songyc/Logseq
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4.3 [6단계] 보강: 대칭 시간 → 열 직교의 이유 (1열과의 내적 = 시간 합) 상세 설명

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Co-Authored-By: Claude Fable 5 <noreply@anthropic.com>
Claude-Session: https://claude.ai/code/session_01Ufr6wUhJAzBaqcaBiRJ1xk
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songyc macbook 2026-08-15 05:09:09 +09:00
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Major Study/pages/4.3 최소제곱근사.md
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@ -99,9 +99,17 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
- [3단계] 식 (4)와 같은 방정식, 같은 답이다. - [3단계] 식 (4)와 같은 방정식, 같은 답이다.
- 💡 요약 한 줄: **직선 맞추기 = 열 2개짜리 사영 문제.** 대수(점·방정식 그림)와 선형대수(벡터·사영 그림)는 같은 문제의 두 언어다. - 💡 요약 한 줄: **직선 맞추기 = 열 2개짜리 사영 문제.** 대수(점·방정식 그림)와 선형대수(벡터·사영 그림)는 같은 문제의 두 언어다.
- #### [6단계] 열이 직교하면 계산이 반값 (EX2) - #### [6단계] 열이 직교하면 계산이 반값 (EX2)
- 측정 시간의 합이 0이면 ($t = -2, 0, 2$ 같은 대칭 시간) $A$ 의 두 열 $(1,1,1)$ 과 $(-2,0,2)$ 가 직교한다. - **왜 "시간이 대칭이면 두 열이 직교"인가** (한 번 계산해보면 당연해진다):
- $A^{\mathrm{T}}A$ (내적 표)의 비대각이 0: $A^{\mathrm{T}}A = \begin{bmatrix} 3&0 \\ 0&8 \end{bmatrix}$ → $C = \frac{7}{3}$ 과 $D = \frac{6}{8}$ 을 **따로따로** 나누기 한 번씩으로 얻는다. - 직선 맞추기에서 $A$ 의 두 열은 정해져 있다: 1열 $= (1, \ldots, 1)$, 2열 $= (t_1, \ldots, t_m)$.
- 시간 이동 트릭: 시간이 대칭이 아니어도, 평균 시간 $\hat{t} = \frac{t_1 + \cdots + t_m}{m}$ 을 빼서 $T_i = t_i - \hat{t}$ 로 바꾸면 $\sum T_i = 0$, 언제나 이 좋은 상황이 된다 (최적 직선은 $C + D(t - \hat{t})$ 로 표현만 바뀜). - 직교 판정은 언제나 내적 하나로 끝난다. 그런데 **1로만 된 열과의 내적은 "성분 전부 더하기"**가 된다:
- $$(1, \ldots, 1) \cdot (t_1, \ldots, t_m) = 1 \cdot t_1 + \cdots + 1 \cdot t_m = \sum t_i$$
- 그래서 조건이 이것뿐이다: **두 열이 직교 ⟺ 시간의 합** $\sum t_i = 0$.
- 대칭 시간이 등장하는 이유: $t = -2, 0, 2$ 처럼 $+t$ 와 $-t$ 가 쌍으로 있으면 더할 때 짝끼리 상쇄되어 합이 자동으로 0이다. 🔢 확인: $(1,1,1) \cdot (-2, 0, 2) = -2 + 0 + 2 = 0$ ✓.
- ⚠️ 정확한 조건은 "대칭"이 아니라 "**합이 0**"이다. $t = -3, 1, 2$ 는 대칭이 아니어도 합이 0이라 역시 직교한다. 대칭은 합 0을 만드는 가장 알아보기 쉬운 특수 케이스일 뿐이다.
- 내적 표와 연결하면 그림이 완성된다: $A^{\mathrm{T}}A$ 의 비대각 성분이 바로 이 내적 $\sum t_i$ 다 (식 (6)). "시간 합 0 ⟺ 두 열 직교 ⟺ $A^{\mathrm{T}}A$ 가 대각행렬", 세 문장이 같은 말이다.
- 대각이 되면 무엇이 좋은가: $A^{\mathrm{T}}A = \begin{bmatrix} 3&0 \\ 0&8 \end{bmatrix}$ → 연립이 풀려버려서 $C = \frac{7}{3}$ 과 $D = \frac{6}{8}$ 을 **따로따로** 나누기 한 번씩으로 얻는다 (EX2). 비대각이 0이라 $C$ 와 $D$ 가 서로를 간섭하지 않는다.
- 시간 이동 트릭: 시간이 대칭이 아니어도, 평균 시간 $\hat{t} = \frac{t_1 + \cdots + t_m}{m}$ 을 빼서 $T_i = t_i - \hat{t}$ 로 바꾸면 언제나 이 좋은 상황이 된다 (최적 직선은 $C + D(t - \hat{t})$ 로 표현만 바뀜).
- 평균을 빼면 왜 **항상** 합이 0이 되나: $\sum T_i = \sum t_i - m\hat{t}$ 인데, $m\hat{t}$ 은 정의상 정확히 $\sum t_i$ 다. 그래서 $\sum T_i = \sum t_i - \sum t_i = 0$. 어떤 측정 시간이든 평균만 빼면 직교 상황으로 바꿀 수 있다.
- 일반 공식 (연습문제 30): $C = \frac{b_1 + \cdots + b_m}{m}$ (높이 평균), $D = \frac{\sum T_i b_i}{\sum T_i^2}$. - 일반 공식 (연습문제 30): $C = \frac{b_1 + \cdots + b_m}{m}$ (높이 평균), $D = \frac{\sum T_i b_i}{\sum T_i^2}$.
- 💡 수위 조절: "계산 전에 **미리 열들을 직교화**해두면 만사가 쉬워진다"는 이 아이디어가 다음 절 4.4 **그람-슈미트 과정**의 전부다. 지금은 이 맛보기면 충분하다. - 💡 수위 조절: "계산 전에 **미리 열들을 직교화**해두면 만사가 쉬워진다"는 이 아이디어가 다음 절 4.4 **그람-슈미트 과정**의 전부다. 지금은 이 맛보기면 충분하다.
- #### [7단계] $A$ 의 열이 선형종속이면 $\hat{x}$ 은 무엇인가 - #### [7단계] $A$ 의 열이 선형종속이면 $\hat{x}$ 은 무엇인가