diff --git a/Major Study/pages/3.5 4가지 기본 부분공간의 차원.md b/Major Study/pages/3.5 4가지 기본 부분공간의 차원.md index f237c79..1997b87 100755 --- a/Major Study/pages/3.5 4가지 기본 부분공간의 차원.md +++ b/Major Study/pages/3.5 4가지 기본 부분공간의 차원.md @@ -88,8 +88,19 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학 - 랭크 2. 행공간 기저: $R$ 의 두 행 $(0,1,2,3,4), (0,0,0,1,2)$. - 열공간 기저: 피벗 열 = $A$ **의** 2열 $(1,1,0)$ 과 4열 $(3,4,1)$. - 영공간 기저 (자유변수 $x_1, x_3, x_5$): $(1,0,0,0,0),\ (0,-2,1,0,0),\ (0,2,0,-2,1)$. - - 좌영공간 기저: $(1, -1, 1)$, 검산: 1행 − 2행 + 3행 $= (0,0,0,0,0)$ ✓. - - 💡 좌영공간 기저가 $E = L^{-1}$ 의 마지막 행에서 나온다는 것도 확인할 수 있는 좋은 예. + - 좌영공간 기저: $(1, -1, 1)$. 좌영공간의 벡터 $y$ 는 "$A$ 의 행들을 $y_1, y_2, y_3$ 배 해서 더하면 영벡터가 되는 계수 묶음"이다 ($y^{\mathrm{T}}A = 0$). 구하는 길이 두 가지다. + - **길 ①, 정공법**: $A^{\mathrm{T}}y = 0$, 즉 위 계수 조건을 성분(열)별로 쓴다. 0이 아닌 열만 보면 된다: + - 2열: $y_1 + y_2 = 0$ → $y_2 = -y_1$ (3열은 이것의 2배라 같은 식) + - 4열: $3y_1 + 4y_2 + y_3 = 0$ → $3y_1 - 4y_1 + y_3 = 0$ → $y_3 = y_1$ + - 5열: $4y_1 + 6y_2 + 2y_3 = 4y_1 - 6y_1 + 2y_1 = 0$ ✓ (자동 만족) + - → $y = y_1 (1, -1, 1)$. 기저는 $(1, -1, 1)$ 하나 ($m - r = 3 - 2 = 1$ 개, 차원과 일치 ✓). + - **길 ②, 소거 기록 재활용** ($E$ 가 갑자기 나오는 이유): 문제가 준 분해 $A = LU$ 를 뒤집으면 $L^{-1}A = U$, 즉 $EA = U$ ($E = L^{-1}$). 이 식을 행 단위로 읽으면 "$E$ 의 각 행 = $A$ 의 행들을 결합해 $U$ 의 그 행을 만드는 계수". 그런데 $U$ 의 3행이 영행이므로, $E$ 의 3행이 정확히 "$A$ 의 행 결합으로 0 만들기"의 계수, 즉 좌영공간 기저다. + - ⚠️ $E$ 의 행 **전부**가 답인 게 아니다. $U$ 의 **영행에 대응하는 마지막** $m - r$ **개 행만** 좌영공간에 속한다 (여기선 3행 하나). 위쪽 행들은 0 아닌 행을 만드는 계수라 좌영공간이 아니다. + - $E$ 의 3행 계산은 역행렬 공식 없이 소거를 되짚으면 된다. $L$ 의 각 행이 말하는 것: $A$ 의 1행 $= u_1$, 2행 $= u_1 + u_2$, 3행 $= u_2 + u_3$ ($u_i$ 는 $U$ 의 행). + - 거꾸로 풀면: $u_2 = \text{2행} - u_1 = \text{2행} - \text{1행}$, 그리고 $u_3 = \text{3행} - u_2 = \text{1행} - \text{2행} + \text{3행}$. + - $u_3$ 은 영행이므로 1행 − 2행 + 3행 $= 0$ → 계수 $(1, -1, 1)$. 길 ①과 같은 답 ✓. + - 검산: 1행 − 2행 + 3행 $= (0,0,0,0,0)$ ✓. + - 💡 본문 「소거해도 안 변하나?」의 $[\,A\ \ I\,] \to [\,R_0\ \ E\,]$ 방법과 같은 원리다: $I$ 를 옆에 붙여 소거하는 것은 행 결합 계수($E$)를 자동으로 받아 적는 장치일 뿐이고, 이 문제는 $L$ 을 이미 줬으니 $E = L^{-1}$ 에서 마지막 행을 직접 읽은 것. - **문제 11** (중요한 문제): 랭크 $r$ 인 $m \times n$ 행렬 $A$ 에 대해 $Ax = b$ 의 해가 존재하지 않는다면: (a) $m, n, r$ 의 부등식 전부? (b) $A^{\mathrm{T}}y = 0$ 에 $y \neq 0$ 인 해가 있음을 어떻게 아는가? - (a) $r < m$ (해가 없으려면 열공간이 $\mathbb{R}^m$ 을 못 채워야 함), 그리고 항상 $r \le n$. ($m$ 과 $n$ 사이 관계는 알 수 없음.) - (b) 좌영공간의 차원 $= m - r > 0$ → 0 아닌 벡터가 반드시 존재.