Logseq/pages/3장 4가지 기본 부분공간.md

deck:: Logseq/전공공부/선형대수학

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• 챕터 서론

  • 2장은 가역인 정사각행렬만 다뤘다 — PA = LU 의 행렬들은 전부 최대 랭크 r = m = n 이었고 해는 항상 딱 하나였다. 3장은 모든 m \times n 행렬로 문을 연다. 이제 해가 없거나 무수히 많은 경우까지 전부 다루며, 그러기 위해 "공간"이라는 새 언어가 필요해진다.
  • 이 장의 주인공 — 4가지 기본 부분공간: A 의 열공간 \mathbf{C}(A), 행공간 \mathbf{C}(A^{\mathrm{T}}), 영공간 \mathbf{N}(A), A^{\mathrm{T}} 의 영공간(좌영공간) \mathbf{N}(A^{\mathrm{T}}). 이들의 차원 r, r, n-r, m-r 을 연결하는 것이 이 장의 목표인 선형대수학의 기본정리다. 책 스스로 "이 책에서 가장 중요한 장"이라고 말한다.
  • 흐름 한눈에: 공간이란 무엇인가(3.1) → Ax = 0 의 모든 해(3.2) → Ax = b 의 모든 해(3.3) → 그동안 빚진 용어들의 정식 정의(3.4) → 4공간 총정리(3.5).
  • ⚠️ 이 장의 독법: 스트랭 특유의 "먼저 쓰고 나중에 정의하는" 전개가 가장 심한 장이다. 3.1~3.3에서 독립·기저·차원·랭크가 정의 없이 계속 나오는데, 정식 정의는 전부 3.4에 있다. 막히면 감(독립 ≈ 겹치지 않음, 기저 ≈ 최소 재료, 차원 ≈ 재료 개수)으로 통과하고, 3.4를 읽은 뒤 앞을 다시 보면 소급해서 선명해진다.

• 소단원

  • 3.1 벡터공간과 부분공간
  • 3.4 독립, 기저, 차원
  • 3.5 4가지 기본 부분공간의 차원

• 3장에 대한 고찰 : 소거의 큰 그림

  • 소거는 처음부터 끝까지 두 가지 질문에 대한 답이었다:
    • Q1. 이 열은 이전 열들의 선형결합인가? — 피벗이 생기면 "아니다"(독립, 피벗 열), 안 생기면 "그렇다"(자유 열, 계수는 F 에 기록).
    • Q2. 이 행은 이전 행들의 선형결합인가? — 피벗이 있으면 독립인 행, 성분이 모두 0이 되면 종속인 행(영행 → R 에서 제거).
  • R 은 3가지 기본 부분공간의 기저를 드러낸다:
    • 열공간: R 에서 피벗을 만드는 열 번호 → A 의 그 열들 r 개
    • 행공간: R 의 r 개 행
    • 영공간: Rx = 0 의 특별해 (n-r) 개
    • (좌영공간은 소거 기록에서: [\,A\ \ I\,] \to [\,R_0\ \ E\,] 로 축소하면 E 의 마지막 (m-r) 개 행이 기저 — "소거하지 않으면 손실될 수 있는 소거에 대한 기록".)
  • 소거 경로가 달라도 R 은 항상 같다 — R 은 온전히 A 가 결정한다. 그리고 랭크가 같은 구조를 공유한다: C, B 를 고정하고 가역인 혼합행렬 M 을 끼운 모든 행렬 CMB 는 동일한 4가지 기본 부분공간을 갖는다.
  • 분해로 요약하면: A = CR = C[\,I\ \ F\,]P = [\,C\ \ CF\,]P — "A = (독립인 열들) 뒤에 (종속인 열들 = CF)를 붙이고 열 순서를 P 로 되돌린 것". 이 책이 소거의 결과를 이 행렬 형식으로 표현한 최초의 책이라고 한다.
  • 💡 3장 전체를 꿰는 한 줄: 랭크 r 하나가 모든 것을 결정한다 — 독립인 열·행의 개수(r), 자유변수(n-r), 해의 존재(r = m?)와 유일성(r = n?), 네 공간의 차원까지. 소거는 그 r 을 드러내는 도구다.