deck:: Logseq/전공공부/선형대수학

- ![5장 행렬식.pdf](../assets/5장_행렬식_1788006854821_0.pdf)
- ## 5장 서론 정리
	- **이 장의 큰 그림**: 정사각행렬 $A$ 전체를 **수 하나**로 요약한 것이 행렬식 $\det A$ 다. 이 수 하나가 많은 것을 알려준다.
		- $\det A = 0$ 이면: 열들이 선형종속, $A$ 는 비가역행렬 (3장의 랭크 판정이 수 하나로 압축된 셈).
		- $\det A \neq 0$ 이면: $A^{-1}$ 가 존재하고, 실제로 $A^{-1}$ 의 공식에 $\det A$ 로 나누는 연산이 들어 있다.
	- $\det A$ 를 구하는 **3가지 방법** (5장 전체의 지도):
		- ① 피벗들의 곱: 소거 $PA = LU$ 후 $U$ 의 피벗들을 곱한다. $\det P = \pm 1$, $\det L = 1$ 이므로 피벗 곱이 $\pm \det A$. 보통 가장 빠른 방법이다.
		- ② 여인수(cofactor) 이용: 크기 $n-1$ 인 행렬식들로 줄여서 계산한다. 역행렬 공식으로 이어진다 (5.1절).
		- ③ $n!$ 개 항의 합: 모든 행과 열에서 성분을 하나씩만 골라 곱한 항들을 전부 더한다. 3×3이면 $3! = 6$ 개 항.
	- **절별 로드맵**:
		- 5.1 3×3 행렬식과 여인수: 6개 항 공식, 여인수 공식, 역행렬 공식 $A^{-1} = C^{\mathrm{T}} / \det A$.
		- 5.2 행렬식의 계산과 응용: $\det AB = (\det A)(\det B)$ 를 비롯한 성질들을 3가지 기본 성질에서 유도하고, $Ax = b$ 를 행렬식으로 푸는 크레이머 규칙(Cramer's rule)을 다룬다.
		- 5.3 행렬식을 이용한 넓이와 부피 계산: 기울어진 상자(평행육면체)의 부피가 $|\det E|$. $n \times n$ 행렬로 도형을 변환하면 부피가 항상 $|\det A|$ 배가 된다.
	- 💡 수위 조절: 서론이 던지는 크레이머 규칙, 에지행렬, 부피 이야기는 전부 5.2~5.3의 예고편이다. 지금은 "행렬식 = 행렬을 요약하는 놀라운 수 하나, 계산법은 3가지"라는 감만 잡으면 충분하다.
- ## 소단원
	- [[5.1 3×3 행렬식과 여인수]]
	- [[5.2 행렬식의 계산과 응용]]