4.2 직교사영 조건(Pᵀ=P) 보충: 비스듬한 사영 반례 + 기본정리 2 기반 설명 + 자작 그림

Co-Authored-By: Claude Fable 5 <noreply@anthropic.com>
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Major Study/assets/4장_4.2_직교사영_vs_비스듬한사영.svg

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+  <text x="380" y="34" text-anchor="middle" font-size="18" font-weight="bold" fill="#111827">P² = P인 두 "사영": 직교사영 vs 비스듬한 사영</text>
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+  <!-- 직선 L: y = x -->
+  <line x1="105" y1="475" x2="520" y2="60" stroke="#1d4ed8" stroke-width="2"/>
+  <text x="530" y="55" font-size="15" font-weight="bold" fill="#1d4ed8">직선 L</text>
+
+  <!-- 비스듬한 사영 경로 (수평 미끄러짐) -->
+  <line x1="150" y1="230" x2="350" y2="230" stroke="#9ca3af" stroke-width="1.8" stroke-dasharray="6 5"/>
+  <text x="250" y="210" text-anchor="middle" font-size="15" fill="#ea580c">e = b − p, L과 직교 ✗</text>
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+  <!-- 직교사영 경로 (수선) -->
+  <line x1="150" y1="230" x2="250" y2="330" stroke="#9ca3af" stroke-width="1.8" stroke-dasharray="6 5"/>
+  <text x="140" y="290" text-anchor="end" font-size="15" fill="#059669">e* ⊥ L ✓</text>
+  <polyline points="260,320 250,310 240,320" fill="none" stroke="#374151" stroke-width="1.4"/>
+
+  <!-- 벡터 b와 두 도착점 -->
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+  <text x="128" y="222" font-size="17" font-weight="bold" fill="#dc2626">b</text>
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+  <circle cx="350" cy="230" r="7" fill="#ea580c"/>
+  <circle cx="150" cy="430" r="4" fill="#374151"/>
+  <text x="122" y="448" font-size="15" fill="#374151">O</text>
+
+  <!-- 라벨 -->
+  <text x="262" y="352" font-size="15" font-weight="bold" fill="#059669">p* = 수선의 발</text>
+  <text x="262" y="372" font-size="15" fill="#059669">(직교사영, Pᵀ = P: 가장 가까움)</text>
+  <text x="360" y="235" font-size="15" font-weight="bold" fill="#ea580c">p = Pb = (1, 1)</text>
+  <text x="360" y="257" font-size="15" fill="#ea580c">(비스듬한 사영: 옆으로 미끄러짐)</text>
+
+  <!-- 하단 요약 -->
+  <text x="380" y="472" text-anchor="middle" font-size="15" fill="#374151">둘 다 "두 번 사영하면 그대로" (P² = P): 이미 L 위의 점은 안 움직인다.</text>
+  <text x="380" y="496" text-anchor="middle" font-size="15" font-weight="bold" fill="#111827">하지만 가장 가까운 점(수선의 발)을 주는 것은 Pᵀ = P인 직교사영뿐!</text>
+</svg>

Major Study/pages/4.2 직선과 부분공간 위로의 사영.md

@@ -69,7 +69,20 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
 		- **사영행렬의 두 성질**:
 			- $P^2 = P$: 두 번 사영해도 그대로다 (이미 직선 위에 있는 $p$ 를 또 사영하면 자기 자신, [3단계] 특별한 경우 ①).
 			- 📌 원문 (p.219): ((6a7a040f-bcd4-4e55-863a-6152ed91aa7f))
-			- $P^{\mathrm{T}} = P$ (대칭). ⚠️ 연습문제 0 (한국판 추가 문제)의 교훈: $P^2 = P$ 만으로는 "사영"이고, 오차 $e$ 가 $p$ 와 직교하는 **직교사영**이 되려면 $P^{\mathrm{T}} = P$ 까지 필요하다. 이 절의 $P$ 는 둘 다 만족한다.
+			- $P^{\mathrm{T}} = P$ (대칭): 이 절에서 만든 $P$ 는 자동으로 대칭이다 (연습문제 23: 전치해보면 그대로 $P$).
+			- ⚠️ **"어차피 정의상** $e \perp p$ **아닌가?"** (연습문제 0이 다루는 미묘한 지점): "수선의 발을 내린다"로 사영을 정의하면 직교는 당연하다. 그런데 대수 조건 $P^2 = P$ **만** 만족하는 행렬 중에는 수선의 발이 아닌 **비스듬한 사영**(oblique projection)도 있다. 그런 가짜(?)를 걸러내는 조건이 $P^{\mathrm{T}} = P$ 다.
+				- 사영의 넓은 정의는 "$P^2 = P$" 하나뿐이다: 결과가 $P$ 의 열공간에 떨어지고, 이미 거기 있는 벡터는 안 움직인다. "그림자의 그림자는 자기 자신"은 빛이 **비스듬히 들어와도** 성립한다. 즉 $P^2 = P$ 는 "L 위에 떨어뜨린다"까지만 보장하고, "수직으로 떨어뜨린다"는 보장하지 않는다.
+				- 🔢 반례 체험 (연습문제 0의 행렬): $P = \begin{bmatrix} 0&1 \\ 0&1 \end{bmatrix}$ 은 $P^2 = P$ 를 만족하고 직선 $y = x$ 위로 떨어뜨린다. 그런데 $b = (0, 1)$ 을 넣으면:
+					- $p = Pb = (1, 1)$, $e = b - p = (-1, 0)$, 내적 $p^{\mathrm{T}}e = -1 \neq 0$. **직교가 아니다!**
+					- 수선의 발은 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ 인데, 이 $P$ 는 $b$ 를 $x$ 방향으로 **옆으로 미끄러뜨려** $(1,1)$ 에 떨어뜨린다. 거리도 $\|e\| = 1 > \frac{1}{\sqrt{2}}$ 라서 최단이 아니다.
+					- ![직교사영 vs 비스듬한 사영](../assets/4장_4.2_직교사영_vs_비스듬한사영.png)
+				- 정리하면: "정의상 이미 직교"라는 직관은 **수선의 발(직교사영)이라는 정의를 이미 채택했을 때** 이야기다. 이 절의 $P = A(A^{\mathrm{T}}A)^{-1}A^{\mathrm{T}}$ 는 직교 조건에서 **유도**했으므로 자동으로 직교사영이 맞다. 문제는 방향이 반대일 때다: 정체 모를 행렬 $P$ 가 주어졌을 때 "이거 직교사영 맞아?"를 판정하려면 $P^2 = P$ (사영이긴 한가) 와 $P^{\mathrm{T}} = P$ (수선의 발인가) 를 **둘 다** 확인해야 한다.
+				- 왜 하필 "대칭"이 직교를 보장하나 (4.1 기본정리 2로 설명하면 명쾌하다):
+					- $p = Pb$ 는 열공간 $\mathbf{C}(P)$ 에 살고, $e = (I-P)b$ 는 영공간 $\mathbf{N}(P)$ 에 산다 ($Pe = Pb - P^2b = 0$).
+					- 그런데 기본정리 2가 보장하는 직교는 $\mathbf{N}(P) \perp \mathbf{C}(P^{\mathrm{T}})$, 즉 영공간 ⊥ **행공간**이다. 열공간과의 직교는 공짜가 아니다!
+					- $P^{\mathrm{T}} = P$ 면 행공간 = 열공간이 되므로 그제서야 $\mathbf{N}(P) \perp \mathbf{C}(P)$, 즉 $e \perp p$ 가 성립한다.
+					- 반례 행렬로 확인: 행공간은 $(0,1)$ 방향, 열공간은 $(1,1)$ 방향으로 서로 다르다. $e = (-1,0)$ 은 행공간과는 직교하지만 ✓ 열공간(사영이 떨어지는 곳)과는 직교하지 않는다 ✗.
+					- 대수 한 줄 확인: $p^{\mathrm{T}}e = (Pb)^{\mathrm{T}}(I-P)b = b^{\mathrm{T}}P^{\mathrm{T}}(I-P)b$ 인데, $P^{\mathrm{T}} = P$ 를 쓰면 $b^{\mathrm{T}}(P - P^2)b = 0$ (모든 $b$ 에서).
 		- $I - P$ 도 사영행렬이다:
 			- 📌 원문 (p.223): ((6a7af20e-41d5-4040-a603-a53e5809a41f)) / ((6a7af214-6b8f-4d35-99ab-549c781aa104))
 			- $Pb = p$ 이므로 $(I - P)b = b - p = e$. 즉 $I - P$ 는 **오차 쪽을 만들어주는 사영**이다.