Logseq/Major Study/pages/5장 행렬식.md

deck:: Logseq/전공공부/선형대수학

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• 5장 서론 정리

  • 이 장의 큰 그림: 정사각행렬 A 전체를 수 하나로 요약한 것이 행렬식 \det A 다. 이 수 하나가 많은 것을 알려준다.
    • \det A = 0 이면: 열들이 선형종속, A 는 비가역행렬 (3장의 랭크 판정이 수 하나로 압축된 셈).
    • \det A \neq 0 이면: A^{-1} 가 존재하고, 실제로 A^{-1} 의 공식에 \det A 로 나누는 연산이 들어 있다.
  • \det A 를 구하는 3가지 방법 (5장 전체의 지도):
    • ① 피벗들의 곱: 소거 PA = LU 후 U 의 피벗들을 곱한다. \det P = \pm 1, \det L = 1 이므로 피벗 곱이 \pm \det A. 보통 가장 빠른 방법이다.
    • ② 여인수(cofactor) 이용: 크기 n-1 인 행렬식들로 줄여서 계산한다. 역행렬 공식으로 이어진다 (5.1절).
    • ③ n! 개 항의 합: 모든 행과 열에서 성분을 하나씩만 골라 곱한 항들을 전부 더한다. 3×3이면 3! = 6 개 항.
  • 절별 로드맵:
    • 5.1 3×3 행렬식과 여인수: 6개 항 공식, 여인수 공식, 역행렬 공식 A^{-1} = C^{\mathrm{T}} / \det A.
    • 5.2 행렬식의 계산과 응용: \det AB = (\det A)(\det B) 를 비롯한 성질들을 3가지 기본 성질에서 유도하고, Ax = b 를 행렬식으로 푸는 크레이머 규칙(Cramer's rule)을 다룬다.
    • 5.3 행렬식을 이용한 넓이와 부피 계산: 기울어진 상자(평행육면체)의 부피가 |\det E|. n \times n 행렬로 도형을 변환하면 부피가 항상 |\det A| 배가 된다.
  • 💡 수위 조절: 서론이 던지는 크레이머 규칙, 에지행렬, 부피 이야기는 전부 5.2~5.3의 예고편이다. 지금은 "행렬식 = 행렬을 요약하는 놀라운 수 하나, 계산법은 3가지"라는 감만 잡으면 충분하다.

• 소단원

  • 5.1 3×3 행렬식과 여인수
  • 5.2 행렬식의 계산과 응용