docs: 2장 선형방정식 Ax=b 풀기 정리 완료 (소단원 페이지 분리 첫 적용)

- 소단원 페이지 5개 신설 (2.1~2.5), 각각 핵심 개념/스스로 점검/연습문제 풀이 구조
- 단원 페이지를 서론 + 소단원 링크 + 고찰 구조로 재작성
- 하이라이트 58개(텍스트 51 + area 7) 전부 정리에 연결
- area 하이라이트 이미지 7개 + 개념 그림 3개 추출 (assets)
- 새 행렬(E, L, P, Aᵀ, S, K, T, B) 정확한 형태를 🧩 블록으로 명시
- 규칙 변경: 연습문제는 Claude가 선정 (사용자 하이라이트 불필요)

Co-Authored-By: Claude Fable 5 <noreply@anthropic.com>
Claude-Session: https://claude.ai/code/session_01G8rNxLqi5rYjRamC8uwiJW

CLAUDE.md

@@ -9,9 +9,9 @@ disable-anki-sync:: true
   한 단원을 다음 사이클로 정리한다:
   
   1. **사용자 선행 학습** — 사용자가 그 단원을 먼저 혼자 공부한다 (PDF 원자료 기준).
-  2. **사용자 1차 하이라이트** — 공부한 내용을 바탕으로 사용자가 Logseq에서 그 단원 PDF에 하이라이트한다. **영역(area) 하이라이트와 텍스트 하이라이트가 섞여 있을 수 있다.** 본문 핵심 부분과 함께, **풀어볼 가치가 있다고 판단한 연습문제에도 하이라이트**한다 (2장부터 적용).
-  3. **Claude 정리** — 책 내용과 사용자의 하이라이트를 바탕으로 정리를 작성한다. 이때 사용자의 하이라이트 중 불필요하다고 판단되는 부분은 보고해서 사용자가 판단하도록 한다.**2장부터는 단원 페이지에 서론 정리 + 소단원 페이지 링크만 두고, 각 소단원(x.y절)은 별도 페이지에 정리한다** (아래 「정리 스타일」 참고). 사용자가 만든 하이라이트는 종류별 형식으로 정리 본문의 해당 위치에 포함한다 — **영역 하이라이트는 링크 + 추출 이미지, 텍스트 하이라이트는 `((uuid))` 참조 + 정리 비중 반영** (아래 「PDF 하이라이트·이미지 활용」 참고). **하이라이트된 연습문제는 절별 「✏️ 연습문제 풀이」에 포함**하고 해답집(solution PDF)을 참고해 해설을 단다. **문제가 그림·도표를 참조하면 그 이미지를 PDF에서 캡처(추출)해 문제 블록에 함께 임베드한다** (2장부터 적용, 파일명·추출 방법은 아래 「PDF 이미지 추출·임베드」 규칙을 따름).
-  4. **추가 하이라이트 제안** — 정리하면서 Claude 판단에 원문 링크가 더 필요한 부분이 있으면, 정리 완료 보고에 **하이라이트 요청 목록**(쪽 번호 + 부분)을 담아 제안한다. 사용자가 고른 것 외에 **추가로 추천할 연습문제가 있으면 "x.y절 문제 n번 — 추천 이유"** 형식으로 이 목록에 함께 담는다.
+  2. **사용자 1차 하이라이트** — 공부한 내용을 바탕으로 사용자가 Logseq에서 그 단원 PDF에 하이라이트한다. **영역(area) 하이라이트와 텍스트 하이라이트가 섞여 있을 수 있다.** 하이라이트는 본문 내용에만 한다 (연습문제는 하이라이트하지 않는다 — 연습문제 선정은 Claude 몫).
+  3. **Claude 정리** — 책 내용과 사용자의 하이라이트를 바탕으로 정리를 작성한다. 이때 사용자의 하이라이트 중 불필요하다고 판단되는 부분은 보고해서 사용자가 판단하도록 한다.**2장부터는 단원 페이지에 서론 정리 + 소단원 페이지 링크만 두고, 각 소단원(x.y절)은 별도 페이지에 정리한다** (아래 「정리 스타일」 참고). 사용자가 만든 하이라이트는 종류별 형식으로 정리 본문의 해당 위치에 포함한다 — **영역 하이라이트는 링크 + 추출 이미지, 텍스트 하이라이트는 `((uuid))` 참조 + 정리 비중 반영** (아래 「PDF 하이라이트·이미지 활용」 참고). **연습문제는 Claude가 "이건 꼭 풀어봐야 한다" 싶은 문제만 직접 선정**해 절별 「✏️ 연습문제 풀이」에 포함하고 해답집(solution PDF)을 참고해 해설을 단다 (사용자가 특정 문제를 추가로 요청하면 그 문제만 추가). **문제가 그림·도표를 참조하면 그 이미지를 PDF에서 캡처(추출)해 문제 블록에 함께 임베드한다** (2장부터 적용, 파일명·추출 방법은 아래 「PDF 이미지 추출·임베드」 규칙을 따름).
+  4. **추가 하이라이트 제안** — 정리하면서 Claude 판단에 원문 링크가 더 필요한 부분이 있으면, 정리 완료 보고에 **하이라이트 요청 목록**(쪽 번호 + 부분)을 담아 제안한다.
   5. **사용자 2차 하이라이트 → Claude 다듬기** — 사용자가 제안을 (자기 판단으로 취사선택하여) 하이라이트하고 알려주면, Claude가 hls 페이지에서 새 uuid를 읽어 참조를 채워 정리를 다듬는다.
   6. **사용자 마무리** — 사용자가 직접 Anki 카드화하고 자기 방식으로 세부 수정하여 그 단원 정리를 마무리한다.
   
@@ -96,8 +96,8 @@ disable-anki-sync:: true
 - 단원 PDF는 사용자가 스캔해 Logseq에서 링크한다 (예: `assets/1장_벡터와_행렬_*.pdf`). 새 단원 시작 시 사용자가 페이지와 PDF를 세팅한 뒤 정리를 요청한다. 단원 정리는 그 페이지의 PDF 임베드 **아래에** 불릿으로 작성한다.
 - **해답집**: `assets/solution_1784335983942_0.pdf` — 스트랭 6판 공식 영문 솔루션 (전 챕터). 문제 번호는 한국어판과 동일하다. 각 챕터의 "Problem Set x.y" 헤더로 위치를 찾는다 (1장 해답: PDF 2~18쪽).
 - **PDF 읽는 법**: 단원 PDF는 스캔+OCR본이라 텍스트 레이어의 수식이 깨져 있다. 정리할 때는 **Read 도구로 페이지를 시각적으로 읽는다** (pdftoppm/poppler 설치됨). 이미지 추출·edn 좌표 파싱은 PyMuPDF(`import fitz`, 설치됨)를 쓴다.
-- **쪽번호 오프셋**: 1장 PDF는 책 쪽번호 = PDF 쪽번호 + 18. 단원 PDF마다 오프셋이 다를 수 있으니 첫 몇 쪽으로 확인할 것.
-- **진행 상황**: 1장 완전히 완료 (정리 작성 + area 하이라이트 11개 연결 + 사용자 Anki 카드화까지 마무리). 1장은 단일 페이지 구조 그대로 유지. 다음은 2장 (사용자 학습·하이라이트 후 요청 예정) — 연습문제 하이라이트, 문제 그림 캡처, **소단원별 페이지 분리** 방식을 처음 적용하는 단원.
+- **쪽번호 오프셋**: 1장 PDF는 책 쪽번호 = PDF 쪽번호 + 18. 2장 PDF는 책 쪽번호 = PDF 쪽번호 + 70. 단원 PDF마다 오프셋이 다를 수 있으니 첫 몇 쪽으로 확인할 것.
+- **진행 상황**: 1장 완전히 완료 (단일 페이지 구조 유지). 2장 정리 작성 완료 — 소단원 페이지 5개(2.1~2.5) 분리, 하이라이트 58개(텍스트 51 + area 7) 전부 연결, 연습문제는 Claude 선정 방식 첫 적용. 남은 단계: 사용자 검토·Anki 카드화. 2장 정리에서 새 행렬(E, L, P, Aᵀ, S, K, T, B)의 **정확한 형태를 🧩 표시 블록으로 명시**하는 방식을 도입했다 (책이 형태를 명시해주지 않는다는 사용자 요청) — 이후 장에서도 새 행렬 등장 시 동일하게 적용할 것.
 - ## Logseq 앱 동기화 주의
 - Logseq 앱이 페이지를 열어둔 상태에서 파일을 밖에서 수정하면, 앱이 캐시된 옛 블록을 표시하다가 **옛 내용을 파일에 되써버릴 수 있다** (부분 롤백 발생).
 - 페이지 파일을 수정한 후에는 사용자에게 **Logseq 재색인(Re-index)** 을 안내한다. 수정 직후 "고쳤는데 그대로다"라는 피드백이 오면 파일을 다시 읽어 롤백 여부부터 확인한다.

pages/2.1 소거법과 역대입법.md

@@ -0,0 +1,96 @@
+deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
+
+- ### 핵심 개념
+	- **이 절의 목표**: $n$ 개의 방정식과 $n$ 개의 미지수를 갖는 $Ax = b$ 를 체계적으로 푸는 것. 소거법으로 $Ax=b$ 를 상삼각 연립방정식 $Ux = c$ 로 바꾸고, **역대입법** (back substitution)으로 아래에서 위로 해를 구한다.
+	- **해의 3가지 경우** — $Ax = b$ 를 만족하는 $x$ 는 존재하지 않을 수도, 정확히 하나 존재할 수도, 무수히 많이 존재할 수도 있다.
+		- 📌 원문 — 해의 3가지 경우 (p.73): ((6a635899-c408-42a9-9318-f6f0e374099b))
+		- **[경우 ①] 해가 하나만 존재**: 행렬 $A$ 의 모든 열이 **선형독립**. $Ax=0$ 의 유일한 해는 $x=0$ 이고, $A$ 는 역행렬 $A^{-1}$ 를 갖는다.
+			- 📌 원문 (p.73): ((6a6358b6-1d2d-491f-b86f-279eef0f8106))
+			- 📌 원문 — 열의 선형독립 (p.73): ((6a6358bc-2c18-4de7-8d19-899ebf887595))
+		- **[경우 ②] 해가 존재하지 않음**: $b$ 가 $A$ 의 열들의 선형결합이 아님 — 즉 $b$ 가 $A$ 의 **열공간 밖**에 있음.
+			- 📌 원문 (p.73): ((6a6358c9-2452-478b-a285-a1550da448b6))
+			- 📌 원문 — 열공간과의 관계 (p.73): ((6a6358cf-5970-4a60-b17d-a8fabcac1326))
+		- **[경우 ③] 해가 무수히 많음**: $A$ 의 열이 **선형종속** ($AX=0$ 에 영벡터가 아닌 해 $X$ 존재). 하나의 해 $x$ 가 있으면 $x + \alpha X$ 도 전부 해가 된다.
+			- 📌 원문 (p.74): ((6a6358dc-6020-4de7-9d27-aa98fbed0c17))
+			- 📌 원문 — 열의 선형종속 (p.74): ((6a6358df-a0cf-4682-aa0a-ba602d25ac6f))
+			- $A(x + \alpha X) = Ax + \alpha AX = b + 0 = b$ — 해들의 집합은 직선(또는 그 이상)을 이룬다.
+		- 💡 **직관**: 세 경우를 가르는 것은 결국 두 가지 질문이다 — ① $A$ 의 열이 선형독립인가? ② $b$ 가 열공간 안에 있는가? 독립이면 항상 유일한 해, 종속이면 $b$ 의 위치에 따라 0개 아니면 무한개.
+	- **행 그림과 열 그림** — 해의 3가지 경우를 눈으로 확인하는 2가지 방법.
+		- **행 그림** (row picture): 각 방정식을 직선(평면)으로 그린다. 두 직선이 교차하면 해 유일, 평행하면 해 없음, 겹치면 해는 직선 전체.
+		- ![그림 2.1 — 방정식의 해에 대한 3가지 경우 (p.79)](../assets/2장_p79_그림2-1_해의_3가지_경우.png)
+			- (p.79, 그림 2.1)
+		- **열 그림** (column picture): $A$ 의 열들을 선형결합해 $b$ 를 만드는 그림. 3차원 이상에서도 쉽게 그릴 수 있다는 것이 행 그림과의 차이.
+		- ![그림 2.2 — 열 그림, b는 A의 열들의 선형결합 (p.79)](../assets/2장_p79_그림2-2_열그림.png)
+			- (p.79, 그림 2.2)
+	- **상삼각행렬 $U$ 와 피벗**
+		- 문자 U는 **상삼각행렬** (upper triangular matrix)을 의미한다 — 주대각선 **아래**의 모든 성분이 0인 행렬.
+			- 📌 원문 (p.75): ((6a6358ff-65bf-4fe7-bd3d-6626eea5a9d3))
+			- **정확한 형태** ($3\times 3$ 예): 대각선 위와 대각선만 채워진다.
+			- $$U = \begin{bmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} \\ 0 & u_{22} & u_{23} \\ 0 & 0 & u_{33} \end{bmatrix}$$
+		- **피벗** (pivot): 행렬 $U$ 의 주대각선에 있는 수. 역대입에서 각 미지수를 구할 때 피벗으로 나눈다.
+			- 📌 원문 (p.75): ((6a635906-6764-4b87-8597-bd485f29e316))
+		- ⚠️ **숫자 0은 피벗이 될 수 없다.** 피벗이 0이면 $0 \cdot x_i = (\text{수})$ 꼴이 되어 나눌 수 없고 역대입이 실패한다.
+			- 📌 원문 (p.75): ((6a635913-a4e3-41b8-850a-a4cb798a9822))
+		- **핵심 명제**: 선형독립인 열을 가진 (랭크가 $n$ 인) $n \times n$ 정사각행렬 $A$ 는 0이 아닌 피벗을 가진 상삼각행렬로 유도될 수 있다.
+			- 📌 원문 (p.75): ((6a635920-6b46-4cc7-a4ca-0d1c6680a87c))
+	- **역대입법** (back substitution): $Ux = c$ 를 **아래에서 위로** 푼다.
+		- 예 (p.75): $\begin{bmatrix} 2&3&4 \\ 0&5&6 \\ 0&0&7 \end{bmatrix} x = \begin{bmatrix} 19\\17\\14 \end{bmatrix}$ → $7x_3=14$ 에서 $x_3=2$ → $5x_2 + 12 = 17$ 에서 $x_2=1$ → $2x_1 + 3 + 8 = 19$ 에서 $x_1=4$.
+		- 요약: $Ax=b$ 에 소거법 → $Ux=c$ → 역대입법으로 $x = U^{-1}c = A^{-1}b$.
+	- **$A$ 에서 $U$ 로, $b$ 에서 $c$ 로 — 소거의 실제 과정** (p.76 예제, 식 (2)~(5))
+		- **소거행렬** $E_{ij}$: $i$ 행에서 $j$ 행에 $\ell_{ij}$ 를 곱한 것을 빼서 $(i,j)$ 위치에 0을 만드는 행렬. $E_{21}, E_{31}, E_{32}$ 순서로 $A$ 의 왼쪽에 곱한다 (정확한 형태는 [[2.2 소거행렬과 역행렬]]에서 상세히).
+			- 📌 원문 — 소거행렬 (p.76): ((6a635932-a78c-4087-a764-e7eaabae9f9f))
+		- 진행 순서 (행 교환이 필요 없는 경우):
+			- ① 첫 번째 방정식으로 1열의 피벗 아래 성분들을 0으로.
+			- ② **새로운** 두 번째 방정식으로 2열의 피벗 아래 성분들을 0으로.
+			- ③ 3열도 마찬가지 → 결과적으로 $U$ 가 생성된다.
+		- 좌변에서 하는 소거 연산을 우변 $b$ 에도 **똑같이** 적용해야 한다 → $b$ 가 $c$ 로 바뀐다.
+		- $E_{32}E_{31}E_{21}A = U$ 가 상삼각이고 피벗이 모두 0이 아니면, 행렬 $A$ 와 $U$ 는 **최대 랭크** (full rank)를 갖는다.
+			- 📌 원문 (p.76): ((6a63593b-eed9-4165-9f02-f373ab970fe5))
+	- **소거법이 실패하는 경우** — 피벗 위치에 0이 나타날 때. 두 가지 상황을 구분해야 한다.
+		- **일시적 실패 (행 교환으로 해결)**: 피벗 위치에 0이 있지만 그 **아래에 0이 아닌 수**가 있는 경우.
+			- 📌 원문 — 피벗 위치의 0 (p.77): ((6a635966-e526-4fab-9966-1f4e8a99f80a))
+			- 해결법: 0을 포함한 행과 아래의 0이 아닌 행을 **교환**한다. 이후 소거는 정상 진행되어 $U$ 를 얻는다.
+			- 📌 원문 — 행 교환 (p.77): ((6a635975-3d7c-4ce9-b4f8-121edf2767a1))
+		- **완전한 실패 (열이 선형종속)**: 피벗 위치 0 아래도 전부 0인 경우 — 교환할 행이 없다. 이때 그 열에는 피벗을 만들 수 없다.
+			- 열이 선형종속인 경우, 피벗 위치에 0이 **반드시** 생긴다.
+			- 📌 원문 (p.77): ((6a6359a0-b6ca-49c8-96de-8356dc3768f1))
+			- 💡 이것도 "실패"라기보다는 **성공**이다 — 문제의 원인(열의 선형종속)을 소거법이 체계적으로 밝혀낸 것이기 때문. 삼각행렬 $U$ 의 주대각선이 모든 정보를 알려준다.
+	- **최대 랭크 판정과 특이행렬**
+		- 상삼각행렬 $U$ 는 **주대각선에 0이 없을 때, 정확히 최대 랭크를 갖는다.**
+			- 📌 원문 (p.78): ((6a6359ac-a058-4293-8ab6-40ab10e442de))
+		- **특이행렬** (singular matrix): 주대각선에 0이 있는 (최대 랭크를 갖지 않고 역행렬이 없는) 행렬. 처음 몇 열이 선형종속이고, 일부 행도 선형종속이다.
+			- 📌 원문 (p.78): ((6a6359f4-8a2c-4afe-a644-3ce58b755ed4))
+		- ⚠️ **주의**: "행 교환이 필요한 것"과 "특이행렬인 것"을 혼동하지 말 것. 행 교환은 단지 방정식의 순서 문제이고, 특이성은 열의 선형종속이라는 구조적 문제다.
+	- **첨가행렬** (augmented matrix): 우변 $b$ 를 $A$ 의 추가 열로 붙인 행렬 $[A \ \ b]$. 좌변과 우변에 동일한 소거 연산이 자동으로 적용되게 하는 장치 — $[A \ \ b] \to [U \ \ c]$.
+		- 📌 원문 (p.80): ((6a635a13-2cdb-43dd-aebd-0e552945d649))
+	- **치환행렬** (permutation matrix) $P$ — 행 교환을 수행하는 행렬 (예: $P_{23}$ 은 2행과 3행을 교환). 피벗 위치에 0이 나타나면 사용한다. 행 교환이 없는 경우($P=I$)를 포함해 $n!$ 개의 치환행렬이 있다. 상세한 형태와 성질은 [[2.4 치환행렬과 전치행렬]]에서.
+		- 📌 원문 (p.80): ((6a635a1e-3810-4cd9-84fa-42fa382e865f))
+		- 행 교환까지 포함한 전체 과정: $PA = LU$ (행 교환이 없으면 $A = LU$). 이 식은 [[2.3 행렬 계산과 A = LU]] 와 [[2.4 치환행렬과 전치행렬]]의 주제다.
+- ### ❓ 스스로 점검
+	- $Ax = b$ 의 해가 정확히 하나 존재할 조건은 무엇이고, 그때 $Ax=0$ 의 해는 무엇인가?
+		- $A$ 의 모든 열이 선형독립일 때 (랭크 $n$). 이때 $Ax=0$ 의 유일한 해는 $x=0$ 이고 $A^{-1}$ 가 존재한다.
+	- 해가 하나라도 존재하는데 무수히 많아지는 것은 어떤 경우인가? 해들은 어떤 모양을 이루는가?
+		- $A$ 의 열이 선형종속이고 ($AX=0$ 의 비영해 $X$ 존재) $b$ 가 열공간 안에 있는 경우. 하나의 해 $x$ 에 대해 $x + \alpha X$ ($\alpha$ 는 임의의 수)가 모두 해가 되어 직선(또는 더 높은 차원)을 이룬다.
+	- 소거 중 피벗 위치에 0이 나타났다. "행 교환으로 해결되는 경우"와 "해결 불가능한 경우"는 무엇이 다른가?
+		- 그 0 **아래에** 0이 아닌 성분이 있으면 행 교환으로 해결된다 (일시적 실패). 아래가 전부 0이면 그 열에 피벗이 없는 것이고, 이는 열이 선형종속(특이행렬)이라는 구조적 신호다.
+	- 상삼각행렬 $U$ 가 최대 랭크를 가질 필요충분조건은?
+		- 주대각선(피벗 위치)에 0이 없는 것. 이때 $U$ 의 (그리고 $A$ 의) 열들은 선형독립이다.
+	- 왜 숫자 0은 피벗이 될 수 없는가?
+		- 역대입에서 각 미지수를 구할 때 피벗으로 나눠야 하는데 0으로는 나눌 수 없기 때문. $0 \cdot x = c$ 꼴은 해가 없거나($c \neq 0$) 무수히 많다($c = 0$).
+- ### ✏️ 연습문제 풀이 (솔루션 참고)
+	- **문제 4** — $c$ 를 소거하려면 두 번째 방정식에서 첫 번째 방정식에 어떤 $\ell$ 을 곱해 빼야 하는가? ($ax+by=f$, $cx+dy=g$, $a \neq 0$)
+		- 승수는 $\ell = \dfrac{c}{a}$. 소거 후 두 번째 피벗은 $d - \dfrac{cb}{a} = \dfrac{ad-bc}{a}$, 해는 $y = \dfrac{ag-cf}{ad-bc}$.
+		- 두 번째 피벗이 사라지는 조건이 정확히 $ad = bc$ — 이때가 **특이한** (singular) 경우다.
+		- 💡 2×2 행렬의 행렬식 $ad-bc$ 가 소거법의 피벗에서 자연스럽게 나타난다. 피벗의 곱 $a \cdot \frac{ad-bc}{a} = ad-bc$ = 행렬식.
+	- **문제 7** — $ax + 3y = -3$, $4x + 6y = 6$ 은 어떤 $a$ 에서 소거법이 완전히/일시적으로 불가능한가?
+		- $a = 2$ 이면 **완전히 불가능**: 좌변이 배수 관계(행 그림에서 평행선)가 되는데 우변은 아니므로 해가 없다.
+		- $a = 0$ 이면 **일시적으로 불가능**: 첫 피벗 위치가 0이지만 행 교환으로 해결된다. 교환 후 $4x + 6y = 6$, $3y = -3$ → $y = -1$, $x = 3$.
+		- 💡 본문의 "일시적 실패 vs 완전한 실패" 구분을 수치로 체험하는 문제.
+	- **문제 11** (책 추천: 꼭 풀어볼 만한 문제) — 선형 연립방정식은 정확히 2개의 해를 가질 수 없다. (a) 두 해 $(x,y,z)$, $(X,Y,Z)$ 가 있다면 또 다른 해는? (b) 25개의 평면이 두 점에서 만나면 또 어디서 만나는가?
+		- (a) 두 해의 평균 $\frac{1}{2}(x+X, \ y+Y, \ z+Z)$ 도 해다 (실제로는 두 해를 잇는 직선 위의 모든 점이 해).
+		- (b) 25개의 평면이 두 점에서 만난다면, 그 두 점을 지나는 **직선 전체**에서 만난다.
+		- 💡 해집합의 구조(0개, 1개, 무한개뿐)가 왜 그런지를 보여주는 문제 — 해 2개가 있으면 그 직선 전체가 해가 되어버린다.
+	- **문제 21** (도전) — 행 합이 4, 8이고 열 합이 2, $s$ 인 2×2 행렬 찾기. 네 방정식 $a+b=4$, $a+c=2$, $c+d=8$, $b+d=s$ 의 해가 존재하는 $s$ 는?
+		- 좌변에서 (첫째+셋째) = (둘째+넷째) = $a+b+c+d$ 이므로 우변도 $4+8 = 2+s$ 여야 한다 → $s = 10$.
+		- 이 4×4 연립방정식은 **특이**하다 — 소거하면 마지막 행이 0행이 된다. $s=10$ 일 때 해가 무수히 많다. 두 예: $\begin{bmatrix} 1&3 \\ 1&7 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 0&4 \\ 2&6 \end{bmatrix}$.
+		- 💡 "해가 존재할 조건이 우변에 붙는" 경우 ②↔③의 경계를 4×4 에서 경험하는 문제.

pages/2.2 소거행렬과 역행렬.md

@@ -0,0 +1,104 @@
+deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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+- ### 핵심 개념
+	- **이 절의 요지**: 소거의 모든 단계는 행렬곱으로 표현된다. 소거행렬 $E_{ij}$ 들을 차례로 곱해 $EA = U$ 를 만들고, 역순으로 역행렬을 곱해 $A = E^{-1}U = LU$ 를 얻는다.
+		- 📌 원문 (p.85): ((6a635a7c-c085-49d0-a491-a38760e0de17))
+	- **기본 소거 단계**: 방정식 $i$ 에서 방정식 $j$ 에 $\ell_{ij}$ 를 곱한 것을 빼는 것.
+		- 📌 원문 (p.85): ((6a635a84-07f5-42f7-a189-5e34759ed1ba))
+		- 승수(multiplier)는 $\ell_{ij} = \dfrac{\text{소거할 성분}}{\text{피벗}}$. 예: $a_{11}=3$ 아래 $a_{21}=-3$ 이 있으면 $\ell_{21} = -1$ 이고, "2행에서 1행에 $-1$ 을 곱한 것을 뺀다" = "2행에 1행을 더한다".
+	- **소거행렬 $E_{ij}$ 의 정확한 형태** 🧩 (책이 명시적으로 정리해주지 않는 부분 — 복습용 정리)
+		- **만드는 법**: 항등행렬 $I$ 에서 시작해 **$(i, j)$ 성분 (= $i$ 행 $j$ 열) 하나만 $-\ell_{ij}$ 로** 바꾼다. 나머지는 $I$ 그대로 (주대각선 1, 그 외 0).
+		- $$E_{ij} = I \text{ 에서 } (i,j) \text{ 성분만 } -\ell_{ij} \text{ 로 바꾼 행렬} \qquad (i > j \text{ 이므로 주대각선 아래})$$
+		- 예 — 3행에서 1행에 2를 곱해 빼는 $E_{31}$ ($\ell_{31} = 2$): $(3,1)$ 위치에 $-2$.
+		- $$E_{31} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$
+		- **왜 이 형태인가**: $E_{31}A$ 의 3행 = ($E_{31}$ 의 3행) × $A$ = $-2 \cdot (A$ 의 1행$) + 1 \cdot (A$ 의 3행$)$ — 정확히 "3행 ← 3행 − 2×(1행)" 이다. 왼쪽에 곱하는 행렬의 각 행은 "결과의 그 행을 원래 행들의 어떤 결합으로 만들지"를 지시한다.
+		- ⚠️ 첨자 순서 주의: $E_{ij}$ 는 "$i$ 행에서 $j$ 행을 (배수로) 뺀다"는 뜻이고, 바꾸는 성분 위치도 $i$ 행 $j$ 열이다. $i > j$ (아래 행에서 위 행을 뺌) 이므로 항상 주대각선 **아래**의 성분 하나를 바꾼다.
+	- **전체소거행렬 $E$**: 행 교환이 필요 없는 $3\times 3$ 의 경우, 세 소거행렬을 순서대로 곱한 것.
+		- $$E = E_{32}E_{31}E_{21}, \qquad EA = U$$
+		- ⚠️ **곱하는 순서**가 소거 순서다: 먼저 $E_{21}$ (그 다음 $E_{31}$, 마지막 $E_{32}$)이 $A$ 에 가장 가까이(오른쪽에) 위치한다.
+		- ⚠️ $E_{32}$ 는 $A$ 의 원래 2행이 아니라 **소거가 진행된 뒤의 새로운 2행**에 $\ell_{32}$ 를 곱해 뺀다 (p.86 EX1).
+		- $E$ 를 직접 곱해보면 좌하단에 복잡한 항이 생긴다 (p.91 식 (10)):
+		- $$E = E_{32}E_{31}E_{21} = \begin{bmatrix} 1 & & \\ -\ell_{21} & 1 & \\ (\ell_{32}\ell_{21} - \ell_{31}) & -\ell_{32} & 1 \end{bmatrix}$$
+		- 💡 $(3,1)$ 위치의 $\ell_{32}\ell_{21}$ 항이 생기는 이유: 1행이 2행을 바꾸고, 그 바뀐 2행이 다시 3행을 바꾸는 **연쇄 효과** 때문. 그래서 $E$ 자체는 쓸모 있는 공식이 안 되고, 역행렬 $L$ 쪽이 깨끗하다 (아래).
+	- **$E_{ij}$ 의 역행렬 — 빼면, 역은 더한다**
+		- $E_{ij}$ 가 "$i$ 행에서 $j$ 행 $\times \ell_{ij}$ 를 뺀다"면, $E_{ij}^{-1}$ 는 "$i$ 행에 $j$ 행 $\times \ell_{ij}$ 를 **더한다**".
+		- 📌 원문 (p.86): ((6a635aa6-fc5b-4d1b-af7e-ce34f3a3dff2))
+		- **정확한 형태**: $E_{ij}$ 에서 $(i,j)$ 성분의 **부호만 뒤집으면** 된다 ($-\ell_{ij} \to +\ell_{ij}$).
+		- $$E = \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ -5&1&0 \\ 0&0&1 \end{bmatrix} \quad\Longrightarrow\quad E^{-1} = \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 5&1&0 \\ 0&0&1 \end{bmatrix} \qquad (\text{p.89 EX4})$$
+	- **$L$ 은 $E$ 의 역행렬** — 이 장의 핵심 (p.91 식 (11))
+		- $E = E_{32}E_{31}E_{21}$ 의 역행렬을 **역순으로** 곱하면: $L = E^{-1} = E_{21}^{-1}E_{31}^{-1}E_{32}^{-1}$.
+		- 📌 원문 — $E$ 의 역행렬을 $L$ 이라 한다 (p.86): ((6a635aae-3105-49ae-957b-172c4c5d0005))
+		- 📌 원문 — 식 (11) (p.91): [🔗 PDF 위치](((6a635b68-9f69-4209-8ca3-615913bd254d)))
+		- ![L은 E의 역행렬 — 식 (11) (p.91)](../assets/2장_p91_L은_E의_역행렬_식11.png)
+		- **$L$ 의 정확한 형태** 🧩: **하삼각행렬**로, ① 주대각선은 전부 1, ② 주대각선 아래 $(i,j)$ 성분에 승수 $\ell_{ij}$ 가 **부호 그대로, 제자리에** 들어간다. $E$ 와 달리 곱셈 연쇄 항이 전혀 없다.
+		- $$L = \begin{bmatrix} 1 & & \\ \ell_{21} & 1 & \\ \ell_{31} & \ell_{32} & 1 \end{bmatrix}$$
+		- 💡 **왜 $L$ 은 깨끗한가** (p.90 EX5의 교훈): 역행렬들을 곱하는 순서 $E_{21}^{-1}E_{31}^{-1}E_{32}^{-1}$ 에서는 "먼저 3행을 (2행으로) 바꾸고, **그 다음** 2행을 (1행으로) 바꾸므로" 바뀐 행이 다시 쓰이는 연쇄가 일어나지 않는다. 소거법의 순서는 $FE$, 역행렬의 순서는 $L = E^{-1}F^{-1}$ — 승수들이 모두 하삼각 $L$ 의 제자리에 위치한다.
+		- 이 결과로 $EA = U$ 는 $A = E^{-1}U = LU$ 가 된다 → [[2.3 행렬 계산과 A = LU]] 의 주제.
+	- **역행렬에 관한 사실**
+		- **정의 — 가역행렬** (invertible matrix): $A^{-1}A = AA^{-1} = I$ 를 만족하는 $A^{-1}$ 가 존재하는 행렬 $A$.
+			- 📌 원문 (p.86): ((6a635acb-6851-4e14-8586-6014d2be98b5))
+		- $n \times n$ 행렬 $A$ 의 역행렬이 존재하려면 $n$ 개의 선형독립인 열이 있어야 한다.
+			- 📌 원문 (p.86): ((6a635ac0-7401-4a3b-8494-97d3151d2c6c))
+		- ⚠️ **모든 행렬이 역행렬을 갖는 것은 아니다.** 수는 0만 아니면 역수를 갖지만, 행렬은 조건이 더 복잡하다.
+			- 📌 원문 (p.87): ((6a635ad8-3d2e-4392-a37b-c22c8b0de35d))
+			- 📌 원문 — 가역이려면 열이 선형독립 (p.87): ((6a635adc-5c08-46ed-905c-6fef78d87284))
+	- **역행렬 $A^{-1}$ 의 7가지 특징** (p.87~88)
+		- **[특징 ①]** 역행렬 존재의 필요충분조건 = 소거법에서 **$n$ 개의 피벗**이 생기는 것 (행 교환 허용).
+			- 📌 원문 (p.87): ((6a635ae3-4e4a-437a-a3f8-c74bf19d9840))
+		- **[특징 ②]** 역행렬은 **유일**하다. $BA = I$, $AC = I$ 이면 $B = C$ — 결합법칙으로 $B(AC) = (BA)C$ 에서 즉시 나온다. 왼쪽 역행렬 = 오른쪽 역행렬.
+			- 📌 원문 (p.87): ((6a635ae9-06aa-4efd-8480-7a73b9eb35bb))
+		- **[특징 ③]** $A^{-1}$ 가 존재하면 $Ax = b$ 의 유일한 해는 $x = A^{-1}b$.
+			- 📌 원문 (p.87): ((6a635aef-6880-41b5-8b18-448e393588c3))
+		- **[특징 ④]** (중요) $Ax = 0$ 인 영벡터가 아닌 $x$ 가 존재하면 → $A$ 의 열이 선형종속 → **역행렬 없음**. ($A^{-1}$ 가 있다면 $x = A^{-1}0 = 0$ 뿐이어야 하므로.)
+			- 📌 원문 (p.87): ((6a635b12-1a2e-453a-8e16-3bb97dcdbee1))
+		- **[특징 ⑤]** 정사각행렬이 가역일 필요충분조건 = 열들이 선형독립.
+			- 📌 원문 (p.87): ((6a635b0c-4f27-4cbd-8a6c-b6655b215713))
+		- **[특징 ⑥]** $2\times 2$ 행렬이 가역일 필요충분조건은 $ad - bc \neq 0$:
+			- $$\begin{bmatrix} a&b \\ c&d \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$$
+			- 수 $ad-bc$ 는 2×2 행렬의 **행렬식** (determinant). 실제 판정에는 행렬식보다 **피벗이 $n$ 개인지** 확인하는 피벗 판정법을 주로 쓴다.
+			- 📌 원문 — 행렬식 (p.88): ((6a635b1e-c0f5-47d9-8dd4-e21f0b7271ed))
+			- 📌 원문 — 2×2 가역 조건 (p.88): ((6a635b3a-8ccf-4542-81e5-fb74840b350b))
+			- 💡 외우는 법: 대각 $a, d$ 는 **자리를 바꾸고**, 반대각 $b, c$ 는 **부호를 바꾸고**, 행렬식으로 나눈다.
+		- **[특징 ⑦]** 상삼각행렬은 주대각성분 $d_i$ 가 모두 0이 아닐 때 (역시 상삼각인) 역행렬을 갖는다.
+			- 📌 원문 (p.88): ((6a635b2a-5629-4ab6-9352-7ed4110d95dd))
+	- **행렬곱 $AB$ 의 역행렬 — 역순으로**
+		- 📌 원문 — 공식 (7) (p.89): [🔗 PDF 위치](((6a635b51-4ca7-4f6d-923a-74154bb8cda3)))
+		- ![AB의 역행렬 공식 (p.89)](../assets/2장_p89_AB의_역행렬_공식.png)
+		- $$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}, \qquad (ABC)^{-1} = C^{-1}B^{-1}A^{-1}$$
+		- $AB$ 가 가역일 필요충분조건: $A$ 와 $B$ 가 (같은 크기의) 가역행렬인 것.
+		- 💡 **양말–신발 비유**: 양말 신고 신발을 신었으면, 벗을 때는 신발 먼저 벗고 양말을 벗는다. 역행렬은 항상 **역순**.
+- ### ❓ 스스로 점검
+	- $E_{31}$ ($\ell_{31} = 2$) 의 정확한 형태를 쓰고, 왜 그 형태가 "3행에서 1행의 2배를 빼는" 연산이 되는지 설명하라.
+		- $I$ 에서 $(3,1)$ 성분만 $-2$ 로 바꾼 $\begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ -2&0&1 \end{bmatrix}$. 곱 $E_{31}A$ 의 3행 = $-2\cdot(A$ 의 1행$) + 1\cdot(A$ 의 3행$)$ 이 되기 때문 (왼쪽 곱셈의 각 행은 원래 행들의 결합 지시서).
+	- $E = E_{32}E_{31}E_{21}$ 과 $L = E^{-1}$ 중 어느 쪽이 승수 $\ell_{ij}$ 를 "제자리에 그대로" 담고 있는가? 다른 한쪽에는 무슨 일이 생기는가?
+		- $L$ 쪽이다: 주대각선 1, $(i,j)$ 에 $\ell_{ij}$ 그대로. $E$ 쪽은 $(3,1)$ 위치에 $\ell_{32}\ell_{21} - \ell_{31}$ 같은 연쇄 곱셈 항이 생긴다 (바뀐 행이 다시 다른 행을 바꾸는 효과).
+	- 역행렬이 존재하는지 판단하는 실용적 기준(특징 ①)은 무엇인가?
+		- 소거법에서 (행 교환을 허용하며) 0이 아닌 피벗이 $n$ 개 생기는 것.
+	- $Ax = 0$ 에 $x \neq 0$ 인 해가 있으면 왜 $A^{-1}$ 가 존재할 수 없는가?
+		- $A^{-1}$ 가 존재한다면 양변에 곱해 $x = A^{-1}0 = 0$ 이 되어 모순. (열이 선형종속이라는 뜻이므로 특징 ⑤로도 같은 결론.)
+	- $(AB)^{-1}$ 는 무엇이고, 왜 그 순서인가?
+		- $B^{-1}A^{-1}$. $(AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = AA^{-1} = I$ — 안쪽부터 소거되려면 역순이어야 한다.
+- ### ✏️ 연습문제 풀이 (솔루션 참고)
+	- **문제 3** — $A = \begin{bmatrix} 1&1&0 \\ 4&6&1 \\ -2&2&0 \end{bmatrix}$ 를 $U$ 로 만드는 $E_{21}, E_{31}, E_{32}$ 를 구하고, $E$ 와 $L = E^{-1}$ 도 구하라.
+		- $\ell_{21}=4$: $E_{21} = \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ -4&1&0 \\ 0&0&1 \end{bmatrix}$, $\ell_{31}=-2$: $E_{31} = \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 2&0&1 \end{bmatrix}$, $\ell_{32}=2$: $E_{32} = \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&-2&1 \end{bmatrix}$.
+		- $E = E_{32}E_{31}E_{21} = \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ -4&1&0 \\ 10&-2&1 \end{bmatrix}$ — $(3,1)$ 에 연쇄 항 $10$ 이 생겼다.
+		- $L = E^{-1} = \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 4&1&0 \\ -2&2&1 \end{bmatrix}$ — 승수 $4, -2, 2$ 가 전부 **제자리에 그대로**.
+		- 💡 이 문제 하나로 이 절의 핵심($E$ 는 지저분, $L$ 은 깨끗)을 손으로 확인할 수 있다.
+	- **문제 12** — 두 치환행렬 $P = \begin{bmatrix} 0&0&1 \\ 0&1&0 \\ 1&0&0 \end{bmatrix}$, $P = \begin{bmatrix} 0&1&0 \\ 0&0&1 \\ 1&0&0 \end{bmatrix}$ 의 역행렬을 구하라.
+		- 첫 번째는 단순 행 교환(1↔3)이라 $P^2 = I$ → $P^{-1} = P$ 자기 자신.
+		- 두 번째는 순환 이동이라 $P^{-1} = \begin{bmatrix} 0&0&1 \\ 1&0&0 \\ 0&1&0 \end{bmatrix}$.
+		- 💡 두 경우 모두 $P^{-1} = P^{\mathrm{T}}$ (전치) — 2.4절에서 일반 원리로 배운다.
+	- **문제 16** (책 표시: 중요한 문제) — $A$ 에서 (1행)+(2행)=(3행)일 때 $A^{-1}$ 가 존재하지 않음을 보여라.
+		- (a) $Ax = (0,0,1)$ 은 해가 없다: 식1 + 식2 − 식3 을 만들면 좌변은 0인데 우변은 $0+0-1 = -1 \neq 0$.
+		- (b) 해가 존재하려면 우변이 같은 관계를 만족해야 한다: $b_1 + b_2 = b_3$.
+		- (c) 소거 과정에서 3행은 **0행**이 된다 — 세 번째 피벗이 없다.
+		- 💡 행의 선형종속도 (열의 선형종속처럼) 가역성을 파괴한다. 소거법이 그 사실을 0행으로 드러낸다.
+	- **문제 29** — 가우스-조르단 아이디어: $[A \ \ I]$ 에 소거법을 적용해 $A$ 를 $I$ 로 바꾸면 $I$ 자리에 $A^{-1}$ 가 나타남을 확인하라.
+		- $\begin{bmatrix} 1&3&1&0 \\ 2&7&0&1 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1&3&1&0 \\ 0&1&-2&1 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1&0&7&-3 \\ 0&1&-2&1 \end{bmatrix} = [I \ \ A^{-1}]$.
+		- 두 번째: $\begin{bmatrix} 1&4&1&0 \\ 3&9&0&1 \end{bmatrix} \to \cdots \to \begin{bmatrix} 1&0&-3&4/3 \\ 0&1&1&-1/3 \end{bmatrix}$.
+		- 💡 2.3절 가우스-조르단 소거법의 예습. 검산: $ad-bc$ 공식과 비교해볼 것.
+	- **문제 34** (책 표시: 꼭 풀어볼 만한 문제) — $A = \begin{bmatrix} a&b&b \\ a&a&b \\ a&a&a \end{bmatrix}$ 가 가역일 조건을 증명하고, $C = \begin{bmatrix} 2&c&c \\ c&c&c \\ 8&7&c \end{bmatrix}$ 가 비가역이 되는 $c$ 3개를 찾아라.
+		- $A$ 의 소거: 피벗이 $a$, $a-b$, $a-b$ 로 나온다 → 가역 조건은 $a \neq 0$ 이고 $a \neq b$.
+		- $$A^{-1} = \frac{1}{a(a-b)}\begin{bmatrix} a & 0 & -b \\ -a & a & 0 \\ 0 & -a & a \end{bmatrix}$$
+		- $C$: $c = 0$ (열들이 종속), $c = 7$ (2행과 3행 관련 종속), $c = 2$ (1행과 2행 종속) 에서 비가역.
+		- 💡 문자 행렬에서 피벗을 추적하는 훈련 — "가역 판정 = 피벗 개수 세기"를 체득하는 문제.

pages/2.3 행렬 계산과 A = LU.md

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+deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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+- ### 핵심 개념
+	- **이 절의 요지 3가지**:
+		- ① $n \times n$ 행렬 $A$ 를 $U$ 로 바꾸는 소거는 약 $\frac{1}{3}n^3$ 번의 곱셈과 뺄셈이 필요하다.
+		- ② 우변 $b$ 를 $c$ 로 바꾸는 데는 $n^2$ 번이면 된다.
+		- ③ 행 교환이 없는 소거는 $A$ 를 $LU$ 로 분해한다 ($A = LU$ 의 2가지 증명).
+	- **가우스-조르단 소거법** (Gauss-Jordan elimination): $AX = I$ 를 열 단위로 한꺼번에 푸는 방법.
+		- 📌 원문 (p.97): ((6a635ba0-717a-49ea-81c6-1b80acfb2f4c))
+		- 아이디어: $A^{-1}$ 의 $k$ 번째 열 $x_k$ 는 $Ax_k = e_k$ 의 해다 ($e_k$ 는 $I$ 의 $k$ 번째 열). $n$ 개의 방정식이 모두 같은 계수행렬 $A$ 를 가지므로 첨가행렬을 $[A \ \ I]$ 로 잡고 **소거를 한 번만** 적용한다.
+		- $$[A \ \ I] \xrightarrow{\text{소거}} [I \ \ A^{-1}]$$
+		- ⚠️ 가우스-조르단은 (역대입 대신) 피벗 **위쪽**까지 소거해 $A$ 자리를 완전히 $I$ 로 만든다. $Ax=b$ 하나를 푸는 것보다 **느리다** — $A^{-1}$ 가 정말 필요할 때만 쓴다.
+		- 💡 이 책의 일관된 메시지: $x = A^{-1}b$ 라고 해서 실제로 $A^{-1}$ 를 계산하지는 마라. 소거+역대입이 훨씬 싸다.
+	- **소거법의 비용** (연산 횟수 세기)
+		- 📌 원문 (p.97): ((6a635bbc-cd20-4362-8dcc-ae180ca53cba))
+		- $A \to U$: 1단계(1열 소거)는 약 $n^2$ 번의 곱셈·뺄셈, 2단계는 $(n-1)^2$, … → 총합 $n^2 + (n-1)^2 + \cdots + 1^2 \approx \frac{1}{3}n^3$.
+			- 💡 제곱의 합 $\approx$ $x^2$ 의 적분 = $\frac{1}{3}n^3$ — 미적분과의 연결.
+		- 우변 $b \to c$ (소거 적용) 그리고 $c \to x$ (역대입): 합쳐서 정확히 $n^2$ 번.
+			- $$[(n-1) + (n-2) + \cdots + 1] + [1 + 2 + \cdots + (n-1) + n] = n^2$$
+		- 크기 감각: $n = 1{,}000$ 이면 약 1초. $n$ 이 2배가 되면 시간은 $2^3 = 8$ 배 ($n^3$ 규칙). 실무의 큰 행렬은 대부분 **희소행렬** (sparse matrix, 대부분 성분이 0)이라 $A = LU$ 계산이 훨씬 빠르다.
+	- **$A = LU$ 분해** — 이 장의 핵심 공식
+		- 소거 과정 $EA = U$ 를 뒤집으면 $A = E^{-1}U = LU$. [[2.2 소거행렬과 역행렬]]의 식 (11)이 $\ell_{ij}$ 가 $L$ 의 정확한 위치에 배치됨을 보여줬다.
+		- **$L$ 과 $U$ 의 정확한 형태** 🧩:
+			- $L$ = 주대각선이 1이고, 주대각선 아래 $(i,j)$ 에 승수 $\ell_{ij}$ 가 들어간 **하삼각행렬**.
+			- $U$ = 소거가 끝난 **상삼각행렬**, 주대각선에 피벗들이 놓인다.
+			- $$A = LU = \begin{bmatrix} 1 & & \\ \ell_{21} & 1 & \\ \ell_{31} & \ell_{32} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \text{피벗}_1 & * & * \\ & \text{피벗}_2 & * \\ & & \text{피벗}_3 \end{bmatrix}$$
+	- **증명 1 — 행 단위로 보기**: $L$ 에서 $\ell_{ij}$ 가 제자리에 있는 이유 (p.99~100)
+		- 📌 원문 (p.99): ((6a635be3-d31e-4142-a915-420dc9b58289))
+		- 소거 중 피벗 행에서 빼는 것은 $A$ 의 원래 행이 아니라 이미 완성된 **$U$ 의 행**이다 (피벗 행은 그 뒤로 다시 바뀌지 않으므로).
+		- $$(U \text{의 3행}) = (A \text{의 3행}) - \ell_{31}(U \text{의 1행}) - \ell_{32}(U \text{의 2행}) \tag{3}$$
+		- 이 식을 이항하면:
+		- $$(A \text{의 3행}) = \ell_{31}(U \text{의 1행}) + \ell_{32}(U \text{의 2행}) + 1 \cdot (U \text{의 3행}) \tag{4}$$
+		- 식 (4)가 정확히 행렬곱 $A = LU$ 의 3행이다 — $L$ 의 3행 $[\ell_{31} \ \ \ell_{32} \ \ 1]$ 이 그대로 읽힌다. 모든 크기 $n$ 에서 성립.
+	- **증명 2 — (열)×(행) 랭크 1 행렬로 보기** (p.100~101)
+		- 소거를 "$A$ 에서 (L의 열)·(U의 행) 인 랭크 1 행렬을 빼는 것"으로 본다.
+		- 1단계: $\ell_1 = (1, \ell_{21}, \ell_{31}, \cdots)$ 과 $u_1 = (A$ 의 1행$)$ 에 대해 $A - \ell_1 u_1 = A_2$ 를 만들면 $A_2$ 의 1행과 1열은 전부 0.
+		- 반복하면 매 단계 "$L$ 의 열 $\ell_j$ × $U$ 의 피벗 행 $u_j$" 를 소거하고, 조각을 다시 합치면:
+		- $$A = \ell_1 u_1 + \ell_2 u_2 + \cdots + \ell_n u_n = \begin{bmatrix} \ell_1 & \cdots & \ell_n \end{bmatrix}\begin{bmatrix} u_1 \\ \vdots \\ u_n \end{bmatrix} = LU \tag{5}$$
+		- 💡 1장 마지막의 "(열)×(행) 곱셈" 관점이 여기서 진가를 발휘한다. $U$ 의 피벗 행 $u_k$ 는 앞에 $(k-1)$ 개의 0, $L$ 의 열 $\ell_k$ 도 위에 $(k-1)$ 개의 0으로 시작.
+	- **행 교환 없이 $A = LU$ 분해가 가능한 조건** (p.101)
+		- "행 교환이 없고 피벗에 0이 없는 $A = LU$ 분해는 언제 가능한가?"
+			- 📌 원문 — 질문 (p.101): ((6a635bfb-bcd2-4ff3-9fd5-31424ab7abb4))
+		- 답: $A$ 의 **왼쪽 상단 모서리에 있는 모든 $k \times k$ 부분행렬 $A_k$ 가 가역행렬**일 때만 가능하다 ($k = 1, \cdots, n$).
+			- 📌 원문 — 답 (p.101): ((6a635c01-2fd8-4235-a9d8-052b6b5f93d7))
+		- 이유: 소거 과정이 좌상단 모서리 부분행렬을 순서대로 분해하기 때문 — $A_k = L_k U_k$ 이 성립하려면 각 $A_k$ 가 가역이어야 한다.
+		- 💡 직관: $k$ 번째 피벗은 좌상단 $k\times k$ 블록 안에서 결정된다. 앞쪽 블록이 특이하면 그 시점에 피벗 0을 만나 행 교환이 필요해진다.
+	- **$LU$ 를 이용한 $Ax = b$ 풀이 — 두 개의 삼각 시스템**
+		- $A = LU$ 를 알고 나면: $Ax = b$ ⟺ $L(Ux) = b$ ⟺ 두 단계로 분리.
+			- ① $Lc = b$ 를 **순방향 대입**으로 풀어 $c$ 를 얻는다 (소거가 우변에 하던 일).
+			- ② $Ux = c$ 를 **역대입**으로 풀어 $x$ 를 얻는다.
+		- 💡 같은 $A$ 에 우변 $b$ 만 바뀌는 문제를 여러 번 풀 때 진가: 비싼 $\frac{1}{3}n^3$ 분해는 한 번만, 이후는 $b$ 마다 $n^2$ 만 든다.
+- ### ❓ 스스로 점검
+	- $A \to U$ 소거, 우변 처리($b \to c \to x$)의 연산 횟수는 각각 대략 얼마인가?
+		- $A \to U$ 는 약 $\frac{1}{3}n^3$ 번의 곱셈·뺄셈, 우변은 (소거 + 역대입 합쳐) 정확히 $n^2$ 번.
+	- $A = LU$ 에서 $L$ 의 주대각선과 그 아래에는 정확히 무엇이 들어가는가?
+		- 주대각선에는 1, 주대각선 아래 $(i,j)$ 성분에는 소거 때 쓴 승수 $\ell_{ij}$ 가 부호 그대로 들어간다. ($U$ 의 주대각선에는 피벗.)
+	- "소거에서 피벗 행에 곱해 빼는 행은 $A$ 의 행이 아니라 $U$ 의 행이다" — 왜 이 관찰이 $A = LU$ 증명의 핵심인가?
+		- $(U$ 의 $i$ 행$) = (A$ 의 $i$ 행$) - \sum_{j<i} \ell_{ij}(U$ 의 $j$ 행$)$ 을 이항하면 $(A$ 의 $i$ 행$) = \sum_{j<i}\ell_{ij}(U$ 의 $j$ 행$) + 1\cdot(U$ 의 $i$ 행$)$ — 이것이 정확히 행렬곱 $LU$ 의 $i$ 행이기 때문.
+	- 행 교환 없이 $A = LU$ 가 가능할 필요충분조건은?
+		- 왼쪽 상단의 모든 $k \times k$ 부분행렬 $A_k$ ($k=1,\cdots,n$)가 가역인 것.
+	- $[A \ \ I] \to [I \ \ A^{-1}]$ (가우스-조르단)이 $Ax=b$ 풀이보다 느린데도 배우는 이유는?
+		- $A^{-1}$ 전체가 필요할 때 $n$ 개의 방정식 $Ax_k = e_k$ 를 소거 한 번으로 동시에 풀어주는 체계적 방법이기 때문. (실전에서는 $A^{-1}$ 를 만들지 않고 $LU$ 로 푸는 것이 원칙.)
+- ### ✏️ 연습문제 풀이 (솔루션 참고)
+	- **문제 1** (책 표시: 중요한 문제) — 순방향 소거가 $\begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&2 \end{bmatrix}x = \begin{bmatrix} 5\\7 \end{bmatrix}$ 를 $\begin{bmatrix} 1&1 \\ 0&1 \end{bmatrix}x = \begin{bmatrix} 5\\2 \end{bmatrix}$ 로 바꾼다. 빈칸을 채워라.
+		- $\ell_{21} = 1$ (2행에서 1행 × 1 을 뺌). 역대입 단계의 행렬은 $L = \begin{bmatrix} 1&0 \\ 1&1 \end{bmatrix}$.
+		- $L$ 을 $Ux_1 = (5,2)$ 에 곱하면 원래 방정식 $Ax = (5,7)$ 을 되찾는다. 문자로: $Ux = c$ 에 $L$ 을 곱하면 $Ax = b$.
+		- 💡 "$L$ 은 소거를 되돌리는 행렬"이라는 $A = LU$ 의 의미를 2×2 로 확인하는 문제.
+	- **문제 7** (책 표시: 꼭 풀어볼 만한 문제) — 대칭행렬 $A = \begin{bmatrix} a&a&a&a \\ a&b&b&b \\ a&b&c&c \\ a&b&c&d \end{bmatrix}$ 의 $L, U$ 와 피벗 4개가 존재할 조건.
+		- 소거하면 모든 승수가 1: $L = \begin{bmatrix} 1&&& \\ 1&1&& \\ 1&1&1& \\ 1&1&1&1 \end{bmatrix}$, $U = \begin{bmatrix} a&a&a&a \\ &b-a&b-a&b-a \\ &&c-b&c-b \\ &&&d-c \end{bmatrix}$.
+		- 피벗은 $a, \ b-a, \ c-b, \ d-c$ → 4개의 조건: $a \neq 0$, $b \neq a$, $c \neq b$, $d \neq c$.
+		- 💡 피벗이 "연속된 값의 차"로 나오는 아름다운 패턴. 대칭행렬의 소거가 얼마나 규칙적인지 보여준다.
+	- **문제 10** — $L = \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 1&1&0 \\ 1&1&1 \end{bmatrix}$, $U = \begin{bmatrix} 1&1&1 \\ 0&1&1 \\ 0&0&1 \end{bmatrix}$, $b = (4,5,6)$. $Lc = b$ 에서 $c$, $Ux = c$ 에서 $x$ 를 구하라. $A$ 는?
+		- $Lc = b$ 순방향: $c_1 = 4$, $c_1 + c_2 = 5 \Rightarrow c_2 = 1$, $c_1+c_2+c_3 = 6 \Rightarrow c_3 = 1$ → $c = (4,1,1)$.
+		- $Ux = c$ 역방향: $x_3 = 1$, $x_2 = 0$, $x_1 = 3$ → $x = (3, 0, 1)$.
+		- $A = LU = \begin{bmatrix} 1&1&1 \\ 1&2&2 \\ 1&2&3 \end{bmatrix}$ — 방금 한 것이 정확히 이 $A$ 에 대한 순방향 소거 + 역대입이다.
+		- 💡 $LU$ 풀이의 2단계 절차(①$Lc=b$ ②$Ux=c$)를 손에 익히는 표준 문제.
+	- **문제 15** (책 표시: 쉽지만 중요한 문제) — $A$ 가 행 교환 없이 피벗 5, 9, 3을 가질 때, 왼쪽 상단 2×2 부분행렬 $A_2$ 의 피벗은?
+		- $A_2$ 의 피벗은 **5, 9** — 앞의 두 피벗 그대로.
+		- 이유: $A$ 에 대한 소거는 왼쪽 상단 모서리에서 시작하므로, 처음 두 단계가 곧 $A_2$ 에 대한 소거다 ($A_k = L_k U_k$).
+		- 💡 "모서리 부분행렬이 가역이어야 $A=LU$ 가 가능하다"는 본문 조건의 이유를 그대로 체험하는 문제.

pages/2.4 치환행렬과 전치행렬.md

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+deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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+- ### 핵심 개념
+	- **이 절의 요지**: ① 치환행렬 $P$ 는 $I$ 의 행들을 재배열한 것이고 $P^{\mathrm{T}} = P^{-1}$. ② 전치행렬 $A^{\mathrm{T}}$ 는 행과 열을 뒤집으며 $(Ax)^{\mathrm{T}}y = x^{\mathrm{T}}(A^{\mathrm{T}}y)$ 가 본질적 정의. ③ 대칭행렬 $S = S^{\mathrm{T}}$, 그리고 $A^{\mathrm{T}}A$ 는 항상 대칭.
+	- **치환행렬 (permutation matrix) $P$ 의 정확한 형태** 🧩
+		- **모든 행에 1이 하나만 있고, 모든 열에도 1이 하나만 있다. 그 외의 모든 성분은 0.** ($I$ 의 행들을 순서만 바꾼 것.)
+			- 📌 원문 — 정의 (p.105): ((6a635c61-9ba1-4d93-afe4-1ae41d602a26))
+		- **만드는 법**: 원하는 행 순서대로 $I$ 의 행을 재배열한다. 예 — $x = (x_1, x_2, x_3)$ 을 $(x_3, x_1, x_2)$ 로 바꾸고 싶으면, 1행에는 "$x_3$ 을 뽑는" $[0 \ 0 \ 1]$, 2행에는 $[1\ 0\ 0]$, 3행에는 $[0\ 1\ 0]$:
+		- $$P = \begin{bmatrix} 0&0&1 \\ 1&0&0 \\ 0&1&0 \end{bmatrix}, \qquad Px = \begin{bmatrix} x_3 \\ x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$$
+		- 💡 읽는 법: $P$ 의 $i$ 행에서 1이 $j$ 열에 있으면 "결과의 $i$ 번째 성분 = 원래의 $j$ 번째 성분" ($x_j$ 가 $i$ 번째 자리로 이동).
+		- 크기 $n$ 인 치환행렬은 (행 교환이 없는 $P = I$ 를 포함해) 모두 $n!$ 개다. 크기 3이면 $3! = 6$ 개, 크기 4면 24개.
+	- **치환행렬의 성질** (p.106)
+		- 📌 원문 — 성질 ❶~❹ (p.106): [🔗 PDF 위치](((6a635cbe-f6ee-4b77-9981-8d8ef4b101aa)))
+		- ![치환행렬의 성질 (p.106)](../assets/2장_p106_치환행렬의_성질.png)
+		- ❶ $n$ 개의 1이 서로 다른 행과 서로 다른 열에 나타난다.
+		- ❷ $P$ 의 열들은 서로 **직교**한다 (열 사이 내적 = 0).
+		- ❸ 치환행렬의 곱도 치환행렬. 치환행렬의 역행렬도 치환행렬.
+		- ❹ $A$ 가 가역이면, 미리 행 순서를 조정하는 $P$ 가 존재해 소거에서 피벗 0을 만나지 않는다: $PA = LU$.
+		- **가장 중요한 성질**: $P^{\mathrm{T}} = P^{-1}$ — 즉 $P^{\mathrm{T}}P = I$.
+			- 💡 이유: $P^{\mathrm{T}}P$ 의 $(i,j)$ 성분 = ($P$ 의 $i$ 열)·($P$ 의 $j$ 열). 열들이 서로 직교하고 각 열의 길이가 1이므로 대각선만 1, 나머지 0.
+	- **짝수 치환행렬 / 홀수 치환행렬**: $n!$ 개 중 절반은 짝수, 절반은 홀수 — $I$ 에 도달하는 데 필요한 행 교환 횟수의 홀짝.
+		- 📌 원문 — 홀수 치환행렬 (p.106): ((6a635c9c-b2e7-455e-bb1d-347b3cf085bb))
+		- 📌 원문 — 짝수 치환행렬 (p.106): ((6a635ca5-bdb6-4051-9bf7-a45e90b4ebf0))
+		- 예: 단순 행 교환 1번 = 홀수. (1↔4, 2↔3) 두 번 교환 = 짝수.
+	- **$PA = LU$ 분해 — $P$ 를 이용한 행 교환** (p.106~107)
+		- 피벗 자리에 0이 나타나면 행 교환 후 소거를 계속한다. 필요한 모든 행 교환을 모아 **미리** 적용한 것이 $PA = LU$.
+		- 예 (p.107): 2행↔3행을 먼저 바꾸면 $PA$ 는 피벗 0을 만나지 않고 곧장 $LU$ 로 분해된다.
+		- 💡 원래 행렬에 열 $(1,2,3)$ 을 추가로 붙여두면 행 교환이 어떻게 일어났는지 추적된다 (다니엘 드러커의 방법) — 마지막에 그 열을 읽으면 $P$ 를 알 수 있다.
+	- **부분피벗** (partial pivoting) — 반올림 오류를 줄이는 실전 기법
+		- **작은 피벗 값은 (수치적으로) 안전하지 않다.** 좋은 코드는 같은 열에서 아래에 더 큰 수가 있으면 행을 교환해 **가장 큰 수를 피벗으로** 선택한다.
+			- 📌 원문 (p.107): ((6a635d42-c493-49c3-be5e-3a661e755e22))
+		- 각 피벗을 그 아래의 모든 수보다 크게 만들면, $L$ 의 모든 성분(승수)은 1 이하가 된다 → 계산이 안정적.
+			- 📌 원문 (p.107): ((6a635d3f-54ac-451b-9c25-98e20dfdc20f))
+		- ⚠️ 수학적으로는 0만 아니면 피벗이 될 수 있지만, 컴퓨터에서는 **크기**가 중요하다 — "필요한 교환"과 "안전을 위한 교환"을 구분할 것.
+	- **$PAQ$ — 행 치환과 열 치환**: 왼쪽 곱 $PA$ 는 **행** 순서를, 오른쪽 곱 $AQ$ 는 **열** 순서를 바꾼다. 행 6가지 × 열 6가지 = 3×3 행렬 하나에 36개의 서로 다른 $PAQ$.
+	- **전치행렬 (transpose) $A^{\mathrm{T}}$ 의 정확한 형태** 🧩
+		- $A^{\mathrm{T}}$ 의 열은 $A$ 의 행이다. $A$ 가 $m \times n$ 이면 $A^{\mathrm{T}}$ 는 $n \times m$.
+			- 📌 원문 (p.108): ((6a635d89-a3ba-4fb3-b75d-e81aa4884eac))
+		- 성분으로: **$A^{\mathrm{T}}$ 의 $i$ 행 $j$ 열 성분 = $A$ 의 $j$ 행 $i$ 열 성분** — 주대각선을 기준으로 뒤집기.
+		- 📌 원문 — 정의 박스 (p.108): [🔗 PDF 위치](((6a635d90-88e5-4c32-9175-28492d607007)))
+		- ![전치행렬의 정의 (p.108)](../assets/2장_p108_전치행렬_정의.png)
+		- $$(A^{\mathrm{T}})_{ij} = A_{ji} \qquad \text{예: } A = \begin{bmatrix} 1&2&3 \\ 0&0&4 \end{bmatrix} \Rightarrow A^{\mathrm{T}} = \begin{bmatrix} 1&0 \\ 2&0 \\ 3&4 \end{bmatrix}$$
+		- 하삼각행렬의 전치는 상삼각행렬. $(A^{\mathrm{T}})^{\mathrm{T}} = A$.
+	- **전치의 3가지 규칙** (p.109)
+		- 📌 원문 — 식 (3)(4)(5) (p.109): [🔗 PDF 위치](((6a635dad-c297-4f30-a0ba-d41192ce03fa)))
+		- ![전치 규칙 — 합, 곱, 역행렬 (p.109)](../assets/2장_p109_전치_규칙_합곱역행렬.png)
+		- $$(A+B)^{\mathrm{T}} = A^{\mathrm{T}} + B^{\mathrm{T}}, \qquad (AB)^{\mathrm{T}} = B^{\mathrm{T}}A^{\mathrm{T}}, \qquad (A^{-1})^{\mathrm{T}} = (A^{\mathrm{T}})^{-1}$$
+		- ⚠️ 곱의 전치는 **역순** — 역행렬의 $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ 와 같은 패턴. 3개 이상도 $(ABC)^{\mathrm{T}} = C^{\mathrm{T}}B^{\mathrm{T}}A^{\mathrm{T}}$.
+		- $(AB)^{\mathrm{T}} = B^{\mathrm{T}}A^{\mathrm{T}}$ 이해의 출발점: $(Ax)^{\mathrm{T}} = x^{\mathrm{T}}A^{\mathrm{T}}$ — "$Ax$ 는 $A$ 의 열들의 선형결합, $x^{\mathrm{T}}A^{\mathrm{T}}$ 는 $A^{\mathrm{T}}$ 의 행들의 (같은) 선형결합".
+		- $A$ 가 가역이면 $A^{\mathrm{T}}$ 도 가역이다 (규칙 (5)).
+	- **내적과 외적 — 전치 기호로 다시 쓰기** (p.110)
+		- 📌 원문 (p.110): [🔗 PDF 위치](((6a635dea-ea45-4d62-b884-add6072fc4c4)))
+		- ![내적과 외적 (p.110)](../assets/2장_p110_내적과_외적.png)
+		- **내적** $x^{\mathrm{T}}y$: $(1\times n)(n \times 1) = 1 \times 1$ — 수.
+		- **외적** $xy^{\mathrm{T}}$: $(n\times 1)(1 \times n) = n \times n$ — 행렬 (랭크 1).
+		- 응용 예: (일) = 거리와 힘의 내적 $x^{\mathrm{T}}f$, (소모 전력) = 전압강하와 전류의 내적 $e^{\mathrm{T}}y$, (매출) = 수량과 가격의 내적 $q^{\mathrm{T}}p$.
+		- **전치의 더 나은 (본질적) 정의**: $A^{\mathrm{T}}$ 는 다음 두 내적을 같게 만드는 행렬이다.
+			- $$(Ax)^{\mathrm{T}}y = x^{\mathrm{T}}(A^{\mathrm{T}}y) \qquad (Ax \text{ 와 } y \text{ 의 내적}) = (x \text{ 와 } A^{\mathrm{T}}y \text{ 의 내적})$$
+			- 💡 "주대각선 기준 뒤집기"는 계산 규칙일 뿐이고, 이 내적 등식이 $A^{\mathrm{T}}$ 의 수학적 존재 이유다. (p.111 EX2: 미분 $A = \frac{d}{dt}$ 의 전치가 $-\frac{d}{dt}$ 가 되는 부분적분 — [[2.5 미분과 유한차분행렬]]의 반대칭행렬과 연결.)
+	- **대칭행렬 (symmetric matrix) $S$** (p.112)
+		- 이 책에서는 대칭행렬을 $S$ 로 표기한다.
+			- 📌 원문 (p.112): ((6a635e16-6b69-4f07-bce9-1a981454cfa1))
+		- **대칭행렬은 $S^{\mathrm{T}} = S$ 를 만족한다** — 모든 $i, j$ 에 대해 $s_{ji} = s_{ij}$.
+			- 📌 원문 — 정의 (p.112): [🔗 PDF 위치](((6a635e1e-2987-4a0d-a55d-b9a350118393)))
+			- ![대칭행렬의 정의 (p.112)](../assets/2장_p112_대칭행렬_정의.png)
+		- **대칭행렬의 역행렬은 대칭행렬이다**: $(S^{-1})^{\mathrm{T}} = (S^{\mathrm{T}})^{-1} = S^{-1}$.
+			- 📌 원문 (p.112): ((6a635e27-6d8a-4134-8b04-8a987d5b6d32))
+	- **대칭곱 $A^{\mathrm{T}}A$, $AA^{\mathrm{T}}$, $LDL^{\mathrm{T}}$** (p.112~113)
+		- 어떤 (직사각) 행렬 $A$ 든 $S = A^{\mathrm{T}}A$ 는 항상 정사각·대칭이다: $(A^{\mathrm{T}}A)^{\mathrm{T}} = A^{\mathrm{T}}(A^{\mathrm{T}})^{\mathrm{T}} = A^{\mathrm{T}}A$.
+		- ⚠️ $AA^{\mathrm{T}}$ 도 대칭이지만 $A^{\mathrm{T}}A$ 와는 (크기부터) 다른 행렬이다. $A$ 가 $m\times n$ 이면 $AA^{\mathrm{T}}$ 는 $m\times m$, $A^{\mathrm{T}}A$ 는 $n\times n$. $m=n$ 이어도 대부분 $A^{\mathrm{T}}A \neq AA^{\mathrm{T}}$.
+		- **대칭행렬의 $S = LDL^{\mathrm{T}}$ 분해**: 대칭행렬은 소거가 2배 빠르다 (절반만 작업). $LU$ 분해는 대칭성을 깨지만, 피벗들을 대각행렬 $D$ 로 따로 뽑으면 $U = DL^{\mathrm{T}}$ 가 되어 대칭성이 살아난다.
+			- $$S = LDL^{\mathrm{T}} \qquad \text{예: } \begin{bmatrix} 1&2 \\ 2&7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&0 \\ 2&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&2 \\ 0&1 \end{bmatrix}$$
+			- 💡 형태 기억법: 왼쪽에 $L$, 가운데 피벗 대각행렬 $D$, 오른쪽에 $L$ 의 전치. 좌우가 서로 전치라서 전체가 자동으로 대칭.
+- ### ❓ 스스로 점검
+	- 치환행렬의 정확한 형태(성분 배치 규칙)는 무엇이고, 크기 $n$ 에서 몇 개가 존재하는가?
+		- 모든 행에 1이 정확히 하나, 모든 열에도 1이 정확히 하나, 나머지는 전부 0 ($I$ 의 행 재배열). 총 $n!$ 개 ($P=I$ 포함).
+	- $P^{-1}$ 는 무엇이며, 왜 그런가?
+		- $P^{-1} = P^{\mathrm{T}}$. $P$ 의 열들이 서로 직교하는 단위벡터들이라 $P^{\mathrm{T}}P$ 의 대각선은 1, 비대각선은 0이 되기 때문.
+	- $x = (x_1, x_2, x_3)$ 을 $(x_2, x_3, x_1)$ 로 바꾸는 치환행렬 $P$ 를 직접 써라.
+		- 1행은 $x_2$ 를 뽑고, 2행은 $x_3$, 3행은 $x_1$ 을 뽑는다: $P = \begin{bmatrix} 0&1&0 \\ 0&0&1 \\ 1&0&0 \end{bmatrix}$.
+	- $(AB)^{\mathrm{T}}$ 와 $(AB)^{-1}$ 의 공통 패턴은?
+		- 둘 다 **역순**: $(AB)^{\mathrm{T}} = B^{\mathrm{T}}A^{\mathrm{T}}$, $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$.
+	- "주대각선 뒤집기"보다 본질적인 $A^{\mathrm{T}}$ 의 정의는 무엇인가?
+		- 모든 $x, y$ 에 대해 $(Ax)^{\mathrm{T}}y = x^{\mathrm{T}}(A^{\mathrm{T}}y)$ — "$Ax$ 와 $y$ 의 내적 = $x$ 와 $A^{\mathrm{T}}y$ 의 내적"을 성립시키는 행렬.
+	- 아무 직사각행렬 $A$ 에서 대칭행렬을 만드는 두 가지 곱은? 둘은 같은가?
+		- $A^{\mathrm{T}}A$ 와 $AA^{\mathrm{T}}$. 둘 다 대칭이지만 크기($n\times n$ vs $m\times m$)부터 다른, 일반적으로 서로 다른 행렬이다.
+	- 부분피벗은 왜 하는가? 수학적으로 꼭 필요한 행 교환과 어떻게 다른가?
+		- 반올림 오류를 줄이기 위해 같은 열의 가장 큰 수를 피벗으로 선택하는 것 (승수가 전부 1 이하가 됨). 피벗이 0일 때 하는 "필요한" 교환과 달리, 0이 아니어도 **수치 안정성**을 위해 한다.
+- ### ✏️ 연습문제 풀이 (솔루션 참고)
+	- **문제 1** — $A = \begin{bmatrix} 1&0 \\ 9&3 \end{bmatrix}$ 과 $A = \begin{bmatrix} 1&c \\ c&0 \end{bmatrix}$ 에 대해 $A^{\mathrm{T}}, A^{-1}, (A^{-1})^{\mathrm{T}}, (A^{\mathrm{T}})^{-1}$ 를 구하라.
+		- 첫 번째: $A^{\mathrm{T}} = \begin{bmatrix} 1&9 \\ 0&3 \end{bmatrix}$, $A^{-1} = \begin{bmatrix} 1&0 \\ -3&1/3 \end{bmatrix}$, $(A^{-1})^{\mathrm{T}} = (A^{\mathrm{T}})^{-1} = \begin{bmatrix} 1&-3 \\ 0&1/3 \end{bmatrix}$.
+		- 두 번째: $A^{\mathrm{T}} = A$ (대칭!), $A^{-1} = \dfrac{1}{c^2}\begin{bmatrix} 0&c \\ c&-1 \end{bmatrix} = (A^{-1})^{\mathrm{T}}$ — 대칭행렬의 역행렬은 역시 대칭.
+		- 💡 규칙 $(A^{-1})^{\mathrm{T}} = (A^{\mathrm{T}})^{-1}$ 을 손 계산으로 확인하는 기본기 문제.
+	- **문제 9** — $P_1 P_2$ 도 치환행렬이다. $P_1P_2 \neq P_2P_1$ 인 예와 $P_3P_4 = P_4P_3$ 인 예를 제시하라.
+		- 비가환 예: $P_1 = \begin{bmatrix} 0&1&0 \\ 0&0&1 \\ 1&0&0 \end{bmatrix}$ 류의 순환과 단순 교환을 곱하면 순서에 따라 결과가 다르다 (솔루션: $P_1P_2 = \begin{bmatrix} 0&0&1 \\ 0&1&0 \\ 1&0&0 \end{bmatrix} \neq P_2P_1$).
+		- 가환 예: $P_3, P_4$ 가 **서로 다른 두 쌍의 행**을 교환하면 (예: 1↔2 교환과 3↔4 교환) 순서 무관 — $P_3P_4 = P_4P_3$.
+		- 💡 행렬곱의 비가환성이 치환(순서 재배열)의 비가환성과 정확히 대응한다.
+	- **문제 16** — $A = A^{\mathrm{T}}$, $B = B^{\mathrm{T}}$ 일 때 다음 중 대칭행렬은? (a) $A^2 - B^2$ (b) $(A+B)(A-B)$ (c) $ABA$ (d) $ABAB$
+		- 대칭: **(a)** $(A^2-B^2)^{\mathrm{T}} = A^2 - B^2$ ✓, **(c)** $(ABA)^{\mathrm{T}} = A^{\mathrm{T}}B^{\mathrm{T}}A^{\mathrm{T}} = ABA$ ✓.
+		- 비대칭 (일반적으로): (b) 전치하면 $(A-B)(A+B)$ 가 되는데 $AB \neq BA$ 이면 다르다. (d) 전치는 $BABA$.
+		- ⚠️ 대칭행렬끼리의 곱 $AB$ 는 일반적으로 대칭이 **아니다** ($AB = BA$ 일 때만 대칭). 흔한 함정.
+	- **문제 18** — 다음 대칭행렬을 $S = LDL^{\mathrm{T}}$ 로 분해하라: (a) $\begin{bmatrix} 1&3 \\ 3&2 \end{bmatrix}$ (b) $\begin{bmatrix} 1&b \\ b&c \end{bmatrix}$ (c) $\begin{bmatrix} 2&-1&0 \\ -1&2&-1 \\ 0&-1&2 \end{bmatrix}$
+		- (a) $\begin{bmatrix} 1&3 \\ 3&2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&0 \\ 3&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&-7 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&3 \\ 0&1 \end{bmatrix}$ — 피벗 1, $-7$.
+		- (b) 피벗은 $1$ 과 $c - b^2$: $L = \begin{bmatrix} 1&0 \\ b&1 \end{bmatrix}$, $D = \begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&c-b^2 \end{bmatrix}$.
+		- (c) $L = \begin{bmatrix} 1&& \\ -\frac{1}{2}&1& \\ 0&-\frac{2}{3}&1 \end{bmatrix}$, $D = \begin{bmatrix} 2&& \\ &\frac{3}{2}& \\ &&\frac{4}{3} \end{bmatrix}$ — 이 행렬은 [[2.5 미분과 유한차분행렬]]의 $K_3$! 피벗 $2, \frac{3}{2}, \frac{4}{3}$ 이 모두 양수다.
+		- 💡 (c)의 피벗 패턴 $\frac{k+1}{k}$ 은 $K_n$ 의 유명한 성질 — 2.5절의 "K는 양의 정부호" 와 연결.
+	- **문제 19** — 다음 $A$ 의 $PA = LU$ 분해를 구하라: (a) $A = \begin{bmatrix} 0&1&1 \\ 1&0&1 \\ 2&3&4 \end{bmatrix}$ (b) $A = \begin{bmatrix} 1&2&0 \\ 2&4&1 \\ 1&1&1 \end{bmatrix}$
+		- (a) 첫 피벗 자리가 0 → 1행↔2행 교환: $P = \begin{bmatrix} 0&1&0 \\ 1&0&0 \\ 0&0&1 \end{bmatrix}$. 그러면 $PA = \begin{bmatrix} 1&0&1 \\ 0&1&1 \\ 2&3&4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&& \\ 0&1& \\ 2&3&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&0&1 \\ 0&1&1 \\ 0&0&-1 \end{bmatrix}$.
+		- (b) 소거 중 두 번째 피벗 자리가 0이 됨 → 2행↔3행 교환: $P = \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 0&0&1 \\ 0&1&0 \end{bmatrix}$, $PA = \begin{bmatrix} 1&2&0 \\ 1&1&1 \\ 2&4&1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&& \\ 1&1& \\ 2&0&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&2&0 \\ 0&-1&1 \\ 0&0&1 \end{bmatrix}$.
+		- 💡 (a)는 "시작부터 교환 필요", (b)는 "진행 중에 교환 필요" — 두 상황 모두 $P$ 하나로 미리 처리된다는 것이 $PA = LU$ 의 요점.

pages/2.5 미분과 유한차분행렬.md

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+- ### 핵심 개념
+	- **이 절의 목표**: 미분적분학과 선형대수학을 연결하는 것. 핵심 아이디어는 한 문장이다 — **미분방정식은 컴퓨터로 직접 못 푸니, 미분을 "차분"(빼기)으로 근사하면 행렬방정식 $KU = F$ 가 되고, 그건 2장에서 배운 소거법으로 풀 수 있다.**
+		- 💡 전체 흐름 지도 (이것만 잡으면 절 전체가 보인다):
+			- ① 미분 $\dfrac{dy}{dx}$ 를 **차분** $\dfrac{y(x+h)-y(x)}{h}$ 같은 꼴로 근사한다.
+			- ② 2계 미분 $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ 의 근사에서 $1, -2, 1$ 패턴이 나온다.
+			- ③ 이 패턴을 격자점 $N$ 개에 한꺼번에 적용하면 **행렬** $K$ 가 된다.
+			- ④ 미분방정식 $-u'' = f(x)$ 가 연립방정식 $\dfrac{1}{h^2}KU = F$ 로 바뀐다.
+			- ⑤ 경계 조건(끝이 고정인가 자유인가)에 따라 행렬이 $K, T, B$ 세 종류로 갈린다.
+	- **미분이 알려주는 것** (복습): 미분은 한 점 $x$ (또는 한 순간 $t$)에서 무슨 일이 일어나는지 알려준다.
+		- 1계도함수가 양수 → 그래프가 **올라간다** / 2계도함수가 양수 → 그래프가 **위쪽으로 휘어 있다** (기울기가 증가).
+		- ⚠️ "증가/감소"(1계)와 "위로 휨/아래로 휨"(2계)은 다른 정보다. 예: $y = x^2$ 은 $x<0$ 에서 감소하지만 어디서나 위로 휜다 ($y'' = 2 > 0$).
+	- **차분 (difference)** — 미분의 근사. 한 점이 아니라 **두 점** $x$ 와 $x+h$ 를 쓴다. 3가지 중요한 사실 (p.118):
+		- ❶ $\Delta y = y(x+h) - y(x)$ 는 대략 $h \times \dfrac{dy}{dx}$ 이다.
+		- ❷ 더 좋은 근사: $\Delta y \approx h\dfrac{dy}{dx} + \dfrac{1}{2}h^2\dfrac{d^2y}{dx^2}$ (2계도함수 항으로 보정).
+		- ❸ 정확한 값: $\Delta y = \displaystyle\int_x^{x+h} \frac{dy}{dx}\,dx$.
+		- 💡 ❶은 접선(1차 근사), ❷는 접하는 포물선(2차 근사). 기하적으로: 접선을 따라가다 $\frac{1}{2}h^2 y''$ 만큼 더 휘어주는 것.
+	- **테일러 급수** (Taylor series): 위 근사를 무한히 계속한 것 — 모든 항은 $\dfrac{h^n}{n!} \times \left(n\text{계도함수}\right)$.
+		- $$y(x+h) = y(x) + h\,y'(x) + \frac{1}{2}h^2 y''(x) + \cdots + \frac{1}{n!}h^n y^{(n)}(x) + \cdots$$
+		- $y = e^x$ 같은 함수는 모든 점에서 수렴(해석함수). $y = \frac{1}{1-x}$ 은 $|x| < 1$ 에서만 수렴 — $x=1$ 은 **극점**(pole)이라는 특이점.
+		- 💡 이 절에서 테일러 급수의 용도: 아래 차분 공식들의 **오차가 몇 차인지**($h$ 몇 제곱에 비례해 줄어드는지) 판정하는 도구.
+	- **1계 미분의 3가지 차분 근사** — 전진·후진·중심 (p.120~121)
+		- 출발점: 테일러 전개를 $+h$ 와 $-h$ 에 대해 쓴다.
+			- $$y(x+h) - y(x) \approx h\frac{dy}{dx} + \frac{1}{2}h^2\frac{d^2y}{dx^2} \tag{2a}$$
+			- $$y(x-h) - y(x) \approx -h\frac{dy}{dx} + \frac{1}{2}h^2\frac{d^2y}{dx^2} \tag{2b}$$
+		- **전진차분** (forward): $\dfrac{y(x+h) - y(x)}{h}$ — 오차 $O(h)$, **1차 정확도**.
+		- **후진차분** (backward): $\dfrac{y(x) - y(x-h)}{h}$ — 오차 $O(h)$, **1차 정확도**.
+		- **중심차분** (centered): (2a)−(2b) 를 $2h$ 로 나누면 $\frac{1}{2}h^2 y''$ 항이 **상쇄**된다:
+			- $$\frac{y(x+h) - y(x-h)}{2h} \approx \frac{dy}{dx} \qquad \text{— 오차 } O(h^2), \ \textbf{2차 정확도}$$
+		- 💡 중심차분이 좋은 이유: 전진과 후진의 평균이라 $\pm$ 대칭으로 오차의 첫 항이 지워진다. $h = 0.01$ 이면 1차 정확도는 오차 ~1%, 2차 정확도는 ~0.01% — 공짜로 100배 좋아진다.
+		- ⚠️ 부호와 분모 주의: 중심차분의 분모는 $h$ 가 아니라 $2h$ (두 점 사이 거리가 $2h$).
+	- **2차차분 — $1, -2, 1$ 패턴의 탄생** (p.120 식 (4))
+		- (2a)+(2b) 를 $h^2$ 으로 나누면 1계 항이 상쇄되고 2계도함수의 근사가 나온다:
+			- $$\frac{y(x+h) - 2y(x) + y(x-h)}{h^2} \approx \frac{d^2y}{dx^2}$$
+		- 분자의 계수가 바로 $1, -2, 1$ — 이 패턴 하나가 이 절의 행렬 $K, T, B$ 전부의 씨앗이다.
+		- 💡 직관: 2계도함수 = "양옆 평균과 자신의 차이". $y(x)$ 가 양옆 평균 $\frac{y(x+h)+y(x-h)}{2}$ 보다 작으면 위로 휜 것(양수).
+	- **미분방정식 → 행렬방정식**: $-\dfrac{d^2u}{dx^2} = f(x)$ 를 격자에서 풀기 (p.122)
+		- 설정: 구간 $[0,1]$ 을 격자 간격 $h = \frac{1}{N+1}$ 로 나눈다. 내부 격자점은 $x_1 = h, \cdots, x_N = Nh$ 의 $N$ 개. **경계점 $x_0 = 0$, $x_{N+1} = 1$ 에서는 $u=0$ 으로 고정** ($u_0 = 0, u_{N+1} = 0$).
+		- 각 격자점마다 2차차분 방정식 하나: $\dfrac{-u_{i-1} + 2u_i - u_{i+1}}{h^2} = f(ih)$ → $N$ 개의 방정식을 **하나의 행렬방정식**으로:
+			- $$\frac{1}{h^2}KU = F \qquad (N=4): \quad \frac{1}{h^2}\begin{bmatrix} 2&-1&0&0 \\ -1&2&-1&0 \\ 0&-1&2&-1 \\ 0&0&-1&2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} u_1\\u_2\\u_3\\u_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} f(h)\\f(2h)\\f(3h)\\f(4h) \end{bmatrix}$$
+		- 미지수 $u_1, \cdots, u_N$ 은 정확한 해 $u(h), \cdots, u(Nh)$ 의 근삿값.
+		- ⚠️ 1행이 $[2 \ -1 \ 0 \ 0]$ 로 "잘려" 있는 이유: 원래 패턴은 $-u_0 + 2u_1 - u_2$ 인데 경계 조건 $u_0 = 0$ 이라 그 항이 사라진 것. 마지막 행도 $u_5 = 0$ 때문에 같은 방식으로 잘린다. **행렬의 첫/끝 행은 경계 조건이 새겨진 자리다.**
+	- **$K_n$ 의 정확한 형태** 🧩 (고정–고정 경계, 2차차분행렬)
+		- **주대각선은 전부 $2$, 주대각선 바로 위·아래의 대각선은 전부 $-1$, 그 외는 전부 $0$.**
+		- $$K_{ii} = 2, \qquad K_{i,i+1} = K_{i+1,i} = -1, \qquad \text{나머지 } 0$$
+		- 💡 부호가 $-1, 2, -1$ 인 이유: 근사하는 대상이 $+\dfrac{d^2u}{dx^2}$ 가 아니라 $-\dfrac{d^2u}{dx^2}$ 이기 때문 (물리 문제에서 $-u''$ 꼴이 표준이라 부호를 반대로 뒤집은 것).
+	- **$K$ 의 5가지 성질** (p.122~124) — 눈에 보이는 3가지 + 숨은 2가지
+		- ❶ **대칭행렬**이다: $K_{ij} = K_{ji}$, $K^{\mathrm{T}} = K$.
+		- ❷ **밴드가 있다** (삼중대각행렬, tridiagonal): 0이 아닌 성분이 주대각선 주변 3개 대각선에만 → **희소행렬** (sparse). $N = 100$ 이면 0 아닌 성분은 $100+99+99$ 개, 전체의 3% 미만. 소거가 매우 빠르다.
+		- ❸ **대각선 위의 수가 일정하다** (위치 불변 / 시불변): 미분방정식의 계수가 상수이기 때문. 이런 행렬을 **필터**, **합성곱 행렬** (convolution matrix), 정확한 용어로 **퇴플리츠 행렬** (Toeplitz matrix)이라 한다. MATLAB: `K = toeplitz([2 -1 0 0])`.
+		- ❹ **가역행렬이다**: $K_4^{-1} = \frac{1}{5}\begin{bmatrix} 4&3&2&1 \\ 3&6&4&2 \\ 2&4&6&3 \\ 1&2&3&4 \end{bmatrix}$.
+			- ⚠️ $K^{-1}$ 는 대칭이긴 하지만 삼중대각도, 희소도 아니다 (모든 성분이 0이 아님!). 역행렬을 실제로 계산하는 대신 $KU = F$ 를 소거법으로 푼다 (MATLAB `U = K\F`) — 2.3절의 교훈 그대로.
+		- ❺ **양의 정부호** (positive definite)이다: $n$ 개의 피벗이 **모두 양수**. (6장에서 정식으로 다룰 개념의 예고편.)
+			- 피벗 기준 정리: 가역행렬 = 0 아닌 피벗 $n$ 개 / 대칭 + 양의 정부호 = **양의** 피벗 $n$ 개 / 대칭 + 양의 준정부호(semidefinite) = **음이 아닌** 피벗 $n$ 개.
+			- 💡 $K$ 의 피벗은 $2, \frac{3}{2}, \frac{4}{3}, \frac{5}{4}, \cdots$ (모두 양수) — [[2.4 치환행렬과 전치행렬]] 연습문제 18(c)에서 직접 계산했다.
+	- **경계 조건이 바뀌면 행렬이 바뀐다 — $K, T, B$ 삼형제** 🧩
+		- 상황: 스프링으로 연결된 3개의 질량. **끝이 벽에 고정되었는가, 자유로운가**가 유일한 차이다.
+		- ![그림 2.3 — K는 고정-고정, T는 자유-고정, B는 자유-자유 (p.126)](../assets/2장_p126_그림2-3_스프링모델_KTB.png)
+			- (p.126, 그림 2.3)
+		- **$K_n$ (고정–고정)**: 양 끝 모두 벽에 고정. 위에서 본 그대로 — 대각 $2, 2, \cdots, 2$.
+		- **$T_n$ (자유–고정)**: 위 끝 자유, 아래 끝 고정. **$K$ 에서 $(1,1)$ 성분 하나만 $2 \to 1$ 로** 바뀐다.
+			- $$T_4 = \begin{bmatrix} \mathbf{1}&-1&0&0 \\ -1&2&-1&0 \\ 0&-1&2&-1 \\ 0&0&-1&2 \end{bmatrix}$$
+			- 1행의 $1, -1$ 은 **자유 경계 조건** $\frac{du}{dx} = 0$ 을 나타낸다.
+			- $T$ 는 주대각선이 일정하지 않으므로 더 이상 퇴플리츠 행렬이 아니지만, 여전히 **양의 정부호**다 (모든 피벗이 1).
+			- $T$ 의 아름다운 분해: $T = LL^{\mathrm{T}}$ ($L$ = 후진차분행렬). $L^{-1}, U^{-1}, T^{-1}$ 모두 1로 채워진 삼각형/사각형 꼴 (p.125 식 (12)).
+		- **$B_n$ (자유–자유)**: 양 끝 모두 자유. **$K$ 에서 $(1,1)$ 과 $(n,n)$ 둘 다 $2 \to 1$ 로** 바뀐다.
+			- $$B_3 = \begin{bmatrix} \mathbf{1}&-1&0 \\ -1&2&-1 \\ 0&-1&\mathbf{1} \end{bmatrix}$$
+			- **$B$ 는 특이행렬(비가역)이다!**
+		- 🧩 **형태 비교 요약** (복습용): 셋 다 삼중대각·대칭이고 비대각은 $-1$. 차이는 오직 대각선의 **양 끝**:
+			- $K$: 대각 $(2, 2, \cdots, 2, 2)$ — 가역, 양의 정부호
+			- $T$: 대각 $(1, 2, \cdots, 2, 2)$ — 가역, 양의 정부호
+			- $B$: 대각 $(1, 2, \cdots, 2, 1)$ — **비가역**, 양의 준정부호
+	- **$B$ 가 특이행렬인 이유** — 두 가지 관점 (p.125~126)
+		- **대수적**: $B$ 의 **모든 행의 합이 0** → $x = (1, 1, \cdots, 1)$ 에 대해 $Bx = 0$. 영벡터가 아닌 해가 있으므로 비가역 (2.2절 특징 ④). 모든 상수벡터 $x = (c, c, \cdots, c)$ 가 $Bx = 0$ 을 만족하며, 이들이 $B$ 의 **영공간** (null space)을 이룬다.
+			- 증명 한 줄: $B$ 가 가역이라 가정하면 $Bx = 0$ 의 양변에 $B^{-1}$ 를 곱해 $x = 0$ — 모순.
+		- **물리적**: 양 끝이 다 자유이면 지지대가 없어서, 전체를 **통째로 평행이동**해도 스프링이 전혀 안 늘어난다 (= 힘 0). "위치를 유일하게 결정할 수 없음" = "해가 유일하지 않음" = 특이행렬.
+			- 💡 반면 $K, T$ 는 벽이 하나라도 있으므로 위치가 고정된다 → 가역. 그림 2.3에서 무게 $W$ 를 달았을 때 $K_3, T_3$ 는 균형 해가 있지만 $B_3$ 는 없다 (p.126 식 (14)).
+	- **차분행렬로 보는 구조** (연습문제 15~16의 관점)
+		- 1계 차분들도 행렬로 쓸 수 있다: 전진차분행렬 $A_0$ (각 행이 $-1, 1$ 패턴), 후진차분행렬 $L$ (각 행이 $-1, 1$ 을 아래로).
+		- 2차차분행렬은 1계 차분행렬의 곱으로 나온다: $B = A_0^{\mathrm{T}}A_0$, $T = A_1^{\mathrm{T}}A_1$, $K = A_2^{\mathrm{T}}A_2$ (열을 제거해가며) — [[2.4 치환행렬과 전치행렬]]의 "$A^{\mathrm{T}}A$ 는 항상 대칭" 원리로 $K, T, B$ 의 대칭성이 자동으로 설명된다.
+		- 💡 미분의 세계와 평행: $-\dfrac{d^2}{dx^2} = \left(-\dfrac{d}{dx}\right)\left(\dfrac{d}{dx}\right)$ 이고 $\dfrac{d}{dx}$ 의 전치가 $-\dfrac{d}{dx}$ (부분적분, p.111 EX2) 라는 사실의 이산 버전.
+- ### ❓ 스스로 점검
+	- 전진차분·후진차분·중심차분의 식을 각각 쓰고, 정확도가 몇 차인지 말하라. 왜 중심차분만 2차인가?
+		- 전진 $\frac{y(x+h)-y(x)}{h}$, 후진 $\frac{y(x)-y(x-h)}{h}$ — 둘 다 1차 ($O(h)$ 오차). 중심 $\frac{y(x+h)-y(x-h)}{2h}$ — 2차 ($O(h^2)$). 중심차분은 전진·후진의 평균이라 테일러 전개의 $\frac{1}{2}h^2y''$ 오차항이 좌우 대칭으로 상쇄되기 때문.
+	- 2계도함수의 차분 근사식과 그 계수 패턴은?
+		- $\frac{y(x+h) - 2y(x) + y(x-h)}{h^2} \approx y''(x)$ — 계수 패턴 $1, -2, 1$. ($-y''$ 를 근사하면 $-1, 2, -1$.)
+	- $K_4$ 를 아무것도 안 보고 써라. 첫 행이 $[2 \ -1 \ 0 \ 0]$ 으로 "잘린" 이유는?
+		- 대각 2, 양옆 대각 $-1$, 나머지 0. 첫 행의 원래 패턴 $-u_0 + 2u_1 - u_2$ 에서 고정 경계 조건 $u_0 = 0$ 이 $-u_0$ 항을 지웠기 때문.
+	- $K$ 의 5가지 성질은? 그중 눈에 바로 안 보이는 것은?
+		- 대칭 / 삼중대각(밴드·희소) / 대각선 일정(퇴플리츠) / 가역 / 양의 정부호. 눈에 안 보이는 것은 가역성과 양의 정부호 (피벗을 계산해야 안다).
+	- $K, T, B$ 는 정확히 어디가 다른가? 각각의 경계 조건과 가역성은?
+		- 대각선 양 끝만 다르다. $K$: $(2,\cdots,2)$ 고정–고정, 가역. $T$: $(1,2,\cdots,2)$ 자유–고정, 가역. $B$: $(1,2,\cdots,2,1)$ 자유–자유, **비가역**.
+	- $B_3 x = 0$ 의 영벡터가 아닌 해를 하나 대고, 물리적으로 무엇을 의미하는지 설명하라.
+		- $x = (1,1,1)$ (모든 상수벡터). 양 끝이 자유라 전체를 통째로 평행이동해도 스프링이 늘지 않는다는 뜻 — 위치가 유일하게 결정되지 않으므로 특이행렬.
+	- 미분방정식 $-u'' = f(x)$ 가 어떻게 $\frac{1}{h^2}KU = F$ 가 되는가? $U$ 와 $F$ 의 성분은 무엇인가?
+		- 구간을 $h = \frac{1}{N+1}$ 격자로 나누고 각 내부 격자점에서 $-u''$ 를 2차차분 $\frac{-u_{i-1}+2u_i-u_{i+1}}{h^2}$ 로 근사하면 $N$ 개의 선형방정식이 된다. $U = (u_1, \cdots, u_N)$ 은 해의 근삿값들, $F = (f(h), \cdots, f(Nh))$ 는 우변 함수값들.
+- ### ✏️ 연습문제 풀이 (솔루션 참고)
+	- **문제 1** — $y(x) = x^3$, $\Delta y = (x+h)^3 - x^3$ 의 1차항과 2차항을 구하고 $h\frac{dy}{dx}$, $\frac{1}{2}h^2\frac{d^2y}{dx^2}$ 와 일치함을 보여라.
+		- 전개: $(x+h)^3 - x^3 = 3x^2h + 3xh^2 + h^3$.
+		- 1차항 $3x^2 h = h \cdot (3x^2) = h\frac{dy}{dx}$ ✓, 2차항 $3xh^2 = \frac{1}{2}h^2 \cdot (6x) = \frac{1}{2}h^2\frac{d^2y}{dx^2}$ ✓.
+		- 💡 테일러 급수의 처음 두 항이 "저절로" 나오는 것을 다항식으로 직접 확인 — 차분↔미분 연결의 가장 구체적인 체험.
+	- **문제 7** — $y(x) = x^3$, $h = \frac{1}{10}$, $x = 0$ 에서 중심·전진·후진차분으로 $\frac{dy}{dx}$ 를 근사하라. (참값: $y'(0) = 0$)
+		- 중심: $\dfrac{(0.1)^3 - (-0.1)^3}{0.2} = \dfrac{0.002}{0.2} = \dfrac{1}{100}$. 전진: $\dfrac{(0.1)^3 - 0}{0.1} = \dfrac{1}{100}$. 후진: $\dfrac{0 - (-0.1)^3}{0.1} = \dfrac{1}{100}$.
+		- 참값 0에 대해 셋 다 오차 $\frac{1}{100}$ — **우연히** 모두 같다 ($x=0$ 에서 $y''=0$ 이라 1차 오차항이 사라졌기 때문).
+		- 💡 이어지는 문제 8이 진짜 핵심: $y(h) \approx y(0) + h y'(0) + \frac{1}{2}h^2 y''(0)$ 을 세 공식에 대입하면 — 중심차분은 $h^2$ 항까지 정확하고, 전진은 $+\frac{1}{2}h\,y''(0)$, 후진은 $-\frac{1}{2}h\,y''(0)$ 의 오차를 갖는다. "2차 vs 1차 정확도"의 증명이 이 한 줄이다.
+	- **문제 16** — $D_4 = \begin{bmatrix} 1&-1&0&0 \\ 0&1&-1&0 \\ 0&0&1&-1 \\ -1&0&0&1 \end{bmatrix}$ 일 때 $D_4 D_4^{\mathrm{T}}$ 가 2차차분행렬임을 보여라. $D_4$ 는 가역인가?
+		- $D_4 D_4^{\mathrm{T}} = \begin{bmatrix} 2&-1&0&-1 \\ -1&2&-1&0 \\ 0&-1&2&-1 \\ -1&0&-1&2 \end{bmatrix} = C_4$ — 대각 2, 옆 대각 $-1$ 에 더해 **모서리 $(1,4), (4,1)$ 에도 $-1$** 이 있는 **주기적(순환) 2차차분행렬**.
+		- $C_4$ 는 비가역: 모든 행의 합이 0 → $x = (1,1,1,1)$ 이 $C_4 x = 0$. ($D_4$ 자체도 행 합이 0이라 비가역.)
+		- 💡 $K, T, B$ 에 이어 네 번째 경계 조건 — **주기 경계** (원형으로 연결). 이것도 $B$ 처럼 "묶인 곳이 없어서" 특이행렬이 된다.
+	- **문제 18** — 1차 중심차분행렬은 가역이 아닐 수 있다. $\Delta_3 = \begin{bmatrix} 0&1&0 \\ -1&0&1 \\ 0&-1&0 \end{bmatrix}$ 과 $\Delta_4$ 로 확인하라.
+		- $\Delta_3$: 3열 $= -($ 1열 $)$ — 열이 선형종속이라 **비가역**. ($\Delta_3 x = 0$ 의 해: $x = (1, 0, 1)$.)
+		- $\Delta_4$ (4×4 중심차분행렬)는 4개의 열이 선형독립 — **가역**.
+		- 💡 중심차분행렬은 **홀수 크기면 특이, 짝수 크기면 가역** — 크기의 홀짝이 가역성을 가르는 흥미로운 예. (또한 $\Delta^{\mathrm{T}} = -\Delta$ 인 **반대칭행렬** — 미분 $\frac{d}{dx}$ 의 전치가 $-\frac{d}{dx}$ 라는 p.111 EX2의 이산 버전.)

pages/2장 선형방정식 Ax = b 풀기.md

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 deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
 
-- ![2장 선형방정식 Ax = b 풀기.pdf](../assets/2장_선형방정식_Ax_=_b_풀기_1784805780272_0.pdf)
+- ![2장 선형방정식 Ax = b 풀기.pdf](../assets/2장_선형방정식_Ax_=_b_풀기_1784805780272_0.pdf)
+- ## 챕터 서론
+	- 이 장에서 다루는 행렬은 $n \times n$ **정사각행렬**이다. $Ax = b$ 는 ($A$ 의 각 행으로부터 얻는) $n$ 개의 방정식으로 이루어지고, $x$ 에는 $n$ 개의 미지수가 있다.
+		- 📌 원문 (p.72): ((6a63583b-0acd-445d-8434-975ef195f8eb))
+	- 대부분의 경우 각 $b$ 에 대해 단 하나의 해 $x$ 가 존재하며, 이때 $A^{-1}A = I$, $AA^{-1} = I$ 를 만족하는 **역행렬** $A^{-1}$ 가 존재한다. 그러면 $x = A^{-1}b$.
+	- ⚠️ 그러나 이 장의 목표는 해 $x$ 를 찾는 것이지 $A^{-1}$ 를 직접 계산하는 것이 **아니다**. 실제 풀이는 소거법이다:
+		- $Ax = b$ → (소거법) → 상삼각 연립방정식 $Ux = c$ → (역대입법) → $x$.
+	- **이 장의 핵심 문장**: 행렬 $A$ 에서 시작하여 $A \to EA = U \to A = E^{-1}U = LU \to x$ 까지의 모든 단계에 대해 설명하는 것이다.
+		- 📌 원문 (p.72): ((6a63587a-1888-4607-8afd-f0e5a1073965))
+	- **이 장의 주요 행렬들** (p.72 표):
+		- 계수행렬 $A$ / 상삼각행렬 $U$ / 하삼각행렬 $L$
+		- 소거행렬 $E_{ij}$ / 전체소거행렬 $E$ / 역행렬 $A^{-1}$
+		- 치환행렬 $P$ / 전치행렬 $A^{\mathrm{T}}$ / 대칭행렬 $S = S^{\mathrm{T}}$
+		- 💡 새 행렬이 많이 등장하는 장이다. 각 행렬의 **정확한 형태**(어느 행 어느 열에 무엇이 들어가는지)는 소단원 페이지의 🧩 표시 블록에 정리해뒀다 — $E_{ij}$·$L$ 은 2.2절, $P$·$A^{\mathrm{T}}$·$S$ 는 2.4절, $K$·$T$·$B$ 는 2.5절.
+	- 소거 과정은 모든 계산 과학 분야에서 가장 많은 비용을 초래하는 연산이며, 2.5절에서는 계산 과학에서 쓰이는 차분행렬을 소개한다.
+- ## 소단원
+	- [[2.1 소거법과 역대입법]]
+	- [[2.2 소거행렬과 역행렬]]
+	- [[2.3 행렬 계산과 A = LU]]
+	- [[2.4 치환행렬과 전치행렬]]
+	- [[2.5 미분과 유한차분행렬]]
+- ## 2장에 대한 고찰
+	- 2장의 내용은 아주 유용하고 실용적이다 — 정사각 가역행렬에 대해 $Ax = b$ 를 해결할 수 있게 되었다.
+	- **$A^{-1}$ 에 대해 기억할 것**: $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$, $x = A^{-1}b$. 그러나 **역행렬은 거의 계산하지 않는다** — $A^{-1}$ 를 구해서 곱하는 $A^{-1}b$ 는 시간이 많이 들고 불필요하다.
+	- **실제 해법은 상삼각행렬 $U$**: $Ux = c$ 의 $n$ 번째 방정식 $u_{nn}x_n = c_n$ 부터 위로 올라가며 푼다 (역대입법). $A \to U$ 에 약 $\frac{n^3}{3}$ 단계, 이후 역대입으로 $x = U^{-1}c = A^{-1}b$.
+	- **아름다운 공식 $A = LU$**: $L$ 은 승수 $\ell_{ij}$ 들의 하삼각행렬, $U$ 는 소거가 만드는 상삼각행렬. 유일하게 불행한 경우는 피벗 $u_{ii}$ 가 0이거나 작을 때 — 이때는 행 교환 ($PA = LU$).
+	- **2장의 행렬 아이디어 지도** (p.130):
+		- 역행렬 계열 — 상삼각 $U$, 소거행렬 $E$, 전치 $A^{\mathrm{T}}$, $A = LU$ 분해
+		- 특이행렬 계열 — 하삼각 $L$, 치환행렬 $P$, 대칭행렬 $S = S^{\mathrm{T}}$, $S = LDL^{\mathrm{T}}$ 분해
+		- 유한차분행렬 계열 — 중심·전진·후진차분, 2차차분행렬 $K, T, B$, 고정 끝·자유 끝
+	- $n \times n$ 가역행렬은 열공간 $\mathbb{R}^n$ 과 행공간 $\mathbb{R}^n$ 을 갖는다 — 열도 행도 선형독립. 3장에서는 (정사각·가역에 국한하지 않고) **모든 행렬**을 허용하며, 이에 따라 새로운 아이디어가 필요해진다.
+	- 💡 **2장 전체를 꿰는 한 줄 요약**: "소거법은 행렬곱이다" — 소거의 매 단계를 $E_{ij}$ 로, 행 교환을 $P$ 로, 전체 과정을 $A = LU$ (또는 $PA = LU$)로 기록할 수 있고, 이 분해가 $Ax = b$ 풀이의 실체다.

pages/hls__2장_선형방정식_Ax_=_b_풀기_1784805780272_0.md

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 file:: [2장_선형방정식_Ax_=_b_풀기_1784805780272_0.pdf](../assets/2장_선형방정식_Ax_=_b_풀기_1784805780272_0.pdf)
 file-path:: ../assets/2장_선형방정식_Ax_=_b_풀기_1784805780272_0.pdf
+
+- Ar= b 는 ( 행렬 A 의 각 행으로부터 얻는) 개의 방정식 으로 이루어진다.
+  ls-type:: annotation
+  hl-page:: 2
+  hl-color:: yellow
+  id:: 6a63583b-0acd-445d-8434-975ef195f8eb
+- 행렬 A에서 시작하여 A → EA = U → •A = E -1U=LU → x 까지의 모든 단계 에 대해 설명 하는 것이다
+  ls-type:: annotation
+  hl-page:: 2
+  hl-color:: yellow
+  id:: 6a63587a-1888-4607-8afd-f0e5a1073965
+- Az= b를 만족 하는 벡터1 x= (x1,x2, I) 은 존재 하지 않을 수도 , 정확히 하나 존재할 수도 , 무수히 많이 존재할 수도있다
+  ls-type:: annotation
+  hl-page:: 3
+  hl-color:: yellow
+  id:: 6a635899-c408-42a9-9318-f6f0e374099b
+- Azb의 해가 하나만 존재하는 경우
+  ls-type:: annotation
+  hl-page:: 3
+  hl-color:: yellow
+  id:: 6a6358b6-1d2d-491f-b86f-279eef0f8106
+- 행렬 A의 모든 열 은 선형 독립이다.
+  ls-type:: annotation
+  hl-page:: 3
+  hl-color:: yellow
+  id:: 6a6358bc-2c18-4de7-8d19-899ebf887595
+- Ax =b의 해 가 존재 하지 않는 경우
+  ls-type:: annotation
+  hl-page:: 3
+  hl-color:: yellow
+  id:: 6a6358c9-2452-478b-a285-a1550da448b6
+- 벡터 b 는 행렬 A의 열 들의 선형 결합 이 아니다. 즉 벡터 b 는 행렬 A 의 열 공간 안에없다 .
+  ls-type:: annotation
+  hl-page:: 3
+  hl-color:: yellow
+  id:: 6a6358cf-5970-4a60-b17d-a8fabcac1326
+- Azb 의 해가 무수히 많이 존재하는 경우 ( 행렬 A의 열이 선형 독립이 아닐 때, AX= 0해 는 무수히 많음 )
+  ls-type:: annotation
+  hl-page:: 4
+  hl-color:: yellow
+  id:: 6a6358dc-6020-4de7-9d27-aa98fbed0c17
+- 이 경우는 행렬 A의 열 이 선형종속임을 의미한다 
+  ls-type:: annotation
+  hl-page:: 4
+  hl-color:: yellow
+  id:: 6a6358df-a0cf-4682-aa0a-ba602d25ac6f
+- 행렬 U 의 문자 U는 상삼각 행렬 을 의미 한다
+  ls-type:: annotation
+  hl-page:: 5
+  hl-color:: yellow
+  id:: 6a6358ff-65bf-4fe7-bd3d-6626eea5a9d3
+- 행렬 U의 주 대각선에 있는 피벗 ( pivot)
+  ls-type:: annotation
+  hl-page:: 5
+  hl-color:: yellow
+  id:: 6a635906-6764-4b87-8597-bd485f29e316
+- 숫자 0 은 피벗이 될 수 없다
+  ls-type:: annotation
+  hl-page:: 5
+  hl-color:: yellow
+  id:: 6a635913-a4e3-41b8-850a-a4cb798a9822
+- 선형독립 인 열 을 가진 , 즉 랭크가 "인 " X" 정사각행렬 A 는 0이 아닌 피벗 을 가진 상 삼각행렬로 유도 될 수 있다 .
+  ls-type:: annotation
+  hl-page:: 5
+  hl-color:: yellow
+  id:: 6a635920-6b46-4cc7-a4ca-0d1c6680a87c
+- 소거행렬
+  ls-type:: annotation
+  hl-page:: 6
+  hl-color:: yellow
+  id:: 6a635932-a78c-4087-a764-e7eaabae9f9f
+- 행렬 A 와 U 는 최대 랭크 (full rank ) 를 갖는다 .
+  ls-type:: annotation
+  hl-page:: 6
+  hl-color:: yellow
+  id:: 6a63593b-eed9-4165-9f02-f373ab970fe5
+- 이 피벗 위치에 나타날 수도 있다.
+  ls-type:: annotation
+  hl-page:: 7
+  hl-color:: yellow
+  id:: 6a635966-e526-4fab-9966-1f4e8a99f80a
+- 이 문제를 해결하는 방법 은 간단 하다. 0 을 포함한 2행 과 5를 포함한 3 행 을 교환 
+  ls-type:: annotation
+  hl-page:: 7
+  hl-color:: yellow
+  id:: 6a635975-3d7c-4ce9-b4f8-121edf2767a1
+- 열이 선형 종속인경우 , 피벗 위치에 0 이 반드시 생긴다 . 
+  ls-type:: annotation
+  hl-page:: 7
+  hl-color:: yellow
+  id:: 6a6359a0-b6ca-49c8-96de-8356dc3768f1
+- 상삼각행렬 U는 주대각선 에 0 이 없을 때, 정확히 최대 랭크 를 갖는다 
+  ls-type:: annotation
+  hl-page:: 8
+  hl-color:: yellow
+  id:: 6a6359ac-a058-4293-8ab6-40ab10e442de
+- 특이행렬 (singular 
+  ls-type:: annotation
+  hl-page:: 8
+  hl-color:: yellow
+  id:: 6a6359f4-8a2c-4afe-a644-3ce58b755ed4
+- 벡터 b를 행렬 A의 추가 열로 포함하는 것이다. 이와 같은 행렬 [A 이를첨가 행렬(augmented matrix)이라 한다.
+  ls-type:: annotation
+  hl-page:: 10
+  hl-color:: yellow
+  id:: 6a635a13-2cdb-43dd-aebd-0e552945d649
+- 치환 행렬 P 
+  ls-type:: annotation
+  hl-page:: 10
+  hl-color:: yellow
+  id:: 6a635a1e-3810-4cd9-84fa-42fa382e865f
+- 모든 소거법 단계는 행렬 곱으로 수행 할 수 있다 .
+  ls-type:: annotation
+  hl-page:: 15
+  hl-color:: yellow
+  id:: 6a635a7c-c085-49d0-a491-a38760e0de17
+- 기본 소거 단계는 방정식 에서 방정식 에 ℓ를 곱한 것을 빼는 것이다 
+  ls-type:: annotation
+  hl-page:: 15
+  hl-color:: yellow
+  id:: 6a635a84-07f5-42f7-a189-5e34759ed1ba
+- E의 역행렬 은 행 에 ( j행) xl」 를 더하는 것
+  ls-type:: annotation
+  hl-page:: 16
+  hl-color:: yellow
+  id:: 6a635aa6-fc5b-4d1b-af7e-ce34f3a3dff2
+- 렬 E의 역행렬 을 특별히 L이라 한다
+  ls-type:: annotation
+  hl-page:: 16
+  hl-color:: yellow
+  id:: 6a635aae-3105-49ae-957b-172c4c5d0005
+- "X" 정사각 행렬 A의 역행렬이 존재하려면 " 개의 선형독립인 열이 있어야 한다. 
+  ls-type:: annotation
+  hl-page:: 16
+  hl-color:: yellow
+  id:: 6a635ac0-7401-4a3b-8494-97d3151d2c6c
+- 가역행렬
+  ls-type:: annotation
+  hl-page:: 16
+  hl-color:: yellow
+  id:: 6a635acb-6851-4e14-8586-6014d2be98b5
+- 모든 행렬이 역행렬을 갖는 것은 아니다.
+  ls-type:: annotation
+  hl-page:: 17
+  hl-color:: yellow
+  id:: 6a635ad8-3d2e-4392-a37b-c22c8b0de35d
+- 행렬이 가역 행렬 이려면 이 행렬 의 열들이 선형독립 이어야 한다 .
+  ls-type:: annotation
+  hl-page:: 17
+  hl-color:: yellow
+  id:: 6a635adc-5c08-46ed-905c-6fef78d87284
+- 역행렬이 존재할 필요충분조건 은 소거법에서 2 개의 피벗이 생기는 것
+  ls-type:: annotation
+  hl-page:: 17
+  hl-color:: yellow
+  id:: 6a635ae3-4e4a-437a-a3f8-c74bf19d9840
+- 역행렬은 유일 하게 존재 한다.
+  ls-type:: annotation
+  hl-page:: 17
+  hl-color:: yellow
+  id:: 6a635ae9-06aa-4efd-8480-7a73b9eb35bb
+- A 의 역행렬 이 존재 하는 경우, Az = b의 유일한 해는 = A- b이다 . 
+  ls-type:: annotation
+  hl-page:: 17
+  hl-color:: yellow
+  id:: 6a635aef-6880-41b5-8b18-448e393588c3
+- 정사각행렬이 가역 행렬일 필요 충분조건 은 이 행렬의 열들이 선형독립 인 것이다
+  ls-type:: annotation
+  hl-page:: 17
+  hl-color:: yellow
+  id:: 6a635b0c-4f27-4cbd-8a6c-b6655b215713
+- Ar=0 이 되는 영벡터가 아닌 벡터 가 존재 한다고 가정하자 . 그러면 행렬 A는 선형 종속인 열 을 갖는다. 따라서 행렬 A의 역행렬 은 존재 하지 않는다 
+  ls-type:: annotation
+  hl-page:: 17
+  hl-color:: yellow
+  id:: 6a635b12-1a2e-453a-8e16-3bb97dcdbee1
+- 수 ad-bc는 2x2 행렬 의 행렬식
+  ls-type:: annotation
+  hl-page:: 18
+  hl-color:: yellow
+  id:: 6a635b1e-c0f5-47d9-8dd4-e21f0b7271ed
+- 상삼각 행렬은 주 대각성분 d가 0 이 아닌 경우 역행렬을 갖는다
+  ls-type:: annotation
+  hl-page:: 18
+  hl-color:: yellow
+  id:: 6a635b2a-5629-4ab6-9352-7ed4110d95dd
+- 2×2 행렬이 가역행렬일 필요충분조건은 ad -bc 가 0 이 아닌 것
+  ls-type:: annotation
+  hl-page:: 18
+  hl-color:: yellow
+  id:: 6a635b3a-8ccf-4542-81e5-fb74840b350b
+- [:span]
+  ls-type:: annotation
+  hl-page:: 19
+  hl-color:: yellow
+  id:: 6a635b51-4ca7-4f6d-923a-74154bb8cda3
+  hl-type:: area
+  hl-stamp:: 1784896337401
+- [:span]
+  ls-type:: annotation
+  hl-page:: 21
+  hl-color:: yellow
+  id:: 6a635b68-9f69-4209-8ca3-615913bd254d
+  hl-type:: area
+  hl-stamp:: 1784896360478
+- 가우스 - 조르단 소거법( Gauss -Jordan elimination 
+  ls-type:: annotation
+  hl-page:: 27
+  hl-color:: yellow
+  id:: 6a635ba0-717a-49ea-81c6-1b80acfb2f4c
+- 소거법의 비용
+  ls-type:: annotation
+  hl-page:: 27
+  hl-color:: yellow
+  id:: 6a635bbc-cd20-4362-8dcc-ae180ca53cba
+- L에서 가 제자리 에 있는 이유 를 설명하는 방법을 
+  ls-type:: annotation
+  hl-page:: 29
+  hl-color:: yellow
+  id:: 6a635be3-d31e-4142-a915-420dc9b58289
+- 행 교환 이 없고 피벗에 0이 없는 A= LU 분해 는 언제 가능한가
+  ls-type:: annotation
+  hl-page:: 31
+  hl-color:: yellow
+  id:: 6a635bfb-bcd2-4ff3-9fd5-31424ab7abb4
+- 쪽 상단 모서리에 있는 모든 kXk 부분행렬이 가역 행렬일 때만 가능하다
+  ls-type:: annotation
+  hl-page:: 31
+  hl-color:: yellow
+  id:: 6a635c01-2fd8-4235-a9d8-052b6b5f93d7
+- 치환 행렬 은 모든 행 에 하나 의 1만 있고 , 모든 열에도 하나 의 1만 있다. 그 외의 모든 성분은 0
+  ls-type:: annotation
+  hl-page:: 35
+  hl-color:: yellow
+  id:: 6a635c61-9ba1-4d93-afe4-1ae41d602a26
+- 홀수 치환 행렬
+  ls-type:: annotation
+  hl-page:: 36
+  hl-color:: yellow
+  id:: 6a635c9c-b2e7-455e-bb1d-347b3cf085bb
+- 짝수 치환행렬
+  ls-type:: annotation
+  hl-page:: 36
+  hl-color:: yellow
+  id:: 6a635ca5-bdb6-4051-9bf7-a45e90b4ebf0
+- [:span]
+  ls-type:: annotation
+  hl-page:: 36
+  hl-color:: yellow
+  id:: 6a635cbe-f6ee-4b77-9981-8d8ef4b101aa
+  hl-type:: area
+  hl-stamp:: 1784896702468
+- 각 피벗을 피벗 아래에 있는 모든 수 보다 크게 만들 때, 행렬 L 의 모든 성분들은 1 이하 가 된다 
+  ls-type:: annotation
+  hl-page:: 37
+  hl-color:: yellow
+  id:: 6a635d3f-54ac-451b-9c25-98e20dfdc20f
+- '부분 피벳
+  ls-type:: annotation
+  hl-page:: 37
+  hl-color:: yellow
+  id:: 6a635d42-c493-49c3-be5e-3a661e755e22
+- 전치 행렬
+  ls-type:: annotation
+  hl-page:: 38
+  hl-color:: yellow
+  id:: 6a635d89-a3ba-4fb3-b75d-e81aa4884eac
+- [:span]
+  ls-type:: annotation
+  hl-page:: 38
+  hl-color:: yellow
+  id:: 6a635d90-88e5-4c32-9175-28492d607007
+  hl-type:: area
+  hl-stamp:: 1784896912601
+- [:span]
+  ls-type:: annotation
+  hl-page:: 39
+  hl-color:: yellow
+  id:: 6a635dad-c297-4f30-a0ba-d41192ce03fa
+  hl-type:: area
+  hl-stamp:: 1784896940845
+- [:span]
+  ls-type:: annotation
+  hl-page:: 40
+  hl-color:: yellow
+  id:: 6a635dea-ea45-4d62-b884-add6072fc4c4
+  hl-type:: area
+  hl-stamp:: 1784897001730
+- 대칭행렬을 S 로 표기
+  ls-type:: annotation
+  hl-page:: 42
+  hl-color:: yellow
+  id:: 6a635e16-6b69-4f07-bce9-1a981454cfa1
+- [:span]
+  ls-type:: annotation
+  hl-page:: 42
+  hl-color:: yellow
+  id:: 6a635e1e-2987-4a0d-a55d-b9a350118393
+  hl-type:: area
+  hl-stamp:: 1784897054191
+- 대칭 행렬의 역행렬 은 대칭 행렬 이다
+  ls-type:: annotation
+  hl-page:: 42
+  hl-color:: yellow
+  id:: 6a635e27-6d8a-4134-8b04-8a987d5b6d32