4.5 스스로 점검 카드화 (사용자 작업, 카드 10장: #card 9 + cloze 1)
Co-Authored-By: Claude Fable 5 <noreply@anthropic.com> Claude-Session: https://claude.ai/code/session_018JYaHeD41WPAk5P5wBojQe
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songyc macbook
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5e550eca94
commit
926b382870
@ -2369,4 +2369,4 @@
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:properties {:color "yellow"}}],
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:extra {:page 72}}
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@ -190,21 +190,45 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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| 일반 (둘 다 부족) | $r < m,\ r < n$ | $R^{+}C^{+} = R^{\mathrm{T}}(C^{\mathrm{T}}AR^{\mathrm{T}})^{-1}C^{\mathrm{T}}$ | $P_{\text{row}}$ | $P_{\text{col}}$ | 최소노름 최소제곱해 |
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| 일반 (둘 다 부족) | $r < m,\ r < n$ | $R^{+}C^{+} = R^{\mathrm{T}}(C^{\mathrm{T}}AR^{\mathrm{T}})^{-1}C^{\mathrm{T}}$ | $P_{\text{row}}$ | $P_{\text{col}}$ | 최소노름 최소제곱해 |
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- 읽는 법: 아래로 갈수록 조건이 나빠지고, $I$ 였던 칸이 사영으로 바뀐다. 유사역행렬은 위의 세 줄을 전부 특수 케이스로 포함하는 마지막 줄이다.
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- 읽는 법: 아래로 갈수록 조건이 나빠지고, $I$ 였던 칸이 사영으로 바뀐다. 유사역행렬은 위의 세 줄을 전부 특수 케이스로 포함하는 마지막 줄이다.
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- ### ❓ 스스로 점검
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- ### ❓ 스스로 점검
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- 유사역행렬 $A^{+}$ 는 어떤 행렬이 갖는가? 진짜 역행렬 $A^{-1}$ 와의 관계는?
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- 유사역행렬 $A^{+}$ 는 어떤 행렬이 갖는가? 진짜 역행렬 $A^{-1}$ 와의 관계는? #card
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id:: 6a85e662-e05c-40a5-a377-720e2dc4b666
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- **모든 행렬**이 갖는다. 유사역행렬은 역행렬·좌역·우역을 전부 포함하는 상위 개념이다.
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- **모든 행렬**이 갖는다. 유사역행렬은 역행렬·좌역·우역을 전부 포함하는 상위 개념이다.
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- $A$ 가 가역이면 $A^{+} = A^{-1}$ 로 일치한다.
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- $A$ 가 가역이면 $A^{+} = A^{-1}$ 로 일치한다.
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- $A^{+}b$ 는 무엇을 주는가? 세 상황(해가 없다, 해가 무한하다, 둘 다)으로 나눠 말하라.
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- 열 독립인 행렬은 어떤 모양인가? 반대로 행 독립인 경우에는? (가로로 긴지 세로로 긴지 답할 것.)
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id:: 6a86998a-cbb6-4848-af8e-950a66edbb8d
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각 경우에 대한 판정과 $A^{+}A$ 의 공식을 답하라.
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또한 어떤 경우에 각 공간의 사영행렬이 되는지도 답하라. 그리고 $A^{+}b$ 의 의미를 각각 답하라. #card
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- | 유형 | 판정 | $A^{+}$ 공식 | $A^{+}A$ | $AA^{+}$ | $A^{+}b$ 의 의미 |
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| 정사각 가역 | $r = m = n$ | $A^{-1}$ | $I$ | $I$ | 유일한 해 |
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| 세로 (열 독립) | $r = n < m$ | $(A^{\mathrm{T}}A)^{-1}A^{\mathrm{T}}$ | $I$ | $P_{\text{col}}$ | 최소제곱해 $\hat{x}$ |
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| 가로 (행 독립) | $r = m < n$ | $A^{\mathrm{T}}(AA^{\mathrm{T}})^{-1}$ | $P_{\text{row}}$ | $I$ | 최단 해 $x^{+}$ |
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| 일반 (둘 다 부족) | $r < m,\ r < n$ | $R^{+}C^{+} = R^{\mathrm{T}}(C^{\mathrm{T}}AR^{\mathrm{T}})^{-1}C^{\mathrm{T}}$ | $P_{\text{row}}$ | $P_{\text{col}}$ | 최소노름 최소제곱해 |
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- $A^{+}b$ 는 무엇을 주는가? 세 상황(해가 없다, 해가 무한하다, 둘 다)으로 나눠 말하라. #card
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id:: 6a85e662-9e46-45fb-9eb6-80b0aa180c03
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- 해가 없을 수 있는 상황 (세로, $r = n$): 오차 $\|Ax - b\|$ 를 최소로 하는 **최소제곱해** $\hat{x}$ (정규방정식의 해).
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- 해가 없을 수 있는 상황 (세로, $r = n$): 오차 $\|Ax - b\|$ 를 최소로 하는 **최소제곱해** $\hat{x}$ (정규방정식의 해).
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- 해가 무한한 상황 (가로, $r = m$): 그중 길이 $\|x\|$ 가 가장 짧은 **최단 해** $x^{+}$ (행공간 소속, 영공간 성분 0).
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- 해가 무한한 상황 (가로, $r = m$): 그중 길이 $\|x\|$ 가 가장 짧은 **최단 해** $x^{+}$ (행공간 소속, 영공간 성분 0).
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- 둘 다인 상황: 두 처방의 동시 적용, **최소노름 최소제곱해**.
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- 둘 다인 상황: 두 처방의 동시 적용, **최소노름 최소제곱해**.
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- $A^{+}$ 를 구하는 절차를 처음부터 끝까지 말하라.
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- $A^{+}$ 를 구하는 절차를 유형에 따라 각각 답하라.
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- 1) 소거해서 랭크 $r$ 로 유형을 판정한다.
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- 대각행렬(대각 모양으로 값이 존재하고 나머지는 모두 0인 행렬. 꼭 정사각행렬일 필요는 없음) #card
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- 2) 공식을 선택한다: 대각이면 역수 취하고 전치 모양($\frac{1}{0}$ 은 0), $r = n$ 이면 $(A^{\mathrm{T}}A)^{-1}A^{\mathrm{T}}$, $r = m$ 이면 $A^{\mathrm{T}}(AA^{\mathrm{T}})^{-1}$, 둘 다 아니면 $A = CR$ 분해 후 $A^{+} = R^{+}C^{+} = R^{\mathrm{T}}(C^{\mathrm{T}}AR^{\mathrm{T}})^{-1}C^{\mathrm{T}}$.
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id:: 6a869b78-78b6-4233-b193-7bcdf47c33a8
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- 3) 검산한다: $AA^{+}A = A$.
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- 각 값에 역수를 취하고(값이 0이면 0으로 둔다) 전체 행렬을 전치한다
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- 세로로 긴 행렬 #card
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id:: 6a85e662-82fe-40ca-a99a-d083a7d9f7e4
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- $(A^{\mathrm{T}}A)^{-1}A^{\mathrm{T}}$
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extra:: $A$는 열 독립인 행렬이고 r = n, 해가 유일하거나 없다.
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- 가로로 긴 행렬 #card
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id:: 6a869c06-b6d9-441f-8eef-e97d136bc747
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- $A^{\mathrm{T}}(AA^{\mathrm{T}})^{-1}$
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extra:: $A$는 행 독립인 행렬이고 r = m, 해가 유일하거나 무수히 많다.
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- r < n, m 인 행렬 #card
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id:: 6a85e662-0b72-4611-9eac-4aecd861c3de
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- $R^{+}C^{+} = R^{\mathrm{T}}(C^{\mathrm{T}}AR^{\mathrm{T}})^{-1}C^{\mathrm{T}}$
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- 🔢 계산 연습: $A = \begin{bmatrix} 1&2 \\ 3&6 \end{bmatrix}$ 의 $A^{+}$ 를 구하라.
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- 🔢 계산 연습: $A = \begin{bmatrix} 1&2 \\ 3&6 \end{bmatrix}$ 의 $A^{+}$ 를 구하라.
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- 소거 → 피벗 1개, $r = 1$ (둘 다 부족) → $C = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix}$, $R = \begin{bmatrix} 1&2 \end{bmatrix}$.
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- 소거 → 피벗 1개, $r = 1$ (둘 다 부족) → $C = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix}$, $R = \begin{bmatrix} 1&2 \end{bmatrix}$.
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- $C^{\mathrm{T}}AR^{\mathrm{T}} = 50$ → $A^{+} = R^{\mathrm{T}} \cdot \frac{1}{50} \cdot C^{\mathrm{T}} = \frac{1}{50}\begin{bmatrix} 1&3 \\ 2&6 \end{bmatrix}$.
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- $C^{\mathrm{T}}AR^{\mathrm{T}} = 50$ → $A^{+} = R^{\mathrm{T}} \cdot \frac{1}{50} \cdot C^{\mathrm{T}} = \frac{1}{50}\begin{bmatrix} 1&3 \\ 2&6 \end{bmatrix}$.
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- $A = CR$ 에서 $C$ 와 $R$ 은 무엇이고, 왜 이 분해가 $A^{+}$ 계산을 가능하게 하는가?
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- $A = CR$ 에서 $C$ 와 $R$ 은 무엇이고, 왜 이 분해가 $A^{+}$ 계산을 가능하게 하는가? #card
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id:: 6a85e662-c906-4051-b133-0e7570edd747
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- $C$ = $A$ 의 선형독립인 열 $r$ 개 (열공간의 기저), $R$ = 기약행사다리꼴의 0 아닌 행 $r$ 개 (행공간의 기저).
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- $C$ = $A$ 의 선형독립인 열 $r$ 개 (열공간의 기저), $R$ = 기약행사다리꼴의 0 아닌 행 $r$ 개 (행공간의 기저).
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- $C$ 는 열 독립이라 좌역 $C^{+}$ 를, $R$ 은 행 독립이라 우역 $R^{+}$ 를 가진다.
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- $C$ 는 열 독립이라 좌역 $C^{+}$ 를, $R$ 은 행 독립이라 우역 $R^{+}$ 를 가진다.
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- 즉 한쪽 역도 없는 $A$ 를 "한쪽 역이 있는 좋은 두 조각"으로 쪼개고, 역의 순서를 뒤집어 $A^{+} = R^{+}C^{+}$ 로 조립한다.
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- 즉 한쪽 역도 없는 $A$ 를 "한쪽 역이 있는 좋은 두 조각"으로 쪼개고, 역의 순서를 뒤집어 $A^{+} = R^{+}C^{+}$ 로 조립한다.
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@ -214,9 +238,14 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- 특수화: $r = n$ 이면 $A^{+}A = I$, $r = m$ 이면 $AA^{+} = I$ (좌역·우역 상황).
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- 특수화: $r = n$ 이면 $A^{+}A = I$, $r = m$ 이면 $AA^{+} = I$ (좌역·우역 상황).
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- $A^{\mathrm{T}}A$ 와 $AA^{\mathrm{T}}$ 의 크기와 가역 조건은?
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- $A^{\mathrm{T}}A$ 와 $AA^{\mathrm{T}}$ 의 크기와 가역 조건은?
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- 둘 다 **항상 정사각**: $A^{\mathrm{T}}A$ 는 $n \times n$ (열 내적 표), $AA^{\mathrm{T}}$ 는 $m \times m$ (행 내적 표).
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- 둘 다 **항상 정사각**: $A^{\mathrm{T}}A$ 는 $n \times n$ (열 내적 표), $AA^{\mathrm{T}}$ 는 $m \times m$ (행 내적 표).
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- $A^{\mathrm{T}}A$ 가역 ⟺ 열 독립 ($r = n$) / $AA^{\mathrm{T}}$ 가역 ⟺ 행 독립 ($r = m$).
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- $A^{\mathrm{T}}A$ 가역 ⟺ {{c1 열 독립 ( r = n )}} / $AA^{\mathrm{T}}$ 가역 ⟺ {{c1 행 독립 ( r = m )}}.
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- 펜로즈 4조건은 무엇이고, 무엇에 쓰는 물건인가?
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id:: 6a85e662-0672-41ff-9e3a-aac682e912bb
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- $AA^{+}A = A$, $A^{+}AA^{+} = A^{+}$, $(A^{+}A)^{\mathrm{T}} = A^{+}A$, $(AA^{+})^{\mathrm{T}} = AA^{+}$.
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- 펜로즈 4조건은 무엇이고, 무엇에 쓰는 물건인가? #card
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id:: 6a85e662-5067-420d-80b4-08e11b152872
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- $AA^{+}A = A$, $A^{+}AA^{+} = A^{+}$
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extra:: 서로가 서로를 원래상태로 되돌린다.
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- $(A^{+}A)^{\mathrm{T}} = A^{+}A$, $(AA^{+})^{\mathrm{T}} = AA^{+}$.
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extra:: $A^{+}A$ 와 $AA^{+}$ 는 대칭 = **직교** 사영이다
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- 이 4개를 만족하는 행렬은 **유일**하고 그것이 $A^{+}$ 다. 정체 모를 후보가 진짜 $A^{+}$ 인지 확인하는 검산 체크리스트로 쓴다.
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- 이 4개를 만족하는 행렬은 **유일**하고 그것이 $A^{+}$ 다. 정체 모를 후보가 진짜 $A^{+}$ 인지 확인하는 검산 체크리스트로 쓴다.
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- ### ✏️ 연습문제 풀이 (솔루션 참고)
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- ### ✏️ 연습문제 풀이 (솔루션 참고)
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- **문제 1**: 세 행렬의 유사역행렬을 구하라: $A_1 = \begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&1 \end{bmatrix}$, $A_2 = \begin{bmatrix} 2&0 \\ 0&4 \\ 0&0 \end{bmatrix}$, $A_3 = \begin{bmatrix} 2&0&0 \\ 0&4&0 \end{bmatrix}$.
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- **문제 1**: 세 행렬의 유사역행렬을 구하라: $A_1 = \begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&1 \end{bmatrix}$, $A_2 = \begin{bmatrix} 2&0 \\ 0&4 \\ 0&0 \end{bmatrix}$, $A_3 = \begin{bmatrix} 2&0&0 \\ 0&4&0 \end{bmatrix}$.
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