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deck:: Logseq/전공공부/선형대수학

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• 4장 서론 정리

  • 이 장의 큰 그림: 3장이 4가지 기본 부분공간의 차원을 밝혔다면, 4장은 그 공간들 사이의 각도를 밝힌다. 답은 "두 쌍이 서로 90°"다.
  • 출발점은 직교의 정의: 두 벡터의 내적이 0.
    • 📌 원문 직교의 정의 (p.208): ((6a787abc-f31a-487e-9c0e-451308dc7e36)) / ((6a787ac1-8770-4b41-a862-8b8ae853cc50))
    • 이 "직교"를 벡터 → 부분공간 → 기저 → 행렬 Q 로 점점 확장하는 것이 4장 전체의 스토리다.
  • 절별 로드맵:
    • 4.1 벡터와 부분공간의 직교성: 4가지 기본 부분공간이 두 쌍으로 직교한다 (기본정리 2).
    • 4.2 직선과 부분공간 위로의 사영: b 가 열공간 밖에 있으면, 열공간 안에서 b 와 가장 가까운 점 p 를 찾는다. 오차 e = b - p 는 열공간과 직교.
    • 4.3 최소제곱근사: Ax = b 의 해가 없을 때 최선의 \hat{x} 를 주는 방정식이 A^{\mathrm{T}}A\hat{x} = A^{\mathrm{T}}b.
    • 4.4 정규직교기저와 그람-슈미트: 열들을 직교화해 Q^{\mathrm{T}}Q = I 인 행렬 Q 와 분해 A = QR 을 만든다.
    • 4.5 행렬의 유사역행렬: 열공간을 행공간으로 되돌리는 A^{+}.
  • 💡 수위 조절: 서론(p.208~209)은 사영·최소제곱·QR 을 예고편처럼 쏟아붓는다. 여기서 다 이해될 필요가 전혀 없다. 각 절에서 제대로 배우니, 지금은 "직교가 이 모든 것의 공통 무기"라는 감만 잡으면 충분하다.

• 소단원

  • 4.1 벡터와 부분공간의 직교성
  • 4.2 직선과 부분공간 위로의 사영
  • 4.3 최소제곱근사
  • 4.4 정규직교기저와 그람-슈미트 과정