Logseq/pages/분할정복(Divide and Conquer).md

deck:: Logseq/coding tip

• 1. 개념(Concept)

  • 크고 복잡한 문제를 {{c1 작고 간단한 하위 문제(Sub-problem)}}들로 나눈 뒤, 각각 해결하여 합치는 알고리즘 설계 패러다임. id:: 695bbd99-6b9b-4019-a174-9238a89758de

• 2. 동작 원리 (Algorithm Flow)

  • 1단계 {{c1 분할(Divide)}} -> 2단계 {{c1 정복(Conquer)}} -> 3단계 {{c1 결합(Combine)}}

    id:: 695bbe3e-8b85-4abf-a9ed-6f0c24c8f2dd #+BEGIN_EXTRA 분할 : 원래 문제를 같은 유형의 더 작은 하위 문제로 쪼갠다. 정복 : 하위 문제를 재귀적으로 해결한다.(문제가 충분히 작다면 바로 해결) 결합 : 하위 문제의 해답들을 합쳐 원래 문제의 답을 만든다. #+END_EXTRA

• 3. 시간복잡도

  • 문제의 크기를 N 이라고 할 때 {{c1 $O(\log N)$}} 이나 {{c1 $O(N \log N)$}} 으로 감소됨.

    id:: 695bbeb8-ecdc-4d0b-a29b-43231188ba86

• 4. 예시

  • 1) 행렬의 거듭제곱(N \times N 크기의 행렬 $A$를 $B$번 거듭제곱 하기)

    • 점화식

      • $n$이 짝수일 때: A^n = (A^{n/2}) \times (A^{n/2})
      • $n$이 홀수일 때: A^n = (A^{n/2}) \times (A^{n/2}) \times A

    • 행렬곱(multiply_matrix) 함수 코드(python)

      id:: 695bc027-6274-498e-b798-0e94060eb147 N \times N 크기의 행렬 m1, m2와 N을 입력받아서 두 행렬을 곱한 행렬을 반환하는 코드 #card

      • def multiply_matrix(m1, m2, N):
            result = [[0]* N for _ in range(N)]
            for i in range(N):
                for j in range(N):
                    for k in range(N):
                        result[i][j] += m1[i][k] * m2[k][j]
                    result[i][j] %= 1000  # 문제 조건에 따라 모듈러 연산 추가
            return result
        

    • 분할정복(power_matrix) 함수 코드(python)

      거듭제곱 될 행렬 adj, 현재 곱해지는 지수 n, 행렬의 크기 N을 입력받아서 분할정복으로 adj^n 을 구하는 코드
      • 1. n이 1일 경우(차수가 1일 경우) #card id:: 695bc161-b88a-4f55-aaf7-7bc17ccd4dcc

        • # Base case : 지수가 1이면 그대로 반환한다.
          if n==1 :
            	return [[num % 1000 for num in row] for row in adj]
          

      • 2. 분할 #card id:: 695bc1d6-8a7c-475c-9c51-45a672597058

        • # Divide: 지수를 절반으로 나누어 재귀 호출
          temp = power_matrix(adj, n//2, N)
          

      • 3. 정복 및 결합 #card id:: 695bc232-7ee9-4c02-a3b1-1f65061737f9

        • if n % 2 == 0:
          	# 짝수면: temp * temp
             	return multiply_matrix(temp, temp, N)
          else:
              # 홀수면: temp * temp * A
              return multiply_matrix(multiply_matrix(temp, temp, N), adj, N)
          

      • 전체코드

        • # 행렬 곱셈 함수 (N*N 행렬 두 개를 곱함)
          def multiply_matrix(m1, m2, N):
              result = [ * N for _ in range(N)]
              for i in range(N):
                  for j in range(N):
                      for k in range(N):
                          result[i][j] += m1[i][k] * m2[k][j]
                      result[i][j] %= 1000  # 문제 조건에 따라 모듈러 연산 추가
              return result
          
          # 분할 정복을 이용한 거듭제곱 함수
          def power_matrix(adj, n, N):
              # Base Case: 지수가 1이면 그대로 반환
              if n == 1:
                  return [[elem % 1000 for elem in row] for row in adj]
          
              # Divide: 지수를 절반으로 나누어 재귀 호출
              temp = power_matrix(adj, n // 2, N)
          
              # Conquer & Combine
              if n % 2 == 0:
                  # 짝수면: temp * temp
                  return multiply_matrix(temp, temp, N)
              else:
                  # 홀수면: temp * temp * A
                  return multiply_matrix(multiply_matrix(temp, temp, N), adj, N)