Logseq/Major Study/pages/hls__4장_직교성_1786280501491_0.md

file:: 4장_직교성_1786280501491_0.pdf file-path:: ../assets/4장_직교성_1786280501491_0.pdf

• 두 벡터가 직교한다는 것은 두 벡터의 내적이 0임을 의미한다. ls-type:: annotation hl-page:: 2 hl-color:: yellow id:: 6a787abc-f31a-487e-9c0e-451308dc7e36
• v · w = vᵀw = 0 ls-type:: annotation hl-page:: 2 hl-color:: yellow id:: 6a787ac1-8770-4b41-a862-8b8ae853cc50
• 4가지 기본 부분공간은 서로 직교하는 관계이다 ls-type:: annotation hl-page:: 2 hl-color:: yellow id:: 6a787bd5-b422-4b1e-8203-99d9c164a3ce
• [:span] ls-type:: annotation hl-page:: 2 hl-color:: yellow id:: 6a787c0d-a229-4698-95fc-bdb87ebf798a hl-type:: area hl-stamp:: 1786280971515
• 식 Ax = 0은 x가 행렬 A의 각 행과 직교함을 의미하며, 식 Aᵀy = 0은 y가 행렬 A의 각 열과 직교함을 의미한다 ls-type:: annotation hl-page:: 2 hl-color:: yellow id:: 6a787d5d-e3a3-4fd6-bc60-23b45bd56f24
• [:span] ls-type:: annotation hl-page:: 3 hl-color:: yellow id:: 6a787e07-d315-4645-8541-d8e1779e2175 hl-type:: area hl-stamp:: 1786281478386
• 직선 위의 모든 벡터와 평면 위에 모든 벡터가 서로 직교하면, 그 직선(1차원 부분공간)과 평면(2차원 부분공간)은 서로 직교한다. ls-type:: annotation hl-page:: 4 hl-color:: yellow id:: 6a787ea7-709a-4833-b9cc-9134563b40dc
• 행렬 A의 영공간은 A의 행공간과 직교한다. ls-type:: annotation hl-page:: 4 hl-color:: yellow id:: 6a787eb2-c989-4164-beca-de440e0edb91
• A의 열공간 C(A)와 Aᵀ의 영공간 N(Aᵀ)가 직교한다 ls-type:: annotation hl-page:: 4 hl-color:: yellow id:: 6a787ef7-1822-46e0-8709-ed5e9eb05a05
• [:span] ls-type:: annotation hl-page:: 5 hl-color:: yellow id:: 6a787f09-1ca3-4fa6-93e5-3e342dc05a83 hl-type:: area hl-stamp:: 1786281737047
• 전체 공간을 구성하는 직교하는 두 부분공간의 쌍을 특별히 직교여공간이라 한다 ls-type:: annotation hl-page:: 5 hl-color:: yellow id:: 6a788137-090c-4660-8c0e-093b7751a47c
• V의 직교여공간 V⊥은 V와 직교하는 모든 벡터를 포함한다. ls-type:: annotation hl-page:: 5 hl-color:: yellow id:: 6a788141-72f8-496c-b763-902b6938ff79
• [:span] ls-type:: annotation hl-page:: 5 hl-color:: yellow id:: 6a788158-f254-4ace-8d7b-92efbb1a5894 hl-type:: area hl-stamp:: 1786282327912
• 직교하는 두 부분공간에 속하는 유일한 벡터는 영벡터이다 ls-type:: annotation hl-page:: 7 hl-color:: yellow id:: 6a7881ad-9b11-4a79-88c1-01464b139f02
• [:span] ls-type:: annotation hl-page:: 7 hl-color:: yellow id:: 6a7881e1-fb21-49ef-acd2-b678f4d6c28d hl-type:: area hl-stamp:: 1786282465656
• [:span] ls-type:: annotation hl-page:: 7 hl-color:: yellow id:: 6a788201-e377-4ca6-964c-3f8810eac2b2 hl-type:: area hl-stamp:: 1786282496737
• 해의 유일성은 해가 존재함을 의미하고, 해의 존재성은 해가 유일함을 의미한다 ls-type:: annotation hl-page:: 7 hl-color:: yellow id:: 6a78823e-e254-436d-9494-f833c007e475
• 행렬 A는 행공간에서 열공간으로의 가역변환이다 ls-type:: annotation hl-page:: 6 hl-color:: yellow id:: 6a788859-b8b0-4ccf-a774-177555adbcec
• 행공간의 기저벡터 r개와 영공간의 기저벡터 (n-r)개를 더하면 r + (n-r) = n개의 벡터가 된다. 이 n개의 벡터는 선형독립이다. 따라서 Rⁿ을 생성한다 ls-type:: annotation hl-page:: 8 hl-color:: yellow id:: 6a788882-d504-47fd-809d-fa131414360a
• 영공간의 벡터 x와 행공간의 벡터 Aᵀy가 직교: xᵀ(Aᵀy) = (Ax)ᵀy = 0ᵀy = 0 ls-type:: annotation hl-page:: 4 hl-color:: yellow id:: 6a7888b9-0f6a-494b-a9e7-3cf7dbe5dd91
• 벡터 b는 S 안에서 가장 가까운 점 p로 사영된다. 그러면 오차벡터 e = b - p는 부분공간 S와 직교한다. ls-type:: annotation hl-page:: 13 hl-color:: yellow id:: 6a7a03f4-57ff-42c6-9820-cc0446588b7a
• 행렬 A가 선형독립인 열을 갖는다면, 벡터 b의 C(A) 위로의 사영은 p = A(AᵀA)⁻¹Aᵀb이다. 여기서 사영행렬 P = A(AᵀA)⁻¹Aᵀ는 대칭행렬이다 ls-type:: annotation hl-page:: 13 hl-color:: yellow id:: 6a7a0403-2799-49a5-952d-9fdf5d50e671
• P² = P이다. 즉 두 번째 사영은 p를 p로 사영하므로 아무것도 변하지 않는다 ls-type:: annotation hl-page:: 13 hl-color:: yellow id:: 6a7a040f-bcd4-4e55-863a-6152ed91aa7f
• 벡터 b가 직선 위로 사영되면, 사영 p는 벡터 b의 해당 직선 방향 부분이 된다. 벡터 b가 평면 위로 사영되면, 사영 p는 벡터 b의 해당 평면 방향 부분이 된다. 사영 p는 Pb이다. ls-type:: annotation hl-page:: 13 hl-color:: yellow id:: 6a7a0415-779e-42a1-9b91-95340aa2264b
• [:span] ls-type:: annotation hl-page:: 14 hl-color:: yellow id:: 6a7a041f-7af3-4273-a7e3-c56d9b591165 hl-type:: area hl-stamp:: 1786381341457
• 직선과 평면은 단순히 직교하는 것을 넘어, 서로 직교여공간이다 ls-type:: annotation hl-page:: 14 hl-color:: yellow id:: 6a7a042f-2b0c-4ecd-949e-f28c59939ff2
• 벡터들은 p₁ + p₂ = b를 만족하고, 행렬들은 P₁ + P₂ = I, P₁P₂ = 0을 만족한다. ls-type:: annotation hl-page:: 14 hl-color:: yellow id:: 6a7a0437-3040-4bc0-a638-f5b5d33a8f99
• b에서 p까지의 직선은 벡터 a와 직교한다 ls-type:: annotation hl-page:: 15 hl-color:: yellow id:: 6a7a043f-522f-490b-b277-c1d2a36f849c
• [:span] ls-type:: annotation hl-page:: 16 hl-color:: yellow id:: 6a7a044a-2260-4606-b890-6f4f9333742c hl-type:: area hl-stamp:: 1786381386523
• [:span] ls-type:: annotation hl-page:: 16 hl-color:: yellow id:: 6a7a045f-fe09-47a3-b9b0-74e54a3248ee hl-type:: area hl-stamp:: 1786381407053
• [:span] ls-type:: annotation hl-page:: 17 hl-color:: yellow id:: 6a7a046a-3e0f-494b-b603-5a93cc3eeed4 hl-type:: area hl-stamp:: 1786381417724
• 항등행렬 I에 대해 행렬 I - P도 사영행렬이어야 한다 ls-type:: annotation hl-page:: 17 hl-color:: yellow id:: 6a7af20e-41d5-4040-a603-a53e5809a41f
• P가 하나의 부분공간 위로 사영할 때, I - P는 그 부분공간과 직교하는 부분공간 위로 사영한다. ls-type:: annotation hl-page:: 17 hl-color:: yellow id:: 6a7af214-6b8f-4d35-99ab-549c781aa104
• p = Ax̂ (사영) ls-type:: annotation hl-page:: 18 hl-color:: yellow id:: 6a7af225-e248-4100-b418-ce9559de344b
• x̂ 위의 ^(hat) 표기는 열공간 안에서 가장 가까운 벡터를 제공하는 최적의 선택임을 의미한다. n = 1인 경우, 그 최적의 선택은 x̂ = aᵀb/aᵀa이다 ls-type:: annotation hl-page:: 18 hl-color:: yellow id:: 6a7af22c-331d-4718-b45f-3c7997457022
• (S) 안에서 벡터 x̂을 구하고, (C) 안에서 사영 p = Ax̂을 구한 다음, (T) 안에서 사영행렬 P를 구해보자. ls-type:: annotation hl-page:: 18 hl-color:: yellow id:: 6a7af232-2329-4ae5-8b0b-f32445874c99
• 오차벡터 b - Ax̂은 부분공간과 직교한다 ls-type:: annotation hl-page:: 18 hl-color:: yellow id:: 6a7af237-5421-4b5e-9aaf-f18ab9f7b198
• [:span] ls-type:: annotation hl-page:: 19 hl-color:: yellow id:: 6a7af245-203a-4d34-99d3-63a1f7a3bc3e hl-type:: area hl-stamp:: 1786442309180
• 핵심은 정규방정식(normal equation) Aᵀ(b - Ax̂) = 0을 해결하는 단계이다. ls-type:: annotation hl-page:: 19 hl-color:: yellow id:: 6a7af250-44f8-4e4d-8c66-e774cd33390a
• [:span] ls-type:: annotation hl-page:: 19 hl-color:: yellow id:: 6a7af25d-f986-4721-a903-e7463d07eb9a hl-type:: area hl-stamp:: 1786442333608
• 행렬 P = A(AᵀA)⁻¹Aᵀ를 계산할 때 주의할 점이 있다 ls-type:: annotation hl-page:: 20 hl-color:: yellow id:: 6a7af267-9dca-45c0-bc40-f0a8db37093b
• A는 직사각행렬이다. 즉 A의 역행렬은 없다. m > n인 경우에는 A⁻¹가 존재하지 않으므로 (AᵀA)⁻¹를 A⁻¹와 (Aᵀ)⁻¹로 나눌 수 없다 ls-type:: annotation hl-page:: 20 hl-color:: yellow id:: 6a7af26d-7da7-41db-ba30-fac9454a16e0
• AᵀA가 가역행렬일 필요충분조건은 행렬 A의 열이 선형독립인 것이다. ls-type:: annotation hl-page:: 21 hl-color:: yellow id:: 6a7af283-66b3-4560-ae49-96b3acabb433
• [:span] ls-type:: annotation hl-page:: 22 hl-color:: yellow id:: 6a7af28d-1121-4a8f-94c5-3749f4744e14 hl-type:: area hl-stamp:: 1786442380971
• [:span] ls-type:: annotation hl-page:: 18 hl-color:: yellow id:: 6a7b0d0a-167b-4f1f-9889-09c8be19e7e0 hl-type:: area hl-stamp:: 1786449160532
• [:span] ls-type:: annotation hl-page:: 21 hl-color:: yellow id:: 6a7b0d23-2b91-414c-a5e2-50a025e0a7ba hl-type:: area hl-stamp:: 1786449187251
• [:span] ls-type:: annotation hl-page:: 15 hl-color:: yellow id:: 6a7b0d35-505d-4e2b-89fb-270f4e5f86de hl-type:: area hl-stamp:: 1786449205469
• 오차벡터 e = b - Ax를 항상 0으로 줄일 수는 없다. e가 0일 때 x는 Ax = b의 정확한 해이다. e의 크기가 가능한 한 작아서 ‖b - Ax̂‖²이 최솟값에 도달하면, x̂은 최소제곱해가 된다 ls-type:: annotation hl-page:: 28 hl-color:: yellow id:: 6a7dcf45-30e9-47fc-bc0f-3243c1c73a00
• 기본 방정식은 여전히 정규방정식 AᵀAx̂ = Aᵀb이다 ls-type:: annotation hl-page:: 28 hl-color:: yellow id:: 6a7dcf4f-ec05-4a72-afd6-26fe3bde7f0b
• Ax = b의 해가 존재하지 않으면, 이 식의 양변에 Aᵀ를 곱하고 AᵀAx̂ = Aᵀb를 푼다. ls-type:: annotation hl-page:: 28 hl-color:: yellow id:: 6a7dcf53-01d5-412b-9d65-325536a9a5d7
• 임의의 x에 대한 제곱오차 ‖Ax - b‖² = ‖Ax - p‖² + ‖e‖² ls-type:: annotation hl-page:: 30 hl-color:: yellow id:: 6a7dd176-75b8-4e9f-bbf4-25909045ec4e
• 최소제곱해 x̂은 E = ‖Ax - b‖²을 가능한 한 작게 만든다 ls-type:: annotation hl-page:: 30 hl-color:: yellow id:: 6a7dd17a-8e52-4cec-b72c-eab898415e99
• 미분적분학의 관점에서 생각해보자 ls-type:: annotation hl-page:: 31 hl-color:: yellow id:: 6a7f09e3-c19c-4ff6-b00d-d73ac7b9cc59
• AᵀAx̂ = Aᵀb일 때, ‖Ax - b‖²의 편도함수는 0이다 ls-type:: annotation hl-page:: 32 hl-color:: yellow id:: 6a7f0a0d-c7d0-4ebe-b4a7-c2d23caaf25b
• 식 (4)의 두 방정식은 AᵀAx̂ = Aᵀb이다. ls-type:: annotation hl-page:: 32 hl-color:: yellow id:: 6a7f0a47-3114-4b81-af6e-2818eeafc72a
• [:span] ls-type:: annotation hl-page:: 32 hl-color:: yellow id:: 6a7f0a6c-2e57-4d5b-beef-04a0a0062d19 hl-type:: area hl-stamp:: 1786710636598
• [:span] ls-type:: annotation hl-page:: 31 hl-color:: yellow id:: 6a7f0a74-30ff-4ec4-ba78-52d533dd1f8d hl-type:: area hl-stamp:: 1786710644409
• Ax = b 대신에 Ax̂ = p를 푼다. 오차 e = b - p는 피할 수 없다. ls-type:: annotation hl-page:: 32 hl-color:: yellow id:: 6a7f0aac-af80-47bc-9b60-cd999da58ec2
• 영공간 N(A)가 얼마나 작은지에 주목하라. N(A)는 단 하나의 점만 포함한다. 선형독립인 열을 이용하면 Ax = 0의 유일한 해는 x = 0임을 알 수 있다. 그러면 AᵀA는 가역행렬이다. 방정식 AᵀAx̂ = Aᵀb는 최적의 벡터 x̂을 완전히 결정한다. 오차 e = b - p는 Aᵀe = 0을 만족한다 ls-type:: annotation hl-page:: 33 hl-color:: yellow id:: 6a7f0ade-00e5-4727-942b-d85312b043db
• 직선 맞추기(fitting a line)는 최소제곱법에 대한 가장 명확한 응용이다 ls-type:: annotation hl-page:: 33 hl-color:: yellow id:: 6a7f0b52-edff-4a79-a474-8007acbfaf55
• 푸리에 급수(Fourier series)는 무한 차원에서의 최소제곱 문제이다 ls-type:: annotation hl-page:: 38 hl-color:: yellow id:: 6a7f0d62-7ece-49bd-8feb-0343d9b2524c
• 오차벡터 e(즉 잔차(residual) b - Ax̂)는 행렬 A의 열과 직교한다(기하학 관점) ls-type:: annotation hl-page:: 34 hl-color:: yellow id:: 6a7f15b4-5473-4aab-a20c-7938633ae8f5
• [:span] ls-type:: annotation hl-page:: 34 hl-color:: yellow id:: 6a7f15c9-4514-48df-a2a8-86fc14eb92c4 hl-type:: area hl-stamp:: 1786713545633
• [:span] ls-type:: annotation hl-page:: 36 hl-color:: yellow id:: 6a7f15e6-50ab-4391-aeda-acda5434850c hl-type:: area hl-stamp:: 1786713574364
• 기저는 벡터공간을 생성하는 선형독립인 벡터들로 구성된다. ls-type:: annotation hl-page:: 45 hl-color:: yellow id:: 6a82e162-84c7-46ef-bcdf-96db71e7c22f
• 내적 qᵢ · qⱼ가 모두 0일 때 q₁, ..., qₙ은 서로 직교한다. 좀 더 정확히 말하면 i ≠ j일 때만 qᵢᵀqⱼ = 0이다. 한발 더 나아가 각 벡터 q₁, ..., qₙ들을 자기 자신의 크기로 나누면 정규직교 벡터가 된다. 이를 통해 모든 벡터의 크기는 1이 된다 ls-type:: annotation hl-page:: 45 hl-color:: yellow id:: 6a82e178-6b2a-41fd-8096-b20b2403e67d
• [:span] ls-type:: annotation hl-page:: 46 hl-color:: yellow id:: 6a82e18d-e2f1-470d-a591-ff79a4513fc0 hl-type:: area hl-stamp:: 1786962317060
• 일반적으로 QQᵀ ≠ I이다 ls-type:: annotation hl-page:: 46 hl-color:: yellow id:: 6a82e195-abe4-45cf-8c36-23ba4aa08b4f
• Q가 정사각행렬일 때, QᵀQ = I이면 Qᵀ = Q⁻¹이다. 즉 (전치행렬) = (역행렬)이다 ls-type:: annotation hl-page:: 46 hl-color:: yellow id:: 6a82e19e-e3d4-4685-b9f9-b9e1bc804816
• 열들이 정규성은 만족하지 않고 직교성만 만족하는 경우, 내적은 여전히 대각행렬(항등행렬은 아님)을 만든다 ls-type:: annotation hl-page:: 46 hl-color:: yellow id:: 6a82e1a7-0965-48c5-a35a-772b3daba33d
• Q가 직사각행렬이라고 해도 QᵀQ = I는 성립한다 ls-type:: annotation hl-page:: 46 hl-color:: yellow id:: 6a82e1b4-386d-4371-b3b6-cd50d2cfeafe
• 만약 Q가 정사각행렬이면 QQᵀ = I도 성립한다 ls-type:: annotation hl-page:: 46 hl-color:: yellow id:: 6a82e1bf-dd4a-4c0a-8c28-174d9da0d74b
• Q의 역행렬은 전치행렬 Qᵀ이다 ls-type:: annotation hl-page:: 46 hl-color:: yellow id:: 6a82e1c3-f8af-452a-bb90-bbfd4bd80ae9
• 이와 같은 경우 정사각행렬 Q를 직교행렬이라 한다. ls-type:: annotation hl-page:: 46 hl-color:: yellow id:: 6a82e1d1-ceda-425e-9ef1-24dcf5e0ee08
• 직교행렬인지를 빠르게 판정하는 방법은 QᵀQ = I인지 확인하는 것이다 ls-type:: annotation hl-page:: 47 hl-color:: yellow id:: 6a82e1e1-08da-4c9c-a290-6adfb66f7b0b
• 모든 치환행렬은 직교행렬이다 ls-type:: annotation hl-page:: 48 hl-color:: yellow id:: 6a82e1f4-6c26-433e-b727-be8bfd60e96f
• 회전은 모든 벡터의 크기를 유지한다. 반사와 치환도 마찬가지이다. 그러므로 행렬 Q를 곱한다고 해도 벡터의 크기와 벡터 간의 사잇각은 변하지 않는다 ls-type:: annotation hl-page:: 48 hl-color:: yellow id:: 6a82e267-3148-4a25-8b7c-9f8fa7547998
• (Qx)ᵀ(Qx) = xᵀQᵀQx = xᵀIx = xᵀx이므로, ‖Qx‖²은 ‖x‖²과 같음을 알 수 있다 ls-type:: annotation hl-page:: 48 hl-color:: yellow id:: 6a82e26d-cefd-4963-ad7c-5340a6d2cc01
• 모든 벡터 x에 대해 ‖Qx‖ = ‖x‖ ls-type:: annotation hl-page:: 48 hl-color:: yellow id:: 6a82e278-4ece-4377-a3eb-5c7e51f41f88
• (Qx)ᵀ(Qy) = xᵀQᵀQy = xᵀy ls-type:: annotation hl-page:: 48 hl-color:: yellow id:: 6a82e27d-5d9b-45d7-abb7-538d4900b18a
• Qx = b의 최소제곱해는 x̂ = Qᵀb이다. 그리고 사영행렬은 QQᵀ이다 ls-type:: annotation hl-page:: 49 hl-color:: yellow id:: 6a82e28c-5f81-4475-85e9-16bbd2dfa773
• AᵀA는 이제 QᵀQ = I가 된다 ls-type:: annotation hl-page:: 49 hl-color:: yellow id:: 6a82e292-e2e2-461b-aa6b-9b20b081c9cd
• 사영은 p = Qx̂ = QQᵀb이다 ls-type:: annotation hl-page:: 49 hl-color:: yellow id:: 6a82e299-2ec8-4c15-b064-5af3e9eca2e6
• [:span] ls-type:: annotation hl-page:: 49 hl-color:: yellow id:: 6a82e2b6-0d7e-4b09-bc31-3a3910ee76a1 hl-type:: area hl-stamp:: 1786962613749
• Q가 정사각행렬(m = n인 경우)이면, 부분공간은 전체 공간이 된다. ls-type:: annotation hl-page:: 49 hl-color:: yellow id:: 6a82e2bd-91fe-4503-b79b-dd434a306690
• 이때 해는 근사해가 아닌 정확한 해이다. 벡터 b의 전체 공간 위로의 사영은 b 자기 자신이다. 이 경우 p = b, P = QQᵀ = I가 된다 ls-type:: annotation hl-page:: 49 hl-color:: yellow id:: 6a82e2c6-865c-4ea8-92ab-4ffb5985120b
• p = b일 때, 우리의 공식은 b를 1차원 사영들을 모아 놓은 것으로 조합한다 ls-type:: annotation hl-page:: 49 hl-color:: yellow id:: 6a82e305-2b46-4fa9-8882-17831bc270ab
• 모든 b = QQᵀb는 qᵢ들을 따라 사영한 것들의 합이다 ls-type:: annotation hl-page:: 49 hl-color:: yellow id:: 6a82e30a-a62c-41da-990a-4a283a143677
• [:span] ls-type:: annotation hl-page:: 49 hl-color:: yellow id:: 6a82e31e-fa46-47bb-b43d-fcba124367c7 hl-type:: area hl-stamp:: 1786962718092
• 변환은 벡터 b 또는 함수 f(x)를 직교하는 조각들로 분해한다 ls-type:: annotation hl-page:: 49 hl-color:: yellow id:: 6a82e326-de72-4c68-a7ac-d3b895eb174d
• 그다음 식 (6)에서와 ls-type:: annotation hl-page:: 49 hl-color:: yellow id:: 6a82e32e-25cb-436e-8a86-7b6d5f2d6bd7
• 1 ls-type:: annotation hl-page:: 50 hl-color:: yellow id:: 6a82e333-e145-4d1a-a680-a2e1050a199b
• 같이 조각들을 합침으로써, 역변환은 b 또는 f(x)를 원래대로 되돌린다 ls-type:: annotation hl-page:: 50 hl-color:: yellow id:: 6a82e33e-03b7-4ef8-b756-8b421ac4cd8b
• 그람-슈미트 과정은 A = a로 놓고 시작한다 ls-type:: annotation hl-page:: 50 hl-color:: yellow id:: 6a82e3ab-ae59-4678-9572-e372565f69b8
• 첫 번째 방향은 그대로 받아들인다 ls-type:: annotation hl-page:: 50 hl-color:: yellow id:: 6a82e3d0-5802-46a0-83ea-ddcfc4da62ac
• 다음 방향 B는 A와 직교해야 한다 ls-type:: annotation hl-page:: 50 hl-color:: yellow id:: 6a82e3d3-fd4b-4005-9c80-6e2e682944ed
• b에서 b의 A 위로의 사영을 뺀다 ls-type:: annotation hl-page:: 50 hl-color:: yellow id:: 6a82e3d8-90ed-4dd1-b6dd-dee4d0affe72
• A와 직교하는 부분이 남는데, 이것이 바로 벡터 B이다 ls-type:: annotation hl-page:: 50 hl-color:: yellow id:: 6a82e3dc-f30b-4555-9e11-13a72e8a2863
• [:span] ls-type:: annotation hl-page:: 51 hl-color:: yellow id:: 6a82e3e5-5800-483c-8b51-efa352d4f752 hl-type:: area hl-stamp:: 1786962917582
• 세 번째 방향은 A와 B의 선형결합이 아니다 ls-type:: annotation hl-page:: 51 hl-color:: yellow id:: 6a82e3ee-e4b1-4abb-b944-108a14913c54
• 그러므로 다음과 같이 c에서 A, B 방향의 성분을 뺌으로써 C를 얻는다 ls-type:: annotation hl-page:: 51 hl-color:: yellow id:: 6a82e3f9-2f43-481a-b2c3-0be70ba2de43
• [:span] ls-type:: annotation hl-page:: 51 hl-color:: yellow id:: 6a82e3ff-5b89-4d94-bb95-b56e057416e6 hl-type:: area hl-stamp:: 1786962943281
• 새로운 벡터를 기존에 구한 직교하는 벡터들 위로 사영하여, 그 성분들을 새로운 벡터에서 뺀다. ls-type:: annotation hl-page:: 51 hl-color:: yellow id:: 6a82e41a-b11f-4419-8e8b-c245e51a5a97
• 직교벡터 A, B, C, D를 각각의 크기로 나눈다 ls-type:: annotation hl-page:: 51 hl-color:: yellow id:: 6a82e422-a27d-4bcb-8b5d-e1686b0bb1bb
• 연결하는 세 번째 행렬이 존재한다. 이 세 번째 행렬이 A = QR에 있는 삼각행렬 R이다 (이는 1장에서의 R이 아니다) ls-type:: annotation hl-page:: 52 hl-color:: yellow id:: 6a82e460-742e-406f-b5d3-26daef798a8b
• 나중의 벡터가 이전 단계에 끼어들지 않는 점이 그람-슈미트 과정의 핵심이다 ls-type:: annotation hl-page:: 53 hl-color:: yellow id:: 6a82e468-4403-4612-8d6e-56b4137155ab
• [:span] ls-type:: annotation hl-page:: 53 hl-color:: yellow id:: 6a82e471-8752-473f-aed8-f6ed247a229c hl-type:: area hl-stamp:: 1786963056908
• R = QᵀA는 상삼각행렬이 된다 ls-type:: annotation hl-page:: 53 hl-color:: yellow id:: 6a82e478-5914-4040-9b53-d8a2f68fc37f
• R = QᵀA의 (i, j) 성분은 Qᵀ의 i행과 A의 j열의 내적이다 ls-type:: annotation hl-page:: 53 hl-color:: yellow id:: 6a82e47f-92db-4a59-bdce-d0df63beea35
• A, B, C의 크기는 각각 √2, √6, √3이며, 이는 R의 주대각선 위에 있다 ls-type:: annotation hl-page:: 53 hl-color:: yellow id:: 6a82e487-d001-48ec-b13e-29403412fb4c
• 선형독립인 열을 갖는 모든 행렬 A는 A = QR 분해를 갖는다. m×n 행렬 Q는 정규직교하는 열을 갖는 행렬이고, 정사각행렬 R은 양의 주대각성분을 갖는 상삼각행렬이다 ls-type:: annotation hl-page:: 53 hl-color:: yellow id:: 6a82e48d-f499-42c1-be7f-0d9815a27279
• AᵀA = (QR)ᵀQR = RᵀQᵀQR = RᵀR ls-type:: annotation hl-page:: 53 hl-color:: yellow id:: 6a82e495-6827-4b31-b48a-8587b88e3771
• 최소제곱 문제 RᵀRx̂ = RᵀQᵀb 또는 Rx̂ = Qᵀb 또는 x̂ = R⁻¹Qᵀb ls-type:: annotation hl-page:: 54 hl-color:: yellow id:: 6a82e4a0-31eb-46da-855f-b75bb5997eb4
• 필요한 계산은 그람-슈미트 과정에 있는 mn²번의 곱셈이다. ls-type:: annotation hl-page:: 54 hl-color:: yellow id:: 6a82e4b0-bc89-4b23-8ad5-679bcebd0d64
• [:span] ls-type:: annotation hl-page:: 57 hl-color:: yellow id:: 6a82e9cf-83c1-44f9-a6df-255f2da97a19 hl-type:: area hl-stamp:: 1786964431525
• [:span] ls-type:: annotation hl-page:: 50 hl-color:: yellow id:: 6a82ea15-5de9-483d-9c65-15a93c5c3d8a hl-type:: area hl-stamp:: 1786964500815
• [:span] ls-type:: annotation hl-page:: 48 hl-color:: yellow id:: 6a82ea1f-56a2-4be1-abac-4cb47a06c55d hl-type:: area hl-stamp:: 1786964511365
• 모든 행렬 A는 유사역행렬 A⁺를 갖는다. 유사역행렬은 역행렬, 좌역행렬, 우역행렬을 모두 포함한다. ls-type:: annotation hl-page:: 63 hl-color:: yellow id:: 6a855f6d-02af-464b-ad44-6cdb61f7973c
• [:span] ls-type:: annotation hl-page:: 63 hl-color:: yellow id:: 6a855f7a-997f-4ca8-95fb-d572477bd8e8 hl-type:: area hl-stamp:: 1787125625873
• 행렬 A의 랭크 r이 r < m과 r < n을 만족하면 무엇을 기대할 수 있는가 ls-type:: annotation hl-page:: 63 hl-color:: yellow id:: 6a855fcf-ec62-4b22-a9ec-e7d5d880455e
• [:span] ls-type:: annotation hl-page:: 63 hl-color:: yellow id:: 6a855fda-fea7-4d81-972e-04718e48d53c hl-type:: area hl-stamp:: 1787125722381
• x⁺가 영공간 성분으로 0을 갖는다 ls-type:: annotation hl-page:: 63 hl-color:: yellow id:: 6a855fe0-2eb2-4a14-91bf-9a54a70ea013
• [:span] ls-type:: annotation hl-page:: 64 hl-color:: yellow id:: 6a855ff4-89f2-4e1d-a036-be210e4b63ab hl-type:: area hl-stamp:: 1787125748462
• [:span] ls-type:: annotation hl-page:: 64 hl-color:: yellow id:: 6a856002-40c1-44eb-acc5-594e6e5f8c2a hl-type:: area hl-stamp:: 1787125762067
• [:span] ls-type:: annotation hl-page:: 65 hl-color:: yellow id:: 6a85600c-3cac-4ba4-9f76-bc8e55a4ff1c hl-type:: area hl-stamp:: 1787125772423
• 행공간의 두 벡터 x와 X가 열공간의 동일한 벡터 Ax = AX로 갈 수는 없다는 것 ls-type:: annotation hl-page:: 66 hl-color:: yellow id:: 6a85601e-b15a-432c-a104-43aa309f4d34
• 열공간의 모든 벡터 b = Ax는 행공간의 단 하나의 벡터 x로부터 나온다. 그러면 A⁺b = x이다. ls-type:: annotation hl-page:: 66 hl-color:: yellow id:: 6a85602c-bc22-4eb5-86c2-1079716484c5
• [:span] ls-type:: annotation hl-page:: 67 hl-color:: yellow id:: 6a856034-75b4-4025-8463-6bbce9302041 hl-type:: area hl-stamp:: 1787125811831
• [:span] ls-type:: annotation hl-page:: 67 hl-color:: yellow id:: 6a85603b-9d37-4456-b37c-0732cb7b80d3 hl-type:: area hl-stamp:: 1787125818753
• [:span] ls-type:: annotation hl-page:: 67 hl-color:: yellow id:: 6a856040-be47-4a73-a52b-d486b76c8d2f hl-type:: area hl-stamp:: 1787125824274
• [:span] ls-type:: annotation hl-page:: 67 hl-color:: yellow id:: 6a856047-b418-487d-873c-2967c2407488 hl-type:: area hl-stamp:: 1787125831688
• 모든 행렬 A는 행공간에서 열공간으로(즉 r차원에서 r차원으로)의 가역변환이다 ls-type:: annotation hl-page:: 69 hl-color:: yellow id:: 6a856065-6171-48c3-88a1-51dd03f8ea10
• [:span] ls-type:: annotation hl-page:: 69 hl-color:: yellow id:: 6a85606a-40c4-4d49-be45-8b3997d0b687 hl-type:: area hl-stamp:: 1787125866574
• [:span] ls-type:: annotation hl-page:: 69 hl-color:: yellow id:: 6a856077-68be-4fbd-b9af-716de18b6602 hl-type:: area hl-stamp:: 1787125878829
• A⁺와 Aᵀ는 동일한 행공간과 열공간을 갖는다. 둘의 차이점은 A⁺A가 행공간 위로 사영하는 대칭인 사영행렬이라는 것이다 ls-type:: annotation hl-page:: 69 hl-color:: yellow id:: 6a856080-57ec-455d-8096-8c361f5939fc
• [:span] ls-type:: annotation hl-page:: 69 hl-color:: yellow id:: 6a856088-3271-41fd-b568-8a0c1b029b59 hl-type:: area hl-stamp:: 1787125895702