Logseq/Major Study/pages/2.5 미분과 유한차분행렬.md

deck:: Logseq/전공공부/선형대수학

• 핵심 개념

  • 이 절의 큰 그림, 딱 한 문장이다: 컴퓨터는 미분(극한)을 실행할 수 없으니, 미분을 "빼기"(차분)로 바꾼다. 그러면 미분방정식이 우리가 이미 풀 줄 아는 연립방정식 KU = F 가 되고, 2장의 소거법으로 푼다.
    • 💡 이 절이 어렵게 느껴지는 이유: 미적분과 선형대수가 동시에 나오기 때문. 그런데 실제로 필요한 미적분은 딱 두 개뿐이다. ① 미분 = 기울기, ② 2계도함수 = 휘어짐. 이 두 개만 들고 가면 끝까지 갈 수 있다.
    • 전체 4단계 흐름 지도 (아래 정리가 이 순서 그대로 간다):
      • [1단계] 미분을 차분(두 점의 빼기)으로 근사한다. 전진 / 후진 / 중심 3가지.
      • [2단계] 차분을 한 번 더 차분하면 2계도함수가 되고, 여기서 1, -2, 1 패턴이 태어난다.
      • [3단계] 구간을 격자로 자르고 격자점마다 방정식을 하나씩 세우면 → 행렬 K 가 나타나고, 미분방정식이 \frac{1}{h^2}KU = F 가 된다. 실제로 하나 풀어본다.
      • [4단계] 경계(양 끝)를 고정하느냐 풀어주느냐에 따라 행렬이 K, T, B 세 가지로 갈린다.
  • [1단계] 미분 대신 차분: 왜, 그리고 어떻게
    • 미분의 정의를 다시 보자: \dfrac{dy}{dx} = \lim_{h \to 0} \dfrac{y(x+h) - y(x)}{h}. 컴퓨터는 h \to 0 이라는 극한을 실행할 수 없다. 그래서 타협한다. h 를 0으로 보내지 말고, 작은 수(예: 0.1)로 그냥 두자. 극한 기호를 떼어낸 이 나눗셈이 차분 (difference)이다.
    • 그런데 "두 점을 골라 기울기를 재는" 방법이 3가지 있다:
      • 전진차분 (forward): 오른쪽 점을 쓴다: \dfrac{y(x+h) - y(x)}{h}
      • 후진차분 (backward): 왼쪽 점을 쓴다: \dfrac{y(x) - y(x-h)}{h}
      • 중심차분 (centered): 양옆 두 점끼리 뺀다: \dfrac{y(x+h) - y(x-h)}{2h}
      • ⚠️ 분모 주의: 중심차분만 분모가 2h 다. 사용한 두 점 x-h 와 x+h 사이의 거리가 2h 이기 때문.
    • 🔢 숫자로 직접 재보기: y = x^2, x = 1 (참값 y'(1) = 2), h = 0.1:
      • 전진: \dfrac{1.1^2 - 1^2}{0.1} = \dfrac{0.21}{0.1} = 2.1 → 오차 +0.1
      • 후진: \dfrac{1^2 - 0.9^2}{0.1} = \dfrac{0.19}{0.1} = 1.9 → 오차 -0.1
      • 중심: \dfrac{1.1^2 - 0.9^2}{0.2} = \dfrac{0.4}{0.2} = 2.0 → 오차 0!
      • 💡 보이는가? 전진은 +0.1, 후진은 -0.1, 정확히 반대 방향으로 같은 크기만큼 틀렸다. 중심차분은 이 둘의 평균이므로 오차가 서로 지워진다. 중심차분이 좋은 이유는 이게 전부다.
    • 
      • 그림: 전진(파랑)은 너무 가파르고 후진(주황)은 너무 완만한데, 둘을 평균한 중심(초록)은 접선(검정 점선)과 평행하다.
    • 오차에 등급 매기기, 테일러 급수는 "오차 측정기"다
      • 위의 "오차 ±0.1"이 우연이 아님을 보장해 주는 도구가 테일러 급수 (Taylor series)다. 함수를 x 근처에서 전개하면:
        • y(x+h) = y(x) + h\,y'(x) + \frac{1}{2}h^2 y''(x) + \frac{1}{6}h^3 y'''(x) + \cdots
        • (일반항은 \frac{h^n}{n!}\,y^{(n)}(x). 책 p.118의 "차분에 관한 3가지 사실"이 이 전개의 앞부분이다: ❶ \Delta y \approx h\,y', ❷ 더 정밀하게 \Delta y \approx h\,y' + \frac{1}{2}h^2 y'', ❸ 정확하게는 \Delta y = \int_x^{x+h} y'\,dx.)
      • 이 전개를 세 차분 공식에 대입하면 (연습문제 8이 정확히 이 계산):
        • 전진차분 = y' + \frac{1}{2}h\,y'' + \cdots → 오차가 h 에 비례 = 1차 정확도
        • 후진차분 = y' - \frac{1}{2}h\,y'' + \cdots → 역시 1차 정확도 (부호만 반대)
        • 중심차분 = y' + \frac{1}{6}h^2 y''' + \cdots → \frac{1}{2}h\,y'' 항이 좌우 대칭으로 상쇄 = 2차 정확도
      • 💡 1차 vs 2차의 실감: h 를 10배 줄이면 오차가 1차는 10배, 2차는 100배 줄어든다. h = 0.01 이면 대략 1% vs 0.01%, 같은 계산량으로 100배 이득.
      • (테일러 급수 자체에 대한 참고: y = e^x 는 어디서나 수렴하지만, y = \frac{1}{1-x} 는 |x| < 1 에서만 수렴한다. x = 1 이 극점 (pole)이라는 특이점이라서.)
  • [2단계] 2계도함수의 차분: 1, -2, 1 패턴의 탄생
    • 2계도함수는 "기울기의 기울기"다. 그러니 차분을 한 번 더 차분하면 된다:
      • 오른쪽 구간의 기울기: \dfrac{y(x+h) - y(x)}{h} / 왼쪽 구간의 기울기: \dfrac{y(x) - y(x-h)}{h}
      • (오른쪽 기울기 − 왼쪽 기울기) ÷ h 를 계산하면:
        • \frac{d^2y}{dx^2} \approx \frac{y(x+h) - 2y(x) + y(x-h)}{h^2}
      • 분자의 계수 1, -2, 1, 이 세 숫자가 이 절의 행렬 K, T, B 전부의 씨앗이다. 가운데가 -2 인 이유: y(x) 가 오른쪽 차분에서 한 번, 왼쪽 차분에서 한 번, 총 두 번 빠지기 때문.
    • 🔢 숫자 확인, y = x^2 (y'' = 2), x = 1, h = 0.1: \dfrac{1.21 - 2 \times 1 + 0.81}{0.01} = \dfrac{0.02}{0.01} = 2, 정확히 2!
      • (이 근사는 중심차분처럼 좌우 대칭이라 3차 다항식까지는 오차가 아예 0이고, 일반 함수에서는 2차 정확도다.)
    • 💡 또 하나의 직관: 2계도함수 = 양옆 평균과 자신의 차이. 분자를 다시 묶으면 y(x+h) + y(x-h) - 2y(x) = 2\left[\frac{y(x+h) + y(x-h)}{2} - y(x)\right], "양옆의 평균이 나보다 크면 위로 휘어 있다 (y'' > 0)".
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    • ⚠️ 1계와 2계는 서로 다른 정보다: "오르막인가"(1계) vs "위로 휘는가"(2계). y = x^2 은 x < 0 에서 내리막이지만 어디서나 위로 휜다 (y'' = 2 > 0).
  • [3단계] 미분방정식을 격자 위에서 풀기: \frac{1}{h^2}KU = F 의 탄생
    • 풀고 싶은 문제: -\dfrac{d^2u}{dx^2} = f(x) (0 \le x \le 1), 경계 조건 u(0) = 0,\ u(1) = 0 (양 끝을 벽에 고정).
      • 💡 왜 -u'' 인가 (마이너스가 붙는 이유): 막대의 처짐, 열 분포 같은 물리 문제가 원래 이 부호로 나오기 때문. 이 마이너스 덕분에 행렬에서는 1, -2, 1 이 뒤집혀 -1, 2, -1 패턴이 된다.
    • 격자 만들기: 구간 [0,1] 을 N+1 등분 → 간격 h = \frac{1}{N+1}. 내부 격자점 N 개에서의 값 u_1, \cdots, u_N 이 미지수다. 양 끝 u_0, u_{N+1} 은 미지수가 아니다: 경계 조건으로 이미 0이라고 알고 있다.
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    • 격자점마다 방정식 하나씩 세운다 (N = 4, h = \frac{1}{5} 로 네 개를 전부 써 보면):
      • x_1: \dfrac{-u_0 + 2u_1 - u_2}{h^2} = f(h), 그런데 u_0 = 0 → \dfrac{2u_1 - u_2}{h^2} = f(h)
      • x_2: \dfrac{-u_1 + 2u_2 - u_3}{h^2} = f(2h)
      • x_3: \dfrac{-u_2 + 2u_3 - u_4}{h^2} = f(3h)
      • x_4: \dfrac{-u_3 + 2u_4 - u_5}{h^2} = f(4h), 그런데 u_5 = 0 → \dfrac{-u_3 + 2u_4}{h^2} = f(4h)
    • 이 4개를 세로로 쌓아 행렬 하나로 포장하면 K 가 "저절로" 나타난다:
      • \frac{1}{h^2}KU = F: \qquad \frac{1}{h^2}\begin{bmatrix} 2&-1&0&0 \\ -1&2&-1&0 \\ 0&-1&2&-1 \\ 0&0&-1&2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} u_1\\u_2\\u_3\\u_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} f(h)\\f(2h)\\f(3h)\\f(4h) \end{bmatrix}
      • ⚠️ 첫 행이 [\,2\ \ {-1}\ \ 0\ \ 0\,] 으로 "잘려" 있는 이유가 이제 보인다: 원래 패턴 -u_0 + 2u_1 - u_2 에서 경계 조건 u_0 = 0 이 첫 항을 지운 것. 행렬의 첫 행과 끝 행은 경계 조건이 새겨지는 자리다. (이 한 문장이 [4단계]의 K, T, B 를 이해하는 열쇠다.)
    • 🔢 끝까지 풀어보기: f(x) = 1 (모든 점에 같은 하중), N = 4:
      • 이 문제의 참 해는 u(x) = \frac{x(1-x)}{2} 다. (검산: 두 번 미분하면 u'' = -1, 그러니 -u'' = 1 ✓. 양 끝에서 0 ✓.)
      • 행렬방정식은 KU = h^2 F = (0.04,\ 0.04,\ 0.04,\ 0.04). 소거법으로 풀면:
        • U = (u_1, u_2, u_3, u_4) = (0.08,\ 0.12,\ 0.12,\ 0.08)
      • 참 해와 비교: u(0.2) = \frac{0.2 \times 0.8}{2} = 0.08 ✓, u(0.4) = \frac{0.4 \times 0.6}{2} = 0.12 ✓, 완벽히 일치! (참 해가 2차 다항식이라 오차가 0인 특수한 경우. 일반적인 f 에서는 h^2 에 비례하는 작은 오차가 남고, 격자를 촘촘히 할수록 빠르게 줄어든다.)
      • 
      • 💡 이것이 이 절의 클라이맥스다: 방금 미분방정식을 소거법으로 풀었다. 컴퓨터가 실제 공학·물리 문제를 푸는 방식이 정확히 이것이고, 그래서 소거법이 "계산 과학에서 가장 비용이 큰 연산"인 것이다.
  • K_n 의 정확한 형태 🧩 (고정–고정 경계의 2차차분행렬)
    • 주대각선은 전부 2, 그 바로 위·아래 대각선은 전부 −1, 나머지는 전부 0 (삼중대각):
      • K_{ii} = 2, \qquad K_{i,i+1} = K_{i+1,i} = -1, \qquad \text{나머지 } 0
    • 📌 원문 (식 (8) K_4, p.122): 🔗 PDF 위치
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  • K 의 5가지 성질: 눈에 보이는 3가지 + 계산해야 보이는 2가지
    • ❶ 대칭: K^{\mathrm{T}} = K. (양옆을 공평하게 쓰는 1, -2, 1 패턴이니 당연하다.)
    • ❷ 삼중대각·희소 (sparse): 0 아닌 성분이 대각선 3줄뿐. N = 100 이면 0 아닌 성분은 100 + 99 + 99 = 298 개, 전체 10,000개의 3%. 덕분에 소거가 매우 빠르다.
    • ❸ 대각선을 따라 값이 일정: 모든 행이 같은 패턴의 평행이동이다. 미분방정식의 계수가 상수라서. 이런 행렬을 퇴플리츠 행렬 (Toeplitz matrix), 신호처리에서는 필터·합성곱 행렬이라 부른다. MATLAB: K = toeplitz([2 -1 0 0]).
    • ❹ 가역: K_4^{-1} = \frac{1}{5}\begin{bmatrix} 4&3&2&1 \\ 3&6&4&2 \\ 2&4&6&3 \\ 1&2&3&4 \end{bmatrix}.
      • ⚠️ 그런데 K^{-1} 는 모든 성분이 0이 아니다: 희소성이 완전히 깨진다. 그래서 역행렬을 만들지 않고 KU = F 를 소거법으로 푼다 (MATLAB U = K\F): 2.3절의 교훈 그대로.
    • ❺ 양의 정부호 (positive definite): 피벗이 전부 양수: 2, \frac{3}{2}, \frac{4}{3}, \frac{5}{4}, \cdots (2.4 치환행렬과 전치행렬 연습문제 18(c)에서 직접 계산했다). 6장에서 정식으로 배울 개념의 예고편.
      • 피벗으로 읽는 분류: 가역 = 0 아닌 피벗 n 개 / 대칭 + 양의 정부호 = 양의 피벗 n 개 / 대칭 + 양의 준정부호(semidefinite) = 음이 아닌 피벗 n 개.
  • [4단계] 경계 조건이 행렬을 바꾼다: K, T, B 삼형제 🧩
    • [3단계]의 열쇠 문장을 다시: 첫 행과 끝 행은 경계 조건이 새겨지는 자리. 경계를 "고정"에서 "자유"로 바꾸면 정확히 그 자리(대각선 양 끝)만 바뀐다.
    • 물리 그림: 스프링으로 연결된 질량들. 끝이 벽에 묶여 있으면 "고정" (fixed, u = 0), 허공에 떠 있으면 "자유" (free, \frac{du}{dx} = 0, 기울기 0).
      • 
        • (p.126, 그림 2.3)
    • 왜 자유 경계는 대각 성분을 2에서 1로 바꾸는가: 직접 유도해 보면 한 줄이다:
      • 자유 경계 조건 "기울기 0"의 차분 번역: \dfrac{u_1 - u_0}{h} = 0, 즉 u_0 = u_1 (경계점이 바로 안쪽 점을 그대로 따라온다).
      • 이를 1번 점의 방정식에 대입: -u_0 + 2u_1 - u_2 = -u_1 + 2u_1 - u_2 = u_1 - u_2.
      • 그래서 첫 행이 [\,2\ \ {-1}\ \cdots\,] 대신 [\,1\ \ {-1}\ \cdots\,] 이 된다. 요약: 고정 경계는 항을 지우고(2 유지), 자유 경계는 항을 흡수시킨다(2가 1로).
    • 세 행렬의 형태 비교 (셋 다 삼중대각·대칭, 비대각 -1, 다른 곳은 오직 대각선의 양 끝):
      • K_n (고정–고정): 대각 (2, 2, \cdots, 2, 2), 가역, 양의 정부호
      • T_n (자유–고정): 대각 (1, 2, \cdots, 2, 2), 가역, 양의 정부호
      • B_n (자유–자유): 대각 (1, 2, \cdots, 2, 1), 비가역! 양의 준정부호
      • T_4 = \begin{bmatrix} \mathbf{1}&-1&0&0 \\ -1&2&-1&0 \\ 0&-1&2&-1 \\ 0&0&-1&2 \end{bmatrix} \qquad B_3 = \begin{bmatrix} \mathbf{1}&-1&0 \\ -1&2&-1 \\ 0&-1&\mathbf{1} \end{bmatrix}
      • 📌 원문 (식 (10) T_4, p.125): 🔗 PDF 위치
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    • T 의 아름다운 분해: T 의 피벗은 전부 1이라 T = LU = LL^{\mathrm{T}} (L = 후진차분행렬)로 깔끔하게 분해되고, 역행렬들은 1로 채워진 삼각형·사각형 모양이 된다:
      • 📌 원문 (식 (11) T = LU, p.125): 🔗 PDF 위치
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      • 📌 원문 (식 (12) 역행렬들, p.125): 🔗 PDF 위치
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    • B 가 특이행렬(비가역)인 이유: 두 관점이 같은 말을 한다
      • 물리적: 양 끝이 다 자유 = 어디에도 묶여 있지 않다 → 전체를 통째로 옆으로 밀어도 스프링이 하나도 안 늘어난다(아무 저항력이 안 생긴다). 위치가 유일하게 정해지지 않는다 = 해가 유일하지 않다 = 특이행렬.
      • 대수적: B 는 모든 행의 합이 0 → "통째로 밀기"에 해당하는 x = (1, 1, \cdots, 1) 에 대해 Bx = 0. 영벡터가 아닌 해가 있으니 비가역 (2.2절 특징 ④). 모든 상수벡터 (c, c, \cdots, c) 가 해이고, 이들이 B 의 영공간 (null space)을 이룬다.
        • 증명 한 줄: B 가 가역이라면 Bx = 0 양변에 B^{-1} 를 곱해 x = 0 이어야 하는데, x = (1, \cdots, 1) \ne 0, 모순.
      • 💡 K, T 는 벽이 하나라도 있어서 "밀면 스프링이 늘어난다" → 위치가 고정된다 → 가역. 그림 2.3에서 무게 W 를 달면 K_3, T_3 는 균형 위치가 정해지지만, B_3 는 지지대가 없어 균형 해가 없다 (p.126 식 (14)).
  • 덧붙임: 차분행렬들의 가족 관계 (연습문제 15~16의 관점, 가볍게 봐 두기)
    • 1계 차분도 행렬로 쓸 수 있다: 전진차분행렬(각 행이 -1, 1 패턴), 후진차분행렬(대각 1, 그 아래 -1).
    • 2차차분행렬 K, T, B 는 모두 1계 차분행렬 A 로 만든 A^{\mathrm{T}}A 꼴이다. 2.4 치환행렬과 전치행렬의 "A^{\mathrm{T}}A 는 항상 대칭" 원리로 셋의 대칭성이 자동으로 설명된다.
    • 💡 연속 세계와의 평행: -\dfrac{d^2}{dx^2} = \left(-\dfrac{d}{dx}\right)\left(\dfrac{d}{dx}\right) 이고, \dfrac{d}{dx} 의 "전치"가 -\dfrac{d}{dx} (p.111 EX2의 부분적분)라는 사실의 이산 버전.

• ❓ 스스로 점검

  • 전진·후진·중심차분의 식을 쓰고, y = x^2, x = 1, h = 0.1 에서 각각 계산해 보라. 어떤 패턴이 보이는가? #card id:: 6a654a5b-c2b2-4425-9356-3d449eeeba54
    • 전진 \frac{y(x+h)-y(x)}{h} = 2.1, 후진 \frac{y(x)-y(x-h)}{h} = 1.9, 중심 \frac{y(x+h)-y(x-h)}{2h} = 2.0 (참값 2). 전진과 후진이 반대 방향으로 같은 크기만큼 틀리고, 그 평균인 중심은 오차가 상쇄된다.
  • 중심차분만 2차 정확도인 이유를 테일러 전개로 설명하라.
    • 전진차분의 오차 첫 항은 +\frac{1}{2}h\,y'', 후진은 -\frac{1}{2}h\,y''. 중심차분은 둘의 평균이라 이 항이 상쇄되고, 남는 오차의 첫 항이 \frac{1}{6}h^2 y''', h^2 에 비례하므로 2차.
  • 2계도함수의 차분 근사식을 쓰고, 계수 1, -2, 1 이 어디서 나오는지 두 가지 방식으로 설명하라.
    • \frac{y(x+h) - 2y(x) + y(x-h)}{h^2}. ① 차분의 차분: (전진차분 − 후진차분) ÷ h 에서 y(x) 가 두 번 빠져 -2. ② 양옆 평균과 자신의 차이 × \frac{2}{h^2}.
  • -u'' = f 가 어떻게 \frac{1}{h^2}KU = F 가 되는가? U, F 의 성분은 무엇이고, 첫 행이 [2\ {-1}\ 0\ 0] 으로 잘린 이유는?
    • 구간을 h = \frac{1}{N+1} 격자로 나누고 내부 격자점마다 -u'' 를 \frac{-u_{i-1}+2u_i-u_{i+1}}{h^2} 로 근사해 방정식 N 개를 쌓는다. U = (u_1, \cdots, u_N) 은 해의 근삿값, F = (f(h), \cdots, f(Nh)). 첫 행이 잘린 이유는 경계 조건 u_0 = 0 이 -u_0 항을 지웠기 때문.
  • K_4 를 아무것도 안 보고 써라. K 의 5가지 성질은? 그중 계산해야만 보이는 것은?
    • 대각 2, 양옆 대각 -1, 나머지 0. 성질: 대칭 / 삼중대각(희소) / 대각선 일정(퇴플리츠) / 가역 / 양의 정부호. 뒤의 둘(가역·양의 정부호)은 피벗을 계산해야 보인다.
  • K, T, B 는 정확히 어디가 다른가? 자유 경계가 대각 성분을 1로 만드는 이유를 유도하라.
    • 대각선 양 끝만 다르다: K 는 (2,\cdots,2), T 는 (1,2,\cdots,2), B 는 (1,2,\cdots,2,1). 자유 경계는 u_0 = u_1 (기울기 0)이므로 -u_0 + 2u_1 - u_2 가 u_1 - u_2 로 흡수되어 대각이 1이 된다.
  • B 가 특이행렬인 이유를 물리적·대수적으로 각각 설명하라.
    • 물리: 양 끝이 자유라 전체를 평행이동해도 스프링이 안 늘어난다 → 위치가 유일하게 결정되지 않음. 대수: 모든 행의 합이 0 → x = (1, \cdots, 1) 이 Bx = 0 의 영벡터 아닌 해 → 비가역. 영공간은 모든 상수벡터.

• ✏️ 연습문제 풀이 (솔루션 참고)

  • 문제 1: y(x) = x^3, \Delta y = (x+h)^3 - x^3 의 1차항과 2차항을 구하고 h\frac{dy}{dx}, \frac{1}{2}h^2\frac{d^2y}{dx^2} 와 일치함을 보여라.
    • 전개: (x+h)^3 - x^3 = 3x^2h + 3xh^2 + h^3.
    • 1차항 3x^2 h = h \cdot (3x^2) = h\frac{dy}{dx} ✓, 2차항 3xh^2 = \frac{1}{2}h^2 \cdot (6x) = \frac{1}{2}h^2\frac{d^2y}{dx^2} ✓.
    • 💡 테일러 급수의 처음 두 항이 "저절로" 나오는 것을 다항식으로 직접 확인, 차분↔미분 연결의 가장 구체적인 체험.
  • 문제 7: y(x) = x^3, h = \frac{1}{10}, x = 0 에서 중심·전진·후진차분으로 \frac{dy}{dx} 를 근사하라. (참값: y'(0) = 0)
    • 중심: \dfrac{(0.1)^3 - (-0.1)^3}{0.2} = \dfrac{0.002}{0.2} = \dfrac{1}{100}. 전진: \dfrac{(0.1)^3 - 0}{0.1} = \dfrac{1}{100}. 후진: \dfrac{0 - (-0.1)^3}{0.1} = \dfrac{1}{100}.
    • 참값 0에 대해 셋 다 오차 \frac{1}{100}, 우연히 모두 같다 (x = 0 에서 y'' = 0 이라 1차 오차항이 사라졌기 때문).
    • 💡 이어지는 문제 8이 진짜 핵심: y(h) \approx y(0) + h y'(0) + \frac{1}{2}h^2 y''(0) 을 세 공식에 대입하면, 중심차분은 h^2 항까지 정확하고, 전진은 +\frac{1}{2}h\,y''(0), 후진은 -\frac{1}{2}h\,y''(0) 의 오차를 갖는다. "2차 vs 1차 정확도"의 증명이 이 한 줄이다.
  • 문제 16: D_4 = \begin{bmatrix} 1&-1&0&0 \\ 0&1&-1&0 \\ 0&0&1&-1 \\ -1&0&0&1 \end{bmatrix} 일 때 D_4 D_4^{\mathrm{T}} 가 2차차분행렬임을 보여라. D_4 는 가역인가?
    • D_4 D_4^{\mathrm{T}} = \begin{bmatrix} 2&-1&0&-1 \\ -1&2&-1&0 \\ 0&-1&2&-1 \\ -1&0&-1&2 \end{bmatrix} = C_4, 대각 2, 옆 대각 -1 에 더해 모서리 (1,4), (4,1) 에도 -1 이 있는 주기적(순환) 2차차분행렬.
    • C_4 는 비가역: 모든 행의 합이 0 → x = (1,1,1,1) 이 C_4 x = 0. (D_4 자체도 행 합이 0이라 비가역.)
    • 💡 K, T, B 에 이어 네 번째 경계 조건, 주기 경계 (원형으로 연결). 이것도 B 처럼 "묶인 곳이 없어서" 특이행렬이 된다.
  • 문제 18: 1차 중심차분행렬은 가역이 아닐 수 있다. \Delta_3 = \begin{bmatrix} 0&1&0 \\ -1&0&1 \\ 0&-1&0 \end{bmatrix} 과 \Delta_4 로 확인하라.
    • \Delta_3: 3열 = -( 1열 ), 열이 선형종속이라 비가역. (\Delta_3 x = 0 의 해: x = (1, 0, 1).)
    • \Delta_4 (4×4 중심차분행렬)는 4개의 열이 선형독립, 가역.
    • 💡 중심차분행렬은 홀수 크기면 특이, 짝수 크기면 가역: 크기의 홀짝이 가역성을 가르는 흥미로운 예. (또한 \Delta^{\mathrm{T}} = -\Delta 인 반대칭행렬: 미분 \frac{d}{dx} 의 전치가 -\frac{d}{dx} 라는 p.111 EX2의 이산 버전.)