style: 1~3장 전체에서 문장 중간 '—' 구분 제거 — 콜론·마침표·쉼표·표로 재구성 (사용자 요청, 카드 블록 3곳 제외)
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d58f8de983
@ -1,9 +1,9 @@
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deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- # 1장 벡터와 행렬 — 정리
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- # 1장 벡터와 행렬, 정리
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- 선형대수학은 벡터 $v$와 행렬 $A$에 관한 학문이다. 1장은 **벡터 → 내적 → 행렬 → 행렬곱** 순서로 진행하며, 모든 것을 **"열들의 선형결합"** 이라는 하나의 관점으로 꿰어 나간다.
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- 💡 **직관 — 1장 전체를 관통하는 2가지 질문**
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- 💡 **직관, 1장 전체를 관통하는 2가지 질문**
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- ① 모든 선형결합 $Ax = x_1v_1 + x_2v_2 + \cdots + x_nv_n$ 은 어떤 모양(직선/평면/공간)을 채우는가? → {{cloze **열공간** (1.3절)}}
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id:: 6a5cd2bb-ac14-4d51-9b6f-f171607384a9
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- ② 원하는 출력 $b$ 를 만드는 수 $x_1, \dots, x_n$ 을 찾을 수 있는가? → **선형방정식** $Ax=b$ (2장에서 본격적으로)
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@ -14,7 +14,7 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- {{cloze **선형결합** (linear combination)}} : 임의의 수 $c, d$ 에 대한 $cv + dw$ 형태.
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id:: 6a5cd2bb-5333-4193-af1d-b22b4ef910dd
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- 벡터의 2가지 기본 연산을 합친 것: **수 곱하기** ($3v$) + **같은 차원끼리 더하기** ($v+w$).
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- (p.22) $v+w$ 는 평행사변형의 대각선이며 $v+w = w+v$ 이다.
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- **선형결합이 채우는 모양** (기하학적 해석):
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- $cv$ (모든 수 $c$) → 원점을 지나는 **직선**
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@ -44,7 +44,7 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- 항등행렬 $I$ 는 모든 벡터에 대해 $Iv = v$. 숫자 1의 역할.
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- ⚠️ **주의**: 벡터 2개가 평면밖에 못 채우는 것은 선형종속이라서가 아니라 **벡터 개수가 부족**해서다. "종속" 과 "개수 부족" 을 구분할 것.
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- ⚠️ **주의**: 차원이 다른 벡터끼리는 더할 수 없다 (2차원 $v$ 와 3차원 $w$ 의 선형결합은 불가).
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- 💡 **직관 — 평면인지 확인하는 법** (p.26): 표면 위 임의의 두 점(선형결합)의 중점도 다시 그 표면 위의 점(또 다른 선형결합)이다 → 평면의 기본 성질을 만족. 완전한 증명은 1.2절의 법선벡터로.
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- 💡 **직관, 평면인지 확인하는 법** (p.26): 표면 위 임의의 두 점(선형결합)의 중점도 다시 그 표면 위의 점(또 다른 선형결합)이다 → 평면의 기본 성질을 만족. 완전한 증명은 1.2절의 법선벡터로.
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- ### ❓ 스스로 점검
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- 선형결합 $cv + dw$ 가 평면이 아니라 직선만 채우는 경우는 언제인가? #card
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id:: 6a5cd2bb-b760-4376-92f6-681e4e1f2674
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@ -70,14 +70,14 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- **문제 10** (만만치 않은 문제). $u = (1,1,0)$, $v = (0,1,1)$, $w = (a,b,c)$ 가 선형독립인지 어떻게 판정하는가?
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- $w = x_1 u + x_2 v$ 가 풀리는지 확인한다. 첫 성분에서 $x_1 = a$, 셋째 성분에서 $x_2 = c$ 가 강제된다.
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- 남은 둘째 성분 조건: $a + c = b$. → $b = a+c$ 이면 **선형종속**, $b \neq a+c$ 이면 **선형독립**.
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- 💡 "앞 벡터들이 강제하는 계수를 다 쓰고, 남는 방정식이 성립하는지 본다" — 이후 소거법의 축소판.
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- 💡 "앞 벡터들이 강제하는 계수를 다 쓰고, 남는 방정식이 성립하는지 본다". 이후 소거법의 축소판.
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- ## 1.2 내적으로부터의 길이와 각
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- ### 핵심 개념
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- **내적** (dot product) 식 :-> $v \cdot w = v_1 w_1 + v_2 w_2 + \cdots + v_n w_n$. 순서는 무관: $v \cdot w = w \cdot v$.
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id:: 6a5cd2bb-4974-45f5-9e1b-e1dd68b83b14
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- 📌 원문 정의 — 2차원 식 (1) (p.31): [🔗 PDF 위치](((6a5b750f-8720-4ae8-b8d5-2399b6c6cb65)))
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- 📌 원문 정의, 2차원 식 (1) (p.31): [🔗 PDF 위치](((6a5b750f-8720-4ae8-b8d5-2399b6c6cb65)))
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- 📌 원문 정의 — $n$ 차원 식 (2) (p.31): [🔗 PDF 위치](((6a5b7514-9a2e-4601-ab79-a26e887561a0)))
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- 📌 원문 정의, $n$ 차원 식 (2) (p.31): [🔗 PDF 위치](((6a5b7514-9a2e-4601-ab79-a26e887561a0)))
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- **길이** (length) 식 :-> $\|v\| = \sqrt{v \cdot v} = \sqrt{v_1^2 + \cdots + v_n^2}$.
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id:: 6a5cd2bb-6c83-4d77-a3df-813f82a69e4e
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@ -122,7 +122,7 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- **3차원 공간 안의 평면**: 법선벡터 $n$ 에 수직인 모든 벡터 $w$ ($w \cdot n = 0$) 는 $\mathbb{R}^3$ 안의 2차원 평면을 채운다.
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- 평면의 방정식: $n_1 w_1 + n_2 w_2 + n_3 w_3 = 0$. 예: $xy$-평면은 $n = (0,0,1)$ 이므로 $w_3 = 0$ (즉 $z = 0$).
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- ⚠️ **주의**: 코사인 공식은 $v, w$ 가 **영벡터가 아닐 때**만 정의된다 (0으로 나눌 수 없음).
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- ⚠️ **주의**: 내적이 0이어도 두 벡터가 영벡터인 것이 아니다 — 수직일 뿐이다.
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- ⚠️ **주의**: 내적이 0이어도 두 벡터가 영벡터인 것이 아니다. 수직일 뿐이다.
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- ### ❓ 스스로 점검
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- 내적으로 두 벡터의 사잇각이 예각/직각/둔각인지 어떻게 판별하는가?
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- 내적의 부호로: $v \cdot w > 0$ 예각, $= 0$ 직각, $< 0$ 둔각.
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@ -137,16 +137,16 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- **문제 3**. $u = (-0.6, 0.8)$, $v = (4, 3)$, $w = (1, 2)$ 에 대해 $v, w$ 방향 단위벡터와 $v, w$ 사잇각의 코사인을 구하라. 또 $w$ 와 각각 $0°, 90°, 180°$ 를 이루는 벡터 $a, b, c$ 는?
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- $v/\|v\| = (0.8, 0.6)$, $w/\|w\| = (1, 2)/\sqrt{5}$. (참고: $u$ 는 $0.36 + 0.64 = 1$ 이라 이미 단위벡터.)
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- $\cos\theta = \dfrac{v \cdot w}{\|v\| \|w\|} = \dfrac{4 + 6}{5\sqrt{5}} = \dfrac{2}{\sqrt{5}}$
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- $a = w$ (0° — 양의 배수면 아무거나), $b = (2, -1)$ (내적 0), $c = -w$ (180°).
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- $a = w$ (0°, 양의 배수면 아무거나), $b = (2, -1)$ (내적 0), $c = -w$ (180°).
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- **문제 8**. 참/거짓 판별.
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- (a) $u = (1,1,1)$ 이 $v, w$ 와 수직이면 $v$ 는 $w$ 와 평행하다 → **거짓**. $v, w$ 는 $u$ 에 수직인 **평면** 위의 임의의 두 벡터일 수 있다 (평면 안에서 서로 다른 방향 가능).
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- (b) $u$ 가 $v, w$ 와 수직이면 $u$ 는 $v + 2w$ 와 수직이다 → **참**. $u \cdot (v + 2w) = u \cdot v + 2 u \cdot w = 0 + 0 = 0$.
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- (c) $u, v$ 가 수직인 단위벡터면 $\|u - v\|^2 = 2$ → **참**. $\|u-v\|^2 = u \cdot u - 2 u \cdot v + v \cdot v = 1 - 0 + 1 = 2$.
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- 💡 (b)가 말하는 것: 어떤 벡터에 수직인 벡터들의 **모든 선형결합**도 그 벡터에 수직이다 — "평면 = 법선에 수직인 벡터 전체" 의 근거.
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- 💡 (b)가 말하는 것: 어떤 벡터에 수직인 벡터들의 **모든 선형결합**도 그 벡터에 수직이다. "평면 = 법선에 수직인 벡터 전체" 의 근거.
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- **문제 12**. $v = (1,1)$, $w = (1,5)$ 일 때 $w - cv$ 가 $v$ 와 수직이 되게 하는 $c$ 는? 일반 공식은?
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- $v \cdot (w - cv) = 0$ → $v \cdot w = c \, (v \cdot v)$ → $c = \dfrac{v \cdot w}{v \cdot v} = \dfrac{6}{2} = 3$
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- 검산: $w - 3v = (-2, 2)$, $(1,1) \cdot (-2,2) = 0$ ✓.
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- 💡 "$cv$ 를 빼서 $v$ 에 수직인 성분만 남긴다" — 수직인 벡터를 구성하는 핵심 열쇠 (솔루션 표현).
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- 💡 "$cv$ 를 빼서 $v$ 에 수직인 성분만 남긴다". 수직인 벡터를 구성하는 핵심 열쇠 (솔루션 표현).
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- **문제 25** (꼭 풀어볼 만한 문제). $\|v\| = 5$, $\|w\| = 3$ 일 때 $\|v - w\|$ 와 $v \cdot w$ 의 가능한 최소·최대는?
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- 삼각부등식에서 $\|v - w\|$ 는 최소 $5 - 3 = 2$, 최대 $5 + 3 = 8$.
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- 슈바르츠 부등식에서 $|v \cdot w| \le 5 \cdot 3 = 15$, 즉 $-15 \le v \cdot w \le 15$.
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@ -155,9 +155,9 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- ### 핵심 개념
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- $m \times n$ **행렬** $A$: $m$ 개의 행, $n$ 개의 열. $m = n$ 이면 **정사각행렬** (square matrix).
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- 특수한 형태 (p.43): 항등행렬, 대각행렬, 삼각행렬, 대칭행렬.
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- $Ax$ **를 계산하는 2가지 방법** — 결과는 같지만 관점이 다르다:
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- $Ax$ **를 계산하는 2가지 방법**: 결과는 같지만 관점이 다르다:
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- **행을 이용한 방법**: $Ax$ 의 $i$ 번째 성분 = ($A$ 의 $i$ 행) $\cdot$ $x$. 내적 $m$ 번, 손계산에 편리.
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- **열을 이용한 방법**: $Ax = x_1 a_1 + x_2 a_2 + \cdots + x_n a_n$ — $A$ 의 **열들의 선형결합**. 의미를 이해할 때는 이쪽.
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- **열을 이용한 방법**: $Ax = x_1 a_1 + x_2 a_2 + \cdots + x_n a_n$, $A$ 의 **열들의 선형결합**. 의미를 이해할 때는 이쪽.
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- ⚠️ 책의 일관된 강조: "열벡터 $Ax$는 행렬 $A$의 열들의 선형결합이다." 이 문장이 1장의 중심이다.
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- **선형독립 / 선형종속** (열 관점의 판정):
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- 각각의 새로운 열이 **이전 열들의 선형결합으로 만들 수 없을 때** → 열들은 선형독립.
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@ -169,14 +169,14 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- 📌 원문 박스 (p.46): [🔗 PDF 위치](((6a5b7553-d1c5-49ea-b1e1-e9b008137458)))
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- $m = 3$ (열들이 3차원 벡터)일 때 열공간으로 가능한 4가지:
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- ① 전체 공간 $\mathbb{R}^3$ — 선형독립인 열 3개
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- ② 원점을 지나는 평면 — 선형독립인 열 2개
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- ③ 원점을 지나는 직선 — 선형독립인 열 1개
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- ④ 점 $(0,0,0)$ — $A$ 가 영행렬
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- ① 전체 공간 $\mathbb{R}^3$, 선형독립인 열 3개
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- ② 원점을 지나는 평면, 선형독립인 열 2개
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- ③ 원점을 지나는 직선, 선형독립인 열 1개
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- ④ 점 $(0,0,0)$, $A$ 가 영행렬
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- ⚠️ 열공간은 **항상** {{c1 **원점**}}**을** **포함**한다.
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extra:: ($x = 0$ 이면 $Ax = 0$).
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id:: 6a5dc4d9-762e-45d2-8581-5e4807293d63
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- 📌 원문 — 4가지 경우 (p.48): [🔗 PDF 위치](((6a5b7574-72d1-4ac2-bb64-3f37b95a3f5e)))
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- 📌 원문 (4가지 경우, p.48): [🔗 PDF 위치](((6a5b7574-72d1-4ac2-bb64-3f37b95a3f5e)))
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- **랭크** (rank) $r$: 선형독립인 열의 개수. 열공간의 "실제 크기".
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- **랭크 1 행렬**: 모든 열이 동일한 직선 위 → 열공간이 원점을 지나는 직선.
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@ -201,7 +201,7 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- 모든 행이 한 행의 상수배 (행공간도 직선). 랭크 1: 행 랭크 = 열 랭크 = 1.
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- ### ✏️ 연습문제 풀이 (솔루션 참고)
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- **문제 1**. 다음 행렬들의 열공간(점, 직선, 평면, 전체 공간)을 설명하라.
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- $A_1 = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 1 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}$ : 두 열이 선형독립 (2열이 1열의 배수가 아님 — 셋째 성분 비율이 다름) → $\mathbb{R}^3$ 안의 **평면**.
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- $A_1 = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 1 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}$ : 두 열이 선형독립 (2열이 1열의 배수가 아님, 셋째 성분 비율이 다름) → $\mathbb{R}^3$ 안의 **평면**.
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- $A_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ : 삼각행렬, 주대각선에 0 없음 → 세 열 독립 → $\mathbb{R}^3$ **전체**.
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- $A_3 = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 2 & 10 \\ 1 & 5 \end{bmatrix}$ : 2열 = 5 × 1열 → 독립인 열 1개 → 원점을 지나는 **직선**.
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- $A_4 = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ : 영행렬 → **점** $(0,0,0)$.
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@ -217,30 +217,30 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- ⚠️ (a)(b)는 "종속으로 만드는" 등식 조건, (c)는 "독립으로 만드는" 부등식 조건. 문제가 요구하는 개수를 기준으로 방향을 판단할 것.
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- ## 1.4 행렬곱 AB와 CR
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- ### 핵심 개념
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- **행렬곱의 정의** — 두 가지 동등한 관점:
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- **행렬곱의 정의**: 두 가지 동등한 관점:
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- 열 관점: $A \times (B$ 의 $j$ 열$) = (AB$ 의 $j$ 열$)$. 즉 $B = [b_1 \cdots b_p]$ 이면 $AB = [Ab_1 \cdots Ab_p]$.
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- 내적 관점: $AB$ 의 $i$ 행 $j$ 열 성분 = ($A$ 의 $i$ 행) $\cdot$ ($B$ 의 $j$ 열).
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- 크기 조건: $(m \times n)(n \times p) = m \times p$ — $A$ 의 행 길이와 $B$ 의 열 길이가 같아야 곱셈 가능.
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- 크기 조건: $(m \times n)(n \times p) = m \times p$, $A$ 의 행 길이와 $B$ 의 열 길이가 같아야 곱셈 가능.
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- 곱셈 횟수: 어떤 방법이든 총 $mnp$ 번.
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- (p.65) ① 내적(행·열) ② 열 방법 ③ 행 방법 ④ (열)×(행) — 순서만 다를 뿐 모두 $mnp$ 번의 곱셈.
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- (p.65) ① 내적(행·열) ② 열 방법 ③ 행 방법 ④ (열)×(행): 순서만 다를 뿐 모두 $mnp$ 번의 곱셈.
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- **교환법칙은 성립하지 않는다**: 일반적으로 $AB \neq BA$.
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- 교환행렬 $B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ 의 예: $AB$ 는 $A$ 의 **열** 교환, $BA$ 는 $A$ 의 **행** 교환.
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- 오른쪽에 곱하면 열 연산, 왼쪽에 곱하면 행 연산.
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- **결합법칙·분배법칙은 성립한다**: $(AB)C = A(BC)$, $A(B+C) = AB + AC$.
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- 특히 $(AB)x = A(Bx)$ — 좌변은 $AB$ 의 $j$ 열, 우변은 $A \times (B$ 의 $j$ 열$)$. 행렬곱 정의와 일치.
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- 특히 $(AB)x = A(Bx)$, 좌변은 $AB$ 의 $j$ 열, 우변은 $A \times (B$ 의 $j$ 열$)$. 행렬곱 정의와 일치.
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- **외적** (outer product): (열) × (행) = **랭크 1 행렬**.
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- 네 번째 계산법: $AB = a_1 b_1^* + a_2 b_2^* + \cdots + a_n b_n^*$ — 랭크 1 행렬 $n$ 개의 합.
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- 네 번째 계산법: $AB = a_1 b_1^* + a_2 b_2^* + \cdots + a_n b_n^*$, 랭크 1 행렬 $n$ 개의 합.
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- ⚠️ (역자 주) 여기서 외적은 물리의 벡터곱(cross product)이 아니라 **텐서곱**이다.
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- **행렬 분해** $A = CR$ : $(m \times n) = (m \times r)(r \times n)$, $r$ = 랭크.
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- $C$ 만들기: $A$ 의 열을 **왼쪽→오른쪽**으로 훑으며 이전 열들의 선형결합이 아닌 열만 포함 → $r$ 개의 **선형독립인 열**.
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- $R$ 의 역할: $C$ 의 열들을 어떻게 결합하면 $A$ 의 각 열이 나오는지 기록. $(A$ 의 $j$ 열$) = C \times (R$ 의 $j$ 열$)$.
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- $R = [I \ F]$ 구조: $C$ 로 들어간 열 위치에 항등행렬 $I$, 종속인 열 위치에 결합 계수 ($F$).
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- 예 (p.60): $\begin{bmatrix} 2 & 6 & 4 \\ 4 & 12 & 8 \\ 1 & 3 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 8 \\ 1 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ — 2열 = 3(1열) 이라 $C$ 에서 제외, $R$ 의 2열에 계수 3.
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- 예 (p.60): $\begin{bmatrix} 2 & 6 & 4 \\ 4 & 12 & 8 \\ 1 & 3 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 8 \\ 1 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$, 2열 = 3(1열) 이라 $C$ 에서 제외, $R$ 의 2열에 계수 3.
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- 📌 원문 정리 ❶❷❸ (p.60): [🔗 PDF 위치](((6a5b7591-28ea-4a27-896d-360fd2f1725b)))
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- 모든 열이 선형독립이면 $C = A$, $R = I$.
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- $R$ **을 찾는 방법 — 소거법** (행 축소, row reduction):
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- $R$ **을 찾는 방법, 소거법** (행 축소, row reduction):
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- 행 연산(한 행에서 다른 행의 배수 빼기)으로 $A$ 를 단순화 → 상삼각행렬 $U$ → 위쪽 행까지 계속 소거 → $R_0$ (**기약행 사다리꼴**, reduced row echelon form, MATLAB의 rref(A)).
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- $R_0$ 의 영행은 $(m - r)$ 개. **영행을 제거하면** $A = CR$ **의** $R$ **이 남는다.**
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- 예 (p.62): $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 2 \\ 3 & 7 & 6 \end{bmatrix} \to U \to R_0 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -5 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ → $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \\ 3 & 7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & -5 \\ 0 & 1 & 3 \end{bmatrix}$
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@ -268,18 +268,18 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- 행 랭크 = 열 랭크인 이유를 $A = CR$ 로 한 줄로 설명하면?
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- $A$ 의 모든 열은 $C$ 의 $r$ 개 독립인 열의 결합이고, $A$ 의 모든 행은 $R$ 의 $r$ 개 독립인 행의 결합이므로 둘 다 $r$ 이다.
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- 랭크 1 행렬 $A$ 를 $CR$ 로 분해하면 어떤 모양인가?
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- (하나의 열) × (하나의 행). 예: $A = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix} [1 \ 2 \ 10 \ 100]$ — 모든 열은 $C$ 의 배수, 모든 행은 $R$ 의 배수.
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- (하나의 열) × (하나의 행). 예: $A = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix} [1 \ 2 \ 10 \ 100]$, 모든 열은 $C$ 의 배수, 모든 행은 $R$ 의 배수.
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- ### ✏️ 연습문제 풀이 (솔루션 참고)
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- **문제 2**. 모든 열이 동일한 $A = [a \ a \ a]$ ($a$ 는 영벡터가 아닌 열벡터)의 $C$ 와 $R$ 은?
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- 독립인 열은 1열 하나뿐: $C = [a]$, $R = [1 \ 1 \ 1]$.
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- 검산: $CR = [a \ a \ a]$ ✓. 랭크 1 분해의 가장 단순한 예.
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- **문제 5**. 7개의 열과 4개의 행을 가진 행렬 $A$ 가 5개의 선형독립인 열을 가질 수 없는 이유는?
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- $A$ 의 열들은 4차원 공간 $\mathbb{R}^4$ 의 벡터인데, $\mathbb{R}^4$ 에는 선형독립인 벡터가 **최대 4개**뿐이다.
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- 💡 따라서 항상 랭크 $r \le m$ 이고 $r \le n$ — 꽤 유용한 일반 사실 (엄밀한 증명은 3.2절 예고).
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- 💡 따라서 항상 랭크 $r \le m$ 이고 $r \le n$, 꽤 유용한 일반 사실 (엄밀한 증명은 3.2절 예고).
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- **문제 12**. 다음을 $A = CR$ 로 분해하라 ($C$ 는 $m \times r$, $R$ 은 $r \times n$).
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- $A_1 = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ — 3열 = 1열 + 2열.
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- $A_2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 3 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$ — 영벡터인 1열은 제외, 4열 = −(2열) + 2(3열).
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- $A_3 = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 6 & 3 & 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0.5 & 1.5 \end{bmatrix}$ — 랭크 1 (모든 열이 1열의 배수).
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- $A_1 = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$, 3열 = 1열 + 2열.
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- $A_2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 3 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$, 영벡터인 1열은 제외, 4열 = −(2열) + 2(3열).
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- $A_3 = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 6 & 3 & 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0.5 & 1.5 \end{bmatrix}$, 랭크 1 (모든 열이 1열의 배수).
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- $A_4 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}$
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- ⚠️ $A_2$ 처럼 **영벡터 열은 절대** $C$ **에 들어가지 않는다** (새로운 방향이 아님). $R$ 의 해당 열도 영벡터.
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- **문제 20**. 크기가 $(4 \times 3)(3 \times 2)(2 \times 1)$ 인 $ABC$ 를 계산할 때 $(AB)C$ 와 $A(BC)$ 의 곱셈 횟수는?
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@ -294,6 +294,6 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- $m < n$ (방정식 < 미지수): 아마도 해가 많을 것
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- $m = n$ : 아마도 해가 하나일 것
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- $m > n$ (방정식 > 미지수): 아마도 해가 없을 것
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- ⚠️ 그러나 반드시 성립하지는 않는다 — 어떤 열(또는 행)은 이전 것들의 선형결합일 수 있다. **랭크** $r$ **이 방정식 문제의 실제 크기**를 알려준다.
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- ⚠️ 그러나 반드시 성립하지는 않는다. 어떤 열(또는 행)은 이전 것들의 선형결합일 수 있다. **랭크** $r$ **이 방정식 문제의 실제 크기**를 알려준다.
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- 아름다운 공식: $A = CR = (m \times r)(r \times n)$. $C$ 에 그대로 들어간 $A$ 의 열들은 $R$ 내부의 항등행렬 $I$ 와 곱해진다.
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- 💡 이 책의 일관된 관점: $Ax$, $AB$, $CR$ 을 설명할 때 **열들의 선형결합**을 이용한다 — 행들의 내적이 아니라.
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- 💡 이 책의 일관된 관점: $Ax$, $AB$, $CR$ 을 설명할 때 **열들의 선형결합**을 이용한다. 행들의 내적이 아니라.
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@ -2,28 +2,28 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- ### 핵심 개념
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- **이 절의 목표**: $n$ 개의 방정식과 $n$ 개의 미지수를 갖는 $Ax = b$ 를 체계적으로 푸는 것. 소거법으로 $Ax=b$ 를 상삼각 연립방정식 $Ux = c$ 로 바꾸고, **역대입법** (back substitution)으로 아래에서 위로 해를 구한다.
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- **해의 3가지 경우** — $Ax = b$ 를 만족하는 $x$ 는 존재하지 않을 수도, 정확히 하나 존재할 수도, 무수히 많이 존재할 수도 있다.
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- 📌 원문 — 해의 3가지 경우 (p.73): ((6a635899-c408-42a9-9318-f6f0e374099b))
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- **해의 3가지 경우**: $Ax = b$ 를 만족하는 $x$ 는 존재하지 않을 수도, 정확히 하나 존재할 수도, 무수히 많이 존재할 수도 있다.
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- 📌 원문 (해의 3가지 경우, p.73): ((6a635899-c408-42a9-9318-f6f0e374099b))
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- **[경우 ①] 해가 하나만 존재**: 행렬 $A$ 의 모든 열이 **선형독립**. $Ax=0$ 의 유일한 해는 $x=0$ 이고, $A$ 는 역행렬 $A^{-1}$ 를 갖는다.
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- 📌 원문 (p.73): ((6a6358b6-1d2d-491f-b86f-279eef0f8106))
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- 📌 원문 — 열의 선형독립 (p.73): ((6a6358bc-2c18-4de7-8d19-899ebf887595))
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- **[경우 ②] 해가 존재하지 않음**: $b$ 가 $A$ 의 열들의 선형결합이 아님 — 즉 $b$ 가 $A$ 의 **열공간 밖**에 있음.
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- 📌 원문 (열의 선형독립, p.73): ((6a6358bc-2c18-4de7-8d19-899ebf887595))
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- **[경우 ②] 해가 존재하지 않음**: $b$ 가 $A$ 의 열들의 선형결합이 아님, 즉 $b$ 가 $A$ 의 **열공간 밖**에 있음.
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- 📌 원문 (p.73): ((6a6358c9-2452-478b-a285-a1550da448b6))
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- 📌 원문 — 열공간과의 관계 (p.73): ((6a6358cf-5970-4a60-b17d-a8fabcac1326))
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- 📌 원문 (열공간과의 관계, p.73): ((6a6358cf-5970-4a60-b17d-a8fabcac1326))
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- **[경우 ③] 해가 무수히 많음**: $A$ 의 열이 **선형종속** ($AX=0$ 에 영벡터가 아닌 해 $X$ 존재). 하나의 해 $x$ 가 있으면 $x + \alpha X$ 도 전부 해가 된다.
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- 📌 원문 (p.74): ((6a6358dc-6020-4de7-9d27-aa98fbed0c17))
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- 📌 원문 — 열의 선형종속 (p.74): ((6a6358df-a0cf-4682-aa0a-ba602d25ac6f))
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- $A(x + \alpha X) = Ax + \alpha AX = b + 0 = b$ — 해들의 집합은 직선(또는 그 이상)을 이룬다.
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- 💡 **직관**: 세 경우를 가르는 것은 결국 두 가지 질문이다 — ① $A$ 의 열이 선형독립인가? ② $b$ 가 열공간 안에 있는가? 독립이면 항상 유일한 해, 종속이면 $b$ 의 위치에 따라 0개 아니면 무한개.
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- **행 그림과 열 그림** — 해의 3가지 경우를 눈으로 확인하는 2가지 방법.
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- 📌 원문 (열의 선형종속, p.74): ((6a6358df-a0cf-4682-aa0a-ba602d25ac6f))
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- $A(x + \alpha X) = Ax + \alpha AX = b + 0 = b$, 해들의 집합은 직선(또는 그 이상)을 이룬다.
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- 💡 **직관**: 세 경우를 가르는 것은 결국 두 가지 질문이다. ① $A$ 의 열이 선형독립인가? ② $b$ 가 열공간 안에 있는가? 독립이면 항상 유일한 해, 종속이면 $b$ 의 위치에 따라 0개 아니면 무한개.
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- **행 그림과 열 그림**: 해의 3가지 경우를 눈으로 확인하는 2가지 방법.
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- **행 그림** (row picture): 각 방정식을 직선(평면)으로 그린다. 두 직선이 교차하면 해 유일, 평행하면 해 없음, 겹치면 해는 직선 전체.
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- (p.79, 그림 2.1)
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- **열 그림** (column picture): $A$ 의 열들을 선형결합해 $b$ 를 만드는 그림. 3차원 이상에서도 쉽게 그릴 수 있다는 것이 행 그림과의 차이.
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- (p.79, 그림 2.2)
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- **상삼각행렬** $U$ **와 피벗**
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- 문자 U는 **상삼각행렬** (upper triangular matrix)을 의미한다 — 주대각선 **아래**의 모든 성분이 0인 행렬.
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- 문자 U는 **상삼각행렬** (upper triangular matrix)을 의미한다. 주대각선 **아래**의 모든 성분이 0인 행렬.
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- 📌 원문 (p.75): ((6a6358ff-65bf-4fe7-bd3d-6626eea5a9d3))
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- **정확한 형태** ($3\times 3$ 예): 대각선 위와 대각선만 채워진다.
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- $$U = \begin{bmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} \\ 0 & u_{22} & u_{23} \\ 0 & 0 & u_{33} \end{bmatrix}$$
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@ -36,21 +36,21 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- **역대입법** (back substitution): $Ux = c$ 를 **아래에서 위로** 푼다.
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- 예 (p.75): $\begin{bmatrix} 2&3&4 \\ 0&5&6 \\ 0&0&7 \end{bmatrix} x = \begin{bmatrix} 19\\17\\14 \end{bmatrix}$ → $7x_3=14$ 에서 $x_3=2$ → $5x_2 + 12 = 17$ 에서 $x_2=1$ → $2x_1 + 3 + 8 = 19$ 에서 $x_1=4$.
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- 요약: $Ax=b$ 에 소거법 → $Ux=c$ → 역대입법으로 $x = U^{-1}c = A^{-1}b$.
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- $A$ **에서** $U$ **로,** $b$ **에서** $c$ **로 — 소거의 실제 과정** (p.76 예제, 식 (2)~(5))
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- $A$ **에서** $U$ **로,** $b$ **에서** $c$ **로, 소거의 실제 과정** (p.76 예제, 식 (2)~(5))
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- **소거행렬** $E_{ij}$: $i$ 행에서 $j$ 행에 $\ell_{ij}$ 를 곱한 것을 빼서 $(i,j)$ 위치에 0을 만드는 행렬. $E_{21}, E_{31}, E_{32}$ 순서로 $A$ 의 왼쪽에 곱한다 (정확한 형태는 [[2.2 소거행렬과 역행렬]]에서 상세히).
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- 📌 원문 — 소거행렬 (p.76): ((6a635932-a78c-4087-a764-e7eaabae9f9f))
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- 예제 (p.76, 식 (2)~(5)) — 시작 행렬 $A$ 와 우변 $b$, 첫 번째 피벗은 2:
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- 📌 원문 — 식 (2) 시작 행렬 (p.76): [🔗 PDF 위치](((6a636504-582f-4014-a85a-ec2681812c56)))
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- ① $E_{21}$ — 2행에서 1행×2를 빼서 피벗 2 아래에 0 생성:
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- 📌 원문 — 식 (3) (p.76): [🔗 PDF 위치](((6a636509-c1bc-472d-9c7e-3bda5d7ab152)))
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- ② $E_{31}$ — 3행에서 1행을 빼서 1열 소거 완료:
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- 📌 원문 — 식 (4) (p.76): [🔗 PDF 위치](((6a63650f-a68d-4a28-9ff8-f3c6e31db572)))
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- ③ $E_{32}$ — 3행에서 (새로운) 2행을 빼서 $U$ 완성. $E_{32}E_{31}E_{21}A = U$ 는 상삼각행렬:
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- 📌 원문 — 식 (5) (p.76): [🔗 PDF 위치](((6a636514-b25c-4535-a0de-ec772ee116c6)))
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- 📌 원문 (소거행렬, p.76): ((6a635932-a78c-4087-a764-e7eaabae9f9f))
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- 예제 (p.76, 식 (2)~(5)): 시작 행렬 $A$ 와 우변 $b$, 첫 번째 피벗은 2:
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- 📌 원문 (식 (2) 시작 행렬, p.76): [🔗 PDF 위치](((6a636504-582f-4014-a85a-ec2681812c56)))
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- ① $E_{21}$, 2행에서 1행×2를 빼서 피벗 2 아래에 0 생성:
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- 📌 원문 (식 (3), p.76): [🔗 PDF 위치](((6a636509-c1bc-472d-9c7e-3bda5d7ab152)))
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- ② $E_{31}$, 3행에서 1행을 빼서 1열 소거 완료:
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- 📌 원문 (식 (4), p.76): [🔗 PDF 위치](((6a63650f-a68d-4a28-9ff8-f3c6e31db572)))
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- ③ $E_{32}$, 3행에서 (새로운) 2행을 빼서 $U$ 완성. $E_{32}E_{31}E_{21}A = U$ 는 상삼각행렬:
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- 📌 원문 (식 (5), p.76): [🔗 PDF 위치](((6a636514-b25c-4535-a0de-ec772ee116c6)))
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- 진행 순서 (행 교환이 필요 없는 경우):
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- ① 첫 번째 방정식으로 1열의 피벗 아래 성분들을 0으로.
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- ② **새로운** 두 번째 방정식으로 2열의 피벗 아래 성분들을 0으로.
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@ -58,15 +58,15 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- 좌변에서 하는 소거 연산을 우변 $b$ 에도 **똑같이** 적용해야 한다 → $b$ 가 $c$ 로 바뀐다.
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- $E_{32}E_{31}E_{21}A = U$ 가 상삼각이고 피벗이 모두 0이 아니면, 행렬 $A$ 와 $U$ 는 **최대 랭크** (full rank)를 갖는다.
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- 📌 원문 (p.76): ((6a63593b-eed9-4165-9f02-f373ab970fe5))
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- **소거법이 실패하는 경우** — 피벗 위치에 0이 나타날 때. 두 가지 상황을 구분해야 한다.
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- **소거법이 실패하는 경우**: 피벗 위치에 0이 나타날 때. 두 가지 상황을 구분해야 한다.
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- **일시적 실패 (행 교환으로 해결)**: 피벗 위치에 0이 있지만 그 **아래에 0이 아닌 수**가 있는 경우.
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- 📌 원문 — 피벗 위치의 0 (p.77): ((6a635966-e526-4fab-9966-1f4e8a99f80a))
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- 📌 원문 (피벗 위치의 0, p.77): ((6a635966-e526-4fab-9966-1f4e8a99f80a))
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- 해결법: 0을 포함한 행과 아래의 0이 아닌 행을 **교환**한다. 이후 소거는 정상 진행되어 $U$ 를 얻는다.
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- 📌 원문 — 행 교환 (p.77): ((6a635975-3d7c-4ce9-b4f8-121edf2767a1))
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- **완전한 실패 (열이 선형종속)**: 피벗 위치 0 아래도 전부 0인 경우 — 교환할 행이 없다. 이때 그 열에는 피벗을 만들 수 없다.
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- 📌 원문 (행 교환, p.77): ((6a635975-3d7c-4ce9-b4f8-121edf2767a1))
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- **완전한 실패 (열이 선형종속)**: 피벗 위치 0 아래도 전부 0인 경우, 교환할 행이 없다. 이때 그 열에는 피벗을 만들 수 없다.
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- 열이 선형종속인 경우, 피벗 위치에 0이 **반드시** 생긴다.
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- 📌 원문 (p.77): ((6a6359a0-b6ca-49c8-96de-8356dc3768f1))
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- 💡 이것도 "실패"라기보다는 **성공**이다 — 문제의 원인(열의 선형종속)을 소거법이 체계적으로 밝혀낸 것이기 때문. 삼각행렬 $U$ 의 주대각선이 모든 정보를 알려준다.
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- 💡 이것도 "실패"라기보다는 **성공**이다. 문제의 원인(열의 선형종속)을 소거법이 체계적으로 밝혀낸 것이기 때문. 삼각행렬 $U$ 의 주대각선이 모든 정보를 알려준다.
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- **최대 랭크 판정과 특이행렬**
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- 상삼각행렬 $U$ 는 **주대각선에 0이 없을 때, 정확히 최대 랭크를 갖는다.**
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- 📌 원문 (p.78): ((6a6359ac-a058-4293-8ab6-40ab10e442de))
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@ -75,9 +75,9 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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id:: 6a654a5b-68b5-49d0-8aff-c08d97c929d9
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- 📌 원문 (p.78): ((6a6359f4-8a2c-4afe-a644-3ce58b755ed4))
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- ⚠️ **주의**: "행 교환이 필요한 것"과 "특이행렬인 것"을 혼동하지 말 것. 행 교환은 단지 방정식의 순서 문제이고, 특이성은 열의 선형종속이라는 구조적 문제다.
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- **첨가행렬** (augmented matrix): 우변 $b$ 를 $A$ 의 추가 열로 붙인 행렬 $[A \ \ b]$. 좌변과 우변에 동일한 소거 연산이 자동으로 적용되게 하는 장치 — $[A \ \ b] \to [U \ \ c]$.
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- **첨가행렬** (augmented matrix): 우변 $b$ 를 $A$ 의 추가 열로 붙인 행렬 $[A \ \ b]$. 좌변과 우변에 동일한 소거 연산이 자동으로 적용되게 하는 장치, $[A \ \ b] \to [U \ \ c]$.
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- 📌 원문 (p.80): ((6a635a13-2cdb-43dd-aebd-0e552945d649))
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- **치환행렬** (permutation matrix) $P$ — 행 교환을 수행하는 행렬 (예: $P_{23}$ 은 2행과 3행을 교환). 피벗 위치에 0이 나타나면 사용한다. 행 교환이 없는 경우($P=I$)를 포함해 $n!$ 개의 치환행렬이 있다. 상세한 형태와 성질은 [[2.4 치환행렬과 전치행렬]]에서.
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- **치환행렬** (permutation matrix) $P$, 행 교환을 수행하는 행렬 (예: $P_{23}$ 은 2행과 3행을 교환). 피벗 위치에 0이 나타나면 사용한다. 행 교환이 없는 경우($P=I$)를 포함해 $n!$ 개의 치환행렬이 있다. 상세한 형태와 성질은 [[2.4 치환행렬과 전치행렬]]에서.
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- 📌 원문 (p.80): ((6a635a1e-3810-4cd9-84fa-42fa382e865f))
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- 행 교환까지 포함한 전체 과정: $PA = LU$ (행 교환이 없으면 $A = LU$). 이 식은 [[2.3 행렬 계산과 A = LU]] 와 [[2.4 치환행렬과 전치행렬]]의 주제다.
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- ### ❓ 스스로 점검
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@ -96,23 +96,23 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- 왜 숫자 0은 피벗이 될 수 없는가?
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- 역대입에서 각 미지수를 구할 때 피벗으로 나눠야 하는데 0으로는 나눌 수 없기 때문. $0 \cdot x = c$ 꼴은 해가 없거나($c \neq 0$) 무수히 많다($c = 0$).
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- ### ✏️ 연습문제 풀이 (솔루션 참고)
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- **문제 4** — $c$ 를 소거하려면 두 번째 방정식에서 첫 번째 방정식에 어떤 $\ell$ 을 곱해 빼야 하는가? ($ax+by=f$, $cx+dy=g$, $a \neq 0$)
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- **문제 4**: $c$ 를 소거하려면 두 번째 방정식에서 첫 번째 방정식에 어떤 $\ell$ 을 곱해 빼야 하는가? ($ax+by=f$, $cx+dy=g$, $a \neq 0$)
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- 승수는 $\ell = \dfrac{c}{a}$. 소거 후 두 번째 피벗은 $d - \dfrac{cb}{a} = \dfrac{ad-bc}{a}$, 해는 $y = \dfrac{ag-cf}{ad-bc}$.
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- 두 번째 피벗이 사라지는 조건이 정확히 $ad = bc$ — 이때가 **특이한** (singular) 경우다.
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- 두 번째 피벗이 사라지는 조건이 정확히 $ad = bc$, 이때가 **특이한** (singular) 경우다.
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- 💡 2×2 행렬의 행렬식 $ad-bc$ 가 소거법의 피벗에서 자연스럽게 나타난다. 피벗의 곱 $a \cdot \frac{ad-bc}{a} = ad-bc$ = 행렬식.
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- **문제 7** — $ax + 3y = -3$, $4x + 6y = 6$ 은 어떤 $a$ 에서 소거법이 완전히/일시적으로 불가능한가?
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- **문제 7**: $ax + 3y = -3$, $4x + 6y = 6$ 은 어떤 $a$ 에서 소거법이 완전히/일시적으로 불가능한가?
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- $a = 2$ 이면 **완전히 불가능**: 좌변이 배수 관계(행 그림에서 평행선)가 되는데 우변은 아니므로 해가 없다.
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- $a = 0$ 이면 **일시적으로 불가능**: 첫 피벗 위치가 0이지만 행 교환으로 해결된다. 교환 후 $4x + 6y = 6$, $3y = -3$ → $y = -1$, $x = 3$.
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- 💡 본문의 "일시적 실패 vs 완전한 실패" 구분을 수치로 체험하는 문제.
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- **문제 11** (책 추천: 꼭 풀어볼 만한 문제) — 선형 연립방정식은 정확히 2개의 해를 가질 수 없다.
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- **문제 11** (책 추천: 꼭 풀어볼 만한 문제): 선형 연립방정식은 정확히 2개의 해를 가질 수 없다.
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- (a) 두 해 $(x,y,z)$, $(X,Y,Z)$ 가 있다면 또 다른 해는? #card
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id:: 6a661c6d-4d6a-4f35-a298-828e41a1ea24
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- 두 해의 평균 $\frac{1}{2}(x+X, \ y+Y, \ z+Z)$ 도 해다 (실제로는 두 해를 잇는 직선 위의 모든 점이 해).
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- (b) 25개의 평면이 두 점에서 만나면 또 어디서 만나는가? #card
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id:: 6a661c83-2f93-4d14-b1b8-daf0990e528f
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- 25개의 평면이 두 점에서 만난다면, 그 두 점을 지나는 **직선 전체**에서 만난다.
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- 💡 해집합의 구조(0개, 1개, 무한개뿐)가 왜 그런지를 보여주는 문제 — 해 2개가 있으면 그 직선 전체가 해가 되어버린다.
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- **문제 21** (도전) — 행 합이 4, 8이고 열 합이 2, $s$ 인 2×2 행렬 찾기. 네 방정식 $a+b=4$, $a+c=2$, $c+d=8$, $b+d=s$ 의 해가 존재하는 $s$ 는?
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- 💡 해집합의 구조(0개, 1개, 무한개뿐)가 왜 그런지를 보여주는 문제, 해 2개가 있으면 그 직선 전체가 해가 되어버린다.
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- **문제 21** (도전): 행 합이 4, 8이고 열 합이 2, $s$ 인 2×2 행렬 찾기. 네 방정식 $a+b=4$, $a+c=2$, $c+d=8$, $b+d=s$ 의 해가 존재하는 $s$ 는?
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- 좌변에서 (첫째+셋째) = (둘째+넷째) = $a+b+c+d$ 이므로 우변도 $4+8 = 2+s$ 여야 한다 → $s = 10$.
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- 이 4×4 연립방정식은 **특이**하다 — 소거하면 마지막 행이 0행이 된다. $s=10$ 일 때 해가 무수히 많다. 두 예: $\begin{bmatrix} 1&3 \\ 1&7 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 0&4 \\ 2&6 \end{bmatrix}$.
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- 이 4×4 연립방정식은 **특이**하다. 소거하면 마지막 행이 0행이 된다. $s=10$ 일 때 해가 무수히 많다. 두 예: $\begin{bmatrix} 1&3 \\ 1&7 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 0&4 \\ 2&6 \end{bmatrix}$.
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- 💡 "해가 존재할 조건이 우변에 붙는" 경우 ②↔③의 경계를 4×4 에서 경험하는 문제.
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@ -6,14 +6,14 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- **기본 소거 단계**: 방정식 $i$ 에서 방정식 $j$ 에 $\ell_{ij}$ 를 곱한 것을 빼는 것.
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- 📌 원문 (p.85): ((6a635a84-07f5-42f7-a189-5e34759ed1ba))
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- 승수(multiplier)는 $\ell_{ij} = \dfrac{\text{소거할 성분}}{\text{피벗}}$. 예: $a_{11}=3$ 아래 $a_{21}=-3$ 이 있으면 $\ell_{21} = -1$ 이고, "2행에서 1행에 $-1$ 을 곱한 것을 뺀다" = "2행에 1행을 더한다".
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- **소거행렬** $E_{ij}$ **의 정확한 형태** 🧩 (책이 명시적으로 정리해주지 않는 부분 — 복습용 정리)
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- **소거행렬** $E_{ij}$ **의 정확한 형태** 🧩 (책이 명시적으로 정리해주지 않는 부분, 복습용 정리)
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- **만드는 법**: 항등행렬 $I$ 에서 시작해 $(i, j)$ **성분 (=** $i$ **행** $j$ **열) 하나만** $-\ell_{ij}$ **로** 바꾼다. 나머지는 $I$ 그대로 (주대각선 1, 그 외 0).
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- $$E_{ij} = I \text{ 에서 } (i,j) \text{ 성분만 } -\ell_{ij} \text{ 로 바꾼 행렬} \qquad (i > j \text{ 이므로 주대각선 아래})$$
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- 예 — 3행에서 1행에 2를 곱해 빼는 $E_{31}$ ($\ell_{31} = 2$): #card
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id:: 6a654a5b-4a10-4db0-ae2e-78ebebd7468d
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- $(3,1)$ 위치에 $-2$.
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- $$E_{31} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$
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- **왜 이 형태인가**: $E_{31}A$ 의 3행 = ($E_{31}$ 의 3행) × $A$ = $-2 \cdot (A$ 의 1행$) + 1 \cdot (A$ 의 3행$)$ — 정확히 "3행 ← 3행 − 2×(1행)" 이다. 왼쪽에 곱하는 행렬의 각 행은 "결과의 그 행을 원래 행들의 어떤 결합으로 만들지"를 지시한다.
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- **왜 이 형태인가**: $E_{31}A$ 의 3행 = ($E_{31}$ 의 3행) × $A$ = $-2 \cdot (A$ 의 1행$) + 1 \cdot (A$ 의 3행$)$, 정확히 "3행 ← 3행 − 2×(1행)" 이다. 왼쪽에 곱하는 행렬의 각 행은 "결과의 그 행을 원래 행들의 어떤 결합으로 만들지"를 지시한다.
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- ⚠️ 첨자 순서 주의: $E_{ij}$ 는 "$i$ 행에서 $j$ 행을 (배수로) 뺀다"는 뜻이고, 바꾸는 성분 위치도 $i$ 행 $j$ 열이다. $i > j$ (아래 행에서 위 행을 뺌) 이므로 항상 주대각선 **아래**의 성분 하나를 바꾼다.
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- **전체소거행렬** $E$: 행 교환이 필요 없는 $3\times 3$ 의 경우, 세 소거행렬을 순서대로 곱한 것.
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- $$E = E_{32}E_{31}E_{21}, \qquad EA = U$$
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@ -21,36 +21,36 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- ⚠️ $E_{32}$ 는 $A$ 의 원래 2행이 아니라 **소거가 진행된 뒤의 새로운 2행**에 $\ell_{32}$ 를 곱해 뺀다 (p.86 EX1).
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- $E$ 를 직접 곱해보면 좌하단에 복잡한 항이 생긴다 (p.91 식 (10)):
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- $$E = E_{32}E_{31}E_{21} = \begin{bmatrix} 1 & & \\ -\ell_{21} & 1 & \\ (\ell_{32}\ell_{21} - \ell_{31}) & -\ell_{32} & 1 \end{bmatrix}$$
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- 📌 원문 — 식 (10) (p.91): [🔗 PDF 위치](((6a63652b-602e-4795-920c-257281d9a689)))
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- 📌 원문 (식 (10), p.91): [🔗 PDF 위치](((6a63652b-602e-4795-920c-257281d9a689)))
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- 💡 $(3,1)$ 위치의 $\ell_{32}\ell_{21}$ 항이 생기는 이유: 1행이 2행을 바꾸고, 그 바뀐 2행이 다시 3행을 바꾸는 **연쇄 효과** 때문. 그래서 $E$ 자체는 쓸모 있는 공식이 안 되고, 역행렬 $L$ 쪽이 깨끗하다 (아래).
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- $E_{ij}$ **의 역행렬 — 빼면, 역은 더한다**
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- $E_{ij}$ **의 역행렬, 빼면, 역은 더한다**
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- $E_{ij}$ 가 "$i$ 행에서 $j$ 행 $\times \ell_{ij}$ 를 뺀다"면, $E_{ij}^{-1}$ 는 "$i$ 행에 $j$ 행 $\times \ell_{ij}$ 를 **더한다**".
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- 📌 원문 (p.86): ((6a635aa6-fc5b-4d1b-af7e-ce34f3a3dff2))
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- **정확한 형태**: $E_{ij}$ 에서 $(i,j)$ 성분의 **부호만 뒤집으면** 된다 ($-\ell_{ij} \to +\ell_{ij}$).
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- $$E = \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ -5&1&0 \\ 0&0&1 \end{bmatrix} \quad\Longrightarrow\quad E^{-1} = \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 5&1&0 \\ 0&0&1 \end{bmatrix} \qquad (\text{p.89 EX4})$$
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- $L$ **은** $E$ **의 역행렬** — 이 장의 핵심 (p.91 식 (11))
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- $L$ **은** $E$ **의 역행렬**: 이 장의 핵심 (p.91 식 (11))
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- $E = E_{32}E_{31}E_{21}$ 의 역행렬을 **역순으로** 곱하면: $L = E^{-1} = E_{21}^{-1}E_{31}^{-1}E_{32}^{-1}$.
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- 📌 원문 — $E$ 의 역행렬을 $L$ 이라 한다 (p.86): ((6a635aae-3105-49ae-957b-172c4c5d0005))
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- 📌 원문 — 식 (11) (p.91): [🔗 PDF 위치](((6a635b68-9f69-4209-8ca3-615913bd254d)))
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- 📌 원문 ($E$ 의 역행렬을 $L$ 이라 한다, p.86): ((6a635aae-3105-49ae-957b-172c4c5d0005))
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- 📌 원문 (식 (11), p.91): [🔗 PDF 위치](((6a635b68-9f69-4209-8ca3-615913bd254d)))
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- $L$ **의 정확한 형태** 🧩: **하삼각행렬**로, ① 주대각선은 전부 1, ② 주대각선 아래 $(i,j)$ 성분에 승수 $\ell_{ij}$ 가 {{c1 **부호 그대로, 제자리**}}에 들어간다. $E$ 와 달리 곱셈 연쇄 항이 전혀 없다.
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id:: 6a654a5b-b0dd-41e2-9583-ab2acad9337c
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- $$L = \begin{bmatrix} 1 & & \\ \ell_{21} & 1 & \\ \ell_{31} & \ell_{32} & 1 \end{bmatrix}$$
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- 💡 **왜** $L$ **은 깨끗한가** (p.90 EX5의 교훈): 역행렬들을 곱하는 순서 $E_{21}^{-1}E_{31}^{-1}E_{32}^{-1}$ 에서는 "먼저 3행을 (2행으로) 바꾸고, **그 다음** 2행을 (1행으로) 바꾸므로" 바뀐 행이 다시 쓰이는 연쇄가 일어나지 않는다. 소거법의 순서는 $FE$, 역행렬의 순서는 $L = E^{-1}F^{-1}$ — 승수들이 모두 하삼각 $L$ 의 제자리에 위치한다.
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- 💡 **왜** $L$ **은 깨끗한가** (p.90 EX5의 교훈): 역행렬들을 곱하는 순서 $E_{21}^{-1}E_{31}^{-1}E_{32}^{-1}$ 에서는 "먼저 3행을 (2행으로) 바꾸고, **그 다음** 2행을 (1행으로) 바꾸므로" 바뀐 행이 다시 쓰이는 연쇄가 일어나지 않는다. 소거법의 순서는 $FE$, 역행렬의 순서는 $L = E^{-1}F^{-1}$, 승수들이 모두 하삼각 $L$ 의 제자리에 위치한다.
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- 이 결과로 $EA = U$ 는 $A = E^{-1}U = LU$ 가 된다 → [[2.3 행렬 계산과 A = LU]] 의 주제.
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- **역행렬에 관한 사실**
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- **정의 — 가역행렬** (invertible matrix): $A^{-1}A = AA^{-1} = I$ 를 만족하는 $A^{-1}$ 가 존재하는 행렬 $A$.
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- **정의, 가역행렬** (invertible matrix): $A^{-1}A = AA^{-1} = I$ 를 만족하는 $A^{-1}$ 가 존재하는 행렬 $A$.
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- 📌 원문 (p.86): ((6a635acb-6851-4e14-8586-6014d2be98b5))
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- $n \times n$ 행렬 $A$ 의 역행렬이 존재하려면 $n$ 개의 선형독립인 열이 있어야 한다.
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- 📌 원문 (p.86): ((6a635ac0-7401-4a3b-8494-97d3151d2c6c))
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- ⚠️ **모든 행렬이 역행렬을 갖는 것은 아니다.** 수는 0만 아니면 역수를 갖지만, 행렬은 조건이 더 복잡하다.
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- 📌 원문 (p.87): ((6a635ad8-3d2e-4392-a37b-c22c8b0de35d))
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- 📌 원문 — 가역이려면 열이 선형독립 (p.87): ((6a635adc-5c08-46ed-905c-6fef78d87284))
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- 📌 원문 (가역이려면 열이 선형독립, p.87): ((6a635adc-5c08-46ed-905c-6fef78d87284))
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- **역행렬** $A^{-1}$ **의 7가지 특징** (p.87~88)
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- **[특징 ①]** 역행렬 존재의 필요충분조건 = 소거법에서 $n$ **개의 피벗**이 생기는 것 (행 교환 허용).
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- 📌 원문 (p.87): ((6a635ae3-4e4a-437a-a3f8-c74bf19d9840))
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- **[특징 ②]** 역행렬은 **유일**하다. $BA = I$, $AC = I$ 이면 $B = C$ — 결합법칙으로 $B(AC) = (BA)C$ 에서 즉시 나온다. 왼쪽 역행렬 = 오른쪽 역행렬.
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- **[특징 ②]** 역행렬은 **유일**하다. $BA = I$, $AC = I$ 이면 $B = C$, 결합법칙으로 $B(AC) = (BA)C$ 에서 즉시 나온다. 왼쪽 역행렬 = 오른쪽 역행렬.
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- 📌 원문 (p.87): ((6a635ae9-06aa-4efd-8480-7a73b9eb35bb))
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- **[특징 ③]** $A^{-1}$ 가 존재하면 $Ax = b$ 의 유일한 해는 $x = A^{-1}b$.
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- 📌 원문 (p.87): ((6a635aef-6880-41b5-8b18-448e393588c3))
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@ -61,13 +61,13 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- **[특징 ⑥]** $2\times 2$ 행렬이 가역일 필요충분조건은 $ad - bc \neq 0$:
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- $$\begin{bmatrix} a&b \\ c&d \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$$
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- 수 $ad-bc$ 는 2×2 행렬의 **행렬식** (determinant). 실제 판정에는 행렬식보다 **피벗이** $n$ **개인지** 확인하는 피벗 판정법을 주로 쓴다.
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- 📌 원문 — 행렬식 (p.88): ((6a635b1e-c0f5-47d9-8dd4-e21f0b7271ed))
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- 📌 원문 — 2×2 가역 조건 (p.88): ((6a635b3a-8ccf-4542-81e5-fb74840b350b))
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- 📌 원문 (행렬식, p.88): ((6a635b1e-c0f5-47d9-8dd4-e21f0b7271ed))
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- 📌 원문 (2×2 가역 조건, p.88): ((6a635b3a-8ccf-4542-81e5-fb74840b350b))
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- 💡 외우는 법: 대각 $a, d$ 는 **자리를 바꾸고**, 반대각 $b, c$ 는 **부호를 바꾸고**, 행렬식으로 나눈다.
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- **[특징 ⑦]** 상삼각행렬은 주대각성분 $d_i$ 가 모두 0이 아닐 때 (역시 상삼각인) 역행렬을 갖는다.
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- 📌 원문 (p.88): ((6a635b2a-5629-4ab6-9352-7ed4110d95dd))
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- **행렬곱** $AB$ **의 역행렬 — 역순으로**
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- 📌 원문 — 공식 (7) (p.89): [🔗 PDF 위치](((6a635b51-4ca7-4f6d-923a-74154bb8cda3)))
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- **행렬곱** $AB$ **의 역행렬, 역순으로**
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- 📌 원문 (공식 (7), p.89): [🔗 PDF 위치](((6a635b51-4ca7-4f6d-923a-74154bb8cda3)))
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- $$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}, \qquad (ABC)^{-1} = C^{-1}B^{-1}A^{-1}$$
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- $AB$ 가 가역일 필요충분조건: $A$ 와 $B$ 가 (같은 크기의) 가역행렬인 것.
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@ -85,28 +85,28 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- $A^{-1}$ 가 존재한다면 양변에 곱해 $x = A^{-1}0 = 0$ 이 되어 모순. (열이 선형종속이라는 뜻이므로 특징 ⑤로도 같은 결론.)
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- $(AB)^{-1}$ 는 무엇이고, 왜 그 순서인가? #card
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id:: 6a654a5b-dbda-45a2-ac76-f460159bd12b
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- $B^{-1}A^{-1}$. $(AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = AA^{-1} = I$ — 안쪽부터 소거되려면 역순이어야 한다.
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- $B^{-1}A^{-1}$. $(AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = AA^{-1} = I$, 안쪽부터 소거되려면 역순이어야 한다.
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- ### ✏️ 연습문제 풀이 (솔루션 참고)
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- **문제 3** — $A = \begin{bmatrix} 1&1&0 \\ 4&6&1 \\ -2&2&0 \end{bmatrix}$ 를 $U$ 로 만드는 $E_{21}, E_{31}, E_{32}$ 를 구하고, $E$ 와 $L = E^{-1}$ 도 구하라.
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- **문제 3**: $A = \begin{bmatrix} 1&1&0 \\ 4&6&1 \\ -2&2&0 \end{bmatrix}$ 를 $U$ 로 만드는 $E_{21}, E_{31}, E_{32}$ 를 구하고, $E$ 와 $L = E^{-1}$ 도 구하라.
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- $\ell_{21}=4$: $E_{21} = \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ -4&1&0 \\ 0&0&1 \end{bmatrix}$, $\ell_{31}=-2$: $E_{31} = \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 2&0&1 \end{bmatrix}$, $\ell_{32}=2$: $E_{32} = \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&-2&1 \end{bmatrix}$.
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- $E = E_{32}E_{31}E_{21} = \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ -4&1&0 \\ 10&-2&1 \end{bmatrix}$ — $(3,1)$ 에 연쇄 항 $10$ 이 생겼다.
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- $L = E^{-1} = \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 4&1&0 \\ -2&2&1 \end{bmatrix}$ — 승수 $4, -2, 2$ 가 전부 **제자리에 그대로**.
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- $E = E_{32}E_{31}E_{21} = \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ -4&1&0 \\ 10&-2&1 \end{bmatrix}$, $(3,1)$ 에 연쇄 항 $10$ 이 생겼다.
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- $L = E^{-1} = \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 4&1&0 \\ -2&2&1 \end{bmatrix}$, 승수 $4, -2, 2$ 가 전부 **제자리에 그대로**.
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- 💡 이 문제 하나로 이 절의 핵심($E$ 는 지저분, $L$ 은 깨끗)을 손으로 확인할 수 있다.
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- **문제 12** — 두 치환행렬 $P = \begin{bmatrix} 0&0&1 \\ 0&1&0 \\ 1&0&0 \end{bmatrix}$, $P = \begin{bmatrix} 0&1&0 \\ 0&0&1 \\ 1&0&0 \end{bmatrix}$ 의 역행렬을 구하라.
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- **문제 12**: 두 치환행렬 $P = \begin{bmatrix} 0&0&1 \\ 0&1&0 \\ 1&0&0 \end{bmatrix}$, $P = \begin{bmatrix} 0&1&0 \\ 0&0&1 \\ 1&0&0 \end{bmatrix}$ 의 역행렬을 구하라.
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- 첫 번째는 단순 행 교환(1↔3)이라 $P^2 = I$ → $P^{-1} = P$ 자기 자신.
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- 두 번째는 순환 이동이라 $P^{-1} = \begin{bmatrix} 0&0&1 \\ 1&0&0 \\ 0&1&0 \end{bmatrix}$.
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- 💡 두 경우 모두 $P^{-1} = P^{\mathrm{T}}$ (전치) — 2.4절에서 일반 원리로 배운다.
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- **문제 16** (책 표시: 중요한 문제) — $A$ 에서 (1행)+(2행)=(3행)일 때 $A^{-1}$ 가 존재하지 않음을 보여라.
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- 💡 두 경우 모두 $P^{-1} = P^{\mathrm{T}}$ (전치): 2.4절에서 일반 원리로 배운다.
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- **문제 16** (책 표시: 중요한 문제): $A$ 에서 (1행)+(2행)=(3행)일 때 $A^{-1}$ 가 존재하지 않음을 보여라.
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- (a) $Ax = (0,0,1)$ 은 해가 없다: 식1 + 식2 − 식3 을 만들면 좌변은 0인데 우변은 $0+0-1 = -1 \neq 0$.
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- (b) 해가 존재하려면 우변이 같은 관계를 만족해야 한다: $b_1 + b_2 = b_3$.
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- (c) 소거 과정에서 3행은 **0행**이 된다 — 세 번째 피벗이 없다.
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- (c) 소거 과정에서 3행은 **0행**이 된다. 세 번째 피벗이 없다.
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- 💡 행의 선형종속도 (열의 선형종속처럼) 가역성을 파괴한다. 소거법이 그 사실을 0행으로 드러낸다.
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- **문제 29** — 가우스-조르단 아이디어: $[A \ \ I]$ 에 소거법을 적용해 $A$ 를 $I$ 로 바꾸면 $I$ 자리에 $A^{-1}$ 가 나타남을 확인하라.
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- **문제 29**: 가우스-조르단 아이디어: $[A \ \ I]$ 에 소거법을 적용해 $A$ 를 $I$ 로 바꾸면 $I$ 자리에 $A^{-1}$ 가 나타남을 확인하라.
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- $\begin{bmatrix} 1&3&1&0 \\ 2&7&0&1 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1&3&1&0 \\ 0&1&-2&1 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1&0&7&-3 \\ 0&1&-2&1 \end{bmatrix} = [I \ \ A^{-1}]$.
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- 두 번째: $\begin{bmatrix} 1&4&1&0 \\ 3&9&0&1 \end{bmatrix} \to \cdots \to \begin{bmatrix} 1&0&-3&4/3 \\ 0&1&1&-1/3 \end{bmatrix}$.
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- 💡 2.3절 가우스-조르단 소거법의 예습. 검산: $ad-bc$ 공식과 비교해볼 것.
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- **문제 34** (책 표시: 꼭 풀어볼 만한 문제) — $A = \begin{bmatrix} a&b&b \\ a&a&b \\ a&a&a \end{bmatrix}$ 가 가역일 조건을 증명하고, $C = \begin{bmatrix} 2&c&c \\ c&c&c \\ 8&7&c \end{bmatrix}$ 가 비가역이 되는 $c$ 3개를 찾아라.
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- **문제 34** (책 표시: 꼭 풀어볼 만한 문제): $A = \begin{bmatrix} a&b&b \\ a&a&b \\ a&a&a \end{bmatrix}$ 가 가역일 조건을 증명하고, $C = \begin{bmatrix} 2&c&c \\ c&c&c \\ 8&7&c \end{bmatrix}$ 가 비가역이 되는 $c$ 3개를 찾아라.
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- $A$ 의 소거: 피벗이 $a$, $a-b$, $a-b$ 로 나온다 → 가역 조건은 $a \neq 0$ 이고 $a \neq b$.
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- $$A^{-1} = \frac{1}{a(a-b)}\begin{bmatrix} a & 0 & -b \\ -a & a & 0 \\ 0 & -a & a \end{bmatrix}$$
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- $C$: $c = 0$ (열들이 종속), $c = 7$ (2행과 3행 관련 종속), $c = 2$ (1행과 2행 종속) 에서 비가역.
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- 💡 문자 행렬에서 피벗을 추적하는 훈련 — "가역 판정 = 피벗 개수 세기"를 체득하는 문제.
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- 💡 문자 행렬에서 피벗을 추적하는 훈련, "가역 판정 = 피벗 개수 세기"를 체득하는 문제.
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@ -9,20 +9,20 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- 📌 원문 (p.97): ((6a635ba0-717a-49ea-81c6-1b80acfb2f4c))
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- 아이디어: $A^{-1}$ 의 $k$ 번째 열 $x_k$ 는 $Ax_k = e_k$ 의 해다 ($e_k$ 는 $I$ 의 $k$ 번째 열). $n$ 개의 방정식이 모두 같은 계수행렬 $A$ 를 가지므로 첨가행렬을 $[A \ \ I]$ 로 잡고 **소거를 한 번만** 적용한다.
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- $$[A \ \ I] \xrightarrow{\text{소거}} [I \ \ A^{-1}]$$
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- ⚠️ 가우스-조르단은 (역대입 대신) 피벗 **위쪽**까지 소거해 $A$ 자리를 완전히 $I$ 로 만든다. $Ax=b$ 하나를 푸는 것보다 **느리다** — $A^{-1}$ 가 정말 필요할 때만 쓴다.
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- ⚠️ 가우스-조르단은 (역대입 대신) 피벗 **위쪽**까지 소거해 $A$ 자리를 완전히 $I$ 로 만든다. $Ax=b$ 하나를 푸는 것보다 **느리다**: $A^{-1}$ 가 정말 필요할 때만 쓴다.
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- 💡 이 책의 일관된 메시지: $x = A^{-1}b$ 라고 해서 실제로 $A^{-1}$ 를 계산하지는 마라. 소거+역대입이 훨씬 싸다.
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- **소거법의 비용** (연산 횟수 세기)
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- 📌 원문 (p.97): ((6a635bbc-cd20-4362-8dcc-ae180ca53cba))
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- 세는 단위: 소거의 기본 동작은 "피벗 행에 승수를 **곱해서** 아래 행에서 **뺀다**" — 성분 하나를 갱신할 때마다 곱셈 1번 + 뺄셈 1번이 한 쌍으로 든다. 아래에서 "1번"은 이 (곱셈, 뺄셈) 한 쌍을 뜻한다.
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- **왜 1단계가 약** $n^2$ **번인가** — 1열의 피벗 아래를 전부 0으로 만드는 비용:
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- ⚠️ **흔한 오해부터**: "1단계의 목표는 1열에 0을 $(n-1)$ 개 만드는 것이니 $(n-1)$ 번이면 되는 것 아닌가?" — 아니다. **0 하나를 만들려면 그 행 전체를 바꿔야 한다.**
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- 세는 단위: 소거의 기본 동작은 "피벗 행에 승수를 **곱해서** 아래 행에서 **뺀다**", 성분 하나를 갱신할 때마다 곱셈 1번 + 뺄셈 1번이 한 쌍으로 든다. 아래에서 "1번"은 이 (곱셈, 뺄셈) 한 쌍을 뜻한다.
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- **왜 1단계가 약** $n^2$ **번인가**: 1열의 피벗 아래를 전부 0으로 만드는 비용:
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- ⚠️ **흔한 오해부터**: "1단계의 목표는 1열에 0을 $(n-1)$ 개 만드는 것이니 $(n-1)$ 번이면 되는 것 아닌가?", 아니다. **0 하나를 만들려면 그 행 전체를 바꿔야 한다.**
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- "2행에서 1행 × $\ell_{21}$ 을 뺀다"는 것은 방정식 전체의 연산이다: (방정식 ②) ← (방정식 ②) − $\ell_{21}$ × (방정식 ①). 등식이 유지되려면 **2행의 모든 성분**에서 각각 1행의 대응 성분 × $\ell_{21}$ 을 빼야 한다. 1열 성분 하나만 빼고 나머지를 안 건드리면 방정식 자체가 망가진다.
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- 즉 "0이 되는 자리"는 행마다 1개지만, 그 부산물로 **그 행의 나머지 성분들도 전부 새 값으로 갱신**된다 — 진짜 비용은 여기서 나온다.
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- 그림으로 ($n = 4$): 1단계에서 값이 바뀌는 자리를 표시하면 —
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- 즉 "0이 되는 자리"는 행마다 1개지만, 그 부산물로 **그 행의 나머지 성분들도 전부 새 값으로 갱신**된다. 진짜 비용은 여기서 나온다.
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- 그림으로 ($n = 4$): 1단계에서 값이 바뀌는 자리를 표시하면 다음과 같다:
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- $$\begin{bmatrix} p & \times & \times & \times \\ \bullet & \ast & \ast & \ast \\ \bullet & \ast & \ast & \ast \\ \bullet & \ast & \ast & \ast \end{bmatrix} \qquad \begin{aligned} &p = \text{피벗}, \ \times = \text{1행 (불변)} \\ &\bullet = 0 \text{이 되는 자리 (목표)} \\ &\ast = \text{덩달아 바뀌는 자리} \end{aligned}$$
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- 갱신되는 성분 = $\bullet$ 와 $\ast$ 전부 = 세로 $(n-1)$ 행 × 가로 $n$ 열의 **직사각형**. "제곱"의 정체는 이 직사각형의 **넓이**다: $(n-1) \times n = n^2 - n \approx n^2$.
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- $n=4$ 로 세어보면: 3행 × 4성분 = 12번 (= $4^2 - 4$).
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- 코드로 보면 — 1단계는 **이중 루프**다:
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- 코드로 보면, 1단계는 **이중 루프**다:
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- ```python
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# 1단계: 1열의 피벗 A[0][0] 아래를 전부 0으로
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for i in range(1, n): # 바깥 루프: 피벗 아래의 각 행 → (n-1)번 반복
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@ -30,44 +30,44 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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for j in range(n): # 안쪽 루프: 그 행의 모든 성분 → n번 반복
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A[i][j] -= l * A[0][j] # 곱셈 1번 + 뺄셈 1번 = "1번"
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```
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- 바깥 루프 $(n-1)$ 번 × 안쪽 루프 $n$ 번 = $(n-1)\,n \approx n^2$. **루프가 두 겹이라 제곱이 된다** — 한 겹($n$)은 "행이 여러 개"에서, 다른 한 겹($n$)은 "행 하나가 성분 여러 개"에서 온다.
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- 바깥 루프 $(n-1)$ 번 × 안쪽 루프 $n$ 번 = $(n-1)\,n \approx n^2$. **루프가 두 겹이라 제곱이 된다**: 한 겹($n$)은 "행이 여러 개"에서, 다른 한 겹($n$)은 "행 하나가 성분 여러 개"에서 온다.
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- 요약: 1단계 = $(n-1)$ 행 × $n$ 성분 = $n^2 - n$ 번 ≈ $n^2$ 번. (1행 자체는 바뀌지 않으므로 정확히는 $n^2 - n$ 이지만, $n$ 이 크면 차이는 무시된다.)
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- 💡 2단계와의 연결 (이미 이해한 부분): 2단계는 똑같은 이중 루프를 오른쪽 아래 $(n-1) \times (n-1)$ 부분행렬에서 도는 것 — 그래서 $(n-2)(n-1) \approx (n-1)^2$.
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- **왜 총합이** $\frac{1}{3}n^3$ **인가** — 단계마다 문제가 한 사이즈씩 줄어든다:
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- 1단계가 끝나면 1행과 1열은 완성. 남은 작업은 오른쪽 아래의 $(n-1) \times (n-1)$ 부분행렬 — 크기 $(n-1)$ 짜리 문제를 새로 시작하는 것과 같다. 그래서 2단계 ≈ $(n-1)^2$ 번, 3단계 ≈ $(n-2)^2$ 번, …, 마지막 단계 ≈ $1^2$ 번.
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- 💡 2단계와의 연결 (이미 이해한 부분): 2단계는 똑같은 이중 루프를 오른쪽 아래 $(n-1) \times (n-1)$ 부분행렬에서 도는 것, 그래서 $(n-2)(n-1) \approx (n-1)^2$.
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- **왜 총합이** $\frac{1}{3}n^3$ **인가**: 단계마다 문제가 한 사이즈씩 줄어든다:
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- 1단계가 끝나면 1행과 1열은 완성. 남은 작업은 오른쪽 아래의 $(n-1) \times (n-1)$ 부분행렬, 크기 $(n-1)$ 짜리 문제를 새로 시작하는 것과 같다. 그래서 2단계 ≈ $(n-1)^2$ 번, 3단계 ≈ $(n-2)^2$ 번, …, 마지막 단계 ≈ $1^2$ 번.
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- $$\text{총합} \approx n^2 + (n-1)^2 + (n-2)^2 + \cdots + 2^2 + 1^2 = \frac{1}{3}n\left(n+\tfrac{1}{2}\right)(n+1) \approx \frac{1}{3}n^3$$
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- 💡 왜 제곱의 합이 $\frac{1}{3}n^3$ 인가: $1^2 + 2^2 + \cdots + n^2$ 은 곡선 $y = x^2$ 아래 넓이를 폭 1짜리 계단으로 근사한 것과 같다. 그 넓이가 적분 $\int_0^n x^2\,dx = \frac{1}{3}n^3$. 정확한 공식 $\frac{1}{3}n(n+\frac{1}{2})(n+1)$ 을 전개해도 최고차항은 $\frac{1}{3}n^3$ 이고, $n$ 이 충분히 크면 $\frac{1}{2}$ 과 $1$ 은 중요하지 않다.
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- 수치로 확인: $n = 100$ 이면 제곱의 합은 정확히 $338{,}350$, 근사값 $\frac{100^3}{3} = 333{,}333$ — 오차 1.5%. $n$ 이 클수록 더 정확해진다.
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- **왜 우변은** $n^2$ **번뿐인가** — $b$ 는 열 하나(성분 $n$ 개)라서 행렬보다 훨씬 싸다:
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- 수치로 확인: $n = 100$ 이면 제곱의 합은 정확히 $338{,}350$, 근사값 $\frac{100^3}{3} = 333{,}333$, 오차 1.5%. $n$ 이 클수록 더 정확해진다.
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- **왜 우변은** $n^2$ **번뿐인가**: $b$ 는 열 하나(성분 $n$ 개)라서 행렬보다 훨씬 싸다:
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- ① 순방향 $b \to c$: 1단계에서 $b_2, \cdots, b_n$ 에서 $b_1$ 의 배수를 뺀다 → $(n-1)$ 번. 2단계는 $b_1$ 과 무관하므로 $(n-2)$ 번. … 마지막 단계는 1번.
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- ② 역대입 $c \to x$: $x_n$ 은 $u_{nn}x_n = c_n$ 에서 피벗으로 나누는 1단계. $x_{n-1}$ 은 (이미 구한 $x_n$ 을 대입 + 피벗으로 나눔) 2단계. … $x_1$ 은 $(n-1)$ 개를 대입하고 나누는 $n$ 단계.
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- $$\underbrace{[(n-1) + (n-2) + \cdots + 1]}_{①\ b \to c} + \underbrace{[1 + 2 + \cdots + (n-1) + n]}_{②\ c \to x} = n^2$$
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- 💡 $n^2$ 이 되는 짝짓기 트릭 (p.98): ①의 $(n-1)$ 과 ②의 $1$, ①의 $(n-2)$ 와 ②의 $2$, … 를 짝지으면 매 쌍의 합이 $n$ 이고 쌍이 $(n-1)$ 개 → $n(n-1)$. ②에 짝 없이 남은 마지막 $n$ 하나를 더하면 $n(n-1) + n = n^2$. 딱 떨어진다.
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- **결론 —** $LU$ **를 저장하는 이유를 수치로**:
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- **결론:** $LU$ **를 저장하는 이유를 수치로**:
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- $A \to LU$ 분해(비싼 부분): $\approx$ $\frac{1}{3}n^3$ 번 => {{c1 **한 번**}}**만** 하면 된다.
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id:: 6a654a5b-b7fb-4f00-a8c9-41e828a913cb
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새로운 $b$ 마다 드는 비용: {{c1 **Lc=b**}} (순방향) + {{c1 **Ux = c**}} (역대입) = $n^2$
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- $n = 1{,}000$ 이면 $\frac{1}{3}n^3 \approx 3.3$ 억 번 vs $n^2 = 100$ 만 번 — 두 번째 $b$ 부터는 **약 333배 싸게** 푼다.
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- ⚠️ 우변 처리에 필요한 정보(각 단계의 승수 $\ell_{ij}$)가 전부 $L$ 에 저장되어 있다는 것이 핵심 — 그래서 $A$ 를 다시 소거할 필요가 없다.
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- $n = 1{,}000$ 이면 $\frac{1}{3}n^3 \approx 3.3$ 억 번 vs $n^2 = 100$ 만 번, 두 번째 $b$ 부터는 **약 333배 싸게** 푼다.
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- ⚠️ 우변 처리에 필요한 정보(각 단계의 승수 $\ell_{ij}$)가 전부 $L$ 에 저장되어 있다는 것이 핵심, 그래서 $A$ 를 다시 소거할 필요가 없다.
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- 크기 감각: $n = 1{,}000$ 이면 약 1초. $n$ 이 2배가 되면 시간은 $2^3 = 8$ 배 ($n^3$ 규칙). 실무의 큰 행렬은 대부분 **희소행렬** (sparse matrix, 대부분 성분이 0)이라 $A = LU$ 계산이 훨씬 빠르다.
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- $A = LU$ **분해** — 이 장의 핵심 공식
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- $A = LU$ **분해**: 이 장의 핵심 공식
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- 소거 과정 $EA = U$ 를 뒤집으면 $A = E^{-1}U = LU$. [[2.2 소거행렬과 역행렬]]의 식 (11)이 $\ell_{ij}$ 가 $L$ 의 정확한 위치에 배치됨을 보여줬다.
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- $L$ **과** $U$ **의 정확한 형태** 🧩:
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- $L$ = 주대각선이 1이고, 주대각선 아래 $(i,j)$ 에 승수 $\ell_{ij}$ 가 들어간 **하삼각행렬**.
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- $U$ = 소거가 끝난 **상삼각행렬**, 주대각선에 피벗들이 놓인다.
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- $$A = LU = \begin{bmatrix} 1 & & \\ \ell_{21} & 1 & \\ \ell_{31} & \ell_{32} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \text{피벗}_1 & * & * \\ & \text{피벗}_2 & * \\ & & \text{피벗}_3 \end{bmatrix}$$
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- **증명 1 — 행 단위로 보기**: $L$ 에서 $\ell_{ij}$ 가 제자리에 있는 이유 (p.99~100)
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- **증명 1, 행 단위로 보기**: $L$ 에서 $\ell_{ij}$ 가 제자리에 있는 이유 (p.99~100)
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- 📌 원문 (p.99): ((6a635be3-d31e-4142-a915-420dc9b58289))
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- 소거 중 피벗 행에서 빼는 것은 $A$ 의 원래 행이 아니라 이미 완성된 $U$ **의 행**이다 (피벗 행은 그 뒤로 다시 바뀌지 않으므로).
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- $$(U \text{의 3행}) = (A \text{의 3행}) - \ell_{31}(U \text{의 1행}) - \ell_{32}(U \text{의 2행}) \tag{3}$$
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- 📌 원문 — 식 (3) (p.100): [🔗 PDF 위치](((6a63653f-b4da-4d0f-a4e6-a661af2898b6)))
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- 📌 원문 (식 (3), p.100): [🔗 PDF 위치](((6a63653f-b4da-4d0f-a4e6-a661af2898b6)))
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- 
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- 이 식을 이항하면:
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- $$(A \text{의 3행}) = \ell_{31}(U \text{의 1행}) + \ell_{32}(U \text{의 2행}) + 1 \cdot (U \text{의 3행}) \tag{4}$$
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- 📌 원문 — 식 (4) (p.100): [🔗 PDF 위치](((6a636543-5209-4619-b32e-f0af8ee44f26)))
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- 📌 원문 (식 (4), p.100): [🔗 PDF 위치](((6a636543-5209-4619-b32e-f0af8ee44f26)))
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- 
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- 식 (4)가 정확히 행렬곱 $A = LU$ 의 3행이다 — $L$ 의 3행 $[\ell_{31} \ \ \ell_{32} \ \ 1]$ 이 그대로 읽힌다. 모든 크기 $n$ 에서 성립.
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- **증명 2 — (열)×(행) 랭크 1 행렬로 보기** (p.100~101)
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- 식 (4)가 정확히 행렬곱 $A = LU$ 의 3행이다. $L$ 의 3행 $[\ell_{31} \ \ \ell_{32} \ \ 1]$ 이 그대로 읽힌다. 모든 크기 $n$ 에서 성립.
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- **증명 2, (열)×(행) 랭크 1 행렬로 보기** (p.100~101)
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- 소거를 "$A$ 에서 (L의 열)·(U의 행) 인 랭크 1 행렬을 빼는 것"으로 본다.
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- 1단계: $\ell_1 = (1, \ell_{21}, \ell_{31}, \cdots)$ 과 $u_1 = (A$ 의 1행$)$ 에 대해 $A - \ell_1 u_1 = A_2$ 를 만들면 $A_2$ 의 1행과 1열은 전부 0.
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- 반복하면 매 단계 "$L$ 의 열 $\ell_j$ × $U$ 의 피벗 행 $u_j$" 를 소거하고, 조각을 다시 합치면:
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@ -75,12 +75,12 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- 💡 1장 마지막의 "(열)×(행) 곱셈" 관점이 여기서 진가를 발휘한다. $U$ 의 피벗 행 $u_k$ 는 앞에 $(k-1)$ 개의 0, $L$ 의 열 $\ell_k$ 도 위에 $(k-1)$ 개의 0으로 시작.
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- **행 교환 없이** $A = LU$ **분해가 가능한 조건** (p.101)
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- "행 교환이 없고 피벗에 0이 없는 $A = LU$ 분해는 언제 가능한가?"
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- 📌 원문 — 질문 (p.101): ((6a635bfb-bcd2-4ff3-9fd5-31424ab7abb4))
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- 📌 원문 (질문, p.101): ((6a635bfb-bcd2-4ff3-9fd5-31424ab7abb4))
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- 답: $A$ 의 **왼쪽 상단 모서리에 있는 모든** $k \times k$ **부분행렬** $A_k$ **가 가역행렬**일 때만 가능하다 ($k = 1, \cdots, n$).
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- 📌 원문 — 답 (p.101): ((6a635c01-2fd8-4235-a9d8-052b6b5f93d7))
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- 이유: 소거 과정이 좌상단 모서리 부분행렬을 순서대로 분해하기 때문 — $A_k = L_k U_k$ 이 성립하려면 각 $A_k$ 가 가역이어야 한다.
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- 📌 원문 (답, p.101): ((6a635c01-2fd8-4235-a9d8-052b6b5f93d7))
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- 이유: 소거 과정이 좌상단 모서리 부분행렬을 순서대로 분해하기 때문, $A_k = L_k U_k$ 이 성립하려면 각 $A_k$ 가 가역이어야 한다.
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- 💡 직관: $k$ 번째 피벗은 좌상단 $k\times k$ 블록 안에서 결정된다. 앞쪽 블록이 특이하면 그 시점에 피벗 0을 만나 행 교환이 필요해진다.
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- $LU$ **를 이용한** $Ax = b$ **풀이 — 두 개의 삼각 시스템**
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- $LU$ **를 이용한** $Ax = b$ **풀이, 두 개의 삼각 시스템**
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- $A = LU$ 를 알고 나면: $Ax = b$ ⟺ $L(Ux) = b$ ⟺ 두 단계로 분리.
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- ① $Lc = b$ 를 **순방향 대입**으로 풀어 $c$ 를 얻는다 (소거가 우변에 하던 일).
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- ② $Ux = c$ 를 **역대입**으로 풀어 $x$ 를 얻는다.
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@ -88,30 +88,30 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- ### ❓ 스스로 점검
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- $A \to U$ 소거, 우변 처리($b \to c \to x$)의 연산 횟수는 각각 대략 얼마인가? 유도 과정도 요약하라.
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- $A \to U$ 는 약 $\frac{1}{3}n^3$ 번: 1단계는 $(n-1)$ 행 × $n$ 성분 ≈ $n^2$ 번이고, 단계마다 부분행렬 크기가 하나씩 줄어 $n^2 + (n-1)^2 + \cdots + 1^2 \approx \int_0^n x^2 dx = \frac{1}{3}n^3$.
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- 우변은 정확히 $n^2$ 번: 순방향 $(n-1) + \cdots + 1$, 역대입 $1 + 2 + \cdots + n$ — 합치면 $n^2$. 그래서 $LU$ 를 한 번 구해두면 새 $b$ 마다 $n^2$ 만 든다 ($n=1000$ 이면 분해 대비 약 333배 싸다).
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- 우변은 정확히 $n^2$ 번: 순방향 $(n-1) + \cdots + 1$, 역대입 $1 + 2 + \cdots + n$, 합치면 $n^2$. 그래서 $LU$ 를 한 번 구해두면 새 $b$ 마다 $n^2$ 만 든다 ($n=1000$ 이면 분해 대비 약 333배 싸다).
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- $A = LU$ 에서 $L$ 의 주대각선과 그 아래에는 정확히 무엇이 들어가는가?
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- 주대각선에는 1, 주대각선 아래 $(i,j)$ 성분에는 소거 때 쓴 승수 $\ell_{ij}$ 가 부호 그대로 들어간다. ($U$ 의 주대각선에는 피벗.)
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- "소거에서 피벗 행에 곱해 빼는 행은 $A$ 의 행이 아니라 $U$ 의 행이다" — 왜 이 관찰이 $A = LU$ 증명의 핵심인가?
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- $(U$ 의 $i$ 행$) = (A$ 의 $i$ 행$) - \sum_{j<i} \ell_{ij}(U$ 의 $j$ 행$)$ 을 이항하면 $(A$ 의 $i$ 행$) = \sum_{j<i}\ell_{ij}(U$ 의 $j$ 행$) + 1\cdot(U$ 의 $i$ 행$)$ — 이것이 정확히 행렬곱 $LU$ 의 $i$ 행이기 때문.
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- "소거에서 피벗 행에 곱해 빼는 행은 $A$ 의 행이 아니라 $U$ 의 행이다". 왜 이 관찰이 $A = LU$ 증명의 핵심인가?
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- $(U$ 의 $i$ 행$) = (A$ 의 $i$ 행$) - \sum_{j<i} \ell_{ij}(U$ 의 $j$ 행$)$ 을 이항하면 $(A$ 의 $i$ 행$) = \sum_{j<i}\ell_{ij}(U$ 의 $j$ 행$) + 1\cdot(U$ 의 $i$ 행$)$, 이것이 정확히 행렬곱 $LU$ 의 $i$ 행이기 때문.
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- 행 교환 없이 $A = LU$ 가 가능할 필요충분조건은?
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- 왼쪽 상단의 모든 $k \times k$ 부분행렬 $A_k$ ($k=1,\cdots,n$)가 가역인 것.
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- $[A \ \ I] \to [I \ \ A^{-1}]$ (가우스-조르단)이 $Ax=b$ 풀이보다 느린데도 배우는 이유는?
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- $A^{-1}$ 전체가 필요할 때 $n$ 개의 방정식 $Ax_k = e_k$ 를 소거 한 번으로 동시에 풀어주는 체계적 방법이기 때문. (실전에서는 $A^{-1}$ 를 만들지 않고 $LU$ 로 푸는 것이 원칙.)
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- ### ✏️ 연습문제 풀이 (솔루션 참고)
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- **문제 1** (책 표시: 중요한 문제) — 순방향 소거가 $\begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&2 \end{bmatrix}x = \begin{bmatrix} 5\\7 \end{bmatrix}$ 를 $\begin{bmatrix} 1&1 \\ 0&1 \end{bmatrix}x = \begin{bmatrix} 5\\2 \end{bmatrix}$ 로 바꾼다. 빈칸을 채워라.
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- **문제 1** (책 표시: 중요한 문제): 순방향 소거가 $\begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&2 \end{bmatrix}x = \begin{bmatrix} 5\\7 \end{bmatrix}$ 를 $\begin{bmatrix} 1&1 \\ 0&1 \end{bmatrix}x = \begin{bmatrix} 5\\2 \end{bmatrix}$ 로 바꾼다. 빈칸을 채워라.
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- $\ell_{21} = 1$ (2행에서 1행 × 1 을 뺌). 역대입 단계의 행렬은 $L = \begin{bmatrix} 1&0 \\ 1&1 \end{bmatrix}$.
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- $L$ 을 $Ux_1 = (5,2)$ 에 곱하면 원래 방정식 $Ax = (5,7)$ 을 되찾는다. 문자로: $Ux = c$ 에 $L$ 을 곱하면 $Ax = b$.
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- 💡 "$L$ 은 소거를 되돌리는 행렬"이라는 $A = LU$ 의 의미를 2×2 로 확인하는 문제.
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- **문제 7** (책 표시: 꼭 풀어볼 만한 문제) — 대칭행렬 $A = \begin{bmatrix} a&a&a&a \\ a&b&b&b \\ a&b&c&c \\ a&b&c&d \end{bmatrix}$ 의 $L, U$ 와 피벗 4개가 존재할 조건.
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- **문제 7** (책 표시: 꼭 풀어볼 만한 문제): 대칭행렬 $A = \begin{bmatrix} a&a&a&a \\ a&b&b&b \\ a&b&c&c \\ a&b&c&d \end{bmatrix}$ 의 $L, U$ 와 피벗 4개가 존재할 조건.
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- 소거하면 모든 승수가 1: $L = \begin{bmatrix} 1&&& \\ 1&1&& \\ 1&1&1& \\ 1&1&1&1 \end{bmatrix}$, $U = \begin{bmatrix} a&a&a&a \\ &b-a&b-a&b-a \\ &&c-b&c-b \\ &&&d-c \end{bmatrix}$.
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- 피벗은 $a, \ b-a, \ c-b, \ d-c$ → 4개의 조건: $a \neq 0$, $b \neq a$, $c \neq b$, $d \neq c$.
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- 💡 피벗이 "연속된 값의 차"로 나오는 아름다운 패턴. 대칭행렬의 소거가 얼마나 규칙적인지 보여준다.
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- **문제 10** — $L = \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 1&1&0 \\ 1&1&1 \end{bmatrix}$, $U = \begin{bmatrix} 1&1&1 \\ 0&1&1 \\ 0&0&1 \end{bmatrix}$, $b = (4,5,6)$. $Lc = b$ 에서 $c$, $Ux = c$ 에서 $x$ 를 구하라. $A$ 는?
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- **문제 10**: $L = \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 1&1&0 \\ 1&1&1 \end{bmatrix}$, $U = \begin{bmatrix} 1&1&1 \\ 0&1&1 \\ 0&0&1 \end{bmatrix}$, $b = (4,5,6)$. $Lc = b$ 에서 $c$, $Ux = c$ 에서 $x$ 를 구하라. $A$ 는?
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- $Lc = b$ 순방향: $c_1 = 4$, $c_1 + c_2 = 5 \Rightarrow c_2 = 1$, $c_1+c_2+c_3 = 6 \Rightarrow c_3 = 1$ → $c = (4,1,1)$.
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- $Ux = c$ 역방향: $x_3 = 1$, $x_2 = 0$, $x_1 = 3$ → $x = (3, 0, 1)$.
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- $A = LU = \begin{bmatrix} 1&1&1 \\ 1&2&2 \\ 1&2&3 \end{bmatrix}$ — 방금 한 것이 정확히 이 $A$ 에 대한 순방향 소거 + 역대입이다.
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- $A = LU = \begin{bmatrix} 1&1&1 \\ 1&2&2 \\ 1&2&3 \end{bmatrix}$, 방금 한 것이 정확히 이 $A$ 에 대한 순방향 소거 + 역대입이다.
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- 💡 $LU$ 풀이의 2단계 절차(①$Lc=b$ ②$Ux=c$)를 손에 익히는 표준 문제.
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- **문제 15** (책 표시: 쉽지만 중요한 문제) — $A$ 가 행 교환 없이 피벗 5, 9, 3을 가질 때, 왼쪽 상단 2×2 부분행렬 $A_2$ 의 피벗은?
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- $A_2$ 의 피벗은 **5, 9** — 앞의 두 피벗 그대로.
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- **문제 15** (책 표시: 쉽지만 중요한 문제): $A$ 가 행 교환 없이 피벗 5, 9, 3을 가질 때, 왼쪽 상단 2×2 부분행렬 $A_2$ 의 피벗은?
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- $A_2$ 의 피벗은 **5, 9**: 앞의 두 피벗 그대로.
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- 이유: $A$ 에 대한 소거는 왼쪽 상단 모서리에서 시작하므로, 처음 두 단계가 곧 $A_2$ 에 대한 소거다 ($A_k = L_k U_k$).
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- 💡 "모서리 부분행렬이 가역이어야 $A=LU$ 가 가능하다"는 본문 조건의 이유를 그대로 체험하는 문제.
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@ -4,13 +4,13 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- **이 절의 요지**: ① 치환행렬 $P$ 는 $I$ 의 행들을 재배열한 것이고 $P^{\mathrm{T}} = P^{-1}$. ② 전치행렬 $A^{\mathrm{T}}$ 는 행과 열을 뒤집으며 $(Ax)^{\mathrm{T}}y = x^{\mathrm{T}}(A^{\mathrm{T}}y)$ 가 본질적 정의. ③ 대칭행렬 $S = S^{\mathrm{T}}$, 그리고 $A^{\mathrm{T}}A$ 는 항상 대칭.
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- **치환행렬 (permutation matrix)** $P$ **의 정확한 형태** 🧩
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- **모든 행에 1이 하나만 있고, 모든 열에도 1이 하나만 있다. 그 외의 모든 성분은 0.** ($I$ 의 행들을 순서만 바꾼 것.)
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- 📌 원문 — 정의 (p.105): ((6a635c61-9ba1-4d93-afe4-1ae41d602a26))
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- **만드는 법**: 원하는 행 순서대로 $I$ 의 행을 재배열한다. 예 — $x = (x_1, x_2, x_3)$ 을 $(x_3, x_1, x_2)$ 로 바꾸고 싶으면, 1행에는 "$x_3$ 을 뽑는" $[0 \ 0 \ 1]$, 2행에는 $[1\ 0\ 0]$, 3행에는 $[0\ 1\ 0]$:
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- 📌 원문 (정의, p.105): ((6a635c61-9ba1-4d93-afe4-1ae41d602a26))
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- **만드는 법**: 원하는 행 순서대로 $I$ 의 행을 재배열한다. 예, $x = (x_1, x_2, x_3)$ 을 $(x_3, x_1, x_2)$ 로 바꾸고 싶으면, 1행에는 "$x_3$ 을 뽑는" $[0 \ 0 \ 1]$, 2행에는 $[1\ 0\ 0]$, 3행에는 $[0\ 1\ 0]$:
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- $$P = \begin{bmatrix} 0&0&1 \\ 1&0&0 \\ 0&1&0 \end{bmatrix}, \qquad Px = \begin{bmatrix} x_3 \\ x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$$
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- 💡 읽는 법: $P$ 의 $i$ 행에서 1이 $j$ 열에 있으면 "결과의 $i$ 번째 성분 = 원래의 $j$ 번째 성분" ($x_j$ 가 $i$ 번째 자리로 이동).
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- 크기 $n$ 인 치환행렬은 (행 교환이 없는 $P = I$ 를 포함해) 모두 $n!$ 개다. 크기 3이면 $3! = 6$ 개, 크기 4면 24개.
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- **치환행렬의 성질** (p.106)
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- 📌 원문 — 성질 ❶~❹ (p.106): [🔗 PDF 위치](((6a635cbe-f6ee-4b77-9981-8d8ef4b101aa)))
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- 📌 원문 (성질 ❶~❹, p.106): [🔗 PDF 위치](((6a635cbe-f6ee-4b77-9981-8d8ef4b101aa)))
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- ❶ $n$ 개의 1이 서로 다른 행과 서로 다른 열에 나타난다.
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- ❷ $P$ 의 열들은 서로 **직교**한다 (열 사이 내적 = 0).
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@ -20,67 +20,67 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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id:: 6a654a5b-bb58-413b-9d6e-400597cbbdae
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extra:: 즉 $P^{\mathrm{T}}P = I$.
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- 💡 이유: $P^{\mathrm{T}}P$ 의 $(i,j)$ 성분 = ($P$ 의 $i$ 열)·($P$ 의 $j$ 열). 열들이 서로 직교하고 각 열의 길이가 1이므로 대각선만 1, 나머지 0.
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- **짝수 치환행렬 / 홀수 치환행렬**: $n!$ 개 중 절반은 짝수, 절반은 홀수 — $I$ 에 도달하는 데 필요한 행 교환 횟수의 홀짝.
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- 📌 원문 — 홀수 치환행렬 (p.106): ((6a635c9c-b2e7-455e-bb1d-347b3cf085bb))
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- 📌 원문 — 짝수 치환행렬 (p.106): ((6a635ca5-bdb6-4051-9bf7-a45e90b4ebf0))
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- **짝수 치환행렬 / 홀수 치환행렬**: $n!$ 개 중 절반은 짝수, 절반은 홀수, $I$ 에 도달하는 데 필요한 행 교환 횟수의 홀짝.
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- 📌 원문 (홀수 치환행렬, p.106): ((6a635c9c-b2e7-455e-bb1d-347b3cf085bb))
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- 📌 원문 (짝수 치환행렬, p.106): ((6a635ca5-bdb6-4051-9bf7-a45e90b4ebf0))
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- 예: 단순 행 교환 1번 = 홀수. (1↔4, 2↔3) 두 번 교환 = 짝수.
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- $PA = LU$ **분해 —** $P$ **를 이용한 행 교환** (p.106~107)
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- $PA = LU$ **분해:** $P$ **를 이용한 행 교환** (p.106~107)
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- 피벗 자리에 0이 나타나면 행 교환 후 소거를 계속한다. 필요한 모든 행 교환을 모아 **미리** 적용한 것이 $PA = LU$.
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- 예 (p.107): 2행↔3행을 먼저 바꾸면 $PA$ 는 피벗 0을 만나지 않고 곧장 $LU$ 로 분해된다.
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- 💡 원래 행렬에 열 $(1,2,3)$ 을 추가로 붙여두면 행 교환이 어떻게 일어났는지 추적된다 (다니엘 드러커의 방법) — 마지막에 그 열을 읽으면 $P$ 를 알 수 있다.
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- **부분피벗** (partial pivoting) — 반올림 오류를 줄이는 실전 기법
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- 💡 원래 행렬에 열 $(1,2,3)$ 을 추가로 붙여두면 행 교환이 어떻게 일어났는지 추적된다 (다니엘 드러커의 방법): 마지막에 그 열을 읽으면 $P$ 를 알 수 있다.
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- **부분피벗** (partial pivoting): 반올림 오류를 줄이는 실전 기법
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- 배경: 컴퓨터는 수를 **유한한 유효숫자**(부동소수점, 보통 약 16자리)로 저장한다. 연산할 때마다 결과가 반올림되므로 매 단계 작은 오차가 생기고, 문제는 소거 과정이 이 오차를 **증폭시킬 수 있다**는 것이다.
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- **왜 작은 피벗이 위험한가 — 논리 사슬**:
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- **왜 작은 피벗이 위험한가, 논리 사슬**:
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- ① 소거에서 실제로 곱해지는 수는 피벗이 아니라 **승수** $\ell = \dfrac{\text{지울 성분}}{\text{피벗}}$ 이다. **피벗이 분모**이므로, 피벗이 {{c1 작을수록}} $\ell$ 은 커진다 (피벗 $0.0001$ → $\ell = 10000$ 같은 식).
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id:: 6a654cf6-cfe4-48fa-bf98-10b218091981
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② 행 갱신은 (아래 행) − $\ell$ × (피벗 행) 이다. $\ell$ 이 거대하면 빼는 쪽 $\ell \times$(피벗 행)이 원래 행보다 수만 배 커진다 → 뺄셈 결과에서 {{c1 **원래 행이 갖고 있던 정보**}}**가 큰 수의 반올림 자릿수 아래로 쓸려 내려가 사라진다** (자릿수 소실).
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③ 게다가 피벗 행에 이미 있던 작은 {{c1 반올림 오차}} 도 $\ell$ **배로 곱해져 증폭**된다. $\ell = 10^4$ 이면 오차도 $10^4$ 배.
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요약: 작은 피벗 → 큰 승수 → 큰 수끼리의 뺄셈 → 정보 소실 + 오차 증폭.
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- **파국의 수치 예** — 유효숫자 3자리 컴퓨터를 가정하고 다음을 풀어보자 (참해는 $x \approx 1.0001$, $y \approx 0.9999$):
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- **파국의 수치 예**: 유효숫자 3자리 컴퓨터를 가정하고 다음을 풀어보자 (참해는 $x \approx 1.0001$, $y \approx 0.9999$):
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- $$0.0001x + y = 1 \qquad x + y = 2$$
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- **교환 없이** (피벗 $0.0001$): $\ell = \dfrac{1}{0.0001} = 10000$. 2행 갱신: $y$ 계수는 $1 - 10000 = -9999$, 우변은 $2 - 10000 = -9998$ — 그런데 3자리 컴퓨터는 둘 다 $-1.00 \times 10^4$ 로 반올림한다 ("$1$"과 "$2$"라는 정보가 통째로 소실!). 그러면 $y = 1.00$, 역대입에서 $0.0001x = 1 - 1.00 = 0$ → $x = 0$. **참값** $x \approx 1$ **인데** $0$ **이 나왔다 — 100% 오답.**
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- **교환 없이** (피벗 $0.0001$): $\ell = \dfrac{1}{0.0001} = 10000$. 2행 갱신: $y$ 계수는 $1 - 10000 = -9999$, 우변은 $2 - 10000 = -9998$, 그런데 3자리 컴퓨터는 둘 다 $-1.00 \times 10^4$ 로 반올림한다 ("$1$"과 "$2$"라는 정보가 통째로 소실!). 그러면 $y = 1.00$, 역대입에서 $0.0001x = 1 - 1.00 = 0$ → $x = 0$. **참값** $x \approx 1$ **인데** $0$ **이 나왔다. 100% 오답.**
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- **행 교환 후** (피벗 $1$): $x + y = 2$ 를 위로. $\ell = \dfrac{0.0001}{1} = 0.0001$. 1행 갱신: $(1 - 0.0001)y = 1 - 0.0002$ → 3자리로 $1.00\,y = 1.00$ → $y = 1.00$, $x = 2 - 1.00 = 1.00$. **3자리 정밀도 안에서 정확하다.**
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- 💡 행렬은 특이행렬 근처도 아니고 문제 자체는 멀쩡하다 — 순전히 **피벗 선택** 때문에 결과가 0점과 100점으로 갈렸다.
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- 💡 행렬은 특이행렬 근처도 아니고 문제 자체는 멀쩡하다. 순전히 **피벗 선택** 때문에 결과가 0점과 100점으로 갈렸다.
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- **왜 "가장 큰 수"를 피벗으로 고르면 해결되는가**:
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- 같은 열에서 절댓값이 가장 큰 수를 피벗으로 올리면, 모든 승수가 $\ell = \dfrac{\text{지울 성분}}{\text{피벗}}$ 에서 분자 ≤ 분모가 되어 **항상** $|\ell| \le$ {{c1 **1**}} 이 보장된다.
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extra:: $|\ell| \le 1$ 이면: 곱해서 빼는 양이 원래 행과 비슷한 크기 → 자릿수 소실이 없고, 기존 오차도 곱셈으로 **커지지 않는다** (1 이하를 곱하면 같거나 작아질 뿐)
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id:: 6a654cf6-2263-49c4-ad33-b52306fe67ad
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- 📌 원문 (p.107): ((6a635d42-c493-49c3-be5e-3a661e755e22))
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- **"** $L$ **의 성분이 1 이하"의 뜻** — 어려운 말이 아니다:
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- **"** $L$ **의 성분이 1 이하"의 뜻**: 어려운 말이 아니다:
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- [[2.3 행렬 계산과 A = LU]]에서 봤듯 $L$ 의 주대각선 아래 성분들은 **정확히 승수** $\ell_{ij}$ **들**이다. 그러니 "부분피벗을 하면 $L$ 의 모든 성분이 1 이하"라는 문장은 = "**모든 단계의 승수가** $|\ell| \le 1$"의 다른 표현일 뿐이다.
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- 📌 원문 (p.107): ((6a635d3f-54ac-451b-9c25-98e20dfdc20f))
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- 즉 완성된 $L$ 을 보면 그 소거가 수치적으로 안전했는지 한눈에 보인다 — 성분이 전부 1 이하면 오차를 증폭시킨 단계가 하나도 없었다는 증거다.
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- ⚠️ 수학적으로는 0만 아니면 피벗이 될 수 있지만, 컴퓨터에서는 **크기**가 중요하다 — "필요한 교환"(피벗이 0일 때, 수학적 필수)과 "안전을 위한 교환"(피벗이 작을 때, 수치적 선택)을 구분할 것. 부분피벗은 후자다.
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- $PAQ$ **— 행 치환과 열 치환**: 왼쪽 곱 $PA$ 는 **행** 순서를, 오른쪽 곱 $AQ$ 는 **열** 순서를 바꾼다. 행 6가지 × 열 6가지 = 3×3 행렬 하나에 36개의 서로 다른 $PAQ$.
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- 즉 완성된 $L$ 을 보면 그 소거가 수치적으로 안전했는지 한눈에 보인다. 성분이 전부 1 이하면 오차를 증폭시킨 단계가 하나도 없었다는 증거다.
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- ⚠️ 수학적으로는 0만 아니면 피벗이 될 수 있지만, 컴퓨터에서는 **크기**가 중요하다. "필요한 교환"(피벗이 0일 때, 수학적 필수)과 "안전을 위한 교환"(피벗이 작을 때, 수치적 선택)을 구분할 것. 부분피벗은 후자다.
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- $PAQ$ **(행 치환과 열 치환)**: 왼쪽 곱 $PA$ 는 **행** 순서를, 오른쪽 곱 $AQ$ 는 **열** 순서를 바꾼다. 행 6가지 × 열 6가지 = 3×3 행렬 하나에 36개의 서로 다른 $PAQ$.
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- **전치행렬 (transpose)** $A^{\mathrm{T}}$ **의 정확한 형태** 🧩
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- $A^{\mathrm{T}}$ 의 열은 $A$ 의 행이다. $A$ 가 $m \times n$ 이면 $A^{\mathrm{T}}$ 는 $n \times m$.
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- 📌 원문 (p.108): ((6a635d89-a3ba-4fb3-b75d-e81aa4884eac))
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- 성분으로: $A^{\mathrm{T}}$ **의** $i$ **행** $j$ **열 성분 =** $A$ **의** $j$ **행** $i$ **열 성분** — 주대각선을 기준으로 뒤집기.
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- 📌 원문 — 정의 박스 (p.108): [🔗 PDF 위치](((6a635d90-88e5-4c32-9175-28492d607007)))
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- 성분으로: $A^{\mathrm{T}}$ **의** $i$ **행** $j$ **열 성분 =** $A$ **의** $j$ **행** $i$ **열 성분**: 주대각선을 기준으로 뒤집기.
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- 📌 원문 (정의 박스, p.108): [🔗 PDF 위치](((6a635d90-88e5-4c32-9175-28492d607007)))
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- $$(A^{\mathrm{T}})_{ij} = A_{ji} \qquad \text{예: } A = \begin{bmatrix} 1&2&3 \\ 0&0&4 \end{bmatrix} \Rightarrow A^{\mathrm{T}} = \begin{bmatrix} 1&0 \\ 2&0 \\ 3&4 \end{bmatrix}$$
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- 하삼각행렬의 전치는 상삼각행렬. $(A^{\mathrm{T}})^{\mathrm{T}} = A$.
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- **전치의 3가지 규칙** (p.109)
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- 📌 원문 — 식 (3)(4)(5) (p.109): [🔗 PDF 위치](((6a635dad-c297-4f30-a0ba-d41192ce03fa)))
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- 📌 원문 (식 (3)(4)(5), p.109): [🔗 PDF 위치](((6a635dad-c297-4f30-a0ba-d41192ce03fa)))
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- $$(A+B)^{\mathrm{T}} = A^{\mathrm{T}} + B^{\mathrm{T}}, \qquad (AB)^{\mathrm{T}} = B^{\mathrm{T}}A^{\mathrm{T}}, \qquad (A^{-1})^{\mathrm{T}} = (A^{\mathrm{T}})^{-1}$$
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- ⚠️ 곱의 전치는 **역순** — 역행렬의 $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ 와 같은 패턴. 3개 이상도 $(ABC)^{\mathrm{T}} = C^{\mathrm{T}}B^{\mathrm{T}}A^{\mathrm{T}}$.
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- $(AB)^{\mathrm{T}} = B^{\mathrm{T}}A^{\mathrm{T}}$ 이해의 출발점: $(Ax)^{\mathrm{T}} = x^{\mathrm{T}}A^{\mathrm{T}}$ — "$Ax$ 는 $A$ 의 열들의 선형결합, $x^{\mathrm{T}}A^{\mathrm{T}}$ 는 $A^{\mathrm{T}}$ 의 행들의 (같은) 선형결합".
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- ⚠️ 곱의 전치는 **역순**: 역행렬의 $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ 와 같은 패턴. 3개 이상도 $(ABC)^{\mathrm{T}} = C^{\mathrm{T}}B^{\mathrm{T}}A^{\mathrm{T}}$.
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- $(AB)^{\mathrm{T}} = B^{\mathrm{T}}A^{\mathrm{T}}$ 이해의 출발점: $(Ax)^{\mathrm{T}} = x^{\mathrm{T}}A^{\mathrm{T}}$, "$Ax$ 는 $A$ 의 열들의 선형결합, $x^{\mathrm{T}}A^{\mathrm{T}}$ 는 $A^{\mathrm{T}}$ 의 행들의 (같은) 선형결합".
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- $A$ 가 가역이면 $A^{\mathrm{T}}$ 도 가역이다 (규칙 (5)).
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- **내적과 외적 — 전치 기호로 다시 쓰기** (p.110)
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- **내적과 외적, 전치 기호로 다시 쓰기** (p.110)
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- 📌 원문 (p.110): [🔗 PDF 위치](((6a635dea-ea45-4d62-b884-add6072fc4c4)))
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- **내적** $x^{\mathrm{T}}y$: $(1\times n)(n \times 1) = 1 \times 1$ — 수.
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- **외적** $xy^{\mathrm{T}}$: $(n\times 1)(1 \times n) = n \times n$ — 행렬 (랭크 1).
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- **내적** $x^{\mathrm{T}}y$: $(1\times n)(n \times 1) = 1 \times 1$, 수.
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- **외적** $xy^{\mathrm{T}}$: $(n\times 1)(1 \times n) = n \times n$, 행렬 (랭크 1).
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- 응용 예: (일) = 거리와 힘의 내적 $x^{\mathrm{T}}f$, (소모 전력) = 전압강하와 전류의 내적 $e^{\mathrm{T}}y$, (매출) = 수량과 가격의 내적 $q^{\mathrm{T}}p$.
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- **전치의 더 나은 (본질적) 정의**: $A^{\mathrm{T}}$ 는 다음 두 내적을 같게 만드는 행렬이다.
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- $$(Ax)^{\mathrm{T}}y = x^{\mathrm{T}}(A^{\mathrm{T}}y) \qquad (Ax \text{ 와 } y \text{ 의 내적}) = (x \text{ 와 } A^{\mathrm{T}}y \text{ 의 내적})$$
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- 💡 "주대각선 기준 뒤집기"는 계산 규칙일 뿐이고, 이 내적 등식이 $A^{\mathrm{T}}$ 의 수학적 존재 이유다. (p.111 EX2: 미분 $A = \frac{d}{dt}$ 의 전치가 $-\frac{d}{dt}$ 가 되는 부분적분 — [[2.5 미분과 유한차분행렬]]의 반대칭행렬과 연결.)
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- 💡 "주대각선 기준 뒤집기"는 계산 규칙일 뿐이고, 이 내적 등식이 $A^{\mathrm{T}}$ 의 수학적 존재 이유다. (p.111 EX2: 미분 $A = \frac{d}{dt}$ 의 전치가 $-\frac{d}{dt}$ 가 되는 부분적분, [[2.5 미분과 유한차분행렬]]의 반대칭행렬과 연결.)
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- **대칭행렬 (symmetric matrix)** $S$ (p.112)
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- 이 책에서는 대칭행렬을 $S$ 로 표기한다.
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- 📌 원문 (p.112): ((6a635e16-6b69-4f07-bce9-1a981454cfa1))
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- **대칭행렬은** $S^{\mathrm{T}} = S$ **를 만족한다** — 모든 $i, j$ 에 대해 $s_{ji} = s_{ij}$.
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- 📌 원문 — 정의 (p.112): [🔗 PDF 위치](((6a635e1e-2987-4a0d-a55d-b9a350118393)))
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- **대칭행렬은** $S^{\mathrm{T}} = S$ **를 만족한다**: 모든 $i, j$ 에 대해 $s_{ji} = s_{ij}$.
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- 📌 원문 (정의, p.112): [🔗 PDF 위치](((6a635e1e-2987-4a0d-a55d-b9a350118393)))
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- **대칭행렬의 역행렬은 대칭행렬이다**: $(S^{-1})^{\mathrm{T}} = (S^{\mathrm{T}})^{-1} = S^{-1}$.
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- 📌 원문 (p.112): ((6a635e27-6d8a-4134-8b04-8a987d5b6d32))
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@ -102,30 +102,30 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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id:: 6a654a5b-f148-4864-b12f-58c4a02afd67
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- 둘 다 **역순**: $(AB)^{\mathrm{T}} = B^{\mathrm{T}}A^{\mathrm{T}}$, $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$.
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- "주대각선 뒤집기"보다 본질적인 $A^{\mathrm{T}}$ 의 정의는 무엇인가?
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- 모든 $x, y$ 에 대해 $(Ax)^{\mathrm{T}}y = x^{\mathrm{T}}(A^{\mathrm{T}}y)$ — "$Ax$ 와 $y$ 의 내적 = $x$ 와 $A^{\mathrm{T}}y$ 의 내적"을 성립시키는 행렬.
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- 모든 $x, y$ 에 대해 $(Ax)^{\mathrm{T}}y = x^{\mathrm{T}}(A^{\mathrm{T}}y)$, "$Ax$ 와 $y$ 의 내적 = $x$ 와 $A^{\mathrm{T}}y$ 의 내적"을 성립시키는 행렬.
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- 아무 직사각행렬 $A$ 에서 대칭행렬을 만드는 두 가지 곱은? 둘은 같은가?
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- $A^{\mathrm{T}}A$ 와 $AA^{\mathrm{T}}$. 둘 다 대칭이지만 크기($n\times n$ vs $m\times m$)부터 다른, 일반적으로 서로 다른 행렬이다.
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- 부분피벗은 왜 하는가? 수학적으로 꼭 필요한 행 교환과 어떻게 다른가?
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- 반올림 오류를 줄이기 위해 같은 열의 가장 큰 수를 피벗으로 선택하는 것 (승수가 전부 1 이하가 됨). 피벗이 0일 때 하는 "필요한" 교환과 달리, 0이 아니어도 **수치 안정성**을 위해 한다.
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- ### ✏️ 연습문제 풀이 (솔루션 참고)
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- **문제 1** — $A = \begin{bmatrix} 1&0 \\ 9&3 \end{bmatrix}$ 과 $A = \begin{bmatrix} 1&c \\ c&0 \end{bmatrix}$ 에 대해 $A^{\mathrm{T}}, A^{-1}, (A^{-1})^{\mathrm{T}}, (A^{\mathrm{T}})^{-1}$ 를 구하라.
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- **문제 1**: $A = \begin{bmatrix} 1&0 \\ 9&3 \end{bmatrix}$ 과 $A = \begin{bmatrix} 1&c \\ c&0 \end{bmatrix}$ 에 대해 $A^{\mathrm{T}}, A^{-1}, (A^{-1})^{\mathrm{T}}, (A^{\mathrm{T}})^{-1}$ 를 구하라.
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- 첫 번째: $A^{\mathrm{T}} = \begin{bmatrix} 1&9 \\ 0&3 \end{bmatrix}$, $A^{-1} = \begin{bmatrix} 1&0 \\ -3&1/3 \end{bmatrix}$, $(A^{-1})^{\mathrm{T}} = (A^{\mathrm{T}})^{-1} = \begin{bmatrix} 1&-3 \\ 0&1/3 \end{bmatrix}$.
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- 두 번째: $A^{\mathrm{T}} = A$ (대칭!), $A^{-1} = \dfrac{1}{c^2}\begin{bmatrix} 0&c \\ c&-1 \end{bmatrix} = (A^{-1})^{\mathrm{T}}$ — 대칭행렬의 역행렬은 역시 대칭.
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- 두 번째: $A^{\mathrm{T}} = A$ (대칭!), $A^{-1} = \dfrac{1}{c^2}\begin{bmatrix} 0&c \\ c&-1 \end{bmatrix} = (A^{-1})^{\mathrm{T}}$, 대칭행렬의 역행렬은 역시 대칭.
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- 💡 규칙 $(A^{-1})^{\mathrm{T}} = (A^{\mathrm{T}})^{-1}$ 을 손 계산으로 확인하는 기본기 문제.
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- **문제 9** — $P_1 P_2$ 도 치환행렬이다. $P_1P_2 \neq P_2P_1$ 인 예와 $P_3P_4 = P_4P_3$ 인 예를 제시하라.
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- **문제 9**: $P_1 P_2$ 도 치환행렬이다. $P_1P_2 \neq P_2P_1$ 인 예와 $P_3P_4 = P_4P_3$ 인 예를 제시하라.
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- 비가환 예: $P_1 = \begin{bmatrix} 0&1&0 \\ 0&0&1 \\ 1&0&0 \end{bmatrix}$ 류의 순환과 단순 교환을 곱하면 순서에 따라 결과가 다르다 (솔루션: $P_1P_2 = \begin{bmatrix} 0&0&1 \\ 0&1&0 \\ 1&0&0 \end{bmatrix} \neq P_2P_1$).
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- 가환 예: $P_3, P_4$ 가 **서로 다른 두 쌍의 행**을 교환하면 (예: 1↔2 교환과 3↔4 교환) 순서 무관 — $P_3P_4 = P_4P_3$.
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- 가환 예: $P_3, P_4$ 가 **서로 다른 두 쌍의 행**을 교환하면 (예: 1↔2 교환과 3↔4 교환) 순서 무관, $P_3P_4 = P_4P_3$.
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- 💡 행렬곱의 비가환성이 치환(순서 재배열)의 비가환성과 정확히 대응한다.
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- **문제 16** — $A = A^{\mathrm{T}}$, $B = B^{\mathrm{T}}$ 일 때 다음 중 대칭행렬은? (a) $A^2 - B^2$ (b) $(A+B)(A-B)$ (c) $ABA$ (d) $ABAB$
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- **문제 16**: $A = A^{\mathrm{T}}$, $B = B^{\mathrm{T}}$ 일 때 다음 중 대칭행렬은? (a) $A^2 - B^2$ (b) $(A+B)(A-B)$ (c) $ABA$ (d) $ABAB$
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- 대칭: **(a)** $(A^2-B^2)^{\mathrm{T}} = A^2 - B^2$ ✓, **(c)** $(ABA)^{\mathrm{T}} = A^{\mathrm{T}}B^{\mathrm{T}}A^{\mathrm{T}} = ABA$ ✓.
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- 비대칭 (일반적으로): (b) 전치하면 $(A-B)(A+B)$ 가 되는데 $AB \neq BA$ 이면 다르다. (d) 전치는 $BABA$.
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- ⚠️ 대칭행렬끼리의 곱 $AB$ 는 일반적으로 대칭이 **아니다** ($AB = BA$ 일 때만 대칭). 흔한 함정.
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- **문제 18** — 다음 대칭행렬을 $S = LDL^{\mathrm{T}}$ 로 분해하라: (a) $\begin{bmatrix} 1&3 \\ 3&2 \end{bmatrix}$ (b) $\begin{bmatrix} 1&b \\ b&c \end{bmatrix}$ (c) $\begin{bmatrix} 2&-1&0 \\ -1&2&-1 \\ 0&-1&2 \end{bmatrix}$
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- (a) $\begin{bmatrix} 1&3 \\ 3&2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&0 \\ 3&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&-7 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&3 \\ 0&1 \end{bmatrix}$ — 피벗 1, $-7$.
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- **문제 18**: 다음 대칭행렬을 $S = LDL^{\mathrm{T}}$ 로 분해하라: (a) $\begin{bmatrix} 1&3 \\ 3&2 \end{bmatrix}$ (b) $\begin{bmatrix} 1&b \\ b&c \end{bmatrix}$ (c) $\begin{bmatrix} 2&-1&0 \\ -1&2&-1 \\ 0&-1&2 \end{bmatrix}$
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- (a) $\begin{bmatrix} 1&3 \\ 3&2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&0 \\ 3&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&-7 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&3 \\ 0&1 \end{bmatrix}$, 피벗 1, $-7$.
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- (b) 피벗은 $1$ 과 $c - b^2$: $L = \begin{bmatrix} 1&0 \\ b&1 \end{bmatrix}$, $D = \begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&c-b^2 \end{bmatrix}$.
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- (c) $L = \begin{bmatrix} 1&& \\ -\frac{1}{2}&1& \\ 0&-\frac{2}{3}&1 \end{bmatrix}$, $D = \begin{bmatrix} 2&& \\ &\frac{3}{2}& \\ &&\frac{4}{3} \end{bmatrix}$ — 이 행렬은 [[2.5 미분과 유한차분행렬]]의 $K_3$! 피벗 $2, \frac{3}{2}, \frac{4}{3}$ 이 모두 양수다.
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- 💡 (c)의 피벗 패턴 $\frac{k+1}{k}$ 은 $K_n$ 의 유명한 성질 — 2.5절의 "K는 양의 정부호" 와 연결.
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- **문제 19** — 다음 $A$ 의 $PA = LU$ 분해를 구하라: (a) $A = \begin{bmatrix} 0&1&1 \\ 1&0&1 \\ 2&3&4 \end{bmatrix}$ (b) $A = \begin{bmatrix} 1&2&0 \\ 2&4&1 \\ 1&1&1 \end{bmatrix}$
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- (c) $L = \begin{bmatrix} 1&& \\ -\frac{1}{2}&1& \\ 0&-\frac{2}{3}&1 \end{bmatrix}$, $D = \begin{bmatrix} 2&& \\ &\frac{3}{2}& \\ &&\frac{4}{3} \end{bmatrix}$, 이 행렬은 [[2.5 미분과 유한차분행렬]]의 $K_3$! 피벗 $2, \frac{3}{2}, \frac{4}{3}$ 이 모두 양수다.
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- 💡 (c)의 피벗 패턴 $\frac{k+1}{k}$ 은 $K_n$ 의 유명한 성질, 2.5절의 "K는 양의 정부호" 와 연결.
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- **문제 19**: 다음 $A$ 의 $PA = LU$ 분해를 구하라: (a) $A = \begin{bmatrix} 0&1&1 \\ 1&0&1 \\ 2&3&4 \end{bmatrix}$ (b) $A = \begin{bmatrix} 1&2&0 \\ 2&4&1 \\ 1&1&1 \end{bmatrix}$
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- (a) 첫 피벗 자리가 0 → 1행↔2행 교환: $P = \begin{bmatrix} 0&1&0 \\ 1&0&0 \\ 0&0&1 \end{bmatrix}$. 그러면 $PA = \begin{bmatrix} 1&0&1 \\ 0&1&1 \\ 2&3&4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&& \\ 0&1& \\ 2&3&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&0&1 \\ 0&1&1 \\ 0&0&-1 \end{bmatrix}$.
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- (b) 소거 중 두 번째 피벗 자리가 0이 됨 → 2행↔3행 교환: $P = \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 0&0&1 \\ 0&1&0 \end{bmatrix}$, $PA = \begin{bmatrix} 1&2&0 \\ 1&1&1 \\ 2&4&1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&& \\ 1&1& \\ 2&0&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&2&0 \\ 0&-1&1 \\ 0&0&1 \end{bmatrix}$.
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- 💡 (a)는 "시작부터 교환 필요", (b)는 "진행 중에 교환 필요" — 두 상황 모두 $P$ 하나로 미리 처리된다는 것이 $PA = LU$ 의 요점.
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- 💡 (a)는 "시작부터 교환 필요", (b)는 "진행 중에 교환 필요". 두 상황 모두 $P$ 하나로 미리 처리된다는 것이 $PA = LU$ 의 요점.
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deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- ### 핵심 개념
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- **이 절의 큰 그림 — 딱 한 문장이다**: 컴퓨터는 미분(극한)을 실행할 수 없으니, **미분을 "빼기"(차분)로 바꾼다.** 그러면 미분방정식이 우리가 이미 풀 줄 아는 연립방정식 $KU = F$ 가 되고, 2장의 소거법으로 푼다.
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- 💡 이 절이 어렵게 느껴지는 이유: 미적분과 선형대수가 동시에 나오기 때문. 그런데 실제로 필요한 미적분은 딱 두 개뿐이다 — ① 미분 = 기울기, ② 2계도함수 = 휘어짐. 이 두 개만 들고 가면 끝까지 갈 수 있다.
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- **이 절의 큰 그림, 딱 한 문장이다**: 컴퓨터는 미분(극한)을 실행할 수 없으니, **미분을 "빼기"(차분)로 바꾼다.** 그러면 미분방정식이 우리가 이미 풀 줄 아는 연립방정식 $KU = F$ 가 되고, 2장의 소거법으로 푼다.
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- 💡 이 절이 어렵게 느껴지는 이유: 미적분과 선형대수가 동시에 나오기 때문. 그런데 실제로 필요한 미적분은 딱 두 개뿐이다. ① 미분 = 기울기, ② 2계도함수 = 휘어짐. 이 두 개만 들고 가면 끝까지 갈 수 있다.
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- 전체 4단계 흐름 지도 (아래 정리가 이 순서 그대로 간다):
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- **[1단계]** 미분을 **차분**(두 점의 빼기)으로 근사한다 — 전진 / 후진 / 중심 3가지.
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- **[1단계]** 미분을 **차분**(두 점의 빼기)으로 근사한다. 전진 / 후진 / 중심 3가지.
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- **[2단계]** 차분을 한 번 더 차분하면 2계도함수가 되고, 여기서 $1, -2, 1$ 패턴이 태어난다.
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- **[3단계]** 구간을 격자로 자르고 격자점마다 방정식을 하나씩 세우면 → 행렬 $K$ 가 나타나고, 미분방정식이 $\frac{1}{h^2}KU = F$ 가 된다. 실제로 하나 풀어본다.
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- **[4단계]** 경계(양 끝)를 고정하느냐 풀어주느냐에 따라 행렬이 $K, T, B$ 세 가지로 갈린다.
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- **[1단계] 미분 대신 차분 — 왜, 그리고 어떻게**
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- 미분의 정의를 다시 보자: $\dfrac{dy}{dx} = \lim_{h \to 0} \dfrac{y(x+h) - y(x)}{h}$. 컴퓨터는 $h \to 0$ 이라는 **극한을 실행할 수 없다.** 그래서 타협한다 — $h$ **를 0으로 보내지 말고, 작은 수(예: 0.1)로 그냥 두자.** 극한 기호를 떼어낸 이 나눗셈이 **차분** (difference)이다.
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- **[1단계] 미분 대신 차분: 왜, 그리고 어떻게**
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- 미분의 정의를 다시 보자: $\dfrac{dy}{dx} = \lim_{h \to 0} \dfrac{y(x+h) - y(x)}{h}$. 컴퓨터는 $h \to 0$ 이라는 **극한을 실행할 수 없다.** 그래서 타협한다. $h$ **를 0으로 보내지 말고, 작은 수(예: 0.1)로 그냥 두자.** 극한 기호를 떼어낸 이 나눗셈이 **차분** (difference)이다.
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- 그런데 "두 점을 골라 기울기를 재는" 방법이 3가지 있다:
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- **전진차분** (forward) — 오른쪽 점을 쓴다: $\dfrac{y(x+h) - y(x)}{h}$
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- **후진차분** (backward) — 왼쪽 점을 쓴다: $\dfrac{y(x) - y(x-h)}{h}$
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- **중심차분** (centered) — 양옆 두 점끼리 뺀다: $\dfrac{y(x+h) - y(x-h)}{2h}$
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- ⚠️ 분모 주의: 중심차분만 분모가 $2h$ 다 — 사용한 두 점 $x-h$ 와 $x+h$ 사이의 거리가 $2h$ 이기 때문.
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- 🔢 **숫자로 직접 재보기** — $y = x^2$, $x = 1$ (참값 $y'(1) = 2$), $h = 0.1$:
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- **전진차분** (forward): 오른쪽 점을 쓴다: $\dfrac{y(x+h) - y(x)}{h}$
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- **후진차분** (backward): 왼쪽 점을 쓴다: $\dfrac{y(x) - y(x-h)}{h}$
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- **중심차분** (centered): 양옆 두 점끼리 뺀다: $\dfrac{y(x+h) - y(x-h)}{2h}$
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- ⚠️ 분모 주의: 중심차분만 분모가 $2h$ 다. 사용한 두 점 $x-h$ 와 $x+h$ 사이의 거리가 $2h$ 이기 때문.
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- 🔢 **숫자로 직접 재보기**: $y = x^2$, $x = 1$ (참값 $y'(1) = 2$), $h = 0.1$:
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- 전진: $\dfrac{1.1^2 - 1^2}{0.1} = \dfrac{0.21}{0.1} = 2.1$ → 오차 $+0.1$
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- 후진: $\dfrac{1^2 - 0.9^2}{0.1} = \dfrac{0.19}{0.1} = 1.9$ → 오차 $-0.1$
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- 중심: $\dfrac{1.1^2 - 0.9^2}{0.2} = \dfrac{0.4}{0.2} = 2.0$ → **오차 0!**
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- 💡 보이는가? 전진은 $+0.1$, 후진은 $-0.1$ — **정확히 반대 방향으로 같은 크기만큼 틀렸다.** 중심차분은 이 둘의 평균이므로 오차가 서로 지워진다. 중심차분이 좋은 이유는 이게 전부다.
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- 💡 보이는가? 전진은 $+0.1$, 후진은 $-0.1$, **정확히 반대 방향으로 같은 크기만큼 틀렸다.** 중심차분은 이 둘의 평균이므로 오차가 서로 지워진다. 중심차분이 좋은 이유는 이게 전부다.
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- 그림: 전진(파랑)은 너무 가파르고 후진(주황)은 너무 완만한데, 둘을 평균한 중심(초록)은 접선(검정 점선)과 **평행**하다.
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- **오차에 등급 매기기 — 테일러 급수는 "오차 측정기"다**
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- **오차에 등급 매기기, 테일러 급수는 "오차 측정기"다**
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- 위의 "오차 ±0.1"이 우연이 아님을 보장해 주는 도구가 **테일러 급수** (Taylor series)다. 함수를 $x$ 근처에서 전개하면:
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- $$y(x+h) = y(x) + h\,y'(x) + \frac{1}{2}h^2 y''(x) + \frac{1}{6}h^3 y'''(x) + \cdots$$
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- (일반항은 $\frac{h^n}{n!}\,y^{(n)}(x)$. 책 p.118의 "차분에 관한 3가지 사실"이 이 전개의 앞부분이다: ❶ $\Delta y \approx h\,y'$, ❷ 더 정밀하게 $\Delta y \approx h\,y' + \frac{1}{2}h^2 y''$, ❸ 정확하게는 $\Delta y = \int_x^{x+h} y'\,dx$.)
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@ -30,88 +30,88 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- 전진차분 $= y' + \frac{1}{2}h\,y'' + \cdots$ → 오차가 $h$ 에 비례 = **1차 정확도**
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- 후진차분 $= y' - \frac{1}{2}h\,y'' + \cdots$ → 역시 **1차 정확도** (부호만 반대)
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- 중심차분 $= y' + \frac{1}{6}h^2 y''' + \cdots$ → $\frac{1}{2}h\,y''$ 항이 좌우 대칭으로 **상쇄** = **2차 정확도**
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- 💡 1차 vs 2차의 실감: $h$ 를 10배 줄이면 오차가 1차는 10배, 2차는 **100배** 줄어든다. $h = 0.01$ 이면 대략 1% vs 0.01% — 같은 계산량으로 100배 이득.
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- (테일러 급수 자체에 대한 참고: $y = e^x$ 는 어디서나 수렴하지만, $y = \frac{1}{1-x}$ 는 $|x| < 1$ 에서만 수렴한다 — $x = 1$ 이 **극점** (pole)이라는 특이점이라서.)
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- **[2단계] 2계도함수의 차분 —** $1, -2, 1$ **패턴의 탄생**
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- 💡 1차 vs 2차의 실감: $h$ 를 10배 줄이면 오차가 1차는 10배, 2차는 **100배** 줄어든다. $h = 0.01$ 이면 대략 1% vs 0.01%, 같은 계산량으로 100배 이득.
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- (테일러 급수 자체에 대한 참고: $y = e^x$ 는 어디서나 수렴하지만, $y = \frac{1}{1-x}$ 는 $|x| < 1$ 에서만 수렴한다. $x = 1$ 이 **극점** (pole)이라는 특이점이라서.)
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- **[2단계] 2계도함수의 차분:** $1, -2, 1$ **패턴의 탄생**
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- 2계도함수는 "기울기의 기울기"다. 그러니 **차분을 한 번 더 차분하면 된다**:
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- 오른쪽 구간의 기울기: $\dfrac{y(x+h) - y(x)}{h}$ / 왼쪽 구간의 기울기: $\dfrac{y(x) - y(x-h)}{h}$
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- (오른쪽 기울기 − 왼쪽 기울기) ÷ $h$ 를 계산하면:
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- $$\frac{d^2y}{dx^2} \approx \frac{y(x+h) - 2y(x) + y(x-h)}{h^2}$$
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- 분자의 계수 $1, -2, 1$ — **이 세 숫자가 이 절의 행렬** $K, T, B$ **전부의 씨앗이다.** 가운데가 $-2$ 인 이유: $y(x)$ 가 오른쪽 차분에서 한 번, 왼쪽 차분에서 한 번, 총 두 번 빠지기 때문.
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- 🔢 숫자 확인 — $y = x^2$ ($y'' = 2$), $x = 1$, $h = 0.1$: $\dfrac{1.21 - 2 \times 1 + 0.81}{0.01} = \dfrac{0.02}{0.01} = 2$ — **정확히 2!**
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- 분자의 계수 $1, -2, 1$, **이 세 숫자가 이 절의 행렬** $K, T, B$ **전부의 씨앗이다.** 가운데가 $-2$ 인 이유: $y(x)$ 가 오른쪽 차분에서 한 번, 왼쪽 차분에서 한 번, 총 두 번 빠지기 때문.
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- 🔢 숫자 확인, $y = x^2$ ($y'' = 2$), $x = 1$, $h = 0.1$: $\dfrac{1.21 - 2 \times 1 + 0.81}{0.01} = \dfrac{0.02}{0.01} = 2$, **정확히 2!**
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- (이 근사는 중심차분처럼 좌우 대칭이라 3차 다항식까지는 오차가 아예 0이고, 일반 함수에서는 2차 정확도다.)
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- 💡 또 하나의 직관: **2계도함수 = 양옆 평균과 자신의 차이.** 분자를 다시 묶으면 $y(x+h) + y(x-h) - 2y(x) = 2\left[\frac{y(x+h) + y(x-h)}{2} - y(x)\right]$ — "양옆의 평균이 나보다 크면 위로 휘어 있다 ($y'' > 0$)".
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- 💡 또 하나의 직관: **2계도함수 = 양옆 평균과 자신의 차이.** 분자를 다시 묶으면 $y(x+h) + y(x-h) - 2y(x) = 2\left[\frac{y(x+h) + y(x-h)}{2} - y(x)\right]$, "양옆의 평균이 나보다 크면 위로 휘어 있다 ($y'' > 0$)".
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- ⚠️ 1계와 2계는 서로 다른 정보다: "오르막인가"(1계) vs "위로 휘는가"(2계). $y = x^2$ 은 $x < 0$ 에서 내리막이지만 어디서나 위로 휜다 ($y'' = 2 > 0$).
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- **[3단계] 미분방정식을 격자 위에서 풀기 —** $\frac{1}{h^2}KU = F$ **의 탄생**
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- **[3단계] 미분방정식을 격자 위에서 풀기:** $\frac{1}{h^2}KU = F$ **의 탄생**
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- 풀고 싶은 문제: $-\dfrac{d^2u}{dx^2} = f(x)$ ($0 \le x \le 1$), **경계 조건** $u(0) = 0,\ u(1) = 0$ (양 끝을 벽에 고정).
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- 💡 왜 $-u''$ 인가 (마이너스가 붙는 이유): 막대의 처짐, 열 분포 같은 물리 문제가 원래 이 부호로 나오기 때문. 이 마이너스 덕분에 행렬에서는 $1, -2, 1$ 이 뒤집혀 $-1, 2, -1$ 패턴이 된다.
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- **격자 만들기**: 구간 $[0,1]$ 을 $N+1$ 등분 → 간격 $h = \frac{1}{N+1}$. 내부 격자점 $N$ 개에서의 값 $u_1, \cdots, u_N$ 이 **미지수**다. 양 끝 $u_0, u_{N+1}$ 은 미지수가 **아니다** — 경계 조건으로 이미 0이라고 알고 있다.
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- **격자 만들기**: 구간 $[0,1]$ 을 $N+1$ 등분 → 간격 $h = \frac{1}{N+1}$. 내부 격자점 $N$ 개에서의 값 $u_1, \cdots, u_N$ 이 **미지수**다. 양 끝 $u_0, u_{N+1}$ 은 미지수가 **아니다**: 경계 조건으로 이미 0이라고 알고 있다.
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- **격자점마다 방정식 하나씩 세운다** ($N = 4$, $h = \frac{1}{5}$ 로 네 개를 전부 써 보면):
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- $x_1$: $\dfrac{-u_0 + 2u_1 - u_2}{h^2} = f(h)$ — 그런데 $u_0 = 0$ → $\dfrac{2u_1 - u_2}{h^2} = f(h)$
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- $x_1$: $\dfrac{-u_0 + 2u_1 - u_2}{h^2} = f(h)$, 그런데 $u_0 = 0$ → $\dfrac{2u_1 - u_2}{h^2} = f(h)$
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- $x_2$: $\dfrac{-u_1 + 2u_2 - u_3}{h^2} = f(2h)$
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- $x_3$: $\dfrac{-u_2 + 2u_3 - u_4}{h^2} = f(3h)$
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- $x_4$: $\dfrac{-u_3 + 2u_4 - u_5}{h^2} = f(4h)$ — 그런데 $u_5 = 0$ → $\dfrac{-u_3 + 2u_4}{h^2} = f(4h)$
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- $x_4$: $\dfrac{-u_3 + 2u_4 - u_5}{h^2} = f(4h)$, 그런데 $u_5 = 0$ → $\dfrac{-u_3 + 2u_4}{h^2} = f(4h)$
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- 이 4개를 세로로 쌓아 행렬 하나로 포장하면 $K$ **가 "저절로" 나타난다**:
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- $$\frac{1}{h^2}KU = F: \qquad \frac{1}{h^2}\begin{bmatrix} 2&-1&0&0 \\ -1&2&-1&0 \\ 0&-1&2&-1 \\ 0&0&-1&2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} u_1\\u_2\\u_3\\u_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} f(h)\\f(2h)\\f(3h)\\f(4h) \end{bmatrix}$$
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- ⚠️ 첫 행이 $[\,2\ \ {-1}\ \ 0\ \ 0\,]$ 으로 "잘려" 있는 이유가 이제 보인다: 원래 패턴 $-u_0 + 2u_1 - u_2$ 에서 경계 조건 $u_0 = 0$ 이 첫 항을 지운 것. **행렬의 첫 행과 끝 행은 경계 조건이 새겨지는 자리다.** (이 한 문장이 [4단계]의 $K, T, B$ 를 이해하는 열쇠다.)
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- 🔢 **끝까지 풀어보기** — $f(x) = 1$ (모든 점에 같은 하중), $N = 4$:
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- 🔢 **끝까지 풀어보기**: $f(x) = 1$ (모든 점에 같은 하중), $N = 4$:
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- 이 문제의 참 해는 $u(x) = \frac{x(1-x)}{2}$ 다. (검산: 두 번 미분하면 $u'' = -1$, 그러니 $-u'' = 1$ ✓. 양 끝에서 0 ✓.)
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- 행렬방정식은 $KU = h^2 F = (0.04,\ 0.04,\ 0.04,\ 0.04)$. 소거법으로 풀면:
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- $$U = (u_1, u_2, u_3, u_4) = (0.08,\ 0.12,\ 0.12,\ 0.08)$$
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- 참 해와 비교: $u(0.2) = \frac{0.2 \times 0.8}{2} = 0.08$ ✓, $u(0.4) = \frac{0.4 \times 0.6}{2} = 0.12$ ✓ — **완벽히 일치!** (참 해가 2차 다항식이라 오차가 0인 특수한 경우. 일반적인 $f$ 에서는 $h^2$ 에 비례하는 작은 오차가 남고, 격자를 촘촘히 할수록 빠르게 줄어든다.)
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- 참 해와 비교: $u(0.2) = \frac{0.2 \times 0.8}{2} = 0.08$ ✓, $u(0.4) = \frac{0.4 \times 0.6}{2} = 0.12$ ✓, **완벽히 일치!** (참 해가 2차 다항식이라 오차가 0인 특수한 경우. 일반적인 $f$ 에서는 $h^2$ 에 비례하는 작은 오차가 남고, 격자를 촘촘히 할수록 빠르게 줄어든다.)
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- 💡 이것이 이 절의 클라이맥스다: **방금 미분방정식을 소거법으로 풀었다.** 컴퓨터가 실제 공학·물리 문제를 푸는 방식이 정확히 이것이고, 그래서 소거법이 "계산 과학에서 가장 비용이 큰 연산"인 것이다.
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- $K_n$ **의 정확한 형태** 🧩 (고정–고정 경계의 2차차분행렬)
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- **주대각선은 전부 2, 그 바로 위·아래 대각선은 전부 −1, 나머지는 전부 0** (삼중대각):
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- $$K_{ii} = 2, \qquad K_{i,i+1} = K_{i+1,i} = -1, \qquad \text{나머지 } 0$$
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- 📌 원문 — 식 (8) $K_4$ (p.122): [🔗 PDF 위치](((6a63655a-721b-4fd9-9d4e-104ea606096c)))
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- $K$ **의 5가지 성질** — 눈에 보이는 3가지 + 계산해야 보이는 2가지
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- 📌 원문 (식 (8) $K_4$, p.122): [🔗 PDF 위치](((6a63655a-721b-4fd9-9d4e-104ea606096c)))
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- $K$ **의 5가지 성질**: 눈에 보이는 3가지 + 계산해야 보이는 2가지
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- ❶ **대칭**: $K^{\mathrm{T}} = K$. (양옆을 공평하게 쓰는 $1, -2, 1$ 패턴이니 당연하다.)
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- ❷ **삼중대각·희소** (sparse): 0 아닌 성분이 대각선 3줄뿐. $N = 100$ 이면 0 아닌 성분은 $100 + 99 + 99 = 298$ 개 — 전체 10,000개의 3%. 덕분에 소거가 매우 빠르다.
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- ❸ **대각선을 따라 값이 일정**: 모든 행이 같은 패턴의 평행이동이다 — 미분방정식의 계수가 상수라서. 이런 행렬을 **퇴플리츠 행렬** (Toeplitz matrix), 신호처리에서는 **필터·합성곱 행렬**이라 부른다. MATLAB: `K = toeplitz([2 -1 0 0])`.
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- ❷ **삼중대각·희소** (sparse): 0 아닌 성분이 대각선 3줄뿐. $N = 100$ 이면 0 아닌 성분은 $100 + 99 + 99 = 298$ 개, 전체 10,000개의 3%. 덕분에 소거가 매우 빠르다.
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- ❸ **대각선을 따라 값이 일정**: 모든 행이 같은 패턴의 평행이동이다. 미분방정식의 계수가 상수라서. 이런 행렬을 **퇴플리츠 행렬** (Toeplitz matrix), 신호처리에서는 **필터·합성곱 행렬**이라 부른다. MATLAB: `K = toeplitz([2 -1 0 0])`.
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- ❹ **가역**: $K_4^{-1} = \frac{1}{5}\begin{bmatrix} 4&3&2&1 \\ 3&6&4&2 \\ 2&4&6&3 \\ 1&2&3&4 \end{bmatrix}$.
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- ⚠️ 그런데 $K^{-1}$ 는 **모든 성분이 0이 아니다** — 희소성이 완전히 깨진다. 그래서 역행렬을 만들지 않고 $KU = F$ 를 소거법으로 푼다 (MATLAB `U = K\F`) — 2.3절의 교훈 그대로.
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- ❺ **양의 정부호** (positive definite): 피벗이 **전부 양수** — $2, \frac{3}{2}, \frac{4}{3}, \frac{5}{4}, \cdots$ ([[2.4 치환행렬과 전치행렬]] 연습문제 18(c)에서 직접 계산했다). 6장에서 정식으로 배울 개념의 예고편.
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- ⚠️ 그런데 $K^{-1}$ 는 **모든 성분이 0이 아니다**: 희소성이 완전히 깨진다. 그래서 역행렬을 만들지 않고 $KU = F$ 를 소거법으로 푼다 (MATLAB `U = K\F`): 2.3절의 교훈 그대로.
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- ❺ **양의 정부호** (positive definite): 피벗이 **전부 양수**: $2, \frac{3}{2}, \frac{4}{3}, \frac{5}{4}, \cdots$ ([[2.4 치환행렬과 전치행렬]] 연습문제 18(c)에서 직접 계산했다). 6장에서 정식으로 배울 개념의 예고편.
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- 피벗으로 읽는 분류: 가역 = 0 아닌 피벗 $n$ 개 / 대칭 + 양의 정부호 = **양의** 피벗 $n$ 개 / 대칭 + 양의 준정부호(semidefinite) = **음이 아닌** 피벗 $n$ 개.
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- **[4단계] 경계 조건이 행렬을 바꾼다 —** $K, T, B$ **삼형제** 🧩
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- **[4단계] 경계 조건이 행렬을 바꾼다:** $K, T, B$ **삼형제** 🧩
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- [3단계]의 열쇠 문장을 다시: **첫 행과 끝 행은 경계 조건이 새겨지는 자리.** 경계를 "고정"에서 "자유"로 바꾸면 정확히 그 자리(대각선 양 끝)만 바뀐다.
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- 물리 그림: 스프링으로 연결된 질량들. 끝이 **벽에 묶여 있으면 "고정"** (fixed, $u = 0$), **허공에 떠 있으면 "자유"** (free, $\frac{du}{dx} = 0$ — 기울기 0).
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- 물리 그림: 스프링으로 연결된 질량들. 끝이 **벽에 묶여 있으면 "고정"** (fixed, $u = 0$), **허공에 떠 있으면 "자유"** (free, $\frac{du}{dx} = 0$, 기울기 0).
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- (p.126, 그림 2.3)
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- **왜 자유 경계는 대각 성분을 2에서 1로 바꾸는가** — 직접 유도해 보면 한 줄이다:
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- **왜 자유 경계는 대각 성분을 2에서 1로 바꾸는가**: 직접 유도해 보면 한 줄이다:
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- 자유 경계 조건 "기울기 0"의 차분 번역: $\dfrac{u_1 - u_0}{h} = 0$, 즉 $u_0 = u_1$ (경계점이 바로 안쪽 점을 그대로 따라온다).
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- 이를 1번 점의 방정식에 대입: $-u_0 + 2u_1 - u_2 = -u_1 + 2u_1 - u_2 = u_1 - u_2$.
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- 그래서 첫 행이 $[\,2\ \ {-1}\ \cdots\,]$ 대신 $[\,1\ \ {-1}\ \cdots\,]$ 이 된다. 요약: **고정 경계는 항을 지우고(2 유지), 자유 경계는 항을 흡수시킨다(2가 1로).**
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- **세 행렬의 형태 비교** (셋 다 삼중대각·대칭, 비대각 $-1$ — 다른 곳은 오직 대각선의 양 끝):
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- $K_n$ (고정–고정): 대각 $(2, 2, \cdots, 2, 2)$ — 가역, 양의 정부호
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- $T_n$ (자유–고정): 대각 $(1, 2, \cdots, 2, 2)$ — 가역, 양의 정부호
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- $B_n$ (자유–자유): 대각 $(1, 2, \cdots, 2, 1)$ — **비가역!** 양의 준정부호
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- **세 행렬의 형태 비교** (셋 다 삼중대각·대칭, 비대각 $-1$, 다른 곳은 오직 대각선의 양 끝):
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- $K_n$ (고정–고정): 대각 $(2, 2, \cdots, 2, 2)$, 가역, 양의 정부호
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- $T_n$ (자유–고정): 대각 $(1, 2, \cdots, 2, 2)$, 가역, 양의 정부호
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- $B_n$ (자유–자유): 대각 $(1, 2, \cdots, 2, 1)$, **비가역!** 양의 준정부호
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- $$T_4 = \begin{bmatrix} \mathbf{1}&-1&0&0 \\ -1&2&-1&0 \\ 0&-1&2&-1 \\ 0&0&-1&2 \end{bmatrix} \qquad B_3 = \begin{bmatrix} \mathbf{1}&-1&0 \\ -1&2&-1 \\ 0&-1&\mathbf{1} \end{bmatrix}$$
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- 📌 원문 — 식 (10) $T_4$ (p.125): [🔗 PDF 위치](((6a63656f-97f2-40c9-a8c5-26180f7f9782)))
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- 📌 원문 (식 (10) $T_4$, p.125): [🔗 PDF 위치](((6a63656f-97f2-40c9-a8c5-26180f7f9782)))
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- $T$ **의 아름다운 분해**: $T$ 의 피벗은 전부 1이라 $T = LU = LL^{\mathrm{T}}$ ($L$ = 후진차분행렬)로 깔끔하게 분해되고, 역행렬들은 1로 채워진 삼각형·사각형 모양이 된다:
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- 📌 원문 — 식 (11) $T = LU$ (p.125): [🔗 PDF 위치](((6a636573-14ee-44d8-b3ad-7c38a6d221bc)))
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- 📌 원문 — 식 (12) 역행렬들 (p.125): [🔗 PDF 위치](((6a636579-147e-4d4a-8f81-87ca3fe5306a)))
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- $B$ **가 특이행렬(비가역)인 이유** — 두 관점이 같은 말을 한다
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- 📌 원문 (식 (11) $T = LU$, p.125): [🔗 PDF 위치](((6a636573-14ee-44d8-b3ad-7c38a6d221bc)))
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- 📌 원문 (식 (12) 역행렬들, p.125): [🔗 PDF 위치](((6a636579-147e-4d4a-8f81-87ca3fe5306a)))
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- $B$ **가 특이행렬(비가역)인 이유**: 두 관점이 같은 말을 한다
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- **물리적**: 양 끝이 다 자유 = 어디에도 묶여 있지 않다 → 전체를 통째로 옆으로 밀어도 스프링이 하나도 안 늘어난다(아무 저항력이 안 생긴다). 위치가 유일하게 정해지지 않는다 = 해가 유일하지 않다 = 특이행렬.
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- **대수적**: $B$ 는 **모든 행의 합이 0** → "통째로 밀기"에 해당하는 $x = (1, 1, \cdots, 1)$ 에 대해 $Bx = 0$. 영벡터가 아닌 해가 있으니 비가역 (2.2절 특징 ④). 모든 상수벡터 $(c, c, \cdots, c)$ 가 해이고, 이들이 $B$ 의 **영공간** (null space)을 이룬다.
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- 증명 한 줄: $B$ 가 가역이라면 $Bx = 0$ 양변에 $B^{-1}$ 를 곱해 $x = 0$ 이어야 하는데, $x = (1, \cdots, 1) \ne 0$ — 모순.
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- 증명 한 줄: $B$ 가 가역이라면 $Bx = 0$ 양변에 $B^{-1}$ 를 곱해 $x = 0$ 이어야 하는데, $x = (1, \cdots, 1) \ne 0$, 모순.
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- 💡 $K, T$ 는 벽이 하나라도 있어서 "밀면 스프링이 늘어난다" → 위치가 고정된다 → 가역. 그림 2.3에서 무게 $W$ 를 달면 $K_3, T_3$ 는 균형 위치가 정해지지만, $B_3$ 는 지지대가 없어 균형 해가 없다 (p.126 식 (14)).
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- **덧붙임: 차분행렬들의 가족 관계** (연습문제 15~16의 관점 — 가볍게 봐 두기)
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- **덧붙임: 차분행렬들의 가족 관계** (연습문제 15~16의 관점, 가볍게 봐 두기)
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- 1계 차분도 행렬로 쓸 수 있다: 전진차분행렬(각 행이 $-1, 1$ 패턴), 후진차분행렬(대각 $1$, 그 아래 $-1$).
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- 2차차분행렬 $K, T, B$ 는 모두 1계 차분행렬 $A$ 로 만든 $A^{\mathrm{T}}A$ 꼴이다 — [[2.4 치환행렬과 전치행렬]]의 "$A^{\mathrm{T}}A$ 는 항상 대칭" 원리로 셋의 대칭성이 자동으로 설명된다.
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- 2차차분행렬 $K, T, B$ 는 모두 1계 차분행렬 $A$ 로 만든 $A^{\mathrm{T}}A$ 꼴이다. [[2.4 치환행렬과 전치행렬]]의 "$A^{\mathrm{T}}A$ 는 항상 대칭" 원리로 셋의 대칭성이 자동으로 설명된다.
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- 💡 연속 세계와의 평행: $-\dfrac{d^2}{dx^2} = \left(-\dfrac{d}{dx}\right)\left(\dfrac{d}{dx}\right)$ 이고, $\dfrac{d}{dx}$ 의 "전치"가 $-\dfrac{d}{dx}$ (p.111 EX2의 부분적분)라는 사실의 이산 버전.
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- ### ❓ 스스로 점검
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- 전진·후진·중심차분의 식을 쓰고, $y = x^2$, $x = 1$, $h = 0.1$ 에서 각각 계산해 보라. 어떤 패턴이 보이는가? #card
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id:: 6a654a5b-c2b2-4425-9356-3d449eeeba54
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- 전진 $\frac{y(x+h)-y(x)}{h} = 2.1$, 후진 $\frac{y(x)-y(x-h)}{h} = 1.9$, 중심 $\frac{y(x+h)-y(x-h)}{2h} = 2.0$ (참값 2). 전진과 후진이 반대 방향으로 같은 크기만큼 틀리고, 그 평균인 중심은 오차가 상쇄된다.
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- 중심차분만 2차 정확도인 이유를 테일러 전개로 설명하라.
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- 전진차분의 오차 첫 항은 $+\frac{1}{2}h\,y''$, 후진은 $-\frac{1}{2}h\,y''$. 중심차분은 둘의 평균이라 이 항이 상쇄되고, 남는 오차의 첫 항이 $\frac{1}{6}h^2 y'''$ — $h^2$ 에 비례하므로 2차.
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- 전진차분의 오차 첫 항은 $+\frac{1}{2}h\,y''$, 후진은 $-\frac{1}{2}h\,y''$. 중심차분은 둘의 평균이라 이 항이 상쇄되고, 남는 오차의 첫 항이 $\frac{1}{6}h^2 y'''$, $h^2$ 에 비례하므로 2차.
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- 2계도함수의 차분 근사식을 쓰고, 계수 $1, -2, 1$ 이 어디서 나오는지 두 가지 방식으로 설명하라.
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- $\frac{y(x+h) - 2y(x) + y(x-h)}{h^2}$. ① 차분의 차분: (전진차분 − 후진차분) ÷ $h$ 에서 $y(x)$ 가 두 번 빠져 $-2$. ② 양옆 평균과 자신의 차이 × $\frac{2}{h^2}$.
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- $-u'' = f$ 가 어떻게 $\frac{1}{h^2}KU = F$ 가 되는가? $U, F$ 의 성분은 무엇이고, 첫 행이 $[2\ {-1}\ 0\ 0]$ 으로 잘린 이유는?
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@ -123,19 +123,19 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- $B$ 가 특이행렬인 이유를 물리적·대수적으로 각각 설명하라.
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- 물리: 양 끝이 자유라 전체를 평행이동해도 스프링이 안 늘어난다 → 위치가 유일하게 결정되지 않음. 대수: 모든 행의 합이 0 → $x = (1, \cdots, 1)$ 이 $Bx = 0$ 의 영벡터 아닌 해 → 비가역. 영공간은 모든 상수벡터.
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- ### ✏️ 연습문제 풀이 (솔루션 참고)
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- **문제 1** — $y(x) = x^3$, $\Delta y = (x+h)^3 - x^3$ 의 1차항과 2차항을 구하고 $h\frac{dy}{dx}$, $\frac{1}{2}h^2\frac{d^2y}{dx^2}$ 와 일치함을 보여라.
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- **문제 1**: $y(x) = x^3$, $\Delta y = (x+h)^3 - x^3$ 의 1차항과 2차항을 구하고 $h\frac{dy}{dx}$, $\frac{1}{2}h^2\frac{d^2y}{dx^2}$ 와 일치함을 보여라.
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- 전개: $(x+h)^3 - x^3 = 3x^2h + 3xh^2 + h^3$.
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- 1차항 $3x^2 h = h \cdot (3x^2) = h\frac{dy}{dx}$ ✓, 2차항 $3xh^2 = \frac{1}{2}h^2 \cdot (6x) = \frac{1}{2}h^2\frac{d^2y}{dx^2}$ ✓.
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- 💡 테일러 급수의 처음 두 항이 "저절로" 나오는 것을 다항식으로 직접 확인 — 차분↔미분 연결의 가장 구체적인 체험.
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- **문제 7** — $y(x) = x^3$, $h = \frac{1}{10}$, $x = 0$ 에서 중심·전진·후진차분으로 $\frac{dy}{dx}$ 를 근사하라. (참값: $y'(0) = 0$)
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- 💡 테일러 급수의 처음 두 항이 "저절로" 나오는 것을 다항식으로 직접 확인, 차분↔미분 연결의 가장 구체적인 체험.
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- **문제 7**: $y(x) = x^3$, $h = \frac{1}{10}$, $x = 0$ 에서 중심·전진·후진차분으로 $\frac{dy}{dx}$ 를 근사하라. (참값: $y'(0) = 0$)
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- 중심: $\dfrac{(0.1)^3 - (-0.1)^3}{0.2} = \dfrac{0.002}{0.2} = \dfrac{1}{100}$. 전진: $\dfrac{(0.1)^3 - 0}{0.1} = \dfrac{1}{100}$. 후진: $\dfrac{0 - (-0.1)^3}{0.1} = \dfrac{1}{100}$.
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- 참값 0에 대해 셋 다 오차 $\frac{1}{100}$ — **우연히** 모두 같다 ($x = 0$ 에서 $y'' = 0$ 이라 1차 오차항이 사라졌기 때문).
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- 💡 이어지는 문제 8이 진짜 핵심: $y(h) \approx y(0) + h y'(0) + \frac{1}{2}h^2 y''(0)$ 을 세 공식에 대입하면 — 중심차분은 $h^2$ 항까지 정확하고, 전진은 $+\frac{1}{2}h\,y''(0)$, 후진은 $-\frac{1}{2}h\,y''(0)$ 의 오차를 갖는다. "2차 vs 1차 정확도"의 증명이 이 한 줄이다.
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- **문제 16** — $D_4 = \begin{bmatrix} 1&-1&0&0 \\ 0&1&-1&0 \\ 0&0&1&-1 \\ -1&0&0&1 \end{bmatrix}$ 일 때 $D_4 D_4^{\mathrm{T}}$ 가 2차차분행렬임을 보여라. $D_4$ 는 가역인가?
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- $D_4 D_4^{\mathrm{T}} = \begin{bmatrix} 2&-1&0&-1 \\ -1&2&-1&0 \\ 0&-1&2&-1 \\ -1&0&-1&2 \end{bmatrix} = C_4$ — 대각 2, 옆 대각 $-1$ 에 더해 **모서리** $(1,4), (4,1)$ **에도** $-1$ 이 있는 **주기적(순환) 2차차분행렬**.
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- 참값 0에 대해 셋 다 오차 $\frac{1}{100}$, **우연히** 모두 같다 ($x = 0$ 에서 $y'' = 0$ 이라 1차 오차항이 사라졌기 때문).
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- 💡 이어지는 문제 8이 진짜 핵심: $y(h) \approx y(0) + h y'(0) + \frac{1}{2}h^2 y''(0)$ 을 세 공식에 대입하면, 중심차분은 $h^2$ 항까지 정확하고, 전진은 $+\frac{1}{2}h\,y''(0)$, 후진은 $-\frac{1}{2}h\,y''(0)$ 의 오차를 갖는다. "2차 vs 1차 정확도"의 증명이 이 한 줄이다.
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- **문제 16**: $D_4 = \begin{bmatrix} 1&-1&0&0 \\ 0&1&-1&0 \\ 0&0&1&-1 \\ -1&0&0&1 \end{bmatrix}$ 일 때 $D_4 D_4^{\mathrm{T}}$ 가 2차차분행렬임을 보여라. $D_4$ 는 가역인가?
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- $D_4 D_4^{\mathrm{T}} = \begin{bmatrix} 2&-1&0&-1 \\ -1&2&-1&0 \\ 0&-1&2&-1 \\ -1&0&-1&2 \end{bmatrix} = C_4$, 대각 2, 옆 대각 $-1$ 에 더해 **모서리** $(1,4), (4,1)$ **에도** $-1$ 이 있는 **주기적(순환) 2차차분행렬**.
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- $C_4$ 는 비가역: 모든 행의 합이 0 → $x = (1,1,1,1)$ 이 $C_4 x = 0$. ($D_4$ 자체도 행 합이 0이라 비가역.)
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- 💡 $K, T, B$ 에 이어 네 번째 경계 조건 — **주기 경계** (원형으로 연결). 이것도 $B$ 처럼 "묶인 곳이 없어서" 특이행렬이 된다.
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- **문제 18** — 1차 중심차분행렬은 가역이 아닐 수 있다. $\Delta_3 = \begin{bmatrix} 0&1&0 \\ -1&0&1 \\ 0&-1&0 \end{bmatrix}$ 과 $\Delta_4$ 로 확인하라.
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- $\Delta_3$: 3열 $= -($ 1열 $)$ — 열이 선형종속이라 **비가역**. ($\Delta_3 x = 0$ 의 해: $x = (1, 0, 1)$.)
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- $\Delta_4$ (4×4 중심차분행렬)는 4개의 열이 선형독립 — **가역**.
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- 💡 중심차분행렬은 **홀수 크기면 특이, 짝수 크기면 가역** — 크기의 홀짝이 가역성을 가르는 흥미로운 예. (또한 $\Delta^{\mathrm{T}} = -\Delta$ 인 **반대칭행렬** — 미분 $\frac{d}{dx}$ 의 전치가 $-\frac{d}{dx}$ 라는 p.111 EX2의 이산 버전.)
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- 💡 $K, T, B$ 에 이어 네 번째 경계 조건, **주기 경계** (원형으로 연결). 이것도 $B$ 처럼 "묶인 곳이 없어서" 특이행렬이 된다.
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- **문제 18**: 1차 중심차분행렬은 가역이 아닐 수 있다. $\Delta_3 = \begin{bmatrix} 0&1&0 \\ -1&0&1 \\ 0&-1&0 \end{bmatrix}$ 과 $\Delta_4$ 로 확인하라.
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- $\Delta_3$: 3열 $= -($ 1열 $)$, 열이 선형종속이라 **비가역**. ($\Delta_3 x = 0$ 의 해: $x = (1, 0, 1)$.)
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- $\Delta_4$ (4×4 중심차분행렬)는 4개의 열이 선형독립, **가역**.
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- 💡 중심차분행렬은 **홀수 크기면 특이, 짝수 크기면 가역**: 크기의 홀짝이 가역성을 가르는 흥미로운 예. (또한 $\Delta^{\mathrm{T}} = -\Delta$ 인 **반대칭행렬**: 미분 $\frac{d}{dx}$ 의 전치가 $-\frac{d}{dx}$ 라는 p.111 EX2의 이산 버전.)
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@ -13,7 +13,7 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- 계수행렬 $A$ / 상삼각행렬 $U$ / 하삼각행렬 $L$
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- 소거행렬 $E_{ij}$ / 전체소거행렬 $E$ / 역행렬 $A^{-1}$
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- 치환행렬 $P$ / 전치행렬 $A^{\mathrm{T}}$ / 대칭행렬 $S = S^{\mathrm{T}}$
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- 💡 새 행렬이 많이 등장하는 장이다. 각 행렬의 **정확한 형태**(어느 행 어느 열에 무엇이 들어가는지)는 소단원 페이지의 🧩 표시 블록에 정리해뒀다 — $E_{ij}$·$L$ 은 2.2절, $P$·$A^{\mathrm{T}}$·$S$ 는 2.4절, $K$·$T$·$B$ 는 2.5절.
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- 💡 새 행렬이 많이 등장하는 장이다. 각 행렬의 **정확한 형태**(어느 행 어느 열에 무엇이 들어가는지)는 소단원 페이지의 🧩 표시 블록에 정리해뒀다. $E_{ij}$·$L$ 은 2.2절, $P$·$A^{\mathrm{T}}$·$S$ 는 2.4절, $K$·$T$·$B$ 는 2.5절.
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- 소거 과정은 모든 계산 과학 분야에서 가장 많은 비용을 초래하는 연산이며, 2.5절에서는 계산 과학에서 쓰이는 차분행렬을 소개한다.
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- ## 소단원
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- [[2.1 소거법과 역대입법]]
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@ -22,13 +22,13 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- [[2.4 치환행렬과 전치행렬]]
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- [[2.5 미분과 유한차분행렬]]
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- ## 2장에 대한 고찰
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- 2장의 내용은 아주 유용하고 실용적이다 — 정사각 가역행렬에 대해 $Ax = b$ 를 해결할 수 있게 되었다.
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- $A^{-1}$ **에 대해 기억할 것**: $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$, $x = A^{-1}b$. 그러나 **역행렬은 거의 계산하지 않는다** — $A^{-1}$ 를 구해서 곱하는 $A^{-1}b$ 는 시간이 많이 들고 불필요하다.
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- 2장의 내용은 아주 유용하고 실용적이다. 정사각 가역행렬에 대해 $Ax = b$ 를 해결할 수 있게 되었다.
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- $A^{-1}$ **에 대해 기억할 것**: $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$, $x = A^{-1}b$. 그러나 **역행렬은 거의 계산하지 않는다**: $A^{-1}$ 를 구해서 곱하는 $A^{-1}b$ 는 시간이 많이 들고 불필요하다.
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- **실제 해법은 상삼각행렬** $U$: $Ux = c$ 의 $n$ 번째 방정식 $u_{nn}x_n = c_n$ 부터 위로 올라가며 푼다 (역대입법). $A \to U$ 에 약 $\frac{n^3}{3}$ 단계, 이후 역대입으로 $x = U^{-1}c = A^{-1}b$.
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- **아름다운 공식** $A = LU$: $L$ 은 승수 $\ell_{ij}$ 들의 하삼각행렬, $U$ 는 소거가 만드는 상삼각행렬. 유일하게 불행한 경우는 피벗 $u_{ii}$ 가 0이거나 작을 때 — 이때는 행 교환 ($PA = LU$).
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- **아름다운 공식** $A = LU$: $L$ 은 승수 $\ell_{ij}$ 들의 하삼각행렬, $U$ 는 소거가 만드는 상삼각행렬. 유일하게 불행한 경우는 피벗 $u_{ii}$ 가 0이거나 작을 때, 이때는 행 교환 ($PA = LU$).
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- **2장의 행렬 아이디어 지도** (p.130):
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- 역행렬 계열 — 상삼각 $U$, 소거행렬 $E$, 전치 $A^{\mathrm{T}}$, $A = LU$ 분해
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- 특이행렬 계열 — 하삼각 $L$, 치환행렬 $P$, 대칭행렬 $S = S^{\mathrm{T}}$, $S = LDL^{\mathrm{T}}$ 분해
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- 유한차분행렬 계열 — 중심·전진·후진차분, 2차차분행렬 $K, T, B$, 고정 끝·자유 끝
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- $n \times n$ 가역행렬은 열공간 $\mathbb{R}^n$ 과 행공간 $\mathbb{R}^n$ 을 갖는다 — 열도 행도 선형독립. 3장에서는 (정사각·가역에 국한하지 않고) **모든 행렬**을 허용하며, 이에 따라 새로운 아이디어가 필요해진다.
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- 💡 **2장 전체를 꿰는 한 줄 요약**: "소거법은 행렬곱이다" — 소거의 매 단계를 $E_{ij}$ 로, 행 교환을 $P$ 로, 전체 과정을 $A = LU$ (또는 $PA = LU$)로 기록할 수 있고, 이 분해가 $Ax = b$ 풀이의 실체다.
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- 역행렬 계열: 상삼각 $U$, 소거행렬 $E$, 전치 $A^{\mathrm{T}}$, $A = LU$ 분해
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- 특이행렬 계열: 하삼각 $L$, 치환행렬 $P$, 대칭행렬 $S = S^{\mathrm{T}}$, $S = LDL^{\mathrm{T}}$ 분해
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- 유한차분행렬 계열: 중심·전진·후진차분, 2차차분행렬 $K, T, B$, 고정 끝·자유 끝
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- $n \times n$ 가역행렬은 열공간 $\mathbb{R}^n$ 과 행공간 $\mathbb{R}^n$ 을 갖는다. 열도 행도 선형독립. 3장에서는 (정사각·가역에 국한하지 않고) **모든 행렬**을 허용하며, 이에 따라 새로운 아이디어가 필요해진다.
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- 💡 **2장 전체를 꿰는 한 줄 요약**: "소거법은 행렬곱이다". 소거의 매 단계를 $E_{ij}$ 로, 행 교환을 $P$ 로, 전체 과정을 $A = LU$ (또는 $PA = LU$)로 기록할 수 있고, 이 분해가 $Ax = b$ 풀이의 실체다.
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@ -2,74 +2,74 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- ### 핵심 개념
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- **이 절의 목표**: 지금까지 벡터를 "숫자 묶음"으로만 다뤘다면, 이제 벡터들이 사는 **"세계"(공간)** 자체를 다룬다. 이 절에서 용어 4개(벡터공간·부분집합·부분공간·생성)를 잡아두면, 3장 전체(열공간·영공간·기저·차원)가 이 위에 쌓인다.
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- **[1단계] 용어부터 확실히 — 벡터공간 vs 부분집합 vs 부분공간** (혼동 주의 ⚠️)
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- **[1단계] 용어부터 확실히, 벡터공간 vs 부분집합 vs 부분공간** (혼동 주의 ⚠️)
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- **벡터공간** (vector space) — 벡터들의 "세계". **더하기(** $v+w$ **)와 스칼라곱(** $cv$ **)을 아무리 해도 그 안에서 벗어나지 않는** 벡터들의 집합이다. 대표: $\mathbb{R}^1, \mathbb{R}^2, \mathbb{R}^3, \cdots$
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- **벡터공간** (vector space): 벡터들의 "세계". **더하기(** $v+w$ **)와 스칼라곱(** $cv$ **)을 아무리 해도 그 안에서 벗어나지 않는** 벡터들의 집합이다. 대표: $\mathbb{R}^1, \mathbb{R}^2, \mathbb{R}^3, \cdots$
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- 📌 원문 (p.132): ((6a685a78-846c-4c02-976a-445b78c8c392))
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- 정확히는 8가지 조건(교환법칙, 결합법칙, 영벡터 존재 등)을 만족해야 한다 — 3.1 연습문제 서두에 목록이 있고, 문제 1~3이 이 조건들을 갖고 논다. $\mathbb{R}^n$ 에서는 자명하게 성립하므로 **외울 필요는 없다**. 핵심 한 줄만: **모든 선형결합** $cv + dw$ **가 그 안에 있어야 한다.**
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- 정확히는 8가지 조건(교환법칙, 결합법칙, 영벡터 존재 등)을 만족해야 한다. 3.1 연습문제 서두에 목록이 있고, 문제 1~3이 이 조건들을 갖고 논다. $\mathbb{R}^n$ 에서는 자명하게 성립하므로 **외울 필요는 없다**. 핵심 한 줄만: **모든 선형결합** $cv + dw$ **가 그 안에 있어야 한다.**
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- 📌 원문 (p.133): ((6a685b7a-0ff6-487b-981b-a5c9c0b4f61c)) / ((6a685b9e-e75d-4c95-804f-f5a1678ddea6))
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- **부분집합** (subset) — 벡터공간에서 벡터 몇 개를 **그냥 골라 담은 것**. 아무 조건이 없다. 제1사분면도, 벡터 두 개짜리 집합도, 원점 없는 평면도 전부 부분집합이다.
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- **부분집합** (subset): 벡터공간에서 벡터 몇 개를 **그냥 골라 담은 것**. 아무 조건이 없다. 제1사분면도, 벡터 두 개짜리 집합도, 원점 없는 평면도 전부 부분집합이다.
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- 📌 원문 (p.135): ((6a685d5f-2eac-4706-b398-6effddda1d5f))
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- **부분공간** (subspace) — 부분집합 중에서 **그 자체로 다시 벡터공간이 되는 것**. 즉 "닫혀 있는" 부분집합이다.
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- 📌 원문 — 정의 부분공간 판정법 (p.135): ((6a685d18-0e9e-402f-89ed-9eb0662e72e5))
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- **부분공간** (subspace): 부분집합 중에서 **그 자체로 다시 벡터공간이 되는 것**. 즉 "닫혀 있는" 부분집합이다.
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- 📌 원문 (정의 부분공간 판정법, p.135): ((6a685d18-0e9e-402f-89ed-9eb0662e72e5))
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- **판정법은 딱 2개**: $v, w$ 가 부분공간의 벡터이고 $c$ 가 임의의 스칼라일 때 ⓘ $v + w$ 도 안에 있다 ⓘⓘ $cv$ 도 안에 있다.
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- 📌 원문 (p.135): ((6a685d1b-f3e8-43f5-b6cd-0903f6630ec6)) / ((6a685d1e-aaf7-4f8b-b0b3-080ef1880e6e))
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- 💡 8가지 조건은 확인 안 해도 되나? 안 해도 된다 — 부분공간의 연산은 원래 벡터공간의 연산을 그대로 물려받으므로 8조건이 **자동으로** 충족된다. 그래서 판정이 2개로 줄어드는 것.
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- ⚠️ **모든 부분공간은 영벡터를 포함한다** — 판정법 ⓘⓘ에서 $c = 0$ 을 넣으면 $0v = 0$ 이 안에 있어야 하기 때문. 그래서 **원점을 안 지나는 직선·평면은 무조건 탈락**이다.
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- 💡 8가지 조건은 확인 안 해도 되나? 안 해도 된다. 부분공간의 연산은 원래 벡터공간의 연산을 그대로 물려받으므로 8조건이 **자동으로** 충족된다. 그래서 판정이 2개로 줄어드는 것.
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- ⚠️ **모든 부분공간은 영벡터를 포함한다**: 판정법 ⓘⓘ에서 $c = 0$ 을 넣으면 $0v = 0$ 이 안에 있어야 하기 때문. 그래서 **원점을 안 지나는 직선·평면은 무조건 탈락**이다.
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- 📌 원문 (p.135): ((6a685f94-50c8-45aa-80bb-e3fbf70094ff)) / ((6a685fa3-8906-4e6d-aa25-e21a89cd56df))
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- 🔢 $\mathbb{R}^2$ 에서 탈락 예 2개 (EX1, EX2 — "닫힘"이 뭔지 체감):
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- 🔢 $\mathbb{R}^2$ 에서 탈락 예 2개 (EX1, EX2, "닫힘"이 뭔지 체감):
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- 제1사분면 (성분이 모두 ≥ 0): $v + w$ 에는 닫혀 있지만, $c = -1$ 을 곱하면 $(2,3) \to (-2,-3)$ 으로 **탈출** → 부분공간 아님.
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- 제1사분면 ∪ 제3사분면: 스칼라곱엔 닫혀 있지만, $(2,3) + (-3,-2) = (-1,1)$ 은 제2사분면 → **덧셈에서 탈출** → 부분공간 아님.
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- 💡 두 예가 보여주듯 조건 ⓘ과 ⓘⓘ는 **서로 독립적인 검사**다. 둘 다 통과해야 부분공간.
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- **[2단계]** $\mathbb{R}^3$ **의 부분공간 전체 목록** — 딱 4종류뿐이다
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- **[2단계]** $\mathbb{R}^3$ **의 부분공간 전체 목록**: 딱 4종류뿐이다
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- $\mathbf{L}$: 원점 $(0,0,0)$ 을 지나는 모든 **직선** / $\mathbf{P}$: 원점을 지나는 모든 **평면** / $\mathbb{R}^3$ **전체** (자기 자신) / $\mathbf{Z}$: 영벡터 $(0,0,0)$ **하나만** 있는 공간
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- 📌 원문 (p.135): ((6a685fbe-80ec-475f-a6f0-7c084844527d)) / ((6a685fc9-dd2d-46fe-bedd-c9c2fbd6350d))
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- $\mathbf{Z}$ 는 **가장 작은 벡터공간**이다: $c0 + d0 = 0$ 이라 닫혀 있음. (뒤에서 배울 언어로는 "차원 0".)
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- 📌 원문 (p.133): ((6a685bea-1fd1-4023-b61a-7fe416a1142e)) / ((6a685bff-7504-4c04-b67a-18e58fa0f1ef))
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- ⚠️ 원점 지나는 평면 $\mathbf{P}$ 는 $\mathbb{R}^2$ **처럼 보여도** $\mathbb{R}^2$ **가 아니다** — $\mathbf{P}$ 안의 벡터는 성분이 3개다 ($\mathbb{R}^3$ 소속). "평평한 2차원 모양"과 "$\mathbb{R}^2$ 라는 공간"은 다른 말.
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- ⚠️ 원점 지나는 평면 $\mathbf{P}$ 는 $\mathbb{R}^2$ **처럼 보여도** $\mathbb{R}^2$ **가 아니다**: $\mathbf{P}$ 안의 벡터는 성분이 3개다 ($\mathbb{R}^3$ 소속). "평평한 2차원 모양"과 "$\mathbb{R}^2$ 라는 공간"은 다른 말.
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- 📌 원문 (p.134): ((6a685ce3-0cf7-4dcd-8c92-9cca6577bf83))
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- **[3단계] 벡터의 개념 확장 — 행렬도, 함수도 "벡터"다**
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- **[3단계] 벡터의 개념 확장, 행렬도, 함수도 "벡터"다**
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- 더할 수 있고 스칼라곱이 되는 것들은 전부 벡터공간을 이룬다. 화살표만 벡터가 아니다:
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- 📌 원문 (p.132): ((6a685a7d-a9fc-46fd-aa0a-ddf6c8f3818f)) / ((6a685a81-3e9f-4f22-8dcf-4ff3597a7ffa))
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- **행렬공간**: 모든 $3 \times 3$ 행렬의 집합 $\mathbb{R}^{3\times3}$ — 행렬끼리 더하고 $c$ 를 곱해도 $3\times3$ 행렬 → 벡터공간. 그 안의 부분공간: 대칭행렬 전체 $\mathbf{S}$ ($cA+dB$ 도 대칭), 상삼각행렬 전체 $\mathbf{U}$, 대각행렬 전체 $\mathbf{D}$ 등.
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- **행렬공간**: 모든 $3 \times 3$ 행렬의 집합 $\mathbb{R}^{3\times3}$, 행렬끼리 더하고 $c$ 를 곱해도 $3\times3$ 행렬 → 벡터공간. 그 안의 부분공간: 대칭행렬 전체 $\mathbf{S}$ ($cA+dB$ 도 대칭), 상삼각행렬 전체 $\mathbf{U}$, 대각행렬 전체 $\mathbf{D}$ 등.
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- 📌 원문 (p.134): ((6a685c56-722c-4f5e-9f80-694676540d08))
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- **함수공간**: 함수도 더하고($f+g$) 스칼라곱($cf$)이 된다. 예: $y = ce^x$ 들의 집합("함수공간의 직선"), 2차 이하 다항식 $y = a + bx + cx^2$ 들의 집합.
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- 📌 원문 (p.134): ((6a685c58-34f6-446e-b8c2-6658ceb88834))
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- 📌 원문 — '공간'이라는 단어의 의미 (p.134): ((6a685c82-f0dc-4b07-b52a-50873b06fb37))
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- 📌 원문 ('공간'이라는 단어의 의미, p.134): ((6a685c82-f0dc-4b07-b52a-50873b06fb37))
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- 📌 원문 (p.134): ((6a685cbb-c5e0-4cbc-9217-fb9d6b9730cf))
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- 💡 이 확장이 낯설다면 지금은 "행렬공간·함수공간이라는 것도 있구나" 정도만. **[[3.4 독립, 기저, 차원]] 끝부분에서 기저·차원까지 갖춰서 제대로 다시 다룬다** (2×2 행렬공간의 기저 4개, $y''=-y$ 해공간의 기저 $\sin x, \cos x$ 등).
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- 🔢 EX3 맛보기 — 2×2 행렬공간 $\mathbf{M}$ 안에서: 항등행렬 $I$ **하나만** 담은 집합은 부분공간일까? 아니다 — $I + I = 2I$ 가 집합 밖. 대신 $I$ 의 모든 상수배 $cI$ 를 담으면 부분공간("행렬의 직선")이 된다.
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- 🔢 EX3 맛보기, 2×2 행렬공간 $\mathbf{M}$ 안에서: 항등행렬 $I$ **하나만** 담은 집합은 부분공간일까? 아니다. $I + I = 2I$ 가 집합 밖. 대신 $I$ 의 모든 상수배 $cI$ 를 담으면 부분공간("행렬의 직선")이 된다.
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- 📌 원문 (p.136): ((6a686043-c0fb-47b0-b4be-71687288d476))
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- **[4단계] 주인공 등장 — 열공간 C(A)**
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- **[4단계] 주인공 등장, 열공간 C(A)**
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- **왜 필요한가**: 우리는 $Ax = b$ 를 풀고 싶다. 해가 존재하려면 $b$ 를 $A$ 와 $x$ 의 곱으로 나타낼 수 있어야 한다. 그런 $b$ 들을 전부 모은 것이 **열공간** (column space) $\mathbf{C}(A)$ 다.
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- 📌 원문 (p.137): ((6a68606d-599d-49cc-8d11-c9242f09c4c4))
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- 1장의 핵심 사실을 다시: $Ax$ **는 행렬** $A$ **의 열들의 선형결합**이다 (계수가 $x$ 의 성분들). 가능한 모든 $x$ 를 넣으면 → 열들의 모든 선형결합 → 이것이 $\mathbf{C}(A)$.
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- 📌 원문 (p.137): ((6a68607f-254b-4136-989c-36476ffc0843)) / ((6a686094-5515-45fb-9c86-80a140690178))
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- 📌 원문 — 정의 열공간 (p.137): ((6a6860b8-2498-411e-a1d4-039ab1fd7035)) / ((6a6860bb-f4e0-4c16-8617-210602bad98f)) / ((6a6860c1-eeb6-4a60-83d5-6a48b9d272cb))
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- 📌 원문 (정의 열공간, p.137): ((6a6860b8-2498-411e-a1d4-039ab1fd7035)) / ((6a6860bb-f4e0-4c16-8617-210602bad98f)) / ((6a6860c1-eeb6-4a60-83d5-6a48b9d272cb))
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- **3장 전체에서 가장 중요한 문장**:
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- 📌 원문 (p.137): ((6a6860d3-efc3-4506-a1d2-ad1b12720150))
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- $Ax = b$ **의 해가 존재한다** ⟺ $b \in \mathbf{C}(A)$. 이때 그 선형결합의 계수가 바로 해 $x$ 다.
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- 📌 원문 (p.137): ((6a6860eb-b4f8-478f-99f2-5be30d4bd98a))
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- ⚠️ **흔한 혼동 — "열들의 집합"과 "열공간"은 다르다** (사용자 요청으로 자세히):
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- ⚠️ **흔한 혼동, "열들의 집합"과 "열공간"은 다르다** (사용자 요청으로 자세히):
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- 📌 원문 (p.137): ((6a686110-e6d3-4d7d-a15d-1781c70e4791))
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- **행렬** $A$ **의 열만 모으면 부분공간이 아니다**: $3 \times 3$ 행렬이면 열이 딱 3개 — 벡터 3개짜리 유한집합이다. 부분공간이 되려면 $2 \times ($1열$)$, $($1열$) + ($2열$)$ 같은 **결합 결과가 전부** 들어 있어야 하는데 하나도 없다. 그래서 열들을 재료로 **모든 선형결합을 채워 넣어야** 비로소 열공간이 된다 — 이 채워 넣는 행위가 **"생성"** 이다.
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- **가역행렬 전체의 집합은 (** $\mathbb{R}^{n\times n}$ **의) 부분공간이 아니다**: 두 가지 이유. ① 영행렬(이 공간의 영벡터)이 없다 — 영행렬은 비가역이니까. ② 덧셈에 안 닫힌다: $I$ 와 $-I$ 는 둘 다 가역이지만 $I + (-I) = 0$ 은 비가역 → 합이 집합을 탈출.
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- **특이행렬 전체의 집합도 부분공간이 아니다**: 영행렬은 있지만 덧셈에 안 닫힌다. 🔢 $\begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0&0 \\ 0&1 \end{bmatrix} = I$ — 특이행렬 둘을 더했더니 가역행렬이 나왔다.
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- **행렬** $A$ **의 열만 모으면 부분공간이 아니다**: $3 \times 3$ 행렬이면 열이 딱 3개, 벡터 3개짜리 유한집합이다. 부분공간이 되려면 $2 \times ($1열$)$, $($1열$) + ($2열$)$ 같은 **결합 결과가 전부** 들어 있어야 하는데 하나도 없다. 그래서 열들을 재료로 **모든 선형결합을 채워 넣어야** 비로소 열공간이 된다. 이 채워 넣는 행위가 **"생성"** 이다.
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- **가역행렬 전체의 집합은 (** $\mathbb{R}^{n\times n}$ **의) 부분공간이 아니다**: 두 가지 이유. ① 영행렬(이 공간의 영벡터)이 없다. 영행렬은 비가역이니까. ② 덧셈에 안 닫힌다: $I$ 와 $-I$ 는 둘 다 가역이지만 $I + (-I) = 0$ 은 비가역 → 합이 집합을 탈출.
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- **특이행렬 전체의 집합도 부분공간이 아니다**: 영행렬은 있지만 덧셈에 안 닫힌다. 🔢 $\begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0&0 \\ 0&1 \end{bmatrix} = I$, 특이행렬 둘을 더했더니 가역행렬이 나왔다.
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- 💡 셋의 공통 교훈: 부분공간 여부는 "좋은 벡터들을 모았느냐"가 아니라 **"연산에 닫혀 있느냐"** 하나로 판정된다. (연습문제 14가 이 내용 그대로다.)
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- **[5단계] 행공간, 그리고 '생성'**
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- **행공간** (row space) — $A$ 의 **행**들의 모든 선형결합. 행을 세워서 열로 만들면 전치행렬이므로, 깔끔하게 **행공간 =** $\mathbf{C}(A^{\mathrm{T}})$ 로 쓴다 ($A$ 가 $m \times n$ 이면 행공간은 $\mathbb{R}^n$ 의 부분공간).
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- **행공간** (row space): $A$ 의 **행**들의 모든 선형결합. 행을 세워서 열로 만들면 전치행렬이므로, 깔끔하게 **행공간 =** $\mathbf{C}(A^{\mathrm{T}})$ 로 쓴다 ($A$ 가 $m \times n$ 이면 행공간은 $\mathbb{R}^n$ 의 부분공간).
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- 📌 원문 (p.137): ((6a686148-a398-42de-8cf8-40c16d4fc2a1)) / ((6a68615c-4d21-4589-bb5e-a16ed5a59b1b))
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- **생성** (span) — 벡터 집합 $S$ 의 **모든 선형결합을 포함시켜** 만든 벡터공간 $\mathbf{V}$ 를 두고 "$S$ 가 $\mathbf{V}$ 를 생성한다"고 한다. $\mathbf{V}$ 는 $S$ 를 포함하는 **가장 작은** 벡터공간이다.
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- **생성** (span): 벡터 집합 $S$ 의 **모든 선형결합을 포함시켜** 만든 벡터공간 $\mathbf{V}$ 를 두고 "$S$ 가 $\mathbf{V}$ 를 생성한다"고 한다. $\mathbf{V}$ 는 $S$ 를 포함하는 **가장 작은** 벡터공간이다.
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- 📌 원문 (p.138): ((6a6861d6-3ef8-4eb5-9a46-01cf243b0c8f)) / ((6a6861dd-f2db-430b-bc2a-4e46dfebc8c6))
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- $A$ 의 $n$ 개의 열은 $\mathbf{C}(A)$ 를 생성한다. $A^{\mathrm{T}}$ 의 $m$ 개의 열(= $A$ 의 행)은 행공간을 생성한다. ⚠️ **생성과 선형독립성은 무관하다** — 종속인 벡터들도 공간을 생성할 수 있다 (그냥 재료가 남아도는 것).
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- 📌 원문 — 언제 10개의 벡터가 ℝ⁵을 생성하는가 (p.139): ((6a6861f6-3c80-4cbf-bb9a-c70b29f69418))
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- 답의 감: 가능하다 — 하지만 "아무 10개"는 안 된다. 10개 중 (뒤에서 배울 언어로) **선형독립인 5개**가 들어 있어야 한다. 정확한 판정 도구는 3.4절.
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- **영공간 예고** — $Ax = 0$ 의 해들을 모은 집합도 벡터공간이다 ($Ax = 0, Ay = 0$ 이면 $A(cx+dy) = 0$ ✓). 이것이 **영공간** $\mathbf{N}(A)$ 이고, 계산법이 다음 절 [[3.2 소거법을 이용한 영공간 계산 A = CR]] 전체의 주제다.
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- $A$ 의 $n$ 개의 열은 $\mathbf{C}(A)$ 를 생성한다. $A^{\mathrm{T}}$ 의 $m$ 개의 열(= $A$ 의 행)은 행공간을 생성한다. ⚠️ **생성과 선형독립성은 무관하다**: 종속인 벡터들도 공간을 생성할 수 있다 (그냥 재료가 남아도는 것).
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- 📌 원문 (언제 10개의 벡터가 ℝ⁵을 생성하는가, p.139): ((6a6861f6-3c80-4cbf-bb9a-c70b29f69418))
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- 답의 감: 가능하다. 하지만 "아무 10개"는 안 된다. 10개 중 (뒤에서 배울 언어로) **선형독립인 5개**가 들어 있어야 한다. 정확한 판정 도구는 3.4절.
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- **영공간 예고**: $Ax = 0$ 의 해들을 모은 집합도 벡터공간이다 ($Ax = 0, Ay = 0$ 이면 $A(cx+dy) = 0$ ✓). 이것이 **영공간** $\mathbf{N}(A)$ 이고, 계산법이 다음 절 [[3.2 소거법을 이용한 영공간 계산 A = CR]] 전체의 주제다.
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- 📌 원문 (p.132): ((6a685a91-40b4-4ff2-9376-66433c61d86e)) / ((6a685a96-8151-425c-aff1-8f76ab7b3205))
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- 📌 원문 — 가역행렬의 영공간 (p.133): ((6a685c11-eeec-447d-a392-e985bf0f02ee)) / ((6a685c2b-abee-4e34-9ae6-52cbbb35664a))
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- $A$ 가 가역이면 $Ax = 0$ 의 유일한 해는 $x = 0$ → 영공간은 $\mathbf{Z}$. (이 경우 열들은 선형독립 — 이 연결도 3.4에서 정식화된다.)
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- 📌 원문 (가역행렬의 영공간, p.133): ((6a685c11-eeec-447d-a392-e985bf0f02ee)) / ((6a685c2b-abee-4e34-9ae6-52cbbb35664a))
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- $A$ 가 가역이면 $Ax = 0$ 의 유일한 해는 $x = 0$ → 영공간은 $\mathbf{Z}$. (이 경우 열들은 선형독립, 이 연결도 3.4에서 정식화된다.)
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- 🧭 **이정표**: 이 절부터 "선형독립", "생성", "기저", "차원" 같은 말이 정의 없이 계속 나온다. **정식 정의는 전부 [[3.4 독립, 기저, 차원]] 에 있다.** 그 전까지는 감(독립 ≈ 서로 겹치지 않음, 기저 ≈ 공간을 만드는 최소 재료)으로 읽고 넘어가면 된다.
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- 📌 원문 — 기저 예고 (p.132): ((6a685b10-625e-4ab7-a79f-76f40b0f0ba6)) / ((6a685b18-d976-44bd-b7b6-d36e4770223b))
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- 📌 원문 (기저 예고, p.132): ((6a685b10-625e-4ab7-a79f-76f40b0f0ba6)) / ((6a685b18-d976-44bd-b7b6-d36e4770223b))
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- ### ❓ 스스로 점검
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- 부분집합과 부분공간의 차이를 한 문장으로 말하라.
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- 부분집합은 벡터들을 그냥 골라 담은 것(조건 없음), 부분공간은 그중 $v+w$ 와 $cv$ 에 닫혀 있어서 그 자체로 벡터공간이 되는 것.
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@ -88,47 +88,47 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- 행공간을 전치행렬로 표현하면? $m \times n$ 행렬의 열공간과 행공간은 각각 어디의 부분공간인가?
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- 행공간 $= \mathbf{C}(A^{\mathrm{T}})$. 열공간은 $\mathbb{R}^m$, 행공간은 $\mathbb{R}^n$ 의 부분공간.
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- ### ✏️ 연습문제 풀이 (솔루션 참고)
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- ※ 문제 1~7은 "일반적인 벡터공간"(꼭 열벡터가 아닌)에 관한 문제다. 벡터공간의 8가지 조건 목록은 책 p.139 참고 — (1)~(4)는 덧셈, (5)~(6)은 스칼라곱, (7)~(8)은 둘의 연결.
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- **문제 1** — 덧셈을 $(x_1, x_2) + (y_1, y_2) = (x_1 + y_2,\ x_2 + y_1)$ 로 바꾸면 (스칼라곱은 평소대로) 8가지 조건 중 무엇이 깨지는가?
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- ※ 문제 1~7은 "일반적인 벡터공간"(꼭 열벡터가 아닌)에 관한 문제다. 벡터공간의 8가지 조건 목록은 책 p.139 참고, (1)~(4)는 덧셈, (5)~(6)은 스칼라곱, (7)~(8)은 둘의 연결.
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- **문제 1**: 덧셈을 $(x_1, x_2) + (y_1, y_2) = (x_1 + y_2,\ x_2 + y_1)$ 로 바꾸면 (스칼라곱은 평소대로) 8가지 조건 중 무엇이 깨지는가?
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- 깨지는 것: **(1)** $x + y \ne y + x$, **(2)** 결합법칙, **(8)** $(c_1 + c_2)x \ne c_1 x + c_2 x$.
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- 🔢 (1) 확인: $x=(1,2), y=(3,4)$ → $x+y = (1+4, 2+3) = (5,5)$, $y+x = (3+2, 4+1) = (5,5)$... 같아 보이지만 $x=(1,2), y=(3,5)$ 로 하면 $x+y=(6,5)$, $y+x=(5,6)$ — 다르다.
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- 💡 "성분을 엇갈려 더한다"는 사소한 변경 하나로 세 조건이 무너진다 — 8조건이 그냥 형식이 아니라 실제 제약임을 보여주는 문제.
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- **문제 2** — 스칼라곱을 $cx = (cx_1, 0)$ 으로 바꾸면 (덧셈은 평소대로) 8가지 조건을 만족하는가?
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- 🔢 (1) 확인: $x=(1,2), y=(3,4)$ → $x+y = (1+4, 2+3) = (5,5)$, $y+x = (3+2, 4+1) = (5,5)$... 같아 보이지만 $x=(1,2), y=(3,5)$ 로 하면 $x+y=(6,5)$, $y+x=(5,6)$, 다르다.
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- 💡 "성분을 엇갈려 더한다"는 사소한 변경 하나로 세 조건이 무너진다. 8조건이 그냥 형식이 아니라 실제 제약임을 보여주는 문제.
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- **문제 2**: 스칼라곱을 $cx = (cx_1, 0)$ 으로 바꾸면 (덧셈은 평소대로) 8가지 조건을 만족하는가?
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- **조건 (5)** $1 \cdot x = x$ **하나만 깨진다**: $1 \cdot (x_1, x_2) = (x_1, 0) \ne x$. 덧셈 관련 (1)~(4)는 덧셈을 안 바꿨으니 그대로 성립.
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- 💡 조건 (5)가 목록에 있는 이유가 바로 이런 "찌그러뜨리는 스칼라곱"을 막기 위해서다.
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- **문제 3** — (a) $\mathbb{R}^1$ 에서 양수 $x > 0$ 만 남기면? (b) 양수들에서 합을 $x + y \equiv xy$, 스칼라곱을 $cx \equiv x^c$ 로 정의하면?
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- **문제 3**: (a) $\mathbb{R}^1$ 에서 양수 $x > 0$ 만 남기면? (b) 양수들에서 합을 $x + y \equiv xy$, 스칼라곱을 $cx \equiv x^c$ 로 정의하면?
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- (a) $cx$ 가 집합을 벗어날 수 있고 ($c < 0$), 영벡터도 $-x$ 도 없다 → 부분공간 아님.
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- (b) **8가지 조건을 모두 만족한다!** 조건 (7) 확인 ($c=3, x=2, y=1$): $x + y = 2 \times 1 = 2$ 이므로 $c(x+y) = 2^3 = 8$; $cx + cy = 2^3 \times 1^3 = 8$ ✓.
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- 이 벡터공간에서 '영벡터' 역할은 **숫자 1**: $x + 0 = x \cdot 1 = x$.
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- 💡 벡터공간의 정의는 "덧셈처럼 행동하는 연산"이면 뭐든 허용한다 — 곱셈도 조건만 맞으면 '덧셈'이 될 수 있다.
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- **문제 4** — $A = \begin{bmatrix} 2&-2 \\ 2&-2 \end{bmatrix}$ 는 2×2 행렬공간 $\mathbf{M}$ 의 '벡터'다. 이 공간의 영벡터, $\frac{1}{2}A$, $-A$ 는? $A$ 를 포함하는 가장 작은 부분공간은?
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- 💡 벡터공간의 정의는 "덧셈처럼 행동하는 연산"이면 뭐든 허용한다. 곱셈도 조건만 맞으면 '덧셈'이 될 수 있다.
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- **문제 4**: $A = \begin{bmatrix} 2&-2 \\ 2&-2 \end{bmatrix}$ 는 2×2 행렬공간 $\mathbf{M}$ 의 '벡터'다. 이 공간의 영벡터, $\frac{1}{2}A$, $-A$ 는? $A$ 를 포함하는 가장 작은 부분공간은?
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- 영벡터 = 영행렬 $\begin{bmatrix} 0&0 \\ 0&0 \end{bmatrix}$, $\frac{1}{2}A = \begin{bmatrix} 1&-1 \\ 1&-1 \end{bmatrix}$, $-A = \begin{bmatrix} -2&2 \\ -2&2 \end{bmatrix}$.
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- 가장 작은 부분공간 = $A$ 의 모든 상수배 $\{cA\}$ — "행렬의 직선".
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- **문제 5** — (a) $A = \begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&0 \end{bmatrix}$ 는 포함하고 $B = \begin{bmatrix} 0&0 \\ 0&-1 \end{bmatrix}$ 는 포함하지 않는 $\mathbf{M}$ 의 부분공간? (b) $A, B$ 를 둘 다 포함하는 부분공간은 $I$ 를 포함해야 하나? (c) 0 아닌 대각행렬을 포함하지 않는 부분공간?
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- (a) $\{cA\}$ ($A$ 의 상수배 직선) — $B$ 는 $A$ 의 상수배가 아니므로 미포함.
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- 가장 작은 부분공간 = $A$ 의 모든 상수배 $\{cA\}$, "행렬의 직선".
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- **문제 5**: (a) $A = \begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&0 \end{bmatrix}$ 는 포함하고 $B = \begin{bmatrix} 0&0 \\ 0&-1 \end{bmatrix}$ 는 포함하지 않는 $\mathbf{M}$ 의 부분공간? (b) $A, B$ 를 둘 다 포함하는 부분공간은 $I$ 를 포함해야 하나? (c) 0 아닌 대각행렬을 포함하지 않는 부분공간?
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- (a) $\{cA\}$ ($A$ 의 상수배 직선): $B$ 는 $A$ 의 상수배가 아니므로 미포함.
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- (b) **그렇다**: 부분공간은 $A - B = \begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{bmatrix} = I$ 를 포함해야 한다 (닫힘).
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- (c) 주대각선이 전부 0인 행렬들의 집합 $\begin{bmatrix} 0&b \\ c&0 \end{bmatrix}$.
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- **문제 6** — $f(x) = x^2$, $g(x) = 5x$ 는 함수공간 $\mathbf{F}$ 의 '벡터'다. 선형결합 $3f - 4g$ 는?
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- **문제 6**: $f(x) = x^2$, $g(x) = 5x$ 는 함수공간 $\mathbf{F}$ 의 '벡터'다. 선형결합 $3f - 4g$ 는?
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- $h(x) = 3x^2 - 20x$. 💡 함수의 선형결합 = 같은 $x$ 에서 함숫값의 선형결합. 벡터의 성분별 연산과 완전히 같은 구조다.
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- **문제 7** — $cf$ 를 "$f(cx)$" 로 정의하면 어떤 조건이 깨지는가? (합은 평소대로)
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- **조건 (8)**: $(c_1 + c_2)f = f((c_1+c_2)x)$ 인데 $c_1 f + c_2 f = f(c_1 x) + f(c_2 x)$ — 일반적으로 다르다. 🔢 $f(x) = x^2, c_1 = c_2 = 1$: 좌변 $f(2x) = 4x^2$, 우변 $x^2 + x^2 = 2x^2$.
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- **문제 8** — 부분공간의 두 조건 중 하나만 만족하는 예: (a) $x+y$ 에는 닫혀 있고 $\frac{1}{2}x$ 에는 안 닫힌 $\mathbb{R}^2$ 부분집합 (b) $cx$ 에는 닫혀 있고 $x+y$ 에는 안 닫힌 부분집합.
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- **문제 7**: $cf$ 를 "$f(cx)$" 로 정의하면 어떤 조건이 깨지는가? (합은 평소대로)
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- **조건 (8)**: $(c_1 + c_2)f = f((c_1+c_2)x)$ 인데 $c_1 f + c_2 f = f(c_1 x) + f(c_2 x)$, 일반적으로 다르다. 🔢 $f(x) = x^2, c_1 = c_2 = 1$: 좌변 $f(2x) = 4x^2$, 우변 $x^2 + x^2 = 2x^2$.
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- **문제 8**: 부분공간의 두 조건 중 하나만 만족하는 예: (a) $x+y$ 에는 닫혀 있고 $\frac{1}{2}x$ 에는 안 닫힌 $\mathbb{R}^2$ 부분집합 (b) $cx$ 에는 닫혀 있고 $x+y$ 에는 안 닫힌 부분집합.
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- 📌 문제 지문 (p.140): [🔗 PDF 위치](((6a6e8ca7-0b52-401e-bd74-5dcf2b17cb3a)))
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- (a) **정수 성분 벡터들의 집합**: 정수 + 정수 = 정수 ✓, 그러나 $\frac{1}{2}(1,1) = (\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ 탈출.
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- (b) **두 직선의 합집합** (예: $x$ 축 ∪ $y$ 축): 각 직선 위에서 스칼라곱은 닫힘 ✓, 그러나 $(1,0) + (0,1) = (1,1)$ 탈출. (제1∪제3사분면도 같은 유형의 예.)
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- **문제 9** — 다음 중 $\mathbb{R}^3$ 의 부분공간은? (a) $b_1 = b_2$ 평면 (b) $b_1 = 1$ 평면 (c) $b_1 b_2 b_3 = 0$ (d) $v=(1,4,0), w=(2,2,2)$ 의 모든 선형결합 (e) $b_1 + b_2 + b_3 = 0$ (f) $b_1 \le b_2 \le b_3$
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- **문제 9**: 다음 중 $\mathbb{R}^3$ 의 부분공간은? (a) $b_1 = b_2$ 평면 (b) $b_1 = 1$ 평면 (c) $b_1 b_2 b_3 = 0$ (d) $v=(1,4,0), w=(2,2,2)$ 의 모든 선형결합 (e) $b_1 + b_2 + b_3 = 0$ (f) $b_1 \le b_2 \le b_3$
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- 📌 문제 지문 (p.141): [🔗 PDF 위치](((6a6e8cb1-133b-4204-8a09-47f562a1fa03)))
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- 부분공간: **(a), (d), (e)**.
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- 탈락 이유 — (b): 원점이 없다 ($b_1 = 1 \neq 0$). (c): 좌표축들의 합집합이라 덧셈에 안 닫힘 — $(1,0,0)+(0,1,1) = (1,1,1)$ 은 $b_1 b_2 b_3 = 1 \ne 0$. (f): $-1$ 배 하면 부등호가 뒤집힘 — $(0,1,2) \to (0,-1,-2)$ 는 $b_1 \le b_2$ 위반.
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- 💡 (a)(e)는 "원점 지나는 평면"($=\mathbf{P}$ 유형), (d)는 "두 벡터가 생성하는 평면" — 생김새는 달라도 전부 같은 부류다.
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- **문제 10** — 2×2 행렬공간 $\mathbf{M}$ 에서 다음을 포함하는 가장 작은 부분공간은? (a) $\begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0&1 \\ 0&0 \end{bmatrix}$ (b) $\begin{bmatrix} 1&1 \\ 0&0 \end{bmatrix}$ (c) $\begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{bmatrix}$
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- 탈락 이유, (b): 원점이 없다 ($b_1 = 1 \neq 0$). (c): 좌표축들의 합집합이라 덧셈에 안 닫힘, $(1,0,0)+(0,1,1) = (1,1,1)$ 은 $b_1 b_2 b_3 = 1 \ne 0$. (f): $-1$ 배 하면 부등호가 뒤집힘, $(0,1,2) \to (0,-1,-2)$ 는 $b_1 \le b_2$ 위반.
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- 💡 (a)(e)는 "원점 지나는 평면"($=\mathbf{P}$ 유형), (d)는 "두 벡터가 생성하는 평면", 생김새는 달라도 전부 같은 부류다.
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- **문제 10**: 2×2 행렬공간 $\mathbf{M}$ 에서 다음을 포함하는 가장 작은 부분공간은? (a) $\begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0&1 \\ 0&0 \end{bmatrix}$ (b) $\begin{bmatrix} 1&1 \\ 0&0 \end{bmatrix}$ (c) $\begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{bmatrix}$
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- 📌 문제 지문 (p.141): [🔗 PDF 위치](((6a6e8cb5-cc8c-4021-9e2b-46343aac3aff)))
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- "가장 작은 부분공간" = 주어진 것들의 **모든 선형결합** (= 생성된 공간).
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- (a) $\begin{bmatrix} a&b \\ 0&0 \end{bmatrix}$ 전체 (b) $\begin{bmatrix} a&a \\ 0&0 \end{bmatrix}$ 전체 (c) $a\begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&1 \end{bmatrix} + b\begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a+b&a \\ a&a+b \end{bmatrix}$ 꼴 전체.
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- **문제 14** — (a) $\mathbf{M}$ 에서 가역행렬의 집합이 부분공간이 아님을 보여라. (b) 특이행렬의 집합이 부분공간이 아님을 보여라.
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- (a) 영행렬이 없다 (영행렬은 비가역). 또 $I + (-I) = 0$ — 가역 둘의 합이 비가역.
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- (b) $\begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0&0 \\ 0&1 \end{bmatrix} = I$ — 특이행렬 둘의 합이 가역. 덧셈에 안 닫힘.
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- **문제 14**: (a) $\mathbf{M}$ 에서 가역행렬의 집합이 부분공간이 아님을 보여라. (b) 특이행렬의 집합이 부분공간이 아님을 보여라.
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- (a) 영행렬이 없다 (영행렬은 비가역). 또 $I + (-I) = 0$, 가역 둘의 합이 비가역.
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- (b) $\begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0&0 \\ 0&1 \end{bmatrix} = I$, 특이행렬 둘의 합이 가역. 덧셈에 안 닫힘.
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- 💡 본문 [4단계]의 "가역·특이행렬은 부분공간을 형성하지 않는다" 하이라이트가 바로 이 문제다.
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@ -8,46 +8,46 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- **[3단계]** 자유변수에 1과 0을 넣어 **특별해** 완성 → 영공간을 다 얻는다
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- **[4단계]** $R_0$ 의 구조 $[\,I\ F\,]P$ 와 $H = WF$ → $A = CR$ 완성
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- **[5단계]** $n > m$ 이면 반드시 0 아닌 해가 존재하는 이유
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- **[1단계] 소거의 완성형 — 기약행 사다리꼴** $R_0 = \mathrm{rref}(A)$
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- **[1단계] 소거의 완성형, 기약행 사다리꼴** $R_0 = \mathrm{rref}(A)$
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- 2장에서는 정사각·가역 $A$ 를 상삼각 $U$ 로 만들고 멈췄다. 이제 임의의 $m \times n$ 행렬에 대해 소거를 **끝까지** 간다: 피벗 **위쪽**도 0으로 만들고, 각 행을 피벗으로 나눠 피벗을 전부 1로 만든다.
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- 📌 원문 (p.146): ((6a6b5fa3-a6fe-4467-9191-703689a8aceb))
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- 📌 원문 — 2장 요약과의 연결 (p.144): ((6a6b5f7d-6107-49fa-8595-9e8cdea480e8))
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- 📌 원문 (2장 요약과의 연결, p.144): ((6a6b5f7d-6107-49fa-8595-9e8cdea480e8))
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- 🔢 EX2 의 전 과정 ($3 \times 4$, 랭크 2):
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- $$A = \begin{bmatrix} 1&7&3&35 \\ 2&14&6&70 \\ 2&14&9&97 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1&7&3&35 \\ 0&0&0&0 \\ 0&0&3&27 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1&7&0&8 \\ 0&0&0&0 \\ 0&0&3&27 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1&7&0&8 \\ 0&0&1&9 \\ 0&0&0&0 \end{bmatrix} = R_0$$
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- 마지막에 3행을 3으로 나누고(피벗 = 1), 영행을 맨 아래로 교환했다. 항등행렬 모양의 1들이 **1열과 3열**에 생겼다.
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- 📌 원문 — '사다리꼴' 용어의 뜻 (p.145): ((6a6b5f99-2eb7-46ba-a875-32432525fbae))
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- 📌 원문 ('사다리꼴' 용어의 뜻, p.145): ((6a6b5f99-2eb7-46ba-a875-32432525fbae))
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- $R_0$ 와 $R$ 의 관계: $R_0$ 의 영행 $(m-r)$ 개를 제거하면 $R$ 이다. 두 가지 표준 형태:
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- 가장 간단한 경우: $R = [\,I\ \ F\,]$ (피벗 열이 앞쪽에 몰린 경우)
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- 일반적인 경우: $R_0 = \begin{bmatrix} I&F \\ 0&0 \end{bmatrix}P$ — 치환행렬 $P$ 가 열 순서를 기록한다
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- 일반적인 경우: $R_0 = \begin{bmatrix} I&F \\ 0&0 \end{bmatrix}P$, 치환행렬 $P$ 가 열 순서를 기록한다
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- 📌 원문 (p.146): ((6a6b5fa9-754f-408e-8d16-bc39d56c1267))
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- 💡 $R_0$ 는 소거 경로와 무관하게 $A$ **에 의해 유일하게 결정**된다. 어떤 순서로 소거해도 같은 $R_0$.
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- **[2단계] 자유변수 — 이 절의 최중요 용어** (⚠️ 책이 정의 없이 쓰기 시작하는 말)
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- **한 줄 정의: 자유변수 = 소거가 끝난 뒤에도 아무도 붙잡지 않는 미지수 — 아무 값이나 넣어도 되는 변수.**
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- **[2단계] 자유변수, 이 절의 최중요 용어** (⚠️ 책이 정의 없이 쓰기 시작하는 말)
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- **한 줄 정의: 자유변수 = 소거가 끝난 뒤에도 아무도 붙잡지 않는 미지수, 아무 값이나 넣어도 되는 변수.**
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- 왜 생기나: 미지수는 $n$ 개인데 유효한 방정식(= 피벗 있는 행)은 $r$ 개뿐이다. 방정식 $r$ 개는 미지수 $r$ 개만 붙잡을 수 있다 → 남는 $(n-r)$ 개는 자유.
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- 💡 비유: 방정식 = 수갑, 미지수 = 사람. 수갑 $r$ 개로 사람 $n$ 명을 못 묶는다. 안 묶인 $(n-r)$ 명(자유변수)은 어디든 가고, 묶인 $r$ 명(피벗변수)은 그들이 움직이는 대로 따라 정해진다.
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- **구분법은 기계적**: $R_0$ 에서 **피벗(선두 1)이 있는 열** 번호의 변수 = **피벗변수**, **피벗이 없는 열** 번호의 변수 = **자유변수**. 영행은 무시.
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- 🔢 위 EX2: 피벗이 1열·3열에 → $x_1, x_3$ 피벗변수 / 2열·4열엔 피벗 없음 → $x_2, x_4$ 자유변수.
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- ⚠️ "앞에서부터 $r$ 개가 피벗변수"가 **아니다**. 피벗은 1, 3열처럼 뛰엄뛰엄 걸릴 수 있다 — 그래서 열 순서를 정리하는 $P$ 를 붙여 $R = [\,I\ \ F\,]P$ 로 쓰는 것.
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- ⚠️ "앞에서부터 $r$ 개가 피벗변수"가 **아니다**. 피벗은 1, 3열처럼 뛰엄뛰엄 걸릴 수 있다. 그래서 열 순서를 정리하는 $P$ 를 붙여 $R = [\,I\ \ F\,]P$ 로 쓰는 것.
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- 역할 분담: **자유변수 = 내가 고르는 입력, 피벗변수 = 방정식이 자동으로 결정하는 출력.**
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- **[3단계] 특별해 — 영공간을 만드는 조리법**
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- **[3단계] 특별해, 영공간을 만드는 조리법**
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- **특별해** (special solution): 자유변수 **하나에만 1**, 나머지 자유변수에 0을 넣고 피벗변수를 역대입으로 구한 해. 자유변수가 $(n-r)$ 개이므로 특별해도 $(n-r)$ 개.
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- 🔢 EX2 끝까지: $R_0 x = 0$ ⟺ $x_1 + 7x_2 + 8x_4 = 0$, $x_3 + 9x_4 = 0$
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- $x_2 = 1, x_4 = 0$: → $x_1 = -7$, $x_3 = 0$ → $s_1 = (-7, 1, 0, 0)$
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- $x_2 = 0, x_4 = 1$: → $x_1 = -8$, $x_3 = -9$ → $s_2 = (-8, 0, -9, 1)$
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- **영공간 = 특별해들의 모든 선형결합**: $\mathbf{N}(A) = \{c_1 s_1 + c_2 s_2\}$. 특별해가 영공간의 **기저**가 된다 (기저의 정식 정의는 3.4).
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- 📌 원문 (p.145): ((6a6b5f8a-654a-490b-862c-a5cb063f1188))
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- 💡 공식 한 방 정리: $[\,I\ \ F\,]x = 0$ 의 특별해들 = $\begin{bmatrix} -F \\ I \end{bmatrix}$ 의 열들. 열 순서가 섞였으면 $P^{\mathrm{T}}\begin{bmatrix} -F \\ I \end{bmatrix}$ 의 열들. ($[\,I\ F\,]\begin{bmatrix} -F \\ I \end{bmatrix} = -F + F = 0$ — 검산이 자동으로 된다!)
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- 💡 공식 한 방 정리: $[\,I\ \ F\,]x = 0$ 의 특별해들 = $\begin{bmatrix} -F \\ I \end{bmatrix}$ 의 열들. 열 순서가 섞였으면 $P^{\mathrm{T}}\begin{bmatrix} -F \\ I \end{bmatrix}$ 의 열들. ($[\,I\ F\,]\begin{bmatrix} -F \\ I \end{bmatrix} = -F + F = 0$, 검산이 자동으로 된다!)
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- ⚠️ 소거는 해를 바꾸지 않는다: $\mathbf{N}(A) = \mathbf{N}(R_0) = \mathbf{N}(R)$. 그래서 어려운 $Ax=0$ 대신 쉬운 $R_0 x = 0$ 을 푸는 것이 정당하다. (연습문제 1이 이 사실의 증명이다.)
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- **[4단계]** $R_0$ **가 알려주는 것 —** $H = WF$ **와** $A = CR$
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- **[4단계]** $R_0$ **가 알려주는 것:** $H = WF$ **와** $A = CR$
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- 소거가 답하는 질문은 이것이다: **"새로운 열은 이전 열들과 선형종속인가?"**
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- 📌 원문 (p.146): ((6a6b5faf-d090-4dd6-8043-1d45e7583aa0))
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- 새 열에서 (이전 피벗들 아래에) 0 아닌 성분이 남으면 → **독립** → 새 피벗 열. 전부 0이 되면 → **종속** → 자유 열이 되고 $F$ 에 계수가 기록된다.
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- $2 \times 4$ 예 (p.147): $A = \begin{bmatrix} 1&2&11&17 \\ 3&7&37&57 \end{bmatrix}$ 에서 독립인 1·2열을 $W = \begin{bmatrix} 1&2 \\ 3&7 \end{bmatrix}$, 종속인 3·4열을 $H = \begin{bmatrix} 11&17 \\ 37&57 \end{bmatrix}$ 라 하면:
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- $W^{-1}A = W^{-1}[\,W\ \ H\,] = [\,I\ \ W^{-1}H\,] = [\,I\ \ F\,]$ — 소거의 정체는 $W^{-1}$ **를 곱하는 것**이었다!
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- $W^{-1}A = W^{-1}[\,W\ \ H\,] = [\,I\ \ W^{-1}H\,] = [\,I\ \ F\,]$, 소거의 정체는 $W^{-1}$ **를 곱하는 것**이었다!
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- 그러므로 $F = W^{-1}H$, 즉 $H = WF$:
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- $$H = \begin{bmatrix} 11&17 \\ 37&57 \end{bmatrix} = WF = \begin{bmatrix} 1&2 \\ 3&7 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3&5 \\ 4&6 \end{bmatrix}$$
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- 💡 $F$ 의 역할: **독립인 열들을 어떻게 결합하면 종속인 열이 나오는지 알려주는 조리법**. (종속 = 독립 × $F$.)
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- ⚠️ **정오표 — 책 p.147 박스 ❷의 오타** (내가 빨간 하이라이트로 표시해둔 곳):
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- ⚠️ **정오표, 책 p.147 박스 ❷의 오타** (내가 빨간 하이라이트로 표시해둔 곳):
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- 📌 원문 (p.147): ((6a6b5fc4-7bd5-41f6-b211-a7cfd1c1a282))
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- 책에는 "(A의 선형독립인 열) = (A의 선형종속인 열) × F" 라고 인쇄되어 있는데 **독립/종속이 뒤바뀐 오식**이다. 올바른 문장:
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- $$\text{(A의 선형종속인 열)} = \text{(A의 선형독립인 열)} \times F \qquad (H = WF)$$
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@ -56,7 +56,7 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- 📌 원문 (p.149): ((6a6b6006-942c-4f60-ac32-9d2e8ad4e45a))
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- "위치" = **열 번호 목록**이다. $R_0$ 에서 $I$ 를 이루는 열(= 피벗 열)이 몇 번째 열인지 보면, **행렬** $A$ **에서 그 번호의 열들을 원본 그대로 뽑아** $C$ 를 만들라는 뜻.
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- 🔢 EX2: $R_0$ 의 $I$ 는 1열·3열에 있다 → $A$ 의 **1열** $(1,2,2)$ **와 3열** $(3,6,9)$ 이 $C$ 의 열이 된다: $C = \begin{bmatrix} 1&3 \\ 2&6 \\ 2&9 \end{bmatrix}$.
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- ⚠️ $C$ 의 열은 $R_0$ 의 열($0$ 과 $1$ 로 찌그러진 것)이 **아니라** $A$ 의 **원본 열**이다. $R_0$ 는 "어느 열을 뽑을지"만 알려주는 **안내판**이고, 재료는 $A$ 에서 가져온다. (소거가 열공간 자체를 바꿔버리기 때문 — 3.5절에서 다시.)
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- ⚠️ $C$ 의 열은 $R_0$ 의 열($0$ 과 $1$ 로 찌그러진 것)이 **아니라** $A$ 의 **원본 열**이다. $R_0$ 는 "어느 열을 뽑을지"만 알려주는 **안내판**이고, 재료는 $A$ 에서 가져온다. (소거가 열공간 자체를 바꿔버리기 때문, 3.5절에서 다시.)
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- $A = CR$ 완성 (EX3, p.150):
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- $$A = \begin{bmatrix} 1&2&1 \\ 2&4&5 \\ 3&6&9 \end{bmatrix} = CR = \begin{bmatrix} 1&1 \\ 2&5 \\ 3&9 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&2&0 \\ 0&0&1 \end{bmatrix} = (C\text{의 열 기저}) \times (R\text{의 행 기저})$$
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- 📌 원문 (p.149): ((6a6b6003-baed-4e8c-8ee3-a2a1798181b3)) / ((6a6b601a-66cb-4d23-a68d-5ef3b2fa7407))
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@ -68,7 +68,7 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- 📌 원문 (p.151): ((6a6b609e-46ad-418b-aa3a-41a2cf13bf80)) / ((6a6b60a5-62e7-4143-ae8e-a9fcb1b8c238))
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- 이유는 카운팅 하나: 피벗은 행마다 최대 1개 → $r \le m < n$ → 자유변수가 $(n-r) \ge (n-m) \ge 1$ 개 → 특별해가 존재.
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- 📌 원문 (p.151): ((6a6b6086-5d0a-4dca-bbc9-4ee9dd539296))
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- 뒤집어 말하면: $\mathbb{R}^m$ **안에서는** $n > m$ **개의 선형독립인 열을 가질 수 없다.** ($n$ 개의 벡터를 열로 세우면 위 논리로 종속이 드러난다 — 3.4절에서 재사용되는 핵심 논리.)
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- 뒤집어 말하면: $\mathbb{R}^m$ **안에서는** $n > m$ **개의 선형독립인 열을 가질 수 없다.** ($n$ 개의 벡터를 열로 세우면 위 논리로 종속이 드러난다. 3.4절에서 재사용되는 핵심 논리.)
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- 📌 원문 (p.151): ((6a6b6080-45c0-4450-b783-ca74d3bbf525))
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- 💡 영공간의 크기 감각: 영공간의 '차원' = 자유변수 개수 $(n-r)$. (차원의 정식 정의는 [[3.4 독립, 기저, 차원]], 4공간 총정리는 [[3.5 4가지 기본 부분공간의 차원]].)
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- ### ❓ 스스로 점검
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@ -79,7 +79,7 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- $[\,I\ \ F\,]x = 0$ 의 특별해를 행렬 하나로 표현하면? 검산은 왜 자동인가?
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- $\begin{bmatrix} -F \\ I \end{bmatrix}$ 의 열들 (열 섞였으면 $P^{\mathrm{T}}$ 를 앞에). $[\,I\ F\,]\begin{bmatrix} -F \\ I \end{bmatrix} = -F + F = 0$ 이므로.
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- $H = WF$ 에서 $W, H, F$ 는 각각 무엇인가? 책 p.147 박스의 오타는 무엇인가?
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- $W$ = 독립인 열들, $H$ = 종속인 열들, $F$ = 독립을 결합해 종속을 만드는 계수(조리법). 박스는 "(독립 열) = (종속 열)×F"로 뒤바뀌어 인쇄됨 — 올바른 방향은 (종속 열) = (독립 열)×F.
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- $W$ = 독립인 열들, $H$ = 종속인 열들, $F$ = 독립을 결합해 종속을 만드는 계수(조리법). 박스는 "(독립 열) = (종속 열)×F"로 뒤바뀌어 인쇄됨. 올바른 방향은 (종속 열) = (독립 열)×F.
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- "$R_0$ 안의 $I$ 가 $C$ 의 위치를 알려준다"에서 '위치'란? $C$ 의 열은 어디서 가져오는가?
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- $I$ 를 이루는 피벗 열들의 열 번호. $C$ 의 열은 $R_0$ 가 아니라 $A$ **의 원본 열**을 그 번호대로 뽑아온다.
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- 왜 $\mathbf{N}(A) = \mathbf{N}(R_0)$ 인가?
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@ -87,27 +87,27 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- $n > m$ 이면 $Ax = 0$ 에 0 아닌 해가 반드시 존재하는 이유를 한 줄로.
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- 피벗 ≤ $m$ < $n$ → 자유변수 ≥ 1 → 특별해 존재.
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- ### ✏️ 연습문제 풀이 (솔루션 참고)
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- **문제 1** (카드화하기 좋은 문제) — $E$ 가 가역행렬일 때, $A$ 와 $R = EA$ 는 왜 동일한 영공간을 갖는가?
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- **문제 1** (카드화하기 좋은 문제): $E$ 가 가역행렬일 때, $A$ 와 $R = EA$ 는 왜 동일한 영공간을 갖는가?
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- 📌 문제 지문 (p.153): [🔗 PDF 위치](((6a6e8c28-2ec2-4994-a90e-16eeb55f3995)))
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- ($\subseteq$) $Ax = 0$ 이면 양변에 $E$ 를 곱해 $EAx = 0$, 즉 $Rx = 0$.
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- ($\supseteq$) $Rx = EAx = 0$ 이면 양변에 $E^{-1}$ 를 곱해 $Ax = 0$.
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- 💡 $E$ **의 가역성이 핵심이다** — 돌아올 수 있어야($E^{-1}$) 해가 안 늘어난다. "소거는 해를 바꾸지 않는다"의 진짜 이유이자, 이 절 전체의 논리적 기초.
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- **문제 2** — $A = \begin{bmatrix} 1&2&1 \\ 3&6&3 \\ 4&8&c \end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix} c&c \\ c&c \end{bmatrix}$ 의 $R$ 과 랭크, 피벗 열, 특별해를 ($c$ 값에 따라) 구하라.
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- 💡 $E$ **의 가역성이 핵심이다**: 돌아올 수 있어야($E^{-1}$) 해가 안 늘어난다. "소거는 해를 바꾸지 않는다"의 진짜 이유이자, 이 절 전체의 논리적 기초.
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- **문제 2**: $A = \begin{bmatrix} 1&2&1 \\ 3&6&3 \\ 4&8&c \end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix} c&c \\ c&c \end{bmatrix}$ 의 $R$ 과 랭크, 피벗 열, 특별해를 ($c$ 값에 따라) 구하라.
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- 📌 문제 지문 (p.153): [🔗 PDF 위치](((6a6e8c2e-7386-47f6-ba4d-c76b8aced7a6)))
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- $A$: 2행 = 3×(1행)이라 소거하면 $\begin{bmatrix} 1&2&1 \\ 0&0&0 \\ 0&0&c-4 \end{bmatrix}$.
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- $c = 4$: 랭크 1, 피벗 열 = 1열. 자유변수 $x_2, x_3$ → 특별해 $(-2, 1, 0), (-1, 0, 1)$.
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- $c \neq 4$: 랭크 2, 피벗 열 = 1열과 3열. 자유변수 $x_2$ → 특별해 $(-2, 1, 0)$.
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- $B$: $c = 0$ 이면 영행렬 — 랭크 0, 특별해 $(1,0), (0,1)$. $c \neq 0$ 이면 랭크 1, 피벗 열 1열, 특별해 $(-1, 1)$.
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- 💡 매개변수 하나($c$)가 랭크·자유변수 개수·영공간 차원을 통째로 바꾼다 — "랭크가 모든 것을 결정한다"의 체험.
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- **문제 6** — 참/거짓: (a) 정사각행렬에는 자유변수가 없다 (b) 가역행렬에는 자유변수가 없다 (c) $m \times n$ 행렬의 피벗변수는 $n$ 개보다 많을 수 없다 (d) $m$ 개보다 많을 수 없다
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- (a) **거짓** — 특이 정사각행렬은 자유변수를 갖는다 (예: 영행렬). (b) **참** — 가역이면 피벗 $n$ 개, $R_0 = I$. (c) **참** — 피벗은 열마다 최대 1개. (d) **참** — 피벗은 행마다 최대 1개.
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- 💡 (c)+(d)를 합치면 $r \le \min(m, n)$ — 랭크의 기본 부등식이 공짜로 나온다.
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- **문제 12** (빈칸 채우기 — 카드 재료로 좋음) — $m \times n$ 행렬에 피벗이 $r$ 개 있을 때: 특별해의 개수는 ___. 영공간이 $x = 0$ 만 포함하는 것은 $r =$ ___ 일 때. 열공간이 $\mathbb{R}^m$ 전체가 되는 것은 $r =$ ___ 일 때.
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- $B$: $c = 0$ 이면 영행렬, 랭크 0, 특별해 $(1,0), (0,1)$. $c \neq 0$ 이면 랭크 1, 피벗 열 1열, 특별해 $(-1, 1)$.
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- 💡 매개변수 하나($c$)가 랭크·자유변수 개수·영공간 차원을 통째로 바꾼다. "랭크가 모든 것을 결정한다"의 체험.
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- **문제 6**: 참/거짓: (a) 정사각행렬에는 자유변수가 없다 (b) 가역행렬에는 자유변수가 없다 (c) $m \times n$ 행렬의 피벗변수는 $n$ 개보다 많을 수 없다 (d) $m$ 개보다 많을 수 없다
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- (a) **거짓**: 특이 정사각행렬은 자유변수를 갖는다 (예: 영행렬). (b) **참**: 가역이면 피벗 $n$ 개, $R_0 = I$. (c) **참**: 피벗은 열마다 최대 1개. (d) **참**: 피벗은 행마다 최대 1개.
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- 💡 (c)+(d)를 합치면 $r \le \min(m, n)$, 랭크의 기본 부등식이 공짜로 나온다.
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- **문제 12** (빈칸 채우기, 카드 재료로 좋음): $m \times n$ 행렬에 피벗이 $r$ 개 있을 때: 특별해의 개수는 ___. 영공간이 $x = 0$ 만 포함하는 것은 $r =$ ___ 일 때. 열공간이 $\mathbb{R}^m$ 전체가 되는 것은 $r =$ ___ 일 때.
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- 특별해 $n - r$ 개 / 영공간 = $\{0\}$ ⟺ $r = n$ / 열공간 = $\mathbb{R}^m$ ⟺ $r = m$.
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- 💡 이 세 줄이 3.3절 "최대 열 랭크 / 최대 행 랭크" 논의의 뼈대다.
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- **문제 13** (꼭 풀어볼 만한 문제) — 평면 $x - 3y - z = 12$ 는 $x - 3y - z = 0$ 과 평행하다. $(12, 0, 0)$ 이 이 평면 위에 있을 때, 평면 위의 모든 점을 다음 꼴로 나타내라: $\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \square \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} \square \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + z\begin{bmatrix} \square \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$
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- **문제 13** (꼭 풀어볼 만한 문제): 평면 $x - 3y - z = 12$ 는 $x - 3y - z = 0$ 과 평행하다. $(12, 0, 0)$ 이 이 평면 위에 있을 때, 평면 위의 모든 점을 다음 꼴로 나타내라: $\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \square \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} \square \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + z\begin{bmatrix} \square \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$
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- $$\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + z\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$$
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- 검산: $x = 12 + 3y + z$ → $x - 3y - z = 12$ ✓.
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- 💡 구조를 보라: (평면 위 한 점) + (평행한 원점 평면의 모든 점) — 다음 절 완전해 $x = x_p + x_n$ 의 **예고편**이다. $y, z$ 가 자유변수, $(3,1,0)$ 과 $(1,0,1)$ 이 특별해 역할.
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- 💡 구조를 보라: (평면 위 한 점) + (평행한 원점 평면의 모든 점): 다음 절 완전해 $x = x_p + x_n$ 의 **예고편**이다. $y, z$ 가 자유변수, $(3,1,0)$ 과 $(1,0,1)$ 이 특별해 역할.
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@ -1,109 +1,111 @@
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deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- ### 핵심 개념
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- **이 절의 목표**: 드디어 우변이 0이 아닌 $Ax = b$ 의 **모든 해**를 구한다. 답의 형태는 단 한 줄 — **완전해 = (특수해 하나) + (영공간 전체)**. 이 절은 이 한 줄이 왜 성립하고 어떻게 계산하는지가 전부다.
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- **[1단계] 용어 3형제부터 정리** — 특수해 / 특별해 / 완전해 (⚠️ 이름이 비슷해서 혼동 주의)
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- **이 절의 목표**: 드디어 우변이 0이 아닌 $Ax = b$ 의 **모든 해**를 구한다. 답의 형태는 단 한 줄, **완전해 = (특수해 하나) + (영공간 전체)**. 이 절은 이 한 줄이 왜 성립하고 어떻게 계산하는지가 전부다.
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- **[1단계] 용어 3형제부터 정리**: 특수해 / 특별해 / 완전해 (⚠️ 이름이 비슷해서 혼동 주의)
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- | 용어 | 어느 방정식의 해? | 어떻게 고르나 |
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- **특수해** (particular solution) $x_p$ — $Ax = \mathbf{b}$ 의 해 **하나**. 가장 간단한 선택: **모든 자유변수 = 0** 으로 놓고 피벗변수만 구한 것.
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- **특수해** (particular solution) $x_p$, $Ax = \mathbf{b}$ 의 해 **하나**. 가장 간단한 선택: **모든 자유변수 = 0** 으로 놓고 피벗변수만 구한 것.
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- 📌 원문 (p.160): ((6a6c8d7a-b23c-4b70-9165-038a57e92b21)) / ((6a6c8d82-54da-4741-acfc-d0436c06b871))
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- **특별해** (special solution) $s$ — $Ax = \mathbf{0}$ 의 해. 자유변수 하나에 1, 나머지에 0 (3.2절 그대로). $(n-r)$ 개가 나와 영공간을 생성.
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- **완전해** (complete solution, 일반해) $x$ — $Ax = b$ 의 **모든** 해를 한꺼번에 쓴 것:
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- **특별해** (special solution) $s$, $Ax = \mathbf{0}$ 의 해. 자유변수 하나에 1, 나머지에 0 (3.2절 그대로). $(n-r)$ 개가 나와 영공간을 생성.
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- **완전해** (complete solution, 일반해) $x$, $Ax = b$ 의 **모든** 해를 한꺼번에 쓴 것:
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- $$x = x_p + x_n = x_p + c_1 s_1 + \cdots + c_{n-r}s_{n-r} \qquad (x_n \text{은 영공간의 임의의 벡터})$$
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- 💡 암기 코드: 특**수**해는 $Ax=b$ 를 만족하는 "**수**확물 하나", 특**별**해는 $Ax=0$ 에서 자유변수에 1·0을 넣는 "**별**도 규칙"으로 만든 해. 완전해 = 특수해 + (특별해들의 모든 결합).
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- **[2단계] 왜 완전해는 "합"인가** — 두 방향으로 확인 (사용자 요청: 자세히)
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- **[2단계] 왜 완전해는 "합"인가**: 두 방향으로 확인 (사용자 요청: 자세히)
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- **방향 ① (더해도 해다)**: $x_p$ 가 $Ax = b$ 의 해이고 $x_n$ 이 영공간 벡터($Ax_n = 0$)라면:
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- $$A(x_p + x_n) = Ax_p + Ax_n = b + 0 = b \ ✓$$
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- 영공간 벡터는 **더해도 우변을 안 바꾸는 "공짜 이동"** 이다. 그래서 해 하나를 알면 영공간만큼 무한히 많은 해를 만들 수 있다.
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- **방향 ② (모든 해가 이 꼴이다)**: 거꾸로 $x$ 가 $Ax = b$ 의 **아무** 해라 하자. $x_p$ 와의 차이를 보면:
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- $$A(x - x_p) = Ax - Ax_p = b - b = 0$$
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- 즉 $x - x_p$ 는 **영공간의 벡터**다. 그러니 $x = x_p + (x - x_p) = x_p + x_n$ — 모든 해는 반드시 "특수해 + 영공간 벡터" 꼴이다. 빠지는 해가 없다.
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- 💡 ①은 "이 꼴이면 다 해다", ②는 "해면 다 이 꼴이다" — 둘이 합쳐져 **완전해 = 해 전체**가 된다. ②가 특히 중요: 완전해라는 이름이 정당한 이유.
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- **기하로 보면** (EX2, 그림 3.1 — 사용자 하이라이트 부분):
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- 즉 $x - x_p$ 는 **영공간의 벡터**다. 그러니 $x = x_p + (x - x_p) = x_p + x_n$, 모든 해는 반드시 "특수해 + 영공간 벡터" 꼴이다. 빠지는 해가 없다.
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- 💡 ①은 "이 꼴이면 다 해다", ②는 "해면 다 이 꼴이다". 둘이 합쳐져 **완전해 = 해 전체**가 된다. ②가 특히 중요: 완전해라는 이름이 정당한 이유.
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- **기하로 보면** (EX2, 그림 3.1, 사용자 하이라이트 부분):
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- 📌 원문 (p.163): ((6a6c90cf-8d1d-49e5-a86a-24b1367c0ae2))
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- (p.163, 그림 3.1)
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- $Ax_n = 0$ 의 해들의 직선(영공간, 원점 통과)과 $Ax = b$ 의 해들의 직선은 **평행**하다. $b$ 로 만드는 효과는 영공간 직선을 $x_p$ **만큼 평행이동**시키는 것뿐. "특수해는 그 직선 위의 한 점이고, 영공간 벡터 $x_n$ 을 더하면 직선을 따라 이동한다" — 하이라이트한 문장이 정확히 이 그림이다.
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- $Ax_n = 0$ 의 해들의 직선(영공간, 원점 통과)과 $Ax = b$ 의 해들의 직선은 **평행**하다. $b$ 로 만드는 효과는 영공간 직선을 $x_p$ **만큼 평행이동**시키는 것뿐. "특수해는 그 직선 위의 한 점이고, 영공간 벡터 $x_n$ 을 더하면 직선을 따라 이동한다". 하이라이트한 문장이 정확히 이 그림이다.
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- 🔢 EX2 숫자로: $x + y + z = 3,\ x + 2y - z = 4$ (랭크 2, $n=3$) → $x_p = (2, 1, 0)$ (자유변수 $x_3 = 0$), 특별해 $s = (-3, 2, 1)$. 완전해:
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- $$x = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_3\begin{bmatrix} -3 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$$
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- 검산: $x_p$: $2+1+0=3$ ✓, $2+2-0=4$ ✓ / $s$: $-3+2+1=0$ ✓, $-3+4-1=0$ ✓.
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- ⚠️ 해들의 직선 위 **모든 점이 특수해가 될 수 있다** ($x_p$ 는 "우리가 고른 대표"일 뿐). 단, 특수해는 상수배하면 안 된다 — $2x_p$ 는 $Ax = 2b$ 의 해다. 상수배가 자유로운 건 영공간 쪽($x_n$)뿐.
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- **[3단계] 계산 절차 — 첨가행렬** $[\,A\ \ b\,] \to [\,R_0\ \ d\,]$
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- ⚠️ 해들의 직선 위 **모든 점이 특수해가 될 수 있다** ($x_p$ 는 "우리가 고른 대표"일 뿐). 단, 특수해는 상수배하면 안 된다. $2x_p$ 는 $Ax = 2b$ 의 해다. 상수배가 자유로운 건 영공간 쪽($x_n$)뿐.
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- **[3단계] 계산 절차, 첨가행렬** $[\,A\ \ b\,] \to [\,R_0\ \ d\,]$
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- $b \neq 0$ 이므로 행 연산을 우변에도 똑같이 적용해야 한다 → $b$ 를 $A$ 의 열로 추가한 **첨가행렬** $[\,A\ \ b\,]$ 에 소거를 적용, $[\,R_0\ \ d\,]$ 를 얻는다.
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- 📌 원문 (p.159): ((6a6c8b64-26a8-43aa-9932-df6a352d35e0)) / ((6a6c8b6a-74ce-4dfa-a873-9dc8a8ff9731))
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- **해의 존재 조건**: $R_0$ 의 **영행 위치에는** $d$ **도 0**이어야 한다 (0 = 0 이 되도록). 아니면 $0 = (\text{0 아닌 수})$ — 해 없음.
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- **해의 존재 조건**: $R_0$ 의 **영행 위치에는** $d$ **도 0**이어야 한다 (0 = 0 이 되도록). 아니면 $0 = (\text{0 아닌 수})$, 해 없음.
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- 📌 원문 (p.160): ((6a6c8d91-bd90-4bce-82d5-5c0f3e107286))
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- 🔢 p.159 예: $A$ 의 3행 = 1행 + 2행 → 소거하면 3행이 영행 → $b$ 도 $b_1 + b_2 = b_3$ 을 만족해야 해가 존재. ($b = (1, 6, 7)$: $1+6=7$ ✓)
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- **특수해 읽어내기**: 자유변수 = 0 으로 놓으면 피벗변수 값이 $d$ **에 그대로 나타난다** ($R_0$ 의 피벗 부분이 $I$ 라서). 🔢 위 예: $x_p = (1, 0, 6, 0)$ — 1과 6이 $d = (1, 6, 0)$ 에서 바로 보인다.
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- **특수해 읽어내기**: 자유변수 = 0 으로 놓으면 피벗변수 값이 $d$ **에 그대로 나타난다** ($R_0$ 의 피벗 부분이 $I$ 라서). 🔢 위 예: $x_p = (1, 0, 6, 0)$, 1과 6이 $d = (1, 6, 0)$ 에서 바로 보인다.
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- 📌 원문 (p.160): ((6a6c8d95-71f7-4bb7-9776-f2902bd07ed2))
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- **가역 정사각행렬이면?** ($m = n = r$) 자유변수 없음, 영공간 = $\{0\}$, $R_0 = I$ → 완전해는 딱 하나 $x = x_p = A^{-1}b$. 2장이 바로 이 특수 상황이었다.
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- 📌 원문 — Q&A (p.161): [🔗 PDF 위치](((6a6c8e62-e01d-4ebd-9cd8-23ae3100bd71)))
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- 📌 원문 (Q&A, p.161): [🔗 PDF 위치](((6a6c8e62-e01d-4ebd-9cd8-23ae3100bd71)))
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- **[4단계] 두 극단 — 최대 열 랭크와 최대 행 랭크**
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- **[4단계] 두 극단, 최대 열 랭크와 최대 행 랭크**
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- **최대 열 랭크** $r = n$ (세로로 길거나 정사각, 모든 열에 피벗):
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- 📌 원문 — 성질 박스 (p.162): [🔗 PDF 위치](((6a6c8fda-58b7-4864-ae16-7bb588894775)))
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- 📌 원문 (성질 박스, p.162): [🔗 PDF 위치](((6a6c8fda-58b7-4864-ae16-7bb588894775)))
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- ❶ 모든 열이 선형독립인 피벗 열, 자유변수 없음 ❷ 영공간 = $\{0\}$ ❸ 해가 존재한다면 **유일**.
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- 📌 원문 (p.162): ((6a6c8f97-0501-4709-b253-74ce2701c214)) / ((6a6c8f9d-cfdb-4ec3-bb34-871a9d30fc43))
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- 이때 $R_0 = \begin{bmatrix} I \\ 0 \end{bmatrix}$ ($n \times n$ 항등행렬 + $(m-n)$ 개 영행). 영행마다 $b$ 에 대한 조건이 하나씩 붙는다 → **해는 0개 또는 1개**.
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- 📌 원문 (p.162): ((6a6c8fad-831a-4c79-8c57-7e8812379132)) / ((6a6c8fb4-b4c8-4733-8267-cfda78c4cebb))
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- **최대 행 랭크** $r = m$ (가로로 길거나 정사각, 모든 행에 피벗):
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- 📌 원문 — 성질 박스 (p.164): [🔗 PDF 위치](((6a6c9114-fac6-42ae-8391-2cc98b17b69f)))
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- 📌 원문 (성질 박스, p.164): [🔗 PDF 위치](((6a6c9114-fac6-42ae-8391-2cc98b17b69f)))
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- ❶ 영행 없음 ($R_0 = R$) ❷ **모든** $b$ **에 대해 해 존재** ❸ 열공간 = $\mathbb{R}^m$ 전체 ❹ $m < n$ 이면 자유변수 $(n-m)$ 개 → 해 무수히 많음 (부정, underdetermined).
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- 📌 원문 (p.163): ((6a6c90ae-d786-4d85-b619-34886a39c665))
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- **[5단계] 총정리 — 랭크가 해의 개수를 결정한다** 🧩
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- | $r = m = n$ | 가역 정사각 | 해 **1개** | $R_0 = I$ |
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- | $r = m < n$ | 가로로 긴 최대 행 랭크 | 해 **∞개** | $R_0 = [\,I\ F\,]$ |
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- | $r = n < m$ | 세로로 긴 최대 열 랭크 | 해 **0 또는 1개** | $R_0 = \begin{bmatrix} I \\ 0 \end{bmatrix}$ |
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- | $r < m,\ r < n$ | 최대 랭크 아님 | 해 **0 또는 ∞개** | $R_0 = \begin{bmatrix} I&F \\ 0&0 \end{bmatrix}$ |
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- 📌 원문 — R₀의 4가지 유형 표 (p.165): [🔗 PDF 위치](((6a6c9135-9a2d-4d8c-bc9c-f44beb7b6a9c)))
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- **[5단계] 총정리, 랭크가 해의 개수를 결정한다** 🧩
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- | 랭크 조건 | 행렬 모양 | 해의 개수 | $R_0$ |
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| $r = m = n$ | 가역 정사각 | **1개** | $I$ |
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| $r = m < n$ | 가로로 긴 최대 행 랭크 | **∞개** | $[\,I\ F\,]$ |
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| $r = n < m$ | 세로로 긴 최대 열 랭크 | **0 또는 1개** | $\begin{bmatrix} I \\ 0 \end{bmatrix}$ |
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| $r < m,\ r < n$ | 최대 랭크 아님 | **0 또는 ∞개** | $\begin{bmatrix} I&F \\ 0&0 \end{bmatrix}$ |
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- 📌 원문 (R₀의 4가지 유형 표, p.165): [🔗 PDF 위치](((6a6c9135-9a2d-4d8c-bc9c-f44beb7b6a9c)))
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- 💡 읽는 법: $r = m$ **(행 랭크 최대) = "해가 항상 존재"** / $r = n$ **(열 랭크 최대) = "해가 많아야 하나"**. 존재는 행이, 유일성은 열이 책임진다.
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- ⚠️ 흔한 오해: "해가 1개 아니면 무조건 무한개"라고 생각하기 쉽지만, **0개**인 경우가 있다 ($b$ 가 열공간 밖). 선형방정식의 해는 언제나 0, 1, ∞ 셋 중 하나다.
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- (읽을거리) **랜덤 선형대수학**: 행렬이 너무 크면 열을 **샘플링**해서 $A \approx CUR$ 로 근사한다 — 오차를 감수하고 속도를 얻는 현대적 기법. "선형대수학은 살아있다."
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- (읽을거리) **랜덤 선형대수학**: 행렬이 너무 크면 열을 **샘플링**해서 $A \approx CUR$ 로 근사한다. 오차를 감수하고 속도를 얻는 현대적 기법. "선형대수학은 살아있다."
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- 📌 원문 (p.165): ((6a6c91c8-cec5-4d43-a8f1-c4f9cf27cc20))
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- ### ❓ 스스로 점검
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- 특수해·특별해·완전해를 각각 한 문장으로 정의하라.
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- 특수해 $x_p$: $Ax=b$ 의 해 하나 (자유변수 = 0 으로 고른 것). 특별해 $s$: $Ax=0$ 의 해 (자유변수 하나만 1). 완전해: $x = x_p + c_1 s_1 + \cdots + c_{n-r}s_{n-r}$ — $Ax=b$ 의 모든 해.
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- 특수해 $x_p$: $Ax=b$ 의 해 하나 (자유변수 = 0 으로 고른 것). 특별해 $s$: $Ax=0$ 의 해 (자유변수 하나만 1). 완전해: $x = x_p + c_1 s_1 + \cdots + c_{n-r}s_{n-r}$, $Ax=b$ 의 모든 해.
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- 완전해가 "특수해 + 영공간"인 이유를 두 방향으로 증명하라.
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- ① $A(x_p + x_n) = b + 0 = b$ → 이 꼴은 전부 해. ② 임의의 해 $x$ 에 대해 $A(x - x_p) = b - b = 0$ → $x - x_p \in \mathbf{N}(A)$ → 모든 해가 이 꼴.
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- $Ax = b$ 의 해가 존재할 조건을 $[\,R_0\ \ d\,]$ 의 언어로 말하라.
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- $R_0$ 의 영행이 있는 위치에서 $d$ 의 성분도 0이어야 한다 ($0 = 0$). 하나라도 $0 \neq d_i$ 면 해 없음.
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- 특수해에서 자유변수를 0으로 놓는 이유는? 그때 피벗변수는 어디서 바로 읽는가?
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- 가장 간단해서 — 그리고 $R_0$ 의 피벗 부분이 $I$ 라서 피벗변수 값이 우변 $d$ 에 그대로 나타난다.
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- 가장 간단해서, 그리고 $R_0$ 의 피벗 부분이 $I$ 라서 피벗변수 값이 우변 $d$ 에 그대로 나타난다.
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- $r = n$ 일 때와 $r = m$ 일 때 해의 개수는 각각 어떻게 되는가?
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- $r = n$ (최대 열 랭크): 0 또는 1개 (영공간 $\{0\}$, 존재는 $b$ 조건부). $r = m$ (최대 행 랭크): 항상 존재 — $n = m$ 이면 1개, $n > m$ 이면 ∞개.
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- $r = n$ (최대 열 랭크): 0 또는 1개 (영공간 $\{0\}$, 존재는 $b$ 조건부). $r = m$ (최대 행 랭크): 항상 존재, $n = m$ 이면 1개, $n > m$ 이면 ∞개.
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- 특수해는 왜 상수배를 하면 안 되는가?
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- $A(2x_p) = 2b \neq b$. 상수배·결합이 자유로운 것은 영공간 부분 $x_n$ 뿐이다.
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- 랭크 $r$, 크기 $m \times n$ 에 따른 해의 개수 4가지 유형을 표로 재현하라.
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- $r=m=n$: 1개 / $r=m<n$: ∞ / $r=n<m$: 0 또는 1 / $r<m, r<n$: 0 또는 ∞.
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- ### ✏️ 연습문제 풀이 (솔루션 참고)
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- **문제 1** (꼭 풀어볼 만한 문제) — [확인문제 3.3A]의 (a)~(f) 단계로 $A = \begin{bmatrix} 2&4&6&4 \\ 2&5&7&6 \\ 2&3&5&2 \end{bmatrix}$, $b = (4, 3, 5)$ 의 열공간·영공간·완전해를 구하라.
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- **문제 1** (꼭 풀어볼 만한 문제): [확인문제 3.3A]의 (a)~(f) 단계로 $A = \begin{bmatrix} 2&4&6&4 \\ 2&5&7&6 \\ 2&3&5&2 \end{bmatrix}$, $b = (4, 3, 5)$ 의 열공간·영공간·완전해를 구하라.
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- 📌 문제 지문 (p.168): [🔗 PDF 위치](((6a6e8c06-7997-4313-a309-d5b6e1814f20)))
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- 소거: 2행−1행, 3행−1행 → $\begin{bmatrix} 2&4&6&4 \\ 0&1&1&2 \\ 0&-1&-1&-2 \end{bmatrix}$ → 3행+2행 → 영행. 일반 $b$ 로 하면 마지막 행은 $b_3 + b_2 - 2b_1 = 0$ — **해의 존재 조건**. ($b=(4,3,5)$: $5+3-8=0$ ✓)
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- 소거: 2행−1행, 3행−1행 → $\begin{bmatrix} 2&4&6&4 \\ 0&1&1&2 \\ 0&-1&-1&-2 \end{bmatrix}$ → 3행+2행 → 영행. 일반 $b$ 로 하면 마지막 행은 $b_3 + b_2 - 2b_1 = 0$, **해의 존재 조건**. ($b=(4,3,5)$: $5+3-8=0$ ✓)
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- 계속 위로 소거해 $[\,R_0\ \ d\,]$: $R_0 = \begin{bmatrix} 1&0&1&-2 \\ 0&1&1&2 \\ 0&0&0&0 \end{bmatrix}$, $d = (4, -1, 0)$. 피벗변수 $x_1, x_2$ / 자유변수 $x_3, x_4$.
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- 열공간: 피벗 열인 $A$ 의 1·2열 $(2,2,2), (4,5,3)$ 이 생성하는 $\mathbb{R}^3$ 안의 평면 = $\{b : -2b_1 + b_2 + b_3 = 0\}$.
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- 영공간: 특별해 $s_1 = (-1, -1, 1, 0)$ ($x_3=1$), $s_2 = (2, -2, 0, 1)$ ($x_4=1$).
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- 완전해: $x_p = (4, -1, 0, 0)$ 에서
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- $$x = \begin{bmatrix} 4 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + c_1\begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + c_2\begin{bmatrix} 2 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$$
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- 💡 이 문제 하나에 3장 전반부가 다 들어 있다 — 존재 조건(열공간), 자유변수(영공간), 완전해 조립까지.
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- **문제 2** — 랭크 1인 $A = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2&1&3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2&1&3 \\ 6&3&9 \\ 4&2&6 \end{bmatrix}$, $b = (10, 30, 20)$. 해가 존재하는 $b$ 의 조건 2가지는? $b$ 는 어떤 공간에 있어야 하는가?
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- 💡 이 문제 하나에 3장 전반부가 다 들어 있다. 존재 조건(열공간), 자유변수(영공간), 완전해 조립까지.
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- **문제 2**: 랭크 1인 $A = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2&1&3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2&1&3 \\ 6&3&9 \\ 4&2&6 \end{bmatrix}$, $b = (10, 30, 20)$. 해가 존재하는 $b$ 의 조건 2가지는? $b$ 는 어떤 공간에 있어야 하는가?
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- 📌 문제 지문 (p.168): [🔗 PDF 위치](((6a6e8c0f-85fc-456f-9dae-c8a4bdbed593)))
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- 소거하면 2·3행이 영행 → 조건 2개: $b_2 = 3b_1$, $b_3 = 2b_1$. 즉 $b$ 는 **열공간 =** $(1, 3, 2)$ **를 지나는 직선** 위에 있어야 한다. $b = (10,30,20) = 10 \cdot (1,3,2)$ ✓.
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- 완전해: $2x_1 + x_2 + 3x_3 = 10$ 에서 $x_p = (5, 0, 0)$, 특별해 $s_1 = (-\frac{1}{2}, 1, 0)$, $s_2 = (-\frac{3}{2}, 0, 1)$ → $x = x_p + c_1 s_1 + c_2 s_2$ (해들의 평면).
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- 💡 랭크 1 = 열공간이 직선 → $b$ 가 그 직선 위에 있어야만 해가 있고, 대신 있으면 평면만큼($n-r=2$차원) 많다.
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- **문제 3** — 완전해를 (특수해) + (영공간 벡터의 임의 상수배) 꼴로: (a) $x + 3y = 7$, $2x + 6y = 14$ (b) $x+3y+3z=1$, $2x+6y+9z=5$, $-x-3y+3z=5$
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- **문제 3**: 완전해를 (특수해) + (영공간 벡터의 임의 상수배) 꼴로: (a) $x + 3y = 7$, $2x + 6y = 14$ (b) $x+3y+3z=1$, $2x+6y+9z=5$, $-x-3y+3z=5$
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- (a) 두 방정식이 같은 직선 (랭크 1): $x = \begin{bmatrix} 7 \\ 0 \end{bmatrix} + c\begin{bmatrix} -3 \\ 1 \end{bmatrix}$.
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- (b) 소거: 2행−2×1행 → $3z = 3$, 3행+1행 → $6z = 6$ (일관 ✓) → $z = 1$, $x + 3y = -2$ → $x = \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + c\begin{bmatrix} -3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$.
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- **문제 21** — 해의 개수가 다음이 되는 행렬 $A$ 의 예: (a) $b$ 에 따라 0 또는 1개 (b) $b$ 와 무관하게 ∞개 (c) $b$ 에 따라 0 또는 ∞개 (d) $b$ 와 무관하게 1개
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- **문제 21**: 해의 개수가 다음이 되는 행렬 $A$ 의 예: (a) $b$ 에 따라 0 또는 1개 (b) $b$ 와 무관하게 ∞개 (c) $b$ 에 따라 0 또는 ∞개 (d) $b$ 와 무관하게 1개
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- (a) $A = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ ($r = n = 1 < m$) (b) $A = \begin{bmatrix} 1&1 \end{bmatrix}$ ($r = m = 1 < n$) (c) $A = \begin{bmatrix} 0&0 \\ 0&0 \end{bmatrix}$ 등 $r < m, r < n$ (d) $A = I$ 등 가역 정사각.
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- 💡 [5단계] 표의 4가지 유형에 실제 행렬을 하나씩 대응시키는 문제 — 표를 외우지 말고 이 예 4개로 기억하는 게 낫다.
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- **문제 31** (꼭 풀어볼 만한 문제) — $3 \times 4$ 행렬 $A$ 에 대해 $Ax = 0$ 의 유일한 특별해가 $s = (2, 3, 1, 0)$ 이라 하자. (a) $A$ 의 랭크와 $Ax=0$ 의 완전해 (b) $R_0$ (c) $Ax = b$ 가 모든 $b$ 에 대해 풀린다는 것을 어떻게 아는가?
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- 💡 [5단계] 표의 4가지 유형에 실제 행렬을 하나씩 대응시키는 문제, 표를 외우지 말고 이 예 4개로 기억하는 게 낫다.
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- **문제 31** (꼭 풀어볼 만한 문제): $3 \times 4$ 행렬 $A$ 에 대해 $Ax = 0$ 의 유일한 특별해가 $s = (2, 3, 1, 0)$ 이라 하자. (a) $A$ 의 랭크와 $Ax=0$ 의 완전해 (b) $R_0$ (c) $Ax = b$ 가 모든 $b$ 에 대해 풀린다는 것을 어떻게 아는가?
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- (a) 특별해 1개 = 자유변수 1개 → $r = n - 1 = 3$. $Ax=0$ 의 완전해는 $x = cs$ (직선).
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- (b) $s$ 에서 자유변수는 $x_3$ ($s_3 = 1$), 피벗변수 $x_1, x_2, x_4$. 특별해의 성분으로 $F$ 를 역산하면:
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- $$R_0 = \begin{bmatrix} 1&0&-2&0 \\ 0&1&-3&0 \\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}$$
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- 검산: $R_0 s = (2 - 2,\ 3 - 3,\ 0) = 0$ ✓.
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- (c) $r = 3 = m$ — **최대 행 랭크**이므로 모든 $b$ 에 대해 해 존재.
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- 💡 특별해 하나만 주고 행렬을 역추적하게 하는 좋은 문제 — 특별해의 "1이 있는 자리 = 자유변수, 나머지 = $-F$" 구조가 손에 붙는다.
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- (c) $r = 3 = m$, **최대 행 랭크**이므로 모든 $b$ 에 대해 해 존재.
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- 💡 특별해 하나만 주고 행렬을 역추적하게 하는 좋은 문제, 특별해의 "1이 있는 자리 = 자유변수, 나머지 = $-F$" 구조가 손에 붙는다.
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@ -4,87 +4,87 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- **이 절의 위치**: 3.1~3.3에서 감으로 쓰던 말들의 **정식 정의가 전부 여기서 나온다.** 밀린 빚을 갚는 절이니, 여기만 단단히 잡으면 앞 절들이 소급해서 선명해진다.
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- 네 가지 아이디어와 힌트 (책 서두 박스):
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- ❶ **선형독립**: 군더더기 벡터 없음 ❷ **생성**: 공간을 만들기에 충분한 벡터 ❸ **기저**: 너무 많지도 적지도 않음 (독립 + 생성) ❹ **차원**: 모든 기저의 벡터 개수
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- **[1단계] 선형독립** (linear independence) — 정의가 두 벌이다
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- **[1단계] 선형독립** (linear independence): 정의가 두 벌이다
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- **정의 A (행렬 언어)**: $Ax = 0$ 의 유일한 해가 $x = 0$ 일 때, $A$ 의 열들은 **선형독립**이다.
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- 💡 3.2절과 즉시 연결: 열들이 독립 ⟺ 영공간 $\mathbf{N}(A) = \{0\}$ ⟺ 자유변수 없음 ⟺ $r = n$.
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- 📌 원문 (p.175): [🔗 PDF 위치](((6a6f4d91-d89b-4163-b894-a262f88ce1f5)))
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- **정의 B (벡터 언어)**: 영벡터를 만드는 유일한 선형결합이 $0v_1 + 0v_2 + \cdots + 0v_n$ 뿐일 때, $v_1, \cdots, v_n$ 은 선형독립. 계수 중 하나라도 0이 아닌데 $x_1 v_1 + \cdots + x_n v_n = 0$ 이 되면 **선형종속**.
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- 💡 두 정의는 같은 말이다 — $v$ 들을 열로 세운 행렬 $A$ 에 대해 "$Ax = 0$ 의 해 $x$" = "영벡터를 만드는 결합의 계수들".
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- ⚠️ 용어 사용법: "벡터들의 집합이 선형독립이다" (올바름) / "이 행렬은 선형독립이다" (틀린 표현 — 행렬이 아니라 열들이 독립인 것).
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- 💡 두 정의는 같은 말이다. $v$ 들을 열로 세운 행렬 $A$ 에 대해 "$Ax = 0$ 의 해 $x$" = "영벡터를 만드는 결합의 계수들".
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- ⚠️ 용어 사용법: "벡터들의 집합이 선형독립이다" (올바름) / "이 행렬은 선형독립이다" (틀린 표현, 행렬이 아니라 열들이 독립인 것).
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- 그림으로: $\mathbb{R}^3$ 의 세 벡터가 **같은 평면 위에 없으면 독립**, 있으면 종속.
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- (p.173, 그림 3.2)
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- 🔢 작은 예 4개 ($\mathbb{R}^2$): ① $(1,0), (1, 0.00001)$ — 독립 (거의 평행해도 독립은 독립!) ② $(1,1), (-1,-1)$ — 종속 ($x_1 = x_2 = 1$ 로 합이 0) ③ $(1,1), (0,0)$ — **영벡터가 끼면 무조건 종속** ④ $\mathbb{R}^2$ 의 세 벡터 — 무조건 종속.
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- 🔢 작은 예 4개 ($\mathbb{R}^2$): ① $(1,0), (1, 0.00001)$, 독립 (거의 평행해도 독립은 독립!) ② $(1,1), (-1,-1)$, 종속 ($x_1 = x_2 = 1$ 로 합이 0) ③ $(1,1), (0,0)$, **영벡터가 끼면 무조건 종속** ④ $\mathbb{R}^2$ 의 세 벡터, 무조건 종속.
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- 📌 원문 (p.174): ((6a6f4cdf-c66d-4a98-8845-78fbb19ad2e4)) / ((6a6f4ce8-31ef-4a06-a0fb-ab832885cd01))
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- **개수만으로 판정되는 경우**: $\mathbb{R}^m$ 의 벡터 $n$ 개는 $n > m$ 이면 **무조건 종속**. (3.2 [5단계] 논리 그대로 — 가로로 긴 행렬엔 자유변수가 있으니까.)
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- **개수만으로 판정되는 경우**: $\mathbb{R}^m$ 의 벡터 $n$ 개는 $n > m$ 이면 **무조건 종속**. (3.2 [5단계] 논리 그대로, 가로로 긴 행렬엔 자유변수가 있으니까.)
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- 📌 원문 (p.175): [🔗 PDF 위치](((6a6f4e1c-c4c1-4bfa-a925-8e0125831521)))
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- ⚠️ $n \le m$ 이면? 개수만으론 판정 불가 — 소거해서 $r = n$ 인지 확인해야 한다.
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- ⚠️ $n \le m$ 이면? 개수만으론 판정 불가, 소거해서 $r = n$ 인지 확인해야 한다.
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- 판정 실전 (EX1): $A = \begin{bmatrix} 1&0&3 \\ 2&1&5 \\ 1&0&3 \end{bmatrix}$ → 소거 → $R_0 = \begin{bmatrix} 1&0&3 \\ 0&1&-1 \\ 0&0&0 \end{bmatrix}$ → $r = 2 < 3$ → 종속. 특별해 $x = (-3, 1, 1)$: 실제로 $-3 \cdot ($1열$) + ($2열$) + ($3열$) = 0$.
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- **[2단계] 생성** (span) — 3.1에서 이미 만난 개념의 재확인
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- **[2단계] 생성** (span): 3.1에서 이미 만난 개념의 재확인
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- $S$ 의 모든 선형결합이 벡터공간 $\mathbf{V}$ 를 채우면 "$S$ 가 $\mathbf{V}$ 를 **생성**한다". 행렬의 열들은 열공간을 생성한다 (**종속이어도 상관없이**).
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- 🔢 EX2: $A = \begin{bmatrix} 1&4 \\ 2&7 \\ 3&5 \end{bmatrix}$ 의 열공간 = 두 열이 생성하는 $\mathbb{R}^3$ 안의 평면. 행공간 = 세 행이 생성하는데 — 행은 성분 2개짜리이고 독립인 게 2개 있으므로 **행공간 =** $\mathbb{R}^2$ **전체**.
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- 🔢 EX2: $A = \begin{bmatrix} 1&4 \\ 2&7 \\ 3&5 \end{bmatrix}$ 의 열공간 = 두 열이 생성하는 $\mathbb{R}^3$ 안의 평면. 행공간 = 세 행이 생성하는데, 행은 성분 2개짜리이고 독립인 게 2개 있으므로 **행공간 =** $\mathbb{R}^2$ **전체**.
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- ⚠️ 열은 $\mathbb{R}^m$ 에 살고 (열공간 ⊆ $\mathbb{R}^m$), 행은 $\mathbb{R}^n$ 에 산다 (행공간 ⊆ $\mathbb{R}^n$). 이 구분이 3.5절 큰 그림의 뼈대.
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- **[3단계] 기저** (basis) — 독립 + 생성, "딱 맞는" 벡터들
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- **[3단계] 기저** (basis): 독립 + 생성, "딱 맞는" 벡터들
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- **정의: 벡터공간의 기저 = ① 선형독립이며 ② 공간 전체를 생성하는 벡터들의 집합.**
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- 📌 원문 (p.176): ((6a6f4e82-c6f4-478d-a115-03f4ad48968d))
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- 💡 두 조건의 밀당: 벡터가 너무 적으면 생성 실패, 너무 많으면 독립 실패. 기저 = 둘 사이의 정확한 균형점. ("두 벡터는 $\mathbb{R}^3$ 을 생성 못 하고, 네 벡터는 $\mathbb{R}^3$ 에서 독립일 수 없다.")
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- **기저의 존재 이유 — 표현의 유일성** (사용자 요청: 증명 자세히):
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- **기저의 존재 이유, 표현의 유일성** (사용자 요청: 증명 자세히):
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- 📌 원문 (p.177): ((6a6f4ebe-80ba-445c-8928-36a513c94dc1)) / ((6a6f4c82-32f3-4bb0-a532-e3caa323b520))
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- **정리: 벡터공간의 모든 벡터** $v$ **는 기저벡터들의 선형결합으로 나타낼 수 있고, 그 방법은 유일하다.**
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- 증명을 두 조각으로:
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- (나타낼 수 있다) 기저는 공간을 **생성**하므로, 임의의 $v$ 는 어떤 결합 $v = a_1 v_1 + \cdots + a_n v_n$ 으로 표현된다. — 생성 조건의 역할.
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- (나타낼 수 있다) 기저는 공간을 **생성**하므로, 임의의 $v$ 는 어떤 결합 $v = a_1 v_1 + \cdots + a_n v_n$ 으로 표현된다., 생성 조건의 역할.
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- (방법이 유일하다) 두 가지 표현이 있다고 하자: $v = a_1 v_1 + \cdots + a_n v_n$ 이고 동시에 $v = b_1 v_1 + \cdots + b_n v_n$. **두 식을 빼면**:
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- $$0 = (a_1 - b_1)v_1 + \cdots + (a_n - b_n)v_n$$
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- 그런데 $v_1, \cdots, v_n$ 은 **선형독립** — 영벡터를 만드는 결합은 계수가 전부 0인 것뿐이다. 따라서 모든 $i$ 에 대해 $a_i - b_i = 0$, 즉 $a_i = b_i$. 두 표현은 사실 같은 것이었다. ∎ — 독립 조건의 역할.
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- 그런데 $v_1, \cdots, v_n$ 은 **선형독립**: 영벡터를 만드는 결합은 계수가 전부 0인 것뿐이다. 따라서 모든 $i$ 에 대해 $a_i - b_i = 0$, 즉 $a_i = b_i$. 두 표현은 사실 같은 것이었다. ∎, 독립 조건의 역할.
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- 💡 증명이 보여주는 분업: **생성 = 표현이 존재하게 하고, 독립 = 표현이 하나뿐이게 한다.** 기저의 두 조건이 각각 정확히 한 가지 일을 담당한다. 이 유일성 덕분에 "좌표"라는 개념이 성립한다 (모든 벡터가 기저에 대한 유일한 계수 목록을 가짐).
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- 대표 예:
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- **표준기저** (EX3): $I$ 의 열들 $i = (1,0), j = (0,1)$ 은 $\mathbb{R}^2$ 의 기저. $n \times n$ 항등행렬의 열들 = $\mathbb{R}^n$ 의 표준기저.
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- **가역행렬의 열 = 기저** (EX4, 중요): $n \times n$ **가역**행렬의 열들은 $\mathbb{R}^n$ 의 기저다 ($Ax=0$ 의 유일해 $x = A^{-1}0 = 0$ → 독립 ✓ / 임의의 $b$ 에 대해 $x = A^{-1}b$ 존재 → 생성 ✓). 기저는 유일하지 않다 — $\mathbb{R}^n$ 은 무수히 많은 기저를 갖는다.
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- **가역행렬의 열 = 기저** (EX4, 중요): $n \times n$ **가역**행렬의 열들은 $\mathbb{R}^n$ 의 기저다 ($Ax=0$ 의 유일해 $x = A^{-1}0 = 0$ → 독립 ✓ / 임의의 $b$ 에 대해 $x = A^{-1}b$ 존재 → 생성 ✓). 기저는 유일하지 않다. $\mathbb{R}^n$ 은 무수히 많은 기저를 갖는다.
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- 특이행렬이면 (EX5): $A = \begin{bmatrix} 2&4 \\ 3&6 \end{bmatrix}$ → 열들은 기저가 못 된다. 이때는 **피벗 열만** 남기면 (1열) 열공간(직선)의 기저가 된다.
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- **기저 만들기 요령**: 선형독립인 집합은 (벡터를 보태서) 기저로 **확장**할 수 있고, 생성하는 집합은 (군더더기를 빼서) 기저로 **축소**할 수 있다.
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- 📌 원문 (p.177): ((6a6f4f88-b220-4eb1-be8d-9877258f5b02))
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- 🔢 $\mathbb{R}^7$ 의 벡터 5개가 생성하는 공간의 기저 찾기: 벡터들을 행렬의 **열**로 넣고 소거 → **피벗 열이 기저** (또는 행으로 넣고 → 영행 아닌 행이 기저).
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- **[4단계] 차원** (dimension) — 기저마다 개수가 같아서 정의 가능한 수
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- **[4단계] 차원** (dimension): 기저마다 개수가 같아서 정의 가능한 수
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- **정리: 한 벡터공간의 모든 기저는 같은 개수의 벡터를 갖는다.** 그 개수가 그 공간의 **차원**이다.
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- 📌 원문 (p.178~179): ((6a6f4fca-2af6-43da-827e-92bd8b2c6820)) / ((6a6f5076-d814-467f-803d-480ea4bd521b))
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- 증명 아이디어 (귀류법, p.179): 기저 $v_1, \cdots, v_m$ 과 더 많은 기저 $w_1, \cdots, w_n$ ($n > m$)이 있다고 하자. 각 $w_j$ 는 $v$ 들의 결합이므로 $W = VA$ 꼴 ($A$ 는 $m \times n$). $n > m$ 이므로 $A$ 는 가로로 긴 행렬 → $Ax = 0$ 에 0 아닌 해 존재 → $Wx = VAx = 0$ — $w$ 들이 종속이 되어 기저라는 가정에 모순. (반대 방향도 대칭 논리로) ∎
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- 💡 또 그 논리다: **"가로로 길면 자유변수"** — 3.2 [5단계]에서 만든 무기 하나가 독립 판정(위 [1단계])과 차원 정리를 모두 해결한다.
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- 차원 감각 익히기: 원점과 $(1,5,2)$ 를 지나는 직선 = 1차원 (기저 벡터 1개). 평면 $x + 5y + 2z = 0$ = 2차원 — 이 평면은 $A = [\,1\ 5\ 2\,]$ 의 영공간이고, 자유변수 2개의 특별해 $(-5,1,0), (-2,0,1)$ 이 기저. **영공간의 차원 =** $n - r$ (특별해 개수).
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- ⚠️ **금지 용어** (p.180 — 시험·대화에서 헷갈리기 쉬운 조합):
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- "공간의 랭크" ✗, "기저의 차원" ✗, "행렬의 기저" ✗ — 전부 무의미한 조합이다.
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- 증명 아이디어 (귀류법, p.179): 기저 $v_1, \cdots, v_m$ 과 더 많은 기저 $w_1, \cdots, w_n$ ($n > m$)이 있다고 하자. 각 $w_j$ 는 $v$ 들의 결합이므로 $W = VA$ 꼴 ($A$ 는 $m \times n$). $n > m$ 이므로 $A$ 는 가로로 긴 행렬 → $Ax = 0$ 에 0 아닌 해 존재 → $Wx = VAx = 0$, $w$ 들이 종속이 되어 기저라는 가정에 모순. (반대 방향도 대칭 논리로) ∎
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- 💡 또 그 논리다: **"가로로 길면 자유변수"**: 3.2 [5단계]에서 만든 무기 하나가 독립 판정(위 [1단계])과 차원 정리를 모두 해결한다.
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- 차원 감각 익히기: 원점과 $(1,5,2)$ 를 지나는 직선 = 1차원 (기저 벡터 1개). 평면 $x + 5y + 2z = 0$ = 2차원, 이 평면은 $A = [\,1\ 5\ 2\,]$ 의 영공간이고, 자유변수 2개의 특별해 $(-5,1,0), (-2,0,1)$ 이 기저. **영공간의 차원 =** $n - r$ (특별해 개수).
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- ⚠️ **금지 용어** (p.180, 시험·대화에서 헷갈리기 쉬운 조합):
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- "공간의 랭크" ✗, "기저의 차원" ✗, "행렬의 기저" ✗, 전부 무의미한 조합이다.
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- 올바른 짝: **행렬의 랭크** = **열공간의 차원**. 랭크는 행렬에, 차원은 공간에, 기저는 공간에 붙는 말.
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- 📌 원문 (p.172): ((6a6f4c69-edda-46af-a200-d4fef344636e)) / ((6a6f4c77-478f-4e0c-95f3-672a664d0a48))
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- 🧩 **차원 공식 4종 세트** (3.5절 예고 — 외울 가치 있음):
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- 🧩 **차원 공식 4종 세트** (3.5절 예고, 외울 가치 있음):
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- 📌 원문 (p.180): [🔗 PDF 위치](((6a6f5096-4c95-4cb3-85f9-00801a8c0ee6)))
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- 행공간 차원 $= r$ / 열공간 차원 $= r$ / 영공간 차원 $= n - r$ / $\mathbf{N}(A^{\mathrm{T}})$ 차원 $= m - r$
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- **[5단계] 행렬공간과 함수공간의 기저** — "벡터"의 개념 확장 완성 (사용자 요청: 자세히)
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- **[5단계] 행렬공간과 함수공간의 기저**: "벡터"의 개념 확장 완성 (사용자 요청: 자세히)
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- 📌 원문 (p.180): ((6a6f51df-be99-4490-af36-c4321ee42a5f))
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- 💡 **와닿지 않을 때의 관점 전환**: "벡터 = 화살표"를 버려라. 이 절부터 벡터의 진짜 정의는 **"더할 수 있고 스칼라곱할 수 있는 모든 것"** 이다. 독립·생성·기저·차원의 정의에는 화살표가 전혀 안 쓰였다 — 오직 선형결합만 쓰였다. 그래서 행렬에도 함수에도 **같은 정의가 그대로 작동**한다. 아래 예로 확인:
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- 💡 **와닿지 않을 때의 관점 전환**: "벡터 = 화살표"를 버려라. 이 절부터 벡터의 진짜 정의는 **"더할 수 있고 스칼라곱할 수 있는 모든 것"** 이다. 독립·생성·기저·차원의 정의에는 화살표가 전혀 안 쓰였다. 오직 선형결합만 쓰였다. 그래서 행렬에도 함수에도 **같은 정의가 그대로 작동**한다. 아래 예로 확인:
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- **행렬공간** $\mathbf{M}$ (모든 2×2 행렬):
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- 하나의 기저 (4개의 "기저행렬"):
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- $$A_1 = \begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&0 \end{bmatrix},\ A_2 = \begin{bmatrix} 0&1 \\ 0&0 \end{bmatrix},\ A_3 = \begin{bmatrix} 0&0 \\ 1&0 \end{bmatrix},\ A_4 = \begin{bmatrix} 0&0 \\ 0&1 \end{bmatrix}$$
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- 생성 ✓: $c_1 A_1 + c_2 A_2 + c_3 A_3 + c_4 A_4 = \begin{bmatrix} c_1&c_2 \\ c_3&c_4 \end{bmatrix}$ — 모든 2×2 행렬이 나온다.
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- 생성 ✓: $c_1 A_1 + c_2 A_2 + c_3 A_3 + c_4 A_4 = \begin{bmatrix} c_1&c_2 \\ c_3&c_4 \end{bmatrix}$, 모든 2×2 행렬이 나온다.
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- 독립 ✓: 이 결합이 영행렬이려면 $c_1 = c_2 = c_3 = c_4 = 0$ 뿐.
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- 그러므로 $\dim \mathbf{M} = 4$. 💡 사실 2×2 행렬은 "성분 4개짜리 벡터를 네모나게 쓴 것" — $\mathbf{M}$ 은 본질적으로 $\mathbb{R}^4$ 다.
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- 그러므로 $\dim \mathbf{M} = 4$. 💡 사실 2×2 행렬은 "성분 4개짜리 벡터를 네모나게 쓴 것", $\mathbf{M}$ 은 본질적으로 $\mathbb{R}^4$ 다.
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- 부분공간들의 차원 (기저에서 개수 세기): **상삼각행렬** ($A_1, A_2, A_4$) → 3차원 / **대각행렬** ($A_1, A_4$) → 2차원 / **대칭행렬** ($A_1, A_4, A_2 + A_3$) → 3차원.
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- ⚠️ 대칭행렬의 기저에서 $A_2$ 와 $A_3$ 을 따로 못 쓰는 이유: 각각은 대칭이 아니다! 대칭인 조합 $A_2 + A_3 = \begin{bmatrix} 0&1 \\ 1&0 \end{bmatrix}$ 만 들어갈 수 있다.
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- 일반화 ($n \times n$): 전체 $n^2$ / 상삼각 $\frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{2}n$ / 대각 $n$ / 대칭 $\frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{2}n$.
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- 💡 대칭행렬의 차원 세는 법: 대각선 $n$ 개는 자유 + 대각선 위 $\frac{n^2-n}{2}$ 개를 정하면 아래는 자동 → $n + \frac{n^2-n}{2} = \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{2}n$.
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- **함수공간** — 미분방정식의 해공간이 벡터공간이다:
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- **함수공간**: 미분방정식의 해공간이 벡터공간이다:
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- $y'' = 0$ 의 해: $y = cx + d$ → 기저 $\{x, 1\}$ → **2차원**
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- $y'' = -y$ 의 해: $y = c\sin x + d\cos x$ → 기저 $\{\sin x, \cos x\}$ → **2차원**
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- $y'' = y$ 의 해: $y = ce^x + de^{-x}$ → 기저 $\{e^x, e^{-x}\}$ → **2차원**
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- 💡 셋 다 2차원인 이유: 2**계** 미분방정식이라서 (적분상수 2개 = 자유도 2). 해공간은 그 미분방정식의 "영공간"이다.
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- $y'' = 2$ 처럼 우변이 0이 아니면? 해집합은 부분공간이 **아니다** (0 함수가 해가 아님). 대신 특수해 $y = x^2$ 에 영공간을 더한 **완전해** $y = x^2 + cx + d$ — [[3.3 Ax = b의 완전해]]와 **완전히 같은 구조**! 선형 미분방정식 = 함수공간의 $Ax = b$.
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- 마지막 퍼즐: 공간 $\mathbf{Z} = \{0\}$ 의 차원은 **0** — 기저는 **공집합**이다. (영벡터는 절대 기저에 못 들어간다 — 영벡터가 끼면 독립이 깨지니까.)
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- **확인문제 요점** (책 3.4A·3.4B — 중요해서 정리):
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- $y'' = 2$ 처럼 우변이 0이 아니면? 해집합은 부분공간이 **아니다** (0 함수가 해가 아님). 대신 특수해 $y = x^2$ 에 영공간을 더한 **완전해** $y = x^2 + cx + d$, [[3.3 Ax = b의 완전해]]와 **완전히 같은 구조**! 선형 미분방정식 = 함수공간의 $Ax = b$.
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- 마지막 퍼즐: 공간 $\mathbf{Z} = \{0\}$ 의 차원은 **0**: 기저는 **공집합**이다. (영벡터는 절대 기저에 못 들어간다. 영벡터가 끼면 독립이 깨지니까.)
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- **확인문제 요점** (책 3.4A·3.4B, 중요해서 정리):
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- **3.4A**: $v_1, \cdots, v_n$ 이 $\mathbb{R}^n$ 의 기저이고 $A$ 가 가역이면 $Av_1, \cdots, Av_n$ 도 기저다.
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- 이유 (행렬 언어가 우아함): 기저벡터들을 열로 가진 $V$ 는 가역 → $AV$ 도 가역행렬들의 곱이라 가역 → $AV$ 의 열들도 기저 (EX4). 💡 "가역행렬은 기저를 기저로 보낸다."
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- **3.4B**: $v_1 = (1,2,0), v_2 = (2,3,0)$ → 독립 ✓ → 이 둘은 자기들이 생성하는 공간 $\mathbf{V} = xy$ 평면(안의 $(x, y, 0)$ 전체)의 기저 → $\dim \mathbf{V} = 2$. $\mathbf{V}$ 를 열공간으로 갖는 행렬: $\begin{bmatrix} 1&2 \\ 2&3 \\ 0&0 \end{bmatrix}$. $\mathbf{V}$ 를 영공간으로 갖는 행렬: $B = [\,0\ 0\ 1\,]$. $v_3 = (a, b, c)$ 는 $c \neq 0$ 이기만 하면 $v_1, v_2, v_3$ 이 $\mathbb{R}^3$ 의 기저.
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- 💡 같은 공간이 어떤 행렬의 **열공간**이면서 다른 행렬의 **영공간**일 수 있다 — 공간과 행렬은 별개의 존재라는 감각.
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- 💡 같은 공간이 어떤 행렬의 **열공간**이면서 다른 행렬의 **영공간**일 수 있다. 공간과 행렬은 별개의 존재라는 감각.
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- ### ❓ 스스로 점검
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- 선형독립의 두 정의(행렬 언어 / 벡터 언어)를 말하고, 왜 같은 말인지 설명하라.
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- $Ax=0$ 의 유일해가 $x=0$ / 영벡터 만드는 유일한 결합이 계수 전부 0. 벡터들을 열로 세우면 "결합의 계수" = "$Ax=0$ 의 해 $x$"라서 동치.
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@ -103,19 +103,19 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- 2×2 대칭행렬 공간의 기저와 차원은? $y'' = -y$ 의 해공간의 기저와 차원은?
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- $A_1, A_4, A_2+A_3$ → 3차원. $\{\sin x, \cos x\}$ → 2차원.
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- $y'' = 2$ 의 해집합은 왜 벡터공간이 아닌가? 해집합의 구조는?
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- 0 함수가 해가 아니라서 (부분공간은 0 포함 필수). 구조는 특수해 + 영공간: $y = x^2 + cx + d$ — $Ax=b$ 완전해와 동일.
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- 0 함수가 해가 아니라서 (부분공간은 0 포함 필수). 구조는 특수해 + 영공간: $y = x^2 + cx + d$, $Ax=b$ 완전해와 동일.
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- ### ✏️ 연습문제 풀이 (솔루션 참고)
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- **문제 2** (꼭 풀어볼 만한 문제) — 6개의 벡터 $v_1 = (1,-1,0,0)$, $v_2 = (1,0,-1,0)$, $v_3 = (1,0,0,-1)$, $v_4 = (0,1,-1,0)$, $v_5 = (0,1,0,-1)$, $v_6 = (0,0,1,-1)$ 중 선형독립인 벡터를 최대한 많이 찾아라.
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- **문제 2** (꼭 풀어볼 만한 문제): 6개의 벡터 $v_1 = (1,-1,0,0)$, $v_2 = (1,0,-1,0)$, $v_3 = (1,0,0,-1)$, $v_4 = (0,1,-1,0)$, $v_5 = (0,1,0,-1)$, $v_6 = (0,0,1,-1)$ 중 선형독립인 벡터를 최대한 많이 찾아라.
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- 답: **최대 3개** (예: $v_1, v_2, v_3$).
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- 왜 4개는 불가능한가: 여섯 벡터 모두 **성분의 합이 0** — 즉 전부 초평면 $(1,1,1,1) \cdot v = 0$ (3차원 부분공간) 위에 있다. 3차원 공간에서 4개는 무조건 종속.
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- 왜 4개는 불가능한가: 여섯 벡터 모두 **성분의 합이 0**: 즉 전부 초평면 $(1,1,1,1) \cdot v = 0$ (3차원 부분공간) 위에 있다. 3차원 공간에서 4개는 무조건 종속.
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- $v_1, v_2, v_3$ 이 독립인 이유: $-1$ 들이 서로 다른 자리(2, 3, 4번째)에 있어 결합으로 소거 불가. (종속 관계 예: $v_2 - v_1 = v_4$.)
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- 💡 "어느 부분공간에 갇혀 있는지"를 먼저 보면 개수 상한이 공짜로 나온다 — 차원의 위력.
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- **문제 4** — 대각성분 $a, d, f$ 가 모두 0이 아닌 상삼각행렬 $U = \begin{bmatrix} a&b&c \\ 0&d&e \\ 0&0&f \end{bmatrix}$ 의 열이 선형독립임을 보여라.
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- 💡 "어느 부분공간에 갇혀 있는지"를 먼저 보면 개수 상한이 공짜로 나온다. 차원의 위력.
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- **문제 4**: 대각성분 $a, d, f$ 가 모두 0이 아닌 상삼각행렬 $U = \begin{bmatrix} a&b&c \\ 0&d&e \\ 0&0&f \end{bmatrix}$ 의 열이 선형독립임을 보여라.
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- $Ux = 0$ 을 역대입으로: 3행에서 $fz = 0 \to z = 0$, 2행에서 $dy + ez = dy = 0 \to y = 0$, 1행에서 $ax = 0 \to x = 0$. 유일해 $x = 0$ → 열 독립.
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- 💡 "대각에 0 없는 삼각행렬 = 가역 = 열 독립" — 2장 피벗 이야기와 3.4 독립 정의가 만나는 지점.
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- **문제 16** — $\mathbb{R}^4$ 의 부분공간들의 기저를 구하라: (a) 모든 성분이 동일한 벡터들 (b) 성분 합이 0인 벡터들 (c) $(1,1,0,0)$ 과 $(1,0,1,1)$ 에 수직인 벡터들 (d) $I$ (4×4)의 열공간과 영공간
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- 💡 "대각에 0 없는 삼각행렬 = 가역 = 열 독립", 2장 피벗 이야기와 3.4 독립 정의가 만나는 지점.
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- **문제 16**: $\mathbb{R}^4$ 의 부분공간들의 기저를 구하라: (a) 모든 성분이 동일한 벡터들 (b) 성분 합이 0인 벡터들 (c) $(1,1,0,0)$ 과 $(1,0,1,1)$ 에 수직인 벡터들 (d) $I$ (4×4)의 열공간과 영공간
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- (a) $(1,1,1,1)$ 하나 → 1차원.
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- (b) $(1,-1,0,0), (1,0,-1,0), (1,0,0,-1)$ → 3차원. (조건식 1개 = $[\,1\ 1\ 1\ 1\,]x = 0$ 의 영공간, $n - r = 4 - 1 = 3$.)
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- (c) 두 조건 = $2 \times 4$ 행렬의 영공간, 차원 $4 - 2 = 2$: 기저 $(1,-1,-1,0), (1,-1,0,-1)$.
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- (d) $\mathbf{C}(I) = \mathbb{R}^4$ 의 기저 = $I$ 의 네 열. $\mathbf{N}(I) = \mathbf{Z}$ 의 기저 = **공집합** (관례).
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- 💡 (b)(c)에서 기저 만드는 실전 요령: 조건식을 행렬로 쓰고 **영공간의 특별해**를 구하면 그것이 기저다. (기저는 유일하지 않다 — 답이 달라도 개수만 맞으면 된다.)
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- 💡 (b)(c)에서 기저 만드는 실전 요령: 조건식을 행렬로 쓰고 **영공간의 특별해**를 구하면 그것이 기저다. (기저는 유일하지 않다. 답이 달라도 개수만 맞으면 된다.)
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@ -1,54 +1,55 @@
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deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- ### 핵심 개념
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- **이 절의 목표**: 3장의 대단원. 행렬 하나가 거느리는 부분공간이 정확히 **4개** 있고, 랭크 $r$ **하나**가 네 공간의 차원을 전부 결정한다는 것 — **선형대수학의 기본정리 1**. 새 계산법은 없다. 이미 아는 소거 결과($R_0$)에서 네 공간을 **읽어내는** 절이다.
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- **[1단계] 출연진 소개 — 4가지 기본 부분공간** 🧩
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- **이 절의 목표**: 3장의 대단원. 행렬 하나가 거느리는 부분공간이 정확히 **4개** 있고, 랭크 $r$ **하나**가 네 공간의 차원을 전부 결정한다는 것, **선형대수학의 기본정리 1**. 새 계산법은 없다. 이미 아는 소거 결과($R_0$)에서 네 공간을 **읽어내는** 절이다.
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- **[1단계] 출연진 소개, 4가지 기본 부분공간** 🧩
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- | 공간 | 정의 | 사는 곳 | 차원 |
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- ❶ **행공간** $\mathbf{C}(A^{\mathrm{T}})$ — 행들의 모든 선형결합 — $\mathbb{R}^n$ — $r$
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- ❷ **열공간** $\mathbf{C}(A)$ — 열들의 모든 선형결합 — $\mathbb{R}^m$ — $r$
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- ❸ **영공간** $\mathbf{N}(A)$ — $Ax = 0$ 의 해 전체 — $\mathbb{R}^n$ — $n - r$
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- ❹ **좌영공간** $\mathbf{N}(A^{\mathrm{T}})$ — $A^{\mathrm{T}}y = 0$ 의 해 전체 — $\mathbb{R}^m$ — $m - r$
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| ❶ 행공간 $\mathbf{C}(A^{\mathrm{T}})$ | 행들의 모든 선형결합 | $\mathbb{R}^n$ | $r$ |
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| ❷ 열공간 $\mathbf{C}(A)$ | 열들의 모든 선형결합 | $\mathbb{R}^m$ | $r$ |
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| ❸ 영공간 $\mathbf{N}(A)$ | $Ax = 0$ 의 해 전체 | $\mathbb{R}^n$ | $n - r$ |
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| ❹ 좌영공간 $\mathbf{N}(A^{\mathrm{T}})$ | $A^{\mathrm{T}}y = 0$ 의 해 전체 | $\mathbb{R}^m$ | $m - r$ |
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- 💡 기억법: $n$ **의 세계(입력·미지수)에 행공간과 영공간**이 살고, $m$ **의 세계(출력·우변)에 열공간과 좌영공간**이 산다. 각 세계에서 두 공간의 차원을 더하면 세계 전체 차원이 된다:
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- $$r + (n - r) = n \qquad r + (m - r) = m \qquad \text{(카운팅 정리)}$$
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- **왜 "좌"영공간인가**: $A^{\mathrm{T}}y = 0$ 을 전치하면 $y^{\mathrm{T}}A = 0^{\mathrm{T}}$ — $y$ 가 $A$ 의 **왼쪽**에서 곱해지는 영공간이라서.
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- (p.193, 그림 3.4 — 이 "큰 그림"은 4장에서 직교성까지 추가되어 완성된다)
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- **[2단계]** $R_0$ **에서 네 공간 읽어내기** — 구체 예제 하나로 전부 ($3 \times 5$, 랭크 2)
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- **왜 "좌"영공간인가**: $A^{\mathrm{T}}y = 0$ 을 전치하면 $y^{\mathrm{T}}A = 0^{\mathrm{T}}$, $y$ 가 $A$ 의 **왼쪽**에서 곱해지는 영공간이라서.
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- (p.193, 그림 3.4, 이 "큰 그림"은 4장에서 직교성까지 추가되어 완성된다)
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- **[2단계]** $R_0$ **에서 네 공간 읽어내기**: 구체 예제 하나로 전부 ($3 \times 5$, 랭크 2)
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- $$R_0 = \begin{bmatrix} \mathbf{1}&3&5&\mathbf{0}&7 \\ 0&0&0&\mathbf{1}&2 \\ 0&0&0&0&0 \end{bmatrix} \qquad \text{피벗 행: 1, 2행 / 피벗 열: 1, 4열}$$
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- ❶ **행공간** (차원 2): 기저 = **영행이 아닌 두 행** $(1,3,5,0,7), (0,0,0,1,2)$. 피벗 위치만 보면 $I$ 가 보이므로 이 두 행은 독립이고, 3행(영행)은 아무 기여가 없다.
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- ❷ **열공간** (차원 2): 기저 = **피벗 열** 1열 $(1,0,0)$ 과 4열 $(0,1,0)$. 나머지 (자유) 열은 전부 피벗 열의 결합: 2열 = 3×(1열), 3열 = 5×(1열), 5열 = 7×(1열) + 2×(4열).
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- ❸ **영공간** (차원 $n - r = 3$): 기저 = 자유변수 $x_2, x_3, x_5$ 의 **특별해 3개**:
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- $$s_2 = (-3,1,0,0,0), \quad s_3 = (-5,0,1,0,0), \quad s_5 = (-7,0,0,-2,1)$$
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- ❹ **좌영공간** (차원 $m - r = 1$): $R_0^{\mathrm{T}}y = 0$ → 처음 두 성분은 0이어야 하고 $y_3$ 은 자유 → 기저 $(0, 0, 1)$. 💡 직관: $R_0$ 의 **영행 개수만큼** "행들의 결합으로 0을 만드는 방법"이 있다.
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- **[3단계]** $A$ **로 돌아오기 — 무엇이 보존되고 무엇이 변하는가** (⚠️ 이 절 최대의 함정)
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- **[3단계]** $A$ **로 돌아오기, 무엇이 보존되고 무엇이 변하는가** (⚠️ 이 절 최대의 함정)
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- 소거($A \to R_0$)는 **행 연산**이다. 그 결과:
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- **행공간: 그대로다.** 행 연산 = 행들의 결합이므로 행들이 만드는 공간 자체는 불변. 기저는 $R_0$ 의 영행 아닌 $r$ 개 행 (또는 $A$ 에서 피벗 행 위치의 행들).
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- **영공간: 그대로다.** 소거는 $Ax=0$ 의 해를 안 바꾼다 (3.2절). 기저 = 특별해들.
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- ⚠️ **열공간: 달라진다!** "$A$ 와 $R_0$ 는 동일한 열공간을 갖는다"는 **거짓** — $R_0$ 의 열은 아래쪽이 0으로 찌그러졌지만 $A$ 의 열은 아니다. 🔢 위 예의 원본 $A$ 에 3행 $(1,3,5,1,9)$ 가 있었다면 $\mathbf{C}(A)$ 는 3번째 성분이 0이 아닌 벡터를 포함하지만 $\mathbf{C}(R_0)$ 는 아니다.
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- ⚠️ **열공간: 달라진다!** "$A$ 와 $R_0$ 는 동일한 열공간을 갖는다"는 **거짓**: $R_0$ 의 열은 아래쪽이 0으로 찌그러졌지만 $A$ 의 열은 아니다. 🔢 위 예의 원본 $A$ 에 3행 $(1,3,5,1,9)$ 가 있었다면 $\mathbf{C}(A)$ 는 3번째 성분이 0이 아닌 벡터를 포함하지만 $\mathbf{C}(R_0)$ 는 아니다.
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- 그러나 **차원은 같다** ($= r$): 열들 사이의 선형관계($Ax = 0$ ⟺ $R_0 x = 0$)가 보존되므로, "어느 열이 독립인가"는 동일 → $A$ **의 피벗 열(원본!)이** $\mathbf{C}(A)$ **의 기저**.
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- 좌영공간도 달라진다 (차원 $m - r$ 은 동일). 기저를 원하면: $[\,A\ \ I\,]$ 를 $[\,R_0\ \ E\,]$ 로 소거했을 때 $E$ 의 마지막 $(m-r)$ 개 행 ("어떤 행 결합이 영행을 만들었는지"의 기록).
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- 요약 표 🧩: 소거 후 **불변**: 행공간, 영공간 (기저까지 그대로 쓸 수 있음) / **변함**: 열공간, 좌영공간 (차원만 보존 — 기저는 $A$ 쪽에서 다시 뽑기).
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- 요약 표 🧩: 소거 후 **불변**: 행공간, 영공간 (기저까지 그대로 쓸 수 있음) / **변함**: 열공간, 좌영공간 (차원만 보존, 기저는 $A$ 쪽에서 다시 뽑기).
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- **[4단계] 선형대수학의 기본정리 1**
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- **열공간과 행공간의 차원은 둘 다** $r$ **이다. 영공간과 좌영공간의 차원은 각각** $n-r$ **,** $m-r$ **이다.**
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- 특히 첫 문장이 놀라운 이유: **(독립인 열의 개수) = (독립인 행의 개수)** — 행과 열은 전혀 다른 방향의 벡터인데 개수가 항상 같다! ($11 \times 17$ 행렬에 아무 수나 채워도 성립.)
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- 특히 첫 문장이 놀라운 이유: **(독립인 열의 개수) = (독립인 행의 개수)**: 행과 열은 전혀 다른 방향의 벡터인데 개수가 항상 같다! ($11 \times 17$ 행렬에 아무 수나 채워도 성립.)
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- 💡 왜 같은가 (한 줄 논증): 피벗 하나가 피벗 행 하나와 피벗 열 하나를 **동시에** 만든다. 독립인 행 개수 = 피벗 개수 = 독립인 열 개수.
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- 행공간↔열공간 사이의 1:1 대응: 열공간의 모든 벡터 $Ax = b$ 는 행공간의 **정확히 하나의** $x$ 에서 나온다. (두 개라면 $A(x - y) = 0$ 인데 $x - y$ 가 행공간에도 영공간에도 있어 $x = y$.) — 4장 직교성의 예고편.
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- **[5단계] 응용 맛보기 — 그래프와 결합행렬** (가볍게 읽기)
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- 행공간↔열공간 사이의 1:1 대응: 열공간의 모든 벡터 $Ax = b$ 는 행공간의 **정확히 하나의** $x$ 에서 나온다. (두 개라면 $A(x - y) = 0$ 인데 $x - y$ 가 행공간에도 영공간에도 있어 $x = y$.): 4장 직교성의 예고편.
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- **[5단계] 응용 맛보기, 그래프와 결합행렬** (가볍게 읽기)
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- 노드 4개·에지 5개인 그래프의 **결합행렬** (incidence matrix) $A$ ($5 \times 4$, 각 행에 $-1, 1$): 네 공간이 그래프 언어로 번역된다.
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- $\mathbf{N}(A)$: 상수벡터 $(c,c,c,c)$ — 차원 1 → $r = n - 1 = 3$
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- $\mathbf{N}(A)$: 상수벡터 $(c,c,c,c)$, 차원 1 → $r = n - 1 = 3$
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- $\mathbf{C}(A^{\mathrm{T}})$: **트리**(루프 없는 에지들)가 독립인 행 → 차원 3
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- $\mathbf{N}(A^{\mathrm{T}})$: **루프**를 도는 전류들 — 차원 $m - r = 2$ (키르히호프 전류법칙 $A^{\mathrm{T}}y = 0$)
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- $\mathbf{N}(A^{\mathrm{T}})$: **루프**를 도는 전류들, 차원 $m - r = 2$ (키르히호프 전류법칙 $A^{\mathrm{T}}y = 0$)
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- 오일러 공식이 공짜로: (노드) − (에지) + (작은 루프) $= n - m + (m - n + 1) = 1$.
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- 💡 여기서는 "4공간이 실제 세계(회로·네트워크)에서 각자 의미를 갖는다"는 것만 챙기면 충분하다.
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- **[6단계] 랭크** $r$ **행렬 = 랭크 1 행렬** $r$ **개의 합**
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- 랭크 1 행렬은 $uv^{\mathrm{T}}$ (열 하나 × 행 하나) 꼴. $A = CR$ 을 열×행으로 풀어 쓰면:
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- $$A = CR = u_1 v_1^{\mathrm{T}} + u_2 v_2^{\mathrm{T}} + \cdots + u_r v_r^{\mathrm{T}} \qquad (u_i = C\text{의 열},\ v_i^{\mathrm{T}} = R\text{의 행})$$
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- 💡 "모든 행렬은 랭크 1 조각 $r$ 개로 분해된다" — 뒤에서 배울 특잇값 분해(SVD)의 원형이다.
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- 💡 "모든 행렬은 랭크 1 조각 $r$ 개로 분해된다". 뒤에서 배울 특잇값 분해(SVD)의 원형이다.
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- ### ❓ 스스로 점검
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- 4가지 기본 부분공간의 이름·정의·사는 곳·차원을 표로 재현하라.
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- 행공간 $\mathbf{C}(A^{\mathrm{T}})$/행들의 결합/$\mathbb{R}^n$/$r$ · 열공간 $\mathbf{C}(A)$/열들의 결합/$\mathbb{R}^m$/$r$ · 영공간 $\mathbf{N}(A)$/$Ax=0$ 해/$\mathbb{R}^n$/$n-r$ · 좌영공간 $\mathbf{N}(A^{\mathrm{T}})$/$A^{\mathrm{T}}y=0$ 해/$\mathbb{R}^m$/$m-r$.
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- $R_0$ 에서 네 공간의 기저를 각각 어떻게 읽는가?
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- 행공간: 영행 아닌 $r$ 개 행 / 열공간: 피벗 열 (단, $A$ **의** 원본 피벗 열) / 영공간: 특별해 $(n-r)$ 개 / 좌영공간: $R_0^{\mathrm{T}}y = 0$ 의 해 — $A$ 기준으로는 $[\,A\ I\,] \to [\,R_0\ E\,]$ 에서 $E$ 의 마지막 $(m-r)$ 행.
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- 행공간: 영행 아닌 $r$ 개 행 / 열공간: 피벗 열 (단, $A$ **의** 원본 피벗 열) / 영공간: 특별해 $(n-r)$ 개 / 좌영공간: $R_0^{\mathrm{T}}y = 0$ 의 해, $A$ 기준으로는 $[\,A\ I\,] \to [\,R_0\ E\,]$ 에서 $E$ 의 마지막 $(m-r)$ 행.
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- 소거에서 보존되는 공간과 변하는 공간은? "$A$ 와 $R_0$ 의 열공간이 같다"가 거짓인 이유는?
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- 보존: 행공간·영공간. 변함: 열공간·좌영공간 (차원만 보존). $R_0$ 의 열은 영행 때문에 끝이 0이지만 $A$ 의 열은 아니라서.
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- "독립인 열의 개수 = 독립인 행의 개수"가 성립하는 이유를 한 줄로.
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@ -56,24 +57,24 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- 카운팅 정리 두 개를 쓰고 의미를 말하라.
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- $r + (n-r) = n$: $\mathbb{R}^n$ 을 행공간 차원 + 영공간 차원이 채운다. $r + (m-r) = m$: $\mathbb{R}^m$ 을 열공간 + 좌영공간이 채운다.
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- 좌영공간이라는 이름의 유래는?
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- $A^{\mathrm{T}}y = 0$ ⟺ $y^{\mathrm{T}}A = 0^{\mathrm{T}}$ — $y$ 가 $A$ 의 왼쪽에 곱해지는 영공간.
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- $A^{\mathrm{T}}y = 0$ ⟺ $y^{\mathrm{T}}A = 0^{\mathrm{T}}$, $y$ 가 $A$ 의 왼쪽에 곱해지는 영공간.
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- $7 \times 9$ 행렬의 랭크가 5일 때 네 공간의 차원은?
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- 행공간 5, 열공간 5, 영공간 $9-5=4$, 좌영공간 $7-5=2$. (합 = $16 = m + n$)
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- ### ✏️ 연습문제 풀이 (솔루션 참고)
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- **문제 1** — (a) $7 \times 9$ 행렬의 랭크가 5일 때 4공간의 차원과 그 합은? (b) $3 \times 4$ 행렬의 랭크가 3일 때 열공간과 좌영공간은?
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- (a) $5, 5, 4, 2$ — 합 $= 16 = m + n$. (b) 열공간 = $\mathbb{R}^3$ 전체 (최대 행 랭크), 좌영공간 = $\{0\}$ (차원 0).
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- **문제 1**: (a) $7 \times 9$ 행렬의 랭크가 5일 때 4공간의 차원과 그 합은? (b) $3 \times 4$ 행렬의 랭크가 3일 때 열공간과 좌영공간은?
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- (a) $5, 5, 4, 2$, 합 $= 16 = m + n$. (b) 열공간 = $\mathbb{R}^3$ 전체 (최대 행 랭크), 좌영공간 = $\{0\}$ (차원 0).
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- 💡 (b)는 "$r = m$ ⟺ 열공간이 꽉 참 ⟺ 좌영공간이 사라짐"의 체험.
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- **문제 3** — $A = \begin{bmatrix} 0&1&2&3&4 \\ 0&1&2&4&6 \\ 0&0&0&1&2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 1&1&0 \\ 0&1&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0&1&2&3&4 \\ 0&0&0&1&2 \\ 0&0&0&0&0 \end{bmatrix}$ 의 4공간의 기저를 구하라.
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- **문제 3**: $A = \begin{bmatrix} 0&1&2&3&4 \\ 0&1&2&4&6 \\ 0&0&0&1&2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 1&1&0 \\ 0&1&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0&1&2&3&4 \\ 0&0&0&1&2 \\ 0&0&0&0&0 \end{bmatrix}$ 의 4공간의 기저를 구하라.
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- 랭크 2. 행공간 기저: $R$ 의 두 행 $(0,1,2,3,4), (0,0,0,1,2)$.
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- 열공간 기저: 피벗 열 = $A$ **의** 2열 $(1,1,0)$ 과 4열 $(3,4,1)$.
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- 영공간 기저 (자유변수 $x_1, x_3, x_5$): $(1,0,0,0,0),\ (0,-2,1,0,0),\ (0,2,0,-2,1)$.
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- 좌영공간 기저: $(1, -1, 1)$ — 검산: 1행 − 2행 + 3행 $= (0,0,0,0,0)$ ✓.
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- 좌영공간 기저: $(1, -1, 1)$, 검산: 1행 − 2행 + 3행 $= (0,0,0,0,0)$ ✓.
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- 💡 좌영공간 기저가 $E = L^{-1}$ 의 마지막 행에서 나온다는 것도 확인할 수 있는 좋은 예.
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- **문제 11** (중요한 문제) — 랭크 $r$ 인 $m \times n$ 행렬 $A$ 에 대해 $Ax = b$ 의 해가 존재하지 않는다면: (a) $m, n, r$ 의 부등식 전부? (b) $A^{\mathrm{T}}y = 0$ 에 $y \neq 0$ 인 해가 있음을 어떻게 아는가?
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- **문제 11** (중요한 문제): 랭크 $r$ 인 $m \times n$ 행렬 $A$ 에 대해 $Ax = b$ 의 해가 존재하지 않는다면: (a) $m, n, r$ 의 부등식 전부? (b) $A^{\mathrm{T}}y = 0$ 에 $y \neq 0$ 인 해가 있음을 어떻게 아는가?
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- (a) $r < m$ (해가 없으려면 열공간이 $\mathbb{R}^m$ 을 못 채워야 함), 그리고 항상 $r \le n$. ($m$ 과 $n$ 사이 관계는 알 수 없음.)
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- (b) 좌영공간의 차원 $= m - r > 0$ → 0 아닌 벡터가 반드시 존재.
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- 💡 "해가 없다"는 정보 하나가 좌영공간의 존재를 강제한다 — 4공간이 서로 연동되어 있다는 감각.
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- **문제 24** (중요한 문제) — 벡터 $d$ 가 4공간 중 어디에 있으면 $A^{\mathrm{T}}y = d$ 의 해가 존재하는가? 어떤 공간이 영벡터만 포함하면 그 해가 유일한가?
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- 존재: $d \in \mathbf{C}(A^{\mathrm{T}})$ — 즉 $d$ 가 $A$ **의 행공간**에 있을 때. ($A^{\mathrm{T}}$ 의 열공간 = $A$ 의 행공간이므로 3.1의 "해 존재 ⟺ 우변이 열공간에" 를 $A^{\mathrm{T}}$ 에 적용한 것.)
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- 💡 "해가 없다"는 정보 하나가 좌영공간의 존재를 강제한다. 4공간이 서로 연동되어 있다는 감각.
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- **문제 24** (중요한 문제): 벡터 $d$ 가 4공간 중 어디에 있으면 $A^{\mathrm{T}}y = d$ 의 해가 존재하는가? 어떤 공간이 영벡터만 포함하면 그 해가 유일한가?
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- 존재: $d \in \mathbf{C}(A^{\mathrm{T}})$, 즉 $d$ 가 $A$ **의 행공간**에 있을 때. ($A^{\mathrm{T}}$ 의 열공간 = $A$ 의 행공간이므로 3.1의 "해 존재 ⟺ 우변이 열공간에" 를 $A^{\mathrm{T}}$ 에 적용한 것.)
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- 유일: $\mathbf{N}(A^{\mathrm{T}})$ (좌영공간) $= \{0\}$ 일 때.
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- 💡 모든 해 존재/유일성 문제는 "열공간에 있나 / 영공간이 0뿐인가"로 환원된다 — 대상이 $A^{\mathrm{T}}$ 면 행공간/좌영공간으로 이름만 바뀔 뿐.
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- 💡 모든 해 존재/유일성 문제는 "열공간에 있나 / 영공간이 0뿐인가"로 환원된다. 대상이 $A^{\mathrm{T}}$ 면 행공간/좌영공간으로 이름만 바뀔 뿐.
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@ -2,8 +2,8 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- ## 챕터 서론
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- 2장은 **가역인 정사각행렬**만 다뤘다 — $PA = LU$ 의 행렬들은 전부 최대 랭크 $r = m = n$ 이었고 해는 항상 딱 하나였다. 3장은 **모든** $m \times n$ **행렬**로 문을 연다. 이제 해가 없거나 무수히 많은 경우까지 전부 다루며, 그러기 위해 "공간"이라는 새 언어가 필요해진다.
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- **이 장의 주인공 — 4가지 기본 부분공간**: $A$ 의 **열공간** $\mathbf{C}(A)$, **행공간** $\mathbf{C}(A^{\mathrm{T}})$, **영공간** $\mathbf{N}(A)$, $A^{\mathrm{T}}$ 의 **영공간(좌영공간)** $\mathbf{N}(A^{\mathrm{T}})$. 이들의 차원 $r, r, n-r, m-r$ 을 연결하는 것이 이 장의 목표인 **선형대수학의 기본정리**다. 책 스스로 "이 책에서 가장 중요한 장"이라고 말한다.
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- 2장은 **가역인 정사각행렬**만 다뤘다. $PA = LU$ 의 행렬들은 전부 최대 랭크 $r = m = n$ 이었고 해는 항상 딱 하나였다. 3장은 **모든** $m \times n$ **행렬**로 문을 연다. 이제 해가 없거나 무수히 많은 경우까지 전부 다루며, 그러기 위해 "공간"이라는 새 언어가 필요해진다.
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- **이 장의 주인공, 4가지 기본 부분공간**: $A$ 의 **열공간** $\mathbf{C}(A)$, **행공간** $\mathbf{C}(A^{\mathrm{T}})$, **영공간** $\mathbf{N}(A)$, $A^{\mathrm{T}}$ 의 **영공간(좌영공간)** $\mathbf{N}(A^{\mathrm{T}})$. 이들의 차원 $r, r, n-r, m-r$ 을 연결하는 것이 이 장의 목표인 **선형대수학의 기본정리**다. 책 스스로 "이 책에서 가장 중요한 장"이라고 말한다.
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- 흐름 한눈에: 공간이란 무엇인가(3.1) → $Ax = 0$ 의 모든 해(3.2) → $Ax = b$ 의 모든 해(3.3) → 그동안 빚진 용어들의 정식 정의(3.4) → 4공간 총정리(3.5).
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- ⚠️ **이 장의 독법**: 스트랭 특유의 "먼저 쓰고 나중에 정의하는" 전개가 가장 심한 장이다. 3.1~3.3에서 **독립·기저·차원·랭크**가 정의 없이 계속 나오는데, 정식 정의는 전부 **3.4**에 있다. 막히면 감(독립 ≈ 겹치지 않음, 기저 ≈ 최소 재료, 차원 ≈ 재료 개수)으로 통과하고, 3.4를 읽은 뒤 앞을 다시 보면 소급해서 선명해진다.
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- ## 소단원
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@ -14,13 +14,13 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- [[3.5 4가지 기본 부분공간의 차원]]
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- ## 3장에 대한 고찰 : 소거의 큰 그림
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- 소거는 처음부터 끝까지 **두 가지 질문에 대한 답**이었다:
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- **Q1. 이 열은 이전 열들의 선형결합인가?** — 피벗이 생기면 "아니다"(독립, 피벗 열), 안 생기면 "그렇다"(자유 열, 계수는 $F$ 에 기록).
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- **Q2. 이 행은 이전 행들의 선형결합인가?** — 피벗이 있으면 독립인 행, 성분이 모두 0이 되면 종속인 행(영행 → $R$ 에서 제거).
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- **Q1. 이 열은 이전 열들의 선형결합인가?**: 피벗이 생기면 "아니다"(독립, 피벗 열), 안 생기면 "그렇다"(자유 열, 계수는 $F$ 에 기록).
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- **Q2. 이 행은 이전 행들의 선형결합인가?**: 피벗이 있으면 독립인 행, 성분이 모두 0이 되면 종속인 행(영행 → $R$ 에서 제거).
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- $R$ **은 3가지 기본 부분공간의 기저를 드러낸다**:
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- **열공간**: $R$ 에서 피벗을 만드는 열 번호 → $A$ **의 그 열들** $r$ 개
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- **행공간**: $R$ 의 $r$ 개 행
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- **영공간**: $Rx = 0$ 의 특별해 $(n-r)$ 개
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- (**좌영공간**은 소거 기록에서: $[\,A\ \ I\,] \to [\,R_0\ \ E\,]$ 로 축소하면 $E$ 의 마지막 $(m-r)$ 개 행이 기저 — "소거하지 않으면 손실될 수 있는 소거에 대한 기록".)
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- 소거 경로가 달라도 $R$ 은 항상 같다 — $R$ 은 온전히 $A$ 가 결정한다. 그리고 랭크가 같은 구조를 공유한다: $C, B$ 를 고정하고 가역인 혼합행렬 $M$ 을 끼운 **모든 행렬** $CMB$ **는 동일한 4가지 기본 부분공간을 갖는다.**
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- 분해로 요약하면: $A = CR = C[\,I\ \ F\,]P = [\,C\ \ CF\,]P$ — "$A$ = (독립인 열들) 뒤에 (종속인 열들 $= CF$)를 붙이고 열 순서를 $P$ 로 되돌린 것". 이 책이 소거의 결과를 이 행렬 형식으로 표현한 최초의 책이라고 한다.
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- 💡 **3장 전체를 꿰는 한 줄**: 랭크 $r$ 하나가 모든 것을 결정한다 — 독립인 열·행의 개수($r$), 자유변수($n-r$), 해의 존재($r = m$?)와 유일성($r = n$?), 네 공간의 차원까지. 소거는 그 $r$ 을 드러내는 도구다.
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- (**좌영공간**은 소거 기록에서: $[\,A\ \ I\,] \to [\,R_0\ \ E\,]$ 로 축소하면 $E$ 의 마지막 $(m-r)$ 개 행이 기저, "소거하지 않으면 손실될 수 있는 소거에 대한 기록".)
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- 소거 경로가 달라도 $R$ 은 항상 같다. $R$ 은 온전히 $A$ 가 결정한다. 그리고 랭크가 같은 구조를 공유한다: $C, B$ 를 고정하고 가역인 혼합행렬 $M$ 을 끼운 **모든 행렬** $CMB$ **는 동일한 4가지 기본 부분공간을 갖는다.**
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- 분해로 요약하면: $A = CR = C[\,I\ \ F\,]P = [\,C\ \ CF\,]P$, "$A$ = (독립인 열들) 뒤에 (종속인 열들 $= CF$)를 붙이고 열 순서를 $P$ 로 되돌린 것". 이 책이 소거의 결과를 이 행렬 형식으로 표현한 최초의 책이라고 한다.
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- 💡 **3장 전체를 꿰는 한 줄**: 랭크 $r$ 하나가 모든 것을 결정한다. 독립인 열·행의 개수($r$), 자유변수($n-r$), 해의 존재($r = m$?)와 유일성($r = n$?), 네 공간의 차원까지. 소거는 그 $r$ 을 드러내는 도구다.
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