $B^{-1}$ 를 곱해 $x = 0$ — 모순.
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- **물리적**: 양 끝이 다 자유이면 지지대가 없어서, 전체를 **통째로 평행이동**해도 스프링이 전혀 안 늘어난다 (= 힘 0). "위치를 유일하게 결정할 수 없음" = "해가 유일하지 않음" = 특이행렬.
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@ -114,7 +114,7 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- 참값 0에 대해 셋 다 오차 $\frac{1}{100}$ — **우연히** 모두 같다 ($x=0$ 에서 $y''=0$ 이라 1차 오차항이 사라졌기 때문).
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- 💡 이어지는 문제 8이 진짜 핵심: $y(h) \approx y(0) + h y'(0) + \frac{1}{2}h^2 y''(0)$ 을 세 공식에 대입하면 — 중심차분은 $h^2$ 항까지 정확하고, 전진은 $+\frac{1}{2}h\,y''(0)$, 후진은 $-\frac{1}{2}h\,y''(0)$ 의 오차를 갖는다. "2차 vs 1차 정확도"의 증명이 이 한 줄이다.
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- **문제 16** — $D_4 = \begin{bmatrix} 1&-1&0&0 \\ 0&1&-1&0 \\ 0&0&1&-1 \\ -1&0&0&1 \end{bmatrix}$ 일 때 $D_4 D_4^{\mathrm{T}}$ 가 2차차분행렬임을 보여라. $D_4$ 는 가역인가?
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- $D_4 D_4^{\mathrm{T}} = \begin{bmatrix} 2&-1&0&-1 \\ -1&2&-1&0 \\ 0&-1&2&-1 \\ -1&0&-1&2 \end{bmatrix} = C_4$ — 대각 2, 옆 대각 $-1$ 에 더해 **모서리 $(1,4), (4,1)$ 에도 $-1$** 이 있는 **주기적(순환) 2차차분행렬**.
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||||
- $D_4 D_4^{\mathrm{T}} = \begin{bmatrix} 2&-1&0&-1 \\ -1&2&-1&0 \\ 0&-1&2&-1 \\ -1&0&-1&2 \end{bmatrix} = C_4$ — 대각 2, 옆 대각 $-1$ 에 더해 **모서리** $(1,4), (4,1)$ **에도** $-1$ 이 있는 **주기적(순환) 2차차분행렬**.
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||||
- $C_4$ 는 비가역: 모든 행의 합이 0 → $x = (1,1,1,1)$ 이 $C_4 x = 0$. ($D_4$ 자체도 행 합이 0이라 비가역.)
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- 💡 $K, T, B$ 에 이어 네 번째 경계 조건 — **주기 경계** (원형으로 연결). 이것도 $B$ 처럼 "묶인 곳이 없어서" 특이행렬이 된다.
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||||
- **문제 18** — 1차 중심차분행렬은 가역이 아닐 수 있다. $\Delta_3 = \begin{bmatrix} 0&1&0 \\ -1&0&1 \\ 0&-1&0 \end{bmatrix}$ 과 $\Delta_4$ 로 확인하라.
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@ -23,9 +23,9 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- [[2.5 미분과 유한차분행렬]]
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- ## 2장에 대한 고찰
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- 2장의 내용은 아주 유용하고 실용적이다 — 정사각 가역행렬에 대해 $Ax = b$ 를 해결할 수 있게 되었다.
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- **$A^{-1}$ 에 대해 기억할 것**: $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$, $x = A^{-1}b$. 그러나 **역행렬은 거의 계산하지 않는다** — $A^{-1}$ 를 구해서 곱하는 $A^{-1}b$ 는 시간이 많이 들고 불필요하다.
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||||
- **실제 해법은 상삼각행렬 $U$**: $Ux = c$ 의 $n$ 번째 방정식 $u_{nn}x_n = c_n$ 부터 위로 올라가며 푼다 (역대입법). $A \to U$ 에 약 $\frac{n^3}{3}$ 단계, 이후 역대입으로 $x = U^{-1}c = A^{-1}b$.
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||||
- **아름다운 공식 $A = LU$**: $L$ 은 승수 $\ell_{ij}$ 들의 하삼각행렬, $U$ 는 소거가 만드는 상삼각행렬. 유일하게 불행한 경우는 피벗 $u_{ii}$ 가 0이거나 작을 때 — 이때는 행 교환 ($PA = LU$).
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||||
- $A^{-1}$ **에 대해 기억할 것**: $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$, $x = A^{-1}b$. 그러나 **역행렬은 거의 계산하지 않는다** — $A^{-1}$ 를 구해서 곱하는 $A^{-1}b$ 는 시간이 많이 들고 불필요하다.
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||||
- **실제 해법은 상삼각행렬** $U$: $Ux = c$ 의 $n$ 번째 방정식 $u_{nn}x_n = c_n$ 부터 위로 올라가며 푼다 (역대입법). $A \to U$ 에 약 $\frac{n^3}{3}$ 단계, 이후 역대입으로 $x = U^{-1}c = A^{-1}b$.
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||||
- **아름다운 공식** $A = LU$: $L$ 은 승수 $\ell_{ij}$ 들의 하삼각행렬, $U$ 는 소거가 만드는 상삼각행렬. 유일하게 불행한 경우는 피벗 $u_{ii}$ 가 0이거나 작을 때 — 이때는 행 교환 ($PA = LU$).
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||||
- **2장의 행렬 아이디어 지도** (p.130):
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- 역행렬 계열 — 상삼각 $U$, 소거행렬 $E$, 전치 $A^{\mathrm{T}}$, $A = LU$ 분해
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- 특이행렬 계열 — 하삼각 $L$, 치환행렬 $P$, 대칭행렬 $S = S^{\mathrm{T}}$, $S = LDL^{\mathrm{T}}$ 분해
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@ -1,67 +1,67 @@
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file:: [2장_선형방정식_Ax_=_b_풀기_1784805780272_0.pdf](../assets/2장_선형방정식_Ax_=_b_풀기_1784805780272_0.pdf)
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file-path:: ../assets/2장_선형방정식_Ax_=_b_풀기_1784805780272_0.pdf
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- Ar= b 는 ( 행렬 A 의 각 행으로부터 얻는) 개의 방정식 으로 이루어진다.
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- Ax = b는 (행렬 A의 각 행으로부터 얻는) n개의 방정식으로 이루어진다.
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ls-type:: annotation
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hl-page:: 2
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hl-color:: yellow
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id:: 6a63583b-0acd-445d-8434-975ef195f8eb
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||||
- 행렬 A에서 시작하여 A → EA = U → •A = E -1U=LU → x 까지의 모든 단계 에 대해 설명 하는 것이다
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- 행렬 A에서 시작하여 A → EA = U → A = E⁻¹U = LU → x까지의 모든 단계에 대해 설명하는 것이다
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ls-type:: annotation
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hl-page:: 2
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hl-color:: yellow
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id:: 6a63587a-1888-4607-8afd-f0e5a1073965
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||||
- Az= b를 만족 하는 벡터1 x= (x1,x2, I) 은 존재 하지 않을 수도 , 정확히 하나 존재할 수도 , 무수히 많이 존재할 수도있다
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- Ax = b를 만족하는 벡터 x = (x₁, x₂, ⋯, xₙ)은 존재하지 않을 수도, 정확히 하나 존재할 수도, 무수히 많이 존재할 수도 있다
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hl-page:: 3
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hl-color:: yellow
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id:: 6a635899-c408-42a9-9318-f6f0e374099b
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||||
- Azb의 해가 하나만 존재하는 경우
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- Ax = b의 해가 하나만 존재하는 경우
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id:: 6a6358b6-1d2d-491f-b86f-279eef0f8106
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||||
- 행렬 A의 모든 열 은 선형 독립이다.
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- 행렬 A의 모든 열은 선형독립이다.
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id:: 6a6358bc-2c18-4de7-8d19-899ebf887595
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||||
- Ax =b의 해 가 존재 하지 않는 경우
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||||
- Ax = b의 해가 존재하지 않는 경우
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hl-page:: 3
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hl-color:: yellow
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id:: 6a6358c9-2452-478b-a285-a1550da448b6
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- 벡터 b 는 행렬 A의 열 들의 선형 결합 이 아니다. 즉 벡터 b 는 행렬 A 의 열 공간 안에없다 .
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- 벡터 b는 행렬 A의 열들의 선형결합이 아니다. 즉 벡터 b는 행렬 A의 열공간 안에 없다.
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id:: 6a6358cf-5970-4a60-b17d-a8fabcac1326
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||||
- Azb 의 해가 무수히 많이 존재하는 경우 ( 행렬 A의 열이 선형 독립이 아닐 때, AX= 0해 는 무수히 많음 )
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||||
- Ax = b의 해가 무수히 많이 존재하는 경우 (행렬 A의 열이 선형독립이 아닐 때, AX = 0의 해는 무수히 많음)
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||||
ls-type:: annotation
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hl-page:: 4
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||||
hl-color:: yellow
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||||
id:: 6a6358dc-6020-4de7-9d27-aa98fbed0c17
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||||
- 이 경우는 행렬 A의 열 이 선형종속임을 의미한다
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||||
- 이 경우는 행렬 A의 열이 선형종속임을 의미한다
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hl-page:: 4
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hl-color:: yellow
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||||
id:: 6a6358df-a0cf-4682-aa0a-ba602d25ac6f
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||||
- 행렬 U 의 문자 U는 상삼각 행렬 을 의미 한다
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||||
- 행렬 U의 문자 U는 상삼각행렬을 의미한다
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hl-page:: 5
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||||
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id:: 6a6358ff-65bf-4fe7-bd3d-6626eea5a9d3
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||||
- 행렬 U의 주 대각선에 있는 피벗 ( pivot)
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||||
- 행렬 U의 주대각선에 있는 피벗(pivot)
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hl-page:: 5
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id:: 6a635906-6764-4b87-8597-bd485f29e316
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||||
- 숫자 0 은 피벗이 될 수 없다
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||||
- 숫자 0은 피벗이 될 수 없다
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||||
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||||
hl-color:: yellow
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||||
id:: 6a635913-a4e3-41b8-850a-a4cb798a9822
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||||
- 선형독립 인 열 을 가진 , 즉 랭크가 "인 " X" 정사각행렬 A 는 0이 아닌 피벗 을 가진 상 삼각행렬로 유도 될 수 있다 .
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- 선형독립인 열을 가진, 즉 랭크가 n인 n×n 정사각행렬 A는 0이 아닌 피벗을 가진 상삼각행렬로 유도될 수 있다.
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||||
ls-type:: annotation
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hl-page:: 5
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||||
hl-color:: yellow
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||||
@ -71,67 +71,67 @@ file-path:: ../assets/2장_선형방정식_Ax_=_b_풀기_1784805780272_0.pdf
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||||
hl-color:: yellow
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||||
id:: 6a635932-a78c-4087-a764-e7eaabae9f9f
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||||
- 행렬 A 와 U 는 최대 랭크 (full rank ) 를 갖는다 .
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||||
- 행렬 A와 U는 최대 랭크(full rank)를 갖는다.
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ls-type:: annotation
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hl-page:: 6
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hl-color:: yellow
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id:: 6a63593b-eed9-4165-9f02-f373ab970fe5
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||||
- 이 피벗 위치에 나타날 수도 있다.
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- 0이 피벗 위치에 나타날 수도 있다.
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ls-type:: annotation
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hl-page:: 7
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||||
hl-color:: yellow
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||||
id:: 6a635966-e526-4fab-9966-1f4e8a99f80a
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||||
- 이 문제를 해결하는 방법 은 간단 하다. 0 을 포함한 2행 과 5를 포함한 3 행 을 교환
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||||
- 이 문제를 해결하는 방법은 간단하다. 0을 포함한 2행과 5를 포함한 3행을 교환
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hl-page:: 7
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hl-color:: yellow
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id:: 6a635975-3d7c-4ce9-b4f8-121edf2767a1
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||||
- 열이 선형 종속인경우 , 피벗 위치에 0 이 반드시 생긴다 .
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||||
- 열이 선형종속인 경우, 피벗 위치에 0이 반드시 생긴다.
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hl-page:: 7
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hl-color:: yellow
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||||
id:: 6a6359a0-b6ca-49c8-96de-8356dc3768f1
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||||
- 상삼각행렬 U는 주대각선 에 0 이 없을 때, 정확히 최대 랭크 를 갖는다
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||||
- 상삼각행렬 U는 주대각선에 0이 없을 때, 정확히 최대 랭크를 갖는다
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||||
ls-type:: annotation
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hl-page:: 8
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||||
hl-color:: yellow
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||||
id:: 6a6359ac-a058-4293-8ab6-40ab10e442de
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||||
- 특이행렬 (singular
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||||
- 특이행렬(singular)
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hl-page:: 8
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hl-color:: yellow
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||||
id:: 6a6359f4-8a2c-4afe-a644-3ce58b755ed4
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||||
- 벡터 b를 행렬 A의 추가 열로 포함하는 것이다. 이와 같은 행렬 [A 이를첨가 행렬(augmented matrix)이라 한다.
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||||
- 벡터 b를 행렬 A의 추가 열로 포함하는 것이다. 이와 같은 행렬 [A b]를 첨가행렬(augmented matrix)이라 한다.
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hl-page:: 10
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||||
hl-color:: yellow
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id:: 6a635a13-2cdb-43dd-aebd-0e552945d649
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||||
- 치환 행렬 P
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||||
- 치환행렬 P
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hl-page:: 10
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hl-color:: yellow
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id:: 6a635a1e-3810-4cd9-84fa-42fa382e865f
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||||
- 모든 소거법 단계는 행렬 곱으로 수행 할 수 있다 .
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||||
- 모든 소거법 단계는 행렬곱으로 수행할 수 있다.
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hl-page:: 15
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||||
hl-color:: yellow
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id:: 6a635a7c-c085-49d0-a491-a38760e0de17
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||||
- 기본 소거 단계는 방정식 에서 방정식 에 ℓ를 곱한 것을 빼는 것이다
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||||
- 기본 소거 단계는 방정식 i에서 방정식 j에 ℓᵢⱼ를 곱한 것을 빼는 것이다
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hl-page:: 15
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hl-color:: yellow
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id:: 6a635a84-07f5-42f7-a189-5e34759ed1ba
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||||
- E의 역행렬 은 행 에 ( j행) xl」 를 더하는 것
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- Eᵢⱼ의 역행렬은 i행에 (j행)×ℓᵢⱼ를 더하는 것
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id:: 6a635aa6-fc5b-4d1b-af7e-ce34f3a3dff2
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||||
- 렬 E의 역행렬 을 특별히 L이라 한다
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- 행렬 E의 역행렬을 특별히 L이라 한다
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id:: 6a635aae-3105-49ae-957b-172c4c5d0005
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- "X" 정사각 행렬 A의 역행렬이 존재하려면 " 개의 선형독립인 열이 있어야 한다.
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- n×n 정사각행렬 A의 역행렬이 존재하려면 n개의 선형독립인 열이 있어야 한다.
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id:: 6a635ad8-3d2e-4392-a37b-c22c8b0de35d
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||||
- 행렬이 가역 행렬 이려면 이 행렬 의 열들이 선형독립 이어야 한다 .
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||||
- 행렬이 가역행렬이려면 이 행렬의 열들이 선형독립이어야 한다.
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hl-color:: yellow
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id:: 6a635adc-5c08-46ed-905c-6fef78d87284
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||||
- 역행렬이 존재할 필요충분조건 은 소거법에서 2 개의 피벗이 생기는 것
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- 역행렬이 존재할 필요충분조건은 소거법에서 n개의 피벗이 생기는 것
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hl-page:: 17
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hl-color:: yellow
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id:: 6a635ae3-4e4a-437a-a3f8-c74bf19d9840
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||||
- 역행렬은 유일 하게 존재 한다.
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- 역행렬은 유일하게 존재한다.
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hl-page:: 17
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hl-color:: yellow
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id:: 6a635ae9-06aa-4efd-8480-7a73b9eb35bb
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||||
- A 의 역행렬 이 존재 하는 경우, Az = b의 유일한 해는 = A- b이다 .
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- A의 역행렬이 존재하는 경우, Ax = b의 유일한 해는 x = A⁻¹b이다.
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ls-type:: annotation
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hl-page:: 17
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hl-color:: yellow
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id:: 6a635aef-6880-41b5-8b18-448e393588c3
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||||
- 정사각행렬이 가역 행렬일 필요 충분조건 은 이 행렬의 열들이 선형독립 인 것이다
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- 정사각행렬이 가역행렬일 필요충분조건은 이 행렬의 열들이 선형독립인 것이다
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ls-type:: annotation
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hl-page:: 17
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||||
hl-color:: yellow
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||||
id:: 6a635b0c-4f27-4cbd-8a6c-b6655b215713
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||||
- Ar=0 이 되는 영벡터가 아닌 벡터 가 존재 한다고 가정하자 . 그러면 행렬 A는 선형 종속인 열 을 갖는다. 따라서 행렬 A의 역행렬 은 존재 하지 않는다
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||||
- Ax = 0이 되는 영벡터가 아닌 벡터 x가 존재한다고 가정하자. 그러면 행렬 A는 선형종속인 열을 갖는다. 따라서 행렬 A의 역행렬은 존재하지 않는다
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||||
ls-type:: annotation
|
||||
hl-page:: 17
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||||
hl-color:: yellow
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||||
id:: 6a635b12-1a2e-453a-8e16-3bb97dcdbee1
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||||
- 수 ad-bc는 2x2 행렬 의 행렬식
|
||||
- 수 ad−bc는 2×2 행렬의 행렬식
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ls-type:: annotation
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hl-page:: 18
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||||
hl-color:: yellow
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||||
id:: 6a635b1e-c0f5-47d9-8dd4-e21f0b7271ed
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||||
- 상삼각 행렬은 주 대각성분 d가 0 이 아닌 경우 역행렬을 갖는다
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||||
- 상삼각행렬은 주대각성분 dᵢ가 0이 아닌 경우 역행렬을 갖는다
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ls-type:: annotation
|
||||
hl-page:: 18
|
||||
hl-color:: yellow
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||||
id:: 6a635b2a-5629-4ab6-9352-7ed4110d95dd
|
||||
- 2×2 행렬이 가역행렬일 필요충분조건은 ad -bc 가 0 이 아닌 것
|
||||
- 2×2 행렬이 가역행렬일 필요충분조건은 ad−bc가 0이 아닌 것
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||||
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|
||||
hl-page:: 18
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||||
hl-color:: yellow
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||||
@ -205,7 +205,7 @@ file-path:: ../assets/2장_선형방정식_Ax_=_b_풀기_1784805780272_0.pdf
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hl-stamp:: 1784896360478
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||||
- 가우스 - 조르단 소거법( Gauss -Jordan elimination
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||||
- 가우스-조르단 소거법(Gauss-Jordan elimination)
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||||
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||||
hl-page:: 27
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||||
hl-color:: yellow
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@ -215,27 +215,27 @@ file-path:: ../assets/2장_선형방정식_Ax_=_b_풀기_1784805780272_0.pdf
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||||
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||||
id:: 6a635bbc-cd20-4362-8dcc-ae180ca53cba
|
||||
- L에서 가 제자리 에 있는 이유 를 설명하는 방법을
|
||||
- L에서 ℓᵢⱼ가 제자리에 있는 이유를 설명하는 방법을
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||||
hl-page:: 29
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||||
hl-color:: yellow
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||||
id:: 6a635be3-d31e-4142-a915-420dc9b58289
|
||||
- 행 교환 이 없고 피벗에 0이 없는 A= LU 분해 는 언제 가능한가
|
||||
- 행 교환이 없고 피벗에 0이 없는 A = LU 분해는 언제 가능한가
|
||||
ls-type:: annotation
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||||
hl-page:: 31
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||||
hl-color:: yellow
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||||
id:: 6a635bfb-bcd2-4ff3-9fd5-31424ab7abb4
|
||||
- 쪽 상단 모서리에 있는 모든 kXk 부분행렬이 가역 행렬일 때만 가능하다
|
||||
- 왼쪽 상단 모서리에 있는 모든 k×k 부분행렬이 가역행렬일 때만 가능하다
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||||
hl-page:: 31
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||||
hl-color:: yellow
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||||
id:: 6a635c01-2fd8-4235-a9d8-052b6b5f93d7
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||||
- 치환 행렬 은 모든 행 에 하나 의 1만 있고 , 모든 열에도 하나 의 1만 있다. 그 외의 모든 성분은 0
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||||
- 치환행렬은 모든 행에 하나의 1만 있고, 모든 열에도 하나의 1만 있다. 그 외의 모든 성분은 0
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||||
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|
||||
hl-page:: 35
|
||||
hl-color:: yellow
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||||
id:: 6a635c61-9ba1-4d93-afe4-1ae41d602a26
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||||
- 홀수 치환 행렬
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||||
- 홀수 치환행렬
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|
||||
hl-page:: 36
|
||||
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|
||||
@ -252,17 +252,17 @@ file-path:: ../assets/2장_선형방정식_Ax_=_b_풀기_1784805780272_0.pdf
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id:: 6a635cbe-f6ee-4b77-9981-8d8ef4b101aa
|
||||
hl-type:: area
|
||||
hl-stamp:: 1784896702468
|
||||
- 각 피벗을 피벗 아래에 있는 모든 수 보다 크게 만들 때, 행렬 L 의 모든 성분들은 1 이하 가 된다
|
||||
- 각 피벗을 피벗 아래에 있는 모든 수보다 크게 만들 때, 행렬 L의 모든 성분들은 1 이하가 된다
|
||||
ls-type:: annotation
|
||||
hl-page:: 37
|
||||
hl-color:: yellow
|
||||
id:: 6a635d3f-54ac-451b-9c25-98e20dfdc20f
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||||
- '부분 피벳
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||||
- '부분피벗'
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|
||||
hl-page:: 37
|
||||
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id:: 6a635d42-c493-49c3-be5e-3a661e755e22
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||||
- 전치 행렬
|
||||
- 전치행렬
|
||||
ls-type:: annotation
|
||||
hl-page:: 38
|
||||
hl-color:: yellow
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- 대칭행렬을 S 로 표기
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- 대칭행렬을 S로 표기
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- 대칭 행렬의 역행렬 은 대칭 행렬 이다
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- 대칭행렬의 역행렬은 대칭행렬이다
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