렌더링 수정: 연습문제 지문의 ASCII 밑줄 빈칸(______)이 Logseq 강조 문법으로 파싱돼 뒤따르는 수식이 깨지던 문제 → 6.1(5줄)·3.2·4.3의 빈칸을 전각 밑줄로 교체, CLAUDE.md에 금지 규칙 추가 및 커밋 전 검사 스크립트에 ASCII 밑줄 탐지(수식 있는 줄) 보강
Co-Authored-By: Claude Fable 5.1 <noreply@anthropic.com> Claude-Session: https://claude.ai/code/session_018JYaHeD41WPAk5P5wBojQe
This commit is contained in:
songyc macbook
parent
8a6bcbcfc9
commit
8184edddae
@ -58,16 +58,19 @@ disable-anki-sync:: true
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- 잘못된 예: `**3차원 ($\mathbb{R}^3$)**` → 올바른 예: `**3차원** ($\mathbb{R}^3$)`
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- 강조하려는 구절에 수식이 섞여 있으면 텍스트 부분만 `**...**`로 감싸고 수식은 밖으로 뺀다. 예: `$Ax$ **를 계산하는 2가지 방법**`
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- ⚠️ **수식 안 `\text{...}` 내부에는 한글·ASCII만 쓴다. 가운뎃점(·) 금지** — Logseq KaTeX가 텍스트 모드의 `·`를 수식 전용 명령 `\cdotp`로 변환해 빨간 에러로 노출된다 (3.5절에서 실제 발생, 커밋 65441aa에서 수정). 나열이 필요하면 쉼표를 쓴다 (`1, 2행`). 참고: 수식 모드(텍스트 모드 밖)의 특수문자(①, ✓, · 등)는 에러 없이 렌더링된다.
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- ⚠️ **Claude가 반복적으로 어긴 규칙이다 (특히 소제목·헤더성 볼드 구절에서). 페이지를 작성·수정했으면 커밋 전에 반드시 아래 검사를 실행한다. 위반이 있으면 exit 1 이 나므로, 반드시 `이 검사 && git commit` 형태로 체인해 위반 시 커밋이 차단되게 한다:**
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- ⚠️ **빈칸 표기에 ASCII 밑줄 연속(`______`)을 쓰지 않는다.** Logseq(mldoc)이 `__`를 강조 문법으로 파싱해 그 뒤 문장을 통째로 강조 처리하고, 그 안의 `$...$` 수식이 렌더링되지 않는다 (6.1 연습문제 지문 5줄에서 실제 발생, 커밋 8a6bcbc 직후 수정). 빈칸은 전각 밑줄 `＿＿＿` 로 쓴다 (3.2·4.3의 옛 `___`도 같이 교체함). 같은 이유로 수식 밖의 `_`·`*`·`~~`·`^^` 연속 기호를 장식용으로 쓰지 않는다. 검사는 수식(`$`)이 있는 줄만 대상으로 한다 (English Study의 토익 빈칸 `________`은 사용자 작성분이라 제외).
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- ⚠️ **Claude가 반복적으로 어긴 규칙이다 (특히 소제목·헤더성 볼드 구절에서). 페이지를 작성·수정했으면 커밋 전에 반드시 아래 검사를 실행한다 (볼드-수식 중첩 + ASCII 밑줄 빈칸을 함께 잡는다). 위반이 있으면 exit 1 이 나므로, 반드시 `이 검사 && git commit` 형태로 체인해 위반 시 커밋이 차단되게 한다:**
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```bash
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python3 -c "
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import re, io, glob, sys
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bad = 0
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for f in glob.glob('*/pages/*.md'):
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if '/hls__' in f: continue
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for i, l in enumerate(io.open(f, encoding='utf-8'), 1):
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for m in re.finditer(r'\*\*([^*]+?)\*\*', l):
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if '\$' in m.group(1): print(f'{f}:{i}:', m.group(0)[:80]); bad += 1
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print('볼드-수식 중첩 위반:', bad)
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if '\$' in m.group(1): print(f'{f}:{i}: 볼드-수식', m.group(0)[:80]); bad += 1
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if '\$' in l and re.search(r'__', re.sub(r'\$[^$]*\$', '', l)): print(f'{f}:{i}: ASCII 밑줄', l.strip()[:80]); bad += 1
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print('위반 (볼드-수식 중첩 + ASCII 밑줄):', bad)
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sys.exit(1 if bad else 0)"
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```
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- 언어는 한국어. 수학·전문 용어는 필요시 영어 병기.
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@ -111,7 +111,7 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- **문제 6**: 참/거짓: (a) 정사각행렬에는 자유변수가 없다 (b) 가역행렬에는 자유변수가 없다 (c) $m \times n$ 행렬의 피벗변수는 $n$ 개보다 많을 수 없다 (d) $m$ 개보다 많을 수 없다
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- (a) **거짓**: 특이 정사각행렬은 자유변수를 갖는다 (예: 영행렬). (b) **참**: 가역이면 피벗 $n$ 개, $R_0 = I$. (c) **참**: 피벗은 열마다 최대 1개. (d) **참**: 피벗은 행마다 최대 1개.
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- 💡 (c)+(d)를 합치면 $r \le \min(m, n)$, 랭크의 기본 부등식이 공짜로 나온다.
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- **문제 12** (빈칸 채우기, 카드 재료로 좋음): $m \times n$ 행렬에 피벗이 $r$ 개 있을 때: 특별해의 개수는 ___. 영공간이 $x = 0$ 만 포함하는 것은 $r =$ ___ 일 때. 열공간이 $\mathbb{R}^m$ 전체가 되는 것은 $r =$ ___ 일 때.
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- **문제 12** (빈칸 채우기, 카드 재료로 좋음): $m \times n$ 행렬에 피벗이 $r$ 개 있을 때: 특별해의 개수는 ＿＿＿. 영공간이 $x = 0$ 만 포함하는 것은 $r =$ ＿＿＿ 일 때. 열공간이 $\mathbb{R}^m$ 전체가 되는 것은 $r =$ ＿＿＿ 일 때.
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- 특별해 $n - r$ 개 / 영공간 = $\{0\}$ ⟺ $r = n$ / 열공간 = $\mathbb{R}^m$ ⟺ $r = m$.
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- 💡 이 세 줄이 3.3절 "최대 열 랭크 / 최대 행 랭크" 논의의 뼈대다.
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- **문제 13** (꼭 풀어볼 만한 문제): 평면 $x - 3y - z = 12$ 는 $x - 3y - z = 0$ 과 평행하다. $(12, 0, 0)$ 이 이 평면 위에 있을 때, 평면 위의 모든 점을 다음 꼴로 나타내라: $\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \square \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} \square \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + z\begin{bmatrix} \square \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$
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@ -145,10 +145,10 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- $$C + Dt_i + Et_i^2 = b_i \quad\Longleftrightarrow\quad A = \begin{bmatrix} 1 & t_1 & t_1^2 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & t_m & t_m^2 \end{bmatrix}\ (m \times 3,\ \text{식 (10)})$$
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- 달라진 것: 열 하나($t_i^2$ 열) 추가, 정규방정식이 $3 \times 3$ 이 된 것뿐. 절차는 동일.
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- ✅ **p.243 빈칸 채우기** (책이 본문에 뚫어둔 빈칸의 정답):
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- 빈칸 ① "행렬 $A$ 의 열공간의 차원은 ___": $m$ 이라 답하기 쉽지만 **오답**이다. 정답은 **3**.
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- 빈칸 ① "행렬 $A$ 의 열공간의 차원은 ＿＿＿": $m$ 이라 답하기 쉽지만 **오답**이다. 정답은 **3**.
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- 열공간은 $\mathbb{R}^m$ **안에** 산다 (성분이 $m$ 개인 벡터들). 하지만 그 안에서 열 3개(시간이 3개 이상 다르면 독립)가 펼치는 **3차원** 부분공간이다.
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- "사는 곳의 차원($m$)"과 "부분공간 자신의 차원(3)"의 구분, 4.1 [2단계] 벽·바닥에서 했던 바로 그 구분이다. 사영 문제로 읽으면: $b \in \mathbb{R}^m$ 을 3차원 부분공간에 사영하는 것.
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- 빈칸 ②③④ "$e_1^2 + \cdots + e_m^2$ 의 ___, ___, ___ 에 대한 편도함수": 정답은 $C, D, E$. 미지수가 3개니 도함수도 3개, [3단계]의 확장이다.
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- 빈칸 ②③④ "$e_1^2 + \cdots + e_m^2$ 의 ＿＿＿, ＿＿＿, ＿＿＿ 에 대한 편도함수": 정답은 $C, D, E$. 미지수가 3개니 도함수도 3개, [3단계]의 확장이다.
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- 🔢 EX3, 특수한 경우: 세 점 $(0,6), (1,0), (2,0)$ 에 포물선을 맞추면?
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- 미지수 3개 = 점 3개 → $A$ 가 $3 \times 3$ 정사각 (방데르몽드). 가역이라 **정확히 통과**한다: $x = (C, D, E) = (6, -9, 3)$, 즉 $b = 6 - 9t + 3t^2$. 오차 0.
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- 💡 $n$ 이 $m$ 에 도달하면 "근사"가 "보간"으로 퇴화한다. 최소제곱이 특별히 필요한 것은 $m > n$ 일 때다.
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@ -308,7 +308,7 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- $A^\infty$: 고윳값 $1^\infty = 1$, $(\frac{1}{2})^\infty = 0$. 검산: 두 열이 같아 특이행렬 (0 ✓), 대각합 $1.0 = 1 + 0$ ✓. 고유벡터도 그대로: $A^\infty (1, -1) = (0, 0)$, $A^\infty (0.6, 0.4) = (0.36 + 0.24,\ 0.24 + 0.16) = (0.6, 0.4)$ ✓
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- 행 교환: $\begin{bmatrix} 0.2 & 0.7 \\ 0.8 & 0.3 \end{bmatrix}$ 은 대각합 $0.5$, 행렬식 $0.06 - 0.56 = -0.5$ 이므로 $\lambda^2 - 0.5\lambda - 0.5 = (\lambda - 1)(\lambda + 0.5) = 0$, 고윳값 $1, -0.5$. (열의 합이 여전히 1이라 $\lambda = 1$ 은 남지만) $\frac{1}{2}$ 이 $-\frac{1}{2}$ 로 바뀌었다.
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- 핵심 문장: $A^k$ 의 고윳값은 $\lambda^k$ 이고 고유벡터는 $A$ 와 같다. 행 교환은 고윳값을 바꾼다 (소거법은 고윳값을 보존하지 않는다).
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- **문제 2**: $A = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$ 와 $A + I = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$ 의 고윳값과 고유벡터를 구하라. $A + I$ 와 $A$ 의 고유벡터는 서로 ______. $A + I$ 의 고윳값은 $A$ 의 고윳값보다 1만큼 ______.
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- **문제 2**: $A = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$ 와 $A + I = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$ 의 고윳값과 고유벡터를 구하라. $A + I$ 와 $A$ 의 고유벡터는 서로 ＿＿＿. $A + I$ 의 고윳값은 $A$ 의 고윳값보다 1만큼 ＿＿＿.
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- 🔁 개념 상기: $(A + cI)x = (\lambda + c)x$. 고윳값만 $c$ 만큼 이동, 고유벡터 불변 ([4단계]).
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- $A$: 대각합 4, 행렬식 $3 - 8 = -5$. $\lambda^2 - 4\lambda - 5 = (\lambda - 5)(\lambda + 1)$, 고윳값 $5, -1$.
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- $\lambda = 5$: $A - 5I = \begin{bmatrix} -4 & 4 \\ 2 & -2 \end{bmatrix}$, $x_1 = (1, 1)$.
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@ -332,7 +332,7 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- (b) 같다. 이 예에서는 대각합과 행렬식이 일치해서 같았고, 일반적으로 $AB$ 와 $BA$ 의 고윳값이 항상 같다는 증명은 6.2절 끝에서 한다.
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- 검산: $(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 4 - 3 = 1 = \det(AB)$ ✓, 합 $4$ ✓
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- 핵심 문장: $AB$ 의 고윳값은 $\lambda\beta$ 가 아니다. 그러나 $AB$ 와 $BA$ 의 고윳값은 같다.
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- **문제 7**: 소거법으로 $A = LU$ 를 얻는다. 상삼각행렬 $U$ 의 고윳값은 ______이다. 하삼각행렬 $L$ 의 고윳값은 모두 ______이다. $A$ 의 고윳값은 ______과 동일하지 않다.
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- **문제 7**: 소거법으로 $A = LU$ 를 얻는다. 상삼각행렬 $U$ 의 고윳값은 ＿＿＿이다. 하삼각행렬 $L$ 의 고윳값은 모두 ＿＿＿이다. $A$ 의 고윳값은 ＿＿＿과 동일하지 않다.
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- 🔁 개념 상기: 삼각행렬의 고윳값은 주대각선 위에 있다. 소거법은 고윳값을 보존하지 않는다 ([6단계]).
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- $U$ 의 고윳값은 주대각선의 **피벗**들이다. $L$ 은 주대각선이 전부 1이므로 고윳값은 모두 **1**이다. $A$ 의 고윳값은 **피벗**과 동일하지 않다.
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- 🔢 [6단계]의 예: $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$. $U$ 의 고윳값(피벗) $1, 0$, $L$ 의 고윳값 $1, 1$, $A$ 의 고윳값 $7, 0$.
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@ -370,14 +370,14 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- 두 번째 $P$ (1, 3 성분 교환): 2행 여인수 전개로 $\det(P - \lambda I) = (1 - \lambda) \det \begin{bmatrix} -\lambda & 1 \\ 1 & -\lambda \end{bmatrix} = (1 - \lambda)(\lambda^2 - 1)$. 고윳값 $1, 1, -1$. 검산: 합 $1$ = 대각합 ✓
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- 💡 기하: 교환은 반사다 ([EX 3]). $(1, 0, 1)$ 과 $(0, 1, 0)$ 은 그대로($\lambda = 1$ 둘), $(1, 0, -1)$ 은 뒤집힌다($\lambda = -1$).
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- 핵심 문장: 치환행렬의 고윳값은 크기가 1이다. 순환 치환은 1의 거듭제곱근($\lambda^3 = 1$), 단순 교환은 $1, 1, -1$.
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- **문제 16**: 행렬 $A$ 의 행렬식은 $\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n$ 이다. 특성다항식을 $n$ 개의 1차항 $(\lambda_i - \lambda)$ 로 인수분해한 뒤 $\lambda = 0$ 을 대입해 빈칸을 채워라: $\det(A - \lambda I) = (\lambda_1 - \lambda)(\lambda_2 - \lambda) \cdots (\lambda_n - \lambda) \Rightarrow \det A = $ ______.
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- **문제 16**: 행렬 $A$ 의 행렬식은 $\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n$ 이다. 특성다항식을 $n$ 개의 1차항 $(\lambda_i - \lambda)$ 로 인수분해한 뒤 $\lambda = 0$ 을 대입해 빈칸을 채워라: $\det(A - \lambda I) = (\lambda_1 - \lambda)(\lambda_2 - \lambda) \cdots (\lambda_n - \lambda) \Rightarrow \det A = $ ＿＿＿.
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- 🔁 개념 상기: 특성다항식은 $n$ 차이고 최고차항이 $(-\lambda)^n$ 이며, 근이 고윳값 $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ 이다 ([5단계]).
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- 근이 $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ 이고 최고차 계수가 $(-1)^n$ 인 $n$ 차 다항식은 하나뿐이다: $(-1)^n (\lambda - \lambda_1) \cdots (\lambda - \lambda_n) = (\lambda_1 - \lambda)(\lambda_2 - \lambda) \cdots (\lambda_n - \lambda)$.
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- 이 항등식은 **모든** $\lambda$ 에 대해 성립하므로 $\lambda = 0$ 을 넣어도 된다. 좌변은 $\det(A - 0I) = \det A$, 우변은 $\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n$.
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- $$\det A = \lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n$$
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- 검산 ([EX 1]): 고윳값 $1, \frac{1}{2}$ 의 곱 $\frac{1}{2}$, 그리고 $\det A = (0.8)(0.7) - (0.3)(0.2) = 0.5$ ✓
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- 핵심 문장: 특성다항식에 $\lambda = 0$ 을 대입하면 $\det A = $ (고윳값의 곱)이 나온다. 그래서 고윳값 중 하나라도 0이면 특이행렬이다.
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- **문제 17**: $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ 의 $\det(A - \lambda I) = \lambda^2 - (a + d)\lambda + ad - bc = 0$. 근의 공식으로 고윳값은 $\lambda = \frac{a + d \pm \sqrt{\square}}{2}$ 이다. 고윳값들의 합은 ______이다. 고윳값이 $\lambda_1 = 3$, $\lambda_2 = 4$ 이면 $\det(A - \lambda I) = $ ______이다.
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- **문제 17**: $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ 의 $\det(A - \lambda I) = \lambda^2 - (a + d)\lambda + ad - bc = 0$. 근의 공식으로 고윳값은 $\lambda = \frac{a + d \pm \sqrt{\square}}{2}$ 이다. 고윳값들의 합은 ＿＿＿이다. 고윳값이 $\lambda_1 = 3$, $\lambda_2 = 4$ 이면 $\det(A - \lambda I) = $ ＿＿＿이다.
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- 🔁 개념 상기: 2차식의 근과 계수의 관계. $(\lambda - \lambda_1)(\lambda - \lambda_2) = \lambda^2 - (\lambda_1 + \lambda_2)\lambda + \lambda_1 \lambda_2$ ([6단계] 지름길).
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- 두 표현을 비교한다: $\lambda^2 - (a + d)\lambda + (ad - bc)$ 와 $\lambda^2 - (\lambda_1 + \lambda_2)\lambda + \lambda_1 \lambda_2$. 계수가 같아야 하므로
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- $$\lambda_1 + \lambda_2 = a + d = \text{대각합}, \qquad \lambda_1 \lambda_2 = ad - bc = \text{행렬식}$$
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@ -415,7 +415,7 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- 검산: 고윳값 $0, 0, 6$ 의 합 $6$ = 대각합 $2 + 2 + 2$ ✓, 곱 $0$ = 행렬식 (랭크 1이라 0) ✓
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- 💡 일반화: $uv^{\mathrm{T}}$ 의 고윳값은 $v^{\mathrm{T}}u$ (고유벡터 $u$) 하나와 0이 $n - 1$ 개 (고유벡터는 $v$ 에 수직인 모든 벡터). 대각합이 $v^{\mathrm{T}}u$ 인 것과 딱 맞는다 (도전문제 33도 같은 내용).
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- 핵심 문장: $A = uv^{\mathrm{T}}$ 의 0이 아닌 고윳값은 $v^{\mathrm{T}}u$ 하나뿐이고 고유벡터는 $u$ 다. 나머지 고유벡터는 $v$ 에 수직인 영공간이다.
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- **문제 32**: 행렬 $A$ 가 고윳값 $0, 3, 5$ 와 선형독립인 고유벡터 $u, v, w$ 를 갖는다. (a) 영공간과 열공간의 기저를 구하라. (b) $Ax = v + w$ 의 특수해와 일반해를 구하라. (c) $Ax = u$ 의 해는 존재하지 않는다. 만약 해가 존재했다면 ______은 열공간 안에 있을 것이다.
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- **문제 32**: 행렬 $A$ 가 고윳값 $0, 3, 5$ 와 선형독립인 고유벡터 $u, v, w$ 를 갖는다. (a) 영공간과 열공간의 기저를 구하라. (b) $Ax = v + w$ 의 특수해와 일반해를 구하라. (c) $Ax = u$ 의 해는 존재하지 않는다. 만약 해가 존재했다면 ＿＿＿은 열공간 안에 있을 것이다.
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- 🔁 개념 상기: $\lambda = 0$ 의 고유벡터는 영공간에 있다 ([1단계]). $\lambda \neq 0$ 이면 $x = A(x / \lambda)$ 라 고유벡터가 열공간에 있다. 3장의 차원 정리: $\dim N(A) + \dim C(A) = 3$.
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- (a) $Au = 0u = 0$ 이므로 $u \in N(A)$. $Av = 3v$ 에서 $v = A(\frac{1}{3}v) \in C(A)$, 마찬가지로 $w \in C(A)$. $u, v, w$ 가 독립이라 $\dim N(A) \geq 1$, $\dim C(A) \geq 2$ 인데 둘의 합이 3이므로 정확히 1과 2. 영공간의 기저 $\{u\}$, 열공간의 기저 $\{v, w\}$.
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- (b) 특수해: $A\left(\frac{v}{3} + \frac{w}{5}\right) = \frac{3v}{3} + \frac{5w}{5} = v + w$. 따라서 $x_p = \frac{v}{3} + \frac{w}{5}$. 일반해는 영공간을 더한 $x = \frac{v}{3} + \frac{w}{5} + cu$.
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