Logseq/Major Study/pages/4.1 벡터와 부분공간의 직교성.md

deck:: Logseq/전공공부/선형대수학

• 핵심 개념

  • 흐름 지도: [1단계] 두 벡터의 직교 (내적 0) → [2단계] 두 부분공간의 직교 → [3단계] 4가지 기본 부분공간은 두 쌍으로 직교 → [4단계] 직교여공간과 기본정리 2 → [5단계] 모든 벡터의 분해 → [6단계] 부분공간으로부터의 기저 결합.

  • [1단계] 두 벡터의 직교: 내적이 0

    • 정의: 두 벡터 v, w 가 다음을 만족하면 서로 직교(orthogonal)한다.
      • v^{\mathrm{T}}w = 0
    • 🔢 먼저 숫자로: v = (1, 2), w = (2, -1) 이면 v^{\mathrm{T}}w = 2 - 2 = 0, 직교한다.
      • 이때 v + w = (3, 1) 이고 \|v\|^2 = 5, \|w\|^2 = 5, \|v+w\|^2 = 10.
      • 5 + 5 = 10, 피타고라스 정리가 성립한다.
    • 왜 "내적 0 = 직각"인가: 1장에서 내적을 사잇각과 연결했다.
      • \cos\theta = \frac{v^{\mathrm{T}}w}{\|v\|\,\|w\|}
      • 사잇각이 90°면 \cos\theta = 0, 즉 분자 v^{\mathrm{T}}w = 0. 내적이 0이라는 대수 조건이 직각이라는 기하 조건과 같은 말이 된다.
    • 직교 판정 = 피타고라스: v^{\mathrm{T}}w = 0 이면 v, w, v+w 가 직각삼각형을 이룬다.
      • 📌 원문 직교벡터 박스 (p.209): 🔗 PDF 위치
      • 
      • 증명은 전개 한 번: \|v+w\|^2 = (v+w)^{\mathrm{T}}(v+w) = v^{\mathrm{T}}v + w^{\mathrm{T}}w + v^{\mathrm{T}}w + w^{\mathrm{T}}v.
      • 직교하면 마지막 두 항(교차항)이 0이라 \|v\|^2 + \|w\|^2 만 남는다.
    • 💡 직교가 아니면 교차항 2v^{\mathrm{T}}w 가 남아서 피타고라스가 깨진다. 빗변 제곱이 두 변 제곱 합과 달라지는 것이 "직각이 아니다"의 대수적 표현이다.

  • [2단계] 두 부분공간의 직교

    • 정의: 모든 v \in \mathbf{V} 와 모든 w \in \mathbf{W} 에 대해 v^{\mathrm{T}}w = 0 이면 부분공간 \mathbf{V} 와 \mathbf{W} 는 서로 직교한다.
      • 핵심은 "모든"이다. 벡터 몇 개가 직교하는 게 아니라, 양쪽 공간의 어떤 벡터를 꺼내도 직교해야 한다.
    • 📌 원문 직선과 평면의 직교 (p.210): ((6a787ea7-709a-4833-b9cc-9134563b40dc))
    • ⚠️ 흔한 오해 교정 (벽과 바닥): 방의 벽과 바닥은 눈에는 90°로 보이지만 부분공간으로서는 직교하지 않는다.
      • 두 평면은 \mathbb{R}^3 에서 각각 2차원이고, 만나는 교선 위의 0 아닌 벡터 v 는 양쪽 모두에 속한다.
      • 그 v 는 자기 자신과 내적하면 v^{\mathrm{T}}v = \|v\|^2 \neq 0. "모든 벡터끼리 직교"가 깨진다.
    • 그래서 차원 조건이 나온다: \mathbf{V} 와 \mathbf{W} 가 \mathbb{R}^n 에서 직교하면 \dim \mathbf{V} + \dim \mathbf{W} \le n.
      • 📌 원문 차원 조건 박스 (p.211): 🔗 PDF 위치
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      • 벽과 바닥은 2 + 2 = 4 > 3 이라 애초에 직교가 불가능했던 것이다.
      • 💡 바닥(2차원)과 천장을 향한 기둥 직선(1차원)이라면 2 + 1 = 3 \le 3, 실제로 직교할 수 있다.
    • 직교하는 두 부분공간이 공유하는 벡터는 영벡터뿐이다.
      • 📌 원문 (p.213): ((6a7881ad-9b11-4a79-88c1-01464b139f02))
      • 이유: 공통 벡터 v 는 자기 자신과도 직교해야 하므로 \|v\|^2 = 0, 즉 v = 0.

  • [3단계] 4가지 기본 부분공간은 두 쌍으로 직교한다

    • 3장에서 4공간의 차원을 알았다면, 이 절의 새 정보는 그 공간들 사이의 각도다: 두 쌍이 정확히 90°.
    • 📌 원문 (p.208): ((6a787bd5-b422-4b1e-8203-99d9c164a3ce))
    • 1쌍: 영공간 ⊥ 행공간 (\mathbb{R}^n 의 세계)
      • 📌 원문 영공간·행공간 직교 박스 (p.208): 🔗 PDF 위치
      • 
      • 📌 원문 (p.210): ((6a787eb2-c989-4164-beca-de440e0edb91))
      • 왜? Ax = 0 을 "행 관점"으로 읽으면 된다: Ax 의 각 성분은 (A 의 i 행)\cdot x 이다.
      • Ax = 0 은 그 내적이 전부 0이라는 뜻, 즉 x 는 A 의 모든 행과 직교한다.
      • 📌 원문 (p.208): ((6a787d5d-e3a3-4fd6-bc60-23b45bd56f24))
      • 행들과 직교하면 행들의 모든 선형결합과도 직교한다 (내적의 선형성). 그래서 영공간 전체 ⊥ 행공간 전체.
      • 같은 내용의 공식 한 줄 버전 (식 (2)): 행공간 벡터를 A^{\mathrm{T}}y 꼴로 쓰면 전치 트릭으로 끝난다.
        • x^{\mathrm{T}}(A^{\mathrm{T}}y) = (Ax)^{\mathrm{T}}y = 0^{\mathrm{T}}y = 0
        • 📌 원문 식 (2) (p.210): ((6a7888b9-0f6a-494b-a9e7-3cf7dbe5dd91))
      • 🔢 EX1 (p.210): A = \begin{bmatrix} 1&-2&1 \\ 1&0&-1 \end{bmatrix}, x = (1, 1, 1) 은 Ax = 0 의 해.
        • 1행과 내적: 1 - 2 + 1 = 0 ✓, 2행과 내적: 1 + 0 - 1 = 0 ✓.
    • 2쌍: 열공간 ⊥ 좌영공간 (\mathbb{R}^m 의 세계)
      • 📌 원문 (p.210): ((6a787ef7-1822-46e0-8709-ed5e9eb05a05))
      • 새 증명이 필요 없다: 위 성질을 A 대신 A^{\mathrm{T}} 에 적용하면 끝. A^{\mathrm{T}} 의 행공간 = A 의 열공간, A^{\mathrm{T}} 의 영공간 = 좌영공간.
      • 한 줄 증명도 있다 (식 (2)와 같은 전치 트릭, 방향만 반대): A^{\mathrm{T}}y = 0 이면
        • y^{\mathrm{T}}(Ax) = (A^{\mathrm{T}}y)^{\mathrm{T}}x = 0^{\mathrm{T}}x = 0
        • 좌영공간 벡터 y 는 열공간의 모든 벡터 Ax 와 직교한다.
    • ⚠️ 직교 쌍을 헷갈리기 쉽다: 직교는 같은 공간에 사는 것끼리만 성립한다. 행공간·영공간은 \mathbb{R}^n (입력), 열공간·좌영공간은 \mathbb{R}^m (출력). 행공간과 열공간의 직교 같은 건 애초에 성립할 수 없다 (사는 공간이 다르다, m \neq n 이면 내적 자체가 정의 안 됨).

  • [4단계] 직교여공간: 직교 + 차원이 꽉 참

    • 직교하는 두 부분공간 중에서도 특별한 경우: 차원 합이 전체 공간을 정확히 채우는 쌍.
      • 📌 원문 (p.211): ((6a788137-090c-4660-8c0e-093b7751a47c)) / ((6a788141-72f8-496c-b763-902b6938ff79))
      • 정의: \mathbf{V} 의 직교여공간(orthogonal complement) \mathbf{V}^{\perp} 은 \mathbf{V} 와 직교하는 모든 벡터의 집합.
      • 4공간이 정확히 이 관계다: 행공간과 영공간은 r + (n-r) = n, 열공간과 좌영공간은 r + (m-r) = m. 차원이 남김없이 채워진다.
      • 💡 "직교"만으로는 부족하고 "여(complement, 나머지 전부)"가 붙어야 하는 이유: 직교하면서도 작을 수 있다 (예: \mathbb{R}^3 에서 직선 ⊥ 직선, 1+1=2 < 3). 직교여공간은 직교하는 것 중 가장 큰 상대다.
    • 🧩 [정리] 선형대수학의 기본정리 2:
      • 📌 원문 기본정리 2 (p.211): 🔗 PDF 위치
      • 
      • \mathbb{R}^n 에서 \mathbf{N}(A) 는 행공간 \mathbf{C}(A^{\mathrm{T}}) 의 직교여공간이다.
      • \mathbb{R}^m 에서 \mathbf{N}(A^{\mathrm{T}}) 는 열공간 \mathbf{C}(A) 의 직교여공간이다.
      • 기본정리 1(3장)이 "차원"을, 기본정리 2(이 절)가 "각도(90°)"를 말해준다.
    • [그림 4.1]: 4공간의 전체 지도. 왼쪽이 \mathbb{R}^n (행공간 ⊥ 영공간), 오른쪽이 \mathbb{R}^m (열공간 ⊥ 좌영공간).
      • 
      • (p.212, 그림 4.1)

  • [5단계] 모든 벡터의 분해: x = x_r + x_n

    • 기본정리 2의 진짜 힘: \mathbb{R}^n 의 모든 벡터 x 를 행공간 성분과 영공간 성분으로 쪼갤 수 있다.
      • x = x_r + x_n \qquad (x_r \in \text{행공간},\ x_n \in \text{영공간})
    • 🔢 EX3 (p.214): A = \begin{bmatrix} 1&2 \\ 3&6 \end{bmatrix}, x = (4, 3).
      • 행공간: 두 행 (1,2), (3,6) 은 평행하므로 (1, 2) 방향 직선 (랭크 1).
      • 영공간: x_1 + 2x_2 = 0 의 해, (2, -1) 방향 직선. 두 직선은 직교한다 (1 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) = 0).
      • 분해: x = (4, 3) = (2, 4) + (2, -1). (2,4) = 2(1,2) 는 행공간에, (2,-1) 은 영공간에 있다.
    • x 에 A 를 곱하면 무슨 일이 일어나나:
      • Ax = Ax_r + Ax_n = Ax_r + 0 = Ax_r
      • 💡 행렬 A 는 x 의 영공간 성분을 통째로 버리고 행공간 성분만 본다. "행렬이 실제로 하는 일"의 그림이 [그림 4.1]의 화살표들이다.
    • 열공간의 각 벡터 b 는 행공간의 정확히 하나의 x_r 에서 나온다 (p.212).
      • 만약 Ax_r = Ax_r' 이면 차이 x_r - x_r' 은 영공간에 있으면서 행공간에도 있다.
      • 직교하는 두 공간의 공통 벡터는 0뿐이므로 x_r = x_r'.
      • 그래서 행렬 A 는 행공간에서 열공간으로의 가역변환이다 (랭크 r 짜리 r \times r 가역 부분행렬이 숨어 있다는 EX2의 의미).
      • 📌 원문 (p.212): ((6a788859-b8b0-4ccf-a774-177555adbcec))
      • 💡 수위 조절: 이 "가역변환을 거꾸로 되돌리는" 행렬이 4.5절의 유사역행렬 A^{+} 다. 지금은 이름만 알고 넘어가면 충분하다.
    • 💡 수위 조절: 주어진 x 에서 x_r, x_n 을 계산하는 일반적인 도구(사영행렬 $P$)는 4.2절에서 배운다. 이 절에서는 "이 분해가 항상 가능하고 유일하다"는 사실만 챙기면 된다. EX3처럼 작은 예제는 연립방정식으로 직접 분해할 수 있다 (연습문제 12 참고).

  • [6단계] 부분공간으로부터의 기저 결합 (p.213~214)

    • 출발 질문: 기저인지 확인하려면 원래 2가지를 검사해야 한다. ① 독립인가? ② 공간을 생성하는가?
      • 이 소단원의 선물: 개수가 차원과 같으면 검사 하나가 공짜가 된다. \mathbb{R}^n 에서 벡터가 정확히 n 개면, 독립 ⟺ 생성이라 하나만 확인하면 된다.
    • 🔢 감 잡기 (\mathbb{R}^2, n = 2):
      • (1,0), (1,1): 독립인 2개 → 자동으로 \mathbb{R}^2 전체를 생성한다 → 기저.
      • (1,0), (2,0): 2개지만 종속 → 생성도 실패 (직선뿐) → 기저 아님.
      • (1,0) 하나: 독립이지만 1개 < n → 생성 못 함. 개수가 모자라면 공짜 규칙 자체가 적용 안 된다.
    • 🧩 핵심 박스 (p.213):
      • 📌 원문 독립 ⟺ 생성 박스 (p.213): 🔗 PDF 위치
      • 
      • \mathbb{R}^n 의 선형독립인 n 개 벡터는 반드시 \mathbb{R}^n 을 생성한다 → 기저.
      • \mathbb{R}^n 을 생성하는 n 개 벡터는 반드시 선형독립이다 → 기저.
    • 왜 성립하나 (피벗으로 세어보기): 그 n 개 벡터를 n \times n 행렬 A 의 열에 넣자.
      • 방향 ①: 열 n 개가 독립 → 자유변수가 없다 → 피벗이 n 개 (모든 열이 피벗 열).
      • 피벗이 행마다 하나씩 있으니 소거 중 영행이 안 생긴다 → 어떤 b 든 Ax = b 를 역대입으로 풀 수 있다 → 열들이 \mathbb{R}^n 을 생성.
      • 방향 ②: 열들이 \mathbb{R}^n 생성 → 모든 b 에 해 존재 → 영행 없음 → 피벗 n 개 → 자유변수 없음 → 열들이 독립 (해가 유일).
      • 💡 두 방향 모두 결국 "피벗 개수 세기" 하나로 통한다. 정사각이라 피벗 n 개 = 행도 열도 꽉 참이기 때문.
    • 🧩 같은 내용을 Ax = b 언어로 번역한 박스 (p.213):
      • 📌 원문 정사각행렬의 존재·유일 박스 (p.213): 🔗 PDF 위치
      • 
      • n 개 열이 독립이면 → 생성한다 → Ax = b 의 해가 존재한다.
      • n 개 열이 생성하면 → 독립이다 → Ax = b 의 해는 유일하다.
      • 정사각행렬 A, B 에 대해 AB = I 이면 BA = I (한쪽 역행렬이면 양쪽 역행렬).
    • 존재 ⟺ 유일 (정사각행렬에서만!):
      • 📌 원문 (p.213): ((6a78823e-e254-436d-9494-f833c007e475))
      • 유일 → 존재: 해가 유일하다 = 자유변수가 없다 = 피벗 열이 n 개다. 그러면 역대입으로 항상 해를 구할 수 있다.
      • 존재 → 유일: 모든 b 에 해가 있다 = 영행이 없다 = 피벗이 n 개다. 그러면 자유변수가 없어 해가 하나뿐이다.
      • 이 두 성질을 다 가지면 A 는 가역행렬이다.
      • ⚠️ 직사각행렬에서는 완전히 다른 얘기다: m \neq n 이면 존재와 유일이 따로 논다 (3.4의 4가지 유형 표). "존재 ⟺ 유일"은 정사각이라는 조건이 만든 특권이다.
    • 드디어 진짜 "기저 결합": 왜 이 얘기를 여기(직교성 절)서 했을까? 직교여공간끼리 기저를 합칠 수 있기 때문이다.
      • 행공간의 기저 r 개 + 영공간의 기저 n - r 개 = 합쳐서 정확히 n 개.
      • 이 n 개는 선형독립이다. 그러면 위 공짜 규칙에 의해 \mathbb{R}^n 을 생성한다 → \mathbb{R}^n 의 기저!
      • 📌 원문 (p.214): ((6a788882-d504-47fd-809d-fa131414360a))
      • 독립인 이유 (책 각주 1을 풀어서): 이 n 개의 어떤 선형결합이 0이 됐다고 하자. 행공간 쪽 부분합을 x_r, 영공간 쪽 부분합을 x_n 이라 하면 x_r + x_n = 0.
        • x_r = -x_n 인데, 좌변은 행공간에, 우변은 영공간에 있다. 양쪽에 다 속하는 벡터는 0뿐.
        • x_r = 0 이고 x_n = 0. 각각은 기저의 결합이므로 모든 계수가 0이어야 한다. 독립 확인 끝.
      • 💡 이것이 [5단계]의 분해 x = x_r + x_n 이 "항상 가능"한 이유다: 결합된 n 개가 \mathbb{R}^n 의 기저니까 어떤 x 든 그 결합으로 표현되고, 행공간 쪽 합이 x_r, 영공간 쪽 합이 x_n 이 된다.
    • 🔢 EX4 (p.214)로 마무리 점검: \mathbf{S} 가 \mathbb{R}^9 의 6차원 부분공간일 때.
      • (a) \mathbf{S} 와 직교하는 부분공간의 가능한 차원: 차원 조건 6 + d \le 9 에서 d = 0, 1, 2, 3.
      • (b) \mathbf{S}^{\perp} 의 차원: "직교하면서 나머지를 전부" 채우니 정확히 9 - 6 = 3.
      • (c) 행공간이 \mathbf{S} 인 행렬 A 의 가장 작은 크기: 행공간이 6차원이려면 독립인 행 6개는 있어야 하고 열은 9개 (벡터가 \mathbb{R}^9 소속이라) → 6 \times 9.
      • (d) 영공간이 \mathbf{S}^{\perp} 인 행렬 B 의 가장 작은 크기: 영공간 차원 = 9 - r = 3 이려면 r = 6, 역시 6 \times 9.

• ❓ 스스로 점검

  • 두 부분공간 \mathbf{V}, \mathbf{W} 가 직교한다는 정의는? 방의 벽과 바닥은 왜 직교하는 부분공간이 아닌가? #card
    • 정의: 모든 v \in \mathbf{V}, 모든 w \in \mathbf{W} 에 대해 v^{\mathrm{T}}w = 0.
    • 벽과 바닥은 교선 위의 0 아닌 벡터를 공유한다.
    • 그 벡터는 자기 자신과 직교할 수 없으므로 (\|v\|^2 \neq 0) 정의가 깨진다.
    • 차원으로도 확인된다: 2 + 2 = 4 > 3 이라 \mathbb{R}^3 에서 불가능.
  • 4가지 기본 부분공간 중 직교하는 쌍 2개는? 각 쌍은 어느 공간에 사는가? #card
    • 행공간 ⊥ 영공간, \mathbb{R}^n (입력 공간).
    • 열공간 ⊥ 좌영공간, \mathbb{R}^m (출력 공간).
    • 두 쌍 모두 그냥 직교가 아니라 직교여공간 관계다 (차원 합이 전체).
  • 영공간 ⊥ 행공간의 "행 관점" 증명을 한 줄로 말하면? #card
    • Ax = 0 의 각 성분이 (A 의 각 행)\cdot x = 0 이므로 x 는 모든 행과 직교한다.
    • 내적의 선형성 때문에 행들의 모든 선형결합과도 직교한다. 그것이 행공간 전체다.
  • \mathbb{R}^n 의 벡터 n 개가 선형독립이면 왜 자동으로 기저가 되는가? #card
    • n 개를 열로 넣은 n \times n 행렬은 자유변수가 없어 피벗이 n 개다.
    • 피벗이 행마다 있으니 영행이 없고, 모든 b 에 대해 Ax = b 가 풀린다. 즉 생성한다.
    • 독립 + 생성이므로 기저다 (개수 = 차원이면 한 성질이 다른 성질을 공짜로 준다).
  • x = x_r + x_n 분해에서 Ax = Ax_r 인 이유와 이 분해가 항상 가능한 이유는? #card
    • Ax_n = 0 이므로 Ax = Ax_r + Ax_n = Ax_r. 행렬은 영공간 성분을 버리고 행공간 성분만 본다.
    • 행공간 기저 r 개 + 영공간 기저 n-r 개 = n 개가 \mathbb{R}^n 의 기저이므로, 어떤 x 든 두 성분의 합으로 (유일하게) 쪼개진다.

• ✏️ 연습문제 풀이 (솔루션 참고)

  • 문제 2: 랭크 r = 2 인 3 \times 2 행렬 기준으로 [그림 4.1]을 다시 작성하라. 어떤 부분공간이 \mathbf{Z} (영벡터만 포함)가 되는가? \mathbb{R}^2 의 임의의 벡터 x 의 영공간 부분은 x_n = ?
    • 🔁 개념 상기:
      • [그림 4.1]은 4공간의 지도였다: 왼쪽 \mathbb{R}^n 에 행공간 ⊥ 영공간, 오른쪽 \mathbb{R}^m 에 열공간 ⊥ 좌영공간 ([4단계]).
      • 4공간의 차원은 r,\ n-r,\ r,\ m-r (3장 기본정리 1). 그림을 다시 그리는 문제는 결국 이 네 숫자를 채우는 문제다.
      • 
    • 1단계, 네 차원 채우기: m = 3, n = 2, r = 2 를 공식에 넣는다.
      • 행공간 r = 2 / 영공간 n - r = 2 - 2 = 0 / 열공간 r = 2 / 좌영공간 m - r = 3 - 2 = 1.
    • 2단계, 차원 0의 정체: 차원이 0인 부분공간은 영벡터 하나만 담은 공간이다. 답: 영공간이 \mathbf{Z} = \{0\} 이 된다.
      • 직관으로도 확인: 열이 2개뿐인데 랭크가 2 = 두 열이 선형독립 = Ax = 0 의 해가 x = 0 뿐 (독립의 정의 그대로).
    • 3단계, 그림 다시 그리기: 왼쪽 \mathbb{R}^2 는 행공간이 평면 전체를 차지하고, 영공간은 원점 한 점으로 수축한다. 오른쪽 \mathbb{R}^3 는 열공간 평면(2차원)과 그에 수직인 좌영공간 직선(1차원).
      • 
    • 4단계, x_n 답하기: 분해 x = x_r + x_n ([5단계])에서 x_n 은 영공간에서 골라야 하는데, 영공간에 0 밖에 없다.
      • 따라서 모든 x 에 대해 x_n = 0, 즉 x = x_r. \mathbb{R}^2 의 모든 벡터가 통째로 행공간 소속이다.
    • 핵심 문장: 랭크가 열 개수와 같으면 (r = n, 최대 열 랭크) 영공간이 \{0\} 으로 사라지고, 모든 x 의 영공간 성분은 x_n = 0 이다.
  • 문제 3 (이 절의 대표 문제): 다음 성질을 만족하는 행렬을 구성하라. 불가능하면 이유를 설명하라.
    • 📌 문제 지문 (p.215):
      • 
    • 🔁 개념 상기: 이 문제의 판정 도구는 두 개뿐이다.
      • 직교가 강제되는 쌍: 행공간 ⊥ 영공간 (둘 다 \mathbb{R}^n 소속), 열공간 ⊥ 좌영공간 (둘 다 \mathbb{R}^m 소속). 이 쌍에 들어갈 두 벡터의 내적이 0이 아니면 그런 행렬은 존재 자체가 불가능하다.
      • 직교 제약이 없는 조합: 열공간과 영공간처럼 서로 다른 공간(\mathbb{R}^m 과 \mathbb{R}^n)에 사는 조합은 아무 제약이 없어 자유롭게 구성할 수 있다 ([3단계] ⚠️의 "직교는 같은 공간에 사는 것끼리"가 바로 이 판정의 근거).
      • 풀이 순서: ① 조건에 등장하는 벡터가 각각 어느 부분공간 소속인지 번역 → ② 직교 강제 쌍인지 확인 → ③ 강제면 내적 검사, 아니면 직접 구성.
    • (a) 열공간이 (1,2,-3), (2,-3,5) 를 포함하고 영공간이 (1,1,1) 을 포함: 가능.
      • ① 번역: 열공간 조건은 출력 쪽(\mathbb{R}^3), 영공간 조건은 입력 쪽($\mathbb{R}^3$이지만 다른 세계) 얘기다.
      • ② 판정: 열공간 vs 영공간은 직교 강제 쌍이 아니다 → 구성 가능성 열림.
      • ③ 구성 전략: "열공간이 어떤 벡터를 포함"은 그 벡터를 그냥 열로 넣으면 해결된다. "영공간이 (1,1,1) 을 포함"은 A(1,1,1)^{\mathrm{T}} = 0, 즉 1열 + 2열 + 3열 = 0 이라는 뜻 (Ax = 열들의 결합, 1장).
      • 그래서 3열을 -(\text{1열}) - (\text{2열}) 로 잡으면 끝:
      • A = \begin{bmatrix} 1&2&-3 \\ 2&-3&1 \\ -3&5&-2 \end{bmatrix}
      • 검산: 각 행에서 1+2-3 = 0, 2-3+1 = 0, -3+5-2 = 0 ✓ (A(1,1,1)^{\mathrm{T}} = 0).
    • (b) 행공간이 그 두 벡터를 포함하고 영공간이 (1,1,1) 을 포함: 불가능.
      • ① 번역: 이번엔 행공간과 영공간, 둘 다 \mathbb{R}^3 (입력 세계) 소속.
      • ② 판정: 직교 강제 쌍이다! 행공간에 들어갈 벡터와 영공간에 들어갈 벡터는 반드시 내적 0.
      • ③ 내적 검사: (1,2,-3) \cdot (1,1,1) = 1 + 2 - 3 = 0 ✓ 통과. 그런데 (2,-3,5) \cdot (1,1,1) = 2 - 3 + 5 = 4 \neq 0 ✗.
      • ⚠️ 함정 주의: 첫 벡터는 통과한다! 하나만 검사하고 "가능"이라 답하기 쉽다. 직교는 모든 쌍에 대해 성립해야 하므로 전부 검사해야 한다.
    • (c) Ax = (1,1,1) 의 해가 존재하고 A^{\mathrm{T}}(1,0,0)^{\mathrm{T}} = 0: 불가능.
      • ① 번역: "Ax = b 의 해 존재" ⟺ b \in \mathbf{C}(A) (3.3절: 해 존재 조건). 그러니 (1,1,1) \in \mathbf{C}(A). "$A^{\mathrm{T}}y = 0$" ⟺ y \in \mathbf{N}(A^{\mathrm{T}}). 그러니 (1,0,0) \in \mathbf{N}(A^{\mathrm{T}}).
      • ② 판정: 열공간 vs 좌영공간, 직교 강제 쌍 (둘 다 \mathbb{R}^3 출력 세계).
      • ③ 내적 검사: (1,1,1) \cdot (1,0,0) = 1 \neq 0 ✗. 존재할 수 없다.
      • 💡 문장을 부분공간 언어로 번역하는 훈련이 이 문제의 진짜 목적이다. "해가 존재한다"를 보자마자 "b 가 열공간에 있다"로 읽을 수 있어야 한다.
    • (d) 모든 행이 모든 열과 직교하는 영행렬 아닌 행렬: 가능.
      • ① 번역: 행공간 ⊥ 열공간이 되어야 한다. 이 둘은 직교 강제 쌍이 아니고, 애초에 같은 공간에 살려면 m = n (정사각)이어야 한다.
      • ② 구성 전략: 랭크 1 행렬 A = uv^{\mathrm{T}} 는 열공간 = u 방향, 행공간 = v 방향이다 (3장). u \perp v 로 고르면 끝: u = (1,1), v = (1,-1).
      • A = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&-1 \\ 1&-1 \end{bmatrix}
      • 검산: 행 (1,-1) 과 1열 (1,1) 의 내적 1-1 = 0 ✓, 2열 (-1,-1) 과도 -1+1 = 0 ✓.
      • 💡 재미있는 동치: (A^2)_{ij} = (i\text{행}) \cdot (j\text{열}) 이므로 "모든 행 ⊥ 모든 열" ⟺ A^2 = 0. 위 행렬로 확인하면 정말 A^2 = 0 ✓.
    • (e) 모든 열의 합 = 영벡터, 모든 행의 합 = 성분이 전부 1인 행: 불가능.
      • ① 번역 (열 조건): 열들을 전부 더한 것은 A 에 (1, \ldots, 1)^{\mathrm{T}} 를 곱한 것. 이것이 0 ⟺ 모든 성분이 1인 벡터가 영공간에 있다.
      • ① 번역 (행 조건): 행들을 전부 더한 것은 계수를 전부 1로 준 행들의 선형결합. 이것이 (1, \ldots, 1) ⟺ 모든 성분이 1인 벡터가 행공간에 있다.
      • ② 판정: 같은 벡터 (1, \ldots, 1) 이 영공간과 행공간에 동시에 들어가야 한다. 직교하는 두 공간의 공통 벡터는 영벡터뿐인데 ([2단계]) 이 벡터는 0이 아니다. 모순.
      • 별해 (총합 세기): 행렬의 모든 성분의 총합을 두 방식으로 센다. 열 방향으로 모으면 (열 합이 0이니) 총합 0, 행 방향으로 모으면 (행 합이 성분 1짜리 행이니) 총합 n. 0 \neq n 이므로 모순.
    • 핵심 문장: 구성 가능/불가능 판정 = "그 조건이 직교 강제 쌍(행공간·영공간 / 열공간·좌영공간)에 내적 0 아닌 두 벡터를 넣으려 하는가" 검사.
  • 문제 6: 세 방정식 x + 2y + 2z = 5, 2x + 2y + 3z = 5, 3x + 4y + 5z = 9 에 y_1, y_2, y_3 을 곱해 더했을 때 0 = 1 이 되게 하는 y 를 구하라. y 는 어떤 부분공간에 있는가?
    • 🔁 개념 상기:
      • 좌영공간 \mathbf{N}(A^{\mathrm{T}}) 의 원소 = "A 의 행들을 결합해 영행을 만드는 계수 묶음" (3.5절, 그리고 3.5 연습문제 3에서 직접 구해봤던 그것).
      • 해 존재 조건의 직교 버전 (이 절의 새 관점): Ax = b 가 풀린다 ⟺ b \in \mathbf{C}(A) ⟺ b 가 모든 좌영공간 벡터와 직교 (열공간 ⊥ 좌영공간이고, 좌영공간이 열공간의 직교여공간이라 "좌영공간과 다 직교하면 열공간 안"이 성립).
    • 1단계, 문제 번역: 방정식들에 y_1, y_2, y_3 을 곱해 더하는 것 = 행들의 선형결합. "좌변이 0, 우변이 1"이 되려면:
      • 좌변 조건: y_1(1,2,2) + y_2(2,2,3) + y_3(3,4,5) = (0,0,0), 즉 y \in \mathbf{N}(A^{\mathrm{T}}).
      • 우변 조건: 5y_1 + 5y_2 + 9y_3 = 1, 즉 y^{\mathrm{T}}b = 1.
    • 2단계, y 계산 (성분별 연립):
      • x 계수: y_1 + 2y_2 + 3y_3 = 0
      • y 계수: 2y_1 + 2y_2 + 4y_3 = 0
      • 둘째에서 첫째를 빼면: y_1 + y_3 = 0 → y_1 = -y_3.
      • 첫째에 대입: -y_3 + 2y_2 + 3y_3 = 0 → y_2 = -y_3.
      • z 계수 검산: 2y_1 + 3y_2 + 5y_3 = -2y_3 - 3y_3 + 5y_3 = 0 ✓ (자동 만족, 좌영공간이 1차원 직선이라는 뜻).
      • y_3 = -1 로 고르면 y = (1, 1, -1).
    • 3단계, 확인: 1행 + 2행 − 3행:
      • 좌변: (1+2-3,\ 2+2-4,\ 2+3-5) = (0, 0, 0) ✓
      • 우변: 5 + 5 - 9 = 1 ✓ → 정말 0 = 1. 모순이므로 해가 없다.
    • 4단계, 부분공간 언어로 결론: y = (1,1,-1) 은 좌영공간 \mathbf{N}(A^{\mathrm{T}}) 의 벡터다.
      • 해가 있으려면 b 는 열공간에 있어야 하고, 그러면 모든 좌영공간 벡터와 직교해야 한다 (y^{\mathrm{T}}b = 0).
      • 그런데 y^{\mathrm{T}}b = 1 \neq 0. b = (5,5,9) 가 열공간 밖에 있다는 움직일 수 없는 증거다.
    • 💡 [문제 7]이 이를 일반화한 것이 프레드홀름 대안(Fredholm's alternative): 다음 둘 중 정확히 하나만 해를 갖는다. ① Ax = b, ② A^{\mathrm{T}}y = 0 이면서 y^{\mathrm{T}}b = 1.
      • 직관: b 는 열공간 안에 있거나(①이 성립), 밖에 있다. 밖에 있으면 b 의 좌영공간 방향 성분이 남아 있어서 그것을 증언하는 y (②)가 반드시 존재한다. 둘 다 성립할 수는 없다 (①이면 y^{\mathrm{T}}b = y^{\mathrm{T}}Ax = (A^{\mathrm{T}}y)^{\mathrm{T}}x = 0 \neq 1).
    • 핵심 문장: "해 없음"의 증인은 좌영공간 벡터다. A^{\mathrm{T}}y = 0 인데 y^{\mathrm{T}}b \neq 0 인 y 하나가 해 없음을 증명한다.
  • 문제 9: A^{\mathrm{T}}Ax = 0 이면 Ax = 0 인 이유는? (A^{\mathrm{T}}A 와 A 의 영공간 비교)
    • 🔁 개념 상기:
      • Ax 의 정체: 열들의 선형결합. 그래서 어떤 x 를 넣든 Ax 는 항상 열공간 \mathbf{C}(A) 안에 있다 (1장부터의 기본기).
      • \mathbf{N}(A^{\mathrm{T}}) 의 정체: A^{\mathrm{T}}(\cdot) = 0 을 만족하는 벡터들, 즉 좌영공간.
      • 직교하는 두 부분공간의 공통 벡터는 영벡터뿐 ([2단계]). 이 세 가지를 조립하면 끝나는 문제다.
    • 1단계: Ax 는 (누가 뭐래도) 열공간 \mathbf{C}(A) 안에 있다.
    • 2단계: 가정 A^{\mathrm{T}}Ax = 0 을 괄호만 바꿔 읽는다: A^{\mathrm{T}}(Ax) = 0. 벡터 Ax 가 A^{\mathrm{T}} 에게 죽는다 = Ax 는 좌영공간 \mathbf{N}(A^{\mathrm{T}}) 안에 있다.
    • 3단계: 열공간 ⊥ 좌영공간인데 Ax 가 양쪽에 다 있다 → 공통 벡터는 영벡터뿐 → Ax = 0.
    • 대안 증명 (한 줄 계산, 나중에 4.3에서도 쓰는 트릭): 가정의 양변에 x^{\mathrm{T}} 를 곱하면
      • x^{\mathrm{T}}A^{\mathrm{T}}Ax = (Ax)^{\mathrm{T}}(Ax) = \|Ax\|^2 = 0
      • 크기가 0인 벡터는 영벡터뿐이므로 Ax = 0. ("자기 자신과 직교하는 벡터는 0"의 계산 버전.)
    • 결론: \mathbf{N}(A^{\mathrm{T}}A) = \mathbf{N}(A).
      • 방향 ⊇: Ax = 0 이면 양변에 A^{\mathrm{T}} 를 곱해 A^{\mathrm{T}}Ax = 0 (자명).
      • 방향 ⊆: 방금 증명한 것.
      • 두 행렬은 영공간이 같으니 랭크도 같다: \mathrm{rank}(A^{\mathrm{T}}A) = \mathrm{rank}(A) (둘 다 열 개수 n 에서 영공간 차원을 뺀 것).
    • 💡 수위 조절: 이 결론은 4.2~4.3절의 심장이다. A 의 열이 독립이면 (\mathbf{N}(A) = \{0\}) 정사각행렬 A^{\mathrm{T}}A 도 영공간이 \{0\} → 가역. 그래서 최소제곱 방정식 A^{\mathrm{T}}A\hat{x} = A^{\mathrm{T}}b 를 풀 수 있게 된다. 지금은 "A^{\mathrm{T}}A 와 A 는 영공간이 같다"까지만 기억하면 충분하다.
    • 핵심 문장: Ax 가 열공간과 좌영공간에 동시에 속하면 Ax = 0. 그래서 \mathbf{N}(A^{\mathrm{T}}A) = \mathbf{N}(A).
  • 문제 12: A = \begin{bmatrix} 1&-1 \\ 0&0 \end{bmatrix}, x = (2, 0) 에 대해 적절한 x_r, x_n 을 찾아 [그림 4.1]을 그려라.
    • 🔁 개념 상기:
      • [5단계]의 분해 x = x_r + x_n 을 손으로 직접 해보는 문제다.
      • 분해가 가능한 근거는 [6단계]: 행공간 기저 + 영공간 기저 = \mathbb{R}^n 의 기저. 그러니 "x 를 그 기저로 표현하는 연립방정식"을 풀면 분해가 나온다.
    • 1단계, 두 공간부터 구하기:
      • 행공간: 0 아닌 행이 (1, -1) 하나뿐 → (1, -1) 방향 직선 (랭크 1).
      • 영공간: x_1 - x_2 = 0, 즉 x_1 = x_2 → (1, 1) 방향 직선.
      • 직교 확인: (1,-1) \cdot (1,1) = 1 - 1 = 0 ✓ (기본정리 2가 약속한 대로).
    • 2단계, x 를 두 기저로 표현: x = a(1,-1) + b(1,1) 로 놓고 성분별로 쓴다.
      • 1성분: a + b = 2
      • 2성분: -a + b = 0 → b = a
      • 대입: 2a = 2 → a = 1, b = 1.
    • 3단계, 답:
      • x_r = (1, -1), \qquad x_n = (1, 1)
      • 
    • 4단계, 검산 3종 세트:
      • 합: x_r + x_n = (1,-1) + (1,1) = (2, 0) = x ✓
      • 직교: x_r \cdot x_n = 1 - 1 = 0 ✓
      • A 가 보는 것: Ax = (2-0,\ 0) = (2,0) 이고 Ax_r = (1+1,\ 0) = (2,0). 정말 Ax = Ax_r ✓ (x_n 은 A 에게 투명인간).
    • 보너스 (그림 4.1 캡션의 식): \|x\|^2 = \|x_r\|^2 + \|x_n\|^2 확인: 4 = 2 + 2 ✓. 직교 분해라서 피타고라스가 성립한다 ([1단계]와 연결).
    • 핵심 문장: 분해 계산법 = "행공간 기저와 영공간 기저의 결합으로 x 를 표현하는 연립방정식 풀기". (계수를 자동으로 주는 일반 도구가 4.2의 사영이다.)
  • 문제 17: \mathbb{R}^3 에서 \mathbf{S}^{\perp} 구하기 3연발.
    • 🔁 개념 상기:
      • \mathbf{S}^{\perp} 의 정의: \mathbf{S} 의 모든 벡터와 직교하는 벡터 전부의 집합 ([4단계]).
      • 실전 계산법은 기본정리 2를 거꾸로 쓰는 것: 생성 벡터들을 행으로 넣어 행렬 A 를 만들면, "\mathbf{S} 의 모든 벡터와 직교" = "A 의 모든 행과 직교" = 영공간 \mathbf{N}(A). 즉 \mathbf{S}^{\perp} = \mathbf{N}(A).
      • 검산 무기: \dim \mathbf{S} + \dim \mathbf{S}^{\perp} = n (직교여공간은 차원을 남김없이 나눠 가진다).
    • 케이스 1: \mathbf{S} = \{0\}.
      • "0 과 직교"는 모든 벡터가 만족한다 (v^{\mathrm{T}}0 = 0 은 항상 참).
      • \mathbf{S}^{\perp} = \mathbb{R}^3 전체. 차원 검산: 0 + 3 = 3 ✓.
    • 케이스 2: \mathbf{S} = (1,1,1) 로 생성되는 직선.
      • A = \begin{bmatrix} 1&1&1 \end{bmatrix} 의 영공간: 조건은 방정식 하나 x + y + z = 0 → 평면.
      • 기저 (자유변수 y, z 에 1 넣기): (-1, 1, 0) 과 (-1, 0, 1). (부호를 바꾼 (1,-1,0), (1,0,-1) 도 물론 기저.)
      • 차원 검산: 1 + 2 = 3 ✓. 그림으로는 직선 (1,1,1) 에 수직인 평면.
    • 케이스 3: \mathbf{S} = (1,1,1), (1,1,-1) 로 생성되는 평면.
      • A = \begin{bmatrix} 1&1&1 \\ 1&1&-1 \end{bmatrix} 의 영공간을 소거로 구한다: 2행 − 1행 → (0, 0, -2), 즉 z = 0.
      • 1행에 대입: x + y = 0. 피벗변수 x, z / 자유변수 y → 특별해 (-1, 1, 0).
      • \mathbf{S}^{\perp} 는 (1, -1, 0) 방향 직선. 차원 검산: 2 + 1 = 3 ✓.
      • 직교 확인: (1,-1,0) \cdot (1,1,1) = 0 ✓, (1,-1,0) \cdot (1,1,-1) = 0 ✓.
    • 💡 세 케이스를 나란히 보면 규칙이 보인다: \mathbf{S} 가 커질수록 ($0 \to 1 \to 2$차원) \mathbf{S}^{\perp} 는 정확히 그만큼 작아진다 ($3 \to 2 \to 1$차원). 직교여공간은 시소 관계다.
    • 핵심 문장: \mathbf{S}^{\perp} 구하기 = 생성 벡터들을 행으로 넣은 행렬의 영공간 구하기. 검산은 \dim \mathbf{S} + \dim \mathbf{S}^{\perp} = n.