Logseq/Major Study/pages/2.2 소거행렬과 역행렬.md

deck:: Logseq/전공공부/선형대수학

• 핵심 개념

  • 이 절의 요지: 소거의 모든 단계는 행렬곱으로 표현된다. 소거행렬 E_{ij} 들을 차례로 곱해 EA = U 를 만들고, 역순으로 역행렬을 곱해 A = E^{-1}U = LU 를 얻는다.
    • 📌 원문 (p.85): ((6a635a7c-c085-49d0-a491-a38760e0de17))
  • 기본 소거 단계: 방정식 i 에서 방정식 j 에 \ell_{ij} 를 곱한 것을 빼는 것.
    • 📌 원문 (p.85): ((6a635a84-07f5-42f7-a189-5e34759ed1ba))
    • 승수(multiplier)는 \ell_{ij} = \dfrac{\text{소거할 성분}}{\text{피벗}}. 예: a_{11}=3 아래 a_{21}=-3 이 있으면 \ell_{21} = -1 이고, "2행에서 1행에 -1 을 곱한 것을 뺀다" = "2행에 1행을 더한다".
  • 소거행렬 E_{ij} 의 정확한 형태 🧩 (책이 명시적으로 정리해주지 않는 부분, 복습용 정리)
    • 만드는 법: 항등행렬 I 에서 시작해 (i, j) 성분 (= i 행 j 열) 하나만 -\ell_{ij} 로 바꾼다. 나머지는 I 그대로 (주대각선 1, 그 외 0).
    • E_{ij} = I \text{ 에서 } (i,j) \text{ 성분만 } -\ell_{ij} \text{ 로 바꾼 행렬} \qquad (i > j \text{ 이므로 주대각선 아래})
    • 예 — 3행에서 1행에 2를 곱해 빼는 E_{31} (\ell_{31} = 2): #card id:: 6a654a5b-4a10-4db0-ae2e-78ebebd7468d
      • (3,1) 위치에 -2.
      • E_{31} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \end{bmatrix}
    • 왜 이 형태인가: E_{31}A 의 3행 = (E_{31} 의 3행) × A = -2 \cdot (A 의 1행) + 1 \cdot (A 의 3행), 정확히 "3행 ← 3행 − 2×(1행)" 이다. 왼쪽에 곱하는 행렬의 각 행은 "결과의 그 행을 원래 행들의 어떤 결합으로 만들지"를 지시한다.
    • ⚠️ 첨자 순서 주의: E_{ij} 는 "i 행에서 j 행을 (배수로) 뺀다"는 뜻이고, 바꾸는 성분 위치도 i 행 j 열이다. i > j (아래 행에서 위 행을 뺌) 이므로 항상 주대각선 아래의 성분 하나를 바꾼다.
  • 전체소거행렬 E: 행 교환이 필요 없는 3\times 3 의 경우, 세 소거행렬을 순서대로 곱한 것.
    • E = E_{32}E_{31}E_{21}, \qquad EA = U
    • ⚠️ 곱하는 순서가 소거 순서다: 먼저 E_{21} (그 다음 E_{31}, 마지막 E_{32})이 A 에 가장 가까이(오른쪽에) 위치한다.
    • ⚠️ E_{32} 는 A 의 원래 2행이 아니라 소거가 진행된 뒤의 새로운 2행에 \ell_{32} 를 곱해 뺀다 (p.86 EX1).
    • E 를 직접 곱해보면 좌하단에 복잡한 항이 생긴다 (p.91 식 (10)):
    • E = E_{32}E_{31}E_{21} = \begin{bmatrix} 1 & & \\ -\ell_{21} & 1 & \\ (\ell_{32}\ell_{21} - \ell_{31}) & -\ell_{32} & 1 \end{bmatrix}
    • 📌 원문 (식 (10), p.91): 🔗 PDF 위치
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    • 💡 (3,1) 위치의 \ell_{32}\ell_{21} 항이 생기는 이유: 1행이 2행을 바꾸고, 그 바뀐 2행이 다시 3행을 바꾸는 연쇄 효과 때문. 그래서 E 자체는 쓸모 있는 공식이 안 되고, 역행렬 L 쪽이 깨끗하다 (아래).
  • E_{ij} 의 역행렬, 빼면, 역은 더한다
    • E_{ij} 가 "i 행에서 j 행 \times \ell_{ij} 를 뺀다"면, E_{ij}^{-1} 는 "i 행에 j 행 \times \ell_{ij} 를 더한다".
    • 📌 원문 (p.86): ((6a635aa6-fc5b-4d1b-af7e-ce34f3a3dff2))
    • 정확한 형태: E_{ij} 에서 (i,j) 성분의 부호만 뒤집으면 된다 (-\ell_{ij} \to +\ell_{ij}).
    • E = \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ -5&1&0 \\ 0&0&1 \end{bmatrix} \quad\Longrightarrow\quad E^{-1} = \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 5&1&0 \\ 0&0&1 \end{bmatrix} \qquad (\text{p.89 EX4})
  • L 은 E 의 역행렬: 이 장의 핵심 (p.91 식 (11))
    • E = E_{32}E_{31}E_{21} 의 역행렬을 역순으로 곱하면: L = E^{-1} = E_{21}^{-1}E_{31}^{-1}E_{32}^{-1}.
    • 📌 원문 (E 의 역행렬을 L 이라 한다, p.86): ((6a635aae-3105-49ae-957b-172c4c5d0005))
    • 📌 원문 (식 (11), p.91): 🔗 PDF 위치
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    • L 의 정확한 형태 🧩: 하삼각행렬로, ① 주대각선은 전부 1, ② 주대각선 아래 (i,j) 성분에 승수 \ell_{ij} 가 {{c1 부호 그대로, 제자리}}에 들어간다. E 와 달리 곱셈 연쇄 항이 전혀 없다. id:: 6a654a5b-b0dd-41e2-9583-ab2acad9337c
    • L = \begin{bmatrix} 1 & & \\ \ell_{21} & 1 & \\ \ell_{31} & \ell_{32} & 1 \end{bmatrix}
    • 💡 왜 L 은 깨끗한가 (p.90 EX5의 교훈): 역행렬들을 곱하는 순서 E_{21}^{-1}E_{31}^{-1}E_{32}^{-1} 에서는 "먼저 3행을 (2행으로) 바꾸고, 그 다음 2행을 (1행으로) 바꾸므로" 바뀐 행이 다시 쓰이는 연쇄가 일어나지 않는다. 소거법의 순서는 FE, 역행렬의 순서는 L = E^{-1}F^{-1}, 승수들이 모두 하삼각 L 의 제자리에 위치한다.
    • 이 결과로 EA = U 는 A = E^{-1}U = LU 가 된다 → 의 주제.
  • 역행렬에 관한 사실
    • 정의, 가역행렬 (invertible matrix): A^{-1}A = AA^{-1} = I 를 만족하는 A^{-1} 가 존재하는 행렬 A.
      • 📌 원문 (p.86): ((6a635acb-6851-4e14-8586-6014d2be98b5))
    • n \times n 행렬 A 의 역행렬이 존재하려면 n 개의 선형독립인 열이 있어야 한다.
      • 📌 원문 (p.86): ((6a635ac0-7401-4a3b-8494-97d3151d2c6c))
    • ⚠️ 모든 행렬이 역행렬을 갖는 것은 아니다. 수는 0만 아니면 역수를 갖지만, 행렬은 조건이 더 복잡하다.
      • 📌 원문 (p.87): ((6a635ad8-3d2e-4392-a37b-c22c8b0de35d))
      • 📌 원문 (가역이려면 열이 선형독립, p.87): ((6a635adc-5c08-46ed-905c-6fef78d87284))
  • 역행렬 A^{-1} 의 7가지 특징 (p.87~88)
    • [특징 ①] 역행렬 존재의 필요충분조건 = 소거법에서 n 개의 피벗이 생기는 것 (행 교환 허용).
      • 📌 원문 (p.87): ((6a635ae3-4e4a-437a-a3f8-c74bf19d9840))
    • [특징 ②] 역행렬은 유일하다. BA = I, AC = I 이면 B = C, 결합법칙으로 B(AC) = (BA)C 에서 즉시 나온다. 왼쪽 역행렬 = 오른쪽 역행렬.
      • 📌 원문 (p.87): ((6a635ae9-06aa-4efd-8480-7a73b9eb35bb))
    • [특징 ③] A^{-1} 가 존재하면 Ax = b 의 유일한 해는 x = A^{-1}b.
      • 📌 원문 (p.87): ((6a635aef-6880-41b5-8b18-448e393588c3))
    • [특징 ④] (중요) Ax = 0 인 영벡터가 아닌 x 가 존재하면 → A 의 열이 선형종속 → 역행렬 없음. (A^{-1} 가 있다면 x = A^{-1}0 = 0 뿐이어야 하므로.)
      • 📌 원문 (p.87): ((6a635b12-1a2e-453a-8e16-3bb97dcdbee1))
    • [특징 ⑤] 정사각행렬이 가역일 필요충분조건 = 열들이 선형독립.
      • 📌 원문 (p.87): ((6a635b0c-4f27-4cbd-8a6c-b6655b215713))
    • [특징 ⑥] 2\times 2 행렬이 가역일 필요충분조건은 ad - bc \neq 0:
      • \begin{bmatrix} a&b \\ c&d \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}
      • 수 ad-bc 는 2×2 행렬의 행렬식 (determinant). 실제 판정에는 행렬식보다 피벗이 n 개인지 확인하는 피벗 판정법을 주로 쓴다.
      • 📌 원문 (행렬식, p.88): ((6a635b1e-c0f5-47d9-8dd4-e21f0b7271ed))
      • 📌 원문 (2×2 가역 조건, p.88): ((6a635b3a-8ccf-4542-81e5-fb74840b350b))
      • 💡 외우는 법: 대각 a, d 는 자리를 바꾸고, 반대각 b, c 는 부호를 바꾸고, 행렬식으로 나눈다.
    • [특징 ⑦] 상삼각행렬은 주대각성분 d_i 가 모두 0이 아닐 때 (역시 상삼각인) 역행렬을 갖는다.
      • 📌 원문 (p.88): ((6a635b2a-5629-4ab6-9352-7ed4110d95dd))
  • 행렬곱 AB 의 역행렬, 역순으로
    • 📌 원문 (공식 (7), p.89): 🔗 PDF 위치
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    • (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}, \qquad (ABC)^{-1} = C^{-1}B^{-1}A^{-1}
    • AB 가 가역일 필요충분조건: A 와 B 가 (같은 크기의) 가역행렬인 것.
    • 💡 양말–신발 비유: 양말 신고 신발을 신었으면, 벗을 때는 신발 먼저 벗고 양말을 벗는다. 역행렬은 항상 역순.

• ❓ 스스로 점검

  • E_{31} (\ell_{31} = 2) 의 정확한 형태를 쓰고, 왜 그 형태가 "3행에서 1행의 2배를 빼는" 연산이 되는지 설명하라.
    • I 에서 (3,1) 성분만 -2 로 바꾼 \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ -2&0&1 \end{bmatrix}. 곱 E_{31}A 의 3행 = -2\cdot(A 의 1행) + 1\cdot(A 의 3행) 이 되기 때문 (왼쪽 곱셈의 각 행은 원래 행들의 결합 지시서).
  • E = E_{32}E_{31}E_{21} 과 L = E^{-1} 중 어느 쪽이 승수 \ell_{ij} 를 "제자리에 그대로" 담고 있는가? 다른 한쪽에는 무슨 일이 생기는가?
    • L 쪽이다: 주대각선 1, (i,j) 에 \ell_{ij} 그대로. E 쪽은 (3,1) 위치에 \ell_{32}\ell_{21} - \ell_{31} 같은 연쇄 곱셈 항이 생긴다 (바뀐 행이 다시 다른 행을 바꾸는 효과).
  • 역행렬이 존재하는지 판단하는 실용적 기준(특징 ①)은 무엇인가? #card id:: 6a654a5b-ecea-4b01-a297-bd1251c17409
    • 소거법에서 (행 교환을 허용하며) 0이 아닌 피벗이 n 개 생기는 것.
  • Ax = 0 에 x \neq 0 인 해가 있으면 왜 A^{-1} 가 존재할 수 없는가? #card id:: 6a654a5b-1a9a-45a9-b501-e0efb24378ba
    • A^{-1} 가 존재한다면 양변에 곱해 x = A^{-1}0 = 0 이 되어 모순. (열이 선형종속이라는 뜻이므로 특징 ⑤로도 같은 결론.)
  • (AB)^{-1} 는 무엇이고, 왜 그 순서인가? #card id:: 6a654a5b-dbda-45a2-ac76-f460159bd12b
    • B^{-1}A^{-1}. (AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = AA^{-1} = I, 안쪽부터 소거되려면 역순이어야 한다.

• ✏️ 연습문제 풀이 (솔루션 참고)

  • 문제 3: A = \begin{bmatrix} 1&1&0 \\ 4&6&1 \\ -2&2&0 \end{bmatrix} 를 U 로 만드는 E_{21}, E_{31}, E_{32} 를 구하고, E 와 L = E^{-1} 도 구하라.
    • \ell_{21}=4: E_{21} = \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ -4&1&0 \\ 0&0&1 \end{bmatrix}, \ell_{31}=-2: E_{31} = \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 2&0&1 \end{bmatrix}, \ell_{32}=2: E_{32} = \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&-2&1 \end{bmatrix}.
    • E = E_{32}E_{31}E_{21} = \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ -4&1&0 \\ 10&-2&1 \end{bmatrix}, (3,1) 에 연쇄 항 10 이 생겼다.
    • L = E^{-1} = \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 4&1&0 \\ -2&2&1 \end{bmatrix}, 승수 4, -2, 2 가 전부 제자리에 그대로.
    • 💡 이 문제 하나로 이 절의 핵심(E 는 지저분, L 은 깨끗)을 손으로 확인할 수 있다.
  • 문제 12: 두 치환행렬 P = \begin{bmatrix} 0&0&1 \\ 0&1&0 \\ 1&0&0 \end{bmatrix}, P = \begin{bmatrix} 0&1&0 \\ 0&0&1 \\ 1&0&0 \end{bmatrix} 의 역행렬을 구하라.
    • 첫 번째는 단순 행 교환(1↔3)이라 P^2 = I → P^{-1} = P 자기 자신.
    • 두 번째는 순환 이동이라 P^{-1} = \begin{bmatrix} 0&0&1 \\ 1&0&0 \\ 0&1&0 \end{bmatrix}.
    • 💡 두 경우 모두 P^{-1} = P^{\mathrm{T}} (전치): 2.4절에서 일반 원리로 배운다.
  • 문제 16 (책 표시: 중요한 문제): A 에서 (1행)+(2행)=(3행)일 때 A^{-1} 가 존재하지 않음을 보여라.
    • (a) Ax = (0,0,1) 은 해가 없다: 식1 + 식2 − 식3 을 만들면 좌변은 0인데 우변은 0+0-1 = -1 \neq 0.
    • (b) 해가 존재하려면 우변이 같은 관계를 만족해야 한다: b_1 + b_2 = b_3.
    • (c) 소거 과정에서 3행은 0행이 된다. 세 번째 피벗이 없다.
    • 💡 행의 선형종속도 (열의 선형종속처럼) 가역성을 파괴한다. 소거법이 그 사실을 0행으로 드러낸다.
  • 문제 29: 가우스-조르단 아이디어: [A \ \ I] 에 소거법을 적용해 A 를 I 로 바꾸면 I 자리에 A^{-1} 가 나타남을 확인하라.
    • \begin{bmatrix} 1&3&1&0 \\ 2&7&0&1 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1&3&1&0 \\ 0&1&-2&1 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1&0&7&-3 \\ 0&1&-2&1 \end{bmatrix} = [I \ \ A^{-1}].
    • 두 번째: \begin{bmatrix} 1&4&1&0 \\ 3&9&0&1 \end{bmatrix} \to \cdots \to \begin{bmatrix} 1&0&-3&4/3 \\ 0&1&1&-1/3 \end{bmatrix}.
    • 💡 2.3절 가우스-조르단 소거법의 예습. 검산: ad-bc 공식과 비교해볼 것.
  • 문제 34 (책 표시: 꼭 풀어볼 만한 문제): A = \begin{bmatrix} a&b&b \\ a&a&b \\ a&a&a \end{bmatrix} 가 가역일 조건을 증명하고, C = \begin{bmatrix} 2&c&c \\ c&c&c \\ 8&7&c \end{bmatrix} 가 비가역이 되는 c 3개를 찾아라.
    • A 의 소거: 피벗이 a, a-b, a-b 로 나온다 → 가역 조건은 a \neq 0 이고 a \neq b.
    • A^{-1} = \frac{1}{a(a-b)}\begin{bmatrix} a & 0 & -b \\ -a & a & 0 \\ 0 & -a & a \end{bmatrix}
    • C: c = 0 (열들이 종속), c = 7 (2행과 3행 관련 종속), c = 2 (1행과 2행 종속) 에서 비가역.
    • 💡 문자 행렬에서 피벗을 추적하는 훈련, "가역 판정 = 피벗 개수 세기"를 체득하는 문제.