5.1 다듬기: 2차 하이라이트 4건 연결(추출 이미지 3건, OCR 교정 1건), ACᵀ 비대각성분 3단계 보강(어긋난 짝짓기→A* 치환→0), 스스로 점검을 식 전개형 답으로 교체, CLAUDE.md 진행 상황 5장 갱신
Co-Authored-By: Claude Fable 5 <noreply@anthropic.com> Claude-Session: https://claude.ai/code/session_018JYaHeD41WPAk5P5wBojQe
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- **해답집**: `Major Study/assets/solution_1784335983942_0.pdf` — 스트랭 6판 공식 영문 솔루션 (전 챕터). 문제 번호는 한국어판과 동일하다. 각 챕터의 "Problem Set x.y" 헤더로 위치를 찾는다 (1장 해답: PDF 2~18쪽).
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- **PDF 읽는 법**: 단원 PDF는 스캔+OCR본이라 텍스트 레이어의 수식이 깨져 있다. 정리할 때는 **Read 도구로 페이지를 시각적으로 읽는다** (pdftoppm/poppler 설치됨). 이미지 추출·edn 좌표 파싱은 PyMuPDF(`import fitz`, 설치됨)를 쓴다.
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- **쪽번호 오프셋**: 1장 PDF는 책 쪽번호 = PDF 쪽번호 + 18. 2장 PDF는 책 쪽번호 = PDF 쪽번호 + 70. 단원 PDF마다 오프셋이 다를 수 있으니 첫 몇 쪽으로 확인할 것.
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- **진행 상황 (2026-08-20 기준)**: **1~4장 정리 완료.** 1~3장은 카드화·싱크 검증까지 완결 (3장 카드 총 65장, 2026-08-06 싱크 검증 통과). 4장은 소단원별 사이클 + GoodNotes 플로우 첫 적용으로 4.1~4.5 정리·고찰·「이 단원 핵심문제」·카드화까지 완료 (4.5 카드 14장: #card 10 + cloze 블록 4). 그래프 3분할·Anki 프로파일 3분할·모델명 이전·AnkiWeb 계정 분리·모바일 Working Copy 전환 모두 완결. **현재 단계: 사용자가 1~4장 「이 단원 핵심문제」를 순회하며 복습 중** — 해설 추가·보강 요청과 개념 질문이 오면 대응한다 (질문에 "수정하지 말고 답변만"이 붙으면 파일을 건드리지 않는다). 남은 뒷정리: ① 4장 복습까지 끝나 완전 종료가 확인되면 `bak/goodnotes/`의 4장 GoodNotes PDF 전부 삭제, ② 사용자 Anki 싱크 시 Major Study 프로파일·create 수 검증. 다음 신규 단원: **5장** (소단원별 사이클 계속). 3장 쪽번호 오프셋은 책 쪽 = PDF 쪽 + 130 이었음. 2장에서 확립되어 이후 장에도 적용할 방식: ① 새 행렬의 **정확한 형태를 🧩 표시 블록으로 명시**, ② 「단순 요약 금지」의 쉬운 재구성 원칙(숫자 예제 먼저·단계 지도·흔한 오해 교정), ③ 필요시 자작 SVG 그림. 복습 중 사용자가 이해 안 되는 부분을 요청하면 해당 블록만 보강하는 패턴이 반복된다.
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- **진행 상황 (2026-08-30 기준)**: **1~4장 완전 종료** (정리·카드화·「이 단원 핵심문제」 복습까지, 2026-08-29 확인. 4장 GoodNotes PDF 삭제 완료). 그래프 3분할·Anki 프로파일 3분할·모델명 이전·AnkiWeb 계정 분리·모바일 Working Copy 전환 모두 완결. **현재: 5장 행렬식 진행 중 (소단원별 사이클 + GoodNotes 플로우)**. 5.1 「3×3 행렬식과 여인수」 정리 완료: 5장 페이지(서론+소단원 목록) + 5.1 페이지, 하이라이트 21개(2차 4개 포함) 연결, PDF 추출 이미지 10개 + 자작 SVG 1개(식 3 분해), ACᵀ 비대각성분 상세 보강(어긋난 짝짓기 → A* 치환 → 0), 연습문제 7제(1·3·5·6·13·16·18) 해설. 사용자 카드화 일부 진행(#card 3장, 추가 예정), **현재 단계: 사용자가 5.1 연습문제를 풀며 질문·해설 보강 요청 예정** (질문에 "수정하지 말고 답변만"이 붙으면 파일을 건드리지 않는다). 5장 쪽번호 오프셋: 책 쪽 = PDF 쪽 + 278 (총 24쪽, 5.1은 책 281~288·연습문제는 PDF 8~10쪽). 해답집 Problem Set 5.1은 해답 PDF 83~84쪽. ⚠️ 한국어판 5.1 연습문제 6의 행렬 A(주대각 1)가 원서(본문 예제 A₃)와 달라 해답집 값 detA=4와 불일치, 한국어판 기준 정답은 −1 (해설에 주석 완료. 이후 장에서도 해답집 검산 불일치 시 한국어판 행렬 원문부터 재확인할 것). 남은 뒷정리: 사용자 Anki 싱크 시 Major Study 프로파일·create 수 검증. 다음: 5.2 (사이클 계속). 2장에서 확립된 방식(🧩 행렬 형태 명시·숫자 예제 먼저·단계 지도·흔한 오해 교정·자작 SVG) 계속 적용. 이해 안 되는 부분 요청 시 해당 블록만 보강하는 패턴 유지.
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- ## 단원 PDF 내보내기 (아이디어, 요청 시 구현)
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- 사용자가 "n단원 pdf로 만들어줘"라고 하면, 그 단원 페이지 + 거기 링크된 소단원 페이지들을 묶어 Logseq에서 보이는 느낌의 PDF 한 부로 만든다 (2026-08-20 가능성만 확인해 둔 상태, **아직 미구현**. 사용자가 필요할 때 요청하기로 함).
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- 파이프라인: ① 단원 페이지에서 `[[x.y ...]]` 링크를 수집해 페이지 목록 구성 → ② Logseq 문법 전처리: 속성 줄(`id::`·`deck::`·`collapsed::` 등) 숨김, `{{c1 ...}}` cloze는 괄호 벗겨 일반 텍스트화, `((uuid))`는 hls 페이지에서 원문 텍스트를 찾아 "📌 ... (p.n)"으로 치환, `../assets/` 이미지 경로 절대경로화 → ③ 불릿 계층 CSS(흰 배경, Logseq풍) + KaTeX 수식 렌더링 HTML 생성 → ④ Chrome 헤드리스 `--headless --print-to-pdf`로 변환.
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@ -29,6 +29,8 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- 🔢 숫자로 먼저. 주대각이 2, 그 위아래가 −1인 3×3 행렬:
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- $$A_3 = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{bmatrix}, \qquad \det A_3 = 8 - 2 - 2 = 4$$
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- 항을 뜯어보면: 주대각선에서 $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$, 나머지 5개 항은 $-2, -2, 0, 0, 0$. 다 더하면 4.
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- 📌 원문 A₁, A₂, A₃와 행렬식 값 (p.283): [🔗 PDF 위치](((6a931640-8a00-492e-9be1-f8b712b408ed)))
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- 
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- 일반 공식, 식 (1): 3개 행을 $abc$, $pqr$, $xyz$ 라 하면
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- $$\det A = +aqz + brx + cpy - ary - bpz - cqx$$
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- 📌 원문 부호 화살표 그림과 식 (1) (p.282): [🔗 PDF 위치](((6a92d586-1f49-4ac6-9702-4c9ff4d23a9e)))
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@ -48,6 +50,8 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- 
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- **수수께끼 −1의 정체**: 4×4 예제 식 (2)는 $\det A_4 = 2 \cdot \det(\cdots) - (-1) \cdot \det(\cdots)$ 로 쓰여 있다. 성분 $-1$ 말고 **앞에 붙은 − 부호가 하나 더** 있다.
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- 📌 원문 (p.283): ((6a92d733-c351-493c-91d7-8103ec135192))
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- 📌 원문 식 (2), 4×4의 여인수 분해 (p.283): [🔗 PDF 위치](((6a931709-11a2-469a-aa77-a7346c1ead5c)))
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- 
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- "뒤에 나오는 여인수 공식 $\det A = a_{i1}C_{i1} + \cdots + a_{in}C_{in}$ 은 전부 덧셈인데 왜 여기만 음수인가"라고 생각하기 쉽지만, 두 식은 완전히 같은 식이다. 차이는 자리부호 $(-1)^{i+j}$ 를 **어디에 두었느냐**뿐이다.
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- 식 (2)는 "성분 × 소행렬식 $M_{ij}$" 꼴로 쓰면서 자리부호를 겉으로 꺼내 놓았다: 둘째 항 $= a_{12} \cdot (-1)^{1+2} \cdot M_{12} = (-1) \cdot (-1) \cdot M_{12}$. 겉에 보이는 −가 바로 $(-1)^{1+2}$ 다 ($1 + 2$ 가 홀수라서 음수 자리).
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- 여인수 공식은 그 부호를 여인수 안에 숨긴 것: $C_{12} = (-1)^{1+2} M_{12}$. 그래서 $\det A = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + \cdots$ 는 겉보기에 전부 +다.
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@ -81,8 +85,28 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- $$AC^{\mathrm{T}} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ad-bc & 0 \\ 0 & ad-bc \end{bmatrix} = (\det A) I$$
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- 📌 원문 식 (6) (p.285): [🔗 PDF 위치](((6a92d867-4d38-4204-8f38-6f97d078f2a2)))
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- 
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- 주대각성분이 $\det A$ 인 이유: $i$ 행 성분들 × $i$ 행 여인수들 = 여인수 공식 (5) 그 자체.
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- 비대각성분이 0인 이유: $i$ 행 성분들을 **다른 행의 여인수** ($j$ 행 것)와 결합하면, $j$ 행 자리에 $i$ 행을 복사해 넣은 행렬의 행렬식이 된다. 그 행렬은 같은 행을 2개 가지므로 행렬식이 자동으로 0이다 (연습문제 18).
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- 주대각성분이 $\det A$ 인 이유: $i$ 행 성분들 × $i$ 행 여인수들 = 여인수 공식 그 자체.
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- 비대각성분이 0인 이유 (가장 헷갈리는 대목이라 3단계로 천천히):
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- ❶ 비대각성분의 정체부터 정확히. $AC^{\mathrm{T}}$ 의 $(1, 2)$ 성분은 ($A$ 의 1행) × ($C^{\mathrm{T}}$ 의 2열)이고, $C^{\mathrm{T}}$ 의 2열은 곧 $C$ 의 2행이다:
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- $$(AC^{\mathrm{T}})_{12} = a_{11}C_{21} + a_{12}C_{22} + \cdots + a_{1n}C_{2n}$$
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- 짝이 어긋나 있다: **성분은 1행에서, 여인수는 2행에서** 가져왔다.
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- (비교: 주대각성분은 같은 행끼리 짝지어진 $a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + \cdots$ 라서 여인수 공식 그대로 $\det A$ 가 나왔다. 비대각성분은 이 짝이 어긋난 버전이다.)
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- ❷ 🔢 숫자로 먼저 확인 (3×3):
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- $$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$
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- 2행 여인수 3개를 계산한다. 셋 다 **2행을 지우고** 만든다는 점에 주목:
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- $C_{21} = (-1)^{2+1}\det\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = -2$
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- $C_{22} = (-1)^{2+2}\det\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} = +1$
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- $C_{23} = (-1)^{2+3}\det\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 0 \end{bmatrix} = -(0 - 4) = +4$
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- 이제 1행 성분 $(1, 2, 0)$ 과 어긋나게 결합하면: $(AC^{\mathrm{T}})_{12} = 1 \cdot (-2) + 2 \cdot 1 + 0 \cdot 4 = 0$. 정말 0이 된다. 우연일까?
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- ❸ 왜 "항상" 0인가. 사실 두 개만 결합하면 된다:
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- 사실 ①: 여인수 $C_{2k}$ 는 2행을 **지우고** 계산하므로, 2행에 무엇이 들어 있든 값이 똑같다. 여인수는 자기 행의 내용을 아예 모른다.
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- 사실 ②: 여인수 공식은 어느 행렬에든 적용된다: (어떤 행렬의 2행 성분들) × (그 행렬의 2행 여인수들) = 그 행렬의 행렬식.
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- 결합: ❷의 합에서 2행 여인수들과 곱해진 수 $(1, 2, 0)$ 은 $A$ 의 1행이었다. 그런데 사실 ①에 의해, **2행을 1행으로 갈아끼운 행렬** $A^*$ 의 2행 여인수도 여전히 $-2, +1, +4$ 그대로다 (1행과 3행이 안 바뀌었으니까).
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- $$A^* = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{bmatrix} \quad \Rightarrow \quad 1 \cdot (-2) + 2 \cdot 1 + 0 \cdot 4 = \det A^*$$
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- 즉 ❷의 합은 사실 ②에 의해 $A^*$ 의 2행 여인수 공식, 다시 말해 $\det A^*$ 그 자체다.
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- 그런데 $A^*$ 는 1행과 2행이 똑같다. 같은 두 행을 교환해도 행렬은 그대로인데 행 교환은 부호를 반전시키므로 $\det A^* = -\det A^*$, 즉 $\det A^* = 0$ (연습문제 18).
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- ⚠️ "여인수 $C_{2k}$ 는 2행 성분으로 만든 값"이라고 생각하기 쉽지만 정반대다. 2행을 지우고 만들기 때문에 2행과 무관하고, 바로 이 "무관함" 덕분에 어긋난 합을 다른 행렬 $A^*$ 의 행렬식으로 바꿔 읽을 수 있다. 그 $A^*$ 가 하필 같은 행 2개짜리 특이행렬이라 0이 된다.
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- 💡 한 줄 요약: 대각 = 올바른 짝짓기 = $\det A$. 비대각 = 어긋난 짝짓기 = 행을 복제한 행렬의 행렬식 = 0.
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- **역행렬 공식**, 식 (6)을 $\det A$ 로 나누면:
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- $$A^{-1} = \frac{C^{\mathrm{T}}}{\det A}$$
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- 📌 원문 역행렬 공식, 식 (7) (p.285): [🔗 PDF 위치](((6a92d871-f906-4d54-9939-214b2138c412)))
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@ -97,6 +121,8 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- 🔢 식 (8)의 예 ($\det A = 1$ 인 상삼각행렬):
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- $$A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \frac{C^{\mathrm{T}}}{1}$$
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- 성분 하나 추적: $C_{32}$ 는 3행 2열을 지운 $\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ 의 행렬식 1에 $(-1)^{3+2} = -1$ 을 곱해 $-1$. 이 값이 $C^{\mathrm{T}}$ 의 (2, 3) 자리에 들어간다.
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- 📌 원문 식 (8) (p.285): [🔗 PDF 위치](((6a93171f-9088-4ecf-bb2e-4453d75beed4)))
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- 
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- 🔢 스케일 감각: $A$ 를 $2A$ 로 키우면 (3×3 기준) 행렬식은 $2^3 = 8$ 배, 여인수는 크기 2 행렬식이라 $2^2 = 4$ 배. 그래서 $(2A)^{-1} = \dfrac{4C^{\mathrm{T}}}{8\det A} = \dfrac{A^{-1}}{2}$ 로 아귀가 맞는다.
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- #### [6단계] −1, 2, −1 삼중대각행렬: 여인수 공식의 좋은 예
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- 주대각선에 2, 그 위아래에 −1이 있는 $n \times n$ 행렬 $A_n$ 의 행렬식을 여인수로 구한다.
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@ -113,26 +139,38 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- $$\det A_n = 2\det A_{n-1} - \det A_{n-2}$$
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- 🔢 결론, **모든 크기에서 성립하는 닫힌 값**: $\det A_n = 2, 3, 4, 5, \ldots$ 가 이어져 모든 $n$ 에 대해 $\det A_n = n + 1$ 이다.
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- 검산: $n + 1 = 2n - (n - 1)$ 이므로 점화식과 일치한다. 예: $\det A_4 = 2 \cdot 4 - 3 = 5$, $\det A_5 = 2 \cdot 5 - 4 = 6$.
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- 📌 원문 (p.286): ((6a93173e-bc93-4d9b-b218-aac33dee3dde))
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- 💡 여인수 공식이 유리한 경우는 이렇게 **0이 많은 행렬**이다 (항 개수가 확 줄어든다). 0이 아닌 성분이 많으면 소거법으로 $L, U$ 를 만들어 피벗 곱으로 구하는 편이 낫다 (5.2절에서 다룬다).
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- ### ❓ 스스로 점검
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- 4×4 행렬에서 $\det 2A$ 는 $\det A$ 의 몇 배인가? 왜 2배가 아닌가?
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- 4×4 행렬에서 $\det 2A$ 는 $\det A$ 의 몇 배인가? #card
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id:: 6a9319c2-242a-4b05-bd74-f28fef0257a5
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- $2^4 = 16$ 배.
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- 행렬식은 행렬 전체가 아니라 **행 하나에 대해** 선형이다.
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- $2A$ 는 4개 행 각각에 2를 곱한 것이라, 행마다 한 번씩 총 $2^4$ 배가 된다.
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- 여인수 $C_{ij}$ 의 정의를 말로 재현해 보라.
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- 여인수 $C_{ij}$ 를 구하는 과정은?. #card
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id:: 6a9319c2-f8c4-4830-9ec1-7be7b7cad96c
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- $A$ 에서 $i$ 행과 $j$ 열을 지운다.
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- 남은 크기 $n-1$ 행렬의 행렬식(소행렬식 $M_{ij}$)을 구한다.
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- 자리부호 $(-1)^{i+j}$ 를 곱한다: $C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$.
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- 여인수 공식 $\det A = a_{i1}C_{i1} + \cdots + a_{in}C_{in}$ 은 전부 덧셈이다. 식 (2)에 보이던 음수 부호는 어디로 갔는가?
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- 여인수 안으로 들어갔다: $C_{ij}$ 의 정의에 자리부호 $(-1)^{i+j}$ 가 포함되어 있다.
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- 부호를 밖으로 꺼내 "성분 × 소행렬식" 꼴로 쓰면 항 앞에 ±가 체커보드 무늬로 번갈아 나타난다.
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- 2×2 행렬 $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ 의 여인수행렬 $C$, 수반행렬 $C^{\mathrm{T}}$, 역행렬 $A^{-1}$ 을 차례로 적어 보라.
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- 2×2 행렬 $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ 의 여인수행렬 $C$, 수반행렬 $C^{\mathrm{T}}$, 역행렬 $A^{-1}$ 를 구해보면? #card
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- $C = \begin{bmatrix} d & -c \\ -b & a \end{bmatrix}$ (각 자리의 1×1 소행렬식에 자리부호를 곱한 것)
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- $C^{\mathrm{T}} = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$
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- $A^{-1} = \dfrac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$
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- $AC^{\mathrm{T}} = (\det A) I$ 에서 비대각성분이 자동으로 0이 되는 이유는?
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- $i$ 행 성분들을 $j$ 행($j \neq i$)의 여인수와 결합한 값은, $j$ 행 자리에 $i$ 행을 복사해 넣은 행렬의 여인수 공식과 같다.
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- 그 행렬은 같은 행을 2개 가지므로 행렬식이 0이다.
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- $AC^{\mathrm{T}} = (\det A) I$ 에서 비대각성분이 자동으로 0이 되는 이유는? #card
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- 비대각 $(i, j)$ 성분은 $A$ 의 $i$ 행과 $C$ 의 $j$ 행의 곱이다:
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- $$(AC^{\mathrm{T}})_{ij} = a_{i1}C_{j1} + a_{i2}C_{j2} + \cdots + a_{in}C_{jn}$$
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- $C_{jk}$ 는 $j$ 행을 지우고 만들어 $j$ 행 내용과 무관하다. 그래서 이 식은 $j$ 행 자리에 $i$ 행을 복사해 넣은 행렬 $A^*$ 의 여인수 공식과 같다:
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- $$a_{i1}C_{j1} + \cdots + a_{in}C_{jn} = \det A^* \qquad (A^*: j \text{행을 } i \text{행으로 바꾼 } A)$$
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- $A^*$ 는 같은 행($i$ 행)이 2개라서 $\det A^* = -\det A^* = 0$.
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- 결론: $(AC^{\mathrm{T}})_{ij} = \det A^* = 0$ ($i \neq j$).
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- −1, 2, −1 삼중대각행렬 $A_n$ 의 행렬식 점화식과 닫힌 값은?
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- 점화식: $\det A_n = 2\det A_{n-1} - \det A_{n-2}$ (1행 여인수 전개, 항 2개).
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- 닫힌 값: $\det A_n = n + 1$.
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@ -218,4 +256,4 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- 그래서 이 합은 "$A$ 의 $j$ 행을 $i$ 행으로 덮어쓴 행렬 $A^*$"에 대한 여인수 공식, 즉 $\det A^*$ 와 같다.
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- $A^*$ 는 $i$ 행이 두 군데( $i$ 행 자리, $j$ 행 자리) 있는 행렬이다. 1단계에 의해 $\det A^* = 0$.
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- 검산: 2×2로 직접 확인. $(1,2)$ 성분 $= a_{11}C_{21} + a_{12}C_{22} = a(-b) + b(a) = 0$ ✓ (1행을 두 번 가진 행렬 $\begin{bmatrix} a & b \\ a & b \end{bmatrix}$ 의 행렬식과 같다.)
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- 핵심 문장: 같은 행이 2개면 "교환해도 그대로인데 부호는 반전"이라 $\det = 0$. $AC^{\mathrm{T}}$ 의 비대각성분은 행을 복사한 행렬의 행렬식이라 자동으로 0이다.
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- 핵심 문장: 같은 행이 2개면 "교환해도 그대로인데 부호는 반전"이라 $\det = 0$. $AC^{\mathrm{T}}$ 의 비대각성분은 행을 복사한 행렬의 행렬식이라 자동으로 0이다.
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@ -99,4 +99,30 @@ file-path:: ../assets/5장_행렬식_1788006854821_0.pdf
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- 모든 n에 대해 detAₙ = n+1
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