Logseq/Major Study/pages/2.4 치환행렬과 전치행렬.md

deck:: Logseq/전공공부/선형대수학

- ### 핵심 개념
	- **이 절의 요지**: ① 치환행렬 $P$ 는 $I$ 의 행들을 재배열한 것이고 $P^{\mathrm{T}} = P^{-1}$. ② 전치행렬 $A^{\mathrm{T}}$ 는 행과 열을 뒤집으며 $(Ax)^{\mathrm{T}}y = x^{\mathrm{T}}(A^{\mathrm{T}}y)$ 가 본질적 정의. ③ 대칭행렬 $S = S^{\mathrm{T}}$, 그리고 $A^{\mathrm{T}}A$ 는 항상 대칭.
	- **치환행렬 (permutation matrix)** $P$ **의 정확한 형태** 🧩
		- **모든 행에 1이 하나만 있고, 모든 열에도 1이 하나만 있다. 그 외의 모든 성분은 0.** ($I$ 의 행들을 순서만 바꾼 것.)
			- 📌 원문 (정의, p.105): ((6a635c61-9ba1-4d93-afe4-1ae41d602a26))
		- **만드는 법**: 원하는 행 순서대로 $I$ 의 행을 재배열한다. 예, $x = (x_1, x_2, x_3)$ 을 $(x_3, x_1, x_2)$ 로 바꾸고 싶으면, 1행에는 "$x_3$ 을 뽑는" $[0 \ 0 \ 1]$, 2행에는 $[1\ 0\ 0]$, 3행에는 $[0\ 1\ 0]$:
		- $$P = \begin{bmatrix} 0&0&1 \\ 1&0&0 \\ 0&1&0 \end{bmatrix}, \qquad Px = \begin{bmatrix} x_3 \\ x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$$
		- 💡 읽는 법: $P$ 의 $i$ 행에서 1이 $j$ 열에 있으면 "결과의 $i$ 번째 성분 = 원래의 $j$ 번째 성분" ($x_j$ 가 $i$ 번째 자리로 이동).
		- 크기 $n$ 인 치환행렬은 (행 교환이 없는 $P = I$ 를 포함해) 모두 $n!$ 개다. 크기 3이면 $3! = 6$ 개, 크기 4면 24개.
	- **치환행렬의 성질** (p.106)
		- 📌 원문 (성질 ❶~❹, p.106): [🔗 PDF 위치](((6a635cbe-f6ee-4b77-9981-8d8ef4b101aa)))
		- ![치환행렬의 성질 (p.106)](../assets/2장_p106_치환행렬의_성질.png)
		- ❶ $n$ 개의 1이 서로 다른 행과 서로 다른 열에 나타난다.
		- ❷ $P$ 의 열들은 서로 **직교**한다 (열 사이 내적 = 0).
		- ❸ 치환행렬의 곱도 치환행렬. 치환행렬의 역행렬도 치환행렬.
		- ❹ $A$ 가 가역이면, 미리 행 순서를 조정하는 $P$ 가 존재해 소거에서 피벗 0을 만나지 않는다: $PA = LU$.
		- **가장 중요한 성질**: $P^{\mathrm{T}}$ = {{c1 $P^{-1}$}}
		  id:: 6a654a5b-bb58-413b-9d6e-400597cbbdae
		  extra:: 즉 $P^{\mathrm{T}}P = I$.
			- 💡 이유: $P^{\mathrm{T}}P$ 의 $(i,j)$ 성분 = ($P$ 의 $i$ 열)·($P$ 의 $j$ 열). 열들이 서로 직교하고 각 열의 길이가 1이므로 대각선만 1, 나머지 0.
	- **짝수 치환행렬 / 홀수 치환행렬**: $n!$ 개 중 절반은 짝수, 절반은 홀수, $I$ 에 도달하는 데 필요한 행 교환 횟수의 홀짝.
		- 📌 원문 (홀수 치환행렬, p.106): ((6a635c9c-b2e7-455e-bb1d-347b3cf085bb))
		- 📌 원문 (짝수 치환행렬, p.106): ((6a635ca5-bdb6-4051-9bf7-a45e90b4ebf0))
		- 예: 단순 행 교환 1번 = 홀수. (1↔4, 2↔3) 두 번 교환 = 짝수.
	- $PA = LU$ **분해:** $P$ **를 이용한 행 교환** (p.106~107)
		- 피벗 자리에 0이 나타나면 행 교환 후 소거를 계속한다. 필요한 모든 행 교환을 모아 **미리** 적용한 것이 $PA = LU$.
		- 예 (p.107): 2행↔3행을 먼저 바꾸면 $PA$ 는 피벗 0을 만나지 않고 곧장 $LU$ 로 분해된다.
		- 💡 원래 행렬에 열 $(1,2,3)$ 을 추가로 붙여두면 행 교환이 어떻게 일어났는지 추적된다 (다니엘 드러커의 방법): 마지막에 그 열을 읽으면 $P$ 를 알 수 있다.
	- **부분피벗** (partial pivoting): 반올림 오류를 줄이는 실전 기법
		- 배경: 컴퓨터는 수를 **유한한 유효숫자**(부동소수점, 보통 약 16자리)로 저장한다. 연산할 때마다 결과가 반올림되므로 매 단계 작은 오차가 생기고, 문제는 소거 과정이 이 오차를 **증폭시킬 수 있다**는 것이다.
		- **왜 작은 피벗이 위험한가, 논리 사슬**:
			- ① 소거에서 실제로 곱해지는 수는 피벗이 아니라 **승수** $\ell = \dfrac{\text{지울 성분}}{\text{피벗}}$ 이다. **피벗이 분모**이므로, 피벗이 {{c1 작을수록}} $\ell$ 은 커진다 (피벗 $0.0001$ → $\ell = 10000$ 같은 식).
			  id:: 6a654cf6-cfe4-48fa-bf98-10b218091981
			  ② 행 갱신은 (아래 행) − $\ell$ × (피벗 행) 이다. $\ell$ 이 거대하면 빼는 쪽 $\ell \times$(피벗 행)이 원래 행보다 수만 배 커진다 → 뺄셈 결과에서 {{c1 **원래 행이 갖고 있던 정보**}}**가 큰 수의 반올림 자릿수 아래로 쓸려 내려가 사라진다** (자릿수 소실).
			  ③ 게다가 피벗 행에 이미 있던 작은 {{c1 반올림 오차}} 도 $\ell$ **배로 곱해져 증폭**된다. $\ell = 10^4$ 이면 오차도 $10^4$ 배.
			  요약: 작은 피벗 → 큰 승수 → 큰 수끼리의 뺄셈 → 정보 소실 + 오차 증폭.
		- **파국의 수치 예**: 유효숫자 3자리 컴퓨터를 가정하고 다음을 풀어보자 (참해는 $x \approx 1.0001$, $y \approx 0.9999$):
			- $$0.0001x + y = 1 \qquad x + y = 2$$
			- **교환 없이** (피벗 $0.0001$): $\ell = \dfrac{1}{0.0001} = 10000$. 2행 갱신: $y$ 계수는 $1 - 10000 = -9999$, 우변은 $2 - 10000 = -9998$, 그런데 3자리 컴퓨터는 둘 다 $-1.00 \times 10^4$ 로 반올림한다 ("$1$"과 "$2$"라는 정보가 통째로 소실!). 그러면 $y = 1.00$, 역대입에서 $0.0001x = 1 - 1.00 = 0$ → $x = 0$. **참값** $x \approx 1$ **인데** $0$ **이 나왔다. 100% 오답.**
			- **행 교환 후** (피벗 $1$): $x + y = 2$ 를 위로. $\ell = \dfrac{0.0001}{1} = 0.0001$. 1행 갱신: $(1 - 0.0001)y = 1 - 0.0002$ → 3자리로 $1.00\,y = 1.00$ → $y = 1.00$, $x = 2 - 1.00 = 1.00$. **3자리 정밀도 안에서 정확하다.**
			- 💡 행렬은 특이행렬 근처도 아니고 문제 자체는 멀쩡하다. 순전히 **피벗 선택** 때문에 결과가 0점과 100점으로 갈렸다.
		- **왜 "가장 큰 수"를 피벗으로 고르면 해결되는가**:
			- 같은 열에서 절댓값이 가장 큰 수를 피벗으로 올리면, 모든 승수가 $\ell = \dfrac{\text{지울 성분}}{\text{피벗}}$ 에서 분자 ≤ 분모가 되어 **항상** $|\ell| \le$ {{c1 **1**}} 이 보장된다.
			  extra:: $|\ell| \le 1$ 이면: 곱해서 빼는 양이 원래 행과 비슷한 크기 → 자릿수 소실이 없고, 기존 오차도 곱셈으로 **커지지 않는다** (1 이하를 곱하면 같거나 작아질 뿐)
			  id:: 6a654cf6-2263-49c4-ad33-b52306fe67ad
			- 📌 원문 (p.107): ((6a635d42-c493-49c3-be5e-3a661e755e22))
		- **"** $L$ **의 성분이 1 이하"의 뜻**: 어려운 말이 아니다:
			- [[2.3 행렬 계산과 A = LU]]에서 봤듯 $L$ 의 주대각선 아래 성분들은 **정확히 승수** $\ell_{ij}$ **들**이다. 그러니 "부분피벗을 하면 $L$ 의 모든 성분이 1 이하"라는 문장은 = "**모든 단계의 승수가** $|\ell| \le 1$"의 다른 표현일 뿐이다.
			- 📌 원문 (p.107): ((6a635d3f-54ac-451b-9c25-98e20dfdc20f))
			- 즉 완성된 $L$ 을 보면 그 소거가 수치적으로 안전했는지 한눈에 보인다. 성분이 전부 1 이하면 오차를 증폭시킨 단계가 하나도 없었다는 증거다.
		- ⚠️ 수학적으로는 0만 아니면 피벗이 될 수 있지만, 컴퓨터에서는 **크기**가 중요하다. "필요한 교환"(피벗이 0일 때, 수학적 필수)과 "안전을 위한 교환"(피벗이 작을 때, 수치적 선택)을 구분할 것. 부분피벗은 후자다.
	- $PAQ$ **(행 치환과 열 치환)**: 왼쪽 곱 $PA$ 는 **행** 순서를, 오른쪽 곱 $AQ$ 는 **열** 순서를 바꾼다. 행 6가지 × 열 6가지 = 3×3 행렬 하나에 36개의 서로 다른 $PAQ$.
	- **전치행렬 (transpose)** $A^{\mathrm{T}}$ **의 정확한 형태** 🧩
		- $A^{\mathrm{T}}$ 의 열은 $A$ 의 행이다. $A$ 가 $m \times n$ 이면 $A^{\mathrm{T}}$ 는 $n \times m$.
			- 📌 원문 (p.108): ((6a635d89-a3ba-4fb3-b75d-e81aa4884eac))
		- 성분으로: $A^{\mathrm{T}}$ **의** $i$ **행** $j$ **열 성분 =** $A$ **의** $j$ **행** $i$ **열 성분**: 주대각선을 기준으로 뒤집기.
		- 📌 원문 (정의 박스, p.108): [🔗 PDF 위치](((6a635d90-88e5-4c32-9175-28492d607007)))
		- ![전치행렬의 정의 (p.108)](../assets/2장_p108_전치행렬_정의.png)
		- $$(A^{\mathrm{T}})_{ij} = A_{ji} \qquad \text{예: } A = \begin{bmatrix} 1&2&3 \\ 0&0&4 \end{bmatrix} \Rightarrow A^{\mathrm{T}} = \begin{bmatrix} 1&0 \\ 2&0 \\ 3&4 \end{bmatrix}$$
		- 하삼각행렬의 전치는 상삼각행렬. $(A^{\mathrm{T}})^{\mathrm{T}} = A$.
	- **전치의 3가지 규칙** (p.109)
		- 📌 원문 (식 (3)(4)(5), p.109): [🔗 PDF 위치](((6a635dad-c297-4f30-a0ba-d41192ce03fa)))
		- ![전치 규칙, 합, 곱, 역행렬 (p.109)](../assets/2장_p109_전치_규칙_합곱역행렬.png)
		- $$(A+B)^{\mathrm{T}} = A^{\mathrm{T}} + B^{\mathrm{T}}, \qquad (AB)^{\mathrm{T}} = B^{\mathrm{T}}A^{\mathrm{T}}, \qquad (A^{-1})^{\mathrm{T}} = (A^{\mathrm{T}})^{-1}$$
		- ⚠️ 곱의 전치는 **역순**: 역행렬의 $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ 와 같은 패턴. 3개 이상도 $(ABC)^{\mathrm{T}} = C^{\mathrm{T}}B^{\mathrm{T}}A^{\mathrm{T}}$.
		- $(AB)^{\mathrm{T}} = B^{\mathrm{T}}A^{\mathrm{T}}$ 이해의 출발점: $(Ax)^{\mathrm{T}} = x^{\mathrm{T}}A^{\mathrm{T}}$, "$Ax$ 는 $A$ 의 열들의 선형결합, $x^{\mathrm{T}}A^{\mathrm{T}}$ 는 $A^{\mathrm{T}}$ 의 행들의 (같은) 선형결합".
		- $A$ 가 가역이면 $A^{\mathrm{T}}$ 도 가역이다 (규칙 (5)).
	- **내적과 외적, 전치 기호로 다시 쓰기** (p.110)
		- 📌 원문 (p.110): [🔗 PDF 위치](((6a635dea-ea45-4d62-b884-add6072fc4c4)))
		- ![내적과 외적 (p.110)](../assets/2장_p110_내적과_외적.png)
		- **내적** $x^{\mathrm{T}}y$: $(1\times n)(n \times 1) = 1 \times 1$, 수.
		- **외적** $xy^{\mathrm{T}}$: $(n\times 1)(1 \times n) = n \times n$, 행렬 (랭크 1).
		- 응용 예: (일) = 거리와 힘의 내적 $x^{\mathrm{T}}f$, (소모 전력) = 전압강하와 전류의 내적 $e^{\mathrm{T}}y$, (매출) = 수량과 가격의 내적 $q^{\mathrm{T}}p$.
		- **전치의 더 나은 (본질적) 정의**: $A^{\mathrm{T}}$ 는 다음 두 내적을 같게 만드는 행렬이다.
			- $$(Ax)^{\mathrm{T}}y = x^{\mathrm{T}}(A^{\mathrm{T}}y) \qquad (Ax \text{ 와 } y \text{ 의 내적}) = (x \text{ 와 } A^{\mathrm{T}}y \text{ 의 내적})$$
			- 💡 "주대각선 기준 뒤집기"는 계산 규칙일 뿐이고, 이 내적 등식이 $A^{\mathrm{T}}$ 의 수학적 존재 이유다. (p.111 EX2: 미분 $A = \frac{d}{dt}$ 의 전치가 $-\frac{d}{dt}$ 가 되는 부분적분, [[2.5 미분과 유한차분행렬]]의 반대칭행렬과 연결.)
	- **대칭행렬 (symmetric matrix)** $S$ (p.112)
		- 이 책에서는 대칭행렬을 $S$ 로 표기한다.
			- 📌 원문 (p.112): ((6a635e16-6b69-4f07-bce9-1a981454cfa1))
		- **대칭행렬은** $S^{\mathrm{T}} = S$ **를 만족한다**: 모든 $i, j$ 에 대해 $s_{ji} = s_{ij}$.
			- 📌 원문 (정의, p.112): [🔗 PDF 위치](((6a635e1e-2987-4a0d-a55d-b9a350118393)))
			- ![대칭행렬의 정의 (p.112)](../assets/2장_p112_대칭행렬_정의.png)
		- **대칭행렬의 역행렬은 대칭행렬이다**: $(S^{-1})^{\mathrm{T}} = (S^{\mathrm{T}})^{-1} = S^{-1}$.
			- 📌 원문 (p.112): ((6a635e27-6d8a-4134-8b04-8a987d5b6d32))
	- **대칭곱** $A^{\mathrm{T}}A$ **,** $AA^{\mathrm{T}}$ **,** $LDL^{\mathrm{T}}$ (p.112~113)
		- 어떤 (직사각) 행렬 $A$ 든 $S = A^{\mathrm{T}}A$ 는 항상 정사각·대칭이다: $(A^{\mathrm{T}}A)^{\mathrm{T}} = A^{\mathrm{T}}(A^{\mathrm{T}})^{\mathrm{T}} = A^{\mathrm{T}}A$.
		- ⚠️ $AA^{\mathrm{T}}$ 도 대칭이지만 $A^{\mathrm{T}}A$ 와는 (크기부터) 다른 행렬이다. $A$ 가 $m\times n$ 이면 $AA^{\mathrm{T}}$ 는 $m\times m$, $A^{\mathrm{T}}A$ 는 $n\times n$. $m=n$ 이어도 대부분 $A^{\mathrm{T}}A \neq AA^{\mathrm{T}}$.
		- **대칭행렬의** $S = LDL^{\mathrm{T}}$ **분해**: 대칭행렬은 소거가 2배 빠르다 (절반만 작업). $LU$ 분해는 대칭성을 깨지만, 피벗들을 대각행렬 $D$ 로 따로 뽑으면 $U = DL^{\mathrm{T}}$ 가 되어 대칭성이 살아난다.
			- $$S = LDL^{\mathrm{T}} \qquad \text{예: } \begin{bmatrix} 1&2 \\ 2&7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&0 \\ 2&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&2 \\ 0&1 \end{bmatrix}$$
			- 💡 형태 기억법: 왼쪽에 $L$, 가운데 피벗 대각행렬 $D$, 오른쪽에 $L$ 의 전치. 좌우가 서로 전치라서 전체가 자동으로 대칭.
- ### ❓ 스스로 점검
	- 치환행렬의 정확한 형태(성분 배치 규칙)는 무엇이고, 크기 $n$ 에서 몇 개가 존재하는가?
		- 모든 행에 1이 정확히 하나, 모든 열에도 1이 정확히 하나, 나머지는 전부 0 ($I$ 의 행 재배열). 총 $n!$ 개 ($P=I$ 포함).
	- $P^{-1}$ 는 무엇이며, 왜 그런가?
		- $P^{-1} = P^{\mathrm{T}}$. $P$ 의 열들이 서로 직교하는 단위벡터들이라 $P^{\mathrm{T}}P$ 의 대각선은 1, 비대각선은 0이 되기 때문.
	- $x = (x_1, x_2, x_3)$ 을 $(x_2, x_3, x_1)$ 로 바꾸는 치환행렬 $P$ 를 직접 써라. #card
	  id:: 6a654a5b-1566-4287-b201-03fbf7e61e32
		- 1행은 $x_2$ 를 뽑고, 2행은 $x_3$, 3행은 $x_1$ 을 뽑는다: $P = \begin{bmatrix} 0&1&0 \\ 0&0&1 \\ 1&0&0 \end{bmatrix}$.
	- $(AB)^{\mathrm{T}}$ 와 $(AB)^{-1}$ 의 공통 패턴은? #card
	  id:: 6a654a5b-f148-4864-b12f-58c4a02afd67
		- 둘 다 **역순**: $(AB)^{\mathrm{T}} = B^{\mathrm{T}}A^{\mathrm{T}}$, $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$.
	- "주대각선 뒤집기"보다 본질적인 $A^{\mathrm{T}}$ 의 정의는 무엇인가?
		- 모든 $x, y$ 에 대해 $(Ax)^{\mathrm{T}}y = x^{\mathrm{T}}(A^{\mathrm{T}}y)$, "$Ax$ 와 $y$ 의 내적 = $x$ 와 $A^{\mathrm{T}}y$ 의 내적"을 성립시키는 행렬.
	- 아무 직사각행렬 $A$ 에서 대칭행렬을 만드는 두 가지 곱은? 둘은 같은가?
		- $A^{\mathrm{T}}A$ 와 $AA^{\mathrm{T}}$. 둘 다 대칭이지만 크기($n\times n$ vs $m\times m$)부터 다른, 일반적으로 서로 다른 행렬이다.
	- 부분피벗은 왜 하는가? 수학적으로 꼭 필요한 행 교환과 어떻게 다른가?
		- 반올림 오류를 줄이기 위해 같은 열의 가장 큰 수를 피벗으로 선택하는 것 (승수가 전부 1 이하가 됨). 피벗이 0일 때 하는 "필요한" 교환과 달리, 0이 아니어도 **수치 안정성**을 위해 한다.
- ### ✏️ 연습문제 풀이 (솔루션 참고)
	- **문제 1**: $A = \begin{bmatrix} 1&0 \\ 9&3 \end{bmatrix}$ 과 $A = \begin{bmatrix} 1&c \\ c&0 \end{bmatrix}$ 에 대해 $A^{\mathrm{T}}, A^{-1}, (A^{-1})^{\mathrm{T}}, (A^{\mathrm{T}})^{-1}$ 를 구하라.
		- 첫 번째: $A^{\mathrm{T}} = \begin{bmatrix} 1&9 \\ 0&3 \end{bmatrix}$, $A^{-1} = \begin{bmatrix} 1&0 \\ -3&1/3 \end{bmatrix}$, $(A^{-1})^{\mathrm{T}} = (A^{\mathrm{T}})^{-1} = \begin{bmatrix} 1&-3 \\ 0&1/3 \end{bmatrix}$.
		- 두 번째: $A^{\mathrm{T}} = A$ (대칭!), $A^{-1} = \dfrac{1}{c^2}\begin{bmatrix} 0&c \\ c&-1 \end{bmatrix} = (A^{-1})^{\mathrm{T}}$, 대칭행렬의 역행렬은 역시 대칭.
		- 💡 규칙 $(A^{-1})^{\mathrm{T}} = (A^{\mathrm{T}})^{-1}$ 을 손 계산으로 확인하는 기본기 문제.
	- **문제 9**: $P_1 P_2$ 도 치환행렬이다. $P_1P_2 \neq P_2P_1$ 인 예와 $P_3P_4 = P_4P_3$ 인 예를 제시하라.
		- 비가환 예: $P_1 = \begin{bmatrix} 0&1&0 \\ 0&0&1 \\ 1&0&0 \end{bmatrix}$ 류의 순환과 단순 교환을 곱하면 순서에 따라 결과가 다르다 (솔루션: $P_1P_2 = \begin{bmatrix} 0&0&1 \\ 0&1&0 \\ 1&0&0 \end{bmatrix} \neq P_2P_1$).
		- 가환 예: $P_3, P_4$ 가 **서로 다른 두 쌍의 행**을 교환하면 (예: 1↔2 교환과 3↔4 교환) 순서 무관, $P_3P_4 = P_4P_3$.
		- 💡 행렬곱의 비가환성이 치환(순서 재배열)의 비가환성과 정확히 대응한다.
	- **문제 16**: $A = A^{\mathrm{T}}$, $B = B^{\mathrm{T}}$ 일 때 다음 중 대칭행렬은? (a) $A^2 - B^2$ (b) $(A+B)(A-B)$ (c) $ABA$ (d) $ABAB$
		- 대칭: **(a)** $(A^2-B^2)^{\mathrm{T}} = A^2 - B^2$ ✓, **(c)** $(ABA)^{\mathrm{T}} = A^{\mathrm{T}}B^{\mathrm{T}}A^{\mathrm{T}} = ABA$ ✓.
		- 비대칭 (일반적으로): (b) 전치하면 $(A-B)(A+B)$ 가 되는데 $AB \neq BA$ 이면 다르다. (d) 전치는 $BABA$.
		- ⚠️ 대칭행렬끼리의 곱 $AB$ 는 일반적으로 대칭이 **아니다** ($AB = BA$ 일 때만 대칭). 흔한 함정.
	- **문제 18**: 다음 대칭행렬을 $S = LDL^{\mathrm{T}}$ 로 분해하라: (a) $\begin{bmatrix} 1&3 \\ 3&2 \end{bmatrix}$ (b) $\begin{bmatrix} 1&b \\ b&c \end{bmatrix}$ (c) $\begin{bmatrix} 2&-1&0 \\ -1&2&-1 \\ 0&-1&2 \end{bmatrix}$
		- (a) $\begin{bmatrix} 1&3 \\ 3&2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&0 \\ 3&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&-7 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&3 \\ 0&1 \end{bmatrix}$, 피벗 1, $-7$.
		- (b) 피벗은 $1$ 과 $c - b^2$: $L = \begin{bmatrix} 1&0 \\ b&1 \end{bmatrix}$, $D = \begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&c-b^2 \end{bmatrix}$.
		- (c) $L = \begin{bmatrix} 1&& \\ -\frac{1}{2}&1& \\ 0&-\frac{2}{3}&1 \end{bmatrix}$, $D = \begin{bmatrix} 2&& \\ &\frac{3}{2}& \\ &&\frac{4}{3} \end{bmatrix}$, 이 행렬은 [[2.5 미분과 유한차분행렬]]의 $K_3$! 피벗 $2, \frac{3}{2}, \frac{4}{3}$ 이 모두 양수다.
		- 💡 (c)의 피벗 패턴 $\frac{k+1}{k}$ 은 $K_n$ 의 유명한 성질, 2.5절의 "K는 양의 정부호" 와 연결.
	- **문제 19**: 다음 $A$ 의 $PA = LU$ 분해를 구하라: (a) $A = \begin{bmatrix} 0&1&1 \\ 1&0&1 \\ 2&3&4 \end{bmatrix}$ (b) $A = \begin{bmatrix} 1&2&0 \\ 2&4&1 \\ 1&1&1 \end{bmatrix}$
	  id:: 10338c61-8980-4ccf-91ee-adad01aef26a
		- (a) 첫 피벗 자리가 0 → 1행↔2행 교환: $P = \begin{bmatrix} 0&1&0 \\ 1&0&0 \\ 0&0&1 \end{bmatrix}$. 그러면 $PA = \begin{bmatrix} 1&0&1 \\ 0&1&1 \\ 2&3&4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&& \\ 0&1& \\ 2&3&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&0&1 \\ 0&1&1 \\ 0&0&-1 \end{bmatrix}$.
		- (b) 소거 중 두 번째 피벗 자리가 0이 됨 → 2행↔3행 교환: $P = \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 0&0&1 \\ 0&1&0 \end{bmatrix}$, $PA = \begin{bmatrix} 1&2&0 \\ 1&1&1 \\ 2&4&1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&& \\ 1&1& \\ 2&0&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&2&0 \\ 0&-1&1 \\ 0&0&1 \end{bmatrix}$.
		- 💡 (a)는 "시작부터 교환 필요", (b)는 "진행 중에 교환 필요". 두 상황 모두 $P$ 하나로 미리 처리된다는 것이 $PA = LU$ 의 요점.