Logseq/pages/프림 알고리즘 (Prim’s Algorithm).md

deck:: Logseq/coding tip

• 1. 개념(Concept)

  • 최소 스패닝 트리(MST)를 구하는 알고리즘.
  • “임의의 시작 정점에서 출발하여, 현재 트리에 연결된 간선 중 가장 싼 것을 추가하며 확장한다.” 라는 전략을 사용
    • 이를 위해 {{cloze 우선순위 큐}}가 사용됨. id:: 69511108-8006-4c0a-9452-d248f8c58ca5
    • 다익스트라(Dijkstra) 알고리즘과 비슷함.

• 2. 기본 구조 (Basic Structure)

  • 1. 임의의 정점(vertex)을 하나 선택해서 트리에 포함시킨다.
  • 2. 현재 트리에 포함된 정점들과 포함되지 않은 정점들을 연결하는 간선 중, 가중치가 가장 작은 간선을 찾는다.
  • 3. 해당 간선과 연결된 새로운 정점을 트리에 추가한다.
  • 4. 위의 과정을 반복하여 최종적으로 모든 정점이 트리에 포함될 때 까지 반복한다.

• 3. 코드(python)

  • 입력이 V(정점의 갯수), 인접리스트(graph)와 시작노드(start_node)를 매개변수로 하여 id:: 695111c8-84a0-4220-a7f4-b9f654761cec 프림 알고리즘으로 최소 스패닝 트리를 구현하고, 이때 총 가중치를 반환하는 함수를 구현하면?

    # graph: (노드: [(비용, 인접노드)]...)
    # ex) graph = [[],[(3,2),(4,5)],[(1,3)]...]
    

    #card

    • import heapq
      
      # graph: 인접 리스트 (노드: [(비용, 인접노드), ...])
      def prim(start_node, v, graph):
          visited = [False] * (v + 1)
          min_heap = [(0, start_node)] # (비용, 정점)
          total_cost = 0
          count = 0
      
          while min_heap:
              cost, node = heapq.heappop(min_heap)
      
              if visited[node]:
                  continue
      
              visited[node] = True
              total_cost += cost
              count += 1
      
              if count == v: # 모든 정점 방문 완료
                  break
      
              # 인접 정점 중 방문 안 한 곳을 큐에 넣기
              for next_cost, next_node in graph[node]:
                  if not visited[next_node]:
                      heapq.heappush(min_heap, (next_cost, next_node))
      
          return total_cost
      

• 4. 시간복잡도

  • 우선순위큐 연산이 주된 연산이므로 우선순위 큐 연산 속도에 영향을 많이 받음.
  • 시간복잡도는 {{cloze $O(E\log V)$}} id:: 69511407-a9bc-40f2-b57c-f76060ea75f1