deck:: Logseq/전공공부/선형대수학 - ### 핵심 개념 - **이 절의 목표**: 지금까지 벡터를 "숫자 묶음"으로만 다뤘다면, 이제 벡터들이 사는 **"세계"(공간)** 자체를 다룬다. 이 절에서 용어 4개(벡터공간·부분집합·부분공간·생성)를 잡아두면, 3장 전체(열공간·영공간·기저·차원)가 이 위에 쌓인다. - **[1단계] 용어부터 확실히, 벡터공간 vs 부분집합 vs 부분공간** (혼동 주의 ⚠️) - ![용어 지도: 부분집합·부분공간·행렬이 만드는 공간들 (직접 그린 그림)](../assets/3장_3.1_용어지도_부분공간.svg) - **벡터공간** (vector space): 벡터들의 "세계". **더하기(** $v+w$ **)와 스칼라곱(** $cv$ **)을 아무리 해도 그 안에서 벗어나지 않는** 벡터들의 집합이다. 대표: $\mathbb{R}^1, \mathbb{R}^2, \mathbb{R}^3, \cdots$ - 📌 원문 (p.132): ((6a685a78-846c-4c02-976a-445b78c8c392)) - 정확히는 8가지 조건(교환법칙, 결합법칙, 영벡터 존재 등)을 만족해야 한다. 3.1 연습문제 서두에 목록이 있고, 문제 1~3이 이 조건들을 갖고 논다. $\mathbb{R}^n$ 에서는 자명하게 성립하므로 **외울 필요는 없다**. 핵심 한 줄만: **모든 선형결합** $cv + dw$ **가 그 안에 있어야 한다.** - 📌 원문 (p.133): ((6a685b7a-0ff6-487b-981b-a5c9c0b4f61c)) / ((6a685b9e-e75d-4c95-804f-f5a1678ddea6)) - **부분집합** (subset): 벡터공간에서 벡터 몇 개를 **그냥 골라 담은 것**. 아무 조건이 없다. 제1사분면도, 벡터 두 개짜리 집합도, 원점 없는 평면도 전부 부분집합이다. - 📌 원문 (p.135): ((6a685d5f-2eac-4706-b398-6effddda1d5f)) - **부분공간** (subspace): 부분집합 중에서 **그 자체로 다시 벡터공간이 되는 것**. 즉 "닫혀 있는" 부분집합이다. - 📌 원문 (정의 부분공간 판정법, p.135): ((6a685d18-0e9e-402f-89ed-9eb0662e72e5)) - **판정법은 딱 2개**: $v, w$ 가 부분공간의 벡터이고 $c$ 가 임의의 스칼라일 때 ⓘ $v + w$ 도 안에 있다 ⓘⓘ $cv$ 도 안에 있다. - 📌 원문 (p.135): ((6a685d1b-f3e8-43f5-b6cd-0903f6630ec6)) / ((6a685d1e-aaf7-4f8b-b0b3-080ef1880e6e)) - 💡 8가지 조건은 확인 안 해도 되나? 안 해도 된다. 부분공간의 연산은 원래 벡터공간의 연산을 그대로 물려받으므로 8조건이 **자동으로** 충족된다. 그래서 판정이 2개로 줄어드는 것. - ⚠️ **모든 부분공간은 영벡터를 포함한다**: 판정법 ⓘⓘ에서 $c = 0$ 을 넣으면 $0v = 0$ 이 안에 있어야 하기 때문. 그래서 **원점을 안 지나는 직선·평면은 무조건 탈락**이다. - 📌 원문 (p.135): ((6a685f94-50c8-45aa-80bb-e3fbf70094ff)) / ((6a685fa3-8906-4e6d-aa25-e21a89cd56df)) - 🔢 $\mathbb{R}^2$ 에서 탈락 예 2개 (EX1, EX2, "닫힘"이 뭔지 체감): - 제1사분면 (성분이 모두 ≥ 0): $v + w$ 에는 닫혀 있지만, $c = -1$ 을 곱하면 $(2,3) \to (-2,-3)$ 으로 **탈출** → 부분공간 아님. - 제1사분면 ∪ 제3사분면: 스칼라곱엔 닫혀 있지만, $(2,3) + (-3,-2) = (-1,1)$ 은 제2사분면 → **덧셈에서 탈출** → 부분공간 아님. - 💡 두 예가 보여주듯 조건 ⓘ과 ⓘⓘ는 **서로 독립적인 검사**다. 둘 다 통과해야 부분공간. - **[2단계]** $\mathbb{R}^3$ **의 부분공간 전체 목록**: 딱 4종류뿐이다 - $\mathbf{L}$: 원점 $(0,0,0)$ 을 지나는 모든 **직선** / $\mathbf{P}$: 원점을 지나는 모든 **평면** / $\mathbb{R}^3$ **전체** (자기 자신) / $\mathbf{Z}$: 영벡터 $(0,0,0)$ **하나만** 있는 공간 - 📌 원문 (p.135): ((6a685fbe-80ec-475f-a6f0-7c084844527d)) / ((6a685fc9-dd2d-46fe-bedd-c9c2fbd6350d)) - $\mathbf{Z}$ 는 **가장 작은 벡터공간**이다: $c0 + d0 = 0$ 이라 닫혀 있음. (뒤에서 배울 언어로는 "차원 0".) - 📌 원문 (p.133): ((6a685bea-1fd1-4023-b61a-7fe416a1142e)) / ((6a685bff-7504-4c04-b67a-18e58fa0f1ef)) - ⚠️ 원점 지나는 평면 $\mathbf{P}$ 는 $\mathbb{R}^2$ **처럼 보여도** $\mathbb{R}^2$ **가 아니다**: $\mathbf{P}$ 안의 벡터는 성분이 3개다 ($\mathbb{R}^3$ 소속). "평평한 2차원 모양"과 "$\mathbb{R}^2$ 라는 공간"은 다른 말. - 📌 원문 (p.134): ((6a685ce3-0cf7-4dcd-8c92-9cca6577bf83)) - **[3단계] 벡터의 개념 확장, 행렬도, 함수도 "벡터"다** - 더할 수 있고 스칼라곱이 되는 것들은 전부 벡터공간을 이룬다. 화살표만 벡터가 아니다: - 📌 원문 (p.132): ((6a685a7d-a9fc-46fd-aa0a-ddf6c8f3818f)) / ((6a685a81-3e9f-4f22-8dcf-4ff3597a7ffa)) - **행렬공간**: 모든 $3 \times 3$ 행렬의 집합 $\mathbb{R}^{3\times3}$, 행렬끼리 더하고 $c$ 를 곱해도 $3\times3$ 행렬 → 벡터공간. 그 안의 부분공간: 대칭행렬 전체 $\mathbf{S}$ ($cA+dB$ 도 대칭), 상삼각행렬 전체 $\mathbf{U}$, 대각행렬 전체 $\mathbf{D}$ 등. - 📌 원문 (p.134): ((6a685c56-722c-4f5e-9f80-694676540d08)) - **함수공간**: 함수도 더하고($f+g$) 스칼라곱($cf$)이 된다. 예: $y = ce^x$ 들의 집합("함수공간의 직선"), 2차 이하 다항식 $y = a + bx + cx^2$ 들의 집합. - 📌 원문 (p.134): ((6a685c58-34f6-446e-b8c2-6658ceb88834)) - 📌 원문 ('공간'이라는 단어의 의미, p.134): ((6a685c82-f0dc-4b07-b52a-50873b06fb37)) - 📌 원문 (p.134): ((6a685cbb-c5e0-4cbc-9217-fb9d6b9730cf)) - 💡 이 확장이 낯설다면 지금은 "행렬공간·함수공간이라는 것도 있구나" 정도만. **[[3.4 독립, 기저, 차원]] 끝부분에서 기저·차원까지 갖춰서 제대로 다시 다룬다** (2×2 행렬공간의 기저 4개, $y''=-y$ 해공간의 기저 $\sin x, \cos x$ 등). - 🔢 EX3 맛보기, 2×2 행렬공간 $\mathbf{M}$ 안에서: 항등행렬 $I$ **하나만** 담은 집합은 부분공간일까? 아니다. $I + I = 2I$ 가 집합 밖. 대신 $I$ 의 모든 상수배 $cI$ 를 담으면 부분공간("행렬의 직선")이 된다. - 📌 원문 (p.136): ((6a686043-c0fb-47b0-b4be-71687288d476)) - **[4단계] 주인공 등장, 열공간 C(A)** - **왜 필요한가**: 우리는 $Ax = b$ 를 풀고 싶다. 해가 존재하려면 $b$ 를 $A$ 와 $x$ 의 곱으로 나타낼 수 있어야 한다. 그런 $b$ 들을 전부 모은 것이 **열공간** (column space) $\mathbf{C}(A)$ 다. - 📌 원문 (p.137): ((6a68606d-599d-49cc-8d11-c9242f09c4c4)) - 1장의 핵심 사실을 다시: $Ax$ **는 행렬** $A$ **의 열들의 선형결합**이다 (계수가 $x$ 의 성분들). 가능한 모든 $x$ 를 넣으면 → 열들의 모든 선형결합 → 이것이 $\mathbf{C}(A)$. - 📌 원문 (p.137): ((6a68607f-254b-4136-989c-36476ffc0843)) / ((6a686094-5515-45fb-9c86-80a140690178)) - 📌 원문 (정의 열공간, p.137): ((6a6860b8-2498-411e-a1d4-039ab1fd7035)) / ((6a6860bb-f4e0-4c16-8617-210602bad98f)) / ((6a6860c1-eeb6-4a60-83d5-6a48b9d272cb)) - **3장 전체에서 가장 중요한 문장**: - 📌 원문 (p.137): ((6a6860d3-efc3-4506-a1d2-ad1b12720150)) - $Ax = b$ **의 해가 존재한다** ⟺ $b \in \mathbf{C}(A)$. 이때 그 선형결합의 계수가 바로 해 $x$ 다. - 📌 원문 (p.137): ((6a6860eb-b4f8-478f-99f2-5be30d4bd98a)) - ⚠️ **흔한 혼동, "열들의 집합"과 "열공간"은 다르다** (사용자 요청으로 자세히): - 📌 원문 (p.137): ((6a686110-e6d3-4d7d-a15d-1781c70e4791)) - **행렬** $A$ **의 열만 모으면 부분공간이 아니다**: $3 \times 3$ 행렬이면 열이 딱 3개, 벡터 3개짜리 유한집합이다. 부분공간이 되려면 $2 \times ($1열$)$, $($1열$) + ($2열$)$ 같은 **결합 결과가 전부** 들어 있어야 하는데 하나도 없다. 그래서 열들을 재료로 **모든 선형결합을 채워 넣어야** 비로소 열공간이 된다. 이 채워 넣는 행위가 **"생성"** 이다. - **가역행렬 전체의 집합은 (** $\mathbb{R}^{n\times n}$ **의) 부분공간이 아니다**: 두 가지 이유. ① 영행렬(이 공간의 영벡터)이 없다. 영행렬은 비가역이니까. ② 덧셈에 안 닫힌다: $I$ 와 $-I$ 는 둘 다 가역이지만 $I + (-I) = 0$ 은 비가역 → 합이 집합을 탈출. - **특이행렬 전체의 집합도 부분공간이 아니다**: 영행렬은 있지만 덧셈에 안 닫힌다. 🔢 $\begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0&0 \\ 0&1 \end{bmatrix} = I$, 특이행렬 둘을 더했더니 가역행렬이 나왔다. - 💡 셋의 공통 교훈: 부분공간 여부는 "좋은 벡터들을 모았느냐"가 아니라 **"연산에 닫혀 있느냐"** 하나로 판정된다. (연습문제 14가 이 내용 그대로다.) - **[5단계] 행공간, 그리고 '생성'** - **행공간** (row space): $A$ 의 **행**들의 모든 선형결합. 행을 세워서 열로 만들면 전치행렬이므로, 깔끔하게 **행공간 =** $\mathbf{C}(A^{\mathrm{T}})$ 로 쓴다 ($A$ 가 $m \times n$ 이면 행공간은 $\mathbb{R}^n$ 의 부분공간). - 📌 원문 (p.137): ((6a686148-a398-42de-8cf8-40c16d4fc2a1)) / ((6a68615c-4d21-4589-bb5e-a16ed5a59b1b)) - **생성** (span): 벡터 집합 $S$ 의 **모든 선형결합을 포함시켜** 만든 벡터공간 $\mathbf{V}$ 를 두고 "$S$ 가 $\mathbf{V}$ 를 생성한다"고 한다. $\mathbf{V}$ 는 $S$ 를 포함하는 **가장 작은** 벡터공간이다. - 📌 원문 (p.138): ((6a6861d6-3ef8-4eb5-9a46-01cf243b0c8f)) / ((6a6861dd-f2db-430b-bc2a-4e46dfebc8c6)) - $A$ 의 $n$ 개의 열은 $\mathbf{C}(A)$ 를 생성한다. $A^{\mathrm{T}}$ 의 $m$ 개의 열(= $A$ 의 행)은 행공간을 생성한다. ⚠️ **생성과 선형독립성은 무관하다**: 종속인 벡터들도 공간을 생성할 수 있다 (그냥 재료가 남아도는 것). - 📌 원문 (언제 10개의 벡터가 ℝ⁵을 생성하는가, p.139): ((6a6861f6-3c80-4cbf-bb9a-c70b29f69418)) - 답의 감: 가능하다. 하지만 "아무 10개"는 안 된다. 10개 중 (뒤에서 배울 언어로) **선형독립인 5개**가 들어 있어야 한다. 정확한 판정 도구는 3.4절. - **영공간 예고**: $Ax = 0$ 의 해들을 모은 집합도 벡터공간이다 ($Ax = 0, Ay = 0$ 이면 $A(cx+dy) = 0$ ✓). 이것이 **영공간** $\mathbf{N}(A)$ 이고, 계산법이 다음 절 [[3.2 소거법을 이용한 영공간 계산 A = CR]] 전체의 주제다. - 📌 원문 (p.132): ((6a685a91-40b4-4ff2-9376-66433c61d86e)) / ((6a685a96-8151-425c-aff1-8f76ab7b3205)) - 📌 원문 (가역행렬의 영공간, p.133): ((6a685c11-eeec-447d-a392-e985bf0f02ee)) / ((6a685c2b-abee-4e34-9ae6-52cbbb35664a)) - $A$ 가 가역이면 $Ax = 0$ 의 유일한 해는 $x = 0$ → 영공간은 $\mathbf{Z}$. (이 경우 열들은 선형독립, 이 연결도 3.4에서 정식화된다.) - 🧭 **이정표**: 이 절부터 "선형독립", "생성", "기저", "차원" 같은 말이 정의 없이 계속 나온다. **정식 정의는 전부 [[3.4 독립, 기저, 차원]] 에 있다.** 그 전까지는 감(독립 ≈ 서로 겹치지 않음, 기저 ≈ 공간을 만드는 최소 재료)으로 읽고 넘어가면 된다. - 📌 원문 (기저 예고, p.132): ((6a685b10-625e-4ab7-a79f-76f40b0f0ba6)) / ((6a685b18-d976-44bd-b7b6-d36e4770223b)) - ### ❓ 스스로 점검 - 부분집합과 부분공간의 차이를 한 문장으로 말하라. - 부분집합은 벡터들을 그냥 골라 담은 것(조건 없음), 부분공간은 그중 $v+w$ 와 $cv$ 에 닫혀 있어서 그 자체로 벡터공간이 되는 것. - 부분공간 판정법 2가지는? 이것만 확인하면 8가지 조건은 왜 자동인가? - ① $v + w$ 가 안에 있다 ② $cv$ 가 안에 있다. 연산 자체를 원래 벡터공간에서 물려받으므로 교환·결합법칙 등은 자동 성립. - 왜 모든 부분공간은 영벡터를 포함해야 하는가? 이 사실로 즉시 탈락시킬 수 있는 집합의 예는? - 판정법 ②에 $c = 0$ 을 넣으면 $0v = 0$ 이 포함되어야 하기 때문. 원점을 지나지 않는 직선·평면은 즉시 탈락. - $\mathbb{R}^3$ 의 부분공간을 전부 나열하라. - $\mathbf{Z}$ (영벡터만), 원점 지나는 직선 $\mathbf{L}$, 원점 지나는 평면 $\mathbf{P}$, $\mathbb{R}^3$ 전체. - 제1사분면은 어느 판정 조건에서 탈락하는가? 제1∪제3사분면은? - 제1사분면: 스칼라곱($c = -1$)에서 탈락. 제1∪제3사분면: 덧셈에서 탈락 (예: $(2,3)+(-3,-2) = (-1,1)$). - 열공간 $\mathbf{C}(A)$ 의 정의는? $Ax = b$ 의 해가 존재할 필요충분조건을 열공간의 언어로 말하라. - $A$ 의 열들의 모든 선형결합(= 가능한 모든 $Ax$)의 집합. 해 존재 ⟺ $b$ 가 $\mathbf{C}(A)$ 안에 있다. - "$A$ 의 열들의 집합"은 왜 부분공간이 아닌가? 가역행렬 전체의 집합은 왜 부분공간이 아닌가? - 열들의 집합은 유한집합이라 선형결합이 빠져 있다 (생성해야 열공간이 됨). 가역행렬 집합은 영행렬이 없고, $I + (-I) = 0$ 처럼 덧셈에 안 닫힌다. - 행공간을 전치행렬로 표현하면? $m \times n$ 행렬의 열공간과 행공간은 각각 어디의 부분공간인가? - 행공간 $= \mathbf{C}(A^{\mathrm{T}})$. 열공간은 $\mathbb{R}^m$, 행공간은 $\mathbb{R}^n$ 의 부분공간. - ### ✏️ 연습문제 풀이 (솔루션 참고) - ※ 문제 1~7은 "일반적인 벡터공간"(꼭 열벡터가 아닌)에 관한 문제다. 벡터공간의 8가지 조건 목록은 책 p.139 참고, (1)~(4)는 덧셈, (5)~(6)은 스칼라곱, (7)~(8)은 둘의 연결. - **문제 1**: 덧셈을 $(x_1, x_2) + (y_1, y_2) = (x_1 + y_2,\ x_2 + y_1)$ 로 바꾸면 (스칼라곱은 평소대로) 8가지 조건 중 무엇이 깨지는가? - 깨지는 것: **(1)** $x + y \ne y + x$, **(2)** 결합법칙, **(8)** $(c_1 + c_2)x \ne c_1 x + c_2 x$. - 🔢 (1) 확인: $x=(1,2), y=(3,4)$ → $x+y = (1+4, 2+3) = (5,5)$, $y+x = (3+2, 4+1) = (5,5)$... 같아 보이지만 $x=(1,2), y=(3,5)$ 로 하면 $x+y=(6,5)$, $y+x=(5,6)$, 다르다. - 💡 "성분을 엇갈려 더한다"는 사소한 변경 하나로 세 조건이 무너진다. 8조건이 그냥 형식이 아니라 실제 제약임을 보여주는 문제. - **문제 2**: 스칼라곱을 $cx = (cx_1, 0)$ 으로 바꾸면 (덧셈은 평소대로) 8가지 조건을 만족하는가? - **조건 (5)** $1 \cdot x = x$ **하나만 깨진다**: $1 \cdot (x_1, x_2) = (x_1, 0) \ne x$. 덧셈 관련 (1)~(4)는 덧셈을 안 바꿨으니 그대로 성립. - 💡 조건 (5)가 목록에 있는 이유가 바로 이런 "찌그러뜨리는 스칼라곱"을 막기 위해서다. - **문제 3**: (a) $\mathbb{R}^1$ 에서 양수 $x > 0$ 만 남기면? (b) 양수들에서 합을 $x + y \equiv xy$, 스칼라곱을 $cx \equiv x^c$ 로 정의하면? - (a) $cx$ 가 집합을 벗어날 수 있고 ($c < 0$), 영벡터도 $-x$ 도 없다 → 부분공간 아님. - (b) **8가지 조건을 모두 만족한다!** 조건 (7) 확인 ($c=3, x=2, y=1$): $x + y = 2 \times 1 = 2$ 이므로 $c(x+y) = 2^3 = 8$; $cx + cy = 2^3 \times 1^3 = 8$ ✓. - 이 벡터공간에서 '영벡터' 역할은 **숫자 1**: $x + 0 = x \cdot 1 = x$. - 💡 벡터공간의 정의는 "덧셈처럼 행동하는 연산"이면 뭐든 허용한다. 곱셈도 조건만 맞으면 '덧셈'이 될 수 있다. - **문제 4**: $A = \begin{bmatrix} 2&-2 \\ 2&-2 \end{bmatrix}$ 는 2×2 행렬공간 $\mathbf{M}$ 의 '벡터'다. 이 공간의 영벡터, $\frac{1}{2}A$, $-A$ 는? $A$ 를 포함하는 가장 작은 부분공간은? - 영벡터 = 영행렬 $\begin{bmatrix} 0&0 \\ 0&0 \end{bmatrix}$, $\frac{1}{2}A = \begin{bmatrix} 1&-1 \\ 1&-1 \end{bmatrix}$, $-A = \begin{bmatrix} -2&2 \\ -2&2 \end{bmatrix}$. - 가장 작은 부분공간 = $A$ 의 모든 상수배 $\{cA\}$, "행렬의 직선". - **문제 5**: (a) $A = \begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&0 \end{bmatrix}$ 는 포함하고 $B = \begin{bmatrix} 0&0 \\ 0&-1 \end{bmatrix}$ 는 포함하지 않는 $\mathbf{M}$ 의 부분공간? (b) $A, B$ 를 둘 다 포함하는 부분공간은 $I$ 를 포함해야 하나? (c) 0 아닌 대각행렬을 포함하지 않는 부분공간? - (a) $\{cA\}$ ($A$ 의 상수배 직선): $B$ 는 $A$ 의 상수배가 아니므로 미포함. - (b) **그렇다**: 부분공간은 $A - B = \begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{bmatrix} = I$ 를 포함해야 한다 (닫힘). - (c) 주대각선이 전부 0인 행렬들의 집합 $\begin{bmatrix} 0&b \\ c&0 \end{bmatrix}$. - **문제 6**: $f(x) = x^2$, $g(x) = 5x$ 는 함수공간 $\mathbf{F}$ 의 '벡터'다. 선형결합 $3f - 4g$ 는? - $h(x) = 3x^2 - 20x$. 💡 함수의 선형결합 = 같은 $x$ 에서 함숫값의 선형결합. 벡터의 성분별 연산과 완전히 같은 구조다. - **문제 7**: $cf$ 를 "$f(cx)$" 로 정의하면 어떤 조건이 깨지는가? (합은 평소대로) - **조건 (8)**: $(c_1 + c_2)f = f((c_1+c_2)x)$ 인데 $c_1 f + c_2 f = f(c_1 x) + f(c_2 x)$, 일반적으로 다르다. 🔢 $f(x) = x^2, c_1 = c_2 = 1$: 좌변 $f(2x) = 4x^2$, 우변 $x^2 + x^2 = 2x^2$. - **문제 8**: 부분공간의 두 조건 중 하나만 만족하는 예: (a) $x+y$ 에는 닫혀 있고 $\frac{1}{2}x$ 에는 안 닫힌 $\mathbb{R}^2$ 부분집합 (b) $cx$ 에는 닫혀 있고 $x+y$ 에는 안 닫힌 부분집합. - 📌 문제 지문 (p.140): [🔗 PDF 위치](((6a6e8ca7-0b52-401e-bd74-5dcf2b17cb3a))) - ![3.1 연습문제 8 지문 (p.140)](../assets/3장_p140_연습문제8_지문.png) - (a) **정수 성분 벡터들의 집합**: 정수 + 정수 = 정수 ✓, 그러나 $\frac{1}{2}(1,1) = (\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ 탈출. - (b) **두 직선의 합집합** (예: $x$ 축 ∪ $y$ 축): 각 직선 위에서 스칼라곱은 닫힘 ✓, 그러나 $(1,0) + (0,1) = (1,1)$ 탈출. (제1∪제3사분면도 같은 유형의 예.) - **문제 9**: 다음 중 $\mathbb{R}^3$ 의 부분공간은? (a) $b_1 = b_2$ 평면 (b) $b_1 = 1$ 평면 (c) $b_1 b_2 b_3 = 0$ (d) $v=(1,4,0), w=(2,2,2)$ 의 모든 선형결합 (e) $b_1 + b_2 + b_3 = 0$ (f) $b_1 \le b_2 \le b_3$ - 📌 문제 지문 (p.141): [🔗 PDF 위치](((6a6e8cb1-133b-4204-8a09-47f562a1fa03))) - ![3.1 연습문제 9 지문 (p.141)](../assets/3장_p141_연습문제9_지문.png) - 부분공간: **(a), (d), (e)**. - 탈락 이유, (b): 원점이 없다 ($b_1 = 1 \neq 0$). (c): 좌표축들의 합집합이라 덧셈에 안 닫힘, $(1,0,0)+(0,1,1) = (1,1,1)$ 은 $b_1 b_2 b_3 = 1 \ne 0$. (f): $-1$ 배 하면 부등호가 뒤집힘, $(0,1,2) \to (0,-1,-2)$ 는 $b_1 \le b_2$ 위반. - 💡 (a)(e)는 "원점 지나는 평면"($=\mathbf{P}$ 유형), (d)는 "두 벡터가 생성하는 평면", 생김새는 달라도 전부 같은 부류다. - **문제 10**: 2×2 행렬공간 $\mathbf{M}$ 에서 다음을 포함하는 가장 작은 부분공간은? (a) $\begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0&1 \\ 0&0 \end{bmatrix}$ (b) $\begin{bmatrix} 1&1 \\ 0&0 \end{bmatrix}$ (c) $\begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{bmatrix}$ - 📌 문제 지문 (p.141): [🔗 PDF 위치](((6a6e8cb5-cc8c-4021-9e2b-46343aac3aff))) - ![3.1 연습문제 10 지문 (p.141)](../assets/3장_p141_연습문제10_지문.png) - "가장 작은 부분공간" = 주어진 것들의 **모든 선형결합** (= 생성된 공간). - (a) $\begin{bmatrix} a&b \\ 0&0 \end{bmatrix}$ 전체 (b) $\begin{bmatrix} a&a \\ 0&0 \end{bmatrix}$ 전체 (c) $a\begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&1 \end{bmatrix} + b\begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a+b&a \\ a&a+b \end{bmatrix}$ 꼴 전체. - **문제 14**: (a) $\mathbf{M}$ 에서 가역행렬의 집합이 부분공간이 아님을 보여라. (b) 특이행렬의 집합이 부분공간이 아님을 보여라. - (a) 영행렬이 없다 (영행렬은 비가역). 또 $I + (-I) = 0$, 가역 둘의 합이 비가역. - (b) $\begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0&0 \\ 0&1 \end{bmatrix} = I$, 특이행렬 둘의 합이 가역. 덧셈에 안 닫힘. - 💡 본문 [4단계]의 "가역·특이행렬은 부분공간을 형성하지 않는다" 하이라이트가 바로 이 문제다.