Logseq/Major Study/pages/5.1 3×3 행렬식과 여인수.md

deck:: Logseq/전공공부/선형대수학

• 핵심 개념

  • 단계 지도: [1단계] 2×2 행렬식 복습 → [2단계] 행렬식을 지배하는 두 규칙 → [3단계] 3×3 행렬식: 6개 항 공식 → [4단계] 여인수: 6개 항을 3개로 묶기, 수수께끼 −1의 정체 → [5단계] 여인수행렬 C 와 역행렬 공식 → [6단계] −1, 2, −1 삼중대각행렬의 점화식

  • [1단계] 2×2 행렬식 복습: 모든 이야기의 출발점

    • 행렬식(determinant)은 정사각행렬을 수 하나로 요약한 것이다. 이 수 하나가 가역 여부를 판정한다.
    • 2×2 공식:
      • \det \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = ad - bc
    • 🔢 기본 4예제 (p.281). 이 넷만으로 아래 [2단계]의 규칙이 전부 보인다:
      • \det \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = 1, 행을 바꾸면 \det \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = -1
      • \det \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = ad - bc, 행을 바꾸면 \det \begin{bmatrix} c & d \\ a & b \end{bmatrix} = bc - ad
    • \det A = 0 의 의미: 2×2에서는 \dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d}, 즉 두 열이 평행하다.
      • n \times n 일반화: 열들이 선형독립이 아니다 (어떤 열들의 결합이 영벡터, x \neq 0 인데 Ax = 0). 그러면 A 는 비가역.
      • 📌 원문 (p.281): ((6a92d4d8-c967-4b78-95ef-3b71f96a4f84))
      • 특이행렬 예: \begin{bmatrix} a & 2a \\ c & 2c \end{bmatrix} 는 2열이 1열의 2배라서 행렬식 2ac - 2ac = 0.

  • [2단계] 행렬식을 지배하는 두 규칙

    • 규칙 1, 행 교환은 부호를 바꾼다 (열 교환도 마찬가지):
      • 📌 원문 (p.281): ((6a92d460-daa4-4daf-9de2-95975438dbac))
      • 📌 원문 (p.282): ((6a92d52c-03a3-43af-8994-081bde3286d8))
      • 항등행렬(\det I = 1)에서 행 교환을 반복하면 행렬식은 +1 과 -1 사이를 오간다. 이렇게 6개의 3×3 치환행렬이 전부 만들어진다.
      • 그래서 모든 치환행렬의 행렬식은 1 또는 −1 이다 (짝수 번 교환이면 +1, 홀수 번이면 -1).
      • 📌 원문 (p.281): ((6a92d502-2f6f-472d-894a-5ac8651abc7c))
    • 규칙 2, 행렬식은 각 행에 대해 선형적이다:
      • 📌 원문 (p.282): ((6a92d555-5dab-4dc6-a08d-9f06288f4b03))
      • 뜻 ①: 한 행에 수 t 를 곱하면 행렬식도 t 배가 된다. 세 행에 각각 다른 수를 곱하면 행렬식은 그 수들을 전부 곱한 배가 된다.
      • 뜻 ②: 한 행을 두 벡터의 합으로 쪼개 행렬식을 두 개로 나눌 수 있다. \begin{bmatrix} xa + yA & xb + yB \\ c & d \end{bmatrix} 의 행렬식은 x(ad-bc) + y(Ad-Bc).
      • ⚠️ "행렬 전체"에 선형인 것이 아니다: \det(A + B) \neq \det A + \det B 이고, \det 2A \neq 2\det A 다 (한 행씩만 선형. 연습문제 1, 3에서 확인).

  • [3단계] 3×3 행렬식: 6개 항 공식

    • 🔢 숫자로 먼저. 주대각이 2, 그 위아래가 −1인 3×3 행렬:
      • A_3 = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{bmatrix}, \qquad \det A_3 = 8 - 2 - 2 = 4
      • 항을 뜯어보면: 주대각선에서 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8, 나머지 5개 항은 -2, -2, 0, 0, 0. 다 더하면 4.
      • 📌 원문 A₁, A₂, A₃와 행렬식 값 (p.283): 🔗 PDF 위치
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    • 일반 공식, 식 (1): 3개 행을 abc, pqr, xyz 라 하면
      • \det A = +aqz + brx + cpy - ary - bpz - cqx
    • 📌 원문 부호 화살표 그림과 식 (1) (p.282): 🔗 PDF 위치
      • 
    • 왜 6개인가: 각 항은 모든 행과 모든 열에서 성분을 정확히 하나씩만 가져온다. 1행에서 3가지, 2행에서 남은 2가지, 3행은 자동이라 3! = 6 가지 경로.
      • 같은 이유로 4×4 행렬식은 4! = 24 개 항을 갖는다.
      • 💡 성분 중 하나라도 0이면 그 항 전체가 0이다. 행렬에 0이 많을수록 행렬식 계산이 쉬워진다.

  • [4단계] 여인수: 6개 항을 3개로 묶기, 그리고 수수께끼 −1의 정체

    • 아이디어: 6개 항 중 a 로 시작하는 2개, b 로 시작하는 2개, c 로 시작하는 2개를 각각 묶으면, 3×3 행렬식이 2×2 행렬식 3개로 줄어든다.
      • \det A = a(qz - ry) + b(rx - pz) + c(py - qx)
      • 📌 원문 여인수 공식, 식 (4) (p.284): 🔗 PDF 위치
      • 
    • 괄호 안의 2×2 행렬식이 여인수(cofactor) 다. 정의는 딱 두 동작:
      • ① (i, j) 여인수 C_{ij} 를 계산하려면 행렬 A 에서 i 행과 j 열을 제거한다.
      • ② 남은 크기 n-1 행렬의 행렬식(소행렬식 M_{ij})에 자리부호 (-1)^{i+j} 를 곱한다.
      • 📌 원문 여인수 정의와 부호 규칙, 식 (5) (p.284): 🔗 PDF 위치
      • 
    • 수수께끼 −1의 정체: 4×4 예제 식 (2)는 \det A_4 = 2 \cdot \det(\cdots) - (-1) \cdot \det(\cdots) 로 쓰여 있다. 성분 -1 말고 앞에 붙은 − 부호가 하나 더 있다.
      • 📌 원문 (p.283): ((6a92d733-c351-493c-91d7-8103ec135192))
      • 📌 원문 식 (2), 4×4의 여인수 분해 (p.283): 🔗 PDF 위치
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      • "뒤에 나오는 여인수 공식 \det A = a_{i1}C_{i1} + \cdots + a_{in}C_{in} 은 전부 덧셈인데 왜 여기만 음수인가"라고 생각하기 쉽지만, 두 식은 완전히 같은 식이다. 차이는 자리부호 (-1)^{i+j} 를 어디에 두었느냐뿐이다.
      • 식 (2)는 "성분 × 소행렬식 $M_{ij}$" 꼴로 쓰면서 자리부호를 겉으로 꺼내 놓았다: 둘째 항 = a_{12} \cdot (-1)^{1+2} \cdot M_{12} = (-1) \cdot (-1) \cdot M_{12}. 겉에 보이는 −가 바로 (-1)^{1+2} 다 (1 + 2 가 홀수라서 음수 자리).
      • 여인수 공식은 그 부호를 여인수 안에 숨긴 것: C_{12} = (-1)^{1+2} M_{12}. 그래서 \det A = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + \cdots 는 겉보기에 전부 +다.
      • 일반화 (이 두 줄이 전부다):
        • C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij} \qquad (M_{ij}: i \text{행과 } j \text{열을 지운 행렬의 행렬식})
        • \det A = a_{i1}C_{i1} + a_{i2}C_{i2} + \cdots + a_{in}C_{in} \quad (\text{아무 } i \text{행에 대해 성립})
      • 자리부호는 체커보드 무늬다. (1,1) 에서 +로 시작해 가로세로 한 칸 이동마다 뒤집힌다:
        • \begin{bmatrix} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{bmatrix}
      • 💡 음수 부호는 사라진 게 아니라 여인수 속에 숨어 있다. "여인수 공식은 전부 덧셈"과 "자리부호에 −가 있다"는 서로 모순이 아니다.
    • 왜 하필 (-1)^{i+j} 인가: 최소 사례가 2×2 식 (3)의 -bc 다.
      • 1행 (a\ b) 를 (a\ 0) + (0\ b) 로 쪼개면 (규칙 2), 대각 항 ad 와 반대각 항 bc 만 살아남는다.
      • a, d 는 이미 주대각선 위라 그대로 +ad. 반면 b, c 는 반대각선 위라서 행 교환 1번을 거쳐야 대각행렬이 되고, 교환 1번마다 부호가 뒤집히므로 (규칙 1) -bc 가 된다.
      • 
      • 일반 위치도 같은 원리다: (i, j) 성분을 (1, 1) 자리로 데려오려면 행 교환 i-1 번과 열 교환 j-1 번이 필요하고, 교환마다 부호가 뒤집히니 (-1)^{(i-1)+(j-1)} = (-1)^{i+j}.
      • 🔢 확인: C_{12} 에서 1 + 2 = 3 은 홀수라 부호가 반전된다. 그래서 1행 2열의 b 가 갖는 여인수는 pz - rx 가 아니라 rx - pz 다 (p.284).

  • [5단계] 여인수행렬 C 와 역행렬 공식

    • 여인수행렬(cofactor matrix) C 의 정의: A 와 같은 크기의 행렬을 만들고, (i, j) 자리에 성분 a_{ij} 대신 그 자리의 여인수 C_{ij} 를 채운 것이다.
      • 💡 C 는 여인수들의 보관 창고다. (i,j) 칸을 열면 C_{ij} 가 들어 있다. "행렬 A 의 여인수는 여인수행렬 안에 있다"는 문장은 정확히 이 뜻이다.
      • 📌 원문 (p.284): ((6a92d858-f867-4553-a090-6dff09b0a721))
    • 🔢 2×2에서 여인수 계산 전 과정:
      • "i 행 j 열을 지우면 숫자 하나만 남는데 행렬식을 어떻게 구하나" 싶지만, 1×1 행렬의 행렬식은 그 숫자 자신이다: \det [d] = d. 여기에 자리부호만 곱하면 끝이다.
      • C_{11} = (-1)^{1+1} \det[d] = +d (1행 1열을 지우면 d 만 남는다)
      • C_{12} = (-1)^{1+2} \det[c] = -c (1행 2열을 지우면 c 만 남는다)
      • C_{21} = (-1)^{2+1} \det[b] = -b
      • C_{22} = (-1)^{2+2} \det[a] = +a
      • 🧩 완성된 여인수행렬:
        • A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \quad \Rightarrow \quad C = \begin{bmatrix} d & -c \\ -b & a \end{bmatrix}, \quad C^{\mathrm{T}} = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}
    • 놀라운 사실: A 와 C^{\mathrm{T}} 의 곱은 \det A 와 I 의 곱과 같다.
      • 📌 원문 (p.284): ((6a92d85e-68f5-4e72-ba9b-31f54593f0e8))
      • 🔢 2×2로 직접 확인, 식 (6):
        • AC^{\mathrm{T}} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ad-bc & 0 \\ 0 & ad-bc \end{bmatrix} = (\det A) I
      • 📌 원문 식 (6) (p.285): 🔗 PDF 위치
      • 
      • 주대각성분이 \det A 인 이유: i 행 성분들 × i 행 여인수들 = 여인수 공식 그 자체.
      • 비대각성분이 0인 이유 (가장 헷갈리는 대목이라 3단계로 천천히):
        • ❶ 비대각성분의 정체부터 정확히. AC^{\mathrm{T}} 의 (1, 2) 성분은 (A 의 1행) × (C^{\mathrm{T}} 의 2열)이고, C^{\mathrm{T}} 의 2열은 곧 C 의 2행이다:
          • (AC^{\mathrm{T}})_{12} = a_{11}C_{21} + a_{12}C_{22} + \cdots + a_{1n}C_{2n}
          • 짝이 어긋나 있다: 성분은 1행에서, 여인수는 2행에서 가져왔다.
          • (비교: 주대각성분은 같은 행끼리 짝지어진 a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + \cdots 라서 여인수 공식 그대로 \det A 가 나왔다. 비대각성분은 이 짝이 어긋난 버전이다.)
        • ❷ 🔢 숫자로 먼저 확인 (3×3):
          • A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \end{bmatrix}
          • 2행 여인수 3개를 계산한다. 셋 다 2행을 지우고 만든다는 점에 주목:
          • C_{21} = (-1)^{2+1}\det\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = -2
          • C_{22} = (-1)^{2+2}\det\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} = +1
          • C_{23} = (-1)^{2+3}\det\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 0 \end{bmatrix} = -(0 - 4) = +4
          • 이제 1행 성분 (1, 2, 0) 과 어긋나게 결합하면: (AC^{\mathrm{T}})_{12} = 1 \cdot (-2) + 2 \cdot 1 + 0 \cdot 4 = 0. 정말 0이 된다. 우연일까?
        • ❸ 왜 "항상" 0인가. 사실 두 개만 결합하면 된다:
          • 사실 ①: 여인수 C_{2k} 는 2행을 지우고 계산하므로, 2행에 무엇이 들어 있든 값이 똑같다. 여인수는 자기 행의 내용을 아예 모른다.
          • 사실 ②: 여인수 공식은 어느 행렬에든 적용된다: (어떤 행렬의 2행 성분들) × (그 행렬의 2행 여인수들) = 그 행렬의 행렬식.
          • 결합: ❷의 합에서 2행 여인수들과 곱해진 수 (1, 2, 0) 은 A 의 1행이었다. 그런데 사실 ①에 의해, 2행을 1행으로 갈아끼운 행렬 A^* 의 2행 여인수도 여전히 -2, +1, +4 그대로다 (1행과 3행이 안 바뀌었으니까).
          • A^* = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{bmatrix} \quad \Rightarrow \quad 1 \cdot (-2) + 2 \cdot 1 + 0 \cdot 4 = \det A^*
          • 즉 ❷의 합은 사실 ②에 의해 A^* 의 2행 여인수 공식, 다시 말해 \det A^* 그 자체다.
          • 그런데 A^* 는 1행과 2행이 똑같다. 같은 두 행을 교환해도 행렬은 그대로인데 행 교환은 부호를 반전시키므로 \det A^* = -\det A^*, 즉 \det A^* = 0 (연습문제 18).
        • ⚠️ "여인수 C_{2k} 는 2행 성분으로 만든 값"이라고 생각하기 쉽지만 정반대다. 2행을 지우고 만들기 때문에 2행과 무관하고, 바로 이 "무관함" 덕분에 어긋난 합을 다른 행렬 A^* 의 행렬식으로 바꿔 읽을 수 있다. 그 A^* 가 하필 같은 행 2개짜리 특이행렬이라 0이 된다.
        • 💡 한 줄 요약: 대각 = 올바른 짝짓기 = \det A. 비대각 = 어긋난 짝짓기 = 행을 복제한 행렬의 행렬식 = 0.
    • 역행렬 공식, 식 (6)을 \det A 로 나누면:
      • A^{-1} = \frac{C^{\mathrm{T}}}{\det A}
      • 📌 원문 역행렬 공식, 식 (7) (p.285): 🔗 PDF 위치
      • 
      • A^{-1} 의 (i, j) 성분은 두 행렬식의 비율이다: 분자는 크기 n-1 인 여인수 C_{ji}, 분모는 크기 n 인 \det A.
      • 📌 원문 (p.285): ((6a92d953-45be-4c63-8a8b-e745adc17be4))
      • ⚠️ C 가 아니라 C^{\mathrm{T}} 다. A^{-1} 의 (i, j) 자리에는 (j, i) 여인수가 들어간다 (첨자가 뒤집힌다). 이 전치를 빠뜨리는 실수가 흔하다.
      • 💡 2×2에 적용하면 1장부터 쓰던 공식이 그대로 나온다: A^{-1} = \dfrac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}. "대각끼리 자리 바꾸고, 반대각은 부호 바꾸고, \det A 로 나눈다"의 출처가 바로 여인수 공식이다.
      • 왜 \det A = 0 이면 비가역인지도 이 공식이 보여준다: 0으로 나눌 수 없기 때문이다.
    • \det A = 1 인 경우: A^{-1} 는 정확히 C^{\mathrm{T}} 자체가 된다. C^{\mathrm{T}} 를 수반행렬(adjugate matrix) 이라 부른다.
      • 📌 원문 (p.285): ((6a92d974-f8ff-49ad-92b6-194f7fed92b7))
      • 🔢 식 (8)의 예 (\det A = 1 인 상삼각행렬):
        • A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \frac{C^{\mathrm{T}}}{1}
        • 성분 하나 추적: C_{32} 는 3행 2열을 지운 \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} 의 행렬식 1에 (-1)^{3+2} = -1 을 곱해 -1. 이 값이 C^{\mathrm{T}} 의 (2, 3) 자리에 들어간다.
        • 📌 원문 식 (8) (p.285): 🔗 PDF 위치
          • 
      • 🔢 스케일 감각: A 를 2A 로 키우면 (3×3 기준) 행렬식은 2^3 = 8 배, 여인수는 크기 2 행렬식이라 2^2 = 4 배. 그래서 (2A)^{-1} = \dfrac{4C^{\mathrm{T}}}{8\det A} = \dfrac{A^{-1}}{2} 로 아귀가 맞는다.

  • [6단계] −1, 2, −1 삼중대각행렬: 여인수 공식의 좋은 예

    • 주대각선에 2, 그 위아래에 −1이 있는 n \times n 행렬 A_n 의 행렬식을 여인수로 구한다.
      • 💡 이 행렬은 2.5절에서 본 2차 차분행렬과 같은 형태다. 거기서는 2계 도함수의 근사에서 나왔고, 여기서는 "1행에 0 아닌 성분이 2개뿐이라 여인수 전개가 짧아지는" 모범 예제로 재등장한다.
      • 🔢 작은 크기부터: \det A_1 = 2, \det A_2 = 3, \det A_3 = 4 ([3단계]의 예제), \det A_4 = 8 - 3 = 5.
    • 1행에 대한 여인수 전개는 항이 2개뿐이다:
      • 📌 원문 여인수 전개 (p.286): 🔗 PDF 위치
      • 
      • 첫째 항: (1,1) 성분 2 × 그 여인수 \det A_{n-1} → 2\det A_{n-1}.
      • 둘째 항에는 −1이 3개 겹친다: 성분 a_{12} = -1, 자리부호 (-1)^{1+2} = -1, 그리고 그 소행렬식을 1열로 다시 전개할 때 (1,1) 위치의 -1. 셋을 곱하면 -\det A_{n-2} 가 남는다.
    • 그래서 점화식이 나온다, 식 (9):
      • 📌 원문 식 (9) (p.286): 🔗 PDF 위치
      • 
      • \det A_n = 2\det A_{n-1} - \det A_{n-2}
    • 🔢 결론, 모든 크기에서 성립하는 닫힌 값: \det A_n = 2, 3, 4, 5, \ldots 가 이어져 모든 n 에 대해 \det A_n = n + 1 이다.
      • 검산: n + 1 = 2n - (n - 1) 이므로 점화식과 일치한다. 예: \det A_4 = 2 \cdot 4 - 3 = 5, \det A_5 = 2 \cdot 5 - 4 = 6.
      • 📌 원문 (p.286): ((6a93173e-bc93-4d9b-b218-aac33dee3dde))
    • 💡 여인수 공식이 유리한 경우는 이렇게 0이 많은 행렬이다 (항 개수가 확 줄어든다). 0이 아닌 성분이 많으면 소거법으로 L, U 를 만들어 피벗 곱으로 구하는 편이 낫다 (5.2절에서 다룬다).

• ❓ 스스로 점검

  • 4×4 행렬에서 \det 2A 는 \det A 의 몇 배인가? #card id:: 6a9319c2-242a-4b05-bd74-f28fef0257a5
    • 2^4 = 16 배.
    • 행렬식은 행렬 전체가 아니라 행 하나에 대해 선형이다.
    • 2A 는 4개 행 각각에 2를 곱한 것이라, 행마다 한 번씩 총 2^4 배가 된다.
  • 여인수 C_{ij} 를 구하는 과정은?. #card id:: 6a9319c2-f8c4-4830-9ec1-7be7b7cad96c
    • A 에서 i 행과 j 열을 지운다.
    • 남은 크기 n-1 행렬의 행렬식(소행렬식 M_{ij})을 구한다.
    • 자리부호 (-1)^{i+j} 를 곱한다: C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}.
  • 여인수 공식 \det A = a_{i1}C_{i1} + \cdots + a_{in}C_{in} 은 전부 덧셈이다. 식 (2)에 보이던 음수 부호는 어디로 갔는가? id:: 6a9319c2-c91a-42f4-9fa2-735b26c90aa9 #card
    • 여인수 안으로 들어갔다: C_{ij} 의 정의에 자리부호 (-1)^{i+j} 가 포함되어 있다.
    • 부호를 밖으로 꺼내 "성분 × 소행렬식" 꼴로 쓰면 항 앞에 ±가 체커보드 무늬로 번갈아 나타난다.
  • 2×2 행렬 \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} 의 여인수행렬 C, 수반행렬 C^{\mathrm{T}}, 역행렬 A^{-1} 를 구해보면? #card id:: 6a9319c2-378f-4981-8f72-384afade8bf9
    • C = \begin{bmatrix} d & -c \\ -b & a \end{bmatrix} (각 자리의 1×1 소행렬식에 자리부호를 곱한 것)
    • C^{\mathrm{T}} = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}
    • A^{-1} = \dfrac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}
  • AC^{\mathrm{T}} = (\det A) I 에서 비대각성분이 자동으로 0이 되는 이유는? #card id:: 6a9319c2-67c0-4e91-9e89-f10626c9b7ab
    • 비대각 (i, j) 성분은 A 의 i 행과 C 의 j 행의 곱이다:
      • (AC^{\mathrm{T}})_{ij} = a_{i1}C_{j1} + a_{i2}C_{j2} + \cdots + a_{in}C_{jn}
    • C_{jk} 는 j 행을 지우고 만들어 j 행 내용과 무관하다. 그래서 이 식은 j 행 자리에 i 행을 복사해 넣은 행렬 A^* 의 여인수 공식과 같다:
      • a_{i1}C_{j1} + \cdots + a_{in}C_{jn} = \det A^* \qquad (A^*: j \text{행을 } i \text{행으로 바꾼 } A)
    • A^* 는 같은 행(i 행)이 2개라서 \det A^* = -\det A^* = 0.
    • 결론: (AC^{\mathrm{T}})_{ij} = \det A^* = 0 (i \neq j).
  • −1, 2, −1 삼중대각행렬 A_n 의 행렬식 점화식과 닫힌 값은?
    • 점화식: \det A_n = 2\det A_{n-1} - \det A_{n-2} (1행 여인수 전개, 항 2개).
    • 닫힌 값: \det A_n = n + 1.

• ✏️ 연습문제 풀이 (솔루션 참고)

  • 문제 1: 4×4 행렬 A 의 행렬식은 \det A = \frac{1}{2} 이다. \det 2A, \det(-A), \det A^2, \det A^{-1} 를 구하라.
    • 🔁 개념 상기:
      • 행 선형성 (규칙 2): 한 행에 t 를 곱하면 행렬식도 t 배. tA 는 n 개 행 전부에 t 를 곱한 것이므로 \det tA = t^n \det A.
      • \det A^2 = (\det A)^2 과 \det A^{-1} = 1/\det A 는 곱셈 규칙 \det AB = (\det A)(\det B) 에서 나온다. 이 규칙의 증명은 5.2절 몫이고, 여기서는 결과만 사용한다 (서론이 미리 예고한 성질).
    • 풀이 (n = 4):
      • \det 2A = 2^4 \det A = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8
      • \det(-A) = (-1)^4 \det A = \frac{1}{2} (4개 행 모두 부호 반전, 짝수 번)
      • \det A^2 = (\det A)^2 = \frac{1}{4}
      • \det A^{-1} = \dfrac{1}{\det A} = 2
    • 검산: \det A \cdot \det A^{-1} = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1 = \det I ✓
    • 핵심 문장: n \times n 행렬에서 \det tA = t^n \det A 다. 행렬식은 행 하나씩만 선형이라 t 가 행 수만큼 곱해진다.
  • 문제 3: 다음 명제의 참 또는 거짓을 판별하라 (참이면 이유, 거짓이면 반례).
    • 🔁 개념 상기: 행렬식이 선형인 대상은 "행 하나"다. 행렬 합, 스칼라배 전체에 분배하려는 순간 전부 무너진다.
    • (a) \det(I + A) = 1 + \det A 이다: 거짓.
      • 반례: A = I (2×2). 좌변 \det 2I = 4, 우변 1 + \det I = 2.
      • 행렬 합에 대해 행렬식은 선형이 아니다.
    • (b) \det 4A = 4\det A 이다: 거짓.
      • \det 4A = 4^n \det A 다 (n 개 행 각각에 4가 곱해짐). n = 1 일 때만 우연히 성립.
    • (c) AB - BA 의 행렬식은 0이다: 거짓. A = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} 로 반례를 만든다.
      • AB = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, BA = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}
      • AB - BA = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \det(AB - BA) = 0 - (-1) = 1 \neq 0. 오히려 가역행렬이다.
    • 검산: (c)의 AB - BA 는 행 교환행렬에 부호만 바꾼 꼴이라 행렬식 \pm 1 이 나오는 게 자연스럽다 ✓
    • 핵심 문장: 행렬식은 행 단위로만 선형이다. \det(I + A) \neq 1 + \det A, \det 4A = 4^n \det A, \det(AB - BA) \neq 0 인 예가 존재한다.
  • 문제 5: n = 5, 6, 7 일 때 반대 항등행렬 J_n 을 항등행렬 I_n 으로 만들려면 행 교환이 몇 번 필요한가? \det J_n 의 규칙을 만들고 \det J_{101} 을 예측하라.
    • 🔁 개념 상기: 치환행렬의 행렬식은 I 까지 가는 행 교환 횟수의 짝홀로 결정된다 (짝수면 +1, 홀수면 -1, [2단계] 규칙 1).
    • 1단계, 교환 횟수 세기: 바깥에서 안쪽으로 짝을 맞춰 교환한다.
      • J_5: 1행↔5행, 2행↔4행 (3행은 한가운데라 그대로). 2번 → \det J_5 = +1
      • J_6: 1↔6, 2↔5, 3↔4. 3번 → \det J_6 = -1
      • J_7: 1↔7, 2↔6, 3↔5 (4행은 그대로). 3번 → \det J_7 = -1
    • 2단계, 규칙: 교환 횟수는 \lfloor n/2 \rfloor 이므로
      • \det J_n = (-1)^{\lfloor n/2 \rfloor}
      • n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 에 대해 +1, -1, -1, +1, +1, -1, -1, +1: 길이 4 주기 반복이다 (1, -1, -1, 1).
    • 3단계, J_{101}: \lfloor 101/2 \rfloor = 50 번 교환, 짝수 → \det J_{101} = +1.
      • 주기로도 확인: 101 = 4 \cdot 25 + 1 이라 n = 1 과 같은 자리 → +1 ✓
    • 핵심 문장: 반대 항등행렬은 \det J_n = (-1)^{\lfloor n/2 \rfloor}, 부호가 1, -1, -1, 1 로 4주기 반복이며 \det J_{101} = +1 이다.
  • 문제 6: 식 (1)의 6개 항을 이용해 행렬 A, B, C 의 행렬식을 구하라.
    • 🔁 개념 상기: 식 (1)의 6개 항: 행을 abc, pqr, xyz 로 두면 +aqz + brx + cpy - ary - bpz - cqx.
    • A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}: 6개 항을 하나씩.
      • +aqz = (1)(1)(1) = 1, +brx = (-1)(-1)(0) = 0, +cpy = (0)(-1)(-1) = 0
      • -ary = -(1)(-1)(-1) = -1, -bpz = -(-1)(-1)(1) = -1, -cqx = -(0)(1)(0) = 0
      • \det A = 1 + 0 + 0 - 1 - 1 - 0 = \mathbf{-1}
      • 검산 (1행 여인수 전개): 1 \cdot (1 - 1) - (-1) \cdot (-1 - 0) + 0 = 0 - 1 = -1 ✓
      • ⚠️ 해답집 주의: 영문 해답집은 \det A = 4 라고 답하는데, 이는 원서의 A 가 본문 예제의 A_3 (주대각 2, 위아래 −1)이기 때문이다. 한국어판에 인쇄된 위 행렬(주대각 1)로 계산하면 -1 이 맞다.
    • B = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 4 \\ 4 & 2 & 8 \\ 6 & 3 & 12 \end{bmatrix}: \det B = 0.
      • 6개 항: +48 + 48 + 48 - 48 - 48 - 48 = 0
      • 이유가 더 중요하다: 1열 = 2 \times 2열이고 3열 = 4 \times 2열, 열들이 종속이라 행렬식이 0일 수밖에 없다 ([1단계]).
    • C = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}: \det C = 0.
      • 6개 항: 45 + 84 + 96 - 48 - 72 - 105 = 225 - 225 = 0
      • 이유: (3행) − (2행) = (2행) − (1행) = (3, 3, 3). 행들이 종속이다 (2행 × 2 = 1행 + 3행).
    • 핵심 문장: 6개 항의 합이 0으로 상쇄되는 행렬은 우연이 아니라 행이나 열이 종속인 특이행렬이다.
  • 문제 13: 랭크 1 행렬 A = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -4 & 5 \end{bmatrix} 와 반대칭행렬 B = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 3 \\ -1 & 0 & 4 \\ -3 & -4 & 0 \end{bmatrix} 의 행렬식을 구하라.
    • 🔁 개념 상기:
      • 랭크 1 행렬의 모든 행은 한 벡터의 배수다 (3.2절의 열 × 행 관점).
      • 반대칭(skew-symmetric)은 B^{\mathrm{T}} = -B. 그리고 \det B^{\mathrm{T}} = \det B 다 (이 절 연습문제 8에서 증명하는 사실).
    • \det A = 0:
      • A 의 세 행은 전부 (1, -4, 5) 의 배수 (1배, 2배, 3배)라 행들이 종속이다.
      • 3×3인데 랭크가 1이면 특이행렬, 행렬식은 0.
    • \det B = 0 (홀수 차수 반대칭의 일반 성질):
      • \det B = \det B^{\mathrm{T}} = \det(-B) = (-1)^3 \det B = -\det B
      • 좌변과 우변을 합치면 2\det B = 0, 즉 \det B = 0.
      • 검산 (1행 여인수 전개): 0 - 1 \cdot (0 + 12) + 3 \cdot (4 - 0) = -12 + 12 = 0 ✓
      • ⚠️ 홀수 차수라서 0이다. 짝수 차수 반대칭은 (-1)^n = +1 이라 이 논법이 통하지 않고, 실제로 \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} 의 행렬식은 1이다.
    • 핵심 문장: 랭크 1 행렬은 \det = 0. 홀수 차수 반대칭행렬도 \det B = (-1)^n \det B 논법으로 항상 \det = 0 이다.
  • 문제 16: 모든 여인수가 0이면 A 의 역행렬이 존재하지 않음을 어떻게 아는가? 반대로 모든 여인수가 0이 아니면 A 는 항상 가역인가?
    • 🔁 개념 상기: 여인수 공식 \det A = a_{11}C_{11} + \cdots + a_{1n}C_{1n} 과 판정 "\det A = 0 \Leftrightarrow 비가역".
    • 앞 방향: 여인수가 전부 0이면 여인수 공식의 모든 항이 0 → \det A = 0 → 비가역. 안다.
    • 뒷 방향: 아니다. 반례: 모든 성분이 1인 2×2 행렬 \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}.
      • 여인수: C_{11} = 1, C_{12} = -1, C_{21} = -1, C_{22} = 1. 전부 0이 아니다.
      • 그런데 \det = 1 - 1 = 0 이라 비가역이다.
    • 핵심 문장: 여인수 전부 0 → \det A = 0 (비가역 확정). 그러나 여인수가 하나도 0이 아니어도 항끼리 상쇄되어 \det A = 0 일 수 있다.
  • 문제 18: 두 행이 동일한 행렬은 왜 특이행렬인가? 이 사실이 AC^{\mathrm{T}} = (\det A)I 의 비대각성분이 0인 이유임을 설명하라.
    • 🔁 개념 상기: 행 교환은 부호를 바꾼다 (규칙 1). 그리고 [5단계]에서 비대각성분의 정체를 "행을 복사한 행렬의 행렬식"으로 보았다. 본문이 예고한 바로 그 문제다.
    • 1단계, 두 행이 같으면 \det = 0:
      • 같은 두 행을 서로 교환해도 행렬은 그대로다. 그런데 행 교환은 행렬식의 부호를 바꾼다.
      • \det A = -\det A 가 되어 \det A = 0 일 수밖에 없다.
      • (다르게 보면: 두 행이 같으면 행들이 종속이라 특이행렬이다.)
    • 2단계, 비대각성분에 적용: AC^{\mathrm{T}} 의 (i, j) 성분 (i \neq j)은 a_{i1}C_{j1} + \cdots + a_{in}C_{jn} 이다.
      • j 행 여인수 C_{jk} 는 j 행을 지우고 계산하므로, j 행 자리에 무엇이 있었는지 모른다.
      • 그래서 이 합은 "A 의 j 행을 i 행으로 덮어쓴 행렬 $A^*$"에 대한 여인수 공식, 즉 \det A^* 와 같다.
      • A^* 는 i 행이 두 군데( i 행 자리, j 행 자리) 있는 행렬이다. 1단계에 의해 \det A^* = 0.
    • 검산: 2×2로 직접 확인. (1,2) 성분 = a_{11}C_{21} + a_{12}C_{22} = a(-b) + b(a) = 0 ✓ (1행을 두 번 가진 행렬 \begin{bmatrix} a & b \\ a & b \end{bmatrix} 의 행렬식과 같다.)
    • 핵심 문장: 같은 행이 2개면 "교환해도 그대로인데 부호는 반전"이라 \det = 0. AC^{\mathrm{T}} 의 비대각성분은 행을 복사한 행렬의 행렬식이라 자동으로 0이다.