3.3 문제 31 (b)(c) 풀이 보강: R₀ 복원 3단계 상세화 + 모든 b 해 존재 이유(소거·열공간 관점)

Co-Authored-By: Claude Fable 5 <noreply@anthropic.com>
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Major Study/pages/3.3 Ax = b의 완전해.md

@@ -120,8 +120,19 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
 		- 💡 [5단계] 표의 4가지 유형에 실제 행렬을 하나씩 대응시키는 문제, 표를 외우지 말고 이 예 4개로 기억하는 게 낫다.
 	- **문제 31** (꼭 풀어볼 만한 문제): $3 \times 4$ 행렬 $A$ 에 대해 $Ax = 0$ 의 유일한 특별해가 $s = (2, 3, 1, 0)$ 이라 하자. (a) $A$ 의 랭크와 $Ax=0$ 의 완전해 (b) $R_0$ (c) $Ax = b$ 가 모든 $b$ 에 대해 풀린다는 것을 어떻게 아는가?
 		- (a) 특별해 1개 = 자유변수 1개 → $r = n - 1 = 3$. $Ax=0$ 의 완전해는 $x = cs$ (직선).
-		- (b) $s$ 에서 자유변수는 $x_3$ ($s_3 = 1$), 피벗변수 $x_1, x_2, x_4$. 특별해의 성분으로 $F$ 를 역산하면:
-			- $$R_0 = \begin{bmatrix} 1&0&-2&0 \\ 0&1&-3&0 \\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}$$
+		- (b) $R_0$ 는 세 단계로 복원한다. 핵심: 특별해 $s$ 하나에 $R_0$ 를 결정할 정보가 전부 들어 있다.
+			- **1단계, 자유변수 찾기**: 특별해는 "자유변수 하나를 1로 놓고" 만든 해이므로, $s = (2, 3, 1, 0)$ 에서 $1$ 이 있는 자리 $x_3$ 이 자유변수. 나머지 $x_1, x_2, x_4$ 는 피벗변수.
+			- **2단계, 뼈대 세우기**: 랭크 3 = 피벗 3개인데 행도 3개라서 영행이 없다. 기약행사다리꼴에서 피벗 열(1·2·4열)은 위에서부터 차례로 단위벡터 열이 되므로, 모르는 것은 자유변수 열(3열)의 성분 3개뿐:
+				- $$R_0 = \begin{bmatrix} 1&0&?&0 \\ 0&1&?&0 \\ 0&0&?&1 \end{bmatrix}$$
+			- **3단계, ? 채우기**: $s$ 는 $Ax=0$ 의 해이므로 $R_0 s = 0$ 이어야 한다. 행마다 풀면 ? 가 하나씩 나온다.
+				- 1행: $1 \cdot 2 + (?) \cdot 1 = 0$ → $? = -2$
+				- 2행: $1 \cdot 3 + (?) \cdot 1 = 0$ → $? = -3$
+				- 3행: $(?) \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 0$ → $? = 0$
+				- $$R_0 = \begin{bmatrix} 1&0&-2&0 \\ 0&1&-3&0 \\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}$$
+			- 💡 $F$ **역산의 정체**: 특별해의 구조는 항상 (자유변수 자리에 $I$, 피벗변수 자리에 $-F$) 이다. 그래서 자유 열의 성분 = 특별해의 피벗변수 성분에 부호만 바꾼 것. $s$ 의 피벗 성분이 위에서부터 $(2, 3, 0)$ 이므로 3열은 $(-2, -3, 0)$, 위 3단계 계산과 같은 결과다.
 			- 검산: $R_0 s = (2 - 2,\ 3 - 3,\ 0) = 0$ ✓.
-		- (c) $r = 3 = m$, **최대 행 랭크**이므로 모든 $b$ 에 대해 해 존재.
+		- (c) 랭크 $r = 3 = m$ (행의 개수), 즉 **최대 행 랭크**라서 모든 $b$ 에 대해 해가 존재한다. 이유는 두 방향으로 볼 수 있다.
+			- **소거 관점**: 해가 없어지는 유일한 경우는 소거 중 좌변이 전부 0인 행이 생겨 "$b$ 성분들의 조합 = 0" 이라는 존재 조건이 붙을 때다. 그런데 세 행 모두 피벗을 가지므로 영행 자체가 안 생긴다. 조건이 없으니 어떤 $b$ 든 통과.
+			- **열공간 관점**: 피벗 열이 3개라 열공간은 $\mathbb{R}^3$ 안의 3차원 부분공간, 즉 $\mathbb{R}^3$ 전체다. 모든 $b$ 가 이미 열공간 안에 있다.
+			- 덤: 이때 해는 $b$ 마다 무한히 많다 ($n - r = 1$ 개의 자유변수). 특수해 하나 + 직선 $cs$ 전체가 완전해.
 		- 💡 특별해 하나만 주고 행렬을 역추적하게 하는 좋은 문제, 특별해의 "1이 있는 자리 = 자유변수, 나머지 = $-F$" 구조가 손에 붙는다.