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Logseq/Major Study/pages/4.5 행렬의 유사역행렬.md

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deck:: Logseq/전공공부/선형대수학

  • 핵심 개념

    • 흐름 지도: [0단계] 겁먹지 않아도 되는 이유 → [1단계] 문제의식: 역행렬의 빈자리 → [2단계] 3.3 해 유형표와 연결하기 → [3단계] 좌역행렬 = 최소제곱의 화신 → [4단계] 우역행렬 = 최단 해의 화신 → [5단계] A^{\mathrm{T}}A 대 AA^{\mathrm{T}} 정리 → [6단계] 진짜 유사역행렬 A^{+} → [7단계] A^{+}A 와 AA^{+} 의 정체 → [8단계] 계산법과 펜로즈 조건.

    • [0단계] 겁먹지 않아도 되는 이유

      • 책이 직접 말한다: "이 절은 필수로 알아두어야 할 내용은 아니다" (p.269). 제대로 된 계산 도구(SVD)는 7장에서 온다.
      • 그리고 사실 새 개념이 아니다. 4장 내내 세 번이나 스쳐간 복선의 회수전이다:
        • 4.1 [5단계]: "A 는 행공간에서 열공간으로의 가역변환이다. 이걸 되돌리는 행렬이 4.5의 $A^{+}$" (그때 이름만 들었던 그것).
        • 4.3 [7단계]: 열이 종속일 때 무한한 \hat{x} 중 최단 해 x^{+} = (1,1) 을 고르는 도구.
        • 4.4 요약표: Q^{+} = Q^{\mathrm{T}} 라는 칸.
      • 이 절의 목표는 하나뿐이다: A^{+} 가 "무엇을 하는 물건"인지의 그림. 공식 암기가 아니라.

    • [1단계] 문제의식: 역행렬의 빈자리

      • 진짜 역행렬 A^{-1} 는 사치품이다: 정사각 + 열 독립일 때만 존재 (A^{-1}A = I 와 AA^{-1} = I 둘 다). 세상 대부분의 행렬(직사각, 랭크 부족)은 못 가진다.
      • 그런데 우리는 이미 "되돌리기 비슷한 것"을 해왔다: 해가 없는데 최선을 돌려받았고(최소제곱), 해가 넘치는데 대표를 골라 받았다(최단 해). 4.5는 그 "비슷한 것들"에 이름을 붙이고 하나로 통합하는 절이다.
        • 📌 원문 (p.269): ((6a855f6d-02af-464b-ad44-6cdb61f7973c))
      • 워밍업 미니어처 (p.268 도입 표): 항등행렬조차 열이나 행을 잘라내면 "한쪽 역"만 남는다.
        • 역행렬·좌역·우역 3형제 도입 표 (p.268)
        • I_L I_R = I (이 순서로는 항등) 인데 I_R I_L \neq I (반대 순서는 실패). 곱하는 방향에 따라 역할이 달라진다는 것이 이 절의 첫 감각이다.

    • [2단계] 3.3 해 유형표와 연결하기 (여기가 연결 고리!)

      • 오빠가 이미 아는 3.3의 표를 다시 소환하면 좌역·우역이 태어난 이유가 보인다. "무엇이 부족한가"가 처방을 정한다:
        • 모양 랭크 Ax = b 의 해 (3.3) 부족한 것 처방 이름
          정사각 가역 r = m = n 항상 1개 없음 A^{-1} 역행렬
          세로로 긺 r = n < m 0 또는 1개 존재 해가 없어도 최선을 주자 좌역행렬
          가로로 긺 r = m < n 항상 존재 (∞개) 유일성 넘치는 해 중 대표를 고르자 우역행렬
          둘 다 부족 r < m,\ r < n 0 또는 ∞개 둘 다 두 처방 동시 적용 유사역행렬 A^{+}
        • (책 비교표의 "유일한 해 혹은 무수히 많은 해"는 정사각 m = n 인 경우까지 포함한 표현이다. 가로로 길면(m < n) 항상 ∞개.)
      • 연결 열쇠 한 문장: 존재가 깨지면 → 좌역(최소제곱), 유일성이 깨지면 → 우역(최단 해), 둘 다 깨지면 → A^{+} (최소노름 최소제곱).
      • 책의 좌역·우역 비교표 (이 표가 이 절의 지도다):

    • [3단계] 좌역행렬: "이것이 바로 최소제곱법"의 뜻

      • 대상: 세로로 긴 A (m > n, 열 독립, r = n). 방정식이 미지수보다 많아 해가 없을 수 있는 상황.
      • 이름의 뜻: 왼쪽에서 곱했을 때만 I 가 되는 행렬. A^{+}A = I (n \times n). 오른쪽 곱 AA^{+} 는 I 가 아니다.
      • 공식은 새로 외울 것이 없다. 이미 아는 재료의 조립이다:
        • 열 독립 → A^{\mathrm{T}}A (n \times n) 가역 (4.2 [6단계]의 그 정리!) →
        • A^{+} = (A^{\mathrm{T}}A)^{-1}A^{\mathrm{T}} \qquad \text{검산: } A^{+}A = (A^{\mathrm{T}}A)^{-1}(A^{\mathrm{T}}A) = I \ ✓
      • ✅ "이것이 바로 최소제곱법"이 무슨 소리냐면: 이 A^{+} 를 b 에 곱해보라.
        • A^{+}b = (A^{\mathrm{T}}A)^{-1}A^{\mathrm{T}}b = \hat{x}
        • 우변은 4.3 정규방정식의 해 그 자체다! 즉 좌역행렬은 "최소제곱해 계산기"를 행렬 하나로 포장한 것. A^{+}b 를 계산하는 행위 = 최소제곱법을 실행하는 행위. 그래서 책이 그 문장을 쓴 것이다.
        • b 가 열공간 안이면 정확한 해를, 밖이면 최선의 해를 돌려준다 (4.3에서 확인한 "최소제곱은 상위호환" 그대로).
      • 그럼 반대쪽 곱 AA^{+} 는 뭐가 되나: A(A^{\mathrm{T}}A)^{-1}A^{\mathrm{T}}, 어디서 많이 봤다. 4.2의 사영행렬 P 그 자체! 왼쪽 곱은 I (계수 세계에서는 완벽), 오른쪽 곱은 열공간 사영 (벡터 세계에서는 "갈 수 있는 데까지만").
      • 🔢 제일 작은 예: A = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} (세로, r = n = 1).
        • A^{\mathrm{T}}A = 2 → A^{+} = \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix}.
        • A^{+}A = \frac{1}{2}(1 + 1) = 1 = I_1 ✓. 반대쪽 AA^{+} = \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&1 \end{bmatrix} = 상수벡터 방향 사영행렬 (\neq I).
        • A^{+}b = \frac{b_1 + b_2}{2} = 평균! (4.3 문제 12의 "평균 = 사영"이 좌역행렬의 언어로 재등장. 세로 A = (1,1) 의 좌역은 평균 기계다.)

    • [4단계] 우역행렬: "최소길이 해"의 뜻

      • 대상: 가로로 긴 A (m < n, 행 독립, r = m). 미지수가 방정식보다 많아 해가 무한한 상황.
      • 이름의 뜻: 오른쪽에서 곱했을 때만 I: AA^{+} = I (m \times m). 왼쪽 곱 A^{+}A 는 I 가 아니다.
      • 공식도 좌역과 거울 대칭: 행 독립 → AA^{\mathrm{T}} (m \times m) 가역 →
        • A^{+} = A^{\mathrm{T}}(AA^{\mathrm{T}})^{-1} \qquad \text{검산: } AA^{+} = (AA^{\mathrm{T}})(AA^{\mathrm{T}})^{-1} = I \ ✓
      • ✅ "최소길이 해(최단거리 해)"가 무슨 소리냐면: 해가 무한하니 고르는 문제가 남는다.
        • 3.3의 완전해: x = x_p + x_n (특수해 + 영공간 아무거나). 전부 같은 b 로 가는 정당한 해들.
        • 그중 x^{+} = A^{+}b 는 행공간에 들어 있는 유일한 해다. 즉 영공간 성분이 0.
        • 왜 그게 최단인가: 4.1의 직교 분해로 임의의 해는 x = x^{+} + x_n (행공간 성분 ⊥ 영공간 성분) → 피타고라스:
        • \|x\|^2 = \|x^{+}\|^2 + \|x_n\|^2 \geq \|x^{+}\|^2
        • 영공간 성분은 길이만 늘리는 군살이다. 그걸 0으로 만든 해가 최단. 4.3 [7단계]의 종속 열 예제에서 "최단 해 $x^{+} = (1,1)$"이라 했던 그 말의 정체가 이것이다.
      • 🔢 제일 작은 예: A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix} (가로, r = m = 1).
        • AA^{\mathrm{T}} = 2 → A^{+} = \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}. AA^{+} = \frac{1}{2}(1+1) = 1 ✓.
        • Ax = b 는 x_1 + x_2 = b: 해가 직선 하나 가득. A^{+}b = (\frac{b}{2}, \frac{b}{2}) 는 그 직선 위에서 원점에 가장 가까운 점 (수선의 발!).
        • 검산: 다른 해 (b, 0) 의 길이는 |b|, 최단 해의 길이는 \frac{|b|}{\sqrt{2}}. 정말 더 짧다.
      • ⚠️ 오해 교정 ("좌역·우역행렬은 I 에 0 붙인 모양?"): 아니다. 좌역·우역행렬 자신은 \frac{1}{2}[1\ 1] 처럼 평범한 직사각행렬이다. "I 랭크만큼 + 나머지 0" 모양이 나오는 곳은 두 군데 뿐이다: ① [1단계] 도입 표의 특수 예 (I 를 잘라 만든 I_L, I_R), ② [7단계]에서 볼 A^{+}A, AA^{+} (사영행렬을 좋은 기저에서 본 모습). 그 인상이 섞인 것.

    • [5단계] A^{\mathrm{T}}A 대 AA^{\mathrm{T}}: 모순이 아니다 (기억 교정)

      • 팩트 체크: 둘 다 언제나 정사각이다. A 가 m \times n 이면 A^{\mathrm{T}}A 는 n \times n, AA^{\mathrm{T}} 는 m \times m (4.2 스스로 점검 "내적 표" 문답 그대로: 열 내적 표는 열 개수만큼, 행 내적 표는 행 개수만큼).
      • "AA^{\mathrm{T}} 는 정사각이 아니라고 하지 않았나?"는 기억의 혼선이다. 아마 4.4의 "직사각 Q 에서 $QQ^{\mathrm{T}} \neq I$" 와 섞였을 것. 항등이 아닌 것과 정사각이 아닌 것은 다른 말이다. QQ^{\mathrm{T}} 도 어엿한 m \times m 정사각(사영행렬)이었다.
      • 둘의 진짜 차이는 크기가 아니라 가역성 조건이다:
        • 행렬 크기 가역 ⟺ 어느 역행렬의 재료?
          A^{\mathrm{T}}A n \times n 열 독립 (r = n) 좌역 (A^{\mathrm{T}}A)^{-1}A^{\mathrm{T}}
          AA^{\mathrm{T}} m \times m 행 독립 (r = m) 우역 A^{\mathrm{T}}(AA^{\mathrm{T}})^{-1}
        • 세로(열 독립)는 A^{\mathrm{T}}A 가 살아 있어 좌역을, 가로(행 독립)는 AA^{\mathrm{T}} 가 살아 있어 우역을 만든다. 이 대응이 [2단계] 표와 맞물린다.

    • [6단계] 진짜 유사역행렬 A^{+}: 랭크가 둘 다 부족해도 된다

      • 이제 최악의 상황: r < m 이고 r < n (해가 0개 아니면 ∞개, 한쪽 역행렬도 없음). 여기서도 작동하는 만능 되돌리기를 정의한다.
      • 정의는 행동강령 3줄이다 (책 ❶❷❸): \mathbb{R}^m 의 임의 벡터 y 를 4.1처럼 직교 분해한다: y = b + z (b \in 열공간, z \in 좌영공간).
        • ① 열공간 성분 b: 그 유일한 조상에게 되돌린다. b = Ax 인 행공간의 유일한 x 로: A^{+}b = x.
        • ② 좌영공간 성분 z: 되돌릴 곳이 없으니 죽인다: A^{+}z = 0.
        • ③ 합치면: A^{+}y = A^{+}b + A^{+}z = x.
        • 📌 원문 정의 박스 (p.270): 🔗 PDF 위치
        • A⁺의 정의 (p.270)
      • 이 정의가 가능한 근거 = 4.1 [5단계]의 그 정리: "A 는 행공간에서 열공간으로의 가역변환이다".
        • 📌 원문 (p.272, 275): ((6a85601e-b15a-432c-a104-43aa309f4d34)) / ((6a85602c-bc22-4eb5-86c2-1079716484c5)) / ((6a856065-6171-48c3-88a1-51dd03f8ea10))
        • 💡 보충: "열들의 선형결합인데 왜 행공간 이야기가 나오나?" (헷갈리기 쉬운 지점):
          • Ax = b 에는 세계가 둘이다. 입력 x 는 \mathbb{R}^n (행공간·영공간이 사는 곳), 출력 b 는 \mathbb{R}^m (열공간·좌영공간이 사는 곳).
          • "Ax = 열들의 선형결합"은 출력이 어디 사는지(도착지 = 열공간)만 말한 문장이다. "행공간에서"는 거기에 출발지 이야기를 더한 것: 그 결합의 계수 벡터 x 는 어디서 오는가?
          • x 자체는 \mathbb{R}^n 아무 데나 있을 수 있지만, x = x_r + x_n 으로 쪼개면 Ax = Ax_r (영공간 성분은 A 가 통째로 버린다). 즉 A 라는 기계가 실제로 읽는 유효 입력은 행공간 성분뿐이다. 사각지대(영공간)를 걷어낸 유효 입력 구역 = 행공간.
          • 🔢 4.1 EX3의 행렬로: A = \begin{bmatrix} 1&2 \\ 3&6 \end{bmatrix} (행공간 (1,2) 직선, 영공간 (2,-1) 직선, 열공간 (1,3) 직선).
            • A(4,3) = (10, 30) 이고 A(2,4) = (10, 30): 다른 입력, 같은 출력. A 는 영공간 성분 차이를 구별 못 한다.
            • 행공간만 보면: c(1,2) \mapsto c(5,15) = 5c \cdot (1,3). 행공간 직선의 점 ↔ 열공간 직선의 점, 완벽한 1:1 (배율 5). 이 구간에서 A 는 "5배 기계"라 되돌리기(÷5)가 가능하고, 그 되돌리기를 행렬로 포장한 것이 A^{+} 다.
          • 한 문장 정리: 겉모습은 A: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m, 실속은 행공간($r$차원) → 열공간($r$차원)의 1:1. 행공간은 식의 오른쪽 끝(입력 x) 안에 숨어 있어서 "식만 보면 열공간 이야기"로 보이는 것이 당연하다.
        • 증명도 4.1에서 했던 그대로: 행공간의 x \neq X 가 Ax = AX 라면 x - X 가 행공간과 영공간에 동시에 있어 0. 모순.
        • A^{+} 는 그 가역변환의 역 + "복원 불가능한 부분(좌영공간)은 0으로" 규칙을 합친 것. 가능한 경우 A^{+} 는 A 를 역변환한다 (열공간 → 행공간).
        • 📌 원문 가역변환 박스 (p.275): 🔗 PDF 위치
        • 행공간↔열공간 가역변환 (p.275)
      • [그림 4.11] = 그림 4.1의 화살표를 전부 거꾸로 돌린 그림:
        • 📌 원문 그림 4.11 (p.270): 🔗 PDF 위치
        • 그림 4.11 A⁺의 큰 그림 (p.270)
        • 읽는 법: A 는 왼쪽(행공간) → 오른쪽(열공간)으로, A^{+} 는 오른쪽 → 왼쪽으로. A^{+} 의 4가지 기본 부분공간은 A^{\mathrm{T}} 와 동일 (행공간↔열공간이 서로 바뀜, 좌영공간은 A^{+} 의 영공간).
      • 그래서 일반 b 에 대한 x^{+} = A^{+}b 의 신분:
        • 📌 원문 (p.269): 🔗 PDF 위치 / ((6a855fcf-ec62-4b22-a9ec-e7d5d880455e)) / ((6a855fe0-2eb2-4a14-91bf-9a54a70ea013))
        • x⁺는 최소노름 최소제곱해 (p.269)
        • x^{+} 는 최소노름 최소제곱해: 오차 \|Ax - b\|^2 을 최소화하는 후보들([3단계] 처방) 중에서 길이 \|x\| 가 가장 짧은 것([4단계] 처방). 두 처방의 동시 적용.
        • 핵심 성질: x^{+} 는 영공간 성분이 0 (행공간 소속). 4.3 종속 열 예제의 x^{+} = (1, 1) 이 드디어 정식으로 정의된 것.

    • [7단계] A^{+}A 와 AA^{+} 의 정체: I 가 못 되면 사영이 된다

      • 진짜 역행렬이면 A^{-1}A = AA^{-1} = I. 유사역행렬은 거기까지는 못 가고, 갈 수 있는 최선에 도달한다:
        • 📌 원문 (p.271, 275): 🔗 PDF 위치 / ((6a856080-57ec-455d-8096-8c361f5939fc))
        • P_row와 P_column (p.271)
        • A^{+}A = P_{\text{row}}\ (\text{행공간 사영, } n \times n) \qquad AA^{+} = P_{\text{column}}\ (\text{열공간 사영, } m \times m)
      • 왜 사영인가 (한 줄 추적): A^{+}Ax 에서 Ax 는 x 의 행공간 성분만 반영하고 (Ax_n = 0), A^{+} 는 그 결과를 행공간으로 되돌린다. 그러니 x \to (x 의 행공간 성분): 정확히 행공간 사영.
      • 좋은 기저(행공간 기저 r 개 + 영공간 기저 n - r 개)로 보면 이 사영행렬이 \begin{bmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} 모양이 된다 (그림 4.11 의 라벨). "랭크만큼 I, 나머지 0"이라는 직감이 여기서는 정확히 맞는다.
      • 특수화 확인: 좌역 상황(r = n)이면 행공간 = \mathbb{R}^n 전체 → P_{\text{row}} = I → A^{+}A = I ✓. 우역 상황(r = m)이면 열공간 = \mathbb{R}^m 전체 → AA^{+} = I ✓. [3]·[4단계]가 이 그림의 특수 케이스였다.

    • [8단계] 계산법 3종과 펜로즈 조건 (수위 조절: 눈도장 수준이면 충분)

      • ① 대각행렬 D: 제일 쉬운 경우. 대각 성분의 역수를 취하되 \frac{1}{0} 은 0으로 두고, 모양은 전치.
        • D = \begin{bmatrix} 2&0&0 \\ 0&3&0 \\ 0&0&0 \end{bmatrix} \Rightarrow D^{+} = \begin{bmatrix} 1/2&0&0 \\ 0&1/3&0 \\ 0&0&0 \end{bmatrix}
        • "역수 없는 자리(0)는 포기하고 0"이 유사역의 정신을 그대로 보여준다 (복원 불가능한 방향은 0으로).
      • ② 한쪽 역이 있는 경우: [3]·[4단계] 공식. 세로 → (A^{\mathrm{T}}A)^{-1}A^{\mathrm{T}}, 가로 → A^{\mathrm{T}}(AA^{\mathrm{T}})^{-1}.
      • ③ 일반 (랭크 부족): A = CR (3장의 그 분해!)로 쪼갠 뒤, C 는 열 독립이니 좌역을, R 는 행 독립이니 우역을 갖는다. 운 좋게 그 둘을 이어 붙이면 끝:
        • 📌 원문 (p.273): 🔗 PDF 위치 / 식 (3) 🔗 / 식 (4) 🔗
        • A^{+} = R^{+}C^{+} = R^{\mathrm{T}}(C^{\mathrm{T}}AR^{\mathrm{T}})^{-1}C^{\mathrm{T}} \quad (\text{식 (7)})
        • 📌 원문 식 (7)·(8) (p.275): 🔗 PDF 위치 / 🔗 PDF 위치
        • 지금은 "이런 공식이 있다" 눈도장이면 충분하다. 진짜 계산의 왕도는 7장의 SVD (A = U\Sigma V^{\mathrm{T}} \to A^{+} = V\Sigma^{+}U^{\mathrm{T}}, 이름만!).
      • 펜로즈 4조건 (A^{+} 의 신분증, 식 (5)):
        • 📌 원문 식 (5) (p.273): 🔗 PDF 위치
        • 펜로즈 조건 (p.273)
        • AA^{+}A = A, \quad A^{+}AA^{+} = A^{+}, \quad (A^{+}A)^{\mathrm{T}} = A^{+}A, \quad (AA^{+})^{\mathrm{T}} = AA^{+}
        • 읽는 법: 앞의 둘 = "서로가 서로를 되돌린다(갈 수 있는 데까지)", 뒤의 둘 = "A^{+}A, AA^{+} 는 대칭 = 직교 사영" (4.2 의 P^{\mathrm{T}} = P 판정 그대로!). 이 4개를 만족하는 행렬은 유일하고 그것이 A^{+}. 정체 모를 후보를 검증하는 도구로 쓴다 (연습문제 2·6).
    • (읽을거리) 결합행렬 예 (p.274~276): 3.5의 그래프 결합행렬(5 \times 4, r = 3)에 A = CR 공식을 적용해 A^{+} 를 실제로 구해 보이는 예. "A의 행 합 = 0 → A^{+} 의 열 합 = 0" 처럼 A 와 A^{+} 의 4공간이 좌우로 뒤바뀌는 것을 구경하는 것이 포인트. 키르히호프 전류법칙(A^{\mathrm{T}}y = 0)과의 연결은 교양으로.

  • ❓ 스스로 점검

    • 좌역·우역·유사역행렬은 각각 어떤 행렬이 갖는가? 각각 "무엇이 부족한 상황"의 처방인가?
      • 좌역: 세로로 긴 열 독립 행렬 (r = n). 존재가 부족한 상황(해 0 또는 1개)의 처방: 최소제곱.
      • 우역: 가로로 긴 행 독립 행렬 (r = m). 유일성이 부족한 상황(해 ∞개)의 처방: 최단 해.
      • 유사역: 모든 행렬. 둘 다 부족하면 두 처방 동시 적용 (최소노름 최소제곱해).
    • 좌역행렬의 공식은? A^{+}b 가 최소제곱해인 이유는?
      • A^{+} = (A^{\mathrm{T}}A)^{-1}A^{\mathrm{T}} (열 독립이라 A^{\mathrm{T}}A 가역). A^{+}A = I, 단 AA^{+} 는 열공간 사영행렬 P.
      • A^{+}b = (A^{\mathrm{T}}A)^{-1}A^{\mathrm{T}}b 는 정규방정식 A^{\mathrm{T}}A\hat{x} = A^{\mathrm{T}}b 의 해 그 자체다.
    • 우역행렬의 공식은? A^{+}b 가 최단 해인 이유는?
      • A^{+} = A^{\mathrm{T}}(AA^{\mathrm{T}})^{-1} (행 독립이라 AA^{\mathrm{T}} 가역). AA^{+} = I, 단 A^{+}A 는 행공간 사영행렬.
      • A^{+}b 는 무한한 해 중 행공간에 있는 유일한 해 = 영공간 성분 0. \|x\|^2 = \|x^{+}\|^2 + \|x_n\|^2 (피타고라스)라 영공간 군살이 없는 해가 최단.
    • A^{\mathrm{T}}A 와 AA^{\mathrm{T}} 의 크기와 가역 조건은?
      • 둘 다 항상 정사각: A^{\mathrm{T}}A 는 n \times n, AA^{\mathrm{T}} 는 m \times m (내적 표).
      • A^{\mathrm{T}}A 가역 ⟺ 열 독립 (r = n) / AA^{\mathrm{T}} 가역 ⟺ 행 독립 (r = m).
    • A^{+} 의 정의를 행동강령 3줄로 말하라. 그 정의가 가능한 근거는?
      • y = b + z (열공간 + 좌영공간)로 분해했을 때: A^{+}b = x (b = Ax 인 행공간의 유일한 x), A^{+}z = 0, 따라서 A^{+}y = x.
      • 근거: "A 는 행공간 → 열공간의 가역변환" (4.1). A^{+} 는 그 역 + 복원 불가능한 좌영공간은 0.
    • A^{+}A 와 AA^{+} 의 정체는? 진짜 역행렬과의 차이는?
      • A^{+}A = 행공간 사영행렬 (n \times n), AA^{+} = 열공간 사영행렬 (m \times m).
      • 역행렬은 I 를 만들지만 유사역은 "갈 수 있는 최선"인 사영까지 간다. r = n 이면 A^{+}A = I, r = m 이면 AA^{+} = I 로 퇴화.

  • ✏️ 연습문제 풀이 (솔루션 참고)

    • 문제 1: 세 행렬의 유사역행렬을 구하라: A_1 = \begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&1 \end{bmatrix}, A_2 = \begin{bmatrix} 2&0 \\ 0&4 \\ 0&0 \end{bmatrix}, A_3 = \begin{bmatrix} 2&0&0 \\ 0&4&0 \end{bmatrix}. id:: c7d24191-44a3-4d31-a17a-450ef991aa54
      • 🔁 개념 상기: 세 행렬이 정확히 [2단계] 표의 세 유형이다. A_1 은 랭크 부족(둘 다 부족), A_2 는 세로(좌역), A_3 는 가로(우역). 유형 판정 → 맞는 공식 선택이 풀이의 전부.
      • A_1 (정사각이지만 r = 1 < 2, 한쪽 역도 없음): 랭크 1이라 A_1 = cr^{\mathrm{T}} 꼴 (c = r = (1,1)).
        • 문제 2의 랭크 1 공식으로: A_1^{+} = \frac{rc^{\mathrm{T}}}{(r^{\mathrm{T}}r)(c^{\mathrm{T}}c)} = \frac{1}{2 \cdot 2}\begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&1 \end{bmatrix} = \frac{1}{4}\begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&1 \end{bmatrix}.
        • 감각 확인: A_1(1,1) = (2, 2), 즉 (1,1) 방향에서 A_1 은 2배로 불린다. 되돌리기는 그 방향에서 \frac{1}{2} 배여야 하는데, 실제로 A_1^{+}(2,2) = \frac{1}{4}(4,4) = (1,1) ✓ (행렬 계수 \frac{1}{4} 에 A_1 자신의 2배가 합성되어 배율 \frac{1}{2}).
      • A_2 (세로, r = n = 2 → 좌역): 대각이라 지름길이 보인다. 역수 취하고 (\frac{1}{0} 은 0), 모양은 전치:
        • A_2^{+} = \begin{bmatrix} 1/2&0&0 \\ 0&1/4&0 \end{bmatrix} \qquad \text{검산: } A_2^{+}A_2 = I_2 \ ✓,\ A_2A_2^{+} \neq I_3
        • 공식으로 해도 같다: A^{\mathrm{T}}A = \mathrm{diag}(4, 16) → (A^{\mathrm{T}}A)^{-1}A^{\mathrm{T}} = 위와 동일.
      • A_3 (가로, r = m = 2 → 우역): A_2 의 전치니까 답도 전치의 관계:
        • A_3^{+} = \begin{bmatrix} 1/2&0 \\ 0&1/4 \\ 0&0 \end{bmatrix} \qquad \text{검산: } A_3A_3^{+} = I_2 \ ✓
      • 핵심 문장: 유사역 계산의 1단계는 공식이 아니라 유형 판정 (세로/가로/랭크부족). 대각 꼴이면 "역수 + 전치 모양 + \frac{1}{0} 은 0"으로 즉답.
    • 문제 2: 랭크 1인 A = cr^{\mathrm{T}} 의 유사역행렬이 A^{+} = \frac{rc^{\mathrm{T}}}{(r^{\mathrm{T}}r)(c^{\mathrm{T}}c)} 임을 펜로즈 조건으로 확인하라.
      • 🔁 개념 상기: 랭크 1 행렬(3장의 uv^{\mathrm{T}})의 되돌리기. 검증 도구는 [8단계] 펜로즈 조건. 그리고 \frac{rr^{\mathrm{T}}}{r^{\mathrm{T}}r} 꼴이 4.2의 직선 사영행렬이라는 것.
      • 1단계, 두 곱부터 계산 (여기서 이미 그림이 보인다):
        • A^{+}A = \frac{rc^{\mathrm{T}} \cdot cr^{\mathrm{T}}}{(r^{\mathrm{T}}r)(c^{\mathrm{T}}c)} = \frac{r(c^{\mathrm{T}}c)r^{\mathrm{T}}}{(r^{\mathrm{T}}r)(c^{\mathrm{T}}c)} = \frac{rr^{\mathrm{T}}}{r^{\mathrm{T}}r}
        • 이것은 r 방향(= 행공간!) 사영행렬. 마찬가지로 AA^{+} = \frac{cc^{\mathrm{T}}}{c^{\mathrm{T}}c} = c 방향(= 열공간) 사영행렬. [7단계]의 P_{\text{row}}, P_{\text{col}} 이 랭크 1 버전으로 눈앞에 나타났다. 대칭 ✓ (조건 3·4 통과).
      • 2단계, 조건 1: AA^{+}A = (cr^{\mathrm{T}})\frac{rr^{\mathrm{T}}}{r^{\mathrm{T}}r} = c\frac{(r^{\mathrm{T}}r)r^{\mathrm{T}}}{r^{\mathrm{T}}r} = cr^{\mathrm{T}} = A ✓ (가운데 스칼라 r^{\mathrm{T}}r 약분, 결합법칙 트릭).
      • 3단계, 조건 2: 같은 수법으로 A^{+}AA^{+} = A^{+} ✓.
      • 핵심 문장: 랭크 1의 유사역 = "전치 모양(rc^{\mathrm{T}})에 두 크기 제곱으로 나누기". 그리고 A^{+}A, AA^{+} 가 행·열공간 사영행렬이 되는 것을 손으로 목격하는 문제.
    • 문제 4: A = \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \end{bmatrix} 의 행공간·열공간은? A^{\mathrm{T}} 와 동일한 4공간을 갖는 A^{+} 는?
      • 🔁 개념 상기: [6단계] "A^{+} 와 A^{\mathrm{T}} 는 4공간이 같다" + 4.4 요약표의 Q^{+} = Q^{\mathrm{T}}.
      • 공간 파악: 행공간 = \mathbb{R}^3 안의 $xy$-평면 (행 (1,0,0), (0,1,0) 이 생성), 열공간 = \mathbb{R}^2 전체.
      • A^{+} 계산: 가로(r = m = 2)라 우역인데, 행들이 정규직교라서 AA^{\mathrm{T}} = I_2 → A^{+} = A^{\mathrm{T}}(AA^{\mathrm{T}})^{-1} = A^{\mathrm{T}} \cdot I = A^{\mathrm{T}}.
        • A^{+} = A^{\mathrm{T}} = \begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&1 \\ 0&0 \end{bmatrix}
      • 감각 확인: 이 A 는 "3차원 벡터의 z 성분 버리기"다. 되돌리기는 "z 자리는 모르니 0으로 채워 복귀" = 전치가 하는 일 그대로 (4.2 문제 14의 그 좌표 부분공간!).
      • 핵심 문장: 행(또는 열)이 정규직교면 A^{+} = A^{\mathrm{T}}. 4.4 의 Q^{+} = Q^{\mathrm{T}} 가 그 특수 케이스였다.
    • 문제 6: P 가 사영행렬일 때 (P^{\mathrm{T}} = P = P^2), P^{+} = P 임을 펜로즈 조건으로 보여라.
      • 🔁 개념 상기: [8단계] 펜로즈 4조건에 "후보 = P 자신"을 넣어보는 검증 연습.
      • 조건 1·2 (A^{+} 자리에 P): PPP = P^3 = P^2 \cdot P = P \cdot P = P^2 = P ✓ (두 식 모두 같은 계산).
      • 조건 3·4: (PP)^{\mathrm{T}} = (P^2)^{\mathrm{T}} = P^{\mathrm{T}} = P = P^2 = PP ✓.
      • 왜 직관적으로 당연한가: 사영행렬은 자기 열공간 안에서는 아무것도 안 하는 행렬이다 (이미 도착한 벡터는 그대로). "되돌릴 것"이 없으니 되돌리기도 자기 자신. 죽인 성분(여공간)은 유사역도 똑같이 0으로 보내는 게 규칙이고.
      • 핵심 문장: 사영행렬의 유사역은 자기 자신 (P^{+} = P). "사영은 자기 세계 안에서 항등"이라는 문장의 유사역 버전.
    • 문제 11: 왜 A^{+} 의 유사역행렬은 항상 A 인가? ((A^{+})^{+} = A)
      • 🔁 개념 상기: [6단계] 그림 4.11. A^{+} 의 역할을 다시 뒤집으면 무엇이 되는지 생각하는 개념 마무리 문제.
      • 길 ① (4공간 관점): A^{+} 는 열공간 → 행공간의 가역변환(+ 좌영공간은 0). 그것의 유사역은 "행공간 → 열공간의 가역변환 + 영공간은 0" 이어야 하는데, 그 일을 하는 행렬이 정확히 A 자신이다.
      • 길 ② (펜로즈 관점): 4조건 AA^{+}A = A, A^{+}AA^{+} = A^{+}, 대칭 2개는 A 와 A^{+} 를 맞바꿔도 똑같은 문장이다. 즉 "A^{+} 의 유사역" 자격 요건을 A 가 그대로 통과하고, 펜로즈 조건의 해는 유일하므로 (A^{+})^{+} = A.
      • 핵심 문장: 되돌리기의 되돌리기 = 원본. 정의(4공간 역할)로도, 신분증(펜로즈 조건의 대칭성)으로도 같은 결론.