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docs: 2.5절 전면 재작성 — 숫자 예제 중심 4단계 구성 + 자작 SVG 그림 4개 추가

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Co-Authored-By: Claude Fable 5 <noreply@anthropic.com>
Claude-Session: https://claude.ai/code/session_01G8rNxLqi5rYjRamC8uwiJW
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songyc macbook 2026-07-26 22:33:02 +09:00
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commit e6b22cf5c2
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68
assets/2장_2.5_격자_경계조건.svg Executable file
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@ -0,0 +1,68 @@
<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" viewBox="0 0 760 320" font-family="'Helvetica Neue', Arial, 'Apple SD Gothic Neo', 'Malgun Gothic', sans-serif">
<rect width="760" height="320" fill="#ffffff" rx="8"/>
<text x="30" y="34" font-size="19" font-weight="bold" fill="#111827">격자 만들기: 구간 [0,1]을 h = 1/5 로 잘라 미지수 4개만 남긴다</text>
<!-- 벽 (왼쪽) -->
<line x1="78" y1="140" x2="78" y2="240" stroke="#374151" stroke-width="3"/>
<g stroke="#9ca3af" stroke-width="1.5">
<line x1="64" y1="155" x2="78" y2="141"/>
<line x1="64" y1="169" x2="78" y2="155"/>
<line x1="64" y1="183" x2="78" y2="169"/>
<line x1="64" y1="197" x2="78" y2="183"/>
<line x1="64" y1="211" x2="78" y2="197"/>
<line x1="64" y1="225" x2="78" y2="211"/>
<line x1="64" y1="239" x2="78" y2="225"/>
</g>
<!-- 벽 (오른쪽) -->
<line x1="682" y1="140" x2="682" y2="240" stroke="#374151" stroke-width="3"/>
<g stroke="#9ca3af" stroke-width="1.5">
<line x1="682" y1="141" x2="696" y2="155"/>
<line x1="682" y1="155" x2="696" y2="169"/>
<line x1="682" y1="169" x2="696" y2="183"/>
<line x1="682" y1="183" x2="696" y2="197"/>
<line x1="682" y1="197" x2="696" y2="211"/>
<line x1="682" y1="211" x2="696" y2="225"/>
<line x1="682" y1="225" x2="696" y2="239"/>
</g>
<!-- 수직선 [0,1] -->
<line x1="80" y1="190" x2="680" y2="190" stroke="#374151" stroke-width="2"/>
<!-- 경계점 -->
<circle cx="80" cy="190" r="6" fill="#374151"/>
<circle cx="680" cy="190" r="6" fill="#374151"/>
<text x="80" y="130" font-size="15" fill="#374151" text-anchor="middle">u₀ = 0 (벽에 고정)</text>
<text x="680" y="130" font-size="15" fill="#374151" text-anchor="middle">u₅ = 0 (벽에 고정)</text>
<!-- 내부점 (미지수) -->
<g fill="#1d4ed8" stroke="#ffffff" stroke-width="2">
<circle cx="200" cy="190" r="7"/>
<circle cx="320" cy="190" r="7"/>
<circle cx="440" cy="190" r="7"/>
<circle cx="560" cy="190" r="7"/>
</g>
<g font-size="17" font-weight="bold" fill="#1d4ed8" text-anchor="middle">
<text x="200" y="160">u₁</text>
<text x="320" y="160">u₂</text>
<text x="440" y="160">u₃</text>
<text x="560" y="160">u₄</text>
</g>
<!-- x 좌표 라벨 -->
<g font-size="15" fill="#6b7280" text-anchor="middle">
<text x="98" y="222">0</text>
<text x="200" y="222">h</text>
<text x="320" y="222">2h</text>
<text x="440" y="222">3h</text>
<text x="560" y="222">4h</text>
<text x="662" y="222">1</text>
</g>
<!-- h 간격 표시 -->
<line x1="80" y1="248" x2="200" y2="248" stroke="#9ca3af" stroke-width="1.5"/>
<line x1="80" y1="242" x2="80" y2="254" stroke="#9ca3af" stroke-width="1.5"/>
<line x1="200" y1="242" x2="200" y2="254" stroke="#9ca3af" stroke-width="1.5"/>
<text x="140" y="272" font-size="15" fill="#374151" text-anchor="middle">h = 1/5</text>
<text x="40" y="302" font-size="15" fill="#374151">파란 점 4개가 미지수 — 각 점마다 (−1, 2, −1) 방정식이 하나씩 → 방정식 4개 = 4×4 행렬 K</text>
</svg>
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54
assets/2장_2.5_예제_해_비교.svg Executable file
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@ -0,0 +1,54 @@
<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" viewBox="0 0 760 420" font-family="'Helvetica Neue', Arial, 'Apple SD Gothic Neo', 'Malgun Gothic', sans-serif">
<rect width="760" height="420" fill="#ffffff" rx="8"/>
<text x="30" y="34" font-size="19" font-weight="bold" fill="#111827">미분방정식을 행렬로 풀었다 (−u″ = 1, 고정–고정 경계)</text>
<!-- 범례 -->
<g font-size="15" fill="#374151">
<line x1="430" y1="62" x2="470" y2="62" stroke="#059669" stroke-width="2.5"/>
<text x="480" y="67">참 해 u(x) = x(1−x)/2</text>
<circle cx="450" cy="88" r="6" fill="#1d4ed8" stroke="#ffffff" stroke-width="2"/>
<text x="480" y="93">KU = h²F 의 해 u₁ … u₄</text>
</g>
<!-- x축 -->
<line x1="80" y1="320" x2="660" y2="320" stroke="#9ca3af" stroke-width="1.5"/>
<g stroke="#9ca3af" stroke-width="1.5">
<line x1="80" y1="320" x2="80" y2="326"/>
<line x1="192" y1="320" x2="192" y2="326"/>
<line x1="304" y1="320" x2="304" y2="326"/>
<line x1="416" y1="320" x2="416" y2="326"/>
<line x1="528" y1="320" x2="528" y2="326"/>
<line x1="640" y1="320" x2="640" y2="326"/>
</g>
<g font-size="14" fill="#6b7280" text-anchor="middle">
<text x="80" y="344">0</text>
<text x="192" y="344">0.2</text>
<text x="304" y="344">0.4</text>
<text x="416" y="344">0.6</text>
<text x="528" y="344">0.8</text>
<text x="640" y="344">1</text>
</g>
<!-- 참 해 곡선 -->
<path d="M 80 320 Q 360 -130 640 320" fill="none" stroke="#059669" stroke-width="2.5"/>
<!-- 경계점 -->
<circle cx="80" cy="320" r="4" fill="#6b7280"/>
<circle cx="640" cy="320" r="4" fill="#6b7280"/>
<!-- 소거법으로 구한 해 -->
<g fill="#1d4ed8" stroke="#ffffff" stroke-width="2">
<circle cx="192" cy="176" r="6"/>
<circle cx="304" cy="104" r="6"/>
<circle cx="416" cy="104" r="6"/>
<circle cx="528" cy="176" r="6"/>
</g>
<g font-size="15" fill="#1d4ed8" text-anchor="middle">
<text x="192" y="204">0.08</text>
<text x="304" y="132">0.12</text>
<text x="416" y="132">0.12</text>
<text x="528" y="204">0.08</text>
</g>
<text x="40" y="390" font-size="15" fill="#374151">네 점이 참 해 곡선 위에 정확히 얹혔다 — 참 해가 2차 다항식이라 1,−2,1 근사의 오차가 0 인 특수한 경우.</text>
</svg>
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assets/2장_2.5_이차차분_직관.svg Executable file
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@ -0,0 +1,33 @@
<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" viewBox="0 0 760 440" font-family="'Helvetica Neue', Arial, 'Apple SD Gothic Neo', 'Malgun Gothic', sans-serif">
<rect width="760" height="440" fill="#ffffff" rx="8"/>
<text x="30" y="34" font-size="19" font-weight="bold" fill="#111827">2계도함수: 「양옆 평균」과 「자신」의 차이가 휘어짐이다</text>
<!-- 곡선 -->
<path d="M 100.8 382.2 Q 359.2 342.1 617.6 24.7" fill="none" stroke="#6b7280" stroke-width="2.5"/>
<!-- 현 (양옆 두 점을 잇는 선) -->
<line x1="128" y1="377.2" x2="604" y2="41.2" stroke="#1d4ed8" stroke-width="2" stroke-dasharray="6 5"/>
<!-- 평균과 자신 사이 간격 -->
<line x1="366" y1="268" x2="366" y2="209.2" stroke="#dc2626" stroke-width="2.5"/>
<line x1="358" y1="268" x2="374" y2="268" stroke="#dc2626" stroke-width="2.5"/>
<line x1="358" y1="209.2" x2="374" y2="209.2" stroke="#dc2626" stroke-width="2.5"/>
<!-- 점들 -->
<g fill="#111827" stroke="#ffffff" stroke-width="1.5">
<circle cx="128" cy="377.2" r="5"/>
<circle cx="366" cy="268" r="5"/>
<circle cx="604" cy="41.2" r="5"/>
</g>
<circle cx="366" cy="209.2" r="5" fill="#1d4ed8" stroke="#ffffff" stroke-width="1.5"/>
<!-- 라벨 -->
<g font-size="16">
<text x="128" y="404" text-anchor="middle" fill="#374151">y(x−h)</text>
<text x="366" y="294" text-anchor="middle" fill="#374151">y(x) ← 자신</text>
<text x="620" y="36" fill="#374151">y(x+h)</text>
<text x="384" y="206" fill="#1d4ed8">양옆의 평균 (현의 중점)</text>
<text x="384" y="246" fill="#dc2626">차이 = 평균 − 자신 ≈ ½ h² y″</text>
</g>
<text x="30" y="426" font-size="15" fill="#374151">위로 휜 곡선(y″&gt;0)에서는 양옆 평균이 자신보다 크다. 이 차이에 2/h² 을 곱한 것이 바로 2계 차분.</text>
</svg>
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48
assets/2장_2.5_차분_세가지.svg Executable file
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@ -0,0 +1,48 @@
<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" viewBox="0 0 760 460" font-family="'Helvetica Neue', Arial, 'Apple SD Gothic Neo', 'Malgun Gothic', sans-serif">
<rect width="760" height="460" fill="#ffffff" rx="8"/>
<text x="30" y="34" font-size="19" font-weight="bold" fill="#111827">1계 미분: 두 점으로 기울기를 재는 3가지 방법 (y = x², x = 1 에서)</text>
<!-- 범례 -->
<g font-size="15" fill="#374151">
<line x1="60" y1="70" x2="100" y2="70" stroke="#111827" stroke-width="2" stroke-dasharray="7 5"/>
<text x="110" y="75">참 기울기 = 접선 (기울기 2)</text>
<line x1="60" y1="94" x2="100" y2="94" stroke="#1d4ed8" stroke-width="2.5"/>
<text x="110" y="99">전진차분 = 2.1 — 너무 가파름</text>
<line x1="60" y1="118" x2="100" y2="118" stroke="#ea580c" stroke-width="2.5"/>
<text x="110" y="123">후진차분 = 1.9 — 너무 완만</text>
<line x1="60" y1="142" x2="100" y2="142" stroke="#059669" stroke-width="2.5"/>
<text x="110" y="147">중심차분 = 2.0 — 접선과 평행!</text>
</g>
<!-- 축 -->
<line x1="60" y1="390" x2="700" y2="390" stroke="#9ca3af" stroke-width="1.5"/>
<g stroke="#d1d5db" stroke-width="1" stroke-dasharray="4 4">
<line x1="196" y1="352.5" x2="196" y2="390"/>
<line x1="366" y1="270" x2="366" y2="390"/>
<line x1="536" y1="132.5" x2="536" y2="390"/>
</g>
<g font-size="16" fill="#374151" text-anchor="middle">
<text x="196" y="412">x−h</text>
<text x="366" y="412">x</text>
<text x="536" y="412">x+h</text>
</g>
<!-- 곡선 y = x² -->
<path d="M 94 375.6 Q 352.4 342.2 610.8 54.6" fill="none" stroke="#6b7280" stroke-width="2.5"/>
<!-- 접선 (참 기울기) -->
<line x1="213" y1="369" x2="553" y2="149" stroke="#111827" stroke-width="2" stroke-dasharray="7 5"/>
<!-- 전진차분 할선 -->
<line x1="298" y1="325" x2="576.8" y2="99.5" stroke="#1d4ed8" stroke-width="2.5"/>
<!-- 후진차분 할선 -->
<line x1="155.2" y1="372.3" x2="485" y2="212.3" stroke="#ea580c" stroke-width="2.5"/>
<!-- 중심차분 할선 -->
<line x1="162" y1="374.5" x2="570" y2="110.5" stroke="#059669" stroke-width="2.5"/>
<!-- 세 점 -->
<g fill="#111827" stroke="#ffffff" stroke-width="1.5">
<circle cx="196" cy="352.5" r="5"/>
<circle cx="366" cy="270" r="5"/>
<circle cx="536" cy="132.5" r="5"/>
</g>
</svg>
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201
pages/2.5 미분과 유한차분행렬.md
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@ -1,109 +1,126 @@
deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
- ### 핵심 개념
- **이 절의 목표**: 미분적분학과 선형대수학을 연결하는 것. 핵심 아이디어는 한 문장이다 — **미분방정식은 컴퓨터로 직접 못 푸니, 미분을 "차분"(빼기)으로 근사하면 행렬방정식** $KU = F$ **가 되고, 그건 2장에서 배운 소거법으로 풀 수 있다.**
- 💡 전체 흐름 지도 (이것만 잡으면 절 전체가 보인다):
- ① 미분 $\dfrac{dy}{dx}$ 를 **차분** $\dfrac{y(x+h)-y(x)}{h}$ 같은 꼴로 근사한다.
- ② 2계 미분 $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ 의 근사에서 $1, -2, 1$ 패턴이 나온다.
- ③ 이 패턴을 격자점 $N$ 개에 한꺼번에 적용하면 **행렬** $K$ 가 된다.
- ④ 미분방정식 $-u'' = f(x)$ 가 연립방정식 $\dfrac{1}{h^2}KU = F$ 로 바뀐다.
- ⑤ 경계 조건(끝이 고정인가 자유인가)에 따라 행렬이 $K, T, B$ 세 종류로 갈린다.
- **미분이 알려주는 것** (복습): 미분은 한 점 $x$ (또는 한 순간 $t$)에서 무슨 일이 일어나는지 알려준다.
- 1계도함수가 양수 → 그래프가 **올라간다** / 2계도함수가 양수 → 그래프가 **위쪽으로 휘어 있다** (기울기가 증가).
- ⚠️ "증가/감소"(1계)와 "위로 휨/아래로 휨"(2계)은 다른 정보다. 예: $y = x^2$ 은 $x<0$ 에서 감소하지만 어디서나 위로 휜다 ($y'' = 2 > 0$).
- **차분 (difference)** — 미분의 근사. 한 점이 아니라 **두 점** $x$ 와 $x+h$ 를 쓴다. 3가지 중요한 사실 (p.118):
- ❶ $\Delta y = y(x+h) - y(x)$ 는 대략 $h \times \dfrac{dy}{dx}$ 이다.
- ❷ 더 좋은 근사: $\Delta y \approx h\dfrac{dy}{dx} + \dfrac{1}{2}h^2\dfrac{d^2y}{dx^2}$ (2계도함수 항으로 보정).
- ❸ 정확한 값: $\Delta y = \displaystyle\int_x^{x+h} \frac{dy}{dx}\,dx$.
- 💡 ❶은 접선(1차 근사), ❷는 접하는 포물선(2차 근사). 기하적으로: 접선을 따라가다 $\frac{1}{2}h^2 y''$ 만큼 더 휘어주는 것.
- **테일러 급수** (Taylor series): 위 근사를 무한히 계속한 것 — 모든 항은 $\dfrac{h^n}{n!} \times \left(n\text{계도함수}\right)$.
- $$y(x+h) = y(x) + h\,y'(x) + \frac{1}{2}h^2 y''(x) + \cdots + \frac{1}{n!}h^n y^{(n)}(x) + \cdots$$
- $y = e^x$ 같은 함수는 모든 점에서 수렴(해석함수). $y = \frac{1}{1-x}$ 은 $|x| < 1$ 에서만 수렴 — $x=1$ 은 **극점**(pole)이라는 특이점.
- 💡 이 절에서 테일러 급수의 용도: 아래 차분 공식들의 **오차가 몇 차인지**($h$ 몇 제곱에 비례해 줄어드는지) 판정하는 도구.
- **1계 미분의 3가지 차분 근사** — 전진·후진·중심 (p.120~121)
- 출발점: 테일러 전개를 $+h$ 와 $-h$ 에 대해 쓴다.
- $$y(x+h) - y(x) \approx h\frac{dy}{dx} + \frac{1}{2}h^2\frac{d^2y}{dx^2} \tag{2a}$$
- $$y(x-h) - y(x) \approx -h\frac{dy}{dx} + \frac{1}{2}h^2\frac{d^2y}{dx^2} \tag{2b}$$
- **전진차분** (forward): $\dfrac{y(x+h) - y(x)}{h}$ — 오차 $O(h)$, **1차 정확도**.
- **후진차분** (backward): $\dfrac{y(x) - y(x-h)}{h}$ — 오차 $O(h)$, **1차 정확도**.
- **중심차분** (centered): (2a)−(2b) 를 $2h$ 로 나누면 $\frac{1}{2}h^2 y''$ 항이 **상쇄**된다:
- $$\frac{y(x+h) - y(x-h)}{2h} \approx \frac{dy}{dx} \qquad \text{— 오차 } O(h^2), \ \textbf{2차 정확도}$$
- 💡 중심차분이 좋은 이유: 전진과 후진의 평균이라 $\pm$ 대칭으로 오차의 첫 항이 지워진다. $h = 0.01$ 이면 1차 정확도는 오차 ~1%, 2차 정확도는 ~0.01% — 공짜로 100배 좋아진다.
- ⚠️ 부호와 분모 주의: 중심차분의 분모는 $h$ 가 아니라 $2h$ (두 점 사이 거리가 $2h$).
- **2차차분 —** $1, -2, 1$ **패턴의 탄생** (p.120 식 (4))
- (2a)+(2b) 를 $h^2$ 으로 나누면 1계 항이 상쇄되고 2계도함수의 근사가 나온다:
- $$\frac{y(x+h) - 2y(x) + y(x-h)}{h^2} \approx \frac{d^2y}{dx^2}$$
- 분자의 계수가 바로 $1, -2, 1$ — 이 패턴 하나가 이 절의 행렬 $K, T, B$ 전부의 씨앗이다.
- 💡 직관: 2계도함수 = "양옆 평균과 자신의 차이". $y(x)$ 가 양옆 평균 $\frac{y(x+h)+y(x-h)}{2}$ 보다 작으면 위로 휜 것(양수).
- **미분방정식 → 행렬방정식**: $-\dfrac{d^2u}{dx^2} = f(x)$ 를 격자에서 풀기 (p.122)
- 설정: 구간 $[0,1]$ 을 격자 간격 $h = \frac{1}{N+1}$ 로 나눈다. 내부 격자점은 $x_1 = h, \cdots, x_N = Nh$ 의 $N$ 개. **경계점** $x_0 = 0$ **,** $x_{N+1} = 1$ **에서는** $u=0$ **으로 고정** ($u_0 = 0, u_{N+1} = 0$).
- 각 격자점마다 2차차분 방정식 하나: $\dfrac{-u_{i-1} + 2u_i - u_{i+1}}{h^2} = f(ih)$ → $N$ 개의 방정식을 **하나의 행렬방정식**으로:
- $$\frac{1}{h^2}KU = F \qquad (N=4): \quad \frac{1}{h^2}\begin{bmatrix} 2&-1&0&0 \\ -1&2&-1&0 \\ 0&-1&2&-1 \\ 0&0&-1&2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} u_1\\u_2\\u_3\\u_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} f(h)\\f(2h)\\f(3h)\\f(4h) \end{bmatrix}$$
- 미지수 $u_1, \cdots, u_N$ 은 정확한 해 $u(h), \cdots, u(Nh)$ 의 근삿값.
- ⚠️ 1행이 $[2 \ -1 \ 0 \ 0]$ 로 "잘려" 있는 이유: 원래 패턴은 $-u_0 + 2u_1 - u_2$ 인데 경계 조건 $u_0 = 0$ 이라 그 항이 사라진 것. 마지막 행도 $u_5 = 0$ 때문에 같은 방식으로 잘린다. **행렬의 첫/끝 행은 경계 조건이 새겨진 자리다.**
- $K_n$ **의 정확한 형태** 🧩 (고정–고정 경계, 2차차분행렬)
- **주대각선은 전부** $2$ **, 주대각선 바로 위·아래의 대각선은 전부** $-1$ **, 그 외는 전부** $0$ **.**
- **이 절의 큰 그림 — 딱 한 문장이다**: 컴퓨터는 미분(극한)을 실행할 수 없으니, **미분을 "빼기"(차분)로 바꾼다.** 그러면 미분방정식이 우리가 이미 풀 줄 아는 연립방정식 $KU = F$ 가 되고, 2장의 소거법으로 푼다.
- 💡 이 절이 어렵게 느껴지는 이유: 미적분과 선형대수가 동시에 나오기 때문. 그런데 실제로 필요한 미적분은 딱 두 개뿐이다 — ① 미분 = 기울기, ② 2계도함수 = 휘어짐. 이 두 개만 들고 가면 끝까지 갈 수 있다.
- 전체 4단계 흐름 지도 (아래 정리가 이 순서 그대로 간다):
- **[1단계]** 미분을 **차분**(두 점의 빼기)으로 근사한다 — 전진 / 후진 / 중심 3가지.
- **[2단계]** 차분을 한 번 더 차분하면 2계도함수가 되고, 여기서 $1, -2, 1$ 패턴이 태어난다.
- **[3단계]** 구간을 격자로 자르고 격자점마다 방정식을 하나씩 세우면 → 행렬 $K$ 가 나타나고, 미분방정식이 $\frac{1}{h^2}KU = F$ 가 된다. 실제로 하나 풀어본다.
- **[4단계]** 경계(양 끝)를 고정하느냐 풀어주느냐에 따라 행렬이 $K, T, B$ 세 가지로 갈린다.
- **[1단계] 미분 대신 차분 — 왜, 그리고 어떻게**
- 미분의 정의를 다시 보자: $\dfrac{dy}{dx} = \lim_{h \to 0} \dfrac{y(x+h) - y(x)}{h}$. 컴퓨터는 $h \to 0$ 이라는 **극한을 실행할 수 없다.** 그래서 타협한다 — $h$ **를 0으로 보내지 말고, 작은 수(예: 0.1)로 그냥 두자.** 극한 기호를 떼어낸 이 나눗셈이 **차분** (difference)이다.
- 그런데 "두 점을 골라 기울기를 재는" 방법이 3가지 있다:
- **전진차분** (forward) — 오른쪽 점을 쓴다: $\dfrac{y(x+h) - y(x)}{h}$
- **후진차분** (backward) — 왼쪽 점을 쓴다: $\dfrac{y(x) - y(x-h)}{h}$
- **중심차분** (centered) — 양옆 두 점끼리 뺀다: $\dfrac{y(x+h) - y(x-h)}{2h}$
- ⚠️ 분모 주의: 중심차분만 분모가 $2h$ 다 — 사용한 두 점 $x-h$ 와 $x+h$ 사이의 거리가 $2h$ 이기 때문.
- 🔢 **숫자로 직접 재보기** — $y = x^2$, $x = 1$ (참값 $y'(1) = 2$), $h = 0.1$:
- 전진: $\dfrac{1.1^2 - 1^2}{0.1} = \dfrac{0.21}{0.1} = 2.1$ → 오차 $+0.1$
- 후진: $\dfrac{1^2 - 0.9^2}{0.1} = \dfrac{0.19}{0.1} = 1.9$ → 오차 $-0.1$
- 중심: $\dfrac{1.1^2 - 0.9^2}{0.2} = \dfrac{0.4}{0.2} = 2.0$ → **오차 0!**
- 💡 보이는가? 전진은 $+0.1$, 후진은 $-0.1$ — **정확히 반대 방향으로 같은 크기만큼 틀렸다.** 중심차분은 이 둘의 평균이므로 오차가 서로 지워진다. 중심차분이 좋은 이유는 이게 전부다.
- ![전진·후진·중심차분 비교 (직접 그린 그림)](../assets/2장_2.5_차분_세가지.svg)
- 그림: 전진(파랑)은 너무 가파르고 후진(주황)은 너무 완만한데, 둘을 평균한 중심(초록)은 접선(검정 점선)과 **평행**하다.
- **오차에 등급 매기기 — 테일러 급수는 "오차 측정기"다**
- 위의 "오차 ±0.1"이 우연이 아님을 보장해 주는 도구가 **테일러 급수** (Taylor series)다. 함수를 $x$ 근처에서 전개하면:
- $$y(x+h) = y(x) + h\,y'(x) + \frac{1}{2}h^2 y''(x) + \frac{1}{6}h^3 y'''(x) + \cdots$$
- (일반항은 $\frac{h^n}{n!}\,y^{(n)}(x)$. 책 p.118의 "차분에 관한 3가지 사실"이 이 전개의 앞부분이다: ❶ $\Delta y \approx h\,y'$, ❷ 더 정밀하게 $\Delta y \approx h\,y' + \frac{1}{2}h^2 y''$, ❸ 정확하게는 $\Delta y = \int_x^{x+h} y'\,dx$.)
- 이 전개를 세 차분 공식에 대입하면 (연습문제 8이 정확히 이 계산):
- 전진차분 $= y' + \frac{1}{2}h\,y'' + \cdots$ → 오차가 $h$ 에 비례 = **1차 정확도**
- 후진차분 $= y' - \frac{1}{2}h\,y'' + \cdots$ → 역시 **1차 정확도** (부호만 반대)
- 중심차분 $= y' + \frac{1}{6}h^2 y''' + \cdots$ → $\frac{1}{2}h\,y''$ 항이 좌우 대칭으로 **상쇄** = **2차 정확도**
- 💡 1차 vs 2차의 실감: $h$ 를 10배 줄이면 오차가 1차는 10배, 2차는 **100배** 줄어든다. $h = 0.01$ 이면 대략 1% vs 0.01% — 같은 계산량으로 100배 이득.
- (테일러 급수 자체에 대한 참고: $y = e^x$ 는 어디서나 수렴하지만, $y = \frac{1}{1-x}$ 는 $|x| < 1$ 에서만 수렴한다 — $x = 1$ 이 **극점** (pole)이라는 특이점이라서.)
- **[2단계] 2계도함수의 차분 —** $1, -2, 1$ **패턴의 탄생**
- 2계도함수는 "기울기의 기울기"다. 그러니 **차분을 한 번 더 차분하면 된다**:
- 오른쪽 구간의 기울기: $\dfrac{y(x+h) - y(x)}{h}$ / 왼쪽 구간의 기울기: $\dfrac{y(x) - y(x-h)}{h}$
- (오른쪽 기울기 − 왼쪽 기울기) ÷ $h$ 를 계산하면:
- $$\frac{d^2y}{dx^2} \approx \frac{y(x+h) - 2y(x) + y(x-h)}{h^2}$$
- 분자의 계수 $1, -2, 1$ — **이 세 숫자가 이 절의 행렬** $K, T, B$ **전부의 씨앗이다.** 가운데가 $-2$ 인 이유: $y(x)$ 가 오른쪽 차분에서 한 번, 왼쪽 차분에서 한 번, 총 두 번 빠지기 때문.
- 🔢 숫자 확인 — $y = x^2$ ($y'' = 2$), $x = 1$, $h = 0.1$: $\dfrac{1.21 - 2 \times 1 + 0.81}{0.01} = \dfrac{0.02}{0.01} = 2$ — **정확히 2!**
- (이 근사는 중심차분처럼 좌우 대칭이라 3차 다항식까지는 오차가 아예 0이고, 일반 함수에서는 2차 정확도다.)
- 💡 또 하나의 직관: **2계도함수 = 양옆 평균과 자신의 차이.** 분자를 다시 묶으면 $y(x+h) + y(x-h) - 2y(x) = 2\left[\frac{y(x+h) + y(x-h)}{2} - y(x)\right]$ — "양옆의 평균이 나보다 크면 위로 휘어 있다 ($y'' > 0$)".
- ![2계도함수 = 양옆 평균과 자신의 차이 (직접 그린 그림)](../assets/2장_2.5_이차차분_직관.svg)
- ⚠️ 1계와 2계는 서로 다른 정보다: "오르막인가"(1계) vs "위로 휘는가"(2계). $y = x^2$ 은 $x < 0$ 에서 내리막이지만 어디서나 위로 휜다 ($y'' = 2 > 0$).
- **[3단계] 미분방정식을 격자 위에서 풀기 —** $\frac{1}{h^2}KU = F$ **의 탄생**
- 풀고 싶은 문제: $-\dfrac{d^2u}{dx^2} = f(x)$ ($0 \le x \le 1$), **경계 조건** $u(0) = 0,\ u(1) = 0$ (양 끝을 벽에 고정).
- 💡 왜 $-u''$ 인가 (마이너스가 붙는 이유): 막대의 처짐, 열 분포 같은 물리 문제가 원래 이 부호로 나오기 때문. 이 마이너스 덕분에 행렬에서는 $1, -2, 1$ 이 뒤집혀 $-1, 2, -1$ 패턴이 된다.
- **격자 만들기**: 구간 $[0,1]$ 을 $N+1$ 등분 → 간격 $h = \frac{1}{N+1}$. 내부 격자점 $N$ 개에서의 값 $u_1, \cdots, u_N$ 이 **미지수**다. 양 끝 $u_0, u_{N+1}$ 은 미지수가 **아니다** — 경계 조건으로 이미 0이라고 알고 있다.
- ![격자와 경계 조건, N=4 (직접 그린 그림)](../assets/2장_2.5_격자_경계조건.svg)
- **격자점마다 방정식 하나씩 세운다** ($N = 4$, $h = \frac{1}{5}$ 로 네 개를 전부 써 보면):
- $x_1$: $\dfrac{-u_0 + 2u_1 - u_2}{h^2} = f(h)$ — 그런데 $u_0 = 0$ → $\dfrac{2u_1 - u_2}{h^2} = f(h)$
- $x_2$: $\dfrac{-u_1 + 2u_2 - u_3}{h^2} = f(2h)$
- $x_3$: $\dfrac{-u_2 + 2u_3 - u_4}{h^2} = f(3h)$
- $x_4$: $\dfrac{-u_3 + 2u_4 - u_5}{h^2} = f(4h)$ — 그런데 $u_5 = 0$ → $\dfrac{-u_3 + 2u_4}{h^2} = f(4h)$
- 이 4개를 세로로 쌓아 행렬 하나로 포장하면 $K$ **가 "저절로" 나타난다**:
- $$\frac{1}{h^2}KU = F: \qquad \frac{1}{h^2}\begin{bmatrix} 2&-1&0&0 \\ -1&2&-1&0 \\ 0&-1&2&-1 \\ 0&0&-1&2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} u_1\\u_2\\u_3\\u_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} f(h)\\f(2h)\\f(3h)\\f(4h) \end{bmatrix}$$
- ⚠️ 첫 행이 $[\,2\ \ {-1}\ \ 0\ \ 0\,]$ 으로 "잘려" 있는 이유가 이제 보인다: 원래 패턴 $-u_0 + 2u_1 - u_2$ 에서 경계 조건 $u_0 = 0$ 이 첫 항을 지운 것. **행렬의 첫 행과 끝 행은 경계 조건이 새겨지는 자리다.** (이 한 문장이 [4단계]의 $K, T, B$ 를 이해하는 열쇠다.)
- 🔢 **끝까지 풀어보기** — $f(x) = 1$ (모든 점에 같은 하중), $N = 4$:
- 이 문제의 참 해는 $u(x) = \frac{x(1-x)}{2}$ 다. (검산: 두 번 미분하면 $u'' = -1$, 그러니 $-u'' = 1$ ✓. 양 끝에서 0 ✓.)
- 행렬방정식은 $KU = h^2 F = (0.04,\ 0.04,\ 0.04,\ 0.04)$. 소거법으로 풀면:
- $$U = (u_1, u_2, u_3, u_4) = (0.08,\ 0.12,\ 0.12,\ 0.08)$$
- 참 해와 비교: $u(0.2) = \frac{0.2 \times 0.8}{2} = 0.08$ ✓, $u(0.4) = \frac{0.4 \times 0.6}{2} = 0.12$ ✓ — **완벽히 일치!** (참 해가 2차 다항식이라 오차가 0인 특수한 경우. 일반적인 $f$ 에서는 $h^2$ 에 비례하는 작은 오차가 남고, 격자를 촘촘히 할수록 빠르게 줄어든다.)
- ![행렬로 푼 해와 참 해의 비교 (직접 그린 그림)](../assets/2장_2.5_예제_해_비교.svg)
- 💡 이것이 이 절의 클라이맥스다: **방금 미분방정식을 소거법으로 풀었다.** 컴퓨터가 실제 공학·물리 문제를 푸는 방식이 정확히 이것이고, 그래서 소거법이 "계산 과학에서 가장 비용이 큰 연산"인 것이다.
- $K_n$ **의 정확한 형태** 🧩 (고정–고정 경계의 2차차분행렬)
- **주대각선은 전부 2, 그 바로 위·아래 대각선은 전부 −1, 나머지는 전부 0** (삼중대각):
- $$K_{ii} = 2, \qquad K_{i,i+1} = K_{i+1,i} = -1, \qquad \text{나머지 } 0$$
- 📌 원문 — 식 (8) $K_4$ (p.122): [🔗 PDF 위치](((6a63655a-721b-4fd9-9d4e-104ea606096c)))
- ![고정된 끝점이 있는 2차차분행렬 K4 — 식 (8) (p.122)](../assets/2장_p122_K4_식8.png)
- 💡 부호가 $-1, 2, -1$ 인 이유: 근사하는 대상이 $+\dfrac{d^2u}{dx^2}$ 가 아니라 $-\dfrac{d^2u}{dx^2}$ 이기 때문 (물리 문제에서 $-u''$ 꼴이 표준이라 부호를 반대로 뒤집은 것).
- $K$ **의 5가지 성질** (p.122~124) — 눈에 보이는 3가지 + 숨은 2가지
- ❶ **대칭행렬**이다: $K_{ij} = K_{ji}$, $K^{\mathrm{T}} = K$.
- ❷ **밴드가 있다** (삼중대각행렬, tridiagonal): 0이 아닌 성분이 주대각선 주변 3개 대각선에만 → **희소행렬** (sparse). $N = 100$ 이면 0 아닌 성분은 $100+99+99$ 개, 전체의 3% 미만. 소거가 매우 빠르다.
- ❸ **대각선 위의 수가 일정하다** (위치 불변 / 시불변): 미분방정식의 계수가 상수이기 때문. 이런 행렬을 **필터**, **합성곱 행렬** (convolution matrix), 정확한 용어로 **퇴플리츠 행렬** (Toeplitz matrix)이라 한다. MATLAB: `K = toeplitz([2 -1 0 0])`.
- ❹ **가역행렬이다**: $K_4^{-1} = \frac{1}{5}\begin{bmatrix} 4&3&2&1 \\ 3&6&4&2 \\ 2&4&6&3 \\ 1&2&3&4 \end{bmatrix}$.
- ⚠️ $K^{-1}$ 는 대칭이긴 하지만 삼중대각도, 희소도 아니다 (모든 성분이 0이 아님!). 역행렬을 실제로 계산하는 대신 $KU = F$ 를 소거법으로 푼다 (MATLAB `U = K\F`) — 2.3절의 교훈 그대로.
- ❺ **양의 정부호** (positive definite)이다: $n$ 개의 피벗이 **모두 양수**. (6장에서 정식으로 다룰 개념의 예고편.)
- 피벗 기준 정리: 가역행렬 = 0 아닌 피벗 $n$ 개 / 대칭 + 양의 정부호 = **양의** 피벗 $n$ 개 / 대칭 + 양의 준정부호(semidefinite) = **음이 아닌** 피벗 $n$ 개.
- 💡 $K$ 의 피벗은 $2, \frac{3}{2}, \frac{4}{3}, \frac{5}{4}, \cdots$ (모두 양수) — [[2.4 치환행렬과 전치행렬]] 연습문제 18(c)에서 직접 계산했다.
- **경계 조건이 바뀌면 행렬이 바뀐다 —** $K, T, B$ **삼형제** 🧩
- 상황: 스프링으로 연결된 3개의 질량. **끝이 벽에 고정되었는가, 자유로운가**가 유일한 차이다.
- $K$ **의 5가지 성질** — 눈에 보이는 3가지 + 계산해야 보이는 2가지
- ❶ **대칭**: $K^{\mathrm{T}} = K$. (양옆을 공평하게 쓰는 $1, -2, 1$ 패턴이니 당연하다.)
- ❷ **삼중대각·희소** (sparse): 0 아닌 성분이 대각선 3줄뿐. $N = 100$ 이면 0 아닌 성분은 $100 + 99 + 99 = 298$ 개 — 전체 10,000개의 3%. 덕분에 소거가 매우 빠르다.
- ❸ **대각선을 따라 값이 일정**: 모든 행이 같은 패턴의 평행이동이다 — 미분방정식의 계수가 상수라서. 이런 행렬을 **퇴플리츠 행렬** (Toeplitz matrix), 신호처리에서는 **필터·합성곱 행렬**이라 부른다. MATLAB: `K = toeplitz([2 -1 0 0])`.
- ❹ **가역**: $K_4^{-1} = \frac{1}{5}\begin{bmatrix} 4&3&2&1 \\ 3&6&4&2 \\ 2&4&6&3 \\ 1&2&3&4 \end{bmatrix}$.
- ⚠️ 그런데 $K^{-1}$ 는 **모든 성분이 0이 아니다** — 희소성이 완전히 깨진다. 그래서 역행렬을 만들지 않고 $KU = F$ 를 소거법으로 푼다 (MATLAB `U = K\F`) — 2.3절의 교훈 그대로.
- ❺ **양의 정부호** (positive definite): 피벗이 **전부 양수** — $2, \frac{3}{2}, \frac{4}{3}, \frac{5}{4}, \cdots$ ([[2.4 치환행렬과 전치행렬]] 연습문제 18(c)에서 직접 계산했다). 6장에서 정식으로 배울 개념의 예고편.
- 피벗으로 읽는 분류: 가역 = 0 아닌 피벗 $n$ 개 / 대칭 + 양의 정부호 = **양의** 피벗 $n$ 개 / 대칭 + 양의 준정부호(semidefinite) = **음이 아닌** 피벗 $n$ 개.
- **[4단계] 경계 조건이 행렬을 바꾼다 —** $K, T, B$ **삼형제** 🧩
- [3단계]의 열쇠 문장을 다시: **첫 행과 끝 행은 경계 조건이 새겨지는 자리.** 경계를 "고정"에서 "자유"로 바꾸면 정확히 그 자리(대각선 양 끝)만 바뀐다.
- 물리 그림: 스프링으로 연결된 질량들. 끝이 **벽에 묶여 있으면 "고정"** (fixed, $u = 0$), **허공에 떠 있으면 "자유"** (free, $\frac{du}{dx} = 0$ — 기울기 0).
- ![그림 2.3 — K는 고정-고정, T는 자유-고정, B는 자유-자유 (p.126)](../assets/2장_p126_그림2-3_스프링모델_KTB.png)
- (p.126, 그림 2.3)
- $K_n$ **(고정–고정)**: 양 끝 모두 벽에 고정. 위에서 본 그대로 — 대각 $2, 2, \cdots, 2$.
- $T_n$ **(자유–고정)**: 위 끝 자유, 아래 끝 고정. $K$ **에서** $(1,1)$ **성분 하나만** $2 \to 1$ **로** 바뀐다.
- $$T_4 = \begin{bmatrix} \mathbf{1}&-1&0&0 \\ -1&2&-1&0 \\ 0&-1&2&-1 \\ 0&0&-1&2 \end{bmatrix}$$
- **왜 자유 경계는 대각 성분을 2에서 1로 바꾸는가** — 직접 유도해 보면 한 줄이다:
- 자유 경계 조건 "기울기 0"의 차분 번역: $\dfrac{u_1 - u_0}{h} = 0$, 즉 $u_0 = u_1$ (경계점이 바로 안쪽 점을 그대로 따라온다).
- 이를 1번 점의 방정식에 대입: $-u_0 + 2u_1 - u_2 = -u_1 + 2u_1 - u_2 = u_1 - u_2$.
- 그래서 첫 행이 $[\,2\ \ {-1}\ \cdots\,]$ 대신 $[\,1\ \ {-1}\ \cdots\,]$ 이 된다. 요약: **고정 경계는 항을 지우고(2 유지), 자유 경계는 항을 흡수시킨다(2가 1로).**
- **세 행렬의 형태 비교** (셋 다 삼중대각·대칭, 비대각 $-1$ — 다른 곳은 오직 대각선의 양 끝):
- $K_n$ (고정–고정): 대각 $(2, 2, \cdots, 2, 2)$ — 가역, 양의 정부호
- $T_n$ (자유–고정): 대각 $(1, 2, \cdots, 2, 2)$ — 가역, 양의 정부호
- $B_n$ (자유–자유): 대각 $(1, 2, \cdots, 2, 1)$ — **비가역!** 양의 준정부호
- $$T_4 = \begin{bmatrix} \mathbf{1}&-1&0&0 \\ -1&2&-1&0 \\ 0&-1&2&-1 \\ 0&0&-1&2 \end{bmatrix} \qquad B_3 = \begin{bmatrix} \mathbf{1}&-1&0 \\ -1&2&-1 \\ 0&-1&\mathbf{1} \end{bmatrix}$$
- 📌 원문 — 식 (10) $T_4$ (p.125): [🔗 PDF 위치](((6a63656f-97f2-40c9-a8c5-26180f7f9782)))
- ![자유-고정 경계 조건의 T4 — 식 (10) (p.125)](../assets/2장_p125_T4_식10.png)
- 1행의 $1, -1$ 은 **자유 경계 조건** $\frac{du}{dx} = 0$ 을 나타낸다.
- $T$ 는 주대각선이 일정하지 않으므로 더 이상 퇴플리츠 행렬이 아니지만, 여전히 **양의 정부호**다 (모든 피벗이 1).
- $T$ 의 아름다운 분해: $T = LU = LL^{\mathrm{T}}$ ($L$ = 후진차분행렬, 모든 피벗이 1이라 $K$ 보다 간단히 분해된다):
- $T$ **의 아름다운 분해**: $T$ 의 피벗은 전부 1이라 $T = LU = LL^{\mathrm{T}}$ ($L$ = 후진차분행렬)로 깔끔하게 분해되고, 역행렬들은 1로 채워진 삼각형·사각형 모양이 된다:
- 📌 원문 — 식 (11) $T = LU$ (p.125): [🔗 PDF 위치](((6a636573-14ee-44d8-b3ad-7c38a6d221bc)))
- ![T의 LU 분해 — 식 (11) (p.125)](../assets/2장_p125_T_LU분해_식11.png)
- $L^{-1}, U^{-1}, T^{-1}$ 는 모두 1로 채워진 삼각형/사각형 꼴의 아름다운 형태다:
- 📌 원문 — 식 (12) 역행렬들 (p.125): [🔗 PDF 위치](((6a636579-147e-4d4a-8f81-87ca3fe5306a)))
- ![U, L, T의 역행렬 — 식 (12) (p.125)](../assets/2장_p125_역행렬들_식12.png)
- $B_n$ **(자유–자유)**: 양 끝 모두 자유. $K$ **에서** $(1,1)$ **과** $(n,n)$ **둘 다** $2 \to 1$ **로** 바뀐다.
- $$B_3 = \begin{bmatrix} \mathbf{1}&-1&0 \\ -1&2&-1 \\ 0&-1&\mathbf{1} \end{bmatrix}$$
- $B$ **는 특이행렬(비가역)이다!**
- 🧩 **형태 비교 요약** (복습용): 셋 다 삼중대각·대칭이고 비대각은 $-1$. 차이는 오직 대각선의 **양 끝**:
- $K$: 대각 $(2, 2, \cdots, 2, 2)$ — 가역, 양의 정부호
- $T$: 대각 $(1, 2, \cdots, 2, 2)$ — 가역, 양의 정부호
- $B$: 대각 $(1, 2, \cdots, 2, 1)$ — **비가역**, 양의 준정부호
- $B$ **가 특이행렬인 이유** — 두 가지 관점 (p.125~126)
- **대수적**: $B$ 의 **모든 행의 합이 0** → $x = (1, 1, \cdots, 1)$ 에 대해 $Bx = 0$. 영벡터가 아닌 해가 있으므로 비가역 (2.2절 특징 ④). 모든 상수벡터 $x = (c, c, \cdots, c)$ 가 $Bx = 0$ 을 만족하며, 이들이 $B$ 의 **영공간** (null space)을 이룬다.
- 증명 한 줄: $B$ 가 가역이라 가정하면 $Bx = 0$ 의 양변에 $B^{-1}$ 를 곱해 $x = 0$ — 모순.
- **물리적**: 양 끝이 다 자유이면 지지대가 없어서, 전체를 **통째로 평행이동**해도 스프링이 전혀 안 늘어난다 (= 힘 0). "위치를 유일하게 결정할 수 없음" = "해가 유일하지 않음" = 특이행렬.
- 💡 반면 $K, T$ 는 벽이 하나라도 있으므로 위치가 고정된다 → 가역. 그림 2.3에서 무게 $W$ 를 달았을 때 $K_3, T_3$ 는 균형 해가 있지만 $B_3$ 는 없다 (p.126 식 (14)).
- **차분행렬로 보는 구조** (연습문제 15~16의 관점)
- 1계 차분들도 행렬로 쓸 수 있다: 전진차분행렬 $A_0$ (각 행이 $-1, 1$ 패턴), 후진차분행렬 $L$ (각 행이 $-1, 1$ 을 아래로).
- 2차차분행렬은 1계 차분행렬의 곱으로 나온다: $B = A_0^{\mathrm{T}}A_0$, $T = A_1^{\mathrm{T}}A_1$, $K = A_2^{\mathrm{T}}A_2$ (열을 제거해가며) — [[2.4 치환행렬과 전치행렬]]의 "$A^{\mathrm{T}}A$ 는 항상 대칭" 원리로 $K, T, B$ 의 대칭성이 자동으로 설명된다.
- 💡 미분의 세계와 평행: $-\dfrac{d^2}{dx^2} = \left(-\dfrac{d}{dx}\right)\left(\dfrac{d}{dx}\right)$ 이고 $\dfrac{d}{dx}$ 의 전치가 $-\dfrac{d}{dx}$ (부분적분, p.111 EX2) 라는 사실의 이산 버전.
- $B$ **가 특이행렬(비가역)인 이유** — 두 관점이 같은 말을 한다
- **물리적**: 양 끝이 다 자유 = 어디에도 묶여 있지 않다 → 전체를 통째로 옆으로 밀어도 스프링이 하나도 안 늘어난다(아무 저항력이 안 생긴다). 위치가 유일하게 정해지지 않는다 = 해가 유일하지 않다 = 특이행렬.
- **대수적**: $B$ 는 **모든 행의 합이 0** → "통째로 밀기"에 해당하는 $x = (1, 1, \cdots, 1)$ 에 대해 $Bx = 0$. 영벡터가 아닌 해가 있으니 비가역 (2.2절 특징 ④). 모든 상수벡터 $(c, c, \cdots, c)$ 가 해이고, 이들이 $B$ 의 **영공간** (null space)을 이룬다.
- 증명 한 줄: $B$ 가 가역이라면 $Bx = 0$ 양변에 $B^{-1}$ 를 곱해 $x = 0$ 이어야 하는데, $x = (1, \cdots, 1) \ne 0$ — 모순.
- 💡 $K, T$ 는 벽이 하나라도 있어서 "밀면 스프링이 늘어난다" → 위치가 고정된다 → 가역. 그림 2.3에서 무게 $W$ 를 달면 $K_3, T_3$ 는 균형 위치가 정해지지만, $B_3$ 는 지지대가 없어 균형 해가 없다 (p.126 식 (14)).
- **덧붙임: 차분행렬들의 가족 관계** (연습문제 15~16의 관점 — 가볍게 봐 두기)
- 1계 차분도 행렬로 쓸 수 있다: 전진차분행렬(각 행이 $-1, 1$ 패턴), 후진차분행렬(대각 $1$, 그 아래 $-1$).
- 2차차분행렬 $K, T, B$ 는 모두 1계 차분행렬 $A$ 로 만든 $A^{\mathrm{T}}A$ 꼴이다 — [[2.4 치환행렬과 전치행렬]]의 "$A^{\mathrm{T}}A$ 는 항상 대칭" 원리로 셋의 대칭성이 자동으로 설명된다.
- 💡 연속 세계와의 평행: $-\dfrac{d^2}{dx^2} = \left(-\dfrac{d}{dx}\right)\left(\dfrac{d}{dx}\right)$ 이고, $\dfrac{d}{dx}$ 의 "전치"가 $-\dfrac{d}{dx}$ (p.111 EX2의 부분적분)라는 사실의 이산 버전.
- ### ❓ 스스로 점검
- 전진차분·후진차분·중심차분의 식을 각각 쓰고, 정확도가 몇 차인지 말하라. 왜 중심차분만 2차인가?
- 전진 $\frac{y(x+h)-y(x)}{h}$, 후진 $\frac{y(x)-y(x-h)}{h}$ — 둘 다 1차 ($O(h)$ 오차). 중심 $\frac{y(x+h)-y(x-h)}{2h}$ — 2차 ($O(h^2)$). 중심차분은 전진·후진의 평균이라 테일러 전개의 $\frac{1}{2}h^2y''$ 오차항이 좌우 대칭으로 상쇄되기 때문.
- 2계도함수의 차분 근사식과 그 계수 패턴은?
- $\frac{y(x+h) - 2y(x) + y(x-h)}{h^2} \approx y''(x)$ — 계수 패턴 $1, -2, 1$. ($-y''$ 를 근사하면 $-1, 2, -1$.)
- $K_4$ 를 아무것도 안 보고 써라. 첫 행이 $[2 \ -1 \ 0 \ 0]$ 으로 "잘린" 이유는?
- 대각 2, 양옆 대각 $-1$, 나머지 0. 첫 행의 원래 패턴 $-u_0 + 2u_1 - u_2$ 에서 고정 경계 조건 $u_0 = 0$ 이 $-u_0$ 항을 지웠기 때문.
- $K$ 의 5가지 성질은? 그중 눈에 바로 안 보이는 것은?
- 대칭 / 삼중대각(밴드·희소) / 대각선 일정(퇴플리츠) / 가역 / 양의 정부호. 눈에 안 보이는 것은 가역성과 양의 정부호 (피벗을 계산해야 안다).
- $K, T, B$ 는 정확히 어디가 다른가? 각각의 경계 조건과 가역성은?
- 대각선 양 끝만 다르다. $K$: $(2,\cdots,2)$ 고정–고정, 가역. $T$: $(1,2,\cdots,2)$ 자유–고정, 가역. $B$: $(1,2,\cdots,2,1)$ 자유–자유, **비가역**.
- $B_3 x = 0$ 의 영벡터가 아닌 해를 하나 대고, 물리적으로 무엇을 의미하는지 설명하라.
- $x = (1,1,1)$ (모든 상수벡터). 양 끝이 자유라 전체를 통째로 평행이동해도 스프링이 늘지 않는다는 뜻 — 위치가 유일하게 결정되지 않으므로 특이행렬.
- 미분방정식 $-u'' = f(x)$ 가 어떻게 $\frac{1}{h^2}KU = F$ 가 되는가? $U$ 와 $F$ 의 성분은 무엇인가?
- 구간을 $h = \frac{1}{N+1}$ 격자로 나누고 각 내부 격자점에서 $-u''$ 를 2차차분 $\frac{-u_{i-1}+2u_i-u_{i+1}}{h^2}$ 로 근사하면 $N$ 개의 선형방정식이 된다. $U = (u_1, \cdots, u_N)$ 은 해의 근삿값들, $F = (f(h), \cdots, f(Nh))$ 는 우변 함수값들.
- 전진·후진·중심차분의 식을 쓰고, $y = x^2$, $x = 1$, $h = 0.1$ 에서 각각 계산해 보라. 어떤 패턴이 보이는가?
- 전진 $\frac{y(x+h)-y(x)}{h} = 2.1$, 후진 $\frac{y(x)-y(x-h)}{h} = 1.9$, 중심 $\frac{y(x+h)-y(x-h)}{2h} = 2.0$ (참값 2). 전진과 후진이 반대 방향으로 같은 크기만큼 틀리고, 그 평균인 중심은 오차가 상쇄된다.
- 중심차분만 2차 정확도인 이유를 테일러 전개로 설명하라.
- 전진차분의 오차 첫 항은 $+\frac{1}{2}h\,y''$, 후진은 $-\frac{1}{2}h\,y''$. 중심차분은 둘의 평균이라 이 항이 상쇄되고, 남는 오차의 첫 항이 $\frac{1}{6}h^2 y'''$ — $h^2$ 에 비례하므로 2차.
- 2계도함수의 차분 근사식을 쓰고, 계수 $1, -2, 1$ 이 어디서 나오는지 두 가지 방식으로 설명하라.
- $\frac{y(x+h) - 2y(x) + y(x-h)}{h^2}$. ① 차분의 차분: (전진차분 − 후진차분) ÷ $h$ 에서 $y(x)$ 가 두 번 빠져 $-2$. ② 양옆 평균과 자신의 차이 × $\frac{2}{h^2}$.
- $-u'' = f$ 가 어떻게 $\frac{1}{h^2}KU = F$ 가 되는가? $U, F$ 의 성분은 무엇이고, 첫 행이 $[2\ {-1}\ 0\ 0]$ 으로 잘린 이유는?
- 구간을 $h = \frac{1}{N+1}$ 격자로 나누고 내부 격자점마다 $-u''$ 를 $\frac{-u_{i-1}+2u_i-u_{i+1}}{h^2}$ 로 근사해 방정식 $N$ 개를 쌓는다. $U = (u_1, \cdots, u_N)$ 은 해의 근삿값, $F = (f(h), \cdots, f(Nh))$. 첫 행이 잘린 이유는 경계 조건 $u_0 = 0$ 이 $-u_0$ 항을 지웠기 때문.
- $K_4$ 를 아무것도 안 보고 써라. $K$ 의 5가지 성질은? 그중 계산해야만 보이는 것은?
- 대각 2, 양옆 대각 $-1$, 나머지 0. 성질: 대칭 / 삼중대각(희소) / 대각선 일정(퇴플리츠) / 가역 / 양의 정부호. 뒤의 둘(가역·양의 정부호)은 피벗을 계산해야 보인다.
- $K, T, B$ 는 정확히 어디가 다른가? 자유 경계가 대각 성분을 1로 만드는 이유를 유도하라.
- 대각선 양 끝만 다르다: $K$ 는 $(2,\cdots,2)$, $T$ 는 $(1,2,\cdots,2)$, $B$ 는 $(1,2,\cdots,2,1)$. 자유 경계는 $u_0 = u_1$ (기울기 0)이므로 $-u_0 + 2u_1 - u_2$ 가 $u_1 - u_2$ 로 흡수되어 대각이 1이 된다.
- $B$ 가 특이행렬인 이유를 물리적·대수적으로 각각 설명하라.
- 물리: 양 끝이 자유라 전체를 평행이동해도 스프링이 안 늘어난다 → 위치가 유일하게 결정되지 않음. 대수: 모든 행의 합이 0 → $x = (1, \cdots, 1)$ 이 $Bx = 0$ 의 영벡터 아닌 해 → 비가역. 영공간은 모든 상수벡터.
- ### ✏️ 연습문제 풀이 (솔루션 참고)
- **문제 1** — $y(x) = x^3$, $\Delta y = (x+h)^3 - x^3$ 의 1차항과 2차항을 구하고 $h\frac{dy}{dx}$, $\frac{1}{2}h^2\frac{d^2y}{dx^2}$ 와 일치함을 보여라.
- 전개: $(x+h)^3 - x^3 = 3x^2h + 3xh^2 + h^3$.
@ -111,7 +128,7 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
- 💡 테일러 급수의 처음 두 항이 "저절로" 나오는 것을 다항식으로 직접 확인 — 차분↔미분 연결의 가장 구체적인 체험.
- **문제 7** — $y(x) = x^3$, $h = \frac{1}{10}$, $x = 0$ 에서 중심·전진·후진차분으로 $\frac{dy}{dx}$ 를 근사하라. (참값: $y'(0) = 0$)
- 중심: $\dfrac{(0.1)^3 - (-0.1)^3}{0.2} = \dfrac{0.002}{0.2} = \dfrac{1}{100}$. 전진: $\dfrac{(0.1)^3 - 0}{0.1} = \dfrac{1}{100}$. 후진: $\dfrac{0 - (-0.1)^3}{0.1} = \dfrac{1}{100}$.
- 참값 0에 대해 셋 다 오차 $\frac{1}{100}$ — **우연히** 모두 같다 ($x=0$ 에서 $y''=0$ 이라 1차 오차항이 사라졌기 때문).
- 참값 0에 대해 셋 다 오차 $\frac{1}{100}$ — **우연히** 모두 같다 ($x = 0$ 에서 $y'' = 0$ 이라 1차 오차항이 사라졌기 때문).
- 💡 이어지는 문제 8이 진짜 핵심: $y(h) \approx y(0) + h y'(0) + \frac{1}{2}h^2 y''(0)$ 을 세 공식에 대입하면 — 중심차분은 $h^2$ 항까지 정확하고, 전진은 $+\frac{1}{2}h\,y''(0)$, 후진은 $-\frac{1}{2}h\,y''(0)$ 의 오차를 갖는다. "2차 vs 1차 정확도"의 증명이 이 한 줄이다.
- **문제 16** — $D_4 = \begin{bmatrix} 1&-1&0&0 \\ 0&1&-1&0 \\ 0&0&1&-1 \\ -1&0&0&1 \end{bmatrix}$ 일 때 $D_4 D_4^{\mathrm{T}}$ 가 2차차분행렬임을 보여라. $D_4$ 는 가역인가?
- $D_4 D_4^{\mathrm{T}} = \begin{bmatrix} 2&-1&0&-1 \\ -1&2&-1&0 \\ 0&-1&2&-1 \\ -1&0&-1&2 \end{bmatrix} = C_4$ — 대각 2, 옆 대각 $-1$ 에 더해 **모서리** $(1,4), (4,1)$ **에도** $-1$ 이 있는 **주기적(순환) 2차차분행렬**.