Logseq/Major Study/pages/2장 선형방정식 Ax = b 풀기.md

deck:: Logseq/전공공부/선형대수학

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• 챕터 서론

  • 이 장에서 다루는 행렬은 n \times n 정사각행렬이다. Ax = b 는 (A 의 각 행으로부터 얻는) n 개의 방정식으로 이루어지고, x 에는 n 개의 미지수가 있다.
    • 📌 원문 (p.72): ((6a63583b-0acd-445d-8434-975ef195f8eb))
  • 대부분의 경우 각 b 에 대해 단 하나의 해 x 가 존재하며, 이때 A^{-1}A = I, AA^{-1} = I 를 만족하는 역행렬 A^{-1} 가 존재한다. 그러면 x = A^{-1}b.
  • ⚠️ 그러나 이 장의 목표는 해 x 를 찾는 것이지 A^{-1} 를 직접 계산하는 것이 아니다. 실제 풀이는 소거법이다:
    • Ax = b → (소거법) → 상삼각 연립방정식 Ux = c → (역대입법) → x.
  • 이 장의 핵심 문장: 행렬 A 에서 시작하여 A \to EA = U \to A = E^{-1}U = LU \to x 까지의 모든 단계에 대해 설명하는 것이다.
    • 📌 원문 (p.72): ((6a63587a-1888-4607-8afd-f0e5a1073965))
  • 이 장의 주요 행렬들 (p.72 표):
    • 계수행렬 A / 상삼각행렬 U / 하삼각행렬 L
    • 소거행렬 E_{ij} / 전체소거행렬 E / 역행렬 A^{-1}
    • 치환행렬 P / 전치행렬 A^{\mathrm{T}} / 대칭행렬 S = S^{\mathrm{T}}
    • 💡 새 행렬이 많이 등장하는 장이다. 각 행렬의 정확한 형태(어느 행 어느 열에 무엇이 들어가는지)는 소단원 페이지의 🧩 표시 블록에 정리해뒀다. $E_{ij}$·L 은 2.2절, $P$·$A^{\mathrm{T}}$·S 는 2.4절, $K$·$T$·B 는 2.5절.
  • 소거 과정은 모든 계산 과학 분야에서 가장 많은 비용을 초래하는 연산이며, 2.5절에서는 계산 과학에서 쓰이는 차분행렬을 소개한다.

• 소단원

  • 2.1 소거법과 역대입법
  • 2.2 소거행렬과 역행렬
  • 2.4 치환행렬과 전치행렬
  • 2.5 미분과 유한차분행렬

• 2장에 대한 고찰

  • 2장의 내용은 아주 유용하고 실용적이다. 정사각 가역행렬에 대해 Ax = b 를 해결할 수 있게 되었다.
  • A^{-1} 에 대해 기억할 것: (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}, x = A^{-1}b. 그러나 역행렬은 거의 계산하지 않는다: A^{-1} 를 구해서 곱하는 A^{-1}b 는 시간이 많이 들고 불필요하다.
  • 실제 해법은 상삼각행렬 U: Ux = c 의 n 번째 방정식 u_{nn}x_n = c_n 부터 위로 올라가며 푼다 (역대입법). A \to U 에 약 \frac{n^3}{3} 단계, 이후 역대입으로 x = U^{-1}c = A^{-1}b.
  • 아름다운 공식 A = LU: L 은 승수 \ell_{ij} 들의 하삼각행렬, U 는 소거가 만드는 상삼각행렬. 유일하게 불행한 경우는 피벗 u_{ii} 가 0이거나 작을 때, 이때는 행 교환 (PA = LU).
  • 2장의 행렬 아이디어 지도 (p.130):
    • 역행렬 계열: 상삼각 U, 소거행렬 E, 전치 A^{\mathrm{T}}, A = LU 분해
    • 특이행렬 계열: 하삼각 L, 치환행렬 P, 대칭행렬 S = S^{\mathrm{T}}, S = LDL^{\mathrm{T}} 분해
    • 유한차분행렬 계열: 중심·전진·후진차분, 2차차분행렬 K, T, B, 고정 끝·자유 끝
  • n \times n 가역행렬은 열공간 \mathbb{R}^n 과 행공간 \mathbb{R}^n 을 갖는다. 열도 행도 선형독립. 3장에서는 (정사각·가역에 국한하지 않고) 모든 행렬을 허용하며, 이에 따라 새로운 아이디어가 필요해진다.
  • 💡 2장 전체를 꿰는 한 줄 요약: "소거법은 행렬곱이다". 소거의 매 단계를 E_{ij} 로, 행 교환을 P 로, 전체 과정을 A = LU (또는 PA = LU)로 기록할 수 있고, 이 분해가 Ax = b 풀이의 실체다.