6.1 마무리: [4단계]에 랭크 1 행렬 uvᵀ 지름길 블록 추가(작동 방식·두 종류 고유벡터·대각합 검산·사영행렬 연결·u⊥v 예외), 문제 24에 A = CR 특별해 방식과의 비교 보충, 스스로 점검 카드 4장 추가(사용자, 총 12장·Anki 싱크 완료)
Co-Authored-By: Claude Fable 5.1 <noreply@anthropic.com> Claude-Session: https://claude.ai/code/session_018JYaHeD41WPAk5P5wBojQe
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deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- ### 핵심 개념
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- **단계 지도**: [1단계] 고유벡터란 무엇인가: 행렬을 곱해도 방향이 안 바뀌는 벡터 (기하학적 뜻) → [2단계] 왜 필요한가: 시간이 흐르는 문제와 $A^{100}$ → [3단계] 첫 예제를 끝까지: 마르코프 행렬의 고윳값 $1, \frac{1}{2}$ 과 $A^{100}$ 의 정체 → [4단계] 그림으로 읽는 특수 행렬: 사영 $P$, 반사 $E$, 치환, $A + cI$ → [5단계] 일반 계산법: $\det(A - \lambda I) = 0$ 이 나오는 이유와 3단계 절차 → [6단계] 검산 도구: 고윳값의 곱 = 행렬식, 합 = 대각합, 삼각행렬 → [7단계] 주의할 것들: 고유벡터 부족, 복소수 고윳값(회전), $AB$ 와 $A + B$ 의 고윳값
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- **단계 지도**: [1단계] 고유벡터란 무엇인가: 행렬을 곱해도 방향이 안 바뀌는 벡터 (기하학적 뜻) → [2단계] 왜 필요한가: 시간이 흐르는 문제와 $A^{100}$ → [3단계] 첫 예제를 끝까지: 마르코프 행렬의 고윳값 $1, \frac{1}{2}$ 과 $A^{100}$ 의 정체 → [4단계] 그림으로 읽는 특수 행렬: 사영 $P$, 반사 $E$, 치환, $A + cI$, 랭크 1 행렬 $uv^{\mathrm{T}}$ → [5단계] 일반 계산법: $\det(A - \lambda I) = 0$ 이 나오는 이유와 3단계 절차 → [6단계] 검산 도구: 고윳값의 곱 = 행렬식, 합 = 대각합, 삼각행렬 → [7단계] 주의할 것들: 고유벡터 부족, 복소수 고윳값(회전), $AB$ 와 $A + B$ 의 고윳값
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- #### [1단계] 고유벡터란 무엇인가: 행렬을 곱해도 방향이 바뀌지 않는 벡터
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- 행렬을 보는 관점부터 바꾼다. 지금까지 $A$ 는 "방정식 $Ax = b$ 의 계수표"였다. 이 장에서는 $A$ 를 **벡터를 움직이는 기계(변환)** 로 본다. 벡터 $x$ 를 넣으면 벡터 $Ax$ 가 나온다.
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- 🔢 $A = \begin{bmatrix} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{bmatrix}$ 에 벡터 몇 개를 넣어 보면:
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@ -124,6 +124,15 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- **치환행렬**: 성분의 자리만 바꾸므로 벡터의 길이를 바꾸지 않는다. 그래서 모든 고윳값이 $|\lambda| = 1$ 이다 (1 또는 $-1$, 혹은 크기가 1인 복소수. 연습문제 15).
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- 📌 원문 (p.309): ((6a9abc14-a866-4f97-a4c1-c0b1cba11a20))
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- 모든 성분이 1인 벡터 $(1, 1, \ldots, 1)$ 은 어떤 치환행렬에 대해서도 그대로이므로 항상 $\lambda = 1$ 의 고유벡터다.
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- **랭크 1 행렬** $A = uv^{\mathrm{T}}$ **의 지름길** (열 하나 × 행 하나. 3장의 $A = CR$ 에서 $r = 1$ 인 경우로, $C = u$, $R = v^{\mathrm{T}}$ 다):
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- 작동 방식부터: $Ax = u(v^{\mathrm{T}}x)$. 괄호 안은 수 하나이므로 **출력은 언제나** $u$ **의 배수**다. 열공간이 $u$ 직선 하나라는 뜻이다.
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- 그러니 방향이 유지되는 벡터는 두 종류뿐이다:
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- ① $x = u$ 자신: $Au = u(v^{\mathrm{T}}u) = (v^{\mathrm{T}}u)\, u$. 고윳값은 수 $v^{\mathrm{T}}u$ (내적 하나로 끝난다).
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- ② $v$ 에 수직인 모든 $x$ ($v^{\mathrm{T}}x = 0$): $Ax = u \cdot 0 = 0$. 고윳값 0이고, 고유벡터는 $v$ 에 수직인 $n - 1$ 차원 평면 전체다. 이 평면이 곧 $A$ 의 영공간이자 $R$ 의 영공간이다.
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- 검산: 고윳값은 $v^{\mathrm{T}}u$ 하나와 0이 $n - 1$ 개. 합 $v^{\mathrm{T}}u = u_1 v_1 + \cdots + u_n v_n$ 은 정확히 $uv^{\mathrm{T}}$ 의 대각합이다 ✓. 곱은 $0 = \det A$ (특이행렬) ✓
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- 🔢 $A = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & 1 & 2 \end{bmatrix}$ (연습문제 24): $v^{\mathrm{T}}u = 2 + 2 + 2 = 6$ 이므로 고윳값 $6, 0, 0$. 고유벡터는 $u = (1, 2, 1)$ 과, 평면 $2x + y + 2z = 0$ 위의 독립인 두 벡터 (예: 특별해 $(-\tfrac{1}{2}, 1, 0)$, $(-1, 0, 1)$, 또는 $(1, -2, 0)$, $(1, 0, -1)$. 평면 위라면 어느 두 개든 정답이다).
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- 💡 사영행렬도 이 규칙의 특수한 경우다. [EX 2]의 $P = \begin{bmatrix} 0.5 & 0.5 \\ 0.5 & 0.5 \end{bmatrix} = uu^{\mathrm{T}}$ ($u = (1, 1)/\sqrt{2}$)는 $v = u$, $\|u\| = 1$ 인 랭크 1 행렬이라 $v^{\mathrm{T}}u = u^{\mathrm{T}}u = 1$. 그래서 고윳값이 1과 0이다 (연습문제 13의 $P = uu^{\mathrm{T}}$ 도 같은 이야기).
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- ⚠️ $v^{\mathrm{T}}u = 0$ 이면 ($u \perp v$): 고윳값이 전부 0인데 $A \neq 0$ 이다. 예: $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix}$. 이때 $u$ 자신이 $v$ 에 수직이라 ①과 ②가 겹쳐 고유벡터가 직선 하나뿐이다 ([7단계] ①의 고유벡터 부족 사례이자 연습문제 23·33의 $A^2 = 0$).
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- #### [5단계] 일반 계산법: $\det(A - \lambda I) = 0$ 이 나오는 이유와 3단계 절차
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- 사영과 반사는 기하로 고윳값을 읽었다. 일반 행렬은 그림이 안 보이니 **행렬식**을 쓴다. 거의 모든 응용이 $\det(A - \lambda I) = 0$ 과 $Ax = \lambda x$ 를 푸는 데서 시작한다.
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- **왜 행렬식이 등장하는가** (유도 3줄):
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@ -277,9 +286,24 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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id:: 6a9ac874-0305-4b5d-90c1-f3247f452849
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- 일반적으로 아니다. $A$ 와 $B$ 가 같은 고유벡터를 갖지 않기 때문이다.
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- $n$ 개의 선형독립인 고유벡터를 공유하면 성립하고, 그때 $AB = BA$ 다.
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- $2 \times 2$ 행렬이 고유벡터를 한 직선 위에만 갖는 일은 언제 일어날 수 있는가?
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- $2 \times 2$ 행렬이 고유벡터를 한 직선 위에만 갖는 일은 언제 일어날 수 있는가? #card
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id:: 6a9c743b-61a1-49c0-8707-ba8abbb1c220
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- 두 고윳값이 같을 때만. 예: $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ ($\lambda = 0, 0$, 고유벡터는 $(1, 0)$ 방향뿐).
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- 단, $A = I$ 처럼 고윳값이 같아도 고유벡터가 충분한 경우도 있다.
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- 치환행렬 P의 고윳값은 왜 모든 고윳값이 $|\lambda| = 1$ 이고, 모든 성분이 1인 벡터 $(1, 1, \ldots, 1)$를 고유벡터로 가지는가? #card
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id:: 6a9c16a7-3bc3-438c-a5ef-3840bd217586
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- 치환행렬은 성분의 자리만 바꿀 뿐 크기는 바꾸지 않으므로 고윳값의 크기는 1이다.
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- 모든 성분이 1인 벡터는 치환행렬을 곱해도 변하지 않기 때문에 고유벡터의 정의에 부합한다.
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- 랭크 1 행렬 $A = uv^{\mathrm{T}}$ 의 고윳값과 고유벡터를 계산 없이 말하면? 어떻게 검산하는가? #card
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id:: 6a9c743b-8f78-4de4-95a9-3e80fc8a37ba
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- $Ax = u(v^{\mathrm{T}}x)$ 이므로 출력은 항상 $u$ 의 배수다.
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- $x = u$ 이면 $Au = (v^{\mathrm{T}}u)u$. 고윳값 $v^{\mathrm{T}}u$, 고유벡터 $u$.
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- $v$ 에 수직인 모든 $x$ 는 $Ax = 0$. 고윳값 0이 $n - 1$ 개, 고유벡터는 $v$ 에 수직인 평면(= 영공간) 전체.
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- 검산: 대각합 $= u_1 v_1 + \cdots + u_n v_n = v^{\mathrm{T}}u$, 행렬식 $= 0$.
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- 사영행렬 $P = uu^{\mathrm{T}}$ ($\|u\| = 1$)의 고윳값이 1과 0인 것을 랭크 1 규칙으로 설명하면? #card
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id:: 6a9c743b-6a31-4f56-bf05-bc48a978ad49
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- $v = u$ 인 랭크 1 행렬이므로 0이 아닌 고윳값은 $v^{\mathrm{T}}u = u^{\mathrm{T}}u = 1$, 고유벡터는 $u$ (열공간).
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- 나머지 고윳값은 0, 고유벡터는 $u$ 에 수직인 벡터들 (영공간).
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- ### 📖 확인문제 풀이 (6.1A·6.1B·6.1C)
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- **확인문제 6.1A**: $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$ 에 대해 $A, A^2, A^{-1}, A + 4I$ 의 고윳값과 고유벡터를 구하고, 대각합 4와 행렬식 3을 확인하라.
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- $\det(A - \lambda I) = (2 - \lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 3 = (\lambda - 1)(\lambda - 3)$. 고윳값 $1, 3$. 합 $4 = 2 + 2$ ✓, 곱 $3 = 4 - 1$ ✓
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@ -408,11 +432,15 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- 💡 고유벡터 부족의 실례: 이 행렬들은 영행렬이 아니면서 고윳값이 $0, 0$ 이다. 고유벡터는 영공간뿐인데 랭크가 1이라 영공간은 직선 하나다. 예를 들어 $\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$ 의 고유벡터는 $(1, 1)$ 방향뿐이다.
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- 핵심 문장: 대각합 0, 행렬식 0인 $2 \times 2$ 행렬은 고윳값이 $0, 0$ 이고 $A^2 = 0$ 이다. 영행렬이 아니면 고유벡터가 직선 하나뿐이다.
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- **문제 24**: 랭크 1 특이행렬 $A = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 4 & 2 & 4 \\ 2 & 1 & 2 \end{bmatrix}$ 의 세 고윳값과 세 고유벡터를 구하라.
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- 🔁 개념 상기: 랭크 1이면 영공간이 2차원이라 $\lambda = 0$ 의 고유벡터가 2개 (독립) 있다. 나머지 하나는 대각합으로 잡는다 ([6단계]).
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- 🔁 개념 상기: [4단계]의 랭크 1 지름길. $A = uv^{\mathrm{T}}$ 이면 $u$ 가 고윳값 $v^{\mathrm{T}}u$ 의 고유벡터이고, $v$ 에 수직인 평면(영공간, 2차원)이 $\lambda = 0$ 의 고유벡터다. 검산은 대각합 ([6단계]).
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- $A = uv^{\mathrm{T}}$ ($u = (1, 2, 1)$, $v = (2, 1, 2)$)의 작동 방식: $Ax = u(v^{\mathrm{T}}x)$. 결과는 항상 $u$ 의 배수다.
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- $\lambda \neq 0$ 의 고유벡터는 $u$ 자신: $Au = u(v^{\mathrm{T}}u) = u \cdot (2 + 2 + 2) = 6u$. 따라서 $x_3 = (1, 2, 1)$, $\lambda_3 = 6$.
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- $\lambda = 0$ 의 고유벡터는 $v$ 에 수직인 벡터 ($v^{\mathrm{T}}x = 0$ 이면 $Ax = 0$): $x_1 = (1, 0, -1)$, $x_2 = (1, -2, 0)$. ($2 - 2 = 0$ ✓, $2 - 2 = 0$ ✓)
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- 검산: 고윳값 $0, 0, 6$ 의 합 $6$ = 대각합 $2 + 2 + 2$ ✓, 곱 $0$ = 행렬식 (랭크 1이라 0) ✓
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- 보충: $A = CR$ 특별해 방식과의 비교. $A = CR$ 에서 $C = (1, 2, 1)$, $R = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 2 \end{bmatrix}$ 이므로 $C = u$, $R = v^{\mathrm{T}}$ 다. $\lambda = 0$ 의 고유벡터는 $N(A) = N(R)$ 이고, 방정식 $2x + y + 2z = 0$ 은 $v^{\mathrm{T}}x = 0$ 그 자체다.
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- 자유변수 $y, z$ 로 특별해를 구하면 $(-\tfrac{1}{2}, 1, 0)$, $(-1, 0, 1)$. 위의 $(1, -2, 0)$, $(1, 0, -1)$ 에 각각 $-\tfrac{1}{2}$, $-1$ 을 곱한 것이라 같은 방향이다. 고유벡터는 평면이므로 어느 기저를 써도 된다.
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- $\lambda = 6$ 은 $(A - 6I)x = 0$ 을 소거로 풀어도 $(1, 2, 1) = C$ 가 나온다: 2행 + 1행은 $(0, -3, 6)$ 이라 $y = 2z$, 1행 $-4x + y + 2z = 0$ 에서 $x = z$. 랭크 1에서는 0이 아닌 고윳값의 고유벡터가 곧 열공간 $C$ 의 방향이다.
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- 검산 습관: 구한 벡터에 $A$ 를 곱해 $\lambda$ 배가 나오는지 확인한다. 예컨대 $(1, 0, -1)$ 은 $A$ 를 곱하면 0이 되므로 $\lambda = 6$ 이 아니라 $\lambda = 0$ 의 고유벡터다.
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- 💡 일반화: $uv^{\mathrm{T}}$ 의 고윳값은 $v^{\mathrm{T}}u$ (고유벡터 $u$) 하나와 0이 $n - 1$ 개 (고유벡터는 $v$ 에 수직인 모든 벡터). 대각합이 $v^{\mathrm{T}}u$ 인 것과 딱 맞는다 (도전문제 33도 같은 내용).
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- 핵심 문장: $A = uv^{\mathrm{T}}$ 의 0이 아닌 고윳값은 $v^{\mathrm{T}}u$ 하나뿐이고 고유벡터는 $u$ 다. 나머지 고유벡터는 $v$ 에 수직인 영공간이다.
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- **문제 32**: 행렬 $A$ 가 고윳값 $0, 3, 5$ 와 선형독립인 고유벡터 $u, v, w$ 를 갖는다. (a) 영공간과 열공간의 기저를 구하라. (b) $Ax = v + w$ 의 특수해와 일반해를 구하라. (c) $Ax = u$ 의 해는 존재하지 않는다. 만약 해가 존재했다면 ＿＿＿은 열공간 안에 있을 것이다.
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