From d925889c4207e004a792ad34179263478a9ec021 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: songyc macbook Date: Tue, 18 Aug 2026 19:28:53 +0900 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?4.4=20=EB=AC=B8=EC=A0=9C=2015=20=EB=B3=B4?= =?UTF-8?q?=EC=B6=A9:=20=EC=A0=95=EA=B7=9C=EB=B0=A9=EC=A0=95=EC=8B=9D=20?= =?UTF-8?q?=ED=92=80=EC=9D=B4=EC=99=80=EC=9D=98=20=EA=B4=80=EA=B3=84(?= =?UTF-8?q?=EC=A7=80=EB=A6=84=EA=B8=B8=C2=B7=EC=A2=8C=ED=91=9C=EA=B3=84=20?= =?UTF-8?q?=EC=A3=BC=EC=9D=98)=20+=20q=E2=82=83=EB=A1=9C=20b=20=EC=99=84?= =?UTF-8?q?=EC=A0=84=20=EB=B6=84=ED=95=B4=20(e=20=3D=20=E2=88=923q?= =?UTF-8?q?=E2=82=83)?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit Co-Authored-By: Claude Fable 5 Claude-Session: https://claude.ai/code/session_01Ufr6wUhJAzBaqcaBiRJ1xk --- .../pages/4.4 정규직교기저와 그람-슈미트 과정.md | 11 ++++++++++- 1 file changed, 10 insertions(+), 1 deletion(-) diff --git a/Major Study/pages/4.4 정규직교기저와 그람-슈미트 과정.md b/Major Study/pages/4.4 정규직교기저와 그람-슈미트 과정.md index e4d605d..1b4fc62 100755 --- a/Major Study/pages/4.4 정규직교기저와 그람-슈미트 과정.md +++ b/Major Study/pages/4.4 정규직교기저와 그람-슈미트 과정.md @@ -247,7 +247,16 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학 - (c) $Q = [q_1\ q_2]$ 로 최소제곱: $\hat{x}$ 대신 사영부터. $q_1^{\mathrm{T}}b = \frac{1+4-14}{3} = -3$, $q_2^{\mathrm{T}}b = \frac{2+2+14}{3} = 6$. - $p = -3q_1 + 6q_2 = (-1,-2,2) + (4,2,4) = (3, 0, 6)$. 원래 열 기준 계수는 $A\hat{x} = p$ 에서 $\hat{x} = (1, 2)$. - 검산: $A(1,2) = (1+2,\ 2-2,\ -2+8) = (3,0,6) = p$ ✓. 오차 $e = b - p = (-2, 2, 1)$ 은 $q_1, q_2$ 와 직교 ✓ (내적 $\frac{-2+4-2}{3} = 0$, $\frac{-4+2+2}{3} = 0$). - - 핵심 문장: $q_3$ 처럼 "그람-슈미트가 안 만든 나머지 방향"은 좌영공간이다. 사영은 $q$ 들과의 내적으로, 계수는 $A\hat{x} = p$ 로. + - 💡 **보충: 두 가지 풀이의 관계** ((c)를 4.3 정규방정식으로 풀어도 된다): + - $A^{\mathrm{T}}A\hat{x} = A^{\mathrm{T}}b$ 로 직접 풀어도 같은 $\hat{x} = (1, 2)$ 가 나온다. 4.4 공식은 4.3의 **대체가 아니라 직교 기저가 있을 때의 지름길**이니까. + - 차이는 비용: 일반 경로는 $2 \times 2$ 연립 풀기, $Q$ 경로는 **내적 2번**($q_1^{\mathrm{T}}b, q_2^{\mathrm{T}}b$)이면 끝. (a)를 먼저 시킨 이유가 이 지름길을 쓰라는 출제 의도다. + - ⚠️ 좌표계 주의: $Q^{\mathrm{T}}b = (-3, 6)$ 은 $q_1, q_2$ **기준** 좌표다. 문제의 $\hat{x}$ 은 $A$ 의 원래 열 기준이라, $p$ 를 구한 뒤 $A\hat{x} = p$ (정확히 풀리는 쉬운 시스템)로 갈아탄다. + - 💡 **보충 2: (b)까지 쓰면 제일 예쁘다** ($e$ 의 정체는 $q_3$ 방향!): + - $q_1, q_2, q_3$ 는 $\mathbb{R}^3$ 의 정규직교기저이므로 식 (6)으로 $b$ 를 **완전 분해**할 수 있다: + - $$b = \underbrace{(q_1^{\mathrm{T}}b)q_1 + (q_2^{\mathrm{T}}b)q_2}_{=\ p\ (\text{열공간 성분})} + \underbrace{(q_3^{\mathrm{T}}b)q_3}_{=\ e\ (\text{좌영공간 성분})}$$ + - 실제로 $q_3^{\mathrm{T}}b = \frac{2 - 4 - 7}{3} = -3$ → $e = -3q_3 = (-2, 2, 1)$, 위 검산의 그 $e$ 와 정확히 일치 ✓. + - 즉 이 문제는 (a) $q_1, q_2$ = 사영 $p$ 의 재료, (b) $q_3$ = 오차 $e$ 가 사는 방향, (c) $b = p + e$ 분해의 완성. 4.1 기본정리 2부터 4.4 식 (6)까지 한 줄로 꿰는 문제였던 것. + - 핵심 문장: $q_3$ 처럼 "그람-슈미트가 안 만든 나머지 방향"은 좌영공간이다. 사영은 $q$ 들과의 내적으로, 계수는 $A\hat{x} = p$ 로. 그리고 오차는 $q_3$ 좌표 그 자체. - **문제 18** (꼭 풀어볼 만한 문제): $a = (1,-1,0,0)$, $b = (0,1,-1,0)$, $c = (0,0,1,-1)$ 에 그람-슈미트를 적용해 $A, B, C$ 를 구하라. - 🔁 개념 상기: 식 (7)·(8) 그대로 세 번. 그리고 결과의 패턴을 읽는 눈 (이 벡터들은 4.1 문제 22가 다룬 "성분 합 0" 공간의 기저다). - 1단계: $A = a = (1, -1, 0, 0)$.