Logseq/pages/3장 4가지 기본 부분공간.md

deck:: Logseq/전공공부/선형대수학

• 

• 챕터 서론

  • 2장은 가역인 정사각행렬만 다뤘다. PA = LU 의 행렬들은 전부 최대 랭크 r = m = n 이었고 해는 항상 딱 하나였다. 3장은 모든 m \times n 행렬로 문을 연다. 이제 해가 없거나 무수히 많은 경우까지 전부 다루며, 그러기 위해 "공간"이라는 새 언어가 필요해진다.
  • 이 장의 주인공, 4가지 기본 부분공간: A 의 열공간 \mathbf{C}(A), 행공간 \mathbf{C}(A^{\mathrm{T}}), 영공간 \mathbf{N}(A), A^{\mathrm{T}} 의 영공간(좌영공간) \mathbf{N}(A^{\mathrm{T}}). 이들의 차원 r, r, n-r, m-r 을 연결하는 것이 이 장의 목표인 선형대수학의 기본정리다. 책 스스로 "이 책에서 가장 중요한 장"이라고 말한다.
  • 흐름 한눈에: 공간이란 무엇인가(3.1) → Ax = 0 의 모든 해(3.2) → Ax = b 의 모든 해(3.3) → 그동안 빚진 용어들의 정식 정의(3.4) → 4공간 총정리(3.5).
  • ⚠️ 이 장의 독법: 스트랭 특유의 "먼저 쓰고 나중에 정의하는" 전개가 가장 심한 장이다. 3.1~3.3에서 독립·기저·차원·랭크가 정의 없이 계속 나오는데, 정식 정의는 전부 3.4에 있다. 막히면 감(독립 ≈ 겹치지 않음, 기저 ≈ 최소 재료, 차원 ≈ 재료 개수)으로 통과하고, 3.4를 읽은 뒤 앞을 다시 보면 소급해서 선명해진다.
  • 🧩 3장 기호 사전 (공부하다 "이 행렬 뭐였지?" 싶을 때 여기로):

    • 기호	크기	뜻
      R_0 = \mathrm{rref}(A)	m \times n	소거의 완성형(기약행 사다리꼴): 피벗 전부 1, 피벗 위아래 전부 0, 영행 포함 (3.2)
      R	r \times n	R_0 에서 영행을 뗀 것. R = [\,I\ F\,]P 이고 A = CR 의 행 인자, 행공간의 기저 (3.2)
      C	m \times r	A 의 피벗 열(독립인 열)을 원본 그대로 뽑아 모은 것, 열공간의 기저 (1장·3.2)
      I	r \times r	R 안의 항등행렬 부분 (피벗 열 자리)
      F	r \times (n-r)	R 의 자유 열 부분: 독립인 열을 어떻게 결합하면 종속인 열이 나오는지의 계수(조리법) (3.2)
      P	n \times n	치환행렬: 섞인 열 순서를 기록·복원 (2장에서는 행 교환용이었음)
      W	r \times r	독립인 열들이 이루는 가역 블록. 소거의 정체 = W^{-1} 곱하기 (3.2)
      H	r \times (n-r)	종속인 열들의 묶음. H = WF (3.2)
      B	r \times n	블록소거의 위쪽 독립 행들 [\,W\ H\,]. P_R A P_C = CW^{-1}B (3.2 심화)
      J,\ K	(m-r) \times \cdots	블록소거의 아래(종속) 행들. K = JW^{-1}H (3.2 심화)
      d	m 벡터	소거 후의 우변: [\,A\ \ b\,] \to [\,R_0\ \ d\,] (3.3)
      s_1, s_2, \cdots	n 벡터	특별해: Ax=0 에서 자유변수에 1·0을 넣은 해, 영공간의 기저 (3.2)
      x_p,\ x_n	n 벡터	특수해(Ax=b 의 해 하나) / 영공간의 벡터. 완전해 x = x_p + x_n (3.3)

    • ⚠️ 행렬 C 와 공간 \mathbf{C}(A) 는 다른 것: 괄호 붙은 볼드체 $\mathbf{C}(A)$(열공간), $\mathbf{C}(A^{\mathrm{T}})$(행공간), $\mathbf{N}(A)$(영공간), $\mathbf{N}(A^{\mathrm{T}})$(좌영공간)는 행렬이 아니라 부분공간이다. 괄호 없이 홀로 선 C, R, W, H 등이 행렬.

• 소단원

  • 3.1 벡터공간과 부분공간
  • 3.4 독립, 기저, 차원
  • 3.5 4가지 기본 부분공간의 차원

• 3장에 대한 고찰 : 소거의 큰 그림

  • 소거는 처음부터 끝까지 두 가지 질문에 대한 답이었다:
    • Q1. 이 열은 이전 열들의 선형결합인가?: 피벗이 생기면 "아니다"(독립, 피벗 열), 안 생기면 "그렇다"(자유 열, 계수는 F 에 기록).
    • Q2. 이 행은 이전 행들의 선형결합인가?: 피벗이 있으면 독립인 행, 성분이 모두 0이 되면 종속인 행(영행 → R 에서 제거).
  • R 은 3가지 기본 부분공간의 기저를 드러낸다:
    • 열공간: R 에서 피벗을 만드는 열 번호 → A 의 그 열들 r 개
    • 행공간: R 의 r 개 행
    • 영공간: Rx = 0 의 특별해 (n-r) 개
    • (좌영공간은 소거 기록에서: [\,A\ \ I\,] \to [\,R_0\ \ E\,] 로 축소하면 E 의 마지막 (m-r) 개 행이 기저, "소거하지 않으면 손실될 수 있는 소거에 대한 기록".)
  • 소거 경로가 달라도 R 은 항상 같다. R 은 온전히 A 가 결정한다. 그리고 랭크가 같은 구조를 공유한다: C, B 를 고정하고 가역인 혼합행렬 M 을 끼운 모든 행렬 CMB 는 동일한 4가지 기본 부분공간을 갖는다.
  • 분해로 요약하면: A = CR = C[\,I\ \ F\,]P = [\,C\ \ CF\,]P, "A = (독립인 열들) 뒤에 (종속인 열들 = CF)를 붙이고 열 순서를 P 로 되돌린 것". 이 책이 소거의 결과를 이 행렬 형식으로 표현한 최초의 책이라고 한다.
  • 💡 3장 전체를 꿰는 한 줄: 랭크 r 하나가 모든 것을 결정한다. 독립인 열·행의 개수(r), 자유변수(n-r), 해의 존재(r = m?)와 유일성(r = n?), 네 공간의 차원까지. 소거는 그 r 을 드러내는 도구다.