diff --git a/CLAUDE.md b/CLAUDE.md index 47ab662..d750047 100755 --- a/CLAUDE.md +++ b/CLAUDE.md @@ -9,9 +9,9 @@ disable-anki-sync:: true 한 단원을 다음 사이클로 정리한다: 1. **사용자 선행 학습** — 사용자가 그 단원을 먼저 혼자 공부한다 (PDF 원자료 기준). - 2. **사용자 1차 하이라이트** — 공부한 내용을 바탕으로 사용자가 Logseq에서 그 단원 PDF에 하이라이트한다. **영역(area) 하이라이트와 텍스트 하이라이트가 섞여 있을 수 있다.** 본문 핵심 부분과 함께, **풀어볼 가치가 있다고 판단한 연습문제에도 하이라이트**한다 (2장부터 적용). - 3. **Claude 정리** — 책 내용과 사용자의 하이라이트를 바탕으로 정리를 작성한다. 이때 사용자의 하이라이트 중 불필요하다고 판단되는 부분은 보고해서 사용자가 판단하도록 한다.**2장부터는 단원 페이지에 서론 정리 + 소단원 페이지 링크만 두고, 각 소단원(x.y절)은 별도 페이지에 정리한다** (아래 「정리 스타일」 참고). 사용자가 만든 하이라이트는 종류별 형식으로 정리 본문의 해당 위치에 포함한다 — **영역 하이라이트는 링크 + 추출 이미지, 텍스트 하이라이트는 `((uuid))` 참조 + 정리 비중 반영** (아래 「PDF 하이라이트·이미지 활용」 참고). **하이라이트된 연습문제는 절별 「✏️ 연습문제 풀이」에 포함**하고 해답집(solution PDF)을 참고해 해설을 단다. **문제가 그림·도표를 참조하면 그 이미지를 PDF에서 캡처(추출)해 문제 블록에 함께 임베드한다** (2장부터 적용, 파일명·추출 방법은 아래 「PDF 이미지 추출·임베드」 규칙을 따름). - 4. **추가 하이라이트 제안** — 정리하면서 Claude 판단에 원문 링크가 더 필요한 부분이 있으면, 정리 완료 보고에 **하이라이트 요청 목록**(쪽 번호 + 부분)을 담아 제안한다. 사용자가 고른 것 외에 **추가로 추천할 연습문제가 있으면 "x.y절 문제 n번 — 추천 이유"** 형식으로 이 목록에 함께 담는다. + 2. **사용자 1차 하이라이트** — 공부한 내용을 바탕으로 사용자가 Logseq에서 그 단원 PDF에 하이라이트한다. **영역(area) 하이라이트와 텍스트 하이라이트가 섞여 있을 수 있다.** 하이라이트는 본문 내용에만 한다 (연습문제는 하이라이트하지 않는다 — 연습문제 선정은 Claude 몫). + 3. **Claude 정리** — 책 내용과 사용자의 하이라이트를 바탕으로 정리를 작성한다. 이때 사용자의 하이라이트 중 불필요하다고 판단되는 부분은 보고해서 사용자가 판단하도록 한다.**2장부터는 단원 페이지에 서론 정리 + 소단원 페이지 링크만 두고, 각 소단원(x.y절)은 별도 페이지에 정리한다** (아래 「정리 스타일」 참고). 사용자가 만든 하이라이트는 종류별 형식으로 정리 본문의 해당 위치에 포함한다 — **영역 하이라이트는 링크 + 추출 이미지, 텍스트 하이라이트는 `((uuid))` 참조 + 정리 비중 반영** (아래 「PDF 하이라이트·이미지 활용」 참고). **연습문제는 Claude가 "이건 꼭 풀어봐야 한다" 싶은 문제만 직접 선정**해 절별 「✏️ 연습문제 풀이」에 포함하고 해답집(solution PDF)을 참고해 해설을 단다 (사용자가 특정 문제를 추가로 요청하면 그 문제만 추가). **문제가 그림·도표를 참조하면 그 이미지를 PDF에서 캡처(추출)해 문제 블록에 함께 임베드한다** (2장부터 적용, 파일명·추출 방법은 아래 「PDF 이미지 추출·임베드」 규칙을 따름). + 4. **추가 하이라이트 제안** — 정리하면서 Claude 판단에 원문 링크가 더 필요한 부분이 있으면, 정리 완료 보고에 **하이라이트 요청 목록**(쪽 번호 + 부분)을 담아 제안한다. 5. **사용자 2차 하이라이트 → Claude 다듬기** — 사용자가 제안을 (자기 판단으로 취사선택하여) 하이라이트하고 알려주면, Claude가 hls 페이지에서 새 uuid를 읽어 참조를 채워 정리를 다듬는다. 6. **사용자 마무리** — 사용자가 직접 Anki 카드화하고 자기 방식으로 세부 수정하여 그 단원 정리를 마무리한다. @@ -96,8 +96,8 @@ disable-anki-sync:: true - 단원 PDF는 사용자가 스캔해 Logseq에서 링크한다 (예: `assets/1장_벡터와_행렬_*.pdf`). 새 단원 시작 시 사용자가 페이지와 PDF를 세팅한 뒤 정리를 요청한다. 단원 정리는 그 페이지의 PDF 임베드 **아래에** 불릿으로 작성한다. - **해답집**: `assets/solution_1784335983942_0.pdf` — 스트랭 6판 공식 영문 솔루션 (전 챕터). 문제 번호는 한국어판과 동일하다. 각 챕터의 "Problem Set x.y" 헤더로 위치를 찾는다 (1장 해답: PDF 2~18쪽). - **PDF 읽는 법**: 단원 PDF는 스캔+OCR본이라 텍스트 레이어의 수식이 깨져 있다. 정리할 때는 **Read 도구로 페이지를 시각적으로 읽는다** (pdftoppm/poppler 설치됨). 이미지 추출·edn 좌표 파싱은 PyMuPDF(`import fitz`, 설치됨)를 쓴다. -- **쪽번호 오프셋**: 1장 PDF는 책 쪽번호 = PDF 쪽번호 + 18. 단원 PDF마다 오프셋이 다를 수 있으니 첫 몇 쪽으로 확인할 것. -- **진행 상황**: 1장 완전히 완료 (정리 작성 + area 하이라이트 11개 연결 + 사용자 Anki 카드화까지 마무리). 1장은 단일 페이지 구조 그대로 유지. 다음은 2장 (사용자 학습·하이라이트 후 요청 예정) — 연습문제 하이라이트, 문제 그림 캡처, **소단원별 페이지 분리** 방식을 처음 적용하는 단원. +- **쪽번호 오프셋**: 1장 PDF는 책 쪽번호 = PDF 쪽번호 + 18. 2장 PDF는 책 쪽번호 = PDF 쪽번호 + 70. 단원 PDF마다 오프셋이 다를 수 있으니 첫 몇 쪽으로 확인할 것. +- **진행 상황**: 1장 완전히 완료 (단일 페이지 구조 유지). 2장 정리 작성 완료 — 소단원 페이지 5개(2.1~2.5) 분리, 하이라이트 58개(텍스트 51 + area 7) 전부 연결, 연습문제는 Claude 선정 방식 첫 적용. 남은 단계: 사용자 검토·Anki 카드화. 2장 정리에서 새 행렬(E, L, P, Aᵀ, S, K, T, B)의 **정확한 형태를 🧩 표시 블록으로 명시**하는 방식을 도입했다 (책이 형태를 명시해주지 않는다는 사용자 요청) — 이후 장에서도 새 행렬 등장 시 동일하게 적용할 것. - ## Logseq 앱 동기화 주의 - Logseq 앱이 페이지를 열어둔 상태에서 파일을 밖에서 수정하면, 앱이 캐시된 옛 블록을 표시하다가 **옛 내용을 파일에 되써버릴 수 있다** (부분 롤백 발생). - 페이지 파일을 수정한 후에는 사용자에게 **Logseq 재색인(Re-index)** 을 안내한다. 수정 직후 "고쳤는데 그대로다"라는 피드백이 오면 파일을 다시 읽어 롤백 여부부터 확인한다. diff --git a/assets/2장_p106_치환행렬의_성질.png b/assets/2장_p106_치환행렬의_성질.png new file mode 100755 index 0000000..7280fa0 Binary files /dev/null and b/assets/2장_p106_치환행렬의_성질.png differ diff --git a/assets/2장_p108_전치행렬_정의.png b/assets/2장_p108_전치행렬_정의.png new file mode 100755 index 0000000..a625757 Binary files /dev/null and b/assets/2장_p108_전치행렬_정의.png differ diff --git a/assets/2장_p109_전치_규칙_합곱역행렬.png b/assets/2장_p109_전치_규칙_합곱역행렬.png new file mode 100755 index 0000000..56899d5 Binary files /dev/null and b/assets/2장_p109_전치_규칙_합곱역행렬.png differ diff --git a/assets/2장_p110_내적과_외적.png b/assets/2장_p110_내적과_외적.png new file mode 100755 index 0000000..83f4c34 Binary files /dev/null and b/assets/2장_p110_내적과_외적.png differ diff --git a/assets/2장_p112_대칭행렬_정의.png b/assets/2장_p112_대칭행렬_정의.png new file mode 100755 index 0000000..e150bff Binary files /dev/null and b/assets/2장_p112_대칭행렬_정의.png differ diff --git a/assets/2장_p126_그림2-3_스프링모델_KTB.png b/assets/2장_p126_그림2-3_스프링모델_KTB.png new file mode 100755 index 0000000..e21c0c1 Binary files /dev/null and b/assets/2장_p126_그림2-3_스프링모델_KTB.png differ diff --git a/assets/2장_p79_그림2-1_해의_3가지_경우.png b/assets/2장_p79_그림2-1_해의_3가지_경우.png new file mode 100755 index 0000000..8f11d56 Binary files /dev/null and b/assets/2장_p79_그림2-1_해의_3가지_경우.png differ diff --git a/assets/2장_p79_그림2-2_열그림.png b/assets/2장_p79_그림2-2_열그림.png new file mode 100755 index 0000000..1788091 Binary files /dev/null and b/assets/2장_p79_그림2-2_열그림.png differ diff --git a/assets/2장_p89_AB의_역행렬_공식.png b/assets/2장_p89_AB의_역행렬_공식.png new file mode 100755 index 0000000..d26a848 Binary files /dev/null and b/assets/2장_p89_AB의_역행렬_공식.png differ diff --git a/assets/2장_p91_L은_E의_역행렬_식11.png b/assets/2장_p91_L은_E의_역행렬_식11.png new file mode 100755 index 0000000..259bc33 Binary files /dev/null and b/assets/2장_p91_L은_E의_역행렬_식11.png differ diff --git a/assets/2장_선형방정식_Ax_=_b_풀기_1784805780272_0.edn b/assets/2장_선형방정식_Ax_=_b_풀기_1784805780272_0.edn index d89c87b..a1d340d 100755 --- a/assets/2장_선형방정식_Ax_=_b_풀기_1784805780272_0.edn +++ b/assets/2장_선형방정식_Ax_=_b_풀기_1784805780272_0.edn @@ -1 +1,1042 @@ -{:highlights [], :extra {:page 2}} +{:highlights [{:id #uuid "6a63583b-0acd-445d-8434-975ef195f8eb", + :page 2, + :position {:bounding {:x1 126.95799383893609, + :y1 80.0426025390625, + :x2 727.418412540108, + :y2 123.89131164550781, + :width 793, + :height 1121.5281146896566}, + :rects ({:x1 434.87361273542047, + :y1 80.0426025390625, + :x2 727.418412540108, + :y2 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:height 1121.5281146896566}), + :page 4}, + :content {:text "Azb 의 해가 무수히 많이 존재하는 경우 ( 행렬 A의 열이 선형 독립이 아닐 때, AX= 0해 는 무수히 많음 )"}, + :properties {:color "yellow"}} + {:id #uuid "6a6358df-a0cf-4682-aa0a-ba602d25ac6f", + :page 4, + :position {:bounding {:x1 173.57621893659234, + :y1 134.232421875, + :x2 491.95182928815484, + :y2 152.4898681640625, + :width 793, + :height 1121.5281146896566}, + :rects ({:x1 173.57621893659234, + :y1 134.232421875, + :x2 491.95182928815484, + :y2 152.4898681640625, + :width 793, + :height 1121.5281146896566}), + :page 4}, + :content {:text "이 경우는 행렬 A의 열 이 선형종속임을 의미한다 "}, + :properties {:color "yellow"}} + {:id #uuid "6a6358ff-65bf-4fe7-bd3d-6626eea5a9d3", + :page 5, + :position {:bounding {:x1 98.16928229108453, + :y1 253.6188507080078, + :x2 370.33415350690484, + :y2 271.1155242919922, + :width 793, + :height 1121.5281146896566}, + :rects ({:x1 98.16928229108453, + :y1 253.6188507080078, + :x2 370.33415350690484, + :y2 271.1155242919922, + :width 793, + :height 1121.5281146896566}), + :page 5}, + :content {:text "행렬 U 의 문자 U는 상삼각 행렬 을 의미 한다"}, + :properties {:color "yellow"}} + {:id #uuid "6a635906-6764-4b87-8597-bd485f29e316", + :page 5, + :position {:bounding {:x1 265.0178388096392, + :y1 284.1310577392578, + :x2 508.2867291904986, + :y2 301.6277313232422, + :width 793, + :height 1121.5281146896566}, + :rects ({:x1 265.0178388096392, + :y1 284.1310577392578, + :x2 508.2867291904986, + :y2 301.6277313232422, + :width 793, + :height 1121.5281146896566}), + :page 5}, + :content {:text "행렬 U의 주 대각선에 있는 피벗 ( pivot)"}, + :properties {:color "yellow"}} + {:id #uuid "6a635913-a4e3-41b8-850a-a4cb798a9822", + :page 5, + :position {:bounding {:x1 125.4484265781939, + :y1 742.1355133056641, + :x2 292.9102948643267, + :y2 757.3499908447266, + :width 793, + :height 1121.5281146896566}, + :rects ({:x1 125.4484265781939, + :y1 742.1355133056641, + :x2 292.9102948643267, + :y2 757.3499908447266, + :width 793, + :height 1121.5281146896566}), + :page 5}, + :content {:text " 숫자 0 은 피벗이 될 수 없다"}, + :properties {:color "yellow"}} + {:id #uuid "6a635920-6b46-4cc7-a4ca-0d1c6680a87c", + :page 5, + :position {:bounding {:x1 92.68967566266656, + :y1 875.4289093017578, + :x2 698.1331342197955, + :y2 921.5360260009766, + :width 793, + :height 1121.5281146896566}, + :rects ({:x1 92.68967566266656, + :y1 875.4289093017578, + :x2 698.1331342197955, + :y2 891.4041290283203, + :width 793, + :height 1121.5281146896566} + {:x1 92.68967566266656, + :y1 904.0393218994141, + :x2 211.7789166904986, + :y2 921.5360260009766, + :width 793, + :height 1121.5281146896566}), + :page 5}, + :content {:text "선형독립 인 열 을 가진 , 즉 랭크가 \"인 \" X\" 정사각행렬 A 는 0이 아닌 피벗 을 가진 상 삼각행렬로 유도 될 수 있다 ."}, + :properties {:color "yellow"}} + {:id #uuid "6a635932-a78c-4087-a764-e7eaabae9f9f", + :page 6, + :position {:bounding {:x1 600.1294110752642, + :y1 126.72027587890625, + :x2 655.9541791416705, + :y2 145.73841857910156, + :width 793, + :height 1121.5281146896566}, + :rects ({:x1 600.1294110752642, + :y1 126.72027587890625, + :x2 655.9541791416705, + :y2 145.73841857910156, + :width 793, + :height 1121.5281146896566}), + :page 6}, + :content {:text "소거행렬"}, + :properties {:color "yellow"}} + {:id #uuid "6a63593b-eed9-4165-9f02-f373ab970fe5", + :page 6, + :position {:bounding {:x1 240.98364386335015, + :y1 800.3666706085205, + :x2 526.446000430733, + :y2 818.624116897583, + :width 793, + :height 1121.5281146896566}, + :rects ({:x1 240.98364386335015, + :y1 800.3666706085205, + :x2 526.446000430733, + :y2 818.624116897583, + :width 793, + :height 1121.5281146896566}), + :page 6}, + :content {:text "행렬 A 와 U 는 최대 랭크 (full rank ) 를 갖는다 ."}, + :properties {:color "yellow"}} + {:id #uuid "6a635966-e526-4fab-9966-1f4e8a99f80a", + :page 7, + :position {:bounding {:x1 289.67009100690484, + :y1 242.73093032836914, + :x2 505.54960760846734, + :y2 260.9883460998535, + :width 793, + :height 1121.5281146896566}, + :rects ({:x1 289.67009100690484, + :y1 242.73093032836914, + 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"}, + :properties {:color "yellow"}} + {:id #uuid "6a6359ac-a058-4293-8ab6-40ab10e442de", + :page 8, + :position {:bounding {:x1 189.91993841901422, + :y1 398.13291931152344, + :x2 633.9341596104205, + :y2 415.62962341308594, + :width 793, + :height 1121.5281146896566}, + :rects ({:x1 189.91993841901422, + :y1 398.13291931152344, + :x2 633.9341596104205, + :y2 415.62962341308594, + :width 793, + :height 1121.5281146896566}), + :page 8}, + :content {:text "상삼각행렬 U는 주대각선 에 0 이 없을 때, 정확히 최대 랭크 를 갖는다 "}, + :properties {:color "yellow"}} + {:id #uuid "6a6359f4-8a2c-4afe-a644-3ce58b755ed4", + :page 8, + :position {:bounding {:x1 429.95268378034234, + :y1 656.1853790283203, + :x2 540.3648847080767, + :y2 670.6391754150391, + :width 793, + :height 1121.5281146896566}, + :rects ({:x1 429.95268378034234, + :y1 656.1853790283203, + :x2 540.3648847080767, + :y2 670.6391754150391, + :width 793, + :height 1121.5281146896566}), + :page 8}, + :content {:text "특이행렬 (singular "}, + :properties {:color "yellow"}} + {:id #uuid "6a635a13-2cdb-43dd-aebd-0e552945d649", + :page 10, + :position {:bounding {:x1 126.87478766217828, + :y1 404.96759033203125, + :x2 690.2076581455767, + :y2 452.52484130859375, + :width 793, + :height 1121.5281146896566}, + :rects ({:x1 259.5382245518267, + :y1 404.96759033203125, + :x2 690.2076581455767, + :y2 423.9857177734375, + :width 793, + :height 1121.5281146896566} + {:x1 126.87478766217828, + :y1 438.071044921875, + :x2 361.41389593854547, + :y2 452.52484130859375, + :width 793, + :height 1121.5281146896566}), + :page 10}, + :content {:text "벡터 b를 행렬 A의 추가 열로 포함하는 것이다. 이와 같은 행렬 [A 이를첨가 행렬(augmented matrix)이라 한다."}, + :properties {:color "yellow"}} + {:id #uuid "6a635a1e-3810-4cd9-84fa-42fa382e865f", + :page 10, + :position {:bounding {:x1 159.78805670514703, + :y1 545.6662063598633, + :x2 236.76399359479547, + :y2 560.8806838989258, + :width 793, + :height 1121.5281146896566}, + :rects ({:x1 159.78805670514703, + :y1 545.6662063598633, + :x2 236.76399359479547, + :y2 560.8806838989258, + :width 793, + :height 1121.5281146896566}), + :page 10}, + :content {:text "치환 행렬 P "}, + :properties {:color "yellow"}} + {:id #uuid "6a635a7c-c085-49d0-a491-a38760e0de17", + :page 15, + :position {:bounding {:x1 85.95012030377984, + :y1 380.1726722717285, + :x2 383.07295355573297, + :y2 395.38721084594727, + :width 793, + :height 1121.5281146896566}, + :rects ({:x1 85.95012030377984, + :y1 380.1726722717285, + :x2 383.07295355573297, + :y2 395.38721084594727, + :width 793, + :height 1121.5281146896566}), + :page 15}, + :content {:text "모든 소거법 단계는 행렬 곱으로 수행 할 수 있다 ."}, + :properties {:color "yellow"}} + {:id #uuid "6a635a84-07f5-42f7-a189-5e34759ed1ba", + :page 15, + :position {:bounding {:x1 84.8446897007525, + :y1 479.590030670166, + :x2 546.1773236729205, + :y2 498.6081886291504, + :width 793, + :height 1121.5281146896566}, + :rects ({:x1 84.8446897007525, + :y1 479.590030670166, + :x2 546.1773236729205, + :y2 498.6081886291504, + :width 793, + :height 1121.5281146896566}), + :page 15}, + :content {:text "기본 소거 단계는 방정식 에서 방정식 에 ℓ를 곱한 것을 빼는 것이다 "}, + :properties {:color "yellow"}} + {:id #uuid "6a635aa6-fc5b-4d1b-af7e-ce34f3a3dff2", + :page 16, + :position {:bounding {:x1 140.82934698835015, + :y1 461.5227966308594, + :x2 410.7749188877642, + :y2 477.4980163574219, + :width 793, + :height 1121.5281146896566}, + :rects ({:x1 140.82934698835015, + :y1 461.5227966308594, + :x2 410.7749188877642, + :y2 477.4980163574219, + :width 793, + :height 1121.5281146896566}), + :page 16}, + :content {:text "E의 역행렬 은 행 에 ( j행) xl」 를 더하는 것"}, + :properties {:color "yellow"}} + {:id #uuid "6a635aae-3105-49ae-957b-172c4c5d0005", + :page 16, + :position {:bounding {:x1 289.7359479404986, + :y1 493.8298645019531, + :x2 500.5383161045611, + :y2 507.5229187011719, + :width 793, + :height 1121.5281146896566}, + :rects ({:x1 289.7359479404986, + :y1 493.8298645019531, + :x2 500.5383161045611, + :y2 507.5229187011719, + :width 793, + :height 1121.5281146896566}), + :page 16}, + :content {:text "렬 E의 역행렬 을 특별히 L이라 한다"}, + :properties {:color "yellow"}} + {:id #uuid "6a635ac0-7401-4a3b-8494-97d3151d2c6c", + :page 16, + :position {:bounding {:x1 139.72392401471734, + :y1 726.7664594650269, + :x2 652.4055341221392, + :y2 744.2631635665894, + :width 793, + :height 1121.5281146896566}, + :rects ({:x1 139.72392401471734, + :y1 726.7664594650269, + :x2 652.4055341221392, + :y2 744.2631635665894, + :width 793, + :height 1121.5281146896566}), + :page 16}, + :content {:text "\"X\" 정사각 행렬 A의 역행렬이 존재하려면 \" 개의 선형독립인 열이 있어야 한다. "}, + :properties {:color "yellow"}} + {:id #uuid "6a635acb-6851-4e14-8586-6014d2be98b5", + :page 16, + :position {:bounding {:x1 183.48942694440484, + :y1 907.8548736572266, + :x2 236.0309918858111, + :y2 920.0264434814453, + :width 793, + :height 1121.5281146896566}, + :rects ({:x1 183.48942694440484, + :y1 907.8548736572266, + :x2 236.0309918858111, + :y2 920.0264434814453, + :width 793, + :height 1121.5281146896566}), + :page 16}, + :content {:text "가역행렬"}, + :properties {:color "yellow"}} + {:id #uuid "6a635ad8-3d2e-4392-a37b-c22c8b0de35d", + :page 17, + :position {:bounding {:x1 86.90103277936578, + :y1 85.4271240234375, + :x2 338.9414227940142, + :y2 100.6416015625, + :width 793, + :height 1121.5281146896566}, + :rects ({:x1 86.90103277936578, + :y1 85.4271240234375, + :x2 338.9414227940142, + :y2 100.6416015625, + :width 793, + :height 1121.5281146896566}), + :page 17}, + :content {:text "모든 행렬이 역행렬을 갖는 것은 아니다."}, + :properties {:color "yellow"}} + {:id #uuid "6a635adc-5c08-46ed-905c-6fef78d87284", + :page 17, + :position {:bounding {:x1 256.76872381940484, + :y1 116.1651611328125, + :x2 661.3440717197955, + :y2 131.37969970703125, + :width 793, + :height 1121.5281146896566}, + :rects ({:x1 256.76872381940484, + :y1 116.1651611328125, + :x2 661.3440717197955, + :y2 131.37969970703125, + :width 793, + :height 1121.5281146896566}), + :page 17}, + :content {:text "행렬이 가역 행렬 이려면 이 행렬 의 열들이 선형독립 이어야 한다 ."}, + :properties {:color "yellow"}} + {:id #uuid "6a635ae3-4e4a-437a-a3f8-c74bf19d9840", + :page 17, + :position {:bounding {:x1 150.50483832135797, + :y1 223.87924194335938, + :x2 593.150590274483, + :y2 241.37588500976562, + :width 793, + :height 1121.5281146896566}, + :rects ({:x1 150.50483832135797, + :y1 223.87924194335938, + :x2 593.150590274483, + :y2 241.37588500976562, + :width 793, + :height 1121.5281146896566}), + :page 17}, + :content {:text "역행렬이 존재할 필요충분조건 은 소거법에서 2 개의 피벗이 생기는 것"}, + :properties {:color "yellow"}} + {:id #uuid "6a635ae9-06aa-4efd-8480-7a73b9eb35bb", + :page 17, + :position {:bounding {:x1 149.3994000889361, + :y1 331.0345764160156, + :x2 329.1276715733111, + :y2 347.0097961425781, + :width 793, + :height 1121.5281146896566}, + :rects ({:x1 149.3994000889361, + :y1 331.0345764160156, + :x2 329.1276715733111, + :y2 347.0097961425781, + :width 793, + :height 1121.5281146896566}), + :page 17}, + :content {:text "역행렬은 유일 하게 존재 한다."}, + :properties {:color "yellow"}} + {:id #uuid "6a635aef-6880-41b5-8b18-448e393588c3", + :page 17, + :position {:bounding {:x1 150.50483832135797, + :y1 648.7802047729492, + :x2 598.3464520908892, + :y2 664.7554244995117, + :width 793, + :height 1121.5281146896566}, + :rects ({:x1 150.50483832135797, + :y1 648.7802047729492, + :x2 598.3464520908892, + :y2 664.7554244995117, + :width 793, + :height 1121.5281146896566}), + :page 17}, + :content {:text "A 의 역행렬 이 존재 하는 경우, Az = b의 유일한 해는 = A- b이다 . "}, + :properties {:color "yellow"}} + {:id #uuid "6a635b0c-4f27-4cbd-8a6c-b6655b215713", + :page 17, + :position {:bounding {:x1 152.72757086530328, + :y1 929.9515533447266, + :x2 648.005326602608, + :y2 943.6446075439453, + :width 793, + :height 1121.5281146896566}, + :rects ({:x1 152.72757086530328, + :y1 929.9515533447266, + :x2 648.005326602608, + :y2 943.6446075439453, + :width 793, + :height 1121.5281146896566}), + :page 17}, + :content {:text "정사각행렬이 가역 행렬일 필요 충분조건 은 이 행렬의 열들이 선형독립 인 것이다"}, + :properties {:color "yellow"}} + {:id #uuid "6a635b12-1a2e-453a-8e16-3bb97dcdbee1", + :page 17, + :position {:bounding {:x1 152.72757086530328, + :y1 799.4633331298828, + :x2 683.274369571358, + :y2 842.6463775634766, + :width 793, + :height 1121.5281146896566}, + :rects ({:x1 195.38765082135797, + :y1 799.4633331298828, + :x2 683.274369571358, + :y2 813.1563873291016, + :width 793, + :height 1121.5281146896566} + {:x1 152.72757086530328, + :y1 828.1925811767578, + :x2 608.2358563877642, + :y2 842.6463775634766, + :width 793, + :height 1121.5281146896566}), + :page 17}, + :content {:text "Ar=0 이 되는 영벡터가 아닌 벡터 가 존재 한다고 가정하자 . 그러면 행렬 A는 선형 종속인 열 을 갖는다. 따라서 행렬 A의 역행렬 은 존재 하지 않는다 "}, + :properties {:color "yellow"}} + {:id #uuid "6a635b1e-c0f5-47d9-8dd4-e21f0b7271ed", + :page 18, + :position {:bounding {:x1 183.57263312116265, + :y1 215.91534423828125, + :x2 386.6443036533892, + :y2 231.1298828125, + :width 793, + :height 1121.5281146896566}, + :rects ({:x1 183.57263312116265, + :y1 215.91534423828125, + :x2 386.6443036533892, + :y2 231.1298828125, + :width 793, + :height 1121.5281146896566}), + :page 18}, + :content {:text "수 ad-bc는 2x2 행렬 의 행렬식"}, + :properties {:color "yellow"}} + {:id #uuid "6a635b2a-5629-4ab6-9352-7ed4110d95dd", + :page 18, + :position {:bounding {:x1 181.34988531842828, + :y1 347.3069763183594, + :x2 566.2387860752642, + :y2 362.5214538574219, + :width 793, + :height 1121.5281146896566}, + :rects ({:x1 181.34988531842828, + :y1 347.3069763183594, + :x2 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"}, + :properties {:color "yellow"}} + {:id #uuid "6a635d42-c493-49c3-be5e-3a661e755e22", + :page 37, + :position {:bounding {:x1 297.8478864170611, + :y1 489.2298583984375, + :x2 367.49345526471734, + :y2 507.4872741699219, + :width 793, + :height 1121.5281146896566}, + :rects ({:x1 297.8478864170611, + :y1 489.2298583984375, + :x2 367.49345526471734, + :y2 507.4872741699219, + :width 793, + :height 1121.5281146896566}), + :page 37}, + :content {:text "'부분 피벳"}, + :properties {:color "yellow"}} + {:id #uuid "6a635d89-a3ba-4fb3-b75d-e81aa4884eac", + :page 38, + :position {:bounding {:x1 148.75753912702203, + :y1 647.6628494262695, + :x2 215.5079205967486, + :y2 663.6381301879883, + :width 793, + :height 1121.5281146896566}, + :rects ({:x1 148.75753912702203, + :y1 647.6628494262695, + :x2 215.5079205967486, + :y2 663.6381301879883, + :width 793, + :height 1121.5281146896566}), + :page 38}, + :content {:text "전치 행렬"}, + :properties {:color "yellow"}} + {:id #uuid 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밖**에 있음. + - 📌 원문 (p.73): ((6a6358c9-2452-478b-a285-a1550da448b6)) + - 📌 원문 — 열공간과의 관계 (p.73): ((6a6358cf-5970-4a60-b17d-a8fabcac1326)) + - **[경우 ③] 해가 무수히 많음**: $A$ 의 열이 **선형종속** ($AX=0$ 에 영벡터가 아닌 해 $X$ 존재). 하나의 해 $x$ 가 있으면 $x + \alpha X$ 도 전부 해가 된다. + - 📌 원문 (p.74): ((6a6358dc-6020-4de7-9d27-aa98fbed0c17)) + - 📌 원문 — 열의 선형종속 (p.74): ((6a6358df-a0cf-4682-aa0a-ba602d25ac6f)) + - $A(x + \alpha X) = Ax + \alpha AX = b + 0 = b$ — 해들의 집합은 직선(또는 그 이상)을 이룬다. + - 💡 **직관**: 세 경우를 가르는 것은 결국 두 가지 질문이다 — ① $A$ 의 열이 선형독립인가? ② $b$ 가 열공간 안에 있는가? 독립이면 항상 유일한 해, 종속이면 $b$ 의 위치에 따라 0개 아니면 무한개. + - **행 그림과 열 그림** — 해의 3가지 경우를 눈으로 확인하는 2가지 방법. + - **행 그림** (row picture): 각 방정식을 직선(평면)으로 그린다. 두 직선이 교차하면 해 유일, 평행하면 해 없음, 겹치면 해는 직선 전체. + - ![그림 2.1 — 방정식의 해에 대한 3가지 경우 (p.79)](../assets/2장_p79_그림2-1_해의_3가지_경우.png) + - (p.79, 그림 2.1) + - **열 그림** (column picture): $A$ 의 열들을 선형결합해 $b$ 를 만드는 그림. 3차원 이상에서도 쉽게 그릴 수 있다는 것이 행 그림과의 차이. + - ![그림 2.2 — 열 그림, b는 A의 열들의 선형결합 (p.79)](../assets/2장_p79_그림2-2_열그림.png) + - (p.79, 그림 2.2) + - **상삼각행렬 $U$ 와 피벗** + - 문자 U는 **상삼각행렬** (upper triangular matrix)을 의미한다 — 주대각선 **아래**의 모든 성분이 0인 행렬. + - 📌 원문 (p.75): ((6a6358ff-65bf-4fe7-bd3d-6626eea5a9d3)) + - **정확한 형태** ($3\times 3$ 예): 대각선 위와 대각선만 채워진다. + - $$U = \begin{bmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} \\ 0 & u_{22} & u_{23} \\ 0 & 0 & u_{33} \end{bmatrix}$$ + - **피벗** (pivot): 행렬 $U$ 의 주대각선에 있는 수. 역대입에서 각 미지수를 구할 때 피벗으로 나눈다. + - 📌 원문 (p.75): ((6a635906-6764-4b87-8597-bd485f29e316)) + - ⚠️ **숫자 0은 피벗이 될 수 없다.** 피벗이 0이면 $0 \cdot x_i = (\text{수})$ 꼴이 되어 나눌 수 없고 역대입이 실패한다. + - 📌 원문 (p.75): ((6a635913-a4e3-41b8-850a-a4cb798a9822)) + - **핵심 명제**: 선형독립인 열을 가진 (랭크가 $n$ 인) $n \times n$ 정사각행렬 $A$ 는 0이 아닌 피벗을 가진 상삼각행렬로 유도될 수 있다. + - 📌 원문 (p.75): ((6a635920-6b46-4cc7-a4ca-0d1c6680a87c)) + - **역대입법** (back substitution): $Ux = c$ 를 **아래에서 위로** 푼다. + - 예 (p.75): $\begin{bmatrix} 2&3&4 \\ 0&5&6 \\ 0&0&7 \end{bmatrix} x = \begin{bmatrix} 19\\17\\14 \end{bmatrix}$ → $7x_3=14$ 에서 $x_3=2$ → $5x_2 + 12 = 17$ 에서 $x_2=1$ → $2x_1 + 3 + 8 = 19$ 에서 $x_1=4$. + - 요약: $Ax=b$ 에 소거법 → $Ux=c$ → 역대입법으로 $x = U^{-1}c = A^{-1}b$. + - **$A$ 에서 $U$ 로, $b$ 에서 $c$ 로 — 소거의 실제 과정** (p.76 예제, 식 (2)~(5)) + - **소거행렬** $E_{ij}$: $i$ 행에서 $j$ 행에 $\ell_{ij}$ 를 곱한 것을 빼서 $(i,j)$ 위치에 0을 만드는 행렬. $E_{21}, E_{31}, E_{32}$ 순서로 $A$ 의 왼쪽에 곱한다 (정확한 형태는 [[2.2 소거행렬과 역행렬]]에서 상세히). + - 📌 원문 — 소거행렬 (p.76): ((6a635932-a78c-4087-a764-e7eaabae9f9f)) + - 진행 순서 (행 교환이 필요 없는 경우): + - ① 첫 번째 방정식으로 1열의 피벗 아래 성분들을 0으로. + - ② **새로운** 두 번째 방정식으로 2열의 피벗 아래 성분들을 0으로. + - ③ 3열도 마찬가지 → 결과적으로 $U$ 가 생성된다. + - 좌변에서 하는 소거 연산을 우변 $b$ 에도 **똑같이** 적용해야 한다 → $b$ 가 $c$ 로 바뀐다. + - $E_{32}E_{31}E_{21}A = U$ 가 상삼각이고 피벗이 모두 0이 아니면, 행렬 $A$ 와 $U$ 는 **최대 랭크** (full rank)를 갖는다. + - 📌 원문 (p.76): ((6a63593b-eed9-4165-9f02-f373ab970fe5)) + - **소거법이 실패하는 경우** — 피벗 위치에 0이 나타날 때. 두 가지 상황을 구분해야 한다. + - **일시적 실패 (행 교환으로 해결)**: 피벗 위치에 0이 있지만 그 **아래에 0이 아닌 수**가 있는 경우. + - 📌 원문 — 피벗 위치의 0 (p.77): ((6a635966-e526-4fab-9966-1f4e8a99f80a)) + - 해결법: 0을 포함한 행과 아래의 0이 아닌 행을 **교환**한다. 이후 소거는 정상 진행되어 $U$ 를 얻는다. + - 📌 원문 — 행 교환 (p.77): ((6a635975-3d7c-4ce9-b4f8-121edf2767a1)) + - **완전한 실패 (열이 선형종속)**: 피벗 위치 0 아래도 전부 0인 경우 — 교환할 행이 없다. 이때 그 열에는 피벗을 만들 수 없다. + - 열이 선형종속인 경우, 피벗 위치에 0이 **반드시** 생긴다. + - 📌 원문 (p.77): ((6a6359a0-b6ca-49c8-96de-8356dc3768f1)) + - 💡 이것도 "실패"라기보다는 **성공**이다 — 문제의 원인(열의 선형종속)을 소거법이 체계적으로 밝혀낸 것이기 때문. 삼각행렬 $U$ 의 주대각선이 모든 정보를 알려준다. + - **최대 랭크 판정과 특이행렬** + - 상삼각행렬 $U$ 는 **주대각선에 0이 없을 때, 정확히 최대 랭크를 갖는다.** + - 📌 원문 (p.78): ((6a6359ac-a058-4293-8ab6-40ab10e442de)) + - **특이행렬** (singular matrix): 주대각선에 0이 있는 (최대 랭크를 갖지 않고 역행렬이 없는) 행렬. 처음 몇 열이 선형종속이고, 일부 행도 선형종속이다. + - 📌 원문 (p.78): ((6a6359f4-8a2c-4afe-a644-3ce58b755ed4)) + - ⚠️ **주의**: "행 교환이 필요한 것"과 "특이행렬인 것"을 혼동하지 말 것. 행 교환은 단지 방정식의 순서 문제이고, 특이성은 열의 선형종속이라는 구조적 문제다. + - **첨가행렬** (augmented matrix): 우변 $b$ 를 $A$ 의 추가 열로 붙인 행렬 $[A \ \ b]$. 좌변과 우변에 동일한 소거 연산이 자동으로 적용되게 하는 장치 — $[A \ \ b] \to [U \ \ c]$. + - 📌 원문 (p.80): ((6a635a13-2cdb-43dd-aebd-0e552945d649)) + - **치환행렬** (permutation matrix) $P$ — 행 교환을 수행하는 행렬 (예: $P_{23}$ 은 2행과 3행을 교환). 피벗 위치에 0이 나타나면 사용한다. 행 교환이 없는 경우($P=I$)를 포함해 $n!$ 개의 치환행렬이 있다. 상세한 형태와 성질은 [[2.4 치환행렬과 전치행렬]]에서. + - 📌 원문 (p.80): ((6a635a1e-3810-4cd9-84fa-42fa382e865f)) + - 행 교환까지 포함한 전체 과정: $PA = LU$ (행 교환이 없으면 $A = LU$). 이 식은 [[2.3 행렬 계산과 A = LU]] 와 [[2.4 치환행렬과 전치행렬]]의 주제다. +- ### ❓ 스스로 점검 + - $Ax = b$ 의 해가 정확히 하나 존재할 조건은 무엇이고, 그때 $Ax=0$ 의 해는 무엇인가? + - $A$ 의 모든 열이 선형독립일 때 (랭크 $n$). 이때 $Ax=0$ 의 유일한 해는 $x=0$ 이고 $A^{-1}$ 가 존재한다. + - 해가 하나라도 존재하는데 무수히 많아지는 것은 어떤 경우인가? 해들은 어떤 모양을 이루는가? + - $A$ 의 열이 선형종속이고 ($AX=0$ 의 비영해 $X$ 존재) $b$ 가 열공간 안에 있는 경우. 하나의 해 $x$ 에 대해 $x + \alpha X$ ($\alpha$ 는 임의의 수)가 모두 해가 되어 직선(또는 더 높은 차원)을 이룬다. + - 소거 중 피벗 위치에 0이 나타났다. "행 교환으로 해결되는 경우"와 "해결 불가능한 경우"는 무엇이 다른가? + - 그 0 **아래에** 0이 아닌 성분이 있으면 행 교환으로 해결된다 (일시적 실패). 아래가 전부 0이면 그 열에 피벗이 없는 것이고, 이는 열이 선형종속(특이행렬)이라는 구조적 신호다. + - 상삼각행렬 $U$ 가 최대 랭크를 가질 필요충분조건은? + - 주대각선(피벗 위치)에 0이 없는 것. 이때 $U$ 의 (그리고 $A$ 의) 열들은 선형독립이다. + - 왜 숫자 0은 피벗이 될 수 없는가? + - 역대입에서 각 미지수를 구할 때 피벗으로 나눠야 하는데 0으로는 나눌 수 없기 때문. $0 \cdot x = c$ 꼴은 해가 없거나($c \neq 0$) 무수히 많다($c = 0$). +- ### ✏️ 연습문제 풀이 (솔루션 참고) + - **문제 4** — $c$ 를 소거하려면 두 번째 방정식에서 첫 번째 방정식에 어떤 $\ell$ 을 곱해 빼야 하는가? ($ax+by=f$, $cx+dy=g$, $a \neq 0$) + - 승수는 $\ell = \dfrac{c}{a}$. 소거 후 두 번째 피벗은 $d - \dfrac{cb}{a} = \dfrac{ad-bc}{a}$, 해는 $y = \dfrac{ag-cf}{ad-bc}$. + - 두 번째 피벗이 사라지는 조건이 정확히 $ad = bc$ — 이때가 **특이한** (singular) 경우다. + - 💡 2×2 행렬의 행렬식 $ad-bc$ 가 소거법의 피벗에서 자연스럽게 나타난다. 피벗의 곱 $a \cdot \frac{ad-bc}{a} = ad-bc$ = 행렬식. + - **문제 7** — $ax + 3y = -3$, $4x + 6y = 6$ 은 어떤 $a$ 에서 소거법이 완전히/일시적으로 불가능한가? + - $a = 2$ 이면 **완전히 불가능**: 좌변이 배수 관계(행 그림에서 평행선)가 되는데 우변은 아니므로 해가 없다. + - $a = 0$ 이면 **일시적으로 불가능**: 첫 피벗 위치가 0이지만 행 교환으로 해결된다. 교환 후 $4x + 6y = 6$, $3y = -3$ → $y = -1$, $x = 3$. + - 💡 본문의 "일시적 실패 vs 완전한 실패" 구분을 수치로 체험하는 문제. + - **문제 11** (책 추천: 꼭 풀어볼 만한 문제) — 선형 연립방정식은 정확히 2개의 해를 가질 수 없다. (a) 두 해 $(x,y,z)$, $(X,Y,Z)$ 가 있다면 또 다른 해는? (b) 25개의 평면이 두 점에서 만나면 또 어디서 만나는가? + - (a) 두 해의 평균 $\frac{1}{2}(x+X, \ y+Y, \ z+Z)$ 도 해다 (실제로는 두 해를 잇는 직선 위의 모든 점이 해). + - (b) 25개의 평면이 두 점에서 만난다면, 그 두 점을 지나는 **직선 전체**에서 만난다. + - 💡 해집합의 구조(0개, 1개, 무한개뿐)가 왜 그런지를 보여주는 문제 — 해 2개가 있으면 그 직선 전체가 해가 되어버린다. + - **문제 21** (도전) — 행 합이 4, 8이고 열 합이 2, $s$ 인 2×2 행렬 찾기. 네 방정식 $a+b=4$, $a+c=2$, $c+d=8$, $b+d=s$ 의 해가 존재하는 $s$ 는? + - 좌변에서 (첫째+셋째) = (둘째+넷째) = $a+b+c+d$ 이므로 우변도 $4+8 = 2+s$ 여야 한다 → $s = 10$. + - 이 4×4 연립방정식은 **특이**하다 — 소거하면 마지막 행이 0행이 된다. $s=10$ 일 때 해가 무수히 많다. 두 예: $\begin{bmatrix} 1&3 \\ 1&7 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 0&4 \\ 2&6 \end{bmatrix}$. + - 💡 "해가 존재할 조건이 우변에 붙는" 경우 ②↔③의 경계를 4×4 에서 경험하는 문제. diff --git a/pages/2.2 소거행렬과 역행렬.md b/pages/2.2 소거행렬과 역행렬.md new file mode 100755 index 0000000..82e3686 --- /dev/null +++ b/pages/2.2 소거행렬과 역행렬.md @@ -0,0 +1,104 @@ +deck:: Logseq/전공공부/선형대수학 + +- ### 핵심 개념 + - **이 절의 요지**: 소거의 모든 단계는 행렬곱으로 표현된다. 소거행렬 $E_{ij}$ 들을 차례로 곱해 $EA = U$ 를 만들고, 역순으로 역행렬을 곱해 $A = E^{-1}U = LU$ 를 얻는다. + - 📌 원문 (p.85): ((6a635a7c-c085-49d0-a491-a38760e0de17)) + - **기본 소거 단계**: 방정식 $i$ 에서 방정식 $j$ 에 $\ell_{ij}$ 를 곱한 것을 빼는 것. + - 📌 원문 (p.85): ((6a635a84-07f5-42f7-a189-5e34759ed1ba)) + - 승수(multiplier)는 $\ell_{ij} = \dfrac{\text{소거할 성분}}{\text{피벗}}$. 예: $a_{11}=3$ 아래 $a_{21}=-3$ 이 있으면 $\ell_{21} = -1$ 이고, "2행에서 1행에 $-1$ 을 곱한 것을 뺀다" = "2행에 1행을 더한다". + - **소거행렬 $E_{ij}$ 의 정확한 형태** 🧩 (책이 명시적으로 정리해주지 않는 부분 — 복습용 정리) + - **만드는 법**: 항등행렬 $I$ 에서 시작해 **$(i, j)$ 성분 (= $i$ 행 $j$ 열) 하나만 $-\ell_{ij}$ 로** 바꾼다. 나머지는 $I$ 그대로 (주대각선 1, 그 외 0). + - $$E_{ij} = I \text{ 에서 } (i,j) \text{ 성분만 } -\ell_{ij} \text{ 로 바꾼 행렬} \qquad (i > j \text{ 이므로 주대각선 아래})$$ + - 예 — 3행에서 1행에 2를 곱해 빼는 $E_{31}$ ($\ell_{31} = 2$): $(3,1)$ 위치에 $-2$. + - $$E_{31} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$ + - **왜 이 형태인가**: $E_{31}A$ 의 3행 = ($E_{31}$ 의 3행) × $A$ = $-2 \cdot (A$ 의 1행$) + 1 \cdot (A$ 의 3행$)$ — 정확히 "3행 ← 3행 − 2×(1행)" 이다. 왼쪽에 곱하는 행렬의 각 행은 "결과의 그 행을 원래 행들의 어떤 결합으로 만들지"를 지시한다. + - ⚠️ 첨자 순서 주의: $E_{ij}$ 는 "$i$ 행에서 $j$ 행을 (배수로) 뺀다"는 뜻이고, 바꾸는 성분 위치도 $i$ 행 $j$ 열이다. $i > j$ (아래 행에서 위 행을 뺌) 이므로 항상 주대각선 **아래**의 성분 하나를 바꾼다. + - **전체소거행렬 $E$**: 행 교환이 필요 없는 $3\times 3$ 의 경우, 세 소거행렬을 순서대로 곱한 것. + - $$E = E_{32}E_{31}E_{21}, \qquad EA = U$$ + - ⚠️ **곱하는 순서**가 소거 순서다: 먼저 $E_{21}$ (그 다음 $E_{31}$, 마지막 $E_{32}$)이 $A$ 에 가장 가까이(오른쪽에) 위치한다. + - ⚠️ $E_{32}$ 는 $A$ 의 원래 2행이 아니라 **소거가 진행된 뒤의 새로운 2행**에 $\ell_{32}$ 를 곱해 뺀다 (p.86 EX1). + - $E$ 를 직접 곱해보면 좌하단에 복잡한 항이 생긴다 (p.91 식 (10)): + - $$E = E_{32}E_{31}E_{21} = \begin{bmatrix} 1 & & \\ -\ell_{21} & 1 & \\ (\ell_{32}\ell_{21} - \ell_{31}) & -\ell_{32} & 1 \end{bmatrix}$$ + - 💡 $(3,1)$ 위치의 $\ell_{32}\ell_{21}$ 항이 생기는 이유: 1행이 2행을 바꾸고, 그 바뀐 2행이 다시 3행을 바꾸는 **연쇄 효과** 때문. 그래서 $E$ 자체는 쓸모 있는 공식이 안 되고, 역행렬 $L$ 쪽이 깨끗하다 (아래). + - **$E_{ij}$ 의 역행렬 — 빼면, 역은 더한다** + - $E_{ij}$ 가 "$i$ 행에서 $j$ 행 $\times \ell_{ij}$ 를 뺀다"면, $E_{ij}^{-1}$ 는 "$i$ 행에 $j$ 행 $\times \ell_{ij}$ 를 **더한다**". + - 📌 원문 (p.86): ((6a635aa6-fc5b-4d1b-af7e-ce34f3a3dff2)) + - **정확한 형태**: $E_{ij}$ 에서 $(i,j)$ 성분의 **부호만 뒤집으면** 된다 ($-\ell_{ij} \to +\ell_{ij}$). + - $$E = \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ -5&1&0 \\ 0&0&1 \end{bmatrix} \quad\Longrightarrow\quad E^{-1} = \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 5&1&0 \\ 0&0&1 \end{bmatrix} \qquad (\text{p.89 EX4})$$ + - **$L$ 은 $E$ 의 역행렬** — 이 장의 핵심 (p.91 식 (11)) + - $E = E_{32}E_{31}E_{21}$ 의 역행렬을 **역순으로** 곱하면: $L = E^{-1} = E_{21}^{-1}E_{31}^{-1}E_{32}^{-1}$. + - 📌 원문 — $E$ 의 역행렬을 $L$ 이라 한다 (p.86): ((6a635aae-3105-49ae-957b-172c4c5d0005)) + - 📌 원문 — 식 (11) (p.91): [🔗 PDF 위치](((6a635b68-9f69-4209-8ca3-615913bd254d))) + - ![L은 E의 역행렬 — 식 (11) (p.91)](../assets/2장_p91_L은_E의_역행렬_식11.png) + - **$L$ 의 정확한 형태** 🧩: **하삼각행렬**로, ① 주대각선은 전부 1, ② 주대각선 아래 $(i,j)$ 성분에 승수 $\ell_{ij}$ 가 **부호 그대로, 제자리에** 들어간다. $E$ 와 달리 곱셈 연쇄 항이 전혀 없다. + - $$L = \begin{bmatrix} 1 & & \\ \ell_{21} & 1 & \\ \ell_{31} & \ell_{32} & 1 \end{bmatrix}$$ + - 💡 **왜 $L$ 은 깨끗한가** (p.90 EX5의 교훈): 역행렬들을 곱하는 순서 $E_{21}^{-1}E_{31}^{-1}E_{32}^{-1}$ 에서는 "먼저 3행을 (2행으로) 바꾸고, **그 다음** 2행을 (1행으로) 바꾸므로" 바뀐 행이 다시 쓰이는 연쇄가 일어나지 않는다. 소거법의 순서는 $FE$, 역행렬의 순서는 $L = E^{-1}F^{-1}$ — 승수들이 모두 하삼각 $L$ 의 제자리에 위치한다. + - 이 결과로 $EA = U$ 는 $A = E^{-1}U = LU$ 가 된다 → [[2.3 행렬 계산과 A = LU]] 의 주제. + - **역행렬에 관한 사실** + - **정의 — 가역행렬** (invertible matrix): $A^{-1}A = AA^{-1} = I$ 를 만족하는 $A^{-1}$ 가 존재하는 행렬 $A$. + - 📌 원문 (p.86): ((6a635acb-6851-4e14-8586-6014d2be98b5)) + - $n \times n$ 행렬 $A$ 의 역행렬이 존재하려면 $n$ 개의 선형독립인 열이 있어야 한다. + - 📌 원문 (p.86): ((6a635ac0-7401-4a3b-8494-97d3151d2c6c)) + - ⚠️ **모든 행렬이 역행렬을 갖는 것은 아니다.** 수는 0만 아니면 역수를 갖지만, 행렬은 조건이 더 복잡하다. + - 📌 원문 (p.87): ((6a635ad8-3d2e-4392-a37b-c22c8b0de35d)) + - 📌 원문 — 가역이려면 열이 선형독립 (p.87): ((6a635adc-5c08-46ed-905c-6fef78d87284)) + - **역행렬 $A^{-1}$ 의 7가지 특징** (p.87~88) + - **[특징 ①]** 역행렬 존재의 필요충분조건 = 소거법에서 **$n$ 개의 피벗**이 생기는 것 (행 교환 허용). + - 📌 원문 (p.87): ((6a635ae3-4e4a-437a-a3f8-c74bf19d9840)) + - **[특징 ②]** 역행렬은 **유일**하다. $BA = I$, $AC = I$ 이면 $B = C$ — 결합법칙으로 $B(AC) = (BA)C$ 에서 즉시 나온다. 왼쪽 역행렬 = 오른쪽 역행렬. + - 📌 원문 (p.87): ((6a635ae9-06aa-4efd-8480-7a73b9eb35bb)) + - **[특징 ③]** $A^{-1}$ 가 존재하면 $Ax = b$ 의 유일한 해는 $x = A^{-1}b$. + - 📌 원문 (p.87): ((6a635aef-6880-41b5-8b18-448e393588c3)) + - **[특징 ④]** (중요) $Ax = 0$ 인 영벡터가 아닌 $x$ 가 존재하면 → $A$ 의 열이 선형종속 → **역행렬 없음**. ($A^{-1}$ 가 있다면 $x = A^{-1}0 = 0$ 뿐이어야 하므로.) + - 📌 원문 (p.87): ((6a635b12-1a2e-453a-8e16-3bb97dcdbee1)) + - **[특징 ⑤]** 정사각행렬이 가역일 필요충분조건 = 열들이 선형독립. + - 📌 원문 (p.87): ((6a635b0c-4f27-4cbd-8a6c-b6655b215713)) + - **[특징 ⑥]** $2\times 2$ 행렬이 가역일 필요충분조건은 $ad - bc \neq 0$: + - $$\begin{bmatrix} a&b \\ c&d \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$$ + - 수 $ad-bc$ 는 2×2 행렬의 **행렬식** (determinant). 실제 판정에는 행렬식보다 **피벗이 $n$ 개인지** 확인하는 피벗 판정법을 주로 쓴다. + - 📌 원문 — 행렬식 (p.88): ((6a635b1e-c0f5-47d9-8dd4-e21f0b7271ed)) + - 📌 원문 — 2×2 가역 조건 (p.88): ((6a635b3a-8ccf-4542-81e5-fb74840b350b)) + - 💡 외우는 법: 대각 $a, d$ 는 **자리를 바꾸고**, 반대각 $b, c$ 는 **부호를 바꾸고**, 행렬식으로 나눈다. + - **[특징 ⑦]** 상삼각행렬은 주대각성분 $d_i$ 가 모두 0이 아닐 때 (역시 상삼각인) 역행렬을 갖는다. + - 📌 원문 (p.88): ((6a635b2a-5629-4ab6-9352-7ed4110d95dd)) + - **행렬곱 $AB$ 의 역행렬 — 역순으로** + - 📌 원문 — 공식 (7) (p.89): [🔗 PDF 위치](((6a635b51-4ca7-4f6d-923a-74154bb8cda3))) + - ![AB의 역행렬 공식 (p.89)](../assets/2장_p89_AB의_역행렬_공식.png) + - $$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}, \qquad (ABC)^{-1} = C^{-1}B^{-1}A^{-1}$$ + - $AB$ 가 가역일 필요충분조건: $A$ 와 $B$ 가 (같은 크기의) 가역행렬인 것. + - 💡 **양말–신발 비유**: 양말 신고 신발을 신었으면, 벗을 때는 신발 먼저 벗고 양말을 벗는다. 역행렬은 항상 **역순**. +- ### ❓ 스스로 점검 + - $E_{31}$ ($\ell_{31} = 2$) 의 정확한 형태를 쓰고, 왜 그 형태가 "3행에서 1행의 2배를 빼는" 연산이 되는지 설명하라. + - $I$ 에서 $(3,1)$ 성분만 $-2$ 로 바꾼 $\begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ -2&0&1 \end{bmatrix}$. 곱 $E_{31}A$ 의 3행 = $-2\cdot(A$ 의 1행$) + 1\cdot(A$ 의 3행$)$ 이 되기 때문 (왼쪽 곱셈의 각 행은 원래 행들의 결합 지시서). + - $E = E_{32}E_{31}E_{21}$ 과 $L = E^{-1}$ 중 어느 쪽이 승수 $\ell_{ij}$ 를 "제자리에 그대로" 담고 있는가? 다른 한쪽에는 무슨 일이 생기는가? + - $L$ 쪽이다: 주대각선 1, $(i,j)$ 에 $\ell_{ij}$ 그대로. $E$ 쪽은 $(3,1)$ 위치에 $\ell_{32}\ell_{21} - \ell_{31}$ 같은 연쇄 곱셈 항이 생긴다 (바뀐 행이 다시 다른 행을 바꾸는 효과). + - 역행렬이 존재하는지 판단하는 실용적 기준(특징 ①)은 무엇인가? + - 소거법에서 (행 교환을 허용하며) 0이 아닌 피벗이 $n$ 개 생기는 것. + - $Ax = 0$ 에 $x \neq 0$ 인 해가 있으면 왜 $A^{-1}$ 가 존재할 수 없는가? + - $A^{-1}$ 가 존재한다면 양변에 곱해 $x = A^{-1}0 = 0$ 이 되어 모순. (열이 선형종속이라는 뜻이므로 특징 ⑤로도 같은 결론.) + - $(AB)^{-1}$ 는 무엇이고, 왜 그 순서인가? + - $B^{-1}A^{-1}$. $(AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = AA^{-1} = I$ — 안쪽부터 소거되려면 역순이어야 한다. +- ### ✏️ 연습문제 풀이 (솔루션 참고) + - **문제 3** — $A = \begin{bmatrix} 1&1&0 \\ 4&6&1 \\ -2&2&0 \end{bmatrix}$ 를 $U$ 로 만드는 $E_{21}, E_{31}, E_{32}$ 를 구하고, $E$ 와 $L = E^{-1}$ 도 구하라. + - $\ell_{21}=4$: $E_{21} = \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ -4&1&0 \\ 0&0&1 \end{bmatrix}$, $\ell_{31}=-2$: $E_{31} = \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 2&0&1 \end{bmatrix}$, $\ell_{32}=2$: $E_{32} = \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&-2&1 \end{bmatrix}$. + - $E = E_{32}E_{31}E_{21} = \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ -4&1&0 \\ 10&-2&1 \end{bmatrix}$ — $(3,1)$ 에 연쇄 항 $10$ 이 생겼다. + - $L = E^{-1} = \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 4&1&0 \\ -2&2&1 \end{bmatrix}$ — 승수 $4, -2, 2$ 가 전부 **제자리에 그대로**. + - 💡 이 문제 하나로 이 절의 핵심($E$ 는 지저분, $L$ 은 깨끗)을 손으로 확인할 수 있다. + - **문제 12** — 두 치환행렬 $P = \begin{bmatrix} 0&0&1 \\ 0&1&0 \\ 1&0&0 \end{bmatrix}$, $P = \begin{bmatrix} 0&1&0 \\ 0&0&1 \\ 1&0&0 \end{bmatrix}$ 의 역행렬을 구하라. + - 첫 번째는 단순 행 교환(1↔3)이라 $P^2 = I$ → $P^{-1} = P$ 자기 자신. + - 두 번째는 순환 이동이라 $P^{-1} = \begin{bmatrix} 0&0&1 \\ 1&0&0 \\ 0&1&0 \end{bmatrix}$. + - 💡 두 경우 모두 $P^{-1} = P^{\mathrm{T}}$ (전치) — 2.4절에서 일반 원리로 배운다. + - **문제 16** (책 표시: 중요한 문제) — $A$ 에서 (1행)+(2행)=(3행)일 때 $A^{-1}$ 가 존재하지 않음을 보여라. + - (a) $Ax = (0,0,1)$ 은 해가 없다: 식1 + 식2 − 식3 을 만들면 좌변은 0인데 우변은 $0+0-1 = -1 \neq 0$. + - (b) 해가 존재하려면 우변이 같은 관계를 만족해야 한다: $b_1 + b_2 = b_3$. + - (c) 소거 과정에서 3행은 **0행**이 된다 — 세 번째 피벗이 없다. + - 💡 행의 선형종속도 (열의 선형종속처럼) 가역성을 파괴한다. 소거법이 그 사실을 0행으로 드러낸다. + - **문제 29** — 가우스-조르단 아이디어: $[A \ \ I]$ 에 소거법을 적용해 $A$ 를 $I$ 로 바꾸면 $I$ 자리에 $A^{-1}$ 가 나타남을 확인하라. + - $\begin{bmatrix} 1&3&1&0 \\ 2&7&0&1 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1&3&1&0 \\ 0&1&-2&1 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1&0&7&-3 \\ 0&1&-2&1 \end{bmatrix} = [I \ \ A^{-1}]$. + - 두 번째: $\begin{bmatrix} 1&4&1&0 \\ 3&9&0&1 \end{bmatrix} \to \cdots \to \begin{bmatrix} 1&0&-3&4/3 \\ 0&1&1&-1/3 \end{bmatrix}$. + - 💡 2.3절 가우스-조르단 소거법의 예습. 검산: $ad-bc$ 공식과 비교해볼 것. + - **문제 34** (책 표시: 꼭 풀어볼 만한 문제) — $A = \begin{bmatrix} a&b&b \\ a&a&b \\ a&a&a \end{bmatrix}$ 가 가역일 조건을 증명하고, $C = \begin{bmatrix} 2&c&c \\ c&c&c \\ 8&7&c \end{bmatrix}$ 가 비가역이 되는 $c$ 3개를 찾아라. + - $A$ 의 소거: 피벗이 $a$, $a-b$, $a-b$ 로 나온다 → 가역 조건은 $a \neq 0$ 이고 $a \neq b$. + - $$A^{-1} = \frac{1}{a(a-b)}\begin{bmatrix} a & 0 & -b \\ -a & a & 0 \\ 0 & -a & a \end{bmatrix}$$ + - $C$: $c = 0$ (열들이 종속), $c = 7$ (2행과 3행 관련 종속), $c = 2$ (1행과 2행 종속) 에서 비가역. + - 💡 문자 행렬에서 피벗을 추적하는 훈련 — "가역 판정 = 피벗 개수 세기"를 체득하는 문제. diff --git a/pages/2.3 행렬 계산과 A = LU.md b/pages/2.3 행렬 계산과 A = LU.md new file mode 100755 index 0000000..96adff5 --- /dev/null +++ b/pages/2.3 행렬 계산과 A = LU.md @@ -0,0 +1,80 @@ +deck:: Logseq/전공공부/선형대수학 + +- ### 핵심 개념 + - **이 절의 요지 3가지**: + - ① $n \times n$ 행렬 $A$ 를 $U$ 로 바꾸는 소거는 약 $\frac{1}{3}n^3$ 번의 곱셈과 뺄셈이 필요하다. + - ② 우변 $b$ 를 $c$ 로 바꾸는 데는 $n^2$ 번이면 된다. + - ③ 행 교환이 없는 소거는 $A$ 를 $LU$ 로 분해한다 ($A = LU$ 의 2가지 증명). + - **가우스-조르단 소거법** (Gauss-Jordan elimination): $AX = I$ 를 열 단위로 한꺼번에 푸는 방법. + - 📌 원문 (p.97): ((6a635ba0-717a-49ea-81c6-1b80acfb2f4c)) + - 아이디어: $A^{-1}$ 의 $k$ 번째 열 $x_k$ 는 $Ax_k = e_k$ 의 해다 ($e_k$ 는 $I$ 의 $k$ 번째 열). $n$ 개의 방정식이 모두 같은 계수행렬 $A$ 를 가지므로 첨가행렬을 $[A \ \ I]$ 로 잡고 **소거를 한 번만** 적용한다. + - $$[A \ \ I] \xrightarrow{\text{소거}} [I \ \ A^{-1}]$$ + - ⚠️ 가우스-조르단은 (역대입 대신) 피벗 **위쪽**까지 소거해 $A$ 자리를 완전히 $I$ 로 만든다. $Ax=b$ 하나를 푸는 것보다 **느리다** — $A^{-1}$ 가 정말 필요할 때만 쓴다. + - 💡 이 책의 일관된 메시지: $x = A^{-1}b$ 라고 해서 실제로 $A^{-1}$ 를 계산하지는 마라. 소거+역대입이 훨씬 싸다. + - **소거법의 비용** (연산 횟수 세기) + - 📌 원문 (p.97): ((6a635bbc-cd20-4362-8dcc-ae180ca53cba)) + - $A \to U$: 1단계(1열 소거)는 약 $n^2$ 번의 곱셈·뺄셈, 2단계는 $(n-1)^2$, … → 총합 $n^2 + (n-1)^2 + \cdots + 1^2 \approx \frac{1}{3}n^3$. + - 💡 제곱의 합 $\approx$ $x^2$ 의 적분 = $\frac{1}{3}n^3$ — 미적분과의 연결. + - 우변 $b \to c$ (소거 적용) 그리고 $c \to x$ (역대입): 합쳐서 정확히 $n^2$ 번. + - $$[(n-1) + (n-2) + \cdots + 1] + [1 + 2 + \cdots + (n-1) + n] = n^2$$ + - 크기 감각: $n = 1{,}000$ 이면 약 1초. $n$ 이 2배가 되면 시간은 $2^3 = 8$ 배 ($n^3$ 규칙). 실무의 큰 행렬은 대부분 **희소행렬** (sparse matrix, 대부분 성분이 0)이라 $A = LU$ 계산이 훨씬 빠르다. + - **$A = LU$ 분해** — 이 장의 핵심 공식 + - 소거 과정 $EA = U$ 를 뒤집으면 $A = E^{-1}U = LU$. [[2.2 소거행렬과 역행렬]]의 식 (11)이 $\ell_{ij}$ 가 $L$ 의 정확한 위치에 배치됨을 보여줬다. + - **$L$ 과 $U$ 의 정확한 형태** 🧩: + - $L$ = 주대각선이 1이고, 주대각선 아래 $(i,j)$ 에 승수 $\ell_{ij}$ 가 들어간 **하삼각행렬**. + - $U$ = 소거가 끝난 **상삼각행렬**, 주대각선에 피벗들이 놓인다. + - $$A = LU = \begin{bmatrix} 1 & & \\ \ell_{21} & 1 & \\ \ell_{31} & \ell_{32} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \text{피벗}_1 & * & * \\ & \text{피벗}_2 & * \\ & & \text{피벗}_3 \end{bmatrix}$$ + - **증명 1 — 행 단위로 보기**: $L$ 에서 $\ell_{ij}$ 가 제자리에 있는 이유 (p.99~100) + - 📌 원문 (p.99): ((6a635be3-d31e-4142-a915-420dc9b58289)) + - 소거 중 피벗 행에서 빼는 것은 $A$ 의 원래 행이 아니라 이미 완성된 **$U$ 의 행**이다 (피벗 행은 그 뒤로 다시 바뀌지 않으므로). + - $$(U \text{의 3행}) = (A \text{의 3행}) - \ell_{31}(U \text{의 1행}) - \ell_{32}(U \text{의 2행}) \tag{3}$$ + - 이 식을 이항하면: + - $$(A \text{의 3행}) = \ell_{31}(U \text{의 1행}) + \ell_{32}(U \text{의 2행}) + 1 \cdot (U \text{의 3행}) \tag{4}$$ + - 식 (4)가 정확히 행렬곱 $A = LU$ 의 3행이다 — $L$ 의 3행 $[\ell_{31} \ \ \ell_{32} \ \ 1]$ 이 그대로 읽힌다. 모든 크기 $n$ 에서 성립. + - **증명 2 — (열)×(행) 랭크 1 행렬로 보기** (p.100~101) + - 소거를 "$A$ 에서 (L의 열)·(U의 행) 인 랭크 1 행렬을 빼는 것"으로 본다. + - 1단계: $\ell_1 = (1, \ell_{21}, \ell_{31}, \cdots)$ 과 $u_1 = (A$ 의 1행$)$ 에 대해 $A - \ell_1 u_1 = A_2$ 를 만들면 $A_2$ 의 1행과 1열은 전부 0. + - 반복하면 매 단계 "$L$ 의 열 $\ell_j$ × $U$ 의 피벗 행 $u_j$" 를 소거하고, 조각을 다시 합치면: + - $$A = \ell_1 u_1 + \ell_2 u_2 + \cdots + \ell_n u_n = \begin{bmatrix} \ell_1 & \cdots & \ell_n \end{bmatrix}\begin{bmatrix} u_1 \\ \vdots \\ u_n \end{bmatrix} = LU \tag{5}$$ + - 💡 1장 마지막의 "(열)×(행) 곱셈" 관점이 여기서 진가를 발휘한다. $U$ 의 피벗 행 $u_k$ 는 앞에 $(k-1)$ 개의 0, $L$ 의 열 $\ell_k$ 도 위에 $(k-1)$ 개의 0으로 시작. + - **행 교환 없이 $A = LU$ 분해가 가능한 조건** (p.101) + - "행 교환이 없고 피벗에 0이 없는 $A = LU$ 분해는 언제 가능한가?" + - 📌 원문 — 질문 (p.101): ((6a635bfb-bcd2-4ff3-9fd5-31424ab7abb4)) + - 답: $A$ 의 **왼쪽 상단 모서리에 있는 모든 $k \times k$ 부분행렬 $A_k$ 가 가역행렬**일 때만 가능하다 ($k = 1, \cdots, n$). + - 📌 원문 — 답 (p.101): ((6a635c01-2fd8-4235-a9d8-052b6b5f93d7)) + - 이유: 소거 과정이 좌상단 모서리 부분행렬을 순서대로 분해하기 때문 — $A_k = L_k U_k$ 이 성립하려면 각 $A_k$ 가 가역이어야 한다. + - 💡 직관: $k$ 번째 피벗은 좌상단 $k\times k$ 블록 안에서 결정된다. 앞쪽 블록이 특이하면 그 시점에 피벗 0을 만나 행 교환이 필요해진다. + - **$LU$ 를 이용한 $Ax = b$ 풀이 — 두 개의 삼각 시스템** + - $A = LU$ 를 알고 나면: $Ax = b$ ⟺ $L(Ux) = b$ ⟺ 두 단계로 분리. + - ① $Lc = b$ 를 **순방향 대입**으로 풀어 $c$ 를 얻는다 (소거가 우변에 하던 일). + - ② $Ux = c$ 를 **역대입**으로 풀어 $x$ 를 얻는다. + - 💡 같은 $A$ 에 우변 $b$ 만 바뀌는 문제를 여러 번 풀 때 진가: 비싼 $\frac{1}{3}n^3$ 분해는 한 번만, 이후는 $b$ 마다 $n^2$ 만 든다. +- ### ❓ 스스로 점검 + - $A \to U$ 소거, 우변 처리($b \to c \to x$)의 연산 횟수는 각각 대략 얼마인가? + - $A \to U$ 는 약 $\frac{1}{3}n^3$ 번의 곱셈·뺄셈, 우변은 (소거 + 역대입 합쳐) 정확히 $n^2$ 번. + - $A = LU$ 에서 $L$ 의 주대각선과 그 아래에는 정확히 무엇이 들어가는가? + - 주대각선에는 1, 주대각선 아래 $(i,j)$ 성분에는 소거 때 쓴 승수 $\ell_{ij}$ 가 부호 그대로 들어간다. ($U$ 의 주대각선에는 피벗.) + - "소거에서 피벗 행에 곱해 빼는 행은 $A$ 의 행이 아니라 $U$ 의 행이다" — 왜 이 관찰이 $A = LU$ 증명의 핵심인가? + - $(U$ 의 $i$ 행$) = (A$ 의 $i$ 행$) - \sum_{j 0$). + - **차분 (difference)** — 미분의 근사. 한 점이 아니라 **두 점** $x$ 와 $x+h$ 를 쓴다. 3가지 중요한 사실 (p.118): + - ❶ $\Delta y = y(x+h) - y(x)$ 는 대략 $h \times \dfrac{dy}{dx}$ 이다. + - ❷ 더 좋은 근사: $\Delta y \approx h\dfrac{dy}{dx} + \dfrac{1}{2}h^2\dfrac{d^2y}{dx^2}$ (2계도함수 항으로 보정). + - ❸ 정확한 값: $\Delta y = \displaystyle\int_x^{x+h} \frac{dy}{dx}\,dx$. + - 💡 ❶은 접선(1차 근사), ❷는 접하는 포물선(2차 근사). 기하적으로: 접선을 따라가다 $\frac{1}{2}h^2 y''$ 만큼 더 휘어주는 것. + - **테일러 급수** (Taylor series): 위 근사를 무한히 계속한 것 — 모든 항은 $\dfrac{h^n}{n!} \times \left(n\text{계도함수}\right)$. + - $$y(x+h) = y(x) + h\,y'(x) + \frac{1}{2}h^2 y''(x) + \cdots + \frac{1}{n!}h^n y^{(n)}(x) + \cdots$$ + - $y = e^x$ 같은 함수는 모든 점에서 수렴(해석함수). $y = \frac{1}{1-x}$ 은 $|x| < 1$ 에서만 수렴 — $x=1$ 은 **극점**(pole)이라는 특이점. + - 💡 이 절에서 테일러 급수의 용도: 아래 차분 공식들의 **오차가 몇 차인지**($h$ 몇 제곱에 비례해 줄어드는지) 판정하는 도구. + - **1계 미분의 3가지 차분 근사** — 전진·후진·중심 (p.120~121) + - 출발점: 테일러 전개를 $+h$ 와 $-h$ 에 대해 쓴다. + - $$y(x+h) - y(x) \approx h\frac{dy}{dx} + \frac{1}{2}h^2\frac{d^2y}{dx^2} \tag{2a}$$ + - $$y(x-h) - y(x) \approx -h\frac{dy}{dx} + \frac{1}{2}h^2\frac{d^2y}{dx^2} \tag{2b}$$ + - **전진차분** (forward): $\dfrac{y(x+h) - y(x)}{h}$ — 오차 $O(h)$, **1차 정확도**. + - **후진차분** (backward): $\dfrac{y(x) - y(x-h)}{h}$ — 오차 $O(h)$, **1차 정확도**. + - **중심차분** (centered): (2a)−(2b) 를 $2h$ 로 나누면 $\frac{1}{2}h^2 y''$ 항이 **상쇄**된다: + - $$\frac{y(x+h) - y(x-h)}{2h} \approx \frac{dy}{dx} \qquad \text{— 오차 } O(h^2), \ \textbf{2차 정확도}$$ + - 💡 중심차분이 좋은 이유: 전진과 후진의 평균이라 $\pm$ 대칭으로 오차의 첫 항이 지워진다. $h = 0.01$ 이면 1차 정확도는 오차 ~1%, 2차 정확도는 ~0.01% — 공짜로 100배 좋아진다. + - ⚠️ 부호와 분모 주의: 중심차분의 분모는 $h$ 가 아니라 $2h$ (두 점 사이 거리가 $2h$). + - **2차차분 — $1, -2, 1$ 패턴의 탄생** (p.120 식 (4)) + - (2a)+(2b) 를 $h^2$ 으로 나누면 1계 항이 상쇄되고 2계도함수의 근사가 나온다: + - $$\frac{y(x+h) - 2y(x) + y(x-h)}{h^2} \approx \frac{d^2y}{dx^2}$$ + - 분자의 계수가 바로 $1, -2, 1$ — 이 패턴 하나가 이 절의 행렬 $K, T, B$ 전부의 씨앗이다. + - 💡 직관: 2계도함수 = "양옆 평균과 자신의 차이". $y(x)$ 가 양옆 평균 $\frac{y(x+h)+y(x-h)}{2}$ 보다 작으면 위로 휜 것(양수). + - **미분방정식 → 행렬방정식**: $-\dfrac{d^2u}{dx^2} = f(x)$ 를 격자에서 풀기 (p.122) + - 설정: 구간 $[0,1]$ 을 격자 간격 $h = \frac{1}{N+1}$ 로 나눈다. 내부 격자점은 $x_1 = h, \cdots, x_N = Nh$ 의 $N$ 개. **경계점 $x_0 = 0$, $x_{N+1} = 1$ 에서는 $u=0$ 으로 고정** ($u_0 = 0, u_{N+1} = 0$). + - 각 격자점마다 2차차분 방정식 하나: $\dfrac{-u_{i-1} + 2u_i - u_{i+1}}{h^2} = f(ih)$ → $N$ 개의 방정식을 **하나의 행렬방정식**으로: + - $$\frac{1}{h^2}KU = F \qquad (N=4): \quad \frac{1}{h^2}\begin{bmatrix} 2&-1&0&0 \\ -1&2&-1&0 \\ 0&-1&2&-1 \\ 0&0&-1&2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} u_1\\u_2\\u_3\\u_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} f(h)\\f(2h)\\f(3h)\\f(4h) \end{bmatrix}$$ + - 미지수 $u_1, \cdots, u_N$ 은 정확한 해 $u(h), \cdots, u(Nh)$ 의 근삿값. + - ⚠️ 1행이 $[2 \ -1 \ 0 \ 0]$ 로 "잘려" 있는 이유: 원래 패턴은 $-u_0 + 2u_1 - u_2$ 인데 경계 조건 $u_0 = 0$ 이라 그 항이 사라진 것. 마지막 행도 $u_5 = 0$ 때문에 같은 방식으로 잘린다. **행렬의 첫/끝 행은 경계 조건이 새겨진 자리다.** + - **$K_n$ 의 정확한 형태** 🧩 (고정–고정 경계, 2차차분행렬) + - **주대각선은 전부 $2$, 주대각선 바로 위·아래의 대각선은 전부 $-1$, 그 외는 전부 $0$.** + - $$K_{ii} = 2, \qquad K_{i,i+1} = K_{i+1,i} = -1, \qquad \text{나머지 } 0$$ + - 💡 부호가 $-1, 2, -1$ 인 이유: 근사하는 대상이 $+\dfrac{d^2u}{dx^2}$ 가 아니라 $-\dfrac{d^2u}{dx^2}$ 이기 때문 (물리 문제에서 $-u''$ 꼴이 표준이라 부호를 반대로 뒤집은 것). + - **$K$ 의 5가지 성질** (p.122~124) — 눈에 보이는 3가지 + 숨은 2가지 + - ❶ **대칭행렬**이다: $K_{ij} = K_{ji}$, $K^{\mathrm{T}} = K$. + - ❷ **밴드가 있다** (삼중대각행렬, tridiagonal): 0이 아닌 성분이 주대각선 주변 3개 대각선에만 → **희소행렬** (sparse). $N = 100$ 이면 0 아닌 성분은 $100+99+99$ 개, 전체의 3% 미만. 소거가 매우 빠르다. + - ❸ **대각선 위의 수가 일정하다** (위치 불변 / 시불변): 미분방정식의 계수가 상수이기 때문. 이런 행렬을 **필터**, **합성곱 행렬** (convolution matrix), 정확한 용어로 **퇴플리츠 행렬** (Toeplitz matrix)이라 한다. MATLAB: `K = toeplitz([2 -1 0 0])`. + - ❹ **가역행렬이다**: $K_4^{-1} = \frac{1}{5}\begin{bmatrix} 4&3&2&1 \\ 3&6&4&2 \\ 2&4&6&3 \\ 1&2&3&4 \end{bmatrix}$. + - ⚠️ $K^{-1}$ 는 대칭이긴 하지만 삼중대각도, 희소도 아니다 (모든 성분이 0이 아님!). 역행렬을 실제로 계산하는 대신 $KU = F$ 를 소거법으로 푼다 (MATLAB `U = K\F`) — 2.3절의 교훈 그대로. + - ❺ **양의 정부호** (positive definite)이다: $n$ 개의 피벗이 **모두 양수**. (6장에서 정식으로 다룰 개념의 예고편.) + - 피벗 기준 정리: 가역행렬 = 0 아닌 피벗 $n$ 개 / 대칭 + 양의 정부호 = **양의** 피벗 $n$ 개 / 대칭 + 양의 준정부호(semidefinite) = **음이 아닌** 피벗 $n$ 개. + - 💡 $K$ 의 피벗은 $2, \frac{3}{2}, \frac{4}{3}, \frac{5}{4}, \cdots$ (모두 양수) — [[2.4 치환행렬과 전치행렬]] 연습문제 18(c)에서 직접 계산했다. + - **경계 조건이 바뀌면 행렬이 바뀐다 — $K, T, B$ 삼형제** 🧩 + - 상황: 스프링으로 연결된 3개의 질량. **끝이 벽에 고정되었는가, 자유로운가**가 유일한 차이다. + - ![그림 2.3 — K는 고정-고정, T는 자유-고정, B는 자유-자유 (p.126)](../assets/2장_p126_그림2-3_스프링모델_KTB.png) + - (p.126, 그림 2.3) + - **$K_n$ (고정–고정)**: 양 끝 모두 벽에 고정. 위에서 본 그대로 — 대각 $2, 2, \cdots, 2$. + - **$T_n$ (자유–고정)**: 위 끝 자유, 아래 끝 고정. **$K$ 에서 $(1,1)$ 성분 하나만 $2 \to 1$ 로** 바뀐다. + - $$T_4 = \begin{bmatrix} \mathbf{1}&-1&0&0 \\ -1&2&-1&0 \\ 0&-1&2&-1 \\ 0&0&-1&2 \end{bmatrix}$$ + - 1행의 $1, -1$ 은 **자유 경계 조건** $\frac{du}{dx} = 0$ 을 나타낸다. + - $T$ 는 주대각선이 일정하지 않으므로 더 이상 퇴플리츠 행렬이 아니지만, 여전히 **양의 정부호**다 (모든 피벗이 1). + - $T$ 의 아름다운 분해: $T = LL^{\mathrm{T}}$ ($L$ = 후진차분행렬). $L^{-1}, U^{-1}, T^{-1}$ 모두 1로 채워진 삼각형/사각형 꼴 (p.125 식 (12)). + - **$B_n$ (자유–자유)**: 양 끝 모두 자유. **$K$ 에서 $(1,1)$ 과 $(n,n)$ 둘 다 $2 \to 1$ 로** 바뀐다. + - $$B_3 = \begin{bmatrix} \mathbf{1}&-1&0 \\ -1&2&-1 \\ 0&-1&\mathbf{1} \end{bmatrix}$$ + - **$B$ 는 특이행렬(비가역)이다!** + - 🧩 **형태 비교 요약** (복습용): 셋 다 삼중대각·대칭이고 비대각은 $-1$. 차이는 오직 대각선의 **양 끝**: + - $K$: 대각 $(2, 2, \cdots, 2, 2)$ — 가역, 양의 정부호 + - $T$: 대각 $(1, 2, \cdots, 2, 2)$ — 가역, 양의 정부호 + - $B$: 대각 $(1, 2, \cdots, 2, 1)$ — **비가역**, 양의 준정부호 + - **$B$ 가 특이행렬인 이유** — 두 가지 관점 (p.125~126) + - **대수적**: $B$ 의 **모든 행의 합이 0** → $x = (1, 1, \cdots, 1)$ 에 대해 $Bx = 0$. 영벡터가 아닌 해가 있으므로 비가역 (2.2절 특징 ④). 모든 상수벡터 $x = (c, c, \cdots, c)$ 가 $Bx = 0$ 을 만족하며, 이들이 $B$ 의 **영공간** (null space)을 이룬다. + - 증명 한 줄: $B$ 가 가역이라 가정하면 $Bx = 0$ 의 양변에 $B^{-1}$ 를 곱해 $x = 0$ — 모순. + - **물리적**: 양 끝이 다 자유이면 지지대가 없어서, 전체를 **통째로 평행이동**해도 스프링이 전혀 안 늘어난다 (= 힘 0). "위치를 유일하게 결정할 수 없음" = "해가 유일하지 않음" = 특이행렬. + - 💡 반면 $K, T$ 는 벽이 하나라도 있으므로 위치가 고정된다 → 가역. 그림 2.3에서 무게 $W$ 를 달았을 때 $K_3, T_3$ 는 균형 해가 있지만 $B_3$ 는 없다 (p.126 식 (14)). + - **차분행렬로 보는 구조** (연습문제 15~16의 관점) + - 1계 차분들도 행렬로 쓸 수 있다: 전진차분행렬 $A_0$ (각 행이 $-1, 1$ 패턴), 후진차분행렬 $L$ (각 행이 $-1, 1$ 을 아래로). + - 2차차분행렬은 1계 차분행렬의 곱으로 나온다: $B = A_0^{\mathrm{T}}A_0$, $T = A_1^{\mathrm{T}}A_1$, $K = A_2^{\mathrm{T}}A_2$ (열을 제거해가며) — [[2.4 치환행렬과 전치행렬]]의 "$A^{\mathrm{T}}A$ 는 항상 대칭" 원리로 $K, T, B$ 의 대칭성이 자동으로 설명된다. + - 💡 미분의 세계와 평행: $-\dfrac{d^2}{dx^2} = \left(-\dfrac{d}{dx}\right)\left(\dfrac{d}{dx}\right)$ 이고 $\dfrac{d}{dx}$ 의 전치가 $-\dfrac{d}{dx}$ (부분적분, p.111 EX2) 라는 사실의 이산 버전. +- ### ❓ 스스로 점검 + - 전진차분·후진차분·중심차분의 식을 각각 쓰고, 정확도가 몇 차인지 말하라. 왜 중심차분만 2차인가? + - 전진 $\frac{y(x+h)-y(x)}{h}$, 후진 $\frac{y(x)-y(x-h)}{h}$ — 둘 다 1차 ($O(h)$ 오차). 중심 $\frac{y(x+h)-y(x-h)}{2h}$ — 2차 ($O(h^2)$). 중심차분은 전진·후진의 평균이라 테일러 전개의 $\frac{1}{2}h^2y''$ 오차항이 좌우 대칭으로 상쇄되기 때문. + - 2계도함수의 차분 근사식과 그 계수 패턴은? + - $\frac{y(x+h) - 2y(x) + y(x-h)}{h^2} \approx y''(x)$ — 계수 패턴 $1, -2, 1$. ($-y''$ 를 근사하면 $-1, 2, -1$.) + - $K_4$ 를 아무것도 안 보고 써라. 첫 행이 $[2 \ -1 \ 0 \ 0]$ 으로 "잘린" 이유는? + - 대각 2, 양옆 대각 $-1$, 나머지 0. 첫 행의 원래 패턴 $-u_0 + 2u_1 - u_2$ 에서 고정 경계 조건 $u_0 = 0$ 이 $-u_0$ 항을 지웠기 때문. + - $K$ 의 5가지 성질은? 그중 눈에 바로 안 보이는 것은? + - 대칭 / 삼중대각(밴드·희소) / 대각선 일정(퇴플리츠) / 가역 / 양의 정부호. 눈에 안 보이는 것은 가역성과 양의 정부호 (피벗을 계산해야 안다). + - $K, T, B$ 는 정확히 어디가 다른가? 각각의 경계 조건과 가역성은? + - 대각선 양 끝만 다르다. $K$: $(2,\cdots,2)$ 고정–고정, 가역. $T$: $(1,2,\cdots,2)$ 자유–고정, 가역. $B$: $(1,2,\cdots,2,1)$ 자유–자유, **비가역**. + - $B_3 x = 0$ 의 영벡터가 아닌 해를 하나 대고, 물리적으로 무엇을 의미하는지 설명하라. + - $x = (1,1,1)$ (모든 상수벡터). 양 끝이 자유라 전체를 통째로 평행이동해도 스프링이 늘지 않는다는 뜻 — 위치가 유일하게 결정되지 않으므로 특이행렬. + - 미분방정식 $-u'' = f(x)$ 가 어떻게 $\frac{1}{h^2}KU = F$ 가 되는가? $U$ 와 $F$ 의 성분은 무엇인가? + - 구간을 $h = \frac{1}{N+1}$ 격자로 나누고 각 내부 격자점에서 $-u''$ 를 2차차분 $\frac{-u_{i-1}+2u_i-u_{i+1}}{h^2}$ 로 근사하면 $N$ 개의 선형방정식이 된다. $U = (u_1, \cdots, u_N)$ 은 해의 근삿값들, $F = (f(h), \cdots, f(Nh))$ 는 우변 함수값들. +- ### ✏️ 연습문제 풀이 (솔루션 참고) + - **문제 1** — $y(x) = x^3$, $\Delta y = (x+h)^3 - x^3$ 의 1차항과 2차항을 구하고 $h\frac{dy}{dx}$, $\frac{1}{2}h^2\frac{d^2y}{dx^2}$ 와 일치함을 보여라. + - 전개: $(x+h)^3 - x^3 = 3x^2h + 3xh^2 + h^3$. + - 1차항 $3x^2 h = h \cdot (3x^2) = h\frac{dy}{dx}$ ✓, 2차항 $3xh^2 = \frac{1}{2}h^2 \cdot (6x) = \frac{1}{2}h^2\frac{d^2y}{dx^2}$ ✓. + - 💡 테일러 급수의 처음 두 항이 "저절로" 나오는 것을 다항식으로 직접 확인 — 차분↔미분 연결의 가장 구체적인 체험. + - **문제 7** — $y(x) = x^3$, $h = \frac{1}{10}$, $x = 0$ 에서 중심·전진·후진차분으로 $\frac{dy}{dx}$ 를 근사하라. (참값: $y'(0) = 0$) + - 중심: $\dfrac{(0.1)^3 - (-0.1)^3}{0.2} = \dfrac{0.002}{0.2} = \dfrac{1}{100}$. 전진: $\dfrac{(0.1)^3 - 0}{0.1} = \dfrac{1}{100}$. 후진: $\dfrac{0 - (-0.1)^3}{0.1} = \dfrac{1}{100}$. + - 참값 0에 대해 셋 다 오차 $\frac{1}{100}$ — **우연히** 모두 같다 ($x=0$ 에서 $y''=0$ 이라 1차 오차항이 사라졌기 때문). + - 💡 이어지는 문제 8이 진짜 핵심: $y(h) \approx y(0) + h y'(0) + \frac{1}{2}h^2 y''(0)$ 을 세 공식에 대입하면 — 중심차분은 $h^2$ 항까지 정확하고, 전진은 $+\frac{1}{2}h\,y''(0)$, 후진은 $-\frac{1}{2}h\,y''(0)$ 의 오차를 갖는다. "2차 vs 1차 정확도"의 증명이 이 한 줄이다. + - **문제 16** — $D_4 = \begin{bmatrix} 1&-1&0&0 \\ 0&1&-1&0 \\ 0&0&1&-1 \\ -1&0&0&1 \end{bmatrix}$ 일 때 $D_4 D_4^{\mathrm{T}}$ 가 2차차분행렬임을 보여라. $D_4$ 는 가역인가? + - $D_4 D_4^{\mathrm{T}} = \begin{bmatrix} 2&-1&0&-1 \\ -1&2&-1&0 \\ 0&-1&2&-1 \\ -1&0&-1&2 \end{bmatrix} = C_4$ — 대각 2, 옆 대각 $-1$ 에 더해 **모서리 $(1,4), (4,1)$ 에도 $-1$** 이 있는 **주기적(순환) 2차차분행렬**. + - $C_4$ 는 비가역: 모든 행의 합이 0 → $x = (1,1,1,1)$ 이 $C_4 x = 0$. ($D_4$ 자체도 행 합이 0이라 비가역.) + - 💡 $K, T, B$ 에 이어 네 번째 경계 조건 — **주기 경계** (원형으로 연결). 이것도 $B$ 처럼 "묶인 곳이 없어서" 특이행렬이 된다. + - **문제 18** — 1차 중심차분행렬은 가역이 아닐 수 있다. $\Delta_3 = \begin{bmatrix} 0&1&0 \\ -1&0&1 \\ 0&-1&0 \end{bmatrix}$ 과 $\Delta_4$ 로 확인하라. + - $\Delta_3$: 3열 $= -($ 1열 $)$ — 열이 선형종속이라 **비가역**. ($\Delta_3 x = 0$ 의 해: $x = (1, 0, 1)$.) + - $\Delta_4$ (4×4 중심차분행렬)는 4개의 열이 선형독립 — **가역**. + - 💡 중심차분행렬은 **홀수 크기면 특이, 짝수 크기면 가역** — 크기의 홀짝이 가역성을 가르는 흥미로운 예. (또한 $\Delta^{\mathrm{T}} = -\Delta$ 인 **반대칭행렬** — 미분 $\frac{d}{dx}$ 의 전치가 $-\frac{d}{dx}$ 라는 p.111 EX2의 이산 버전.) diff --git a/pages/2장 선형방정식 Ax = b 풀기.md b/pages/2장 선형방정식 Ax = b 풀기.md index 56d7ac6..4d61309 100755 --- a/pages/2장 선형방정식 Ax = b 풀기.md +++ b/pages/2장 선형방정식 Ax = b 풀기.md @@ -1,3 +1,34 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학 -- ![2장 선형방정식 Ax = b 풀기.pdf](../assets/2장_선형방정식_Ax_=_b_풀기_1784805780272_0.pdf) \ No newline at end of file +- ![2장 선형방정식 Ax = b 풀기.pdf](../assets/2장_선형방정식_Ax_=_b_풀기_1784805780272_0.pdf) +- ## 챕터 서론 + - 이 장에서 다루는 행렬은 $n \times n$ **정사각행렬**이다. $Ax = b$ 는 ($A$ 의 각 행으로부터 얻는) $n$ 개의 방정식으로 이루어지고, $x$ 에는 $n$ 개의 미지수가 있다. + - 📌 원문 (p.72): ((6a63583b-0acd-445d-8434-975ef195f8eb)) + - 대부분의 경우 각 $b$ 에 대해 단 하나의 해 $x$ 가 존재하며, 이때 $A^{-1}A = I$, $AA^{-1} = I$ 를 만족하는 **역행렬** $A^{-1}$ 가 존재한다. 그러면 $x = A^{-1}b$. + - ⚠️ 그러나 이 장의 목표는 해 $x$ 를 찾는 것이지 $A^{-1}$ 를 직접 계산하는 것이 **아니다**. 실제 풀이는 소거법이다: + - $Ax = b$ → (소거법) → 상삼각 연립방정식 $Ux = c$ → (역대입법) → $x$. + - **이 장의 핵심 문장**: 행렬 $A$ 에서 시작하여 $A \to EA = U \to A = E^{-1}U = LU \to x$ 까지의 모든 단계에 대해 설명하는 것이다. + - 📌 원문 (p.72): ((6a63587a-1888-4607-8afd-f0e5a1073965)) + - **이 장의 주요 행렬들** (p.72 표): + - 계수행렬 $A$ / 상삼각행렬 $U$ / 하삼각행렬 $L$ + - 소거행렬 $E_{ij}$ / 전체소거행렬 $E$ / 역행렬 $A^{-1}$ + - 치환행렬 $P$ / 전치행렬 $A^{\mathrm{T}}$ / 대칭행렬 $S = S^{\mathrm{T}}$ + - 💡 새 행렬이 많이 등장하는 장이다. 각 행렬의 **정확한 형태**(어느 행 어느 열에 무엇이 들어가는지)는 소단원 페이지의 🧩 표시 블록에 정리해뒀다 — $E_{ij}$·$L$ 은 2.2절, $P$·$A^{\mathrm{T}}$·$S$ 는 2.4절, $K$·$T$·$B$ 는 2.5절. + - 소거 과정은 모든 계산 과학 분야에서 가장 많은 비용을 초래하는 연산이며, 2.5절에서는 계산 과학에서 쓰이는 차분행렬을 소개한다. +- ## 소단원 + - [[2.1 소거법과 역대입법]] + - [[2.2 소거행렬과 역행렬]] + - [[2.3 행렬 계산과 A = LU]] + - [[2.4 치환행렬과 전치행렬]] + - [[2.5 미분과 유한차분행렬]] +- ## 2장에 대한 고찰 + - 2장의 내용은 아주 유용하고 실용적이다 — 정사각 가역행렬에 대해 $Ax = b$ 를 해결할 수 있게 되었다. + - **$A^{-1}$ 에 대해 기억할 것**: $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$, $x = A^{-1}b$. 그러나 **역행렬은 거의 계산하지 않는다** — $A^{-1}$ 를 구해서 곱하는 $A^{-1}b$ 는 시간이 많이 들고 불필요하다. + - **실제 해법은 상삼각행렬 $U$**: $Ux = c$ 의 $n$ 번째 방정식 $u_{nn}x_n = c_n$ 부터 위로 올라가며 푼다 (역대입법). $A \to U$ 에 약 $\frac{n^3}{3}$ 단계, 이후 역대입으로 $x = U^{-1}c = A^{-1}b$. + - **아름다운 공식 $A = LU$**: $L$ 은 승수 $\ell_{ij}$ 들의 하삼각행렬, $U$ 는 소거가 만드는 상삼각행렬. 유일하게 불행한 경우는 피벗 $u_{ii}$ 가 0이거나 작을 때 — 이때는 행 교환 ($PA = LU$). + - **2장의 행렬 아이디어 지도** (p.130): + - 역행렬 계열 — 상삼각 $U$, 소거행렬 $E$, 전치 $A^{\mathrm{T}}$, $A = LU$ 분해 + - 특이행렬 계열 — 하삼각 $L$, 치환행렬 $P$, 대칭행렬 $S = S^{\mathrm{T}}$, $S = LDL^{\mathrm{T}}$ 분해 + - 유한차분행렬 계열 — 중심·전진·후진차분, 2차차분행렬 $K, T, B$, 고정 끝·자유 끝 + - $n \times n$ 가역행렬은 열공간 $\mathbb{R}^n$ 과 행공간 $\mathbb{R}^n$ 을 갖는다 — 열도 행도 선형독립. 3장에서는 (정사각·가역에 국한하지 않고) **모든 행렬**을 허용하며, 이에 따라 새로운 아이디어가 필요해진다. + - 💡 **2장 전체를 꿰는 한 줄 요약**: "소거법은 행렬곱이다" — 소거의 매 단계를 $E_{ij}$ 로, 행 교환을 $P$ 로, 전체 과정을 $A = LU$ (또는 $PA = LU$)로 기록할 수 있고, 이 분해가 $Ax = b$ 풀이의 실체다. diff --git a/pages/hls__2장_선형방정식_Ax_=_b_풀기_1784805780272_0.md b/pages/hls__2장_선형방정식_Ax_=_b_풀기_1784805780272_0.md index d97218c..c984308 100755 --- a/pages/hls__2장_선형방정식_Ax_=_b_풀기_1784805780272_0.md +++ b/pages/hls__2장_선형방정식_Ax_=_b_풀기_1784805780272_0.md @@ -1,2 +1,307 @@ file:: [2장_선형방정식_Ax_=_b_풀기_1784805780272_0.pdf](../assets/2장_선형방정식_Ax_=_b_풀기_1784805780272_0.pdf) file-path:: ../assets/2장_선형방정식_Ax_=_b_풀기_1784805780272_0.pdf + +- Ar= b 는 ( 행렬 A 의 각 행으로부터 얻는) 개의 방정식 으로 이루어진다. + ls-type:: annotation + hl-page:: 2 + hl-color:: yellow + id:: 6a63583b-0acd-445d-8434-975ef195f8eb +- 행렬 A에서 시작하여 A → EA = U → •A = E -1U=LU → x 까지의 모든 단계 에 대해 설명 하는 것이다 + ls-type:: annotation + hl-page:: 2 + hl-color:: yellow + id:: 6a63587a-1888-4607-8afd-f0e5a1073965 +- Az= b를 만족 하는 벡터1 x= (x1,x2, I) 은 존재 하지 않을 수도 , 정확히 하나 존재할 수도 , 무수히 많이 존재할 수도있다 + ls-type:: annotation + hl-page:: 3 + hl-color:: yellow + id:: 6a635899-c408-42a9-9318-f6f0e374099b +- Azb의 해가 하나만 존재하는 경우 + ls-type:: annotation + hl-page:: 3 + hl-color:: yellow + id:: 6a6358b6-1d2d-491f-b86f-279eef0f8106 +- 행렬 A의 모든 열 은 선형 독립이다. + ls-type:: annotation + hl-page:: 3 + hl-color:: yellow + id:: 6a6358bc-2c18-4de7-8d19-899ebf887595 +- Ax =b의 해 가 존재 하지 않는 경우 + ls-type:: annotation + hl-page:: 3 + hl-color:: yellow + id:: 6a6358c9-2452-478b-a285-a1550da448b6 +- 벡터 b 는 행렬 A의 열 들의 선형 결합 이 아니다. 즉 벡터 b 는 행렬 A 의 열 공간 안에없다 . + ls-type:: annotation + hl-page:: 3 + hl-color:: yellow + id:: 6a6358cf-5970-4a60-b17d-a8fabcac1326 +- Azb 의 해가 무수히 많이 존재하는 경우 ( 행렬 A의 열이 선형 독립이 아닐 때, AX= 0해 는 무수히 많음 ) + ls-type:: annotation + hl-page:: 4 + hl-color:: yellow + id:: 6a6358dc-6020-4de7-9d27-aa98fbed0c17 +- 이 경우는 행렬 A의 열 이 선형종속임을 의미한다 + ls-type:: annotation + hl-page:: 4 + hl-color:: yellow + id:: 6a6358df-a0cf-4682-aa0a-ba602d25ac6f +- 행렬 U 의 문자 U는 상삼각 행렬 을 의미 한다 + ls-type:: annotation + hl-page:: 5 + hl-color:: yellow + id:: 6a6358ff-65bf-4fe7-bd3d-6626eea5a9d3 +- 행렬 U의 주 대각선에 있는 피벗 ( pivot) + ls-type:: annotation + hl-page:: 5 + hl-color:: yellow + id:: 6a635906-6764-4b87-8597-bd485f29e316 +- 숫자 0 은 피벗이 될 수 없다 + ls-type:: annotation + hl-page:: 5 + hl-color:: yellow + id:: 6a635913-a4e3-41b8-850a-a4cb798a9822 +- 선형독립 인 열 을 가진 , 즉 랭크가 "인 " X" 정사각행렬 A 는 0이 아닌 피벗 을 가진 상 삼각행렬로 유도 될 수 있다 . + ls-type:: annotation + hl-page:: 5 + hl-color:: yellow + id:: 6a635920-6b46-4cc7-a4ca-0d1c6680a87c +- 소거행렬 + ls-type:: annotation + hl-page:: 6 + hl-color:: yellow + id:: 6a635932-a78c-4087-a764-e7eaabae9f9f +- 행렬 A 와 U 는 최대 랭크 (full rank ) 를 갖는다 . + ls-type:: annotation + hl-page:: 6 + hl-color:: yellow + id:: 6a63593b-eed9-4165-9f02-f373ab970fe5 +- 이 피벗 위치에 나타날 수도 있다. + ls-type:: annotation + hl-page:: 7 + hl-color:: yellow + id:: 6a635966-e526-4fab-9966-1f4e8a99f80a +- 이 문제를 해결하는 방법 은 간단 하다. 0 을 포함한 2행 과 5를 포함한 3 행 을 교환 + ls-type:: annotation + hl-page:: 7 + hl-color:: yellow + id:: 6a635975-3d7c-4ce9-b4f8-121edf2767a1 +- 열이 선형 종속인경우 , 피벗 위치에 0 이 반드시 생긴다 . + ls-type:: annotation + hl-page:: 7 + hl-color:: yellow + id:: 6a6359a0-b6ca-49c8-96de-8356dc3768f1 +- 상삼각행렬 U는 주대각선 에 0 이 없을 때, 정확히 최대 랭크 를 갖는다 + ls-type:: annotation + hl-page:: 8 + hl-color:: yellow + id:: 6a6359ac-a058-4293-8ab6-40ab10e442de +- 특이행렬 (singular + ls-type:: annotation + hl-page:: 8 + hl-color:: yellow + id:: 6a6359f4-8a2c-4afe-a644-3ce58b755ed4 +- 벡터 b를 행렬 A의 추가 열로 포함하는 것이다. 이와 같은 행렬 [A 이를첨가 행렬(augmented matrix)이라 한다. + ls-type:: annotation + hl-page:: 10 + hl-color:: yellow + id:: 6a635a13-2cdb-43dd-aebd-0e552945d649 +- 치환 행렬 P + ls-type:: annotation + hl-page:: 10 + hl-color:: yellow + id:: 6a635a1e-3810-4cd9-84fa-42fa382e865f +- 모든 소거법 단계는 행렬 곱으로 수행 할 수 있다 . + ls-type:: annotation + hl-page:: 15 + hl-color:: yellow + id:: 6a635a7c-c085-49d0-a491-a38760e0de17 +- 기본 소거 단계는 방정식 에서 방정식 에 ℓ를 곱한 것을 빼는 것이다 + ls-type:: annotation + hl-page:: 15 + hl-color:: yellow + id:: 6a635a84-07f5-42f7-a189-5e34759ed1ba +- E의 역행렬 은 행 에 ( j행) xl」 를 더하는 것 + ls-type:: annotation + hl-page:: 16 + hl-color:: yellow + id:: 6a635aa6-fc5b-4d1b-af7e-ce34f3a3dff2 +- 렬 E의 역행렬 을 특별히 L이라 한다 + ls-type:: annotation + hl-page:: 16 + hl-color:: yellow + id:: 6a635aae-3105-49ae-957b-172c4c5d0005 +- "X" 정사각 행렬 A의 역행렬이 존재하려면 " 개의 선형독립인 열이 있어야 한다. + ls-type:: annotation + hl-page:: 16 + hl-color:: yellow + id:: 6a635ac0-7401-4a3b-8494-97d3151d2c6c +- 가역행렬 + ls-type:: annotation + hl-page:: 16 + hl-color:: yellow + id:: 6a635acb-6851-4e14-8586-6014d2be98b5 +- 모든 행렬이 역행렬을 갖는 것은 아니다. + ls-type:: annotation + hl-page:: 17 + hl-color:: yellow + id:: 6a635ad8-3d2e-4392-a37b-c22c8b0de35d +- 행렬이 가역 행렬 이려면 이 행렬 의 열들이 선형독립 이어야 한다 . + ls-type:: annotation + hl-page:: 17 + hl-color:: yellow + id:: 6a635adc-5c08-46ed-905c-6fef78d87284 +- 역행렬이 존재할 필요충분조건 은 소거법에서 2 개의 피벗이 생기는 것 + ls-type:: annotation + hl-page:: 17 + hl-color:: yellow + id:: 6a635ae3-4e4a-437a-a3f8-c74bf19d9840 +- 역행렬은 유일 하게 존재 한다. + ls-type:: annotation + hl-page:: 17 + hl-color:: yellow + id:: 6a635ae9-06aa-4efd-8480-7a73b9eb35bb +- A 의 역행렬 이 존재 하는 경우, Az = b의 유일한 해는 = A- b이다 . + ls-type:: annotation + hl-page:: 17 + hl-color:: yellow + id:: 6a635aef-6880-41b5-8b18-448e393588c3 +- 정사각행렬이 가역 행렬일 필요 충분조건 은 이 행렬의 열들이 선형독립 인 것이다 + ls-type:: annotation + hl-page:: 17 + hl-color:: yellow + id:: 6a635b0c-4f27-4cbd-8a6c-b6655b215713 +- Ar=0 이 되는 영벡터가 아닌 벡터 가 존재 한다고 가정하자 . 그러면 행렬 A는 선형 종속인 열 을 갖는다. 따라서 행렬 A의 역행렬 은 존재 하지 않는다 + ls-type:: annotation + hl-page:: 17 + hl-color:: yellow + id:: 6a635b12-1a2e-453a-8e16-3bb97dcdbee1 +- 수 ad-bc는 2x2 행렬 의 행렬식 + ls-type:: annotation + hl-page:: 18 + hl-color:: yellow + id:: 6a635b1e-c0f5-47d9-8dd4-e21f0b7271ed +- 상삼각 행렬은 주 대각성분 d가 0 이 아닌 경우 역행렬을 갖는다 + ls-type:: annotation + hl-page:: 18 + hl-color:: yellow + id:: 6a635b2a-5629-4ab6-9352-7ed4110d95dd +- 2×2 행렬이 가역행렬일 필요충분조건은 ad -bc 가 0 이 아닌 것 + ls-type:: annotation + hl-page:: 18 + hl-color:: yellow + id:: 6a635b3a-8ccf-4542-81e5-fb74840b350b +- [:span] + ls-type:: annotation + hl-page:: 19 + hl-color:: yellow + id:: 6a635b51-4ca7-4f6d-923a-74154bb8cda3 + hl-type:: area + hl-stamp:: 1784896337401 +- [:span] + ls-type:: annotation + hl-page:: 21 + hl-color:: yellow + id:: 6a635b68-9f69-4209-8ca3-615913bd254d + hl-type:: area + hl-stamp:: 1784896360478 +- 가우스 - 조르단 소거법( Gauss -Jordan elimination + ls-type:: annotation + hl-page:: 27 + hl-color:: yellow + id:: 6a635ba0-717a-49ea-81c6-1b80acfb2f4c +- 소거법의 비용 + ls-type:: annotation + hl-page:: 27 + hl-color:: yellow + id:: 6a635bbc-cd20-4362-8dcc-ae180ca53cba +- L에서 가 제자리 에 있는 이유 를 설명하는 방법을 + ls-type:: annotation + hl-page:: 29 + hl-color:: yellow + id:: 6a635be3-d31e-4142-a915-420dc9b58289 +- 행 교환 이 없고 피벗에 0이 없는 A= LU 분해 는 언제 가능한가 + ls-type:: annotation + hl-page:: 31 + hl-color:: yellow + id:: 6a635bfb-bcd2-4ff3-9fd5-31424ab7abb4 +- 쪽 상단 모서리에 있는 모든 kXk 부분행렬이 가역 행렬일 때만 가능하다 + ls-type:: annotation + hl-page:: 31 + hl-color:: yellow + id:: 6a635c01-2fd8-4235-a9d8-052b6b5f93d7 +- 치환 행렬 은 모든 행 에 하나 의 1만 있고 , 모든 열에도 하나 의 1만 있다. 그 외의 모든 성분은 0 + ls-type:: annotation + hl-page:: 35 + hl-color:: yellow + id:: 6a635c61-9ba1-4d93-afe4-1ae41d602a26 +- 홀수 치환 행렬 + ls-type:: annotation + hl-page:: 36 + hl-color:: yellow + id:: 6a635c9c-b2e7-455e-bb1d-347b3cf085bb +- 짝수 치환행렬 + ls-type:: annotation + hl-page:: 36 + hl-color:: yellow + id:: 6a635ca5-bdb6-4051-9bf7-a45e90b4ebf0 +- [:span] + ls-type:: annotation + hl-page:: 36 + hl-color:: yellow + id:: 6a635cbe-f6ee-4b77-9981-8d8ef4b101aa + hl-type:: area + hl-stamp:: 1784896702468 +- 각 피벗을 피벗 아래에 있는 모든 수 보다 크게 만들 때, 행렬 L 의 모든 성분들은 1 이하 가 된다 + ls-type:: annotation + hl-page:: 37 + hl-color:: yellow + id:: 6a635d3f-54ac-451b-9c25-98e20dfdc20f +- '부분 피벳 + ls-type:: annotation + hl-page:: 37 + hl-color:: yellow + id:: 6a635d42-c493-49c3-be5e-3a661e755e22 +- 전치 행렬 + ls-type:: annotation + hl-page:: 38 + hl-color:: yellow + id:: 6a635d89-a3ba-4fb3-b75d-e81aa4884eac +- [:span] + ls-type:: annotation + hl-page:: 38 + hl-color:: yellow + id:: 6a635d90-88e5-4c32-9175-28492d607007 + hl-type:: area + hl-stamp:: 1784896912601 +- [:span] + ls-type:: annotation + hl-page:: 39 + hl-color:: yellow + id:: 6a635dad-c297-4f30-a0ba-d41192ce03fa + hl-type:: area + hl-stamp:: 1784896940845 +- [:span] + ls-type:: annotation + hl-page:: 40 + hl-color:: yellow + id:: 6a635dea-ea45-4d62-b884-add6072fc4c4 + hl-type:: area + hl-stamp:: 1784897001730 +- 대칭행렬을 S 로 표기 + ls-type:: annotation + hl-page:: 42 + hl-color:: yellow + id:: 6a635e16-6b69-4f07-bce9-1a981454cfa1 +- [:span] + ls-type:: annotation + hl-page:: 42 + hl-color:: yellow + id:: 6a635e1e-2987-4a0d-a55d-b9a350118393 + hl-type:: area + hl-stamp:: 1784897054191 +- 대칭 행렬의 역행렬 은 대칭 행렬 이다 + ls-type:: annotation + hl-page:: 42 + hl-color:: yellow + id:: 6a635e27-6d8a-4134-8b04-8a987d5b6d32 \ No newline at end of file