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deck:: Logseq/전공공부/선형대수학
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- ## 챕터 서론
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- 이 장에서 다루는 행렬은 $n \times n$ **정사각행렬**이다. $Ax = b$ 는 ($A$ 의 각 행으로부터 얻는) $n$ 개의 방정식으로 이루어지고, $x$ 에는 $n$ 개의 미지수가 있다.
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- 📌 원문 (p.72): ((6a63583b-0acd-445d-8434-975ef195f8eb))
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- 대부분의 경우 각 $b$ 에 대해 단 하나의 해 $x$ 가 존재하며, 이때 $A^{-1}A = I$, $AA^{-1} = I$ 를 만족하는 **역행렬** $A^{-1}$ 가 존재한다. 그러면 $x = A^{-1}b$.
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- ⚠️ 그러나 이 장의 목표는 해 $x$ 를 찾는 것이지 $A^{-1}$ 를 직접 계산하는 것이 **아니다**. 실제 풀이는 소거법이다:
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- $Ax = b$ → (소거법) → 상삼각 연립방정식 $Ux = c$ → (역대입법) → $x$.
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- **이 장의 핵심 문장**: 행렬 $A$ 에서 시작하여 $A \to EA = U \to A = E^{-1}U = LU \to x$ 까지의 모든 단계에 대해 설명하는 것이다.
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- 📌 원문 (p.72): ((6a63587a-1888-4607-8afd-f0e5a1073965))
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- **이 장의 주요 행렬들** (p.72 표):
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- 계수행렬 $A$ / 상삼각행렬 $U$ / 하삼각행렬 $L$
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- 소거행렬 $E_{ij}$ / 전체소거행렬 $E$ / 역행렬 $A^{-1}$
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- 치환행렬 $P$ / 전치행렬 $A^{\mathrm{T}}$ / 대칭행렬 $S = S^{\mathrm{T}}$
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- 💡 새 행렬이 많이 등장하는 장이다. 각 행렬의 **정확한 형태**(어느 행 어느 열에 무엇이 들어가는지)는 소단원 페이지의 🧩 표시 블록에 정리해뒀다. $E_{ij}$·$L$ 은 2.2절, $P$·$A^{\mathrm{T}}$·$S$ 는 2.4절, $K$·$T$·$B$ 는 2.5절.
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- 소거 과정은 모든 계산 과학 분야에서 가장 많은 비용을 초래하는 연산이며, 2.5절에서는 계산 과학에서 쓰이는 차분행렬을 소개한다.
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- ## 소단원
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- [[2.1 소거법과 역대입법]]
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- [[2.2 소거행렬과 역행렬]]
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- [[2.3 행렬 계산과 A = LU]]
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- [[2.4 치환행렬과 전치행렬]]
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- [[2.5 미분과 유한차분행렬]]
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- ## 2장에 대한 고찰
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- 2장의 내용은 아주 유용하고 실용적이다. 정사각 가역행렬에 대해 $Ax = b$ 를 해결할 수 있게 되었다.
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- $A^{-1}$ **에 대해 기억할 것**: $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$, $x = A^{-1}b$. 그러나 **역행렬은 거의 계산하지 않는다**: $A^{-1}$ 를 구해서 곱하는 $A^{-1}b$ 는 시간이 많이 들고 불필요하다.
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- **실제 해법은 상삼각행렬** $U$: $Ux = c$ 의 $n$ 번째 방정식 $u_{nn}x_n = c_n$ 부터 위로 올라가며 푼다 (역대입법). $A \to U$ 에 약 $\frac{n^3}{3}$ 단계, 이후 역대입으로 $x = U^{-1}c = A^{-1}b$.
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- **아름다운 공식** $A = LU$: $L$ 은 승수 $\ell_{ij}$ 들의 하삼각행렬, $U$ 는 소거가 만드는 상삼각행렬. 유일하게 불행한 경우는 피벗 $u_{ii}$ 가 0이거나 작을 때, 이때는 행 교환 ($PA = LU$).
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- **2장의 행렬 아이디어 지도** (p.130):
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- 역행렬 계열: 상삼각 $U$, 소거행렬 $E$, 전치 $A^{\mathrm{T}}$, $A = LU$ 분해
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- 특이행렬 계열: 하삼각 $L$, 치환행렬 $P$, 대칭행렬 $S = S^{\mathrm{T}}$, $S = LDL^{\mathrm{T}}$ 분해
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- 유한차분행렬 계열: 중심·전진·후진차분, 2차차분행렬 $K, T, B$, 고정 끝·자유 끝
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- $n \times n$ 가역행렬은 열공간 $\mathbb{R}^n$ 과 행공간 $\mathbb{R}^n$ 을 갖는다. 열도 행도 선형독립. 3장에서는 (정사각·가역에 국한하지 않고) **모든 행렬**을 허용하며, 이에 따라 새로운 아이디어가 필요해진다.
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- 💡 **2장 전체를 꿰는 한 줄 요약**: "소거법은 행렬곱이다". 소거의 매 단계를 $E_{ij}$ 로, 행 교환을 $P$ 로, 전체 과정을 $A = LU$ (또는 $PA = LU$)로 기록할 수 있고, 이 분해가 $Ax = b$ 풀이의 실체다.
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