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- 각 장 페이지 맨 아래에 복습용 핵심문제 목록 (문제 번호 + 블록 링크) - 선정: 1장(1.1-10, 1.2-25, 1.3-1, 1.4-5, 1.4-12) / 2장(2.1-11, 2.2-34, 2.3-7, 2.4-19, 2.5-18) / 3장(3.2-13, 3.3-1, 3.3-31, 3.4-2, 3.5-24) - 링크 대상 문제 블록 15개에 새 id:: 부여 (카드 문법 아님, Anki 싱크 영향 없음, 전체 id 중복 검사 통과) Co-Authored-By: Claude Fable 5 <noreply@anthropic.com> Claude-Session: https://claude.ai/code/session_01Ufr6wUhJAzBaqcaBiRJ1xk
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deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- ### 핵심 개념
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- **이 절의 요지**: 소거의 모든 단계는 행렬곱으로 표현된다. 소거행렬 $E_{ij}$ 들을 차례로 곱해 $EA = U$ 를 만들고, 역순으로 역행렬을 곱해 $A = E^{-1}U = LU$ 를 얻는다.
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- 📌 원문 (p.85): ((6a635a7c-c085-49d0-a491-a38760e0de17))
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- **기본 소거 단계**: 방정식 $i$ 에서 방정식 $j$ 에 $\ell_{ij}$ 를 곱한 것을 빼는 것.
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- 📌 원문 (p.85): ((6a635a84-07f5-42f7-a189-5e34759ed1ba))
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- 승수(multiplier)는 $\ell_{ij} = \dfrac{\text{소거할 성분}}{\text{피벗}}$. 예: $a_{11}=3$ 아래 $a_{21}=-3$ 이 있으면 $\ell_{21} = -1$ 이고, "2행에서 1행에 $-1$ 을 곱한 것을 뺀다" = "2행에 1행을 더한다".
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- **소거행렬** $E_{ij}$ **의 정확한 형태** 🧩 (책이 명시적으로 정리해주지 않는 부분, 복습용 정리)
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- **만드는 법**: 항등행렬 $I$ 에서 시작해 $(i, j)$ **성분 (=** $i$ **행** $j$ **열) 하나만** $-\ell_{ij}$ **로** 바꾼다. 나머지는 $I$ 그대로 (주대각선 1, 그 외 0).
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- $$E_{ij} = I \text{ 에서 } (i,j) \text{ 성분만 } -\ell_{ij} \text{ 로 바꾼 행렬} \qquad (i > j \text{ 이므로 주대각선 아래})$$
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- 예 — 3행에서 1행에 2를 곱해 빼는 $E_{31}$ ($\ell_{31} = 2$): #card
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id:: 6a654a5b-4a10-4db0-ae2e-78ebebd7468d
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- $(3,1)$ 위치에 $-2$.
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- $$E_{31} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$
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- **왜 이 형태인가**: $E_{31}A$ 의 3행 = ($E_{31}$ 의 3행) × $A$ = $-2 \cdot (A$ 의 1행$) + 1 \cdot (A$ 의 3행$)$, 정확히 "3행 ← 3행 − 2×(1행)" 이다. 왼쪽에 곱하는 행렬의 각 행은 "결과의 그 행을 원래 행들의 어떤 결합으로 만들지"를 지시한다.
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- ⚠️ 첨자 순서 주의: $E_{ij}$ 는 "$i$ 행에서 $j$ 행을 (배수로) 뺀다"는 뜻이고, 바꾸는 성분 위치도 $i$ 행 $j$ 열이다. $i > j$ (아래 행에서 위 행을 뺌) 이므로 항상 주대각선 **아래**의 성분 하나를 바꾼다.
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- **전체소거행렬** $E$: 행 교환이 필요 없는 $3\times 3$ 의 경우, 세 소거행렬을 순서대로 곱한 것.
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- $$E = E_{32}E_{31}E_{21}, \qquad EA = U$$
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- ⚠️ **곱하는 순서**가 소거 순서다: 먼저 $E_{21}$ (그 다음 $E_{31}$, 마지막 $E_{32}$)이 $A$ 에 가장 가까이(오른쪽에) 위치한다.
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- ⚠️ $E_{32}$ 는 $A$ 의 원래 2행이 아니라 **소거가 진행된 뒤의 새로운 2행**에 $\ell_{32}$ 를 곱해 뺀다 (p.86 EX1).
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- $E$ 를 직접 곱해보면 좌하단에 복잡한 항이 생긴다 (p.91 식 (10)):
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- $$E = E_{32}E_{31}E_{21} = \begin{bmatrix} 1 & & \\ -\ell_{21} & 1 & \\ (\ell_{32}\ell_{21} - \ell_{31}) & -\ell_{32} & 1 \end{bmatrix}$$
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- 📌 원문 (식 (10), p.91): [🔗 PDF 위치](((6a63652b-602e-4795-920c-257281d9a689)))
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- 💡 $(3,1)$ 위치의 $\ell_{32}\ell_{21}$ 항이 생기는 이유: 1행이 2행을 바꾸고, 그 바뀐 2행이 다시 3행을 바꾸는 **연쇄 효과** 때문. 그래서 $E$ 자체는 쓸모 있는 공식이 안 되고, 역행렬 $L$ 쪽이 깨끗하다 (아래).
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- $E_{ij}$ **의 역행렬, 빼면, 역은 더한다**
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- $E_{ij}$ 가 "$i$ 행에서 $j$ 행 $\times \ell_{ij}$ 를 뺀다"면, $E_{ij}^{-1}$ 는 "$i$ 행에 $j$ 행 $\times \ell_{ij}$ 를 **더한다**".
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- 📌 원문 (p.86): ((6a635aa6-fc5b-4d1b-af7e-ce34f3a3dff2))
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- **정확한 형태**: $E_{ij}$ 에서 $(i,j)$ 성분의 **부호만 뒤집으면** 된다 ($-\ell_{ij} \to +\ell_{ij}$).
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- $$E = \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ -5&1&0 \\ 0&0&1 \end{bmatrix} \quad\Longrightarrow\quad E^{-1} = \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 5&1&0 \\ 0&0&1 \end{bmatrix} \qquad (\text{p.89 EX4})$$
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- $L$ **은** $E$ **의 역행렬**: 이 장의 핵심 (p.91 식 (11))
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- $E = E_{32}E_{31}E_{21}$ 의 역행렬을 **역순으로** 곱하면: $L = E^{-1} = E_{21}^{-1}E_{31}^{-1}E_{32}^{-1}$.
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- 📌 원문 ($E$ 의 역행렬을 $L$ 이라 한다, p.86): ((6a635aae-3105-49ae-957b-172c4c5d0005))
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- 📌 원문 (식 (11), p.91): [🔗 PDF 위치](((6a635b68-9f69-4209-8ca3-615913bd254d)))
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- $L$ **의 정확한 형태** 🧩: **하삼각행렬**로, ① 주대각선은 전부 1, ② 주대각선 아래 $(i,j)$ 성분에 승수 $\ell_{ij}$ 가 {{c1 **부호 그대로, 제자리**}}에 들어간다. $E$ 와 달리 곱셈 연쇄 항이 전혀 없다.
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id:: 6a654a5b-b0dd-41e2-9583-ab2acad9337c
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- $$L = \begin{bmatrix} 1 & & \\ \ell_{21} & 1 & \\ \ell_{31} & \ell_{32} & 1 \end{bmatrix}$$
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- 💡 **왜** $L$ **은 깨끗한가** (p.90 EX5의 교훈): 역행렬들을 곱하는 순서 $E_{21}^{-1}E_{31}^{-1}E_{32}^{-1}$ 에서는 "먼저 3행을 (2행으로) 바꾸고, **그 다음** 2행을 (1행으로) 바꾸므로" 바뀐 행이 다시 쓰이는 연쇄가 일어나지 않는다. 소거법의 순서는 $FE$, 역행렬의 순서는 $L = E^{-1}F^{-1}$, 승수들이 모두 하삼각 $L$ 의 제자리에 위치한다.
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- 이 결과로 $EA = U$ 는 $A = E^{-1}U = LU$ 가 된다 → [[2.3 행렬 계산과 A = LU]] 의 주제.
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- **역행렬에 관한 사실**
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- **정의, 가역행렬** (invertible matrix): $A^{-1}A = AA^{-1} = I$ 를 만족하는 $A^{-1}$ 가 존재하는 행렬 $A$.
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- 📌 원문 (p.86): ((6a635acb-6851-4e14-8586-6014d2be98b5))
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- $n \times n$ 행렬 $A$ 의 역행렬이 존재하려면 $n$ 개의 선형독립인 열이 있어야 한다.
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- 📌 원문 (p.86): ((6a635ac0-7401-4a3b-8494-97d3151d2c6c))
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- ⚠️ **모든 행렬이 역행렬을 갖는 것은 아니다.** 수는 0만 아니면 역수를 갖지만, 행렬은 조건이 더 복잡하다.
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- 📌 원문 (p.87): ((6a635ad8-3d2e-4392-a37b-c22c8b0de35d))
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- 📌 원문 (가역이려면 열이 선형독립, p.87): ((6a635adc-5c08-46ed-905c-6fef78d87284))
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- **역행렬** $A^{-1}$ **의 7가지 특징** (p.87~88)
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- **[특징 ①]** 역행렬 존재의 필요충분조건 = 소거법에서 $n$ **개의 피벗**이 생기는 것 (행 교환 허용).
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- 📌 원문 (p.87): ((6a635ae3-4e4a-437a-a3f8-c74bf19d9840))
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- **[특징 ②]** 역행렬은 **유일**하다. $BA = I$, $AC = I$ 이면 $B = C$, 결합법칙으로 $B(AC) = (BA)C$ 에서 즉시 나온다. 왼쪽 역행렬 = 오른쪽 역행렬.
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- 📌 원문 (p.87): ((6a635ae9-06aa-4efd-8480-7a73b9eb35bb))
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- **[특징 ③]** $A^{-1}$ 가 존재하면 $Ax = b$ 의 유일한 해는 $x = A^{-1}b$.
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- 📌 원문 (p.87): ((6a635aef-6880-41b5-8b18-448e393588c3))
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- **[특징 ④]** (중요) $Ax = 0$ 인 영벡터가 아닌 $x$ 가 존재하면 → $A$ 의 열이 선형종속 → **역행렬 없음**. ($A^{-1}$ 가 있다면 $x = A^{-1}0 = 0$ 뿐이어야 하므로.)
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- 📌 원문 (p.87): ((6a635b12-1a2e-453a-8e16-3bb97dcdbee1))
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- **[특징 ⑤]** 정사각행렬이 가역일 필요충분조건 = 열들이 선형독립.
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- 📌 원문 (p.87): ((6a635b0c-4f27-4cbd-8a6c-b6655b215713))
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- **[특징 ⑥]** $2\times 2$ 행렬이 가역일 필요충분조건은 $ad - bc \neq 0$:
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- $$\begin{bmatrix} a&b \\ c&d \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$$
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- 수 $ad-bc$ 는 2×2 행렬의 **행렬식** (determinant). 실제 판정에는 행렬식보다 **피벗이** $n$ **개인지** 확인하는 피벗 판정법을 주로 쓴다.
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- 📌 원문 (행렬식, p.88): ((6a635b1e-c0f5-47d9-8dd4-e21f0b7271ed))
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- 📌 원문 (2×2 가역 조건, p.88): ((6a635b3a-8ccf-4542-81e5-fb74840b350b))
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- 💡 외우는 법: 대각 $a, d$ 는 **자리를 바꾸고**, 반대각 $b, c$ 는 **부호를 바꾸고**, 행렬식으로 나눈다.
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- **[특징 ⑦]** 상삼각행렬은 주대각성분 $d_i$ 가 모두 0이 아닐 때 (역시 상삼각인) 역행렬을 갖는다.
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- 📌 원문 (p.88): ((6a635b2a-5629-4ab6-9352-7ed4110d95dd))
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- **행렬곱** $AB$ **의 역행렬, 역순으로**
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- 📌 원문 (공식 (7), p.89): [🔗 PDF 위치](((6a635b51-4ca7-4f6d-923a-74154bb8cda3)))
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- $$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}, \qquad (ABC)^{-1} = C^{-1}B^{-1}A^{-1}$$
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- $AB$ 가 가역일 필요충분조건: $A$ 와 $B$ 가 (같은 크기의) 가역행렬인 것.
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- 💡 **양말–신발 비유**: 양말 신고 신발을 신었으면, 벗을 때는 신발 먼저 벗고 양말을 벗는다. 역행렬은 항상 **역순**.
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- ### ❓ 스스로 점검
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- $E_{31}$ ($\ell_{31} = 2$) 의 정확한 형태를 쓰고, 왜 그 형태가 "3행에서 1행의 2배를 빼는" 연산이 되는지 설명하라.
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- $I$ 에서 $(3,1)$ 성분만 $-2$ 로 바꾼 $\begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ -2&0&1 \end{bmatrix}$. 곱 $E_{31}A$ 의 3행 = $-2\cdot(A$ 의 1행$) + 1\cdot(A$ 의 3행$)$ 이 되기 때문 (왼쪽 곱셈의 각 행은 원래 행들의 결합 지시서).
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- $E = E_{32}E_{31}E_{21}$ 과 $L = E^{-1}$ 중 어느 쪽이 승수 $\ell_{ij}$ 를 "제자리에 그대로" 담고 있는가? 다른 한쪽에는 무슨 일이 생기는가?
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- $L$ 쪽이다: 주대각선 1, $(i,j)$ 에 $\ell_{ij}$ 그대로. $E$ 쪽은 $(3,1)$ 위치에 $\ell_{32}\ell_{21} - \ell_{31}$ 같은 연쇄 곱셈 항이 생긴다 (바뀐 행이 다시 다른 행을 바꾸는 효과).
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- 역행렬이 존재하는지 판단하는 실용적 기준(특징 ①)은 무엇인가? #card
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id:: 6a654a5b-ecea-4b01-a297-bd1251c17409
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- 소거법에서 (행 교환을 허용하며) 0이 아닌 피벗이 $n$ 개 생기는 것.
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- $Ax = 0$ 에 $x \neq 0$ 인 해가 있으면 왜 $A^{-1}$ 가 존재할 수 없는가? #card
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id:: 6a654a5b-1a9a-45a9-b501-e0efb24378ba
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- $A^{-1}$ 가 존재한다면 양변에 곱해 $x = A^{-1}0 = 0$ 이 되어 모순. (열이 선형종속이라는 뜻이므로 특징 ⑤로도 같은 결론.)
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- $(AB)^{-1}$ 는 무엇이고, 왜 그 순서인가? #card
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id:: 6a654a5b-dbda-45a2-ac76-f460159bd12b
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- $B^{-1}A^{-1}$. $(AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = AA^{-1} = I$, 안쪽부터 소거되려면 역순이어야 한다.
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- ### ✏️ 연습문제 풀이 (솔루션 참고)
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- **문제 3**: $A = \begin{bmatrix} 1&1&0 \\ 4&6&1 \\ -2&2&0 \end{bmatrix}$ 를 $U$ 로 만드는 $E_{21}, E_{31}, E_{32}$ 를 구하고, $E$ 와 $L = E^{-1}$ 도 구하라.
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- $\ell_{21}=4$: $E_{21} = \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ -4&1&0 \\ 0&0&1 \end{bmatrix}$, $\ell_{31}=-2$: $E_{31} = \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 2&0&1 \end{bmatrix}$, $\ell_{32}=2$: $E_{32} = \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&-2&1 \end{bmatrix}$.
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- $E = E_{32}E_{31}E_{21} = \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ -4&1&0 \\ 10&-2&1 \end{bmatrix}$, $(3,1)$ 에 연쇄 항 $10$ 이 생겼다.
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- $L = E^{-1} = \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 4&1&0 \\ -2&2&1 \end{bmatrix}$, 승수 $4, -2, 2$ 가 전부 **제자리에 그대로**.
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- 💡 이 문제 하나로 이 절의 핵심($E$ 는 지저분, $L$ 은 깨끗)을 손으로 확인할 수 있다.
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- **문제 12**: 두 치환행렬 $P = \begin{bmatrix} 0&0&1 \\ 0&1&0 \\ 1&0&0 \end{bmatrix}$, $P = \begin{bmatrix} 0&1&0 \\ 0&0&1 \\ 1&0&0 \end{bmatrix}$ 의 역행렬을 구하라.
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- 첫 번째는 단순 행 교환(1↔3)이라 $P^2 = I$ → $P^{-1} = P$ 자기 자신.
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- 두 번째는 순환 이동이라 $P^{-1} = \begin{bmatrix} 0&0&1 \\ 1&0&0 \\ 0&1&0 \end{bmatrix}$.
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- 💡 두 경우 모두 $P^{-1} = P^{\mathrm{T}}$ (전치): 2.4절에서 일반 원리로 배운다.
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- **문제 16** (책 표시: 중요한 문제): $A$ 에서 (1행)+(2행)=(3행)일 때 $A^{-1}$ 가 존재하지 않음을 보여라.
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- (a) $Ax = (0,0,1)$ 은 해가 없다: 식1 + 식2 − 식3 을 만들면 좌변은 0인데 우변은 $0+0-1 = -1 \neq 0$.
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- (b) 해가 존재하려면 우변이 같은 관계를 만족해야 한다: $b_1 + b_2 = b_3$.
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- (c) 소거 과정에서 3행은 **0행**이 된다. 세 번째 피벗이 없다.
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- 💡 행의 선형종속도 (열의 선형종속처럼) 가역성을 파괴한다. 소거법이 그 사실을 0행으로 드러낸다.
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- **문제 29**: 가우스-조르단 아이디어: $[A \ \ I]$ 에 소거법을 적용해 $A$ 를 $I$ 로 바꾸면 $I$ 자리에 $A^{-1}$ 가 나타남을 확인하라.
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- $\begin{bmatrix} 1&3&1&0 \\ 2&7&0&1 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1&3&1&0 \\ 0&1&-2&1 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1&0&7&-3 \\ 0&1&-2&1 \end{bmatrix} = [I \ \ A^{-1}]$.
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- 두 번째: $\begin{bmatrix} 1&4&1&0 \\ 3&9&0&1 \end{bmatrix} \to \cdots \to \begin{bmatrix} 1&0&-3&4/3 \\ 0&1&1&-1/3 \end{bmatrix}$.
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- 💡 2.3절 가우스-조르단 소거법의 예습. 검산: $ad-bc$ 공식과 비교해볼 것.
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- **문제 34** (책 표시: 꼭 풀어볼 만한 문제): $A = \begin{bmatrix} a&b&b \\ a&a&b \\ a&a&a \end{bmatrix}$ 가 가역일 조건을 증명하고, $C = \begin{bmatrix} 2&c&c \\ c&c&c \\ 8&7&c \end{bmatrix}$ 가 비가역이 되는 $c$ 3개를 찾아라.
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id:: 0305bbfe-0c43-4530-b167-03ae1a4e41a1
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- $A$ 의 소거: 피벗이 $a$, $a-b$, $a-b$ 로 나온다 → 가역 조건은 $a \neq 0$ 이고 $a \neq b$.
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- $$A^{-1} = \frac{1}{a(a-b)}\begin{bmatrix} a & 0 & -b \\ -a & a & 0 \\ 0 & -a & a \end{bmatrix}$$
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- $C$: $c = 0$ (열들이 종속), $c = 7$ (2행과 3행 관련 종속), $c = 2$ (1행과 2행 종속) 에서 비가역.
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- 💡 문자 행렬에서 피벗을 추적하는 훈련, "가역 판정 = 피벗 개수 세기"를 체득하는 문제. |