From e9c4433a419b26e5c38d5615a85bc813dfbce692 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: songyc macbook Date: Tue, 18 Aug 2026 17:15:56 +0900 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?4.4=20=EC=8A=A4=EC=8A=A4=EB=A1=9C=20=EC=A0=90?= =?UTF-8?q?=EA=B2=80:=20=EC=82=AC=EC=98=81(1=EB=B0=B0)=20vs=20=EB=B0=98?= =?UTF-8?q?=EC=82=AC(2=EB=B0=B0)=20=EB=AC=B8=EB=8B=B5=20=EC=B6=94=EA=B0=80?= =?UTF-8?q?=20(=EC=B9=B4=EB=93=9C=ED=99=94=20=EB=8C=80=EB=B9=84)=20+=20?= =?UTF-8?q?=EC=B9=B4=EB=93=9C=206=EC=9E=A5=20=EC=8B=B1=ED=81=AC=20id=20?= =?UTF-8?q?=EB=B0=98=EC=98=81?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit Co-Authored-By: Claude Fable 5 Claude-Session: https://claude.ai/code/session_01Ufr6wUhJAzBaqcaBiRJ1xk --- .../pages/4.4 정규직교기저와 그람-슈미트 과정.md | 11 +++++++++++ 1 file changed, 11 insertions(+) diff --git a/Major Study/pages/4.4 정규직교기저와 그람-슈미트 과정.md b/Major Study/pages/4.4 정규직교기저와 그람-슈미트 과정.md index e151cc2..746c913 100755 --- a/Major Study/pages/4.4 정규직교기저와 그람-슈미트 과정.md +++ b/Major Study/pages/4.4 정규직교기저와 그람-슈미트 과정.md @@ -181,23 +181,34 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학 - **확인문제 4.4B** (직교 열의 핵심 한 줄): $Q^{\mathrm{T}}Q$ 가 대각(항등)이라 역행렬이 공짜가 되고, 사영이 "축별로 따로 사영해서 **더하기만** 하면 되는 것"으로 쪼개진다는 것. - ### ❓ 스스로 점검 - 정규직교의 두 조건은? 그것이 $Q^{\mathrm{T}}Q = I$ 한 줄과 같은 이유는? #card + id:: 6a840f8f-e90c-473c-91de-277d24d75988 - 서로 직교 ($i \neq j$ 이면 $q_i^{\mathrm{T}}q_j = 0$) + 각자 크기 1 ($q_i^{\mathrm{T}}q_i = 1$). - $Q^{\mathrm{T}}Q$ 는 열들의 내적 표: 비대각 = 서로의 내적 = 0, 대각 = 자기 내적 = 1 → 정확히 $I$. - $Q^{\mathrm{T}}Q = I$ 와 $QQ^{\mathrm{T}} = I$ 는 언제 성립하는가? "직교행렬"이라는 이름은 언제 쓰나? #card + id:: 6a840f8f-f0a2-4ff1-a10c-b416b71f5ea4 - $Q^{\mathrm{T}}Q = I$: 직사각이어도 항상. $QQ^{\mathrm{T}} = I$: 정사각일 때만. - 직사각이면 $QQ^{\mathrm{T}}$ 는 열공간 위로의 사영행렬이다. - "직교행렬"은 정사각인 경우에만 부르는 이름 ($Q^{\mathrm{T}} = Q^{-1}$). - 반사행렬 $Q = I - 2uu^{\mathrm{T}}$ 를 사영의 언어로 읽으면? #card + id:: 6a840f8f-828c-4210-8871-c46227ac15d4 - $uu^{\mathrm{T}}$ 는 $u$ 방향(거울의 법선) 사영행렬. $Qb = b - 2(u\text{방향 성분})$, 즉 거울에 수직인 성분만 부호 반전. - 성질: $Q^{\mathrm{T}} = Q$, $Q^2 = I$ (두 번 반사 = 원위치), 크기 보존. + - 거울 사영행렬 $I - uu^{\mathrm{T}}$ 와 반사행렬 $I - 2uu^{\mathrm{T}}$ 의 차이를 "몇 배를 빼는가"로 설명하라. 빼는 대상은 무엇인가? + - 빼는 대상: 스칼라가 아니라 $u$**방향 성분 벡터** $(u^{\mathrm{T}}b)u$ (숫자 × 벡터 = 벡터). 전체 연산은 벡터 − 벡터. + - **1배** 빼면: 거울 위에 떨어진다 → **사영** (거울 $u^{\perp}$ 로의 사영행렬 $I - uu^{\mathrm{T}}$). + - **2배** 빼면: 거울을 지나 반대편 같은 거리 → **반사** ("제거 1배 + 반대편으로 1배"). + - 🔢 $u = (0, 1)$, $b = (1, 2)$: $u$방향 성분 $= (0, 2)$ → 사영하면 $(1, 0)$, 반사하면 $(1, -2)$. - $Q$ 를 곱해도 변하지 않는 두 가지와 그 한 줄 증명은? #card + id:: 6a840f8f-98a6-47bf-ba60-32210aa17eb7 - 크기와 사잇각(내적). $\|Qx\|^2 = x^{\mathrm{T}}Q^{\mathrm{T}}Qx = x^{\mathrm{T}}x$, $(Qx)^{\mathrm{T}}(Qy) = x^{\mathrm{T}}y$. - 실용적 의미: 수치 계산에서 오차가 증폭되지 않는다. - ![식 (6): b의 직교 분해 (p.255)](../assets/4장_p255_식6_b분해.png) + id:: 6a840f8f-bab0-4b80-910d-1f48101d25b6 $A$ 가 $Q$ 로 바뀌면 사영 3공식이 어떻게 되나? 정사각이면 식 (6)은 무엇을 말하나? #card - $\hat{x} = Q^{\mathrm{T}}b$, $p = QQ^{\mathrm{T}}b$, $P = QQ^{\mathrm{T}}$ (역행렬 소멸). - 정사각이면 $b = q_1(q_1^{\mathrm{T}}b) + \cdots + q_n(q_n^{\mathrm{T}}b)$: $b$ 를 기저로 분해하며, 각 좌표가 내적으로 공짜. - 그람-슈미트를 한 문장으로? $R = Q^{\mathrm{T}}A$ 가 상삼각인 이유는? 연산량은? #card + id:: 6a840f8f-f810-4284-b8b7-811993d9b039 - 새 벡터에서 기존 직교벡터들 위로의 사영을 빼고(오차벡터만 남기고), 마지막에 크기로 나눈다. - $a_j$ 는 $q_1, \ldots, q_j$ 의 결합이라 나중 $q_i$ ($i > j$)와의 내적 $r_{ij} = 0$ → 상삼각. - 곱셈 $mn^2$ 번 (열마다 이전 $q$ 들과 내적 + 빼기, 각 $m$ 번씩).