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deck:: Logseq/전공공부/선형대수학

- ![1장 벡터와 행렬.pdf](../assets/1장_벡터와_행렬_1784335993046_0.pdf)
- # 1장 벡터와 행렬, 정리
	- 선형대수학은 벡터 $v$와 행렬 $A$에 관한 학문이다. 1장은 **벡터 → 내적 → 행렬 → 행렬곱** 순서로 진행하며, 모든 것을 **"열들의 선형결합"** 이라는 하나의 관점으로 꿰어 나간다.
	- 💡 **직관, 1장 전체를 관통하는 2가지 질문**
		- ① 모든 선형결합 $Ax = x_1v_1 + x_2v_2 + \cdots + x_nv_n$ 은 어떤 모양(직선/평면/공간)을 채우는가? →  {{cloze **열공간** (1.3절)}}
		  id:: 6a5cd2bb-ac14-4d51-9b6f-f171607384a9
		- ② 원하는 출력 $b$ 를 만드는 수 $x_1, \dots, x_n$ 을 찾을 수 있는가? → **선형방정식** $Ax=b$ (2장에서 본격적으로)
- ## 1.1 벡터와 선형결합
	- 📌 원문 요약 박스 (p.21): [🔗 PDF 위치](((6a5b74dd-cab9-4dcd-92c2-1cbaf5c9fc6c)))
		- ![1장 요약 박스 (p.21)](../assets/1장_p21_요약박스.png)
	- ### 핵심 개념
		- {{cloze **선형결합** (linear combination)}} : 임의의 수 $c, d$ 에 대한 $cv + dw$ 형태.
		  id:: 6a5cd2bb-5333-4193-af1d-b22b4ef910dd
			- 벡터의 2가지 기본 연산을 합친 것: **수 곱하기** ($3v$) + **같은 차원끼리 더하기** ($v+w$).
		- ![벡터의 합, 평행사변형](../assets/1장_p22_벡터합_평행사변형.png)
			- (p.22) $v+w$ 는 평행사변형의 대각선이며 $v+w = w+v$ 이다.
		- **선형결합이 채우는 모양** (기하학적 해석):
			- $cv$ (모든 수 $c$) → 원점을 지나는 **직선**
			- $cv + dw$ ($w$ 는 $v$ 의 배수가 아님) → **평면** 전체
			- 선형독립인 세 벡터의 결합 $ci + dj + ek$ → 3차원 공간 ($\mathbb{R}^3$) 전체
		- **연립방정식과의 연결**: 특정 $b$ 에 대해 $cv + dw = b$ 를 푸는 문제는 3가지 방식으로 볼 수 있다 (p.23 표).
			- **열 방법**: 선형결합 $c \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} + d \begin{bmatrix} w_1 \\ w_2 \end{bmatrix} = b$
			- **행 방법**: $c, d$ 에 대한 방정식 2개
			- **행렬 방법**: $\begin{bmatrix} v_1 & w_1 \\ v_2 & w_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix} = b$
			- 📌 원문 표 (p.23): [🔗 PDF 위치](((6a5b74f6-a99c-4df9-857c-944875fdbec4)))
				- ![세 가지 방식 표 (p.23)](../assets/1장_p23_선형결합_표.png)
		- **소거법**: 한 방정식에서 다른 방정식의 배수를 빼서 좌변에 0을 만든다 → 미지수 하나 소거 → 역대입.
			- 첫 방정식에 0이 있어 소거가 어려워 보이면 **방정식 순서를 바꾸면** 된다.
		- **소거법이 실패하는 경우** = {{cloze 해가 없는 경우뿐이다.}}
		  id:: 6a5cd2bb-1b88-431c-9c8c-f5fd402cac9c
			- $v, w$ 가 원점을 지나는 **같은 직선 위** (예: $w = 3v$, **선형종속**) 이고 $b$ 가 그 직선 밖일 때.
		- **선형독립 / 선형종속** (2차원의 경우):
			- 두 벡터가 같은 직선 위에 있지 않으면 → {{c1 **선형독립**}} . 
			  extra:: 결합이 평면을 채우고, $cv+dw=b$ 의 해가 정확히 하나 존재. 이때 행렬 $[v \ w]$ 의 역행렬이 존재한다.
			  id:: 6a5cd2bb-2d68-42ac-ad39-2c622d1b8e69
			- 배수 관계면 → {{c1 **선형종속**}} . 
			  extra:: 결합은 직선만 채운다.
			  id:: 6a5cd2bb-75b0-4aa7-ba9b-85ec5aad11b1
		- **3차원 벡터**: 성분이 3개인 벡터. 선형독립인 두 3차원 벡터의 결합은 :->  $\mathbb{R}^3$ 안의 **원점을 지나는 평면**을 채운다 — 공간 전체가 아니다.
		  id:: 6a5cd2bb-dad1-4d5e-ad2b-9c1924aec5a3
			- 공간 전체를 채우려면 선형독립인 벡터 **3개**가 필요 (가장 간단한 예: $i, j, k$).
			- 항등행렬 $I$ 는 모든 벡터에 대해 $Iv = v$. 숫자 1의 역할.
			- ⚠️ **주의**: 벡터 2개가 평면밖에 못 채우는 것은 선형종속이라서가 아니라 **벡터 개수가 부족**해서다. "종속" 과 "개수 부족" 을 구분할 것.
		- ⚠️ **주의**: 차원이 다른 벡터끼리는 더할 수 없다 (2차원 $v$ 와 3차원 $w$ 의 선형결합은 불가).
		- 💡 **직관, 평면인지 확인하는 법** (p.26): 표면 위 임의의 두 점(선형결합)의 중점도 다시 그 표면 위의 점(또 다른 선형결합)이다 → 평면의 기본 성질을 만족. 완전한 증명은 1.2절의 법선벡터로.
	- ### ❓ 스스로 점검
		- 선형결합 $cv + dw$ 가 평면이 아니라 직선만 채우는 경우는 언제인가? #card
		  id:: 6a5cd2bb-b760-4376-92f6-681e4e1f2674
			- $w$ 가 $v$ 의 상수배일 때 (두 벡터가 원점을 지나는 동일한 직선 위 = 선형종속).
		- $cv + dw = b$ 의 해가 정확히 하나 존재할 조건은? #card
		  id:: 6a5cd2bb-c86e-4081-99b2-35cfa38172cf
			- $v, w$ 와 영벡터가 같은 직선 위에 있지 않을 때 (선형독립). 이때 결합이 평면 전체를 채우므로 어떤 $b$ 도 만들 수 있다.
		- 선형독립인 두 3차원 벡터의 선형결합은 $\mathbb{R}^3$ 를 채우는가? #card
		  id:: 6a5cd2bb-8b6c-4d8d-a075-70d82a6b4f14
			- 아니다. 원점을 지나는 평면까지만 채운다. 공간을 채우려면 선형독립인 벡터 3개가 필요하다.
	- ### ✏️ 연습문제 풀이 (솔루션 참고)
		- **문제 2**. 점 $(0,0) \to (5,0) \to (0,12) \to (0,0)$ 으로 삼각형을 돌 때의 세 벡터 $u, v, w$ 와 $u+v+w$, 각 길이를 구하라.
			- $u = (5, 0)$, $v = (-5, 12)$, $w = (0, -12)$. 한 바퀴 돌아 제자리로 오므로 $u+v+w = (0, 0)$.
			- 길이: $\|u\| = 5$, $\|v\| = \sqrt{25+144} = 13$, $\|w\| = 12$. → $5^2 + 12^2 = 13^2$ 인 **5–12–13 직각삼각형**.
			- 💡 닫힌 도형의 변 벡터를 순서대로 모두 더하면 항상 영벡터다 (문제 21의 삼각형 세 점선도 같은 원리).
		- **문제 5**. $v+w = (5,1)$, $v-w = (1,5)$ 일 때 $v, w$ 는?
			- 대각선에서 변을 복원하는 문제 (문제 4의 반대 방향).
			- $v = \frac{1}{2}(v+w) + \frac{1}{2}(v-w) = (3, 3)$, $w = \frac{1}{2}(v+w) - \frac{1}{2}(v-w) = (2, -2)$.
		- **문제 8**. $v = (1, -2, 1)$, $w = (0, 1, -1)$ 의 모든 선형결합은 성분 합이 0이다. $cv + dw = (3, 3, -6)$ 인 $c, d$ 는? $(3, 3, 6)$ 은 왜 불가능한가?
			- $v, w$ 각각 성분 합이 0이므로 $cv+dw$ 의 성분 합도 항상 $c \cdot 0 + d \cdot 0 = 0$.
			- 첫 성분에서 $c = 3$, 둘째 성분에서 $-2 \cdot 3 + d = 3$ 이므로 $d = 9$. 검산: 셋째 성분 $3 - 9 = -6$ ✓.
			- $(3,3,6)$ 은 성분 합이 $12 \neq 0$ 이므로 어떤 선형결합으로도 만들 수 없다.
		- **문제 10** (만만치 않은 문제). $u = (1,1,0)$, $v = (0,1,1)$, $w = (a,b,c)$ 가 선형독립인지 어떻게 판정하는가?
			- $w = x_1 u + x_2 v$ 가 풀리는지 확인한다. 첫 성분에서 $x_1 = a$, 셋째 성분에서 $x_2 = c$ 가 강제된다.
			- 남은 둘째 성분 조건: $a + c = b$. → $b = a+c$ 이면 **선형종속**, $b \neq a+c$ 이면 **선형독립**.
			- 💡 "앞 벡터들이 강제하는 계수를 다 쓰고, 남는 방정식이 성립하는지 본다". 이후 소거법의 축소판.
- ## 1.2 내적으로부터의 길이와 각
	- ### 핵심 개념
		- **내적** (dot product) 식 :-> $v \cdot w = v_1 w_1 + v_2 w_2 + \cdots + v_n w_n$. 순서는 무관: $v \cdot w = w \cdot v$.
		  id:: 6a5cd2bb-4974-45f5-9e1b-e1dd68b83b14
			- 📌 원문 정의, 2차원 식 (1) (p.31): [🔗 PDF 위치](((6a5b750f-8720-4ae8-b8d5-2399b6c6cb65)))
				- ![내적 정의 식 (1) (p.31)](../assets/1장_p31_내적_식1.png)
			- 📌 원문 정의, $n$ 차원 식 (2) (p.31): [🔗 PDF 위치](((6a5b7514-9a2e-4601-ab79-a26e887561a0)))
				- ![내적 정의 식 (2) (p.31)](../assets/1장_p31_내적_식2.png)
		- **길이** (length) 식 :-> $\|v\| = \sqrt{v \cdot v} = \sqrt{v_1^2 + \cdots + v_n^2}$.
		  id:: 6a5cd2bb-6c83-4d77-a3df-813f82a69e4e
			- 피타고라스 정리의 $n$ 차원 확장. 차원을 하나씩 추가하며 직각삼각형을 반복 적용한다.
			- $n$ 차원 단위정육면체의 대각선 길이는 $\sqrt{n}$ (예: $(1,1,1,1)$ 의 길이는 2).
		- ![피타고라스와 벡터의 길이](../assets/1장_p31_피타고라스_길이.png)
			- (p.31 그림 1.3) 2차원 $v=(1,2)$ 의 길이 $\sqrt{5}$, 3차원 $w=(1,2,3)$ 의 길이 $\sqrt{14}$.
		- **단위벡터** (unit vector): 길이가 1인 벡터. $v \neq 0$ 이면 다음은 단위벡터다
			- 벡터 $v$를 단위벡터 $u$로 만드는 식 #card
			  id:: 6a5cdb81-b054-450d-b662-ba1897e653e4
				- $u = \dfrac{v}{\|v\|}$
			- $xy$-평면에서 $x$ 축과 각 $\theta$ 를 이루는 단위벡터 $u$는 ? :-> $u = (\cos\theta, \sin\theta)$.
			  id:: 6a5cd2bb-cd9e-4dac-9946-6965d108d7c0
		- **수직인 벡터**: $v \cdot w = 0$ ⟺ 사잇각 $90°$.
			- 이때 $\|v+w\|^2 = \|v\|^2 + \|w\|^2$ (피타고라스). 전개하면 교차항 $v \cdot w + w \cdot v$ 가 사라지기 때문.
		- **내적의 부호** = 사잇각의 정보:
			- $v \cdot w > 0$ :-> 예각 ($\theta < 90°$)
			  id:: 6a5cd2bb-86dd-4068-9daf-ee32be1a6ec4
			- $v \cdot w = 0$ :-> 직각
			  id:: 6a5cdc28-cac9-46e7-82ef-ec0e872160fc
			- $v \cdot w < 0$ :-> 둔각 ($\theta > 90°$)
			  id:: 6a5cdf7c-0328-4291-bd08-55ea6798eef6
		- ![내적의 부호와 사잇각](../assets/1장_p35_내적부호_사잇각.png)
			- (p.35 그림 1.6) 부호가 갈리는 경계선이 수직인 경우다.
		- **코사인 공식** (cosine formula): $v, w$ 가 영벡터가 아닐 때 #card
		  id:: 6a5cd2bb-bcc2-4a21-ad38-e66f088687f1
			- $$\cos\theta = \frac{v \cdot w}{\|v\| \|w\|}$$
			- 단위벡터끼리라면 그냥 $\cos\theta = u \cdot w$
			- 📌 원문 식 (5) (p.35): [🔗 PDF 위치](((6a5b752c-fe72-4e43-b869-f6d77622c379)))
				- ![코사인 공식 식 (5) (p.35)](../assets/1장_p35_코사인공식_식5.png)
		- $|\cos\theta| \le 1$ 로부터 얻는, 수학에서 가장 중요한 2가지 부등식:
			- **슈바르츠 부등식** (Schwarz inequality) :-> $|v \cdot w| \le \|v\| \|w\|$
			  id:: 6a5cd2bb-3fcb-4499-8f2c-fe5842aeab81
			- **삼각부등식** (triangle inequality) :-> $\|v+w\| \le \|v\| + \|w\|$ — 삼각형의 한 변은 나머지 두 변의 합을 초과할 수 없다.
			  id:: 6a5cd2bb-e1ef-462f-80b4-655b8d38e098
			- 삼각부등식은 슈바르츠 부등식으로부터 유도: $\|v+w\|^2 \le \|v\|^2 + 2\|v\|\|w\| + \|w\|^2 = (\|v\|+\|w\|)^2$.
			- 📌 원문 박스 (p.36): [🔗 PDF 위치](((6a5b7538-a296-44b4-9477-21b6393c05ce)))
				- ![슈바르츠·삼각부등식 박스 (p.36)](../assets/1장_p36_부등식박스.png)
		- 응용 예:
			- 경제 (EX 5): 총비용 = (수량 벡터 $q$) $\cdot$ (가격 벡터 $p$). 내적이 0이면 장부의 균형 (수입 = 지출).
			- 기하평균 ≤ 산술평균 (EX 8): $v=(a,b)$, $w=(b,a)$ 에 슈바르츠를 적용하면 $2ab \le a^2 + b^2$, 즉 $|ab| \le \frac{1}{2}(a^2+b^2)$.
		- **3차원 공간 안의 평면**: 법선벡터 $n$ 에 수직인 모든 벡터 $w$ ($w \cdot n = 0$) 는 $\mathbb{R}^3$ 안의 2차원 평면을 채운다.
			- 평면의 방정식: $n_1 w_1 + n_2 w_2 + n_3 w_3 = 0$. 예: $xy$-평면은 $n = (0,0,1)$ 이므로 $w_3 = 0$ (즉 $z = 0$).
		- ⚠️ **주의**: 코사인 공식은 $v, w$ 가 **영벡터가 아닐 때**만 정의된다 (0으로 나눌 수 없음).
		- ⚠️ **주의**: 내적이 0이어도 두 벡터가 영벡터인 것이 아니다. 수직일 뿐이다.
	- ### ❓ 스스로 점검
		- 내적으로 두 벡터의 사잇각이 예각/직각/둔각인지 어떻게 판별하는가?
			- 내적의 부호로: $v \cdot w > 0$ 예각, $= 0$ 직각, $< 0$ 둔각.
		- 슈바르츠 부등식과 삼각부등식을 쓰고, 어느 쪽에서 어느 쪽이 유도되는지 말하라.
			- $|v \cdot w| \le \|v\|\|w\|$ (슈바르츠), $\|v+w\| \le \|v\| + \|w\|$ (삼각). $\|v+w\|^2$ 을 전개한 뒤 교차항에 슈바르츠를 적용하면 삼각부등식이 나온다.
		- 등식 $|v \cdot w| = \|v\|\|w\|$ 는 언제 성립하는가? (확인문제 1.2B) #card
		  id:: 6a5cd2bb-c4ba-4cc9-b35c-7ffd2a69e30d
			- 한 벡터가 다른 벡터의 배수일 때 ($w = cv$). 이때 $|\cos\theta| = 1$, 즉 사잇각이 $0°$ 또는 $180°$.
		- 벡터 $v$ 방향의 단위벡터는 어떻게 만드는가?
			- 길이로 나눈다: $u = v/\|v\|$.
	- ### ✏️ 연습문제 풀이 (솔루션 참고)
		- **문제 3**. $u = (-0.6, 0.8)$, $v = (4, 3)$, $w = (1, 2)$ 에 대해 $v, w$ 방향 단위벡터와 $v, w$ 사잇각의 코사인을 구하라. 또 $w$ 와 각각 $0°, 90°, 180°$ 를 이루는 벡터 $a, b, c$ 는?
			- $v/\|v\| = (0.8, 0.6)$, $w/\|w\| = (1, 2)/\sqrt{5}$. (참고: $u$ 는 $0.36 + 0.64 = 1$ 이라 이미 단위벡터.)
			- $\cos\theta = \dfrac{v \cdot w}{\|v\| \|w\|} = \dfrac{4 + 6}{5\sqrt{5}} = \dfrac{2}{\sqrt{5}}$
			- $a = w$ (0°, 양의 배수면 아무거나), $b = (2, -1)$ (내적 0), $c = -w$ (180°).
		- **문제 8**. 참/거짓 판별.
			- (a) $u = (1,1,1)$ 이 $v, w$ 와 수직이면 $v$ 는 $w$ 와 평행하다 → **거짓**. $v, w$ 는 $u$ 에 수직인 **평면** 위의 임의의 두 벡터일 수 있다 (평면 안에서 서로 다른 방향 가능).
			- (b) $u$ 가 $v, w$ 와 수직이면 $u$ 는 $v + 2w$ 와 수직이다 → **참**. $u \cdot (v + 2w) = u \cdot v + 2 u \cdot w = 0 + 0 = 0$.
			- (c) $u, v$ 가 수직인 단위벡터면 $\|u - v\|^2 = 2$ → **참**. $\|u-v\|^2 = u \cdot u - 2 u \cdot v + v \cdot v = 1 - 0 + 1 = 2$.
			- 💡 (b)가 말하는 것: 어떤 벡터에 수직인 벡터들의 **모든 선형결합**도 그 벡터에 수직이다. "평면 = 법선에 수직인 벡터 전체" 의 근거.
		- **문제 12**. $v = (1,1)$, $w = (1,5)$ 일 때 $w - cv$ 가 $v$ 와 수직이 되게 하는 $c$ 는? 일반 공식은?
			- $v \cdot (w - cv) = 0$ → $v \cdot w = c \, (v \cdot v)$ → $c = \dfrac{v \cdot w}{v \cdot v} = \dfrac{6}{2} = 3$
			- 검산: $w - 3v = (-2, 2)$, $(1,1) \cdot (-2,2) = 0$ ✓.
			- 💡 "$cv$ 를 빼서 $v$ 에 수직인 성분만 남긴다". 수직인 벡터를 구성하는 핵심 열쇠 (솔루션 표현).
		- **문제 25** (꼭 풀어볼 만한 문제). $\|v\| = 5$, $\|w\| = 3$ 일 때 $\|v - w\|$ 와 $v \cdot w$ 의 가능한 최소·최대는?
			- 삼각부등식에서 $\|v - w\|$ 는 최소 $5 - 3 = 2$, 최대 $5 + 3 = 8$.
			- 슈바르츠 부등식에서 $|v \cdot w| \le 5 \cdot 3 = 15$, 즉 $-15 \le v \cdot w \le 15$.
			- 💡 극값은 모두 두 벡터가 **같은 직선 위**일 때 (평행 또는 반평행) 달성된다.
- ## 1.3 행렬과 열공간
	- ### 핵심 개념
		- $m \times n$ **행렬** $A$: $m$ 개의 행, $n$ 개의 열. $m = n$ 이면 **정사각행렬** (square matrix).
			- 특수한 형태 (p.43): 항등행렬, 대각행렬, 삼각행렬, 대칭행렬.
		- $Ax$ **를 계산하는 2가지 방법**: 결과는 같지만 관점이 다르다:
			- **행을 이용한 방법**: $Ax$ 의 $i$ 번째 성분 = ($A$ 의 $i$ 행) $\cdot$ $x$. 내적 $m$ 번, 손계산에 편리.
			- **열을 이용한 방법**: $Ax = x_1 a_1 + x_2 a_2 + \cdots + x_n a_n$, $A$ 의 **열들의 선형결합**. 의미를 이해할 때는 이쪽.
			- ⚠️ 책의 일관된 강조: "열벡터 $Ax$는 행렬 $A$의 열들의 선형결합이다." 이 문장이 1장의 중심이다.
		- **선형독립 / 선형종속** (열 관점의 판정):
			- 각각의 새로운 열이 **이전 열들의 선형결합으로 만들 수 없을 때** → 열들은 선형독립.
			- 동치 표현: $Ax = 0$ 을 만드는 유일한 선형결합이 $x = 0$ 일 때.
			- 판정 관례: **왼쪽 열에서 오른쪽 열로** 이동하며 "새로운 방향인가?" 를 확인한다.
		- **열공간** (column space) $C(A)$: 모든 벡터 $Ax$, 즉 열들의 **모든 선형결합**의 집합.
			- **생성** (span): 벡터 집합의 모든 선형결합. "행렬 $A$ 의 열의 생성 = 열공간".
			- 방정식과의 연결: $Ax = b$ 는 $b$ 가 $C(A)$ 에 있을 때 해 $x$ 를 갖는다.
			- 📌 원문 박스 (p.46): [🔗 PDF 위치](((6a5b7553-d1c5-49ea-b1e1-e9b008137458)))
				- ![열공간 박스 (p.46)](../assets/1장_p46_열공간박스.png)
		- $m = 3$ (열들이 3차원 벡터)일 때 열공간으로 가능한 4가지:
			- ① 전체 공간 $\mathbb{R}^3$, 선형독립인 열 3개
			- ② 원점을 지나는 평면, 선형독립인 열 2개
			- ③ 원점을 지나는 직선, 선형독립인 열 1개
			- ④ 점 $(0,0,0)$, $A$ 가 영행렬
			- ⚠️ 열공간은 **항상** {{c1 **원점**}}**을** **포함**한다.
			  extra:: ($x = 0$ 이면 $Ax = 0$).
			  id:: 6a5dc4d9-762e-45d2-8581-5e4807293d63
			- 📌 원문 (4가지 경우, p.48): [🔗 PDF 위치](((6a5b7574-72d1-4ac2-bb64-3f37b95a3f5e)))
				- ![열공간의 4가지 경우 (p.48)](../assets/1장_p48_4가지경우.png)
		- **랭크** (rank) $r$: 선형독립인 열의 개수. 열공간의 "실제 크기".
		- **랭크 1 행렬**: 모든 열이 동일한 직선 위 → 열공간이 원점을 지나는 직선.
			- 놀라운 사실: 이때 {{c1 **모든 행도 하나의 직선 위**}}에 있다 (모든 행이 한 행의 상수배).
			  extra:: $2 \times 2$ 로 확인: 2열이 1열의 $m$ 배인 $\begin{bmatrix} a & ma \\ b & mb \end{bmatrix}$ 에서 2행 $[b \ mb]$ 는 1행 $[a \ ma]$ 의 $\frac{b}{a}$ 배.
			  id:: 6a5dc4d9-a275-4264-8aa3-bb43f25d12c1
			- → **행 랭크 = 열 랭크** (선형대수학의 첫 번째 위대한 정리). 랭크 1은 여기서 확인, 일반 증명은 1.4절 $A = CR$ 로.
		- 1.4절로 가는 질문들 (p.48): 독립인 열은 몇 개인가(= 랭크 $r$)? 처음 $r$ 개의 독립인 열은(= 열공간의 **기저**)? $A$ 를 어떻게 $CR$ 로 분해하는가?
			- 📌 원문 질문 박스 (p.48): [🔗 PDF 위치](((6a5b7579-424b-4e07-9595-4adb2c4014fa)))
				- ![1.4절로 가는 질문 박스 (p.48)](../assets/1장_p48_질문박스.png)
	- ### ❓ 스스로 점검
		- $Ax$ 를 "열을 이용한 방법"으로 설명하라. #card
		  id:: 6a5dc4d9-1f58-4bed-95c9-a01f47a485be
			- $Ax$ 는 $A$ 의 열들의 선형결합 $x_1 a_1 + \cdots + x_n a_n$ 이다. $x$ 의 성분들이 각 열의 계수가 된다.
		- $Ax = b$ 가 해를 가질 조건을 열공간의 언어로 말하라. #card
		  id:: 6a5dc4d9-aae0-4f41-a674-f8b977bef43d
			- $b$ 가 열공간 $C(A)$ 에 속할 때, 즉 $b$ 가 $A$ 의 열들의 선형결합으로 표현될 때.
		- $3 \times 3$ 행렬의 열공간으로 가능한 4가지는? #card
		  id:: 6a5dc4d9-3403-4611-b491-fa3e2b7e07c0
			- $\mathbb{R}^3$ 전체 / 원점을 지나는 평면 / 원점을 지나는 직선 / 점 $(0,0,0)$. (각각 독립인 열 3, 2, 1, 0개.)
		- 열공간이 직선인 행렬은 행에 대해 어떤 성질을 갖는가?
			- 모든 행이 한 행의 상수배 (행공간도 직선). 랭크 1: 행 랭크 = 열 랭크 = 1.
	- ### ✏️ 연습문제 풀이 (솔루션 참고)
		- **문제 1**. 다음 행렬들의 열공간(점, 직선, 평면, 전체 공간)을 설명하라.
			- $A_1 = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 1 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}$ : 두 열이 선형독립 (2열이 1열의 배수가 아님, 셋째 성분 비율이 다름) → $\mathbb{R}^3$ 안의 **평면**.
			- $A_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ : 삼각행렬, 주대각선에 0 없음 → 세 열 독립 → $\mathbb{R}^3$ **전체**.
			- $A_3 = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 2 & 10 \\ 1 & 5 \end{bmatrix}$ : 2열 = 5 × 1열 → 독립인 열 1개 → 원점을 지나는 **직선**.
			- $A_4 = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ : 영행렬 → **점** $(0,0,0)$.
		- **문제 12**. $\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = b$ 를 $b = (4,6)$, $(-2,-2)$, $(1,1)$ 에 대해 각각 풀어라.
			- "$b$ 를 만드는 열들의 선형결합 찾기" 그 자체다.
			- $(4, 6)$ = 1열 + 2열 → $x = (1, 1)$.
			- $(-2, -2)$ = 1열 − 2열 → $x = (1, -1)$.
			- $(1, 1)$ = $-\frac{1}{2}$(1열) + $\frac{1}{2}$(2열) → $x = (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$.
		- **문제 14**. 각 행렬이 선형독립인 열을 2개 갖도록 하는 $q$ 는?
			- (a) $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 3 & 1 & 9 \\ 5 & 0 & q \end{bmatrix}$ : 3열 = 2(1열) + 3(2열) 이려면 $q = 2 \cdot 5 + 3 \cdot 0 = 10$.
			- (b) $\begin{bmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & q \end{bmatrix}$ : 3열 = −(1열) + 2(2열) 이려면 $q = -3 + 12 = 9$.
			- (c) $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & q \end{bmatrix}$ : 2열 = 1열이라 이미 종속. 독립인 열이 2개가 되려면 3열이 새로운 방향이어야 → $q \neq 0$ ($q = 0$ 이면 3열 = 2(1열)로 독립인 열이 1개뿐).
			- ⚠️ (a)(b)는 "종속으로 만드는" 등식 조건, (c)는 "독립으로 만드는" 부등식 조건. 문제가 요구하는 개수를 기준으로 방향을 판단할 것.
- ## 1.4 행렬곱 AB와 CR
	- ### 핵심 개념
		- **행렬곱의 정의**: 두 가지 동등한 관점:
			- 열 관점: $A \times (B$ 의 $j$ 열$) = (AB$ 의 $j$ 열$)$. 즉 $B = [b_1 \cdots b_p]$ 이면 $AB = [Ab_1 \cdots Ab_p]$.
			- 내적 관점: $AB$ 의 $i$ 행 $j$ 열 성분 = ($A$ 의 $i$ 행) $\cdot$ ($B$ 의 $j$ 열).
			- 크기 조건: $(m \times n)(n \times p) = m \times p$, $A$ 의 행 길이와 $B$ 의 열 길이가 같아야 곱셈 가능.
			- 곱셈 횟수: 어떤 방법이든 총 $mnp$ 번.
		- ![행렬곱을 계산하는 4가지 방법](../assets/1장_p65_행렬곱_4가지방법.png)
			- (p.65) ① 내적(행·열) ② 열 방법 ③ 행 방법 ④ (열)×(행): 순서만 다를 뿐 모두 $mnp$ 번의 곱셈.
		- **교환법칙은 성립하지 않는다**: 일반적으로 $AB \neq BA$.
			- 교환행렬 $B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ 의 예: $AB$ 는 $A$ 의 **열** 교환, $BA$ 는 $A$ 의 **행** 교환.
			- 오른쪽에 곱하면 열 연산, 왼쪽에 곱하면 행 연산.
		- **결합법칙·분배법칙은 성립한다**: $(AB)C = A(BC)$, $A(B+C) = AB + AC$.
			- 특히 $(AB)x = A(Bx)$, 좌변은 $AB$ 의 $j$ 열, 우변은 $A \times (B$ 의 $j$ 열$)$. 행렬곱 정의와 일치.
		- **외적** (outer product): (열) × (행) = **랭크 1 행렬**.
			- 네 번째 계산법: $AB = a_1 b_1^* + a_2 b_2^* + \cdots + a_n b_n^*$, 랭크 1 행렬 $n$ 개의 합.
			- ⚠️ (역자 주) 여기서 외적은 물리의 벡터곱(cross product)이 아니라 **텐서곱**이다.
		- **행렬 분해** $A = CR$ : $(m \times n) = (m \times r)(r \times n)$, $r$ = 랭크.
			- $C$ 만들기: $A$ 의 열을 **왼쪽→오른쪽**으로 훑으며 이전 열들의 선형결합이 아닌 열만 포함 → $r$ 개의 **선형독립인 열**.
			- $R$ 의 역할: $C$ 의 열들을 어떻게 결합하면 $A$ 의 각 열이 나오는지 기록. $(A$ 의 $j$ 열$) = C \times (R$ 의 $j$ 열$)$.
			- $R = [I \ F]$ 구조: $C$ 로 들어간 열 위치에 항등행렬 $I$, 종속인 열 위치에 결합 계수 ($F$).
			- 예 (p.60): $\begin{bmatrix} 2 & 6 & 4 \\ 4 & 12 & 8 \\ 1 & 3 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 8 \\ 1 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$, 2열 = 3(1열) 이라 $C$ 에서 제외, $R$ 의 2열에 계수 3.
			- 📌 원문 정리 ❶❷❸ (p.60): [🔗 PDF 위치](((6a5b7591-28ea-4a27-896d-360fd2f1725b)))
				- ![A=CR 정리 ❶❷❸ (p.60)](../assets/1장_p60_CR정리.png)
			- 모든 열이 선형독립이면 $C = A$, $R = I$.
		- $R$ **을 찾는 방법, 소거법** (행 축소, row reduction):
			- 행 연산(한 행에서 다른 행의 배수 빼기)으로 $A$ 를 단순화 → 상삼각행렬 $U$ → 위쪽 행까지 계속 소거 → $R_0$ (**기약행 사다리꼴**, reduced row echelon form, MATLAB의 rref(A)).
			- $R_0$ 의 영행은 $(m - r)$ 개. **영행을 제거하면** $A = CR$ **의** $R$ **이 남는다.**
			- 예 (p.62): $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 2 \\ 3 & 7 & 6 \end{bmatrix} \to U \to R_0 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -5 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ → $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \\ 3 & 7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & -5 \\ 0 & 1 & 3 \end{bmatrix}$
			- 💡 3열의 계수 $(-5, 3)$ 은 "3열 = −5(1열) + 3(2열)" 을 소거법으로 풀어낸 결과다. 2·3장의 핵심 알고리즘 예고.
		- **행 랭크 = 열 랭크** 의 비형식적 증명 ($A = CR$ 로부터):
			- ① $C$ 의 $r$ 개 열은 선형독립 (독립인 열만 선택했으므로)
			- ② $A$ 의 모든 열은 $C$ 의 열들의 선형결합 ($A = CR$)
			- ③ $R$ 의 $r$ 개 행은 선형독립 ($R$ 안에 $r \times r$ 항등행렬 $I$ 가 있으므로)
			- ④ $A$ 의 모든 행은 $R$ 의 행들의 선형결합 ($A = CR$)
		- $A = CR$ 에 관한 주요 사실: $C$ 의 $r$ 개 열은 $A$ 의 **열공간의 기저**, $R$ 의 $r$ 개 행은 $A$ 의 **행공간의 기저** ('기저'·'차원'의 정식 정의는 3.4절).
			- $C$ 는 $A$ 와 동일한 열공간을, $R$ 은 $A$ 와 동일한 행공간을 갖는다.
			- 📌 원문 박스 (p.63): [🔗 PDF 위치](((6a5b75a0-8bcd-4080-b864-6cefab1bb900)))
				- ![A=CR 주요 사실 박스 (p.63)](../assets/1장_p63_주요사실박스.png)
		- ⚠️ **주의**: $C$ 는 $A$ 의 열을 **그대로** 가져오지만, $R$ 은 $A$ 의 행을 그대로 가져온 것이 **아니다** ($R$ 의 행은 $A$ 의 행들의 선형결합).
	- ### ❓ 스스로 점검
		- $AB$ 의 $j$ 열은 무엇인가? #card
		  id:: 6a5dc4d9-071b-43f4-81ec-889a6b3357fc
			- $A \times (B$ 의 $j$ 열$)$. 따라서 $AB$ 의 모든 열은 $A$ 의 열들의 선형결합이다.
		- $A$ 가 $m \times n$, $B$ 가 $n \times p$ 일 때 $AB$ 의 크기와 필요한 곱셈 횟수는? #card
		  id:: 6a5dc4d9-995b-4cca-990a-000bac7094cf
			- $m \times p$, 총 $mnp$ 번 (4가지 방법 모두 동일).
		- $A = CR$ 에서 $C$ 와 $R$ 은 각각 어떻게 만들어지는가?
			- $C$: 왼쪽에서 오른쪽으로 가며 이전 열들의 선형결합이 아닌 열만 모은 $m \times r$ 행렬.
			- $R$: $C$ 의 열을 결합해 $A$ 의 각 열을 만드는 계수를 담은 $r \times n$ 행렬 (독립인 열 위치에 $I$ 포함).
		- 행 랭크 = 열 랭크인 이유를 $A = CR$ 로 한 줄로 설명하면?
			- $A$ 의 모든 열은 $C$ 의 $r$ 개 독립인 열의 결합이고, $A$ 의 모든 행은 $R$ 의 $r$ 개 독립인 행의 결합이므로 둘 다 $r$ 이다.
		- 랭크 1 행렬 $A$ 를 $CR$ 로 분해하면 어떤 모양인가?
			- (하나의 열) × (하나의 행). 예: $A = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix} [1 \ 2 \ 10 \ 100]$, 모든 열은 $C$ 의 배수, 모든 행은 $R$ 의 배수.
	- ### ✏️ 연습문제 풀이 (솔루션 참고)
		- **문제 2**. 모든 열이 동일한 $A = [a \ a \ a]$ ($a$ 는 영벡터가 아닌 열벡터)의 $C$ 와 $R$ 은?
			- 독립인 열은 1열 하나뿐: $C = [a]$, $R = [1 \ 1 \ 1]$.
			- 검산: $CR = [a \ a \ a]$ ✓. 랭크 1 분해의 가장 단순한 예.
		- **문제 5**. 7개의 열과 4개의 행을 가진 행렬 $A$ 가 5개의 선형독립인 열을 가질 수 없는 이유는?
			- $A$ 의 열들은 4차원 공간 $\mathbb{R}^4$ 의 벡터인데, $\mathbb{R}^4$ 에는 선형독립인 벡터가 **최대 4개**뿐이다.
			- 💡 따라서 항상 랭크 $r \le m$ 이고 $r \le n$, 꽤 유용한 일반 사실 (엄밀한 증명은 3.2절 예고).
		- **문제 12**. 다음을 $A = CR$ 로 분해하라 ($C$ 는 $m \times r$, $R$ 은 $r \times n$).
			- $A_1 = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$, 3열 = 1열 + 2열.
			- $A_2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 3 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$, 영벡터인 1열은 제외, 4열 = −(2열) + 2(3열).
			- $A_3 = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 6 & 3 & 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0.5 & 1.5 \end{bmatrix}$, 랭크 1 (모든 열이 1열의 배수).
			- $A_4 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}$
			- ⚠️ $A_2$ 처럼 **영벡터 열은 절대** $C$ **에 들어가지 않는다** (새로운 방향이 아님). $R$ 의 해당 열도 영벡터.
		- **문제 20**. 크기가 $(4 \times 3)(3 \times 2)(2 \times 1)$ 인 $ABC$ 를 계산할 때 $(AB)C$ 와 $A(BC)$ 의 곱셈 횟수는?
			- $(AB)C$ : $AB$ 에 $4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$ 번 + $(AB)C$ 에 $4 \cdot 2 \cdot 1 = 8$ 번 = 총 **32번**.
			- $A(BC)$ : $BC$ 에 $3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ 번 + $A(BC)$ 에 $4 \cdot 3 \cdot 1 = 12$ 번 = 총 **18번**.
			- 💡 결과는 같아도 (결합법칙) **비용은 다르다**. $C$ 가 벡터이므로 $BC$ 부터 계산하면 끝까지 "행렬 × 벡터"만 하게 되어 싸다.
- ## 1장에 대한 고찰
	- 이 과목을 쉽게 만드는 것: **모든 방정식이 선형**이다. 어렵게 만드는 것: 수많은 방정식·미지수·아이디어.
	- $Ax = b$ 는 모든 크기의 문제를 담는 완벽한 형식. 선형성의 규칙: $A(x + y) = Ax + Ay$.
	- $Ax = b$ 의 각 방정식(행)은 하나의 평면: $2x + 5y - 4z = 6$ 은 3차원 공간의 평면, 미지수가 4개면 4차원 공간의 초평면.
	- $m \times n$ 랜덤행렬 $A$ 에 대한 "기대":
		- $m < n$ (방정식 < 미지수): 아마도 해가 많을 것
		- $m = n$ : 아마도 해가 하나일 것
		- $m > n$ (방정식 > 미지수): 아마도 해가 없을 것
		- ⚠️ 그러나 반드시 성립하지는 않는다. 어떤 열(또는 행)은 이전 것들의 선형결합일 수 있다. **랭크** $r$ **이 방정식 문제의 실제 크기**를 알려준다.
	- 아름다운 공식: $A = CR = (m \times r)(r \times n)$. $C$ 에 그대로 들어간 $A$ 의 열들은 $R$ 내부의 항등행렬 $I$ 와 곱해진다.
	- 💡 이 책의 일관된 관점: $Ax$, $AB$, $CR$ 을 설명할 때 **열들의 선형결합**을 이용한다. 행들의 내적이 아니라.