4.4 문제 15 보충: 정규방정식 풀이와의 관계(지름길·좌표계 주의) + q₃로 b 완전 분해 (e = −3q₃)

Co-Authored-By: Claude Fable 5 <noreply@anthropic.com>
Claude-Session: https://claude.ai/code/session_01Ufr6wUhJAzBaqcaBiRJ1xk

Major Study/pages/4.4 정규직교기저와 그람-슈미트 과정.md

@@ -247,7 +247,16 @@ deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
 		- (c) $Q = [q_1\ q_2]$ 로 최소제곱: $\hat{x}$ 대신 사영부터. $q_1^{\mathrm{T}}b = \frac{1+4-14}{3} = -3$, $q_2^{\mathrm{T}}b = \frac{2+2+14}{3} = 6$.
 			- $p = -3q_1 + 6q_2 = (-1,-2,2) + (4,2,4) = (3, 0, 6)$. 원래 열 기준 계수는 $A\hat{x} = p$ 에서 $\hat{x} = (1, 2)$.
 			- 검산: $A(1,2) = (1+2,\ 2-2,\ -2+8) = (3,0,6) = p$ ✓. 오차 $e = b - p = (-2, 2, 1)$ 은 $q_1, q_2$ 와 직교 ✓ (내적 $\frac{-2+4-2}{3} = 0$, $\frac{-4+2+2}{3} = 0$).
-		- 핵심 문장: $q_3$ 처럼 "그람-슈미트가 안 만든 나머지 방향"은 좌영공간이다. 사영은 $q$ 들과의 내적으로, 계수는 $A\hat{x} = p$ 로.
+		- 💡 **보충: 두 가지 풀이의 관계** ((c)를 4.3 정규방정식으로 풀어도 된다):
+			- $A^{\mathrm{T}}A\hat{x} = A^{\mathrm{T}}b$ 로 직접 풀어도 같은 $\hat{x} = (1, 2)$ 가 나온다. 4.4 공식은 4.3의 **대체가 아니라 직교 기저가 있을 때의 지름길**이니까.
+			- 차이는 비용: 일반 경로는 $2 \times 2$ 연립 풀기, $Q$ 경로는 **내적 2번**($q_1^{\mathrm{T}}b, q_2^{\mathrm{T}}b$)이면 끝. (a)를 먼저 시킨 이유가 이 지름길을 쓰라는 출제 의도다.
+			- ⚠️ 좌표계 주의: $Q^{\mathrm{T}}b = (-3, 6)$ 은 $q_1, q_2$ **기준** 좌표다. 문제의 $\hat{x}$ 은 $A$ 의 원래 열 기준이라, $p$ 를 구한 뒤 $A\hat{x} = p$ (정확히 풀리는 쉬운 시스템)로 갈아탄다.
+		- 💡 **보충 2: (b)까지 쓰면 제일 예쁘다** ($e$ 의 정체는 $q_3$ 방향!):
+			- $q_1, q_2, q_3$ 는 $\mathbb{R}^3$ 의 정규직교기저이므로 식 (6)으로 $b$ 를 **완전 분해**할 수 있다:
+			- $$b = \underbrace{(q_1^{\mathrm{T}}b)q_1 + (q_2^{\mathrm{T}}b)q_2}_{=\ p\ (\text{열공간 성분})} + \underbrace{(q_3^{\mathrm{T}}b)q_3}_{=\ e\ (\text{좌영공간 성분})}$$
+			- 실제로 $q_3^{\mathrm{T}}b = \frac{2 - 4 - 7}{3} = -3$ → $e = -3q_3 = (-2, 2, 1)$, 위 검산의 그 $e$ 와 정확히 일치 ✓.
+			- 즉 이 문제는 (a) $q_1, q_2$ = 사영 $p$ 의 재료, (b) $q_3$ = 오차 $e$ 가 사는 방향, (c) $b = p + e$ 분해의 완성. 4.1 기본정리 2부터 4.4 식 (6)까지 한 줄로 꿰는 문제였던 것.
+		- 핵심 문장: $q_3$ 처럼 "그람-슈미트가 안 만든 나머지 방향"은 좌영공간이다. 사영은 $q$ 들과의 내적으로, 계수는 $A\hat{x} = p$ 로. 그리고 오차는 $q_3$ 좌표 그 자체.
 	- **문제 18** (꼭 풀어볼 만한 문제): $a = (1,-1,0,0)$, $b = (0,1,-1,0)$, $c = (0,0,1,-1)$ 에 그람-슈미트를 적용해 $A, B, C$ 를 구하라.
 		- 🔁 개념 상기: 식 (7)·(8) 그대로 세 번. 그리고 결과의 패턴을 읽는 눈 (이 벡터들은 4.1 문제 22가 다룬 "성분 합 0" 공간의 기저다).
 		- 1단계: $A = a = (1, -1, 0, 0)$.