4.4 문제 15(c) 갈래 ② 상세화: q좌표↔열좌표 두 좌표계 표, ❶내적→❷사영→❸번역 3수 구조, Rx̂=Qᵀb 연결 추가

Co-Authored-By: Claude Fable 5 <noreply@anthropic.com>
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Major Study/pages/4.4 정규직교기저와 그람-슈미트 과정.md

@@ -255,12 +255,28 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
 				- 내적 표로: $A^{\mathrm{T}}A = \begin{bmatrix} 9&-9 \\ -9&18 \end{bmatrix}$, $A^{\mathrm{T}}b = (-9, 27)$.
 				- 풀면: 1행÷9 → $\hat{x}_1 - \hat{x}_2 = -1$, 2행÷9 → $-\hat{x}_1 + 2\hat{x}_2 = 3$. 더하면 $\hat{x}_2 = 2$, $\hat{x}_1 = 1$.
 				- $$\hat{x} = (1, 2)$$
-			- **갈래 ② 4.4 지름길** ((a)의 $q_1, q_2$ 재사용, 역행렬·연립 없음):
+			- **갈래 ② 4.4 지름길** ((a)의 $q_1, q_2$ 재사용, $A^{\mathrm{T}}A$ 와 그 역행렬이 등장하지 않음): 순서는 세 수다. **❶ 내적 두 번으로** $q$ **좌표 얻기 → ❷ 사영** $p$ **조립 → ❸** $q$ **좌표를 열 좌표** $\hat{x}$ **로 번역**.
 				- **왜** $q_1, q_2$ **만 쓰나**: 사영의 도착지가 **열공간**이고, $q_1, q_2$ 가 바로 그 공간의 기저라서다 (열이 2개니까 기저도 2개). $q_3$ 는 열공간 **밖**(좌영공간)에 있어서 사영 재료가 아니다. $q_3$ 성분이 들어가는 순간 결과가 열공간을 벗어난다.
-				- 좌표 = 내적 ([4단계] $\hat{x} = Q^{\mathrm{T}}b$): $q_1^{\mathrm{T}}b = \frac{1 + 4 - 14}{3} = -3$, $q_2^{\mathrm{T}}b = \frac{2 + 2 + 14}{3} = 6$. 계산 끝.
-				- 사영: $p = (q_1^{\mathrm{T}}b)q_1 + (q_2^{\mathrm{T}}b)q_2 = -3q_1 + 6q_2 = (-1,-2,2) + (4,2,4) = (3, 0, 6)$.
-				- ⚠️ **좌표계 갈아타기** (여기가 미묘한 지점): 방금의 $(-3, 6)$ 은 $q_1, q_2$ **기준** 좌표다. 문제의 $\hat{x}$ 은 $A$ 의 **원래 열 기준** 계수이므로 좌표계를 바꿔야 한다: $A\hat{x} = p$ 를 푼다. $p$ 가 열공간 안이라 이건 **정확히 풀리는** 쉬운 시스템이다: $\hat{x}_1 + \hat{x}_2 = 3$, $2\hat{x}_1 - \hat{x}_2 = 0$ → $\hat{x} = (1, 2)$. 갈래 ①과 동일 ✓.
-			- 두 갈래 비교: ①은 $2 \times 2$ 연립 풀기, ②는 내적 두 번 + 쉬운 변환. **4.4 는 4.3 의 대체가 아니라 "직교 기저가 이미 있을 때의 지름길"**이다. (a)를 먼저 시킨 것이 ②를 쓰라는 출제 의도지만, ①로 풀어도 당당한 정답이다.
+				- **먼저 큰 그림: 이 갈래에는 좌표계가 2개 등장한다.** 사영 $p$ 는 열공간 안의 한 점인데, 그 점을 부르는 "주소"가 두 벌이다:
+					- | 기저 (좌표계) | $p = (3, 0, 6)$ 의 주소 | 성격 |
+					  | --- | --- | --- |
+					  | $A$ 의 열 $a_1, a_2$ | $\hat{x} = (1, 2)$ | 문제가 요구하는 답 |
+					  | 직교 기저 $q_1, q_2$ | $(-3, 6)$ | 내적만으로 공짜로 나오는 계산용 좌표 |
+					- 실제로 같은 점이다: $1 \cdot a_1 + 2 \cdot a_2 = (1,2,-2) + (2,-2,8) = (3, 0, 6)$ 이고, $-3q_1 + 6q_2$ 도 $(3, 0, 6)$.
+					- 💡 왜 이런 우회를 하나: "좌표 = 내적"은 **직교 기저의 특권**이라서다 ([5단계]). $A$ 의 열 $a_1, a_2$ 는 직교가 아니라 내적으로는 좌표가 안 뽑히고, 그걸 되게 하려고 4.3 은 연립(정규방정식)을 푼다. 갈래 ②는 계산이 쉬운 $q$ 세계에서 좌표를 뽑은 뒤, 마지막에 문제가 원하는 $a$ 세계로 번역해서 끝낸다.
+				- **❶ 내적 두 번** ([4단계] $Q^{\mathrm{T}}b$): $q_1^{\mathrm{T}}b = \frac{1 + 4 - 14}{3} = -3$, $q_2^{\mathrm{T}}b = \frac{2 + 2 + 14}{3} = 6$.
+				- **❷ 사영 조립**: $p = (q_1^{\mathrm{T}}b)q_1 + (q_2^{\mathrm{T}}b)q_2 = -3q_1 + 6q_2 = (-1,-2,2) + (4,2,4) = (3, 0, 6)$.
+				- **❸ 번역**: $A\hat{x} = p$ 를 그냥 푼다 (갈래 ②의 유일한 고비가 이 마지막 수다):
+					- ⚠️ $(-3, 6)$ 을 그대로 답이라 쓰면 안 된다: 그건 $q$ 기준 주소다. 문제의 $\hat{x}$ 은 $A$ 의 **원래 열의 계수**다.
+					- 번역 방법은 단순하다: $p$ 는 열공간 **안**의 점이므로, $A\hat{x} = p$ 는 (원래의 $Ax = b$ 와 달리) **모순 없이 정확히 풀리는** 시스템이다. 최소제곱이 아니라 진짜 해가 있다.
+					- 방정식 3개 중 독립인 두 행만 쓰면 끝: 행 1 → $\hat{x}_1 + \hat{x}_2 = 3$, 행 2 → $2\hat{x}_1 - \hat{x}_2 = 0$. 두 식을 더하면 $3\hat{x}_1 = 3$, 즉 $\hat{x}_1 = 1$, $\hat{x}_2 = 2$.
+					- 남은 행 3 이 자동 성립하는지 검산: $-2(1) + 4(2) = 6 = p_3$ ✓. (안 맞으면 $p$ 계산이 틀린 것이다.)
+					- 결과: $\hat{x} = (1, 2)$. 갈래 ①과 동일 ✓.
+				- **❸ 의 정식 이름**: $R\hat{x} = Q^{\mathrm{T}}b$ ([7단계]와 이 문제가 여기서 만난다):
+					- 그람-슈미트 (a)가 $R$ 을 이미 알려줬다: $a_1 = 3q_1$ (크기 3), $a_2 = -3q_1 + 3q_2$ ((a)에서 $q_1^{\mathrm{T}}a_2 = -3$, $\|B\| = 3$ 이었다). 이 계수들을 열로 세우면 $R = \begin{bmatrix} 3&-3 \\ 0&3 \end{bmatrix}$.
+					- $R\hat{x} = Q^{\mathrm{T}}b = (-3, 6)$: 상삼각이라 후진대입 두 줄. $3\hat{x}_2 = 6$ → $\hat{x}_2 = 2$, $3\hat{x}_1 - 3(2) = -3$ → $\hat{x}_1 = 1$. 같은 답 ✓.
+					- 💡 해석: $Q^{\mathrm{T}}b$ 는 "$q$ 좌표 뽑기", $R$ 은 "$q$ 좌표 ↔ 열 좌표"를 오가는 번역 사전이다. ❸ 에서 $A\hat{x} = p$ 를 손으로 푼 것과 $R\hat{x} = Q^{\mathrm{T}}b$ 는 같은 계산의 두 표기일 뿐이다.
+			- 두 갈래 비교: ①은 $2 \times 2$ 연립 풀기, ②는 내적 두 번 + 쉬운 번역. **4.4 는 4.3 의 대체가 아니라 "직교 기저가 이미 있을 때의 지름길"**이다. (a)를 먼저 시킨 것이 ②를 쓰라는 출제 의도지만, ①로 풀어도 당당한 정답이다.
 		- **마무리: 검산 +** $b$ **의 완전 분해** ((b)의 $q_3$ 까지 총출동하는 이 문제의 하이라이트)
 			- 오차: $e = b - p = (-2, 2, 1)$. 열공간과 직교 ✓: $(1,2,-2) \cdot (-2,2,1) = 0$, $(2,1,2) \cdot (-2,2,1) = 0$.
 			- 그런데 $e$ 의 방향을 보라: $q_3^{\mathrm{T}}b = \frac{2 - 4 - 7}{3} = -3$ 이고 $-3q_3 = (-2, 2, 1) = e$. **정확히 일치!**