Logseq/Major Study/pages/3.2 소거법을 이용한 영공간 계산 A = CR.md

deck:: Logseq/전공공부/선형대수학

• 핵심 개념

  • 이 절의 목표: Ax = 0 의 모든 해 (= 영공간 \mathbf{N}(A))를 손으로 구하는 절차를 완성한다. 도구는 2장의 소거법을 끝까지 밀어붙인 기약행 사다리꼴 R_0, 부산물로 1장의 A = CR 분해가 완성된다.
    • 전체 5단계 흐름 지도:
      • [1단계] 소거를 U 에서 멈추지 않고 끝까지 → 기약행 사다리꼴 R_0 = \mathrm{rref}(A)
      • [2단계] 피벗 열 / 자유 열 구분 → 자유변수가 무엇인지
      • [3단계] 자유변수에 1과 0을 넣어 특별해 완성 → 영공간을 다 얻는다
      • [4단계] R_0 의 구조 [\,I\ F\,]P 와 H = WF → A = CR 완성
      • [5단계] n > m 이면 반드시 0 아닌 해가 존재하는 이유
  • [1단계] 소거의 완성형, 기약행 사다리꼴 R_0 = \mathrm{rref}(A)
    • 2장에서는 정사각·가역 A 를 상삼각 U 로 만들고 멈췄다. 이제 임의의 m \times n 행렬에 대해 소거를 끝까지 간다: 피벗 위쪽도 0으로 만들고, 각 행을 피벗으로 나눠 피벗을 전부 1로 만든다.
      • 📌 원문 (p.146): ((6a6b5fa3-a6fe-4467-9191-703689a8aceb))
      • 📌 원문 (2장 요약과의 연결, p.144): ((6a6b5f7d-6107-49fa-8595-9e8cdea480e8))
    • 🔢 EX2 의 전 과정 (3 \times 4, 랭크 2):
      • A = \begin{bmatrix} 1&7&3&35 \\ 2&14&6&70 \\ 2&14&9&97 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1&7&3&35 \\ 0&0&0&0 \\ 0&0&3&27 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1&7&0&8 \\ 0&0&0&0 \\ 0&0&3&27 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1&7&0&8 \\ 0&0&1&9 \\ 0&0&0&0 \end{bmatrix} = R_0
      • 마지막에 3행을 3으로 나누고(피벗 = 1), 영행을 맨 아래로 교환했다. 항등행렬 모양의 1들이 1열과 3열에 생겼다.
      • 📌 원문 ('사다리꼴' 용어의 뜻, p.145): ((6a6b5f99-2eb7-46ba-a875-32432525fbae))
    • R_0 와 R 의 관계: R_0 의 영행 (m-r) 개를 제거하면 R 이다. 두 가지 표준 형태:
      • 가장 간단한 경우: R = [\,I\ \ F\,] (피벗 열이 앞쪽에 몰린 경우)
      • 일반적인 경우: R_0 = \begin{bmatrix} I&F \\ 0&0 \end{bmatrix}P, 치환행렬 P 가 열 순서를 기록한다
      • 📌 원문 (p.146): ((6a6b5fa9-754f-408e-8d16-bc39d56c1267))
    • 💡 R_0 는 소거 경로와 무관하게 A 에 의해 유일하게 결정된다. 어떤 순서로 소거해도 같은 R_0.
  • [2단계] 자유변수, 이 절의 최중요 용어 (⚠️ 책이 정의 없이 쓰기 시작하는 말)
    • 한 줄 정의: 자유변수 = 소거가 끝난 뒤에도 아무도 붙잡지 않는 미지수, 아무 값이나 넣어도 되는 변수.
    • 왜 생기나: 미지수는 n 개인데 유효한 방정식(= 피벗 있는 행)은 r 개뿐이다. 방정식 r 개는 미지수 r 개만 붙잡을 수 있다 → 남는 (n-r) 개는 자유.
      • 💡 비유: 방정식 = 수갑, 미지수 = 사람. 수갑 r 개로 사람 n 명을 못 묶는다. 안 묶인 (n-r) 명(자유변수)은 어디든 가고, 묶인 r 명(피벗변수)은 그들이 움직이는 대로 따라 정해진다.
    • 구분법은 기계적: R_0 에서 피벗(선두 1)이 있는 열 번호의 변수 = 피벗변수, 피벗이 없는 열 번호의 변수 = 자유변수. 영행은 무시.
      • 🔢 위 EX2: 피벗이 1열·3열에 → x_1, x_3 피벗변수 / 2열·4열엔 피벗 없음 → x_2, x_4 자유변수.
      • ⚠️ "앞에서부터 r 개가 피벗변수"가 아니다. 피벗은 1, 3열처럼 뛰엄뛰엄 걸릴 수 있다. 그래서 열 순서를 정리하는 P 를 붙여 R = [\,I\ \ F\,]P 로 쓰는 것.
    • 역할 분담: 자유변수 = 내가 고르는 입력, 피벗변수 = 방정식이 자동으로 결정하는 출력.
  • [3단계] 특별해, 영공간을 만드는 조리법
    • 특별해 (special solution): 자유변수 하나에만 1, 나머지 자유변수에 0을 넣고 피벗변수를 역대입으로 구한 해. 자유변수가 (n-r) 개이므로 특별해도 (n-r) 개.
    • 🔢 EX2 끝까지: R_0 x = 0 ⟺ x_1 + 7x_2 + 8x_4 = 0, x_3 + 9x_4 = 0
      • x_2 = 1, x_4 = 0: → x_1 = -7, x_3 = 0 → s_1 = (-7, 1, 0, 0)
      • x_2 = 0, x_4 = 1: → x_1 = -8, x_3 = -9 → s_2 = (-8, 0, -9, 1)
      • 영공간 = 특별해들의 모든 선형결합: \mathbf{N}(A) = \{c_1 s_1 + c_2 s_2\}. 특별해가 영공간의 기저가 된다 (기저의 정식 정의는 3.4).
      • 📌 원문 (p.145): ((6a6b5f8a-654a-490b-862c-a5cb063f1188))
    • 💡 공식 한 방 정리: [\,I\ \ F\,]x = 0 의 특별해들 = \begin{bmatrix} -F \\ I \end{bmatrix} 의 열들. 열 순서가 섞였으면 P^{\mathrm{T}}\begin{bmatrix} -F \\ I \end{bmatrix} 의 열들. ([\,I\ F\,]\begin{bmatrix} -F \\ I \end{bmatrix} = -F + F = 0, 검산이 자동으로 된다!)
    • ⚠️ 소거는 해를 바꾸지 않는다: \mathbf{N}(A) = \mathbf{N}(R_0) = \mathbf{N}(R). 그래서 어려운 Ax=0 대신 쉬운 R_0 x = 0 을 푸는 것이 정당하다. (연습문제 1이 이 사실의 증명이다.)
  • [4단계] R_0 가 알려주는 것: H = WF 와 A = CR
    • 소거가 답하는 질문은 이것이다: "새로운 열은 이전 열들과 선형종속인가?"
      • 📌 원문 (p.146): ((6a6b5faf-d090-4dd6-8043-1d45e7583aa0))
      • 새 열에서 (이전 피벗들 아래에) 0 아닌 성분이 남으면 → 독립 → 새 피벗 열. 전부 0이 되면 → 종속 → 자유 열이 되고 F 에 계수가 기록된다.
    • 2 \times 4 예 (p.147): A = \begin{bmatrix} 1&2&11&17 \\ 3&7&37&57 \end{bmatrix} 에서 독립인 1·2열을 W = \begin{bmatrix} 1&2 \\ 3&7 \end{bmatrix}, 종속인 3·4열을 H = \begin{bmatrix} 11&17 \\ 37&57 \end{bmatrix} 라 하면:
      • W^{-1}A = W^{-1}[\,W\ \ H\,] = [\,I\ \ W^{-1}H\,] = [\,I\ \ F\,], 소거의 정체는 W^{-1} 를 곱하는 것이었다!
      • 그러므로 F = W^{-1}H, 즉 H = WF:
      • H = \begin{bmatrix} 11&17 \\ 37&57 \end{bmatrix} = WF = \begin{bmatrix} 1&2 \\ 3&7 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3&5 \\ 4&6 \end{bmatrix}
      • 💡 F 의 역할: 독립인 열들을 어떻게 결합하면 종속인 열이 나오는지 알려주는 조리법. (종속 = 독립 × F.)
    • ⚠️ 정오표, 책 p.147 박스 ❷의 오타 (내가 빨간 하이라이트로 표시해둔 곳):
      • 📌 원문 (p.147): ((6a6b5fc4-7bd5-41f6-b211-a7cfd1c1a282))
      • 책에는 "(A의 선형독립인 열) = (A의 선형종속인 열) × F" 라고 인쇄되어 있는데 독립/종속이 뒤바뀐 오식이다. 올바른 문장:
        • \text{(A의 선형종속인 열)} = \text{(A의 선형독립인 열)} \times F \qquad (H = WF)
      • 근거: 같은 페이지 본문·수치 예(WF = H 검산)·"F는 독립인 열들을 결합해 종속인 열을 생성" 문장 모두 이 방향이고, 원서도 "(Dependent columns) = (Independent columns) times F". 독립인 열이 종속인 열들의 결합으로 표현된다면 그건 애초에 "독립"이라는 말과 모순.
    • " R_0 안의 I 는 C 의 위치를 알려준다"의 정확한 의미 (사용자 질문):
      • 📌 원문 (p.149): ((6a6b6006-942c-4f60-ac32-9d2e8ad4e45a))
      • "위치" = 열 번호 목록이다. R_0 에서 I 를 이루는 열(= 피벗 열)이 몇 번째 열인지 보면, 행렬 A 에서 그 번호의 열들을 원본 그대로 뽑아 C 를 만들라는 뜻.
      • 🔢 EX2: R_0 의 I 는 1열·3열에 있다 → A 의 1열 (1,2,2) 와 3열 (3,6,9) 이 C 의 열이 된다: C = \begin{bmatrix} 1&3 \\ 2&6 \\ 2&9 \end{bmatrix}.
      • ⚠️ C 의 열은 R_0 의 열(0 과 1 로 찌그러진 것)이 아니라 A 의 원본 열이다. R_0 는 "어느 열을 뽑을지"만 알려주는 안내판이고, 재료는 A 에서 가져온다. (소거가 열공간 자체를 바꿔버리기 때문, 3.5절에서 다시.)
    • A = CR 완성 (EX3, p.150):
      • A = \begin{bmatrix} 1&2&1 \\ 2&4&5 \\ 3&6&9 \end{bmatrix} = CR = \begin{bmatrix} 1&1 \\ 2&5 \\ 3&9 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&2&0 \\ 0&0&1 \end{bmatrix} = (C\text{의 열 기저}) \times (R\text{의 행 기저})
      • 📌 원문 (p.149): ((6a6b6003-baed-4e8c-8ee3-a2a1798181b3)) / ((6a6b601a-66cb-4d23-a68d-5ef3b2fa7407))
      • 1장에서 감으로만 했던 A = CR 이 이제 체계적 절차가 됐다: 소거 → R_0 → I 위치의 A 열들 = C, 영행 뗀 것 = R.
    • (심화, 가볍게) 3단계 블록 소거법: 열·행 치환으로 독립인 부분을 앞으로 몰면 P_R A P_C = \begin{bmatrix} W&H \\ J&K \end{bmatrix}, 여기에 W^{-1} 를 곱하고 아래 블록을 지우면 R_0. 결론: P_R A P_C = \begin{bmatrix} W \\ J \end{bmatrix}W^{-1}[\,W\ \ H\,] = CW^{-1}B.
      • 📌 원문 (p.152): ((6a6b60b0-448f-44b1-b8b9-cd7dce5bda13)) / ((6a6b60bd-44b4-4ea0-aaff-fdf73e00e3e4)) / ((6a6b60c4-122e-4a43-a498-869cda9a821d))
      • 💡 JW^{-1}H = K 가 성립하는 이유: 랭크가 r 이므로 아래 행들 [\,J\ K\,] 는 위 행들 [\,W\ H\,] 의 선형결합일 수밖에 없기 때문.
  • [5단계] 가로로 긴 행렬은 반드시 0 아닌 해를 갖는다 (n > m)
    • 📌 원문 (p.151): ((6a6b609e-46ad-418b-aa3a-41a2cf13bf80)) / ((6a6b60a5-62e7-4143-ae8e-a9fcb1b8c238))
    • 이유는 카운팅 하나: 피벗은 행마다 최대 1개 → r \le m < n → 자유변수가 (n-r) \ge (n-m) \ge 1 개 → 특별해가 존재.
      • 📌 원문 (p.151): ((6a6b6086-5d0a-4dca-bbc9-4ee9dd539296))
    • 뒤집어 말하면: \mathbb{R}^m 안에서는 n > m 개의 선형독립인 열을 가질 수 없다. (n 개의 벡터를 열로 세우면 위 논리로 종속이 드러난다. 3.4절에서 재사용되는 핵심 논리.)
      • 📌 원문 (p.151): ((6a6b6080-45c0-4450-b783-ca74d3bbf525))
    • 💡 영공간의 크기 감각: 영공간의 '차원' = 자유변수 개수 (n-r). (차원의 정식 정의는 3.4 독립, 기저, 차원, 4공간 총정리는 3.5 4가지 기본 부분공간의 차원.)

• ❓ 스스로 점검

  • 자유변수란 무엇인가? R_0 만 보고 어떤 변수가 자유변수인지 판정하는 법은?
    • 소거 후에도 방정식이 붙잡지 않아 아무 값이나 넣어도 되는 미지수. 판정: 각 행의 선두 1(피벗)이 있는 열의 변수는 피벗변수, 피벗이 없는 열의 변수는 자유변수.
  • 특별해는 어떻게 만드는가? 몇 개가 나오며, 영공간과의 관계는?
    • 자유변수 하나에 1, 나머지 자유변수에 0을 넣고 피벗변수를 역대입으로 구한다. (n-r) 개가 나오고, 영공간 = 특별해들의 모든 선형결합 (특별해가 영공간의 기저).
  • [\,I\ \ F\,]x = 0 의 특별해를 행렬 하나로 표현하면? 검산은 왜 자동인가?
    • \begin{bmatrix} -F \\ I \end{bmatrix} 의 열들 (열 섞였으면 P^{\mathrm{T}} 를 앞에). [\,I\ F\,]\begin{bmatrix} -F \\ I \end{bmatrix} = -F + F = 0 이므로.
  • H = WF 에서 W, H, F 는 각각 무엇인가? 책 p.147 박스의 오타는 무엇인가?
    • W = 독립인 열들, H = 종속인 열들, F = 독립을 결합해 종속을 만드는 계수(조리법). 박스는 "(독립 열) = (종속 열)×F"로 뒤바뀌어 인쇄됨. 올바른 방향은 (종속 열) = (독립 열)×F.
  • "R_0 안의 I 가 C 의 위치를 알려준다"에서 '위치'란? C 의 열은 어디서 가져오는가?
    • I 를 이루는 피벗 열들의 열 번호. C 의 열은 R_0 가 아니라 A 의 원본 열을 그 번호대로 뽑아온다.
  • 왜 \mathbf{N}(A) = \mathbf{N}(R_0) 인가?
    • 소거 = 가역행렬 E 를 곱하는 것. Ax=0 이면 EAx=0; 역으로 EAx=0 이면 E^{-1} 를 곱해 Ax=0. 해집합이 같다.
  • n > m 이면 Ax = 0 에 0 아닌 해가 반드시 존재하는 이유를 한 줄로.
    • 피벗 ≤ m < n → 자유변수 ≥ 1 → 특별해 존재.

• ✏️ 연습문제 풀이 (솔루션 참고)

  • 문제 1 (카드화하기 좋은 문제): E 가 가역행렬일 때, A 와 R = EA 는 왜 동일한 영공간을 갖는가?
    • 📌 문제 지문 (p.153): 🔗 PDF 위치
      • 
    • (\subseteq) Ax = 0 이면 양변에 E 를 곱해 EAx = 0, 즉 Rx = 0.
    • (\supseteq) Rx = EAx = 0 이면 양변에 E^{-1} 를 곱해 Ax = 0.
    • 💡 E 의 가역성이 핵심이다: 돌아올 수 있어야(E^{-1}) 해가 안 늘어난다. "소거는 해를 바꾸지 않는다"의 진짜 이유이자, 이 절 전체의 논리적 기초.
  • 문제 2: A = \begin{bmatrix} 1&2&1 \\ 3&6&3 \\ 4&8&c \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} c&c \\ c&c \end{bmatrix} 의 R 과 랭크, 피벗 열, 특별해를 (c 값에 따라) 구하라.
    • 📌 문제 지문 (p.153): 🔗 PDF 위치
      • 
    • A: 2행 = 3×(1행)이라 소거하면 \begin{bmatrix} 1&2&1 \\ 0&0&0 \\ 0&0&c-4 \end{bmatrix}.
      • c = 4: 랭크 1, 피벗 열 = 1열. 자유변수 x_2, x_3 → 특별해 (-2, 1, 0), (-1, 0, 1).
      • c \neq 4: 랭크 2, 피벗 열 = 1열과 3열. 자유변수 x_2 → 특별해 (-2, 1, 0).
    • B: c = 0 이면 영행렬, 랭크 0, 특별해 (1,0), (0,1). c \neq 0 이면 랭크 1, 피벗 열 1열, 특별해 (-1, 1).
    • 💡 매개변수 하나(c)가 랭크·자유변수 개수·영공간 차원을 통째로 바꾼다. "랭크가 모든 것을 결정한다"의 체험.
  • 문제 6: 참/거짓: (a) 정사각행렬에는 자유변수가 없다 (b) 가역행렬에는 자유변수가 없다 (c) m \times n 행렬의 피벗변수는 n 개보다 많을 수 없다 (d) m 개보다 많을 수 없다
    • (a) 거짓: 특이 정사각행렬은 자유변수를 갖는다 (예: 영행렬). (b) 참: 가역이면 피벗 n 개, R_0 = I. (c) 참: 피벗은 열마다 최대 1개. (d) 참: 피벗은 행마다 최대 1개.
    • 💡 (c)+(d)를 합치면 r \le \min(m, n), 랭크의 기본 부등식이 공짜로 나온다.
  • 문제 12 (빈칸 채우기, 카드 재료로 좋음): m \times n 행렬에 피벗이 r 개 있을 때: 특별해의 개수는 ___. 영공간이 x = 0 만 포함하는 것은 r = ___ 일 때. 열공간이 \mathbb{R}^m 전체가 되는 것은 r = ___ 일 때.
    • 특별해 n - r 개 / 영공간 = \{0\} ⟺ r = n / 열공간 = \mathbb{R}^m ⟺ r = m.
    • 💡 이 세 줄이 3.3절 "최대 열 랭크 / 최대 행 랭크" 논의의 뼈대다.
  • 문제 13 (꼭 풀어볼 만한 문제): 평면 x - 3y - z = 12 는 x - 3y - z = 0 과 평행하다. (12, 0, 0) 이 이 평면 위에 있을 때, 평면 위의 모든 점을 다음 꼴로 나타내라: \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \square \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} \square \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + z\begin{bmatrix} \square \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}
    • \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + z\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}
    • 검산: x = 12 + 3y + z → x - 3y - z = 12 ✓.
    • 💡 구조를 보라: (평면 위 한 점) + (평행한 원점 평면의 모든 점): 다음 절 완전해 x = x_p + x_n 의 예고편이다. y, z 가 자유변수, (3,1,0) 과 (1,0,1) 이 특별해 역할.