logseq 20260105_2

pages/분할정복(Divide and Conquer).md

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+deck:: Logseq/coding tip
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+- ## 1. 개념(Concept)
+	- 크고 복잡한 문제를 {{c1 작고 간단한 하위 문제(Sub-problem)}}들로 나눈 뒤, 각각 해결하여 합치는 알고리즘 설계 패러다임.
+	  id:: 695bbd99-6b9b-4019-a174-9238a89758de
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+- ## 2. 동작 원리 (Algorithm Flow)
+	- ###  1단계 {{c1 분할(Divide)}} -> 2단계 {{c1 정복(Conquer)}} -> 3단계 {{c1 결합(Combine)}}
+	  id:: 695bbe3e-8b85-4abf-a9ed-6f0c24c8f2dd
+	  #+BEGIN_EXTRA
+	  분할 : 원래 문제를 같은 유형의 더 작은 하위 문제로 쪼갠다.
+	  정복 : 하위 문제를 재귀적으로 해결한다.(문제가 충분히 작다면 바로 해결)
+	  결합 : 하위 문제의 해답들을 합쳐 원래 문제의 답을 만든다.
+	  #+END_EXTRA
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+- ## 3. 시간복잡도
+	- ### 문제의 크기를 $N$ 이라고 할 때 {{c1 $O(\log N)$}} 이나 {{c1 $O(N \log N)$}} 으로 감소됨.
+	  id:: 695bbeb8-ecdc-4d0b-a29b-43231188ba86
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+- ## 4. 예시
+	- ### 1) 행렬의 거듭제곱($N \times N$ 크기의 행렬 $A$를 $B$번 거듭제곱 하기)
+		- #### 점화식
+			- $n$이 짝수일 때: $A^n = (A^{n/2}) \times (A^{n/2})$
+			- $n$이 홀수일 때: $A^n = (A^{n/2}) \times (A^{n/2}) \times A$
+		- #### 행렬곱(multiply_matrix) 함수 코드(python)
+		  id:: 695bc027-6274-498e-b798-0e94060eb147
+		  $N \times N$ 크기의 행렬 m1, m2와 N을 입력받아서 두 행렬을 곱한 행렬을 반환하는 코드
+		  #card
+			- ```python
+			  def multiply_matrix(m1, m2, N):
+			      result = [[0]* N for _ in range(N)]
+			      for i in range(N):
+			          for j in range(N):
+			              for k in range(N):
+			                  result[i][j] += m1[i][k] * m2[k][j]
+			              result[i][j] %= 1000  # 문제 조건에 따라 모듈러 연산 추가
+			      return result
+			  ```
+		- #### 분할정복(power_matrix) 함수 코드(python)
+		  거듭제곱 될 행렬 adj, 현재 곱해지는 지수 n, 행렬의 크기 N을 입력받아서 분할정복으로 adj^n 을 구하는 코드
+			- 1) n이 1일 경우(차수가 1일 경우) #card
+			  id:: 695bc161-b88a-4f55-aaf7-7bc17ccd4dcc
+				- ```python
+				  # Base case : 지수가 1이면 그대로 반환한다.
+				  if n==1 :
+				    	return [[num % 1000 for num in row] for row in adj]
+				  ```
+			- 2) 분할 #card
+			  id:: 695bc1d6-8a7c-475c-9c51-45a672597058
+				- ```python
+				  # Divide: 지수를 절반으로 나누어 재귀 호출
+				  temp = power_matrix(adj, n//2, N)
+				  ```
+			- 3) 정복 및 결합 #card
+			  id:: 695bc232-7ee9-4c02-a3b1-1f65061737f9
+				- ```python
+				  if n % 2 == 0:
+				  	# 짝수면: temp * temp
+				     	return multiply_matrix(temp, temp, N)
+				  else:
+				      # 홀수면: temp * temp * A
+				      return multiply_matrix(multiply_matrix(temp, temp, N), adj, N)
+				  ```
+			- 전체코드
+				- ```python
+				  # 행렬 곱셈 함수 (N*N 행렬 두 개를 곱함)
+				  def multiply_matrix(m1, m2, N):
+				      result = [ * N for _ in range(N)]
+				      for i in range(N):
+				          for j in range(N):
+				              for k in range(N):
+				                  result[i][j] += m1[i][k] * m2[k][j]
+				              result[i][j] %= 1000  # 문제 조건에 따라 모듈러 연산 추가
+				      return result
+				  
+				  # 분할 정복을 이용한 거듭제곱 함수
+				  def power_matrix(adj, n, N):
+				      # Base Case: 지수가 1이면 그대로 반환
+				      if n == 1:
+				          return [[elem % 1000 for elem in row] for row in adj]
+				      
+				      # Divide: 지수를 절반으로 나누어 재귀 호출
+				      temp = power_matrix(adj, n // 2, N)
+				      
+				      # Conquer & Combine
+				      if n % 2 == 0:
+				          # 짝수면: temp * temp
+				          return multiply_matrix(temp, temp, N)
+				      else:
+				          # 홀수면: temp * temp * A
+				          return multiply_matrix(multiply_matrix(temp, temp, N), adj, N)
+				  
+				  ```

pages/알고리즘.md

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 - [[크루스칼 알고리즘(Kruskal’s Algorithm)]]
 - [[프림 알고리즘 (Prim’s Algorithm)]]
 - [[다익스트라 알고리즘 (Dijkstra Algorithm)]]
-- [[벨만-포드 알고리즘 (Bellman-Ford Algorithm)]]
+- [[벨만-포드 알고리즘 (Bellman-Ford Algorithm)]]
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