Logseq/Major Study/pages/3.2 소거법을 이용한 영공간 계산 A = CR.md

deck:: Logseq/전공공부/선형대수학

- ### 핵심 개념
	- **이 절의 목표**: $Ax = 0$ 의 **모든 해** (= 영공간 $\mathbf{N}(A)$)를 손으로 구하는 절차를 완성한다. 도구는 2장의 소거법을 끝까지 밀어붙인 **기약행 사다리꼴** $R_0$, 부산물로 1장의 $A = CR$ 분해가 완성된다.
		- 전체 5단계 흐름 지도:
			- **[1단계]** 소거를 $U$ 에서 멈추지 않고 끝까지 → **기약행 사다리꼴** $R_0 = \mathrm{rref}(A)$
			- **[2단계]** 피벗 열 / 자유 열 구분 → **자유변수**가 무엇인지
			- **[3단계]** 자유변수에 1과 0을 넣어 **특별해** 완성 → 영공간을 다 얻는다
			- **[4단계]** $R_0$ 의 구조 $[\,I\ F\,]P$ 와 $H = WF$ → $A = CR$ 완성
			- **[5단계]** $n > m$ 이면 반드시 0 아닌 해가 존재하는 이유
	- **[1단계] 소거의 완성형, 기약행 사다리꼴** $R_0 = \mathrm{rref}(A)$
		- 2장에서는 정사각·가역 $A$ 를 상삼각 $U$ 로 만들고 멈췄다. 이제 임의의 $m \times n$ 행렬에 대해 소거를 **끝까지** 간다: 피벗 **위쪽**도 0으로 만들고, 각 행을 피벗으로 나눠 피벗을 전부 1로 만든다.
			- 📌 원문 (p.146): ((6a6b5fa3-a6fe-4467-9191-703689a8aceb))
			- 📌 원문 (2장 요약과의 연결, p.144): ((6a6b5f7d-6107-49fa-8595-9e8cdea480e8))
		- 🔢 EX2 의 전 과정 ($3 \times 4$, 랭크 2):
			- $$A = \begin{bmatrix} 1&7&3&35 \\ 2&14&6&70 \\ 2&14&9&97 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1&7&3&35 \\ 0&0&0&0 \\ 0&0&3&27 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1&7&0&8 \\ 0&0&0&0 \\ 0&0&3&27 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1&7&0&8 \\ 0&0&1&9 \\ 0&0&0&0 \end{bmatrix} = R_0$$
			- 마지막에 3행을 3으로 나누고(피벗 = 1), 영행을 맨 아래로 교환했다. 항등행렬 모양의 1들이 **1열과 3열**에 생겼다.
			- 📌 원문 ('사다리꼴' 용어의 뜻, p.145): ((6a6b5f99-2eb7-46ba-a875-32432525fbae))
		- $R_0$ 와 $R$ 의 관계: $R_0$ 의 영행 $(m-r)$ 개를 제거하면 $R$ 이다. 두 가지 표준 형태:
			- 가장 간단한 경우: $R = [\,I\ \ F\,]$ (피벗 열이 앞쪽에 몰린 경우)
			- 일반적인 경우: $R_0 = \begin{bmatrix} I&F \\ 0&0 \end{bmatrix}P$, 치환행렬 $P$ 가 열 순서를 기록한다
			- 📌 원문 (p.146): ((6a6b5fa9-754f-408e-8d16-bc39d56c1267))
		- 💡 $R_0$ 는 소거 경로와 무관하게 $A$ **에 의해 유일하게 결정**된다. 어떤 순서로 소거해도 같은 $R_0$.
	- **[2단계] 자유변수, 이 절의 최중요 용어** (⚠️ 책이 정의 없이 쓰기 시작하는 말)
		- **한 줄 정의: 자유변수 = 소거가 끝난 뒤에도 아무도 붙잡지 않는 미지수, 아무 값이나 넣어도 되는 변수.**
		- 왜 생기나: 미지수는 $n$ 개인데 유효한 방정식(= 피벗 있는 행)은 $r$ 개뿐이다. 방정식 $r$ 개는 미지수 $r$ 개만 붙잡을 수 있다 → 남는 $(n-r)$ 개는 자유.
			- 💡 비유: 방정식 = 수갑, 미지수 = 사람. 수갑 $r$ 개로 사람 $n$ 명을 못 묶는다. 안 묶인 $(n-r)$ 명(자유변수)은 어디든 가고, 묶인 $r$ 명(피벗변수)은 그들이 움직이는 대로 따라 정해진다.
		- **구분법은 기계적**: $R_0$ 에서 **피벗(선두 1)이 있는 열** 번호의 변수 = **피벗변수**, **피벗이 없는 열** 번호의 변수 = **자유변수**. 영행은 무시.
			- 🔢 위 EX2: 피벗이 1열·3열에 → $x_1, x_3$ 피벗변수 / 2열·4열엔 피벗 없음 → $x_2, x_4$ 자유변수.
			- ⚠️ "앞에서부터 $r$ 개가 피벗변수"가 **아니다**. 피벗은 1, 3열처럼 뛰엄뛰엄 걸릴 수 있다. 그래서 열 순서를 정리하는 $P$ 를 붙여 $R = [\,I\ \ F\,]P$ 로 쓰는 것.
		- 역할 분담: **자유변수 = 내가 고르는 입력, 피벗변수 = 방정식이 자동으로 결정하는 출력.**
	- **[3단계] 특별해, 영공간을 만드는 조리법**
		- **특별해** (special solution): 자유변수 **하나에만 1**, 나머지 자유변수에 0을 넣고 피벗변수를 역대입으로 구한 해. 자유변수가 $(n-r)$ 개이므로 특별해도 $(n-r)$ 개.
		- 🔢 EX2 끝까지: $R_0 x = 0$ ⟺ $x_1 + 7x_2 + 8x_4 = 0$, $x_3 + 9x_4 = 0$
			- $x_2 = 1, x_4 = 0$: → $x_1 = -7$, $x_3 = 0$ → $s_1 = (-7, 1, 0, 0)$
			- $x_2 = 0, x_4 = 1$: → $x_1 = -8$, $x_3 = -9$ → $s_2 = (-8, 0, -9, 1)$
			- **영공간 = 특별해들의 모든 선형결합**: $\mathbf{N}(A) = \{c_1 s_1 + c_2 s_2\}$. 특별해가 영공간의 **기저**가 된다 (기저의 정식 정의는 3.4).
			- 📌 원문 (p.145): ((6a6b5f8a-654a-490b-862c-a5cb063f1188))
		- 💡 공식 한 방 정리: $[\,I\ \ F\,]x = 0$ 의 특별해들 = $\begin{bmatrix} -F \\ I \end{bmatrix}$ 의 열들. 열 순서가 섞였으면 $P^{\mathrm{T}}\begin{bmatrix} -F \\ I \end{bmatrix}$ 의 열들. ($[\,I\ F\,]\begin{bmatrix} -F \\ I \end{bmatrix} = -F + F = 0$, 검산이 자동으로 된다!)
		- ⚠️ 소거는 해를 바꾸지 않는다: $\mathbf{N}(A) = \mathbf{N}(R_0) = \mathbf{N}(R)$. 그래서 어려운 $Ax=0$ 대신 쉬운 $R_0 x = 0$ 을 푸는 것이 정당하다. (연습문제 1이 이 사실의 증명이다.)
	- **[4단계]** $R_0$ **가 알려주는 것:** $H = WF$ **와** $A = CR$
		- 소거가 답하는 질문은 이것이다: **"새로운 열은 이전 열들과 선형종속인가?"**
			- 📌 원문 (p.146): ((6a6b5faf-d090-4dd6-8043-1d45e7583aa0))
			- 새 열에서 (이전 피벗들 아래에) 0 아닌 성분이 남으면 → **독립** → 새 피벗 열. 전부 0이 되면 → **종속** → 자유 열이 되고 $F$ 에 계수가 기록된다.
		- $2 \times 4$ 예 (p.147): $A = \begin{bmatrix} 1&2&11&17 \\ 3&7&37&57 \end{bmatrix}$ 에서 독립인 1·2열을 $W = \begin{bmatrix} 1&2 \\ 3&7 \end{bmatrix}$, 종속인 3·4열을 $H = \begin{bmatrix} 11&17 \\ 37&57 \end{bmatrix}$ 라 하면:
			- $W^{-1}A = W^{-1}[\,W\ \ H\,] = [\,I\ \ W^{-1}H\,] = [\,I\ \ F\,]$, 소거의 정체는 $W^{-1}$ **를 곱하는 것**이었다!
			- 그러므로 $F = W^{-1}H$, 즉 $H = WF$:
			- $$H = \begin{bmatrix} 11&17 \\ 37&57 \end{bmatrix} = WF = \begin{bmatrix} 1&2 \\ 3&7 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3&5 \\ 4&6 \end{bmatrix}$$
			- 💡 $F$ 의 역할: **독립인 열들을 어떻게 결합하면 종속인 열이 나오는지 알려주는 조리법**. (종속 = 독립 × $F$.)
		- ⚠️ **정오표, 책 p.147 박스 ❷의 오타** (내가 빨간 하이라이트로 표시해둔 곳):
			- 📌 원문 (p.147): ((6a6b5fc4-7bd5-41f6-b211-a7cfd1c1a282))
			- 책에는 "(A의 선형독립인 열) = (A의 선형종속인 열) × F" 라고 인쇄되어 있는데 **독립/종속이 뒤바뀐 오식**이다. 올바른 문장:
				- $$\text{(A의 선형종속인 열)} = \text{(A의 선형독립인 열)} \times F \qquad (H = WF)$$
			- 근거: 같은 페이지 본문·수치 예($WF = H$ 검산)·"F는 독립인 열들을 결합해 종속인 열을 생성" 문장 모두 이 방향이고, 원서도 "(Dependent columns) = (Independent columns) times F". 독립인 열이 종속인 열들의 결합으로 표현된다면 그건 애초에 "독립"이라는 말과 모순.
		- **"** $R_0$ **안의** $I$ **는** $C$ **의 위치를 알려준다"의 정확한 의미** (사용자 질문):
			- 📌 원문 (p.149): ((6a6b6006-942c-4f60-ac32-9d2e8ad4e45a))
			- "위치" = **열 번호 목록**이다. $R_0$ 에서 $I$ 를 이루는 열(= 피벗 열)이 몇 번째 열인지 보면, **행렬** $A$ **에서 그 번호의 열들을 원본 그대로 뽑아** $C$ 를 만들라는 뜻.
			- 🔢 EX2: $R_0$ 의 $I$ 는 1열·3열에 있다 → $A$ 의 **1열** $(1,2,2)$ **와 3열** $(3,6,9)$ 이 $C$ 의 열이 된다: $C = \begin{bmatrix} 1&3 \\ 2&6 \\ 2&9 \end{bmatrix}$.
			- ⚠️ $C$ 의 열은 $R_0$ 의 열($0$ 과 $1$ 로 찌그러진 것)이 **아니라** $A$ 의 **원본 열**이다. $R_0$ 는 "어느 열을 뽑을지"만 알려주는 **안내판**이고, 재료는 $A$ 에서 가져온다. (소거가 열공간 자체를 바꿔버리기 때문, 3.5절에서 다시.)
		- $A = CR$ 완성 (EX3, p.150):
			- $$A = \begin{bmatrix} 1&2&1 \\ 2&4&5 \\ 3&6&9 \end{bmatrix} = CR = \begin{bmatrix} 1&1 \\ 2&5 \\ 3&9 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&2&0 \\ 0&0&1 \end{bmatrix} = (C\text{의 열 기저}) \times (R\text{의 행 기저})$$
			- 📌 원문 (p.149): ((6a6b6003-baed-4e8c-8ee3-a2a1798181b3)) / ((6a6b601a-66cb-4d23-a68d-5ef3b2fa7407))
			- 1장에서 감으로만 했던 $A = CR$ 이 이제 **체계적 절차**가 됐다: 소거 → $R_0$ → $I$ 위치의 $A$ 열들 = $C$, 영행 뗀 것 = $R$.
		- (심화, 가볍게) **3단계 블록 소거법**: 열·행 치환으로 독립인 부분을 앞으로 몰면 $P_R A P_C = \begin{bmatrix} W&H \\ J&K \end{bmatrix}$, 여기에 $W^{-1}$ 를 곱하고 아래 블록을 지우면 $R_0$. 결론: $P_R A P_C = \begin{bmatrix} W \\ J \end{bmatrix}W^{-1}[\,W\ \ H\,] = CW^{-1}B$.
			- 📌 원문 (p.152): ((6a6b60b0-448f-44b1-b8b9-cd7dce5bda13)) / ((6a6b60bd-44b4-4ea0-aaff-fdf73e00e3e4)) / ((6a6b60c4-122e-4a43-a498-869cda9a821d))
			- 💡 $JW^{-1}H = K$ 가 성립하는 이유: 랭크가 $r$ 이므로 아래 행들 $[\,J\ K\,]$ 는 위 행들 $[\,W\ H\,]$ 의 선형결합일 수밖에 없기 때문.
	- **[5단계] 가로로 긴 행렬은 반드시 0 아닌 해를 갖는다** ($n > m$)
		- 📌 원문 (p.151): ((6a6b609e-46ad-418b-aa3a-41a2cf13bf80)) / ((6a6b60a5-62e7-4143-ae8e-a9fcb1b8c238))
		- 이유는 카운팅 하나: 피벗은 행마다 최대 1개 → $r \le m < n$ → 자유변수가 $(n-r) \ge (n-m) \ge 1$ 개 → 특별해가 존재.
			- 📌 원문 (p.151): ((6a6b6086-5d0a-4dca-bbc9-4ee9dd539296))
		- 뒤집어 말하면: $\mathbb{R}^m$ **안에서는** $n > m$ **개의 선형독립인 열을 가질 수 없다.** ($n$ 개의 벡터를 열로 세우면 위 논리로 종속이 드러난다. 3.4절에서 재사용되는 핵심 논리.)
			- 📌 원문 (p.151): ((6a6b6080-45c0-4450-b783-ca74d3bbf525))
		- 💡 영공간의 크기 감각: 영공간의 '차원' = 자유변수 개수 $(n-r)$. (차원의 정식 정의는 [[3.4 독립, 기저, 차원]], 4공간 총정리는 [[3.5 4가지 기본 부분공간의 차원]].)
- ### ❓ 스스로 점검
	- 자유변수란 무엇인가? $R_0$ 만 보고 어떤 변수가 자유변수인지 판정하는 법은? #card
	  id:: 6a746749-479c-4175-af0f-d0559ef27275
		- 소거 후에도 방정식이 붙잡지 않아 아무 값이나 넣어도 되는 미지수.
		- 판정: 각 행의 선두 1(피벗)이 있는 열의 변수는 피벗변수, 피벗이 없는 열의 변수는 자유변수.
	- 특별해는 어떻게 만드는가? 몇 개가 나오며, 영공간과의 관계는? #card
	  id:: 6a746749-88b2-4f5d-9783-0eabe50c24ad
		- 자유변수 하나에 1, 나머지 자유변수에 0을 넣고 피벗변수를 역대입으로 구한다.
		- $(n-r)$ 개가 나오고, 영공간 = 특별해들의 모든 선형결합 (특별해가 영공간의 기저).
	- $[\,I\ \ F\,]x = 0$ 의 특별해를 행렬 하나로 표현하면? 검산은 왜 자동으로 성립되는가?
		- $\begin{bmatrix} -F \\ I \end{bmatrix}$ 의 열들 (열 섞였으면 $P^{\mathrm{T}}$ 를 앞에). $[\,I\ F\,]\begin{bmatrix} -F \\ I \end{bmatrix} = -F + F = 0$ 이므로.
	- $H = WF$ 에서 $W, H, F$ 는 각각 무엇인가?
		- $W$ = 독립인 열들, $H$ = 종속인 열들, $F$ = 독립을 결합해 종속을 만드는 계수(조리법).
	- "$R_0$ 안의 $I$ 가 $C$ 의 위치를 알려준다"에서 '위치'란? $C$ 의 열은 어디서 가져오는가?
		- $I$ 를 이루는 피벗 열들의 열 번호. $C$ 의 열은 $R_0$ 가 아니라 $A$ **의 원본 열**을 그 번호대로 뽑아온다.
	- 왜 $\mathbf{N}(A) = \mathbf{N}(R_0)$ 인가? #card
	  id:: 6a746749-9f37-4940-b30f-9f1140e7dd62
		- 소거 = 가역행렬 $E$ 를 곱하는 것. $Ax=0$ 이면 $R_0 x = EAx=0$
		- 역으로 $EAx=0$ 이면 $E^{-1}$ 를 곱해 $Ax=0$. 해집합이 같다.
	- $n > m$ 이면 $Ax = 0$ 에 0 아닌 해가 반드시 존재하는 이유를 한 줄로. #card
	  id:: 6a746749-1d39-461e-b847-283bb6520df7
		- 피벗 ≤ $m$ < $n$ 이므로 자유변수가 최소 1개는 존재함. 이는 곧 특별해가 무조건 1개는 존재함을 의미.
- ### ✏️ 연습문제 풀이 (솔루션 참고)
	- **문제 1** (카드화하기 좋은 문제): $E$ 가 가역행렬일 때, $A$ 와 $R = EA$ 는 왜 동일한 영공간을 갖는가?
		- 📌 문제 지문 (p.153): [🔗 PDF 위치](((6a6e8c28-2ec2-4994-a90e-16eeb55f3995)))
			- ![3.2 연습문제 1 지문 (p.153)](../assets/3장_p153_3.2_연습문제1_지문.png)
		- ($\subseteq$) $Ax = 0$ 이면 양변에 $E$ 를 곱해 $EAx = 0$, 즉 $Rx = 0$.
		- ($\supseteq$) $Rx = EAx = 0$ 이면 양변에 $E^{-1}$ 를 곱해 $Ax = 0$.
		- 💡 $E$ **의 가역성이 핵심이다**: 돌아올 수 있어야($E^{-1}$) 해가 안 늘어난다. "소거는 해를 바꾸지 않는다"의 진짜 이유이자, 이 절 전체의 논리적 기초.
	- **문제 2**: $A = \begin{bmatrix} 1&2&1 \\ 3&6&3 \\ 4&8&c \end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix} c&c \\ c&c \end{bmatrix}$ 의 $R$ 과 랭크, 피벗 열, 특별해를 ($c$ 값에 따라) 구하라.
		- 📌 문제 지문 (p.153): [🔗 PDF 위치](((6a6e8c2e-7386-47f6-ba4d-c76b8aced7a6)))
			- ![3.2 연습문제 2 지문 (p.153)](../assets/3장_p153_3.2_연습문제2_지문.png)
		- $A$: 2행 = 3×(1행)이라 소거하면 $\begin{bmatrix} 1&2&1 \\ 0&0&0 \\ 0&0&c-4 \end{bmatrix}$.
			- $c = 4$: 랭크 1, 피벗 열 = 1열. 자유변수 $x_2, x_3$ → 특별해 $(-2, 1, 0), (-1, 0, 1)$.
			- $c \neq 4$: 랭크 2, 피벗 열 = 1열과 3열. 자유변수 $x_2$ → 특별해 $(-2, 1, 0)$.
		- $B$: $c = 0$ 이면 영행렬, 랭크 0, 특별해 $(1,0), (0,1)$. $c \neq 0$ 이면 랭크 1, 피벗 열 1열, 특별해 $(-1, 1)$.
		- 💡 매개변수 하나($c$)가 랭크·자유변수 개수·영공간 차원을 통째로 바꾼다. "랭크가 모든 것을 결정한다"의 체험.
	- **문제 6**: 참/거짓: (a) 정사각행렬에는 자유변수가 없다 (b) 가역행렬에는 자유변수가 없다 (c) $m \times n$ 행렬의 피벗변수는 $n$ 개보다 많을 수 없다 (d) $m$ 개보다 많을 수 없다
		- (a) **거짓**: 특이 정사각행렬은 자유변수를 갖는다 (예: 영행렬). (b) **참**: 가역이면 피벗 $n$ 개, $R_0 = I$. (c) **참**: 피벗은 열마다 최대 1개. (d) **참**: 피벗은 행마다 최대 1개.
		- 💡 (c)+(d)를 합치면 $r \le \min(m, n)$, 랭크의 기본 부등식이 공짜로 나온다.
	- **문제 12** (빈칸 채우기, 카드 재료로 좋음): $m \times n$ 행렬에 피벗이 $r$ 개 있을 때: 특별해의 개수는 ___. 영공간이 $x = 0$ 만 포함하는 것은 $r =$ ___ 일 때. 열공간이 $\mathbb{R}^m$ 전체가 되는 것은 $r =$ ___ 일 때.
		- 특별해 $n - r$ 개 / 영공간 = $\{0\}$ ⟺ $r = n$ / 열공간 = $\mathbb{R}^m$ ⟺ $r = m$.
		- 💡 이 세 줄이 3.3절 "최대 열 랭크 / 최대 행 랭크" 논의의 뼈대다.
	- **문제 13** (꼭 풀어볼 만한 문제): 평면 $x - 3y - z = 12$ 는 $x - 3y - z = 0$ 과 평행하다. $(12, 0, 0)$ 이 이 평면 위에 있을 때, 평면 위의 모든 점을 다음 꼴로 나타내라: $\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \square \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} \square \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + z\begin{bmatrix} \square \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$
	  id:: 2c63c86f-ad62-4902-bfac-bb22a8e4813a
		- $$\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + z\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$$
		- 검산: $x = 12 + 3y + z$ → $x - 3y - z = 12$ ✓.
		- 💡 구조를 보라: (평면 위 한 점) + (평행한 원점 평면의 모든 점): 다음 절 완전해 $x = x_p + x_n$ 의 **예고편**이다. $y, z$ 가 자유변수, $(3,1,0)$ 과 $(1,0,1)$ 이 특별해 역할.