deck:: Logseq/전공공부/선형대수학

- ### 핵심 개념
	- **이 절의 위치**: 3.1~3.3에서 감으로 쓰던 말들의 **정식 정의가 전부 여기서 나온다.** 밀린 빚을 갚는 절이니, 여기만 단단히 잡으면 앞 절들이 소급해서 선명해진다.
		- 네 가지 아이디어와 힌트 (책 서두 박스):
			- ❶ **선형독립**: 군더더기 벡터 없음 ❷ **생성**: 공간을 만들기에 충분한 벡터 ❸ **기저**: 너무 많지도 적지도 않음 (독립 + 생성) ❹ **차원**: 모든 기저의 벡터 개수
			- 📌 원문 (3.4 서두 박스: 4가지 정의, p.172): [🔗 PDF 위치](((6a721cf3-66c1-4999-bb96-619ea9fc3774)))
				- ![독립·생성·기저·차원의 정의 (p.172)](../assets/3장_p172_3.4서두_독립_기저_차원_박스.png)
	- **[1단계] 선형독립** (linear independence): 정의가 두 벌이다
		- **정의 A (행렬 언어)**: $Ax = 0$ 의 유일한 해가 $x = 0$ 일 때, $A$ 의 열들은 **선형독립**이다.
			- 💡 3.2절과 즉시 연결: 열들이 독립 ⟺ 영공간 $\mathbf{N}(A) = \{0\}$ ⟺ 자유변수 없음 ⟺ $r = n$.
			- 📌 원문 (p.175): [🔗 PDF 위치](((6a6f4d91-d89b-4163-b894-a262f88ce1f5)))
				- ![최대 열 랭크 요약 박스 (p.175)](../assets/3장_p175_최대열랭크_요약박스.png)
		- **정의 B (벡터 언어)**: 영벡터를 만드는 유일한 선형결합이 $0v_1 + 0v_2 + \cdots + 0v_n$ 뿐일 때, $v_1, \cdots, v_n$ 은 선형독립. 계수 중 하나라도 0이 아닌데 $x_1 v_1 + \cdots + x_n v_n = 0$ 이 되면 **선형종속**.
			- 💡 두 정의는 같은 말이다. $v$ 들을 열로 세운 행렬 $A$ 에 대해 "$Ax = 0$ 의 해 $x$" = "영벡터를 만드는 결합의 계수들".
			- ⚠️ 용어 사용법: "벡터들의 집합이 선형독립이다" (올바름) / "이 행렬은 선형독립이다" (틀린 표현, 행렬이 아니라 열들이 독립인 것).
		- 그림으로: $\mathbb{R}^3$ 의 세 벡터가 **같은 평면 위에 없으면 독립**, 있으면 종속.
			- ![그림 3.2, 선형독립과 선형종속 (p.173)](../assets/3장_p173_그림3-2_선형독립_선형종속.png)
				- (p.173, 그림 3.2)
		- 🔢 작은 예 4개 ($\mathbb{R}^2$): ① $(1,0), (1, 0.00001)$, 독립 (거의 평행해도 독립은 독립!) ② $(1,1), (-1,-1)$, 종속 ($x_1 = x_2 = 1$ 로 합이 0) ③ $(1,1), (0,0)$, **영벡터가 끼면 무조건 종속** ④ $\mathbb{R}^2$ 의 세 벡터, 무조건 종속.
			- 📌 원문 (p.174): ((6a6f4cdf-c66d-4a98-8845-78fbb19ad2e4)) / ((6a6f4ce8-31ef-4a06-a0fb-ab832885cd01))
		- **개수만으로 판정되는 경우**: $\mathbb{R}^m$ 의 벡터 $n$ 개는 $n > m$ 이면 **무조건 종속**. (3.2 [5단계] 논리 그대로, 가로로 긴 행렬엔 자유변수가 있으니까.)
			- 📌 원문 (p.175): [🔗 PDF 위치](((6a6f4e1c-c4c1-4bfa-a925-8e0125831521)))
				- ![ℝᵐ의 n개 벡터는 n>m이면 종속 (p.175)](../assets/3장_p175_n개벡터_선형종속_조건.png)
			- ⚠️ $n \le m$ 이면? 개수만으론 판정 불가, 소거해서 $r = n$ 인지 확인해야 한다.
		- 판정 실전 (EX1): $A = \begin{bmatrix} 1&0&3 \\ 2&1&5 \\ 1&0&3 \end{bmatrix}$ → 소거 → $R_0 = \begin{bmatrix} 1&0&3 \\ 0&1&-1 \\ 0&0&0 \end{bmatrix}$ → $r = 2 < 3$ → 종속. 특별해 $x = (-3, 1, 1)$: 실제로 $-3 \cdot ($1열$) + ($2열$) + ($3열$) = 0$.
	- **[2단계] 생성** (span): 3.1에서 이미 만난 개념의 재확인
		- $S$ 의 모든 선형결합이 벡터공간 $\mathbf{V}$ 를 채우면 "$S$ 가 $\mathbf{V}$ 를 **생성**한다". 행렬의 열들은 열공간을 생성한다 (**종속이어도 상관없이**).
		- 🔢 EX2: $A = \begin{bmatrix} 1&4 \\ 2&7 \\ 3&5 \end{bmatrix}$ 의 열공간 = 두 열이 생성하는 $\mathbb{R}^3$ 안의 평면. 행공간 = 세 행이 생성하는데, 행은 성분 2개짜리이고 독립인 게 2개 있으므로 **행공간 =** $\mathbb{R}^2$ **전체**.
			- ⚠️ 열은 $\mathbb{R}^m$ 에 살고 (열공간 ⊆ $\mathbb{R}^m$), 행은 $\mathbb{R}^n$ 에 산다 (행공간 ⊆ $\mathbb{R}^n$). 이 구분이 3.5절 큰 그림의 뼈대.
	- **[3단계] 기저** (basis): 독립 + 생성, "딱 맞는" 벡터들
		- **정의: 벡터공간의 기저 = ① 선형독립이며 ② 공간 전체를 생성하는 벡터들의 집합.**
			- 📌 원문 (p.176): ((6a6f4e82-c6f4-478d-a115-03f4ad48968d))
			- 💡 두 조건의 밀당: 벡터가 너무 적으면 생성 실패, 너무 많으면 독립 실패. 기저 = 둘 사이의 정확한 균형점. ("두 벡터는 $\mathbb{R}^3$ 을 생성 못 하고, 네 벡터는 $\mathbb{R}^3$ 에서 독립일 수 없다.")
		- **기저의 존재 이유, 표현의 유일성** (사용자 요청: 증명 자세히):
			- 📌 원문 (p.177): ((6a6f4ebe-80ba-445c-8928-36a513c94dc1)) / ((6a6f4c82-32f3-4bb0-a532-e3caa323b520))
			- **정리: 벡터공간의 모든 벡터** $v$ **는 기저벡터들의 선형결합으로 나타낼 수 있고, 그 방법은 유일하다.**
			- 증명을 두 조각으로:
				- (나타낼 수 있다) 기저는 공간을 **생성**하므로, 임의의 $v$ 는 어떤 결합 $v = a_1 v_1 + \cdots + a_n v_n$ 으로 표현된다., 생성 조건의 역할.
				- (방법이 유일하다) 두 가지 표현이 있다고 하자: $v = a_1 v_1 + \cdots + a_n v_n$ 이고 동시에 $v = b_1 v_1 + \cdots + b_n v_n$. **두 식을 빼면**:
					- $$0 = (a_1 - b_1)v_1 + \cdots + (a_n - b_n)v_n$$
					- 그런데 $v_1, \cdots, v_n$ 은 **선형독립**: 영벡터를 만드는 결합은 계수가 전부 0인 것뿐이다. 따라서 모든 $i$ 에 대해 $a_i - b_i = 0$, 즉 $a_i = b_i$. 두 표현은 사실 같은 것이었다. ∎, 독립 조건의 역할.
			- 💡 증명이 보여주는 분업: **생성 = 표현이 존재하게 하고, 독립 = 표현이 하나뿐이게 한다.** 기저의 두 조건이 각각 정확히 한 가지 일을 담당한다. 이 유일성 덕분에 "좌표"라는 개념이 성립한다 (모든 벡터가 기저에 대한 유일한 계수 목록을 가짐).
		- 대표 예:
			- **표준기저** (EX3): $I$ 의 열들 $i = (1,0), j = (0,1)$ 은 $\mathbb{R}^2$ 의 기저. $n \times n$ 항등행렬의 열들 = $\mathbb{R}^n$ 의 표준기저.
			- **가역행렬의 열 = 기저** (EX4, 중요): $n \times n$ **가역**행렬의 열들은 $\mathbb{R}^n$ 의 기저다 ($Ax=0$ 의 유일해 $x = A^{-1}0 = 0$ → 독립 ✓ / 임의의 $b$ 에 대해 $x = A^{-1}b$ 존재 → 생성 ✓). 기저는 유일하지 않다. $\mathbb{R}^n$ 은 무수히 많은 기저를 갖는다.
			- 특이행렬이면 (EX5): $A = \begin{bmatrix} 2&4 \\ 3&6 \end{bmatrix}$ → 열들은 기저가 못 된다. 이때는 **피벗 열만** 남기면 (1열) 열공간(직선)의 기저가 된다.
		- **기저 만들기 요령**: 선형독립인 집합은 (벡터를 보태서) 기저로 **확장**할 수 있고, 생성하는 집합은 (군더더기를 빼서) 기저로 **축소**할 수 있다.
			- 📌 원문 (p.177): ((6a6f4f88-b220-4eb1-be8d-9877258f5b02))
			- 🔢 $\mathbb{R}^7$ 의 벡터 5개가 생성하는 공간의 기저 찾기: 벡터들을 행렬의 **열**로 넣고 소거 → **피벗 열이 기저** (또는 행으로 넣고 → 영행 아닌 행이 기저).
	- **[4단계] 차원** (dimension): 기저마다 개수가 같아서 정의 가능한 수
		- **정리: 한 벡터공간의 모든 기저는 같은 개수의 벡터를 갖는다.** 그 개수가 그 공간의 **차원**이다.
			- 📌 원문 (p.178~179): ((6a6f4fca-2af6-43da-827e-92bd8b2c6820)) / ((6a6f5076-d814-467f-803d-480ea4bd521b))
			- 증명 아이디어 (귀류법, p.179): 기저 $v_1, \cdots, v_m$ 과 더 많은 기저 $w_1, \cdots, w_n$ ($n > m$)이 있다고 하자. 각 $w_j$ 는 $v$ 들의 결합이므로 $W = VA$ 꼴 ($A$ 는 $m \times n$). $n > m$ 이므로 $A$ 는 가로로 긴 행렬 → $Ax = 0$ 에 0 아닌 해 존재 → $Wx = VAx = 0$, $w$ 들이 종속이 되어 기저라는 가정에 모순. (반대 방향도 대칭 논리로) ∎
			- 💡 또 그 논리다: **"가로로 길면 자유변수"**: 3.2 [5단계]에서 만든 무기 하나가 독립 판정(위 [1단계])과 차원 정리를 모두 해결한다.
		- 차원 감각 익히기: 원점과 $(1,5,2)$ 를 지나는 직선 = 1차원 (기저 벡터 1개). 평면 $x + 5y + 2z = 0$ = 2차원, 이 평면은 $A = [\,1\ 5\ 2\,]$ 의 영공간이고, 자유변수 2개의 특별해 $(-5,1,0), (-2,0,1)$ 이 기저. **영공간의 차원 =** $n - r$ (특별해 개수).
		- ⚠️ **금지 용어** (p.180, 시험·대화에서 헷갈리기 쉬운 조합):
			- "공간의 랭크" ✗, "기저의 차원" ✗, "행렬의 기저" ✗, 전부 무의미한 조합이다.
			- 올바른 짝: **행렬의 랭크** = **열공간의 차원**. 랭크는 행렬에, 차원은 공간에, 기저는 공간에 붙는 말.
			- 📌 원문 (p.172): ((6a6f4c69-edda-46af-a200-d4fef344636e)) / ((6a6f4c77-478f-4e0c-95f3-672a664d0a48))
		- 🧩 **차원 공식 4종 세트** (3.5절 예고, 외울 가치 있음):
			- 📌 원문 (p.180): [🔗 PDF 위치](((6a6f5096-4c95-4cb3-85f9-00801a8c0ee6)))
				- ![행·열·영공간과 N(Aᵀ)의 차원 (p.180)](../assets/3장_p180_4공간_차원_요약박스.png)
			- 행공간 차원 $= r$ / 열공간 차원 $= r$ / 영공간 차원 $= n - r$ / $\mathbf{N}(A^{\mathrm{T}})$ 차원 $= m - r$
	- **[5단계] 행렬공간과 함수공간의 기저**: "벡터"의 개념 확장 완성 (사용자 요청: 자세히)
		- 📌 원문 (p.180): ((6a6f51df-be99-4490-af36-c4321ee42a5f))
		- 💡 **와닿지 않을 때의 관점 전환**: "벡터 = 화살표"를 버려라. 이 절부터 벡터의 진짜 정의는 **"더할 수 있고 스칼라곱할 수 있는 모든 것"** 이다. 독립·생성·기저·차원의 정의에는 화살표가 전혀 안 쓰였다. 오직 선형결합만 쓰였다. 그래서 행렬에도 함수에도 **같은 정의가 그대로 작동**한다. 아래 예로 확인:
		- **행렬공간** $\mathbf{M}$ (모든 2×2 행렬):
			- 하나의 기저 (4개의 "기저행렬"):
				- $$A_1 = \begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&0 \end{bmatrix},\ A_2 = \begin{bmatrix} 0&1 \\ 0&0 \end{bmatrix},\ A_3 = \begin{bmatrix} 0&0 \\ 1&0 \end{bmatrix},\ A_4 = \begin{bmatrix} 0&0 \\ 0&1 \end{bmatrix}$$
			- 생성 ✓: $c_1 A_1 + c_2 A_2 + c_3 A_3 + c_4 A_4 = \begin{bmatrix} c_1&c_2 \\ c_3&c_4 \end{bmatrix}$, 모든 2×2 행렬이 나온다.
			- 독립 ✓: 이 결합이 영행렬이려면 $c_1 = c_2 = c_3 = c_4 = 0$ 뿐.
			- 그러므로 $\dim \mathbf{M} = 4$. 💡 사실 2×2 행렬은 "성분 4개짜리 벡터를 네모나게 쓴 것", $\mathbf{M}$ 은 본질적으로 $\mathbb{R}^4$ 다.
			- 부분공간들의 차원 (기저에서 개수 세기): **상삼각행렬** ($A_1, A_2, A_4$) → 3차원 / **대각행렬** ($A_1, A_4$) → 2차원 / **대칭행렬** ($A_1, A_4, A_2 + A_3$) → 3차원.
				- ⚠️ 대칭행렬의 기저에서 $A_2$ 와 $A_3$ 을 따로 못 쓰는 이유: 각각은 대칭이 아니다! 대칭인 조합 $A_2 + A_3 = \begin{bmatrix} 0&1 \\ 1&0 \end{bmatrix}$ 만 들어갈 수 있다.
			- 일반화 ($n \times n$): 전체 $n^2$ / 상삼각 $\frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{2}n$ / 대각 $n$ / 대칭 $\frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{2}n$.
				- 💡 대칭행렬의 차원 세는 법: 대각선 $n$ 개는 자유 + 대각선 위 $\frac{n^2-n}{2}$ 개를 정하면 아래는 자동 → $n + \frac{n^2-n}{2} = \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{2}n$.
		- **함수공간**: 미분방정식의 해공간이 벡터공간이다:
			- $y'' = 0$ 의 해: $y = cx + d$ → 기저 $\{x, 1\}$ → **2차원**
			- $y'' = -y$ 의 해: $y = c\sin x + d\cos x$ → 기저 $\{\sin x, \cos x\}$ → **2차원**
			- $y'' = y$ 의 해: $y = ce^x + de^{-x}$ → 기저 $\{e^x, e^{-x}\}$ → **2차원**
			- 💡 셋 다 2차원인 이유: 2**계** 미분방정식이라서 (적분상수 2개 = 자유도 2). 해공간은 그 미분방정식의 "영공간"이다.
			- $y'' = 2$ 처럼 우변이 0이 아니면? 해집합은 부분공간이 **아니다** (0 함수가 해가 아님). 대신 특수해 $y = x^2$ 에 영공간을 더한 **완전해** $y = x^2 + cx + d$, [[3.3 Ax = b의 완전해]]와 **완전히 같은 구조**! 선형 미분방정식 = 함수공간의 $Ax = b$.
		- 마지막 퍼즐: 공간 $\mathbf{Z} = \{0\}$ 의 차원은 **0**: 기저는 **공집합**이다. (영벡터는 절대 기저에 못 들어간다. 영벡터가 끼면 독립이 깨지니까.)
	- **확인문제 요점** (책 3.4A·3.4B, 중요해서 정리):
		- **3.4A**: $v_1, \cdots, v_n$ 이 $\mathbb{R}^n$ 의 기저이고 $A$ 가 가역이면 $Av_1, \cdots, Av_n$ 도 기저다.
			- 이유 (행렬 언어가 우아함): 기저벡터들을 열로 가진 $V$ 는 가역 → $AV$ 도 가역행렬들의 곱이라 가역 → $AV$ 의 열들도 기저 (EX4). 💡 "가역행렬은 기저를 기저로 보낸다."
		- **3.4B**: $v_1 = (1,2,0), v_2 = (2,3,0)$ → 독립 ✓ → 이 둘은 자기들이 생성하는 공간 $\mathbf{V} = xy$ 평면(안의 $(x, y, 0)$ 전체)의 기저 → $\dim \mathbf{V} = 2$. $\mathbf{V}$ 를 열공간으로 갖는 행렬: $\begin{bmatrix} 1&2 \\ 2&3 \\ 0&0 \end{bmatrix}$. $\mathbf{V}$ 를 영공간으로 갖는 행렬: $B = [\,0\ 0\ 1\,]$. $v_3 = (a, b, c)$ 는 $c \neq 0$ 이기만 하면 $v_1, v_2, v_3$ 이 $\mathbb{R}^3$ 의 기저.
			- 💡 같은 공간이 어떤 행렬의 **열공간**이면서 다른 행렬의 **영공간**일 수 있다. 공간과 행렬은 별개의 존재라는 감각.
- ### ❓ 스스로 점검
	- 선형독립의 두 정의(행렬 언어 / 벡터 언어)를 말하고, 왜 같은 말인지 설명하라.
		- $Ax=0$ 의 유일해가 $x=0$ / 영벡터 만드는 유일한 결합이 계수 전부 0. 벡터들을 열로 세우면 "결합의 계수" = "$Ax=0$ 의 해 $x$"라서 동치.
	- $\mathbb{R}^m$ 에서 벡터 $n$ 개가 개수만으로 종속이라 판정되는 조건과 그 이유는?
		- $n > m$. 열로 세우면 가로로 긴 행렬 → 피벗 ≤ m < n → 자유변수 존재 → 0 아닌 결합이 영벡터를 만든다.
	- 기저의 정의 두 조건은? 각각이 "표현의 존재"와 "표현의 유일성" 중 무엇을 책임지는가?
		- ① 선형독립
		- ② 공간 생성.
		- 생성 → 모든 벡터가 기저의 결합으로 표현됨(존재), 독립 → 그 표현이 유일함.
	- "기저 표현이 유일하다"의 증명을 재현하라.
		- $v = \sum a_i v_i = \sum b_i v_i$ 라면 빼서 $\sum (a_i - b_i)v_i = 0$. 기저는 독립이므로 계수 전부 0 → $a_i = b_i$.
	- 가역행렬의 열들이 $\mathbb{R}^n$ 의 기저인 이유를 두 조건으로 나눠 설명하라. #card
	  id:: 6a746749-92bf-4fa7-a597-4d446869fc8a
		- 독립: $Ax=0 \Rightarrow x = A^{-1}0 = 0$.
		- 생성: 임의의 $b$ 에 대해 $x = A^{-1}b$ 가 존재해 $Ax = b$.
	- 차원의 정의는? "모든 기저는 같은 개수"의 증명 아이디어는?
		- 차원 = 모든 기저에 있는 벡터의 개수.
		- 기저가 $m$ 개, $n$ 개($n>m$)라면 $W = VA$ 에서 $A$ 가 가로로 긴 행렬 → $Ax=0$ 비자명해 → $W$ 종속 → 모순.
	- 다음 용어 조합의 옳고 그름: 공간의 랭크 / 행렬의 랭크 / 기저의 차원 / 열공간의 차원 / 행렬의 기저.
		- 행렬의 랭크 ○, 열공간의 차원 ○ (그리고 이 둘은 같은 수). 공간의 랭크 ✗, 기저의 차원 ✗, 행렬의 기저 ✗.
	- $y'' = 2$ 의 해집합은 왜 벡터공간이 아닌가? 해집합의 구조는?
		- 0 함수가 해가 아니라서 (부분공간은 0 포함 필수).
		- 구조는 특수해 + 영공간: $y = x^2 + cx + d$, $Ax=b$ 완전해와 동일.
- ### ✏️ 연습문제 풀이 (솔루션 참고)
	- **문제 2** (꼭 풀어볼 만한 문제): 6개의 벡터 $v_1 = (1,-1,0,0)$, $v_2 = (1,0,-1,0)$, $v_3 = (1,0,0,-1)$, $v_4 = (0,1,-1,0)$, $v_5 = (0,1,0,-1)$, $v_6 = (0,0,1,-1)$ 중 선형독립인 벡터를 최대한 많이 찾아라.
	  id:: 5d15f039-e656-4098-acd4-52d316b7fec4
		- 답: **최대 3개** (예: $v_1, v_2, v_3$).
		- 왜 4개는 불가능한가: 여섯 벡터 모두 **성분의 합이 0**: 즉 전부 초평면 $(1,1,1,1) \cdot v = 0$ (3차원 부분공간) 위에 있다. 3차원 공간에서 4개는 무조건 종속.
		- $v_1, v_2, v_3$ 이 독립인 이유: $-1$ 들이 서로 다른 자리(2, 3, 4번째)에 있어 결합으로 소거 불가. (종속 관계 예: $v_2 - v_1 = v_4$.)
		- 💡 "어느 부분공간에 갇혀 있는지"를 먼저 보면 개수 상한이 공짜로 나온다. 차원의 위력.
	- **문제 4**: 대각성분 $a, d, f$ 가 모두 0이 아닌 상삼각행렬 $U = \begin{bmatrix} a&b&c \\ 0&d&e \\ 0&0&f \end{bmatrix}$ 의 열이 선형독립임을 보여라.
		- $Ux = 0$ 을 역대입으로: 3행에서 $fz = 0 \to z = 0$, 2행에서 $dy + ez = dy = 0 \to y = 0$, 1행에서 $ax = 0 \to x = 0$. 유일해 $x = 0$ → 열 독립.
		- 💡 "대각에 0 없는 삼각행렬 = 가역 = 열 독립", 2장 피벗 이야기와 3.4 독립 정의가 만나는 지점.
	- **문제 16**: $\mathbb{R}^4$ 의 부분공간들의 기저를 구하라: (a) 모든 성분이 동일한 벡터들 (b) 성분 합이 0인 벡터들 (c) $(1,1,0,0)$ 과 $(1,0,1,1)$ 에 수직인 벡터들 (d) $I$ (4×4)의 열공간과 영공간
		- (a) $(1,1,1,1)$ 하나 → 1차원.
		- (b) $(1,-1,0,0), (1,0,-1,0), (1,0,0,-1)$ → 3차원. (조건식 1개 = $[\,1\ 1\ 1\ 1\,]x = 0$ 의 영공간, $n - r = 4 - 1 = 3$.)
		- (c) 두 조건 = $2 \times 4$ 행렬의 영공간, 차원 $4 - 2 = 2$: 기저 $(1,-1,-1,0), (1,-1,0,-1)$.
		- (d) $\mathbf{C}(I) = \mathbb{R}^4$ 의 기저 = $I$ 의 네 열. $\mathbf{N}(I) = \mathbf{Z}$ 의 기저 = **공집합** (관례).
		- 💡 (b)(c)에서 기저 만드는 실전 요령: 조건식을 행렬로 쓰고 **영공간의 특별해**를 구하면 그것이 기저다. (기저는 유일하지 않다. 답이 달라도 개수만 맞으면 된다.)