4.2 스스로 점검에 AᵀA·AAᵀ 내적 표 문답 추가 (유도·숫자 예제·성질·직선 공식 연결)

Co-Authored-By: Claude Fable 5 <noreply@anthropic.com>
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Major Study/pages/4.2 직선과 부분공간 위로의 사영.md

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 	- 두 사영행렬이 $P_1 + P_2 = I$ 를 만족하려면 두 부분공간은 어떤 관계여야 하는가?
 		- 서로의 직교여공간이어야 한다 (직교 + 차원 합 = 전체).
 		- 그냥 직교이기만 하면 (예: $\mathbb{R}^3$ 의 $z$ 축과 $x$ 축) 사영 합이 $b$ 를 복원하지 못한다.
+	- $A^{\mathrm{T}}A$ 와 $AA^{\mathrm{T}}$ 의 각 성분은 무엇을 의미하는가? (내적 표 읽기)
+		- 출발점은 곱셈 규칙 하나: $(XY)_{ij}$ = ($X$ 의 $i$ 행) · ($Y$ 의 $j$ 열).
+		- $A^{\mathrm{T}}A$ 에 적용: $A^{\mathrm{T}}$ 의 $i$ 행은 곧 $A$ 의 $i$ 열이므로, $(A^{\mathrm{T}}A)_{ij}$ = ($i$ 열) · ($j$ 열). 즉 **열끼리의 내적 표**.
+		- $AA^{\mathrm{T}}$ 에 적용: $A^{\mathrm{T}}$ 의 $j$ 열은 곧 $A$ 의 $j$ 행이므로, $(AA^{\mathrm{T}})_{ij}$ = ($i$ 행) · ($j$ 행). 즉 **행끼리의 내적 표**.
+		- 왜 그런지 한 번만 천천히: $A^{\mathrm{T}}A$ 의 $(i,j)$ 성분을 곱셈 규칙에 넣으면 "$A^{\mathrm{T}}$ 의 $i$ 행"과 "$A$ 의 $j$ 열"의 내적이다.
+			- 그런데 $A^{\mathrm{T}}$ 는 $A$ 를 눕힌 것이라서, $A^{\mathrm{T}}$ 의 $i$ 행을 다시 세우면 정확히 $A$ 의 $i$ 열이다.
+			- 그래서 "($A$ 의 $i$ 열) 내적 ($A$ 의 $j$ 열)"이 된다. $AA^{\mathrm{T}}$ 는 역할이 반대일 뿐 같은 논리다.
+		- 🔢 작은 예로 직접 확인: 열이 $c_1 = (1, 3, 0)$, $c_2 = (2, 4, 1)$ 인 $3 \times 2$ 행렬 $A$.
+			- 내적 표 방식: $c_1 \cdot c_1 = 1 + 9 + 0 = 10$, $c_1 \cdot c_2 = 2 + 12 + 0 = 14$, $c_2 \cdot c_2 = 4 + 16 + 1 = 21$.
+			- $$A^{\mathrm{T}}A = \begin{bmatrix} c_1 \cdot c_1 & c_1 \cdot c_2 \\ c_2 \cdot c_1 & c_2 \cdot c_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10&14 \\ 14&21 \end{bmatrix}$$
+			- 정직하게 행렬 곱으로 계산해도 같은 답이 나온다. 앞으로 $A^{\mathrm{T}}A$ 가 보이면 곱셈 대신 "내적 표 채우기"로 계산해도 된다는 뜻이다.
+		- 전치가 어느 쪽에 붙었는지가 "누구끼리 내적하는지"를 정한다. 내적을 $a^{\mathrm{T}}a$ 로 쓰는 문법을 벡터 여러 개로 확장한 것이다 (이런 내적 표를 **그람 행렬**(Gram matrix)이라고도 부른다).
+		- 따라오는 성질 3가지:
+			- 대각 성분 = 각 열(행)의 크기 제곱 ($a^{\mathrm{T}}a = \|a\|^2$ 의 확장).
+			- 둘 다 대칭행렬이다 (내적은 순서 무관: $i$ 열·$j$ 열 = $j$ 열·$i$ 열).
+			- 크기: $A$ 가 $m \times n$ 이면 $A^{\mathrm{T}}A$ 는 $n \times n$ (열 개수 기준), $AA^{\mathrm{T}}$ 는 $m \times m$ (행 개수 기준).
+		- 직선 사영 공식이 바로 특수 케이스다: 열 1개짜리 $A = a$ 면 $A^{\mathrm{T}}A = a^{\mathrm{T}}a$ (1×1 숫자), $AA^{\mathrm{T}} = aa^{\mathrm{T}}$ ($m \times m$ 랭크 1 행렬).
+			- 그래서 $P = \frac{aa^{\mathrm{T}}}{a^{\mathrm{T}}a}$ 와 $P = A(A^{\mathrm{T}}A)^{-1}A^{\mathrm{T}}$ 는 같은 구조다 (열이 여러 개가 되면서 "나누기"가 "역행렬"로 승격된 것).
+		- 이 눈으로 [6단계]를 다시 읽으면: $A^{\mathrm{T}}A = I$ ⟺ 내적 표가 항등행렬 ⟺ 자기 자신과는 1 (크기 1), 서로 다른 열끼리는 0 (직교) ⟺ 열들이 **정규직교** (문제 14에서 체험한 것).
 - ### ✏️ 연습문제 풀이 (솔루션 참고)
 	- **문제 1**: 벡터 $b$ 를 $a$ 방향 직선 위로 사영하고 $e \perp a$ 를 확인하라. (a) $b = (1,2,2)$, $a = (1,1,1)$ (b) $b = (1,3,1)$, $a = (-1,-3,-1)$
 		- 🔁 개념 상기: 직선 사영 3종 세트는 $\hat{x} = \frac{a^{\mathrm{T}}b}{a^{\mathrm{T}}a}$ → $p = \hat{x}a$ → $e = b - p$ ([3단계]). 검산은 항상 $e^{\mathrm{T}}a = 0$.