Logseq/1장 벡터와 행렬.md at a4b945b2c52021eac2935e7445cd6f7a37402348

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deck:: Logseq/전공공부/선형대수학

1장 벡터와 행렬, 정리
- 선형대수학은 벡터 $v$와 행렬 $A$에 관한 학문이다. 1장은 벡터 → 내적 → 행렬 → 행렬곱 순서로 진행하며, 모든 것을 "열들의 선형결합" 이라는 하나의 관점으로 꿰어 나간다.
- 💡 직관, 1장 전체를 관통하는 2가지 질문
  - ① 모든 선형결합 Ax = x_1v_1 + x_2v_2 + \cdots + x_nv_n 은 어떤 모양(직선/평면/공간)을 채우는가? → {{cloze 열공간 (1.3절)}} id:: 6a5cd2bb-ac14-4d51-9b6f-f171607384a9
  - ② 원하는 출력 b 를 만드는 수 x_1, \dots, x_n 을 찾을 수 있는가? → 선형방정식 Ax=b (2장에서 본격적으로)
1.1 벡터와 선형결합
- 📌 원문 요약 박스 (p.21): 🔗 PDF 위치
- 핵심 개념
  - {{cloze 선형결합 (linear combination)}} : 임의의 수 c, d 에 대한 cv + dw 형태. id:: 6a5cd2bb-5333-4193-af1d-b22b4ef910dd
    - 벡터의 2가지 기본 연산을 합친 것: 수 곱하기 (3v) + 같은 차원끼리 더하기 (v+w).
  - - (p.22) v+w 는 평행사변형의 대각선이며 v+w = w+v 이다.
  - 선형결합이 채우는 모양 (기하학적 해석):
    - cv (모든 수 c) → 원점을 지나는 직선
    - cv + dw (w 는 v 의 배수가 아님) → 평면 전체
    - 선형독립인 세 벡터의 결합 ci + dj + ek → 3차원 공간 (\mathbb{R}^3) 전체
  - 연립방정식과의 연결: 특정 b 에 대해 cv + dw = b 를 푸는 문제는 3가지 방식으로 볼 수 있다 (p.23 표).
    - 열 방법: 선형결합 c \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} + d \begin{bmatrix} w_1 \\ w_2 \end{bmatrix} = b
    - 행 방법: c, d 에 대한 방정식 2개
    - 행렬 방법: \begin{bmatrix} v_1 & w_1 \\ v_2 & w_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix} = b
    - 📌 원문 표 (p.23): 🔗 PDF 위치
  - 소거법: 한 방정식에서 다른 방정식의 배수를 빼서 좌변에 0을 만든다 → 미지수 하나 소거 → 역대입.
    - 첫 방정식에 0이 있어 소거가 어려워 보이면 방정식 순서를 바꾸면 된다.
  - 소거법이 실패하는 경우 = {{cloze 해가 없는 경우뿐이다.}} id:: 6a5cd2bb-1b88-431c-9c8c-f5fd402cac9c
    - v, w 가 원점을 지나는 같은 직선 위 (예: w = 3v, 선형종속) 이고 b 가 그 직선 밖일 때.
  - 선형독립 / 선형종속 (2차원의 경우):
    - 두 벡터가 같은 직선 위에 있지 않으면 → {{c1 선형독립}} . extra:: 결합이 평면을 채우고, cv+dw=b 의 해가 정확히 하나 존재. 이때 행렬 [v \ w] 의 역행렬이 존재한다. id:: 6a5cd2bb-2d68-42ac-ad39-2c622d1b8e69
    - 배수 관계면 → {{c1 선형종속}} . extra:: 결합은 직선만 채운다. id:: 6a5cd2bb-75b0-4aa7-ba9b-85ec5aad11b1
  - 3차원 벡터: 성분이 3개인 벡터. 선형독립인 두 3차원 벡터의 결합은 :-> \mathbb{R}^3 안의 원점을 지나는 평면을 채운다 — 공간 전체가 아니다. id:: 6a5cd2bb-dad1-4d5e-ad2b-9c1924aec5a3
    - 공간 전체를 채우려면 선형독립인 벡터 3개가 필요 (가장 간단한 예: i, j, k).
    - 항등행렬 I 는 모든 벡터에 대해 Iv = v. 숫자 1의 역할.
    - ⚠️ 주의: 벡터 2개가 평면밖에 못 채우는 것은 선형종속이라서가 아니라 벡터 개수가 부족해서다. "종속" 과 "개수 부족" 을 구분할 것.
  - ⚠️ 주의: 차원이 다른 벡터끼리는 더할 수 없다 (2차원 v 와 3차원 w 의 선형결합은 불가).
  - 💡 직관, 평면인지 확인하는 법 (p.26): 표면 위 임의의 두 점(선형결합)의 중점도 다시 그 표면 위의 점(또 다른 선형결합)이다 → 평면의 기본 성질을 만족. 완전한 증명은 1.2절의 법선벡터로.
- ❓ 스스로 점검
  - 선형결합 cv + dw 가 평면이 아니라 직선만 채우는 경우는 언제인가? #card id:: 6a5cd2bb-b760-4376-92f6-681e4e1f2674
    - w 가 v 의 상수배일 때 (두 벡터가 원점을 지나는 동일한 직선 위 = 선형종속).
  - cv + dw = b 의 해가 정확히 하나 존재할 조건은? #card id:: 6a5cd2bb-c86e-4081-99b2-35cfa38172cf
    - v, w 와 영벡터가 같은 직선 위에 있지 않을 때 (선형독립). 이때 결합이 평면 전체를 채우므로 어떤 b 도 만들 수 있다.
  - 선형독립인 두 3차원 벡터의 선형결합은 \mathbb{R}^3 를 채우는가? #card id:: 6a5cd2bb-8b6c-4d8d-a075-70d82a6b4f14
    - 아니다. 원점을 지나는 평면까지만 채운다. 공간을 채우려면 선형독립인 벡터 3개가 필요하다.
- ✏️ 연습문제 풀이 (솔루션 참고)
  - 문제 2. 점 (0,0) \to (5,0) \to (0,12) \to (0,0) 으로 삼각형을 돌 때의 세 벡터 u, v, w 와 u+v+w, 각 길이를 구하라.
    - u = (5, 0), v = (-5, 12), w = (0, -12). 한 바퀴 돌아 제자리로 오므로 u+v+w = (0, 0).
    - 길이: \|u\| = 5, \|v\| = \sqrt{25+144} = 13, \|w\| = 12. → 5^2 + 12^2 = 13^2 인 5–12–13 직각삼각형.
    - 💡 닫힌 도형의 변 벡터를 순서대로 모두 더하면 항상 영벡터다 (문제 21의 삼각형 세 점선도 같은 원리).
  - 문제 5. v+w = (5,1), v-w = (1,5) 일 때 v, w 는?
    - 대각선에서 변을 복원하는 문제 (문제 4의 반대 방향).
    - v = \frac{1}{2}(v+w) + \frac{1}{2}(v-w) = (3, 3), w = \frac{1}{2}(v+w) - \frac{1}{2}(v-w) = (2, -2).
  - 문제 8. v = (1, -2, 1), w = (0, 1, -1) 의 모든 선형결합은 성분 합이 0이다. cv + dw = (3, 3, -6) 인 c, d 는? (3, 3, 6) 은 왜 불가능한가?
    - v, w 각각 성분 합이 0이므로 cv+dw 의 성분 합도 항상 c \cdot 0 + d \cdot 0 = 0.
    - 첫 성분에서 c = 3, 둘째 성분에서 -2 \cdot 3 + d = 3 이므로 d = 9. 검산: 셋째 성분 3 - 9 = -6 ✓.
    - (3,3,6) 은 성분 합이 12 \neq 0 이므로 어떤 선형결합으로도 만들 수 없다.
  - 문제 10 (만만치 않은 문제). u = (1,1,0), v = (0,1,1), w = (a,b,c) 가 선형독립인지 어떻게 판정하는가?
    - w = x_1 u + x_2 v 가 풀리는지 확인한다. 첫 성분에서 x_1 = a, 셋째 성분에서 x_2 = c 가 강제된다.
    - 남은 둘째 성분 조건: a + c = b. → b = a+c 이면 선형종속, b \neq a+c 이면 선형독립.
    - 💡 "앞 벡터들이 강제하는 계수를 다 쓰고, 남는 방정식이 성립하는지 본다". 이후 소거법의 축소판.
1.2 내적으로부터의 길이와 각
- 핵심 개념
  - 내적 (dot product) 식 :-> v \cdot w = v_1 w_1 + v_2 w_2 + \cdots + v_n w_n. 순서는 무관: v \cdot w = w \cdot v. id:: 6a5cd2bb-4974-45f5-9e1b-e1dd68b83b14
    - 📌 원문 정의, 2차원 식 (1) (p.31): 🔗 PDF 위치
    - 📌 원문 정의, n 차원 식 (2) (p.31): 🔗 PDF 위치
  - 길이 (length) 식 :-> \|v\| = \sqrt{v \cdot v} = \sqrt{v_1^2 + \cdots + v_n^2}. id:: 6a5cd2bb-6c83-4d77-a3df-813f82a69e4e
    - 피타고라스 정리의 n 차원 확장. 차원을 하나씩 추가하며 직각삼각형을 반복 적용한다.
    - n 차원 단위정육면체의 대각선 길이는 \sqrt{n} (예: (1,1,1,1) 의 길이는 2).
  - - (p.31 그림 1.3) 2차원 v=(1,2) 의 길이 \sqrt{5}, 3차원 w=(1,2,3) 의 길이 \sqrt{14}.
  - 단위벡터 (unit vector): 길이가 1인 벡터. v \neq 0 이면 다음은 단위벡터다
    - 벡터 $v$를 단위벡터 $u$로 만드는 식 #card id:: 6a5cdb81-b054-450d-b662-ba1897e653e4
      - u = \dfrac{v}{\|v\|}
    - $xy$-평면에서 x 축과 각 \theta 를 이루는 단위벡터 $u$는 ? :-> u = (\cos\theta, \sin\theta). id:: 6a5cd2bb-cd9e-4dac-9946-6965d108d7c0
  - 수직인 벡터: v \cdot w = 0 ⟺ 사잇각 90°.
    - 이때 \|v+w\|^2 = \|v\|^2 + \|w\|^2 (피타고라스). 전개하면 교차항 v \cdot w + w \cdot v 가 사라지기 때문.
  - 내적의 부호 = 사잇각의 정보:
    - v \cdot w > 0 :-> 예각 (\theta < 90°) id:: 6a5cd2bb-86dd-4068-9daf-ee32be1a6ec4
    - v \cdot w = 0 :-> 직각 id:: 6a5cdc28-cac9-46e7-82ef-ec0e872160fc
    - v \cdot w < 0 :-> 둔각 (\theta > 90°) id:: 6a5cdf7c-0328-4291-bd08-55ea6798eef6
  - - (p.35 그림 1.6) 부호가 갈리는 경계선이 수직인 경우다.
  - 코사인 공식 (cosine formula): v, w 가 영벡터가 아닐 때 #card id:: 6a5cd2bb-bcc2-4a21-ad38-e66f088687f1
    - \cos\theta = \frac{v \cdot w}{\|v\| \|w\|}
    - 단위벡터끼리라면 그냥 \cos\theta = u \cdot w
    - 📌 원문 식 (5) (p.35): 🔗 PDF 위치
  - |\cos\theta| \le 1 로부터 얻는, 수학에서 가장 중요한 2가지 부등식:
    - 슈바르츠 부등식 (Schwarz inequality) :-> |v \cdot w| \le \|v\| \|w\| id:: 6a5cd2bb-3fcb-4499-8f2c-fe5842aeab81
    - 삼각부등식 (triangle inequality) :-> \|v+w\| \le \|v\| + \|w\| — 삼각형의 한 변은 나머지 두 변의 합을 초과할 수 없다. id:: 6a5cd2bb-e1ef-462f-80b4-655b8d38e098
    - 삼각부등식은 슈바르츠 부등식으로부터 유도: \|v+w\|^2 \le \|v\|^2 + 2\|v\|\|w\| + \|w\|^2 = (\|v\|+\|w\|)^2.
    - 📌 원문 박스 (p.36): 🔗 PDF 위치
  - 응용 예:
    - 경제 (EX 5): 총비용 = (수량 벡터 q) \cdot (가격 벡터 p). 내적이 0이면 장부의 균형 (수입 = 지출).
    - 기하평균 ≤ 산술평균 (EX 8): v=(a,b), w=(b,a) 에 슈바르츠를 적용하면 2ab \le a^2 + b^2, 즉 |ab| \le \frac{1}{2}(a^2+b^2).
  - 3차원 공간 안의 평면: 법선벡터 n 에 수직인 모든 벡터 w (w \cdot n = 0) 는 \mathbb{R}^3 안의 2차원 평면을 채운다.
    - 평면의 방정식: n_1 w_1 + n_2 w_2 + n_3 w_3 = 0. 예: $xy$-평면은 n = (0,0,1) 이므로 w_3 = 0 (즉 z = 0).
  - ⚠️ 주의: 코사인 공식은 v, w 가 영벡터가 아닐 때만 정의된다 (0으로 나눌 수 없음).
  - ⚠️ 주의: 내적이 0이어도 두 벡터가 영벡터인 것이 아니다. 수직일 뿐이다.
- ❓ 스스로 점검
  - 내적으로 두 벡터의 사잇각이 예각/직각/둔각인지 어떻게 판별하는가?
    - 내적의 부호로: v \cdot w > 0 예각, = 0 직각, < 0 둔각.
  - 슈바르츠 부등식과 삼각부등식을 쓰고, 어느 쪽에서 어느 쪽이 유도되는지 말하라.
    - |v \cdot w| \le \|v\|\|w\| (슈바르츠), \|v+w\| \le \|v\| + \|w\| (삼각). \|v+w\|^2 을 전개한 뒤 교차항에 슈바르츠를 적용하면 삼각부등식이 나온다.
  - 등식 |v \cdot w| = \|v\|\|w\| 는 언제 성립하는가? (확인문제 1.2B) #card id:: 6a5cd2bb-c4ba-4cc9-b35c-7ffd2a69e30d
    - 한 벡터가 다른 벡터의 배수일 때 (w = cv). 이때 |\cos\theta| = 1, 즉 사잇각이 0° 또는 180°.
  - 벡터 v 방향의 단위벡터는 어떻게 만드는가?
    - 길이로 나눈다: u = v/\|v\|.
- ✏️ 연습문제 풀이 (솔루션 참고)
  - 문제 3. u = (-0.6, 0.8), v = (4, 3), w = (1, 2) 에 대해 v, w 방향 단위벡터와 v, w 사잇각의 코사인을 구하라. 또 w 와 각각 0°, 90°, 180° 를 이루는 벡터 a, b, c 는?
    - v/\|v\| = (0.8, 0.6), w/\|w\| = (1, 2)/\sqrt{5}. (참고: u 는 0.36 + 0.64 = 1 이라 이미 단위벡터.)
    - \cos\theta = \dfrac{v \cdot w}{\|v\| \|w\|} = \dfrac{4 + 6}{5\sqrt{5}} = \dfrac{2}{\sqrt{5}}
    - a = w (0°, 양의 배수면 아무거나), b = (2, -1) (내적 0), c = -w (180°).
  - 문제 8. 참/거짓 판별.
    - (a) u = (1,1,1) 이 v, w 와 수직이면 v 는 w 와 평행하다 → 거짓. v, w 는 u 에 수직인 평면 위의 임의의 두 벡터일 수 있다 (평면 안에서 서로 다른 방향 가능).
    - (b) u 가 v, w 와 수직이면 u 는 v + 2w 와 수직이다 → 참. u \cdot (v + 2w) = u \cdot v + 2 u \cdot w = 0 + 0 = 0.
    - (c) u, v 가 수직인 단위벡터면 \|u - v\|^2 = 2 → 참. \|u-v\|^2 = u \cdot u - 2 u \cdot v + v \cdot v = 1 - 0 + 1 = 2.
    - 💡 (b)가 말하는 것: 어떤 벡터에 수직인 벡터들의 모든 선형결합도 그 벡터에 수직이다. "평면 = 법선에 수직인 벡터 전체" 의 근거.
  - 문제 12. v = (1,1), w = (1,5) 일 때 w - cv 가 v 와 수직이 되게 하는 c 는? 일반 공식은?
    - v \cdot (w - cv) = 0 → v \cdot w = c \, (v \cdot v) → c = \dfrac{v \cdot w}{v \cdot v} = \dfrac{6}{2} = 3
    - 검산: w - 3v = (-2, 2), (1,1) \cdot (-2,2) = 0 ✓.
    - 💡 "cv 를 빼서 v 에 수직인 성분만 남긴다". 수직인 벡터를 구성하는 핵심 열쇠 (솔루션 표현).
  - 문제 25 (꼭 풀어볼 만한 문제). \|v\| = 5, \|w\| = 3 일 때 \|v - w\| 와 v \cdot w 의 가능한 최소·최대는?
    - 삼각부등식에서 \|v - w\| 는 최소 5 - 3 = 2, 최대 5 + 3 = 8.
    - 슈바르츠 부등식에서 |v \cdot w| \le 5 \cdot 3 = 15, 즉 -15 \le v \cdot w \le 15.
    - 💡 극값은 모두 두 벡터가 같은 직선 위일 때 (평행 또는 반평행) 달성된다.
1.3 행렬과 열공간
- 핵심 개념
  - m \times n 행렬 A: m 개의 행, n 개의 열. m = n 이면 정사각행렬 (square matrix).
    - 특수한 형태 (p.43): 항등행렬, 대각행렬, 삼각행렬, 대칭행렬.
  - Ax 를 계산하는 2가지 방법: 결과는 같지만 관점이 다르다:
    - 행을 이용한 방법: Ax 의 i 번째 성분 = (A 의 i 행) \cdot x. 내적 m 번, 손계산에 편리.
    - 열을 이용한 방법: Ax = x_1 a_1 + x_2 a_2 + \cdots + x_n a_n, A 의 열들의 선형결합. 의미를 이해할 때는 이쪽.
    - ⚠️ 책의 일관된 강조: "열벡터 $Ax$는 행렬 $A$의 열들의 선형결합이다." 이 문장이 1장의 중심이다.
  - 선형독립 / 선형종속 (열 관점의 판정):
    - 각각의 새로운 열이 이전 열들의 선형결합으로 만들 수 없을 때 → 열들은 선형독립.
    - 동치 표현: Ax = 0 을 만드는 유일한 선형결합이 x = 0 일 때.
    - 판정 관례: 왼쪽 열에서 오른쪽 열로 이동하며 "새로운 방향인가?" 를 확인한다.
  - 열공간 (column space) C(A): 모든 벡터 Ax, 즉 열들의 모든 선형결합의 집합.
    - 생성 (span): 벡터 집합의 모든 선형결합. "행렬 A 의 열의 생성 = 열공간".
    - 방정식과의 연결: Ax = b 는 b 가 C(A) 에 있을 때 해 x 를 갖는다.
    - 📌 원문 박스 (p.46): 🔗 PDF 위치
  - m = 3 (열들이 3차원 벡터)일 때 열공간으로 가능한 4가지:
    - ① 전체 공간 \mathbb{R}^3, 선형독립인 열 3개
    - ② 원점을 지나는 평면, 선형독립인 열 2개
    - ③ 원점을 지나는 직선, 선형독립인 열 1개
    - ④ 점 (0,0,0), A 가 영행렬
    - ⚠️ 열공간은 항상 {{c1 원점}}을 포함한다. extra:: (x = 0 이면 Ax = 0). id:: 6a5dc4d9-762e-45d2-8581-5e4807293d63
    - 📌 원문 (4가지 경우, p.48): 🔗 PDF 위치
  - 랭크 (rank) r: 선형독립인 열의 개수. 열공간의 "실제 크기".
  - 랭크 1 행렬: 모든 열이 동일한 직선 위 → 열공간이 원점을 지나는 직선.
    - 놀라운 사실: 이때 {{c1 모든 행도 하나의 직선 위}}에 있다 (모든 행이 한 행의 상수배). extra:: 2 \times 2 로 확인: 2열이 1열의 m 배인 \begin{bmatrix} a & ma \\ b & mb \end{bmatrix} 에서 2행 [b \ mb] 는 1행 [a \ ma] 의 \frac{b}{a} 배. id:: 6a5dc4d9-a275-4264-8aa3-bb43f25d12c1
    - → 행 랭크 = 열 랭크 (선형대수학의 첫 번째 위대한 정리). 랭크 1은 여기서 확인, 일반 증명은 1.4절 A = CR 로.
  - 1.4절로 가는 질문들 (p.48): 독립인 열은 몇 개인가(= 랭크 r)? 처음 r 개의 독립인 열은(= 열공간의 기저)? A 를 어떻게 CR 로 분해하는가?
    - 📌 원문 질문 박스 (p.48): 🔗 PDF 위치
- ❓ 스스로 점검
  - Ax 를 "열을 이용한 방법"으로 설명하라. #card id:: 6a5dc4d9-1f58-4bed-95c9-a01f47a485be
    - Ax 는 A 의 열들의 선형결합 x_1 a_1 + \cdots + x_n a_n 이다. x 의 성분들이 각 열의 계수가 된다.
  - Ax = b 가 해를 가질 조건을 열공간의 언어로 말하라. #card id:: 6a5dc4d9-aae0-4f41-a674-f8b977bef43d
    - b 가 열공간 C(A) 에 속할 때, 즉 b 가 A 의 열들의 선형결합으로 표현될 때.
  - 3 \times 3 행렬의 열공간으로 가능한 4가지는? #card id:: 6a5dc4d9-3403-4611-b491-fa3e2b7e07c0
    - \mathbb{R}^3 전체 / 원점을 지나는 평면 / 원점을 지나는 직선 / 점 (0,0,0). (각각 독립인 열 3, 2, 1, 0개.)
  - 열공간이 직선인 행렬은 행에 대해 어떤 성질을 갖는가?
    - 모든 행이 한 행의 상수배 (행공간도 직선). 랭크 1: 행 랭크 = 열 랭크 = 1.
- ✏️ 연습문제 풀이 (솔루션 참고)
  - 문제 1. 다음 행렬들의 열공간(점, 직선, 평면, 전체 공간)을 설명하라.
    - A_1 = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 1 \\ 5 & 6 \end{bmatrix} : 두 열이 선형독립 (2열이 1열의 배수가 아님, 셋째 성분 비율이 다름) → \mathbb{R}^3 안의 평면.
    - A_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} : 삼각행렬, 주대각선에 0 없음 → 세 열 독립 → \mathbb{R}^3 전체.
    - A_3 = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 2 & 10 \\ 1 & 5 \end{bmatrix} : 2열 = 5 × 1열 → 독립인 열 1개 → 원점을 지나는 직선.
    - A_4 = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} : 영행렬 → 점 (0,0,0).
  - 문제 12. \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = b 를 b = (4,6), (-2,-2), (1,1) 에 대해 각각 풀어라.
    - "b 를 만드는 열들의 선형결합 찾기" 그 자체다.
    - (4, 6) = 1열 + 2열 → x = (1, 1).
    - (-2, -2) = 1열 − 2열 → x = (1, -1).
    - (1, 1) = $-\frac{1}{2}$(1열) + $\frac{1}{2}$(2열) → x = (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}).
  - 문제 14. 각 행렬이 선형독립인 열을 2개 갖도록 하는 q 는?
    - (a) \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 3 & 1 & 9 \\ 5 & 0 & q \end{bmatrix} : 3열 = 2(1열) + 3(2열) 이려면 q = 2 \cdot 5 + 3 \cdot 0 = 10.
    - (b) \begin{bmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & q \end{bmatrix} : 3열 = −(1열) + 2(2열) 이려면 q = -3 + 12 = 9.
    - (c) \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & q \end{bmatrix} : 2열 = 1열이라 이미 종속. 독립인 열이 2개가 되려면 3열이 새로운 방향이어야 → q \neq 0 (q = 0 이면 3열 = 2(1열)로 독립인 열이 1개뿐).
    - ⚠️ (a)(b)는 "종속으로 만드는" 등식 조건, (c)는 "독립으로 만드는" 부등식 조건. 문제가 요구하는 개수를 기준으로 방향을 판단할 것.
1.4 행렬곱 AB와 CR
- 핵심 개념
  - 행렬곱의 정의: 두 가지 동등한 관점:
    - 열 관점: A \times (B 의 j 열) = (AB 의 j 열). 즉 B = [b_1 \cdots b_p] 이면 AB = [Ab_1 \cdots Ab_p].
    - 내적 관점: AB 의 i 행 j 열 성분 = (A 의 i 행) \cdot (B 의 j 열).
    - 크기 조건: (m \times n)(n \times p) = m \times p, A 의 행 길이와 B 의 열 길이가 같아야 곱셈 가능.
    - 곱셈 횟수: 어떤 방법이든 총 mnp 번.
  - - (p.65) ① 내적(행·열) ② 열 방법 ③ 행 방법 ④ (열)×(행): 순서만 다를 뿐 모두 mnp 번의 곱셈.
  - 교환법칙은 성립하지 않는다: 일반적으로 AB \neq BA.
    - 교환행렬 B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} 의 예: AB 는 A 의 열 교환, BA 는 A 의 행 교환.
    - 오른쪽에 곱하면 열 연산, 왼쪽에 곱하면 행 연산.
  - 결합법칙·분배법칙은 성립한다: (AB)C = A(BC), A(B+C) = AB + AC.
    - 특히 (AB)x = A(Bx), 좌변은 AB 의 j 열, 우변은 A \times (B 의 j 열). 행렬곱 정의와 일치.
  - 외적 (outer product): (열) × (행) = 랭크 1 행렬.
    - 네 번째 계산법: AB = a_1 b_1^* + a_2 b_2^* + \cdots + a_n b_n^*, 랭크 1 행렬 n 개의 합.
    - ⚠️ (역자 주) 여기서 외적은 물리의 벡터곱(cross product)이 아니라 텐서곱이다.
  - 행렬 분해 A = CR : (m \times n) = (m \times r)(r \times n), r = 랭크.
    - C 만들기: A 의 열을 왼쪽→오른쪽으로 훑으며 이전 열들의 선형결합이 아닌 열만 포함 → r 개의 선형독립인 열.
    - R 의 역할: C 의 열들을 어떻게 결합하면 A 의 각 열이 나오는지 기록. (A 의 j 열) = C \times (R 의 j 열).
    - R = [I \ F] 구조: C 로 들어간 열 위치에 항등행렬 I, 종속인 열 위치에 결합 계수 (F).
    - 예 (p.60): \begin{bmatrix} 2 & 6 & 4 \\ 4 & 12 & 8 \\ 1 & 3 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 8 \\ 1 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, 2열 = 3(1열) 이라 C 에서 제외, R 의 2열에 계수 3.
    - 📌 원문 정리 ❶❷❸ (p.60): 🔗 PDF 위치
    - 모든 열이 선형독립이면 C = A, R = I.
  - R 을 찾는 방법, 소거법 (행 축소, row reduction):
    - 행 연산(한 행에서 다른 행의 배수 빼기)으로 A 를 단순화 → 상삼각행렬 U → 위쪽 행까지 계속 소거 → R_0 (기약행 사다리꼴, reduced row echelon form, MATLAB의 rref(A)).
    - R_0 의 영행은 (m - r) 개. 영행을 제거하면 A = CR 의 R 이 남는다.
    - 예 (p.62): A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 2 \\ 3 & 7 & 6 \end{bmatrix} \to U \to R_0 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -5 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} → A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \\ 3 & 7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & -5 \\ 0 & 1 & 3 \end{bmatrix}
    - 💡 3열의 계수 (-5, 3) 은 "3열 = −5(1열) + 3(2열)" 을 소거법으로 풀어낸 결과다. 2·3장의 핵심 알고리즘 예고.
  - 행 랭크 = 열 랭크 의 비형식적 증명 (A = CR 로부터):
    - ① C 의 r 개 열은 선형독립 (독립인 열만 선택했으므로)
    - ② A 의 모든 열은 C 의 열들의 선형결합 (A = CR)
    - ③ R 의 r 개 행은 선형독립 (R 안에 r \times r 항등행렬 I 가 있으므로)
    - ④ A 의 모든 행은 R 의 행들의 선형결합 (A = CR)
  - A = CR 에 관한 주요 사실: C 의 r 개 열은 A 의 열공간의 기저, R 의 r 개 행은 A 의 행공간의 기저 ('기저'·'차원'의 정식 정의는 3.4절).
    - C 는 A 와 동일한 열공간을, R 은 A 와 동일한 행공간을 갖는다.
    - 📌 원문 박스 (p.63): 🔗 PDF 위치
  - ⚠️ 주의: C 는 A 의 열을 그대로 가져오지만, R 은 A 의 행을 그대로 가져온 것이 아니다 (R 의 행은 A 의 행들의 선형결합).
- ❓ 스스로 점검
  - AB 의 j 열은 무엇인가? #card id:: 6a5dc4d9-071b-43f4-81ec-889a6b3357fc
    - A \times (B 의 j 열). 따라서 AB 의 모든 열은 A 의 열들의 선형결합이다.
  - A 가 m \times n, B 가 n \times p 일 때 AB 의 크기와 필요한 곱셈 횟수는? #card id:: 6a5dc4d9-995b-4cca-990a-000bac7094cf
    - m \times p, 총 mnp 번 (4가지 방법 모두 동일).
  - A = CR 에서 C 와 R 은 각각 어떻게 만들어지는가?
    - C: 왼쪽에서 오른쪽으로 가며 이전 열들의 선형결합이 아닌 열만 모은 m \times r 행렬.
    - R: C 의 열을 결합해 A 의 각 열을 만드는 계수를 담은 r \times n 행렬 (독립인 열 위치에 I 포함).
  - 행 랭크 = 열 랭크인 이유를 A = CR 로 한 줄로 설명하면?
    - A 의 모든 열은 C 의 r 개 독립인 열의 결합이고, A 의 모든 행은 R 의 r 개 독립인 행의 결합이므로 둘 다 r 이다.
  - 랭크 1 행렬 A 를 CR 로 분해하면 어떤 모양인가?
    - (하나의 열) × (하나의 행). 예: A = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix} [1 \ 2 \ 10 \ 100], 모든 열은 C 의 배수, 모든 행은 R 의 배수.
- ✏️ 연습문제 풀이 (솔루션 참고)
  - 문제 2. 모든 열이 동일한 A = [a \ a \ a] (a 는 영벡터가 아닌 열벡터)의 C 와 R 은?
    - 독립인 열은 1열 하나뿐: C = [a], R = [1 \ 1 \ 1].
    - 검산: CR = [a \ a \ a] ✓. 랭크 1 분해의 가장 단순한 예.
  - 문제 5. 7개의 열과 4개의 행을 가진 행렬 A 가 5개의 선형독립인 열을 가질 수 없는 이유는?
    - A 의 열들은 4차원 공간 \mathbb{R}^4 의 벡터인데, \mathbb{R}^4 에는 선형독립인 벡터가 최대 4개뿐이다.
    - 💡 따라서 항상 랭크 r \le m 이고 r \le n, 꽤 유용한 일반 사실 (엄밀한 증명은 3.2절 예고).
  - 문제 12. 다음을 A = CR 로 분해하라 (C 는 m \times r, R 은 r \times n).
    - A_1 = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}, 3열 = 1열 + 2열.
    - A_2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 3 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}, 영벡터인 1열은 제외, 4열 = −(2열) + 2(3열).
    - A_3 = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 6 & 3 & 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0.5 & 1.5 \end{bmatrix}, 랭크 1 (모든 열이 1열의 배수).
    - A_4 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}
    - ⚠️ A_2 처럼 영벡터 열은 절대 C 에 들어가지 않는다 (새로운 방향이 아님). R 의 해당 열도 영벡터.
  - 문제 20. 크기가 (4 \times 3)(3 \times 2)(2 \times 1) 인 ABC 를 계산할 때 (AB)C 와 A(BC) 의 곱셈 횟수는?
    - (AB)C : AB 에 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24 번 + (AB)C 에 4 \cdot 2 \cdot 1 = 8 번 = 총 32번.
    - A(BC) : BC 에 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 번 + A(BC) 에 4 \cdot 3 \cdot 1 = 12 번 = 총 18번.
    - 💡 결과는 같아도 (결합법칙) 비용은 다르다. C 가 벡터이므로 BC 부터 계산하면 끝까지 "행렬 × 벡터"만 하게 되어 싸다.
1장에 대한 고찰
- 이 과목을 쉽게 만드는 것: 모든 방정식이 선형이다. 어렵게 만드는 것: 수많은 방정식·미지수·아이디어.
- Ax = b 는 모든 크기의 문제를 담는 완벽한 형식. 선형성의 규칙: A(x + y) = Ax + Ay.
- Ax = b 의 각 방정식(행)은 하나의 평면: 2x + 5y - 4z = 6 은 3차원 공간의 평면, 미지수가 4개면 4차원 공간의 초평면.
- m \times n 랜덤행렬 A 에 대한 "기대":
  - m < n (방정식 < 미지수): 아마도 해가 많을 것
  - m = n : 아마도 해가 하나일 것
  - m > n (방정식 > 미지수): 아마도 해가 없을 것
  - ⚠️ 그러나 반드시 성립하지는 않는다. 어떤 열(또는 행)은 이전 것들의 선형결합일 수 있다. 랭크 r 이 방정식 문제의 실제 크기를 알려준다.
- 아름다운 공식: A = CR = (m \times r)(r \times n). C 에 그대로 들어간 A 의 열들은 R 내부의 항등행렬 I 와 곱해진다.
- 💡 이 책의 일관된 관점: Ax, AB, CR 을 설명할 때 열들의 선형결합을 이용한다. 행들의 내적이 아니라.