Logseq/Major Study/pages/3.1 벡터공간과 부분공간.md

deck:: Logseq/전공공부/선형대수학

• 핵심 개념

  • 이 절의 목표: 지금까지 벡터를 "숫자 묶음"으로만 다뤘다면, 이제 벡터들이 사는 "세계"(공간) 자체를 다룬다. 이 절에서 용어 4개(벡터공간·부분집합·부분공간·생성)를 잡아두면, 3장 전체(열공간·영공간·기저·차원)가 이 위에 쌓인다.
  • [1단계] 용어부터 확실히, 벡터공간 vs 부분집합 vs 부분공간 (혼동 주의 ⚠️)
    • 
    • 벡터공간 (vector space): 벡터들의 "세계". 더하기( v+w )와 스칼라곱( cv )을 아무리 해도 그 안에서 벗어나지 않는 벡터들의 집합이다. 대표: \mathbb{R}^1, \mathbb{R}^2, \mathbb{R}^3, \cdots
      • 📌 원문 (p.132): ((6a685a78-846c-4c02-976a-445b78c8c392))
      • 정확히는 8가지 조건(교환법칙, 결합법칙, 영벡터 존재 등)을 만족해야 한다. 3.1 연습문제 서두에 목록이 있고, 문제 1~3이 이 조건들을 갖고 논다. \mathbb{R}^n 에서는 자명하게 성립하므로 외울 필요는 없다. 핵심 한 줄만: 모든 선형결합 cv + dw 가 그 안에 있어야 한다.
        • 📌 원문 (p.133): ((6a685b7a-0ff6-487b-981b-a5c9c0b4f61c)) / ((6a685b9e-e75d-4c95-804f-f5a1678ddea6))
    • 부분집합 (subset): 벡터공간에서 벡터 몇 개를 그냥 골라 담은 것. 아무 조건이 없다. 제1사분면도, 벡터 두 개짜리 집합도, 원점 없는 평면도 전부 부분집합이다.
      • 📌 원문 (p.135): ((6a685d5f-2eac-4706-b398-6effddda1d5f))
    • 부분공간 (subspace): 부분집합 중에서 그 자체로 다시 벡터공간이 되는 것. 즉 "닫혀 있는" 부분집합이다.
      • 📌 원문 (정의 부분공간 판정법, p.135): ((6a685d18-0e9e-402f-89ed-9eb0662e72e5))
      • 판정법은 딱 2개: v, w 가 부분공간의 벡터이고 c 가 임의의 스칼라일 때 ⓘ v + w 도 안에 있다 ⓘⓘ cv 도 안에 있다.
        • 📌 원문 (p.135): ((6a685d1b-f3e8-43f5-b6cd-0903f6630ec6)) / ((6a685d1e-aaf7-4f8b-b0b3-080ef1880e6e))
      • 💡 8가지 조건은 확인 안 해도 되나? 안 해도 된다. 부분공간의 연산은 원래 벡터공간의 연산을 그대로 물려받으므로 8조건이 자동으로 충족된다. 그래서 판정이 2개로 줄어드는 것.
      • ⚠️ 모든 부분공간은 영벡터를 포함한다: 판정법 ⓘⓘ에서 c = 0 을 넣으면 0v = 0 이 안에 있어야 하기 때문. 그래서 원점을 안 지나는 직선·평면은 무조건 탈락이다.
        • 📌 원문 (p.135): ((6a685f94-50c8-45aa-80bb-e3fbf70094ff)) / ((6a685fa3-8906-4e6d-aa25-e21a89cd56df))
    • 🔢 \mathbb{R}^2 에서 탈락 예 2개 (EX1, EX2, "닫힘"이 뭔지 체감):
      • 제1사분면 (성분이 모두 ≥ 0): v + w 에는 닫혀 있지만, c = -1 을 곱하면 (2,3) \to (-2,-3) 으로 탈출 → 부분공간 아님.
      • 제1사분면 ∪ 제3사분면: 스칼라곱엔 닫혀 있지만, (2,3) + (-3,-2) = (-1,1) 은 제2사분면 → 덧셈에서 탈출 → 부분공간 아님.
      • 💡 두 예가 보여주듯 조건 ⓘ과 ⓘⓘ는 서로 독립적인 검사다. 둘 다 통과해야 부분공간.
  • [2단계] \mathbb{R}^3 의 부분공간 전체 목록: 딱 4종류뿐이다
    • \mathbf{L}: 원점 (0,0,0) 을 지나는 모든 직선 / \mathbf{P}: 원점을 지나는 모든 평면 / \mathbb{R}^3 전체 (자기 자신) / \mathbf{Z}: 영벡터 (0,0,0) 하나만 있는 공간
      • 📌 원문 (p.135): ((6a685fbe-80ec-475f-a6f0-7c084844527d)) / ((6a685fc9-dd2d-46fe-bedd-c9c2fbd6350d))
    • \mathbf{Z} 는 가장 작은 벡터공간이다: c0 + d0 = 0 이라 닫혀 있음. (뒤에서 배울 언어로는 "차원 0".)
      • 📌 원문 (p.133): ((6a685bea-1fd1-4023-b61a-7fe416a1142e)) / ((6a685bff-7504-4c04-b67a-18e58fa0f1ef))
    • ⚠️ 원점 지나는 평면 \mathbf{P} 는 \mathbb{R}^2 처럼 보여도 \mathbb{R}^2 가 아니다: \mathbf{P} 안의 벡터는 성분이 3개다 (\mathbb{R}^3 소속). "평평한 2차원 모양"과 "\mathbb{R}^2 라는 공간"은 다른 말.
      • 📌 원문 (p.134): ((6a685ce3-0cf7-4dcd-8c92-9cca6577bf83))
  • [3단계] 벡터의 개념 확장, 행렬도, 함수도 "벡터"다
    • 더할 수 있고 스칼라곱이 되는 것들은 전부 벡터공간을 이룬다. 화살표만 벡터가 아니다:
      • 📌 원문 (p.132): ((6a685a7d-a9fc-46fd-aa0a-ddf6c8f3818f)) / ((6a685a81-3e9f-4f22-8dcf-4ff3597a7ffa))
      • 행렬공간: 모든 3 \times 3 행렬의 집합 \mathbb{R}^{3\times3}, 행렬끼리 더하고 c 를 곱해도 3\times3 행렬 → 벡터공간. 그 안의 부분공간: 대칭행렬 전체 \mathbf{S} (cA+dB 도 대칭), 상삼각행렬 전체 \mathbf{U}, 대각행렬 전체 \mathbf{D} 등.
        • 📌 원문 (p.134): ((6a685c56-722c-4f5e-9f80-694676540d08))
      • 함수공간: 함수도 더하고(f+g) 스칼라곱(cf)이 된다. 예: y = ce^x 들의 집합("함수공간의 직선"), 2차 이하 다항식 y = a + bx + cx^2 들의 집합.
        • 📌 원문 (p.134): ((6a685c58-34f6-446e-b8c2-6658ceb88834))
      • 📌 원문 ('공간'이라는 단어의 의미, p.134): ((6a685c82-f0dc-4b07-b52a-50873b06fb37))
      • 📌 원문 (p.134): ((6a685cbb-c5e0-4cbc-9217-fb9d6b9730cf))
    • 💡 이 확장이 낯설다면 지금은 "행렬공간·함수공간이라는 것도 있구나" 정도만. 3.4 독립, 기저, 차원 끝부분에서 기저·차원까지 갖춰서 제대로 다시 다룬다 (2×2 행렬공간의 기저 4개, y''=-y 해공간의 기저 \sin x, \cos x 등).
    • 🔢 EX3 맛보기, 2×2 행렬공간 \mathbf{M} 안에서: 항등행렬 I 하나만 담은 집합은 부분공간일까? 아니다. I + I = 2I 가 집합 밖. 대신 I 의 모든 상수배 cI 를 담으면 부분공간("행렬의 직선")이 된다.
      • 📌 원문 (p.136): ((6a686043-c0fb-47b0-b4be-71687288d476))
  • [4단계] 주인공 등장, 열공간 C(A)
    • 왜 필요한가: 우리는 Ax = b 를 풀고 싶다. 해가 존재하려면 b 를 A 와 x 의 곱으로 나타낼 수 있어야 한다. 그런 b 들을 전부 모은 것이 열공간 (column space) \mathbf{C}(A) 다.
      • 📌 원문 (p.137): ((6a68606d-599d-49cc-8d11-c9242f09c4c4))
    • 1장의 핵심 사실을 다시: Ax 는 행렬 A 의 열들의 선형결합이다 (계수가 x 의 성분들). 가능한 모든 x 를 넣으면 → 열들의 모든 선형결합 → 이것이 \mathbf{C}(A).
      • 📌 원문 (p.137): ((6a68607f-254b-4136-989c-36476ffc0843)) / ((6a686094-5515-45fb-9c86-80a140690178))
      • 📌 원문 (정의 열공간, p.137): ((6a6860b8-2498-411e-a1d4-039ab1fd7035)) / ((6a6860bb-f4e0-4c16-8617-210602bad98f)) / ((6a6860c1-eeb6-4a60-83d5-6a48b9d272cb))
    • 3장 전체에서 가장 중요한 문장:
      • 📌 원문 (p.137): ((6a6860d3-efc3-4506-a1d2-ad1b12720150))
      • Ax = b 의 해가 존재한다 ⟺ b \in \mathbf{C}(A). 이때 그 선형결합의 계수가 바로 해 x 다.
        • 📌 원문 (p.137): ((6a6860eb-b4f8-478f-99f2-5be30d4bd98a))
    • ⚠️ 흔한 혼동, "열들의 집합"과 "열공간"은 다르다 :
      • 📌 원문 (p.137): ((6a686110-e6d3-4d7d-a15d-1781c70e4791))
      • 행렬 A 의 열만 모으면 부분공간이 아니다: 3 \times 3 행렬이면 열이 딱 3개, 벡터 3개짜리 유한집합이다. 부분공간이 되려면 $2 \times (1열)$, $(1열) + (2열)$ 같은 결합 결과가 전부 들어 있어야 하는데 하나도 없다. 그래서 열들을 재료로 모든 선형결합을 채워 넣어야 비로소 열공간이 된다. 이 채워 넣는 행위가 "생성" 이다.
      • 가역행렬 전체의 집합은 ( \mathbb{R}^{n\times n} 의) 부분공간이 아니다: 두 가지 이유. ① 영행렬(이 공간의 영벡터)이 없다. 영행렬은 비가역이니까. ② 덧셈에 안 닫힌다: I 와 -I 는 둘 다 가역이지만 I + (-I) = 0 은 비가역 → 합이 집합을 탈출.
      • 특이행렬 전체의 집합도 부분공간이 아니다: 영행렬은 있지만 덧셈에 안 닫힌다. 🔢 \begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0&0 \\ 0&1 \end{bmatrix} = I, 특이행렬 둘을 더했더니 가역행렬이 나왔다.
      • 💡 셋의 공통 교훈: 부분공간 여부는 "좋은 벡터들을 모았느냐"가 아니라 "연산에 닫혀 있느냐" 하나로 판정된다. (연습문제 14가 이 내용 그대로다.)
  • [5단계] 행공간, 그리고 '생성'
    • 행공간 (row space): A 의 행들의 모든 선형결합. 행을 세워서 열로 만들면 전치행렬이므로, 깔끔하게 행공간 = \mathbf{C}(A^{\mathrm{T}}) 로 쓴다 (A 가 m \times n 이면 행공간은 \mathbb{R}^n 의 부분공간).
      • 📌 원문 (p.137): ((6a686148-a398-42de-8cf8-40c16d4fc2a1)) / ((6a68615c-4d21-4589-bb5e-a16ed5a59b1b))
    • 생성 (span): 벡터 집합 S 의 모든 선형결합을 포함시켜 만든 벡터공간 \mathbf{V} 를 두고 "S 가 \mathbf{V} 를 생성한다"고 한다. \mathbf{V} 는 S 를 포함하는 가장 작은 벡터공간이다.
      • 📌 원문 (p.138): ((6a6861d6-3ef8-4eb5-9a46-01cf243b0c8f)) / ((6a6861dd-f2db-430b-bc2a-4e46dfebc8c6))
      • A 의 n 개의 열은 \mathbf{C}(A) 를 생성한다. A^{\mathrm{T}} 의 m 개의 열(= A 의 행)은 행공간을 생성한다. ⚠️ 생성과 선형독립성은 무관하다: 종속인 벡터들도 공간을 생성할 수 있다 (그냥 재료가 남아도는 것).
      • 📌 원문 (언제 10개의 벡터가 ℝ⁵을 생성하는가, p.139): ((6a6861f6-3c80-4cbf-bb9a-c70b29f69418))
        • 답의 감: 가능하다. 하지만 "아무 10개"는 안 된다. 10개 중 (뒤에서 배울 언어로) 선형독립인 5개가 들어 있어야 한다. 정확한 판정 도구는 3.4절.
    • 영공간 예고: Ax = 0 의 해들을 모은 집합도 벡터공간이다 (Ax = 0, Ay = 0 이면 A(cx+dy) = 0 ✓). 이것이 영공간 \mathbf{N}(A) 이고, 계산법이 다음 절 전체의 주제다.
      • 📌 원문 (p.132): ((6a685a91-40b4-4ff2-9376-66433c61d86e)) / ((6a685a96-8151-425c-aff1-8f76ab7b3205))
      • 📌 원문 (가역행렬의 영공간, p.133): ((6a685c11-eeec-447d-a392-e985bf0f02ee)) / ((6a685c2b-abee-4e34-9ae6-52cbbb35664a))
      • A 가 가역이면 Ax = 0 의 유일한 해는 x = 0 → 영공간은 \mathbf{Z}. (이 경우 열들은 선형독립, 이 연결도 3.4에서 정식화된다.)
  • 🧭 이정표: 이 절부터 "선형독립", "생성", "기저", "차원" 같은 말이 정의 없이 계속 나온다. 정식 정의는 전부 3.4 독립, 기저, 차원 에 있다. 그 전까지는 감(독립 ≈ 서로 겹치지 않음, 기저 ≈ 공간을 만드는 최소 재료)으로 읽고 넘어가면 된다.
    • 📌 원문 (기저 예고, p.132): ((6a685b10-625e-4ab7-a79f-76f40b0f0ba6)) / ((6a685b18-d976-44bd-b7b6-d36e4770223b))

• ❓ 스스로 점검

  • 부분집합과 부분공간의 차이를 한 문장으로 말하라. #card id:: 6a746749-1723-4720-abdd-e57c5e916591
    • 부분집합은 벡터들을 그냥 골라 담은 것(조건 없음), 부분공간은 그중 v+w 와 cv 에 닫혀 있어서 그 자체로 벡터공간이 되는 것.
  • 부분공간 판정법 2가지는? 이것만 확인하면 8가지 조건은 왜 자동으로 성립하는가? #card id:: 6a746749-05c4-49f2-95a8-e003d810edae
    • ① v + w 가 안에 있다 ② cv 가 안에 있다.
    • 연산 자체를 원래 벡터공간에서 물려받으므로 교환·결합법칙 등은 자동 성립.
  • 왜 모든 부분공간은 영벡터를 포함해야 하는가? 이 사실로 즉시 부분공간에서 탈락시킬 수 있는 집합의 예는? #card id:: 6a746749-bc47-479e-a224-2248454ecf62
    • 판정법 ②에 c = 0 을 넣으면 0v = 0 이 포함되어야 하기 때문. 원점을 지나지 않는 직선·평면은 즉시 탈락.
  • \mathbb{R}^3 의 부분공간을 전부 나열하라. #card id:: 6a746749-5939-40fd-8bfb-acd80cc197f8
    • \mathbf{Z} (영벡터만), 원점 지나는 직선 \mathbf{L}, 원점 지나는 평면 \mathbf{P}, \mathbb{R}^3 전체.
  • 제1사분면은 어느 판정 조건에서 부분공간 조건에서 탈락하는가? 제1∪제3사분면은? #card id:: 6a746749-148c-4376-8b09-ac2a905582c6
    • 제1사분면: 스칼라곱(c = -1)에서 탈락. 제1∪제3사분면: 덧셈에서 탈락 (예: (2,3)+(-3,-2) = (-1,1)).
  • 열공간 \mathbf{C}(A) 의 정의는? Ax = b 의 해가 존재할 필요충분조건을 열공간의 언어로 말하라.
    • A 의 열들의 모든 선형결합(= 가능한 모든 Ax)의 집합. 해 존재 ⟺ b 가 \mathbf{C}(A) 안에 있다.
  • "A 의 열들의 집합"은 왜 부분공간이 아닌가? 가역행렬 전체의 집합은 왜 부분공간이 아닌가?
    • 열들의 집합은 유한집합이라 선형결합이 빠져 있다 (생성해야 열공간이 됨). 가역행렬 집합은 영행렬이 없고, I + (-I) = 0 처럼 덧셈에 안 닫힌다.
  • 행공간을 전치행렬로 표현하면? m \times n 행렬의 열공간과 행공간은 각각 어디의 부분공간인가? #card id:: 6a746749-bbd5-4989-a3d4-4b8264535f29
    • 행공간 = \mathbf{C}(A^{\mathrm{T}}). 열공간은 \mathbb{R}^m, 행공간은 \mathbb{R}^n 의 부분공간.

• ✏️ 연습문제 풀이 (솔루션 참고)

  • ※ 문제 17은 "일반적인 벡터공간"(꼭 열벡터가 아닌)에 관한 문제다. 벡터공간의 8가지 조건 목록은 책 p.139 참고, (1)(4)는 덧셈, (5)(6)은 스칼라곱, (7)(8)은 둘의 연결.
  • 문제 1: 덧셈을 (x_1, x_2) + (y_1, y_2) = (x_1 + y_2,\ x_2 + y_1) 로 바꾸면 (스칼라곱은 평소대로) 8가지 조건 중 무엇이 깨지는가?
    • 깨지는 것: (1) x + y \ne y + x, (2) 결합법칙, (8) (c_1 + c_2)x \ne c_1 x + c_2 x.
    • 🔢 (1) 확인: x=(1,2), y=(3,4) → x+y = (1+4, 2+3) = (5,5), y+x = (3+2, 4+1) = (5,5)... 같아 보이지만 x=(1,2), y=(3,5) 로 하면 x+y=(6,5), y+x=(5,6), 다르다.
    • 💡 "성분을 엇갈려 더한다"는 사소한 변경 하나로 세 조건이 무너진다. 8조건이 그냥 형식이 아니라 실제 제약임을 보여주는 문제.
  • 문제 2: 스칼라곱을 cx = (cx_1, 0) 으로 바꾸면 (덧셈은 평소대로) 8가지 조건을 만족하는가?
    • 조건 (5) 1 \cdot x = x 하나만 깨진다: 1 \cdot (x_1, x_2) = (x_1, 0) \ne x. 덧셈 관련 (1)~(4)는 덧셈을 안 바꿨으니 그대로 성립.
    • 💡 조건 (5)가 목록에 있는 이유가 바로 이런 "찌그러뜨리는 스칼라곱"을 막기 위해서다.
  • 문제 3: (a) \mathbb{R}^1 에서 양수 x > 0 만 남기면? (b) 양수들에서 합을 x + y \equiv xy, 스칼라곱을 cx \equiv x^c 로 정의하면?
    • (a) cx 가 집합을 벗어날 수 있고 (c < 0), 영벡터도 -x 도 없다 → 부분공간 아님.
    • (b) 8가지 조건을 모두 만족한다! 조건 (7) 확인 (c=3, x=2, y=1): x + y = 2 \times 1 = 2 이므로 c(x+y) = 2^3 = 8; cx + cy = 2^3 \times 1^3 = 8 ✓.
    • 이 벡터공간에서 '영벡터' 역할은 숫자 1: x + 0 = x \cdot 1 = x.
    • 💡 벡터공간의 정의는 "덧셈처럼 행동하는 연산"이면 뭐든 허용한다. 곱셈도 조건만 맞으면 '덧셈'이 될 수 있다.
  • 문제 4: A = \begin{bmatrix} 2&-2 \\ 2&-2 \end{bmatrix} 는 2×2 행렬공간 \mathbf{M} 의 '벡터'다. 이 공간의 영벡터, \frac{1}{2}A, -A 는? A 를 포함하는 가장 작은 부분공간은?
    • 영벡터 = 영행렬 \begin{bmatrix} 0&0 \\ 0&0 \end{bmatrix}, \frac{1}{2}A = \begin{bmatrix} 1&-1 \\ 1&-1 \end{bmatrix}, -A = \begin{bmatrix} -2&2 \\ -2&2 \end{bmatrix}.
    • 가장 작은 부분공간 = A 의 모든 상수배 \{cA\}, "행렬의 직선".
  • 문제 5: (a) A = \begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&0 \end{bmatrix} 는 포함하고 B = \begin{bmatrix} 0&0 \\ 0&-1 \end{bmatrix} 는 포함하지 않는 \mathbf{M} 의 부분공간? (b) A, B 를 둘 다 포함하는 부분공간은 I 를 포함해야 하나? (c) 0 아닌 대각행렬을 포함하지 않는 부분공간?
    • (a) \{cA\} (A 의 상수배 직선): B 는 A 의 상수배가 아니므로 미포함.
    • (b) 그렇다: 부분공간은 A - B = \begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{bmatrix} = I 를 포함해야 한다 (닫힘).
    • (c) 주대각선이 전부 0인 행렬들의 집합 \begin{bmatrix} 0&b \\ c&0 \end{bmatrix}.
  • 문제 6: f(x) = x^2, g(x) = 5x 는 함수공간 \mathbf{F} 의 '벡터'다. 선형결합 3f - 4g 는?
    • h(x) = 3x^2 - 20x. 💡 함수의 선형결합 = 같은 x 에서 함숫값의 선형결합. 벡터의 성분별 연산과 완전히 같은 구조다.
  • 문제 7: cf 를 "$f(cx)$" 로 정의하면 어떤 조건이 깨지는가? (합은 평소대로)
    • 조건 (8): (c_1 + c_2)f = f((c_1+c_2)x) 인데 c_1 f + c_2 f = f(c_1 x) + f(c_2 x), 일반적으로 다르다. 🔢 f(x) = x^2, c_1 = c_2 = 1: 좌변 f(2x) = 4x^2, 우변 x^2 + x^2 = 2x^2.
  • 문제 8: 부분공간의 두 조건 중 하나만 만족하는 예: (a) x+y 에는 닫혀 있고 \frac{1}{2}x 에는 안 닫힌 \mathbb{R}^2 부분집합 (b) cx 에는 닫혀 있고 x+y 에는 안 닫힌 부분집합.
    • 📌 문제 지문 (p.140): 🔗 PDF 위치
      • 
    • (a) 정수 성분 벡터들의 집합: 정수 + 정수 = 정수 ✓, 그러나 \frac{1}{2}(1,1) = (\frac{1}{2},\frac{1}{2}) 탈출.
    • (b) 두 직선의 합집합 (예: x 축 ∪ y 축): 각 직선 위에서 스칼라곱은 닫힘 ✓, 그러나 (1,0) + (0,1) = (1,1) 탈출. (제1∪제3사분면도 같은 유형의 예.)
  • 문제 9: 다음 중 \mathbb{R}^3 의 부분공간은? (a) b_1 = b_2 평면 (b) b_1 = 1 평면 (c) b_1 b_2 b_3 = 0 (d) v=(1,4,0), w=(2,2,2) 의 모든 선형결합 (e) b_1 + b_2 + b_3 = 0 (f) b_1 \le b_2 \le b_3
    • 📌 문제 지문 (p.141): 🔗 PDF 위치
      • 
    • 부분공간: (a), (d), (e).
    • 탈락 이유, (b): 원점이 없다 (b_1 = 1 \neq 0). (c): 좌표축들의 합집합이라 덧셈에 안 닫힘, (1,0,0)+(0,1,1) = (1,1,1) 은 b_1 b_2 b_3 = 1 \ne 0. (f): -1 배 하면 부등호가 뒤집힘, (0,1,2) \to (0,-1,-2) 는 b_1 \le b_2 위반.
    • 💡 (a)(e)는 "원점 지나는 평면"(=\mathbf{P} 유형), (d)는 "두 벡터가 생성하는 평면", 생김새는 달라도 전부 같은 부류다.
  • 문제 10: 2×2 행렬공간 \mathbf{M} 에서 다음을 포함하는 가장 작은 부분공간은? (a) \begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0&1 \\ 0&0 \end{bmatrix} (b) \begin{bmatrix} 1&1 \\ 0&0 \end{bmatrix} (c) \begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{bmatrix}
    • 📌 문제 지문 (p.141): 🔗 PDF 위치
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    • "가장 작은 부분공간" = 주어진 것들의 모든 선형결합 (= 생성된 공간).
    • (a) \begin{bmatrix} a&b \\ 0&0 \end{bmatrix} 전체 (b) \begin{bmatrix} a&a \\ 0&0 \end{bmatrix} 전체 (c) a\begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&1 \end{bmatrix} + b\begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a+b&a \\ a&a+b \end{bmatrix} 꼴 전체.
  • 문제 14: (a) \mathbf{M} 에서 가역행렬의 집합이 부분공간이 아님을 보여라. (b) 특이행렬의 집합이 부분공간이 아님을 보여라.
    • (a) 영행렬이 없다 (영행렬은 비가역). 또 I + (-I) = 0, 가역 둘의 합이 비가역.
    • (b) \begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0&0 \\ 0&1 \end{bmatrix} = I, 특이행렬 둘의 합이 가역. 덧셈에 안 닫힘.
    • 💡 본문 [4단계]의 "가역·특이행렬은 부분공간을 형성하지 않는다" 하이라이트가 바로 이 문제다.