Logseq/Major Study/pages/2.5 미분과 유한차분행렬.md

deck:: Logseq/전공공부/선형대수학

- ### 핵심 개념
	- **이 절의 큰 그림, 딱 한 문장이다**: 컴퓨터는 미분(극한)을 실행할 수 없으니, **미분을 "빼기"(차분)로 바꾼다.** 그러면 미분방정식이 우리가 이미 풀 줄 아는 연립방정식 $KU = F$ 가 되고, 2장의 소거법으로 푼다.
		- 💡 이 절이 어렵게 느껴지는 이유: 미적분과 선형대수가 동시에 나오기 때문. 그런데 실제로 필요한 미적분은 딱 두 개뿐이다. ① 미분 = 기울기, ② 2계도함수 = 휘어짐. 이 두 개만 들고 가면 끝까지 갈 수 있다.
		- 전체 4단계 흐름 지도 (아래 정리가 이 순서 그대로 간다):
			- **[1단계]** 미분을 **차분**(두 점의 빼기)으로 근사한다. 전진 / 후진 / 중심 3가지.
			- **[2단계]** 차분을 한 번 더 차분하면 2계도함수가 되고, 여기서 $1, -2, 1$ 패턴이 태어난다.
			- **[3단계]** 구간을 격자로 자르고 격자점마다 방정식을 하나씩 세우면 → 행렬 $K$ 가 나타나고, 미분방정식이 $\frac{1}{h^2}KU = F$ 가 된다. 실제로 하나 풀어본다.
			- **[4단계]** 경계(양 끝)를 고정하느냐 풀어주느냐에 따라 행렬이 $K, T, B$ 세 가지로 갈린다.
	- **[1단계] 미분 대신 차분: 왜, 그리고 어떻게**
		- 미분의 정의를 다시 보자: $\dfrac{dy}{dx} = \lim_{h \to 0} \dfrac{y(x+h) - y(x)}{h}$. 컴퓨터는 $h \to 0$ 이라는 **극한을 실행할 수 없다.** 그래서 타협한다. $h$ **를 0으로 보내지 말고, 작은 수(예: 0.1)로 그냥 두자.** 극한 기호를 떼어낸 이 나눗셈이 **차분** (difference)이다.
		- 그런데 "두 점을 골라 기울기를 재는" 방법이 3가지 있다:
			- **전진차분** (forward): 오른쪽 점을 쓴다: $\dfrac{y(x+h) - y(x)}{h}$
			- **후진차분** (backward): 왼쪽 점을 쓴다: $\dfrac{y(x) - y(x-h)}{h}$
			- **중심차분** (centered): 양옆 두 점끼리 뺀다: $\dfrac{y(x+h) - y(x-h)}{2h}$
			- ⚠️ 분모 주의: 중심차분만 분모가 $2h$ 다. 사용한 두 점 $x-h$ 와 $x+h$ 사이의 거리가 $2h$ 이기 때문.
		- 🔢 **숫자로 직접 재보기**: $y = x^2$, $x = 1$ (참값 $y'(1) = 2$), $h = 0.1$:
			- 전진: $\dfrac{1.1^2 - 1^2}{0.1} = \dfrac{0.21}{0.1} = 2.1$ → 오차 $+0.1$
			- 후진: $\dfrac{1^2 - 0.9^2}{0.1} = \dfrac{0.19}{0.1} = 1.9$ → 오차 $-0.1$
			- 중심: $\dfrac{1.1^2 - 0.9^2}{0.2} = \dfrac{0.4}{0.2} = 2.0$ → **오차 0!**
			- 💡 보이는가? 전진은 $+0.1$, 후진은 $-0.1$, **정확히 반대 방향으로 같은 크기만큼 틀렸다.** 중심차분은 이 둘의 평균이므로 오차가 서로 지워진다. 중심차분이 좋은 이유는 이게 전부다.
		- ![전진·후진·중심차분 비교 (직접 그린 그림)](../assets/2장_2.5_차분_세가지.png)
			- 그림: 전진(파랑)은 너무 가파르고 후진(주황)은 너무 완만한데, 둘을 평균한 중심(초록)은 접선(검정 점선)과 **평행**하다.
		- **오차에 등급 매기기, 테일러 급수는 "오차 측정기"다**
			- 위의 "오차 ±0.1"이 우연이 아님을 보장해 주는 도구가 **테일러 급수** (Taylor series)다. 함수를 $x$ 근처에서 전개하면:
				- $$y(x+h) = y(x) + h\,y'(x) + \frac{1}{2}h^2 y''(x) + \frac{1}{6}h^3 y'''(x) + \cdots$$
				- (일반항은 $\frac{h^n}{n!}\,y^{(n)}(x)$. 책 p.118의 "차분에 관한 3가지 사실"이 이 전개의 앞부분이다: ❶ $\Delta y \approx h\,y'$, ❷ 더 정밀하게 $\Delta y \approx h\,y' + \frac{1}{2}h^2 y''$, ❸ 정확하게는 $\Delta y = \int_x^{x+h} y'\,dx$.)
			- 이 전개를 세 차분 공식에 대입하면 (연습문제 8이 정확히 이 계산):
				- 전진차분 $= y' + \frac{1}{2}h\,y'' + \cdots$ → 오차가 $h$ 에 비례 = **1차 정확도**
				- 후진차분 $= y' - \frac{1}{2}h\,y'' + \cdots$ → 역시 **1차 정확도** (부호만 반대)
				- 중심차분 $= y' + \frac{1}{6}h^2 y''' + \cdots$ → $\frac{1}{2}h\,y''$ 항이 좌우 대칭으로 **상쇄** = **2차 정확도**
			- 💡 1차 vs 2차의 실감: $h$ 를 10배 줄이면 오차가 1차는 10배, 2차는 **100배** 줄어든다. $h = 0.01$ 이면 대략 1% vs 0.01%, 같은 계산량으로 100배 이득.
			- (테일러 급수 자체에 대한 참고: $y = e^x$ 는 어디서나 수렴하지만, $y = \frac{1}{1-x}$ 는 $|x| < 1$ 에서만 수렴한다. $x = 1$ 이 **극점** (pole)이라는 특이점이라서.)
	- **[2단계] 2계도함수의 차분:** $1, -2, 1$ **패턴의 탄생**
		- 2계도함수는 "기울기의 기울기"다. 그러니 **차분을 한 번 더 차분하면 된다**:
			- 오른쪽 구간의 기울기: $\dfrac{y(x+h) - y(x)}{h}$ / 왼쪽 구간의 기울기: $\dfrac{y(x) - y(x-h)}{h}$
			- (오른쪽 기울기 − 왼쪽 기울기) ÷ $h$ 를 계산하면:
				- $$\frac{d^2y}{dx^2} \approx \frac{y(x+h) - 2y(x) + y(x-h)}{h^2}$$
			- 분자의 계수 $1, -2, 1$, **이 세 숫자가 이 절의 행렬** $K, T, B$ **전부의 씨앗이다.** 가운데가 $-2$ 인 이유: $y(x)$ 가 오른쪽 차분에서 한 번, 왼쪽 차분에서 한 번, 총 두 번 빠지기 때문.
		- 🔢 숫자 확인, $y = x^2$ ($y'' = 2$), $x = 1$, $h = 0.1$: $\dfrac{1.21 - 2 \times 1 + 0.81}{0.01} = \dfrac{0.02}{0.01} = 2$, **정확히 2!**
			- (이 근사는 중심차분처럼 좌우 대칭이라 3차 다항식까지는 오차가 아예 0이고, 일반 함수에서는 2차 정확도다.)
		- 💡 또 하나의 직관: **2계도함수 = 양옆 평균과 자신의 차이.** 분자를 다시 묶으면 $y(x+h) + y(x-h) - 2y(x) = 2\left[\frac{y(x+h) + y(x-h)}{2} - y(x)\right]$, "양옆의 평균이 나보다 크면 위로 휘어 있다 ($y'' > 0$)".
		- ![2계도함수 = 양옆 평균과 자신의 차이 (직접 그린 그림)](../assets/2장_2.5_이차차분_직관.png)
		- ⚠️ 1계와 2계는 서로 다른 정보다: "오르막인가"(1계) vs "위로 휘는가"(2계). $y = x^2$ 은 $x < 0$ 에서 내리막이지만 어디서나 위로 휜다 ($y'' = 2 > 0$).
	- **[3단계] 미분방정식을 격자 위에서 풀기:** $\frac{1}{h^2}KU = F$ **의 탄생**
		- 풀고 싶은 문제: $-\dfrac{d^2u}{dx^2} = f(x)$ ($0 \le x \le 1$), **경계 조건** $u(0) = 0,\ u(1) = 0$ (양 끝을 벽에 고정).
			- 💡 왜 $-u''$ 인가 (마이너스가 붙는 이유): 막대의 처짐, 열 분포 같은 물리 문제가 원래 이 부호로 나오기 때문. 이 마이너스 덕분에 행렬에서는 $1, -2, 1$ 이 뒤집혀 $-1, 2, -1$ 패턴이 된다.
		- **격자 만들기**: 구간 $[0,1]$ 을 $N+1$ 등분 → 간격 $h = \frac{1}{N+1}$. 내부 격자점 $N$ 개에서의 값 $u_1, \cdots, u_N$ 이 **미지수**다. 양 끝 $u_0, u_{N+1}$ 은 미지수가 **아니다**: 경계 조건으로 이미 0이라고 알고 있다.
		- ![격자와 경계 조건, N=4 (직접 그린 그림)](../assets/2장_2.5_격자_경계조건.png)
		- **격자점마다 방정식 하나씩 세운다** ($N = 4$, $h = \frac{1}{5}$ 로 네 개를 전부 써 보면):
			- $x_1$: $\dfrac{-u_0 + 2u_1 - u_2}{h^2} = f(h)$, 그런데 $u_0 = 0$ → $\dfrac{2u_1 - u_2}{h^2} = f(h)$
			- $x_2$: $\dfrac{-u_1 + 2u_2 - u_3}{h^2} = f(2h)$
			- $x_3$: $\dfrac{-u_2 + 2u_3 - u_4}{h^2} = f(3h)$
			- $x_4$: $\dfrac{-u_3 + 2u_4 - u_5}{h^2} = f(4h)$, 그런데 $u_5 = 0$ → $\dfrac{-u_3 + 2u_4}{h^2} = f(4h)$
		- 이 4개를 세로로 쌓아 행렬 하나로 포장하면 $K$ **가 "저절로" 나타난다**:
			- $$\frac{1}{h^2}KU = F: \qquad \frac{1}{h^2}\begin{bmatrix} 2&-1&0&0 \\ -1&2&-1&0 \\ 0&-1&2&-1 \\ 0&0&-1&2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} u_1\\u_2\\u_3\\u_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} f(h)\\f(2h)\\f(3h)\\f(4h) \end{bmatrix}$$
			- ⚠️ 첫 행이 $[\,2\ \ {-1}\ \ 0\ \ 0\,]$ 으로 "잘려" 있는 이유가 이제 보인다: 원래 패턴 $-u_0 + 2u_1 - u_2$ 에서 경계 조건 $u_0 = 0$ 이 첫 항을 지운 것. **행렬의 첫 행과 끝 행은 경계 조건이 새겨지는 자리다.** (이 한 문장이 [4단계]의 $K, T, B$ 를 이해하는 열쇠다.)
		- 🔢 **끝까지 풀어보기**: $f(x) = 1$ (모든 점에 같은 하중), $N = 4$:
			- 이 문제의 참 해는 $u(x) = \frac{x(1-x)}{2}$ 다. (검산: 두 번 미분하면 $u'' = -1$, 그러니 $-u'' = 1$ ✓. 양 끝에서 0 ✓.)
			- 행렬방정식은 $KU = h^2 F = (0.04,\ 0.04,\ 0.04,\ 0.04)$. 소거법으로 풀면:
				- $$U = (u_1, u_2, u_3, u_4) = (0.08,\ 0.12,\ 0.12,\ 0.08)$$
			- 참 해와 비교: $u(0.2) = \frac{0.2 \times 0.8}{2} = 0.08$ ✓, $u(0.4) = \frac{0.4 \times 0.6}{2} = 0.12$ ✓, **완벽히 일치!** (참 해가 2차 다항식이라 오차가 0인 특수한 경우. 일반적인 $f$ 에서는 $h^2$ 에 비례하는 작은 오차가 남고, 격자를 촘촘히 할수록 빠르게 줄어든다.)
			- ![행렬로 푼 해와 참 해의 비교 (직접 그린 그림)](../assets/2장_2.5_예제_해_비교.png)
			- 💡 이것이 이 절의 클라이맥스다: **방금 미분방정식을 소거법으로 풀었다.** 컴퓨터가 실제 공학·물리 문제를 푸는 방식이 정확히 이것이고, 그래서 소거법이 "계산 과학에서 가장 비용이 큰 연산"인 것이다.
	- $K_n$ **의 정확한 형태** 🧩 (고정–고정 경계의 2차차분행렬)
		- **주대각선은 전부 2, 그 바로 위·아래 대각선은 전부 −1, 나머지는 전부 0** (삼중대각):
			- $$K_{ii} = 2, \qquad K_{i,i+1} = K_{i+1,i} = -1, \qquad \text{나머지 } 0$$
		- 📌 원문 (식 (8) $K_4$, p.122): [🔗 PDF 위치](((6a63655a-721b-4fd9-9d4e-104ea606096c)))
			- ![고정된 끝점이 있는 2차차분행렬 K4, 식 (8) (p.122)](../assets/2장_p122_K4_식8.png)
	- $K$ **의 5가지 성질**: 눈에 보이는 3가지 + 계산해야 보이는 2가지
		- ❶ **대칭**: $K^{\mathrm{T}} = K$. (양옆을 공평하게 쓰는 $1, -2, 1$ 패턴이니 당연하다.)
		- ❷ **삼중대각·희소** (sparse): 0 아닌 성분이 대각선 3줄뿐. $N = 100$ 이면 0 아닌 성분은 $100 + 99 + 99 = 298$ 개, 전체 10,000개의 3%. 덕분에 소거가 매우 빠르다.
		- ❸ **대각선을 따라 값이 일정**: 모든 행이 같은 패턴의 평행이동이다. 미분방정식의 계수가 상수라서. 이런 행렬을 **퇴플리츠 행렬** (Toeplitz matrix), 신호처리에서는 **필터·합성곱 행렬**이라 부른다. MATLAB: `K = toeplitz([2 -1 0 0])`.
		- ❹ **가역**: $K_4^{-1} = \frac{1}{5}\begin{bmatrix} 4&3&2&1 \\ 3&6&4&2 \\ 2&4&6&3 \\ 1&2&3&4 \end{bmatrix}$.
			- ⚠️ 그런데 $K^{-1}$ 는 **모든 성분이 0이 아니다**: 희소성이 완전히 깨진다. 그래서 역행렬을 만들지 않고 $KU = F$ 를 소거법으로 푼다 (MATLAB `U = K\F`): 2.3절의 교훈 그대로.
		- ❺ **양의 정부호** (positive definite): 피벗이 **전부 양수**: $2, \frac{3}{2}, \frac{4}{3}, \frac{5}{4}, \cdots$ ([[2.4 치환행렬과 전치행렬]] 연습문제 18(c)에서 직접 계산했다). 6장에서 정식으로 배울 개념의 예고편.
			- 피벗으로 읽는 분류: 가역 = 0 아닌 피벗 $n$ 개 / 대칭 + 양의 정부호 = **양의** 피벗 $n$ 개 / 대칭 + 양의 준정부호(semidefinite) = **음이 아닌** 피벗 $n$ 개.
	- **[4단계] 경계 조건이 행렬을 바꾼다:** $K, T, B$ **삼형제** 🧩
		- [3단계]의 열쇠 문장을 다시: **첫 행과 끝 행은 경계 조건이 새겨지는 자리.** 경계를 "고정"에서 "자유"로 바꾸면 정확히 그 자리(대각선 양 끝)만 바뀐다.
		- 물리 그림: 스프링으로 연결된 질량들. 끝이 **벽에 묶여 있으면 "고정"** (fixed, $u = 0$), **허공에 떠 있으면 "자유"** (free, $\frac{du}{dx} = 0$, 기울기 0).
			- ![그림 2.3, K는 고정-고정, T는 자유-고정, B는 자유-자유 (p.126)](../assets/2장_p126_그림2-3_스프링모델_KTB.png)
				- (p.126, 그림 2.3)
		- **왜 자유 경계는 대각 성분을 2에서 1로 바꾸는가**: 직접 유도해 보면 한 줄이다:
			- 자유 경계 조건 "기울기 0"의 차분 번역: $\dfrac{u_1 - u_0}{h} = 0$, 즉 $u_0 = u_1$ (경계점이 바로 안쪽 점을 그대로 따라온다).
			- 이를 1번 점의 방정식에 대입: $-u_0 + 2u_1 - u_2 = -u_1 + 2u_1 - u_2 = u_1 - u_2$.
			- 그래서 첫 행이 $[\,2\ \ {-1}\ \cdots\,]$ 대신 $[\,1\ \ {-1}\ \cdots\,]$ 이 된다. 요약: **고정 경계는 항을 지우고(2 유지), 자유 경계는 항을 흡수시킨다(2가 1로).**
		- **세 행렬의 형태 비교** (셋 다 삼중대각·대칭, 비대각 $-1$, 다른 곳은 오직 대각선의 양 끝):
			- $K_n$ (고정–고정): 대각 $(2, 2, \cdots, 2, 2)$, 가역, 양의 정부호
			- $T_n$ (자유–고정): 대각 $(1, 2, \cdots, 2, 2)$, 가역, 양의 정부호
			- $B_n$ (자유–자유): 대각 $(1, 2, \cdots, 2, 1)$, **비가역!** 양의 준정부호
			- $$T_4 = \begin{bmatrix} \mathbf{1}&-1&0&0 \\ -1&2&-1&0 \\ 0&-1&2&-1 \\ 0&0&-1&2 \end{bmatrix} \qquad B_3 = \begin{bmatrix} \mathbf{1}&-1&0 \\ -1&2&-1 \\ 0&-1&\mathbf{1} \end{bmatrix}$$
			- 📌 원문 (식 (10) $T_4$, p.125): [🔗 PDF 위치](((6a63656f-97f2-40c9-a8c5-26180f7f9782)))
				- ![자유-고정 경계 조건의 T4, 식 (10) (p.125)](../assets/2장_p125_T4_식10.png)
		- $T$ **의 아름다운 분해**: $T$ 의 피벗은 전부 1이라 $T = LU = LL^{\mathrm{T}}$ ($L$ = 후진차분행렬)로 깔끔하게 분해되고, 역행렬들은 1로 채워진 삼각형·사각형 모양이 된다:
			- 📌 원문 (식 (11) $T = LU$, p.125): [🔗 PDF 위치](((6a636573-14ee-44d8-b3ad-7c38a6d221bc)))
				- ![T의 LU 분해, 식 (11) (p.125)](../assets/2장_p125_T_LU분해_식11.png)
			- 📌 원문 (식 (12) 역행렬들, p.125): [🔗 PDF 위치](((6a636579-147e-4d4a-8f81-87ca3fe5306a)))
				- ![U, L, T의 역행렬, 식 (12) (p.125)](../assets/2장_p125_역행렬들_식12.png)
		- $B$ **가 특이행렬(비가역)인 이유**: 두 관점이 같은 말을 한다
			- **물리적**: 양 끝이 다 자유 = 어디에도 묶여 있지 않다 → 전체를 통째로 옆으로 밀어도 스프링이 하나도 안 늘어난다(아무 저항력이 안 생긴다). 위치가 유일하게 정해지지 않는다 = 해가 유일하지 않다 = 특이행렬.
			- **대수적**: $B$ 는 **모든 행의 합이 0** → "통째로 밀기"에 해당하는 $x = (1, 1, \cdots, 1)$ 에 대해 $Bx = 0$. 영벡터가 아닌 해가 있으니 비가역 (2.2절 특징 ④). 모든 상수벡터 $(c, c, \cdots, c)$ 가 해이고, 이들이 $B$ 의 **영공간** (null space)을 이룬다.
				- 증명 한 줄: $B$ 가 가역이라면 $Bx = 0$ 양변에 $B^{-1}$ 를 곱해 $x = 0$ 이어야 하는데, $x = (1, \cdots, 1) \ne 0$, 모순.
			- 💡 $K, T$ 는 벽이 하나라도 있어서 "밀면 스프링이 늘어난다" → 위치가 고정된다 → 가역. 그림 2.3에서 무게 $W$ 를 달면 $K_3, T_3$ 는 균형 위치가 정해지지만, $B_3$ 는 지지대가 없어 균형 해가 없다 (p.126 식 (14)).
	- **덧붙임: 차분행렬들의 가족 관계** (연습문제 15~16의 관점, 가볍게 봐 두기)
		- 1계 차분도 행렬로 쓸 수 있다: 전진차분행렬(각 행이 $-1, 1$ 패턴), 후진차분행렬(대각 $1$, 그 아래 $-1$).
		- 2차차분행렬 $K, T, B$ 는 모두 1계 차분행렬 $A$ 로 만든 $A^{\mathrm{T}}A$ 꼴이다. [[2.4 치환행렬과 전치행렬]]의 "$A^{\mathrm{T}}A$ 는 항상 대칭" 원리로 셋의 대칭성이 자동으로 설명된다.
		- 💡 연속 세계와의 평행: $-\dfrac{d^2}{dx^2} = \left(-\dfrac{d}{dx}\right)\left(\dfrac{d}{dx}\right)$ 이고, $\dfrac{d}{dx}$ 의 "전치"가 $-\dfrac{d}{dx}$ (p.111 EX2의 부분적분)라는 사실의 이산 버전.
- ### ❓ 스스로 점검
	- 전진·후진·중심차분의 식을 쓰고, $y = x^2$, $x = 1$, $h = 0.1$ 에서 각각 계산해 보라. 어떤 패턴이 보이는가? #card
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		- 전진 $\frac{y(x+h)-y(x)}{h} = 2.1$, 후진 $\frac{y(x)-y(x-h)}{h} = 1.9$, 중심 $\frac{y(x+h)-y(x-h)}{2h} = 2.0$ (참값 2). 전진과 후진이 반대 방향으로 같은 크기만큼 틀리고, 그 평균인 중심은 오차가 상쇄된다.
	- 중심차분만 2차 정확도인 이유를 테일러 전개로 설명하라.
		- 전진차분의 오차 첫 항은 $+\frac{1}{2}h\,y''$, 후진은 $-\frac{1}{2}h\,y''$. 중심차분은 둘의 평균이라 이 항이 상쇄되고, 남는 오차의 첫 항이 $\frac{1}{6}h^2 y'''$, $h^2$ 에 비례하므로 2차.
	- 2계도함수의 차분 근사식을 쓰고, 계수 $1, -2, 1$ 이 어디서 나오는지 두 가지 방식으로 설명하라.
		- $\frac{y(x+h) - 2y(x) + y(x-h)}{h^2}$. ① 차분의 차분: (전진차분 − 후진차분) ÷ $h$ 에서 $y(x)$ 가 두 번 빠져 $-2$. ② 양옆 평균과 자신의 차이 × $\frac{2}{h^2}$.
	- $-u'' = f$ 가 어떻게 $\frac{1}{h^2}KU = F$ 가 되는가? $U, F$ 의 성분은 무엇이고, 첫 행이 $[2\ {-1}\ 0\ 0]$ 으로 잘린 이유는?
		- 구간을 $h = \frac{1}{N+1}$ 격자로 나누고 내부 격자점마다 $-u''$ 를 $\frac{-u_{i-1}+2u_i-u_{i+1}}{h^2}$ 로 근사해 방정식 $N$ 개를 쌓는다. $U = (u_1, \cdots, u_N)$ 은 해의 근삿값, $F = (f(h), \cdots, f(Nh))$. 첫 행이 잘린 이유는 경계 조건 $u_0 = 0$ 이 $-u_0$ 항을 지웠기 때문.
	- $K_4$ 를 아무것도 안 보고 써라. $K$ 의 5가지 성질은? 그중 계산해야만 보이는 것은?
		- 대각 2, 양옆 대각 $-1$, 나머지 0. 성질: 대칭 / 삼중대각(희소) / 대각선 일정(퇴플리츠) / 가역 / 양의 정부호. 뒤의 둘(가역·양의 정부호)은 피벗을 계산해야 보인다.
	- $K, T, B$ 는 정확히 어디가 다른가? 자유 경계가 대각 성분을 1로 만드는 이유를 유도하라.
		- 대각선 양 끝만 다르다: $K$ 는 $(2,\cdots,2)$, $T$ 는 $(1,2,\cdots,2)$, $B$ 는 $(1,2,\cdots,2,1)$. 자유 경계는 $u_0 = u_1$ (기울기 0)이므로 $-u_0 + 2u_1 - u_2$ 가 $u_1 - u_2$ 로 흡수되어 대각이 1이 된다.
	- $B$ 가 특이행렬인 이유를 물리적·대수적으로 각각 설명하라.
		- 물리: 양 끝이 자유라 전체를 평행이동해도 스프링이 안 늘어난다 → 위치가 유일하게 결정되지 않음. 대수: 모든 행의 합이 0 → $x = (1, \cdots, 1)$ 이 $Bx = 0$ 의 영벡터 아닌 해 → 비가역. 영공간은 모든 상수벡터.
- ### ✏️ 연습문제 풀이 (솔루션 참고)
	- **문제 1**: $y(x) = x^3$, $\Delta y = (x+h)^3 - x^3$ 의 1차항과 2차항을 구하고 $h\frac{dy}{dx}$, $\frac{1}{2}h^2\frac{d^2y}{dx^2}$ 와 일치함을 보여라.
		- 전개: $(x+h)^3 - x^3 = 3x^2h + 3xh^2 + h^3$.
		- 1차항 $3x^2 h = h \cdot (3x^2) = h\frac{dy}{dx}$ ✓, 2차항 $3xh^2 = \frac{1}{2}h^2 \cdot (6x) = \frac{1}{2}h^2\frac{d^2y}{dx^2}$ ✓.
		- 💡 테일러 급수의 처음 두 항이 "저절로" 나오는 것을 다항식으로 직접 확인, 차분↔미분 연결의 가장 구체적인 체험.
	- **문제 7**: $y(x) = x^3$, $h = \frac{1}{10}$, $x = 0$ 에서 중심·전진·후진차분으로 $\frac{dy}{dx}$ 를 근사하라. (참값: $y'(0) = 0$)
		- 중심: $\dfrac{(0.1)^3 - (-0.1)^3}{0.2} = \dfrac{0.002}{0.2} = \dfrac{1}{100}$. 전진: $\dfrac{(0.1)^3 - 0}{0.1} = \dfrac{1}{100}$. 후진: $\dfrac{0 - (-0.1)^3}{0.1} = \dfrac{1}{100}$.
		- 참값 0에 대해 셋 다 오차 $\frac{1}{100}$, **우연히** 모두 같다 ($x = 0$ 에서 $y'' = 0$ 이라 1차 오차항이 사라졌기 때문).
		- 💡 이어지는 문제 8이 진짜 핵심: $y(h) \approx y(0) + h y'(0) + \frac{1}{2}h^2 y''(0)$ 을 세 공식에 대입하면, 중심차분은 $h^2$ 항까지 정확하고, 전진은 $+\frac{1}{2}h\,y''(0)$, 후진은 $-\frac{1}{2}h\,y''(0)$ 의 오차를 갖는다. "2차 vs 1차 정확도"의 증명이 이 한 줄이다.
	- **문제 16**: $D_4 = \begin{bmatrix} 1&-1&0&0 \\ 0&1&-1&0 \\ 0&0&1&-1 \\ -1&0&0&1 \end{bmatrix}$ 일 때 $D_4 D_4^{\mathrm{T}}$ 가 2차차분행렬임을 보여라. $D_4$ 는 가역인가?
		- $D_4 D_4^{\mathrm{T}} = \begin{bmatrix} 2&-1&0&-1 \\ -1&2&-1&0 \\ 0&-1&2&-1 \\ -1&0&-1&2 \end{bmatrix} = C_4$, 대각 2, 옆 대각 $-1$ 에 더해 **모서리** $(1,4), (4,1)$ **에도** $-1$ 이 있는 **주기적(순환) 2차차분행렬**.
		- $C_4$ 는 비가역: 모든 행의 합이 0 → $x = (1,1,1,1)$ 이 $C_4 x = 0$. ($D_4$ 자체도 행 합이 0이라 비가역.)
		- 💡 $K, T, B$ 에 이어 네 번째 경계 조건, **주기 경계** (원형으로 연결). 이것도 $B$ 처럼 "묶인 곳이 없어서" 특이행렬이 된다.
	- **문제 18**: 1차 중심차분행렬은 가역이 아닐 수 있다. $\Delta_3 = \begin{bmatrix} 0&1&0 \\ -1&0&1 \\ 0&-1&0 \end{bmatrix}$ 과 $\Delta_4$ 로 확인하라.
		- $\Delta_3$: 3열 $= -($ 1열 $)$, 열이 선형종속이라 **비가역**. ($\Delta_3 x = 0$ 의 해: $x = (1, 0, 1)$.)
		- $\Delta_4$ (4×4 중심차분행렬)는 4개의 열이 선형독립, **가역**.
		- 💡 중심차분행렬은 **홀수 크기면 특이, 짝수 크기면 가역**: 크기의 홀짝이 가역성을 가르는 흥미로운 예. (또한 $\Delta^{\mathrm{T}} = -\Delta$ 인 **반대칭행렬**: 미분 $\frac{d}{dx}$ 의 전치가 $-\frac{d}{dx}$ 라는 p.111 EX2의 이산 버전.)